Vibrações - Caderno

Caderno de Vibrações\n\nAluno: Frederico (fradliuss@gmail.com)\nProf.: Athos\n\nPUC - MG\n2014 Vibrações Mecânicas\nProfessor: Athas Carvalho\n\n10 pontos - lista de exercícios\n10 pontos - prova, com dupla\n40 pontos - 1ª Prova (3 de abril)\n40 pontos - 2ª Prova (22 de maio)\n40 pontos - Reposição (29 de maio)\n\nLivro: Järmann (Engineering Vibrations)\n\n4/2/14 Vibrações Mecânicas\n6/2/14\n\nCondição: Basificada em torno de um ponto de equilíbrio. Oscilação está, provocada por um certo externo.\nVibrações livres não amortecidas (1º ed.)!\n\nA\n\nx(0) = 0\nẋ(0) = ẋ₀\n\nM: massa [kg]\nK: rigidez\n\nF\n\nI (Barnaches)\nII (mola)\n\nVibração livre: São vibrações consideradas por condições iniciais do deslocamento e/ou velocidade\n\n∑F̅ = 0\n\nm·ẍ + kx = 0 (Equação do movimento)\n\nx(t) = A·sen(w·t + φ)\n\nK = F / d [N]\n[m] ẋ(t) = A · cos (ω · t + ϕ) · ω\nẍ(t) = A · ω² · sin(ω · t + ϕ)\n\n−m · ω² · sin(ω · t + ϕ) + K · A · sin(ω · t + ϕ) = 0\n−m · ẍ sin(ω · t + ϕ) = −Kf · sin(ω · t + ϕ)\n\nmω² = k\nω² = k / m\n\nω = √(k / m)\n\nω_n = ω_o: frequência natural angular do sistema [√(k/m)]\nf_n [Hz] = 1 / 2π √(k / m)\n\nCálculo da amplitude:\npara tempo = 0 (t = 0)\n\n{ ẋ_o = A · sen(ϕ) (1)\nx_o = A · cos(ϕ) (2)\nω = A · cos(ϕ)\n\nsomando as 2 equações depois de elevadas ao quadrado\n\nx_o² + ẋ_o² / ω² = A²(sen²(ϕ) + cos²(ϕ))\nR² = x_o² + ẋ_o² / ω_n² → A = √(x_o² + ẋ_o² / ω_n²) ode A: amplitude [m]\nCálculo da fase:\ndividindo (1) por (2):\nx_e . m = A . sin(θ) \n⇔ t.g(θ) = x_o . cos(θ)\n\nθ = arc tg( (x_o · ω_n) / x_o ) 11/2/14\nA\n∑F → = 0\nm · x'' + Kx = 0\n\nx(0) = x_o\nẋ(0) = x_o\n\nω_n = √(K/m)\nA = √(x_o² + ẋ_o² / ω_n²)\n\nϕ = arc tg( (x_o · ω_o) / ẋ_o )\n\nModelamento por energia\n\nE_T = E_C + E_P\n\nE_T: energia total\nE_C: energia cinética\nE_P: energia potencial\n\nE_C = 1/2 · m · ẋ²\nE_P = 1/2 · K · x²\n\nE_T = 1/2 m (A · ω_n · cos(ω_n · t + ϕ))² +\n + 1/2 K (A · sin(ω_n · t + ϕ))²\n\nso E_T = cte → dE_T/dt = 0 dE_T = \\frac{1}{2} m \\dot{x}^2 + \\frac{1}{2} k x^2 \n\ndE_T = m \\dot{x} \\ddot{x} + k x \\dot{x} \n\\implies \nm \\dot{x} \\ddot{x} + k x \\dot{x} = 0 \n\\dot{x} (m \\ddot{x} + k x) = 0 \n\\dot{x} \\neq 0 \n\\implies m \\ddot{x} + k x = 0 \\quad \\text{(equation of motion)} \n\nE_T\n\\begin{tikzpicture}\n % (Your code for the graph goes here)\n\\end{tikzpicture} \n\nExercício: \na) Equação do movimento por \\sum \\vec{F} = E_T \nb) Frequência natural em [rad/s] a Hz \nc) Gráfico x(t), \\dot{x}(t), \\ddot{x}(t) considerando x(0) = 5mm (destacar pontos importantes) \nd) Gráfico de energias Revisão \nF \\rightarrow \n\\begin{array}{c}\n k_1 \\\\ \hline \\\\ k_2 \n\\end{array} \n\nx_1 \\neq x_2 \nF_1 = F_2 \n\\text{Série}\n\\frac{1}{k_{eq}} = \\frac{1}{k_1} + \\frac{1}{k_2} \n\\text{sendo} k_2 \\neq k_1 \n \\begin{array}{c}\n k_1 \\\\ \hline \\\\ k_3 \n\\end{array}\n\nx_1 = x_2 \nF_1 \\neq F_2 \n\\text{Paralela} \n k_{eq} = k_1 + k_2 \n\nSolução: \n\nk_{eq_3} = \\frac{k_2 + k_3}{k_2 + k_3} = \\frac{18}{2} = 2 N/mm \n\nk_{aq} = k_1 + k_{eq_3} \nk_{eq_2} = 10 N/mm m \\ddot{x} + \\left( k_1 + k_2 - k_3 \\right) x = 0 \n\\frac{k_1 + k_2 + k_3}{k_2 + k_3} \\omega_0 = \\sqrt{\\frac{k_1 + k_2 + k_3}{m}} \n\nk_{aq} = 1 N/mm = 10,000 uN/m \nm = 10 kg \n\n10 \\ddot{x} + 10,000 x = 0 \n\\ddot{x} + 1,000 x = 0 \n\\omega_n = \\sqrt{\\frac{10,000}{10}} = 31.6 rad/s \n\nf_n = \\frac{\\omega_n}{2 \\pi} = 5 Hz; T = \\frac{1}{f_n} = 0.2 s Vibrações lineares em amortecimento\nSistemas de um grau de liberdade\n\nJ: momento de inércia de rotação [ kg·m² ]\nKT: rigidez torsional [ Nm/rad ]\nθ: grau de liberdade\n\n∑M = 0\n\nJ: ¨θ + KTθ = 0\n\nθ(t) = A · cos (ωn · t + φ)\nθ̇(t) = -A · ωn · sen (ωn · t + φ)\nθ̈(t) = -A · ωn² cos (ωn · t + φ)\n\n-J · A· ωn cos (ωn · t + φ) + KT· A· cos (ωn · t + φ) = 0\n\n-J· A· ωn² cos (ωn·t + φ) = -KT· A· cos (ωn·t + φ)\n\nωn = √(KT/J)