Lista Entregar - Vibrações Mecânicas - Ronaldo Chagas Gomes

8) Questão 3 (4 pontos) O sistema representado na figura abaixo está criticamente amortecido. Dados do sistema: constante da mola k1=25 N/m, comprimento L1=300 mm, comprimento L2=800 mm, massa da esfera de raio desprezível m=200 g, massa da barra horizontal mh=1,5 kg e massa da barra vertical mv=1,0 kg. Sabendo que o sistema é rotacionado de 10° no sentido anti-horário e abandonado desta posição, determine: a) A constante do amortecedor; b) A frequência angular amortecida; c) A força no amortecedor quando t=0.5 s; d) A constante de amortecimento crítica. 9) Questão 1 (3 pontos) O gráfico abaixo mostra o comportamento da oscilação de um corpo de peso W quando sustentado por uma mola e por um amortecedor. A constante elástica da mola vale k=800 N/m e o coeficiente de amortecedor é igual a 24 Ns/m. O corpo é deslocado em 100 mm a partir do equilíbrio e liberado com uma velocidade inicial de 2 m/s no mesmo sentido. Determine a) massa do corpo; b) frequência amortecida e c) força no amortecedor quando t=2,5 s; RQ 0501 Rev. 14 Página 3 de 3 8 -> K1 = 25 N/m L1 = 300 mm L2 = 800 mm m = 200g m_barra_h = 1,5 Kg m_barra_v = 1,0 Kg Ângulo = 10° Criticamente amortecido para condição criticamente amortecido temos: b^2 - 4*m*K = 0, portanto b = 4*m*K = 20 N.s/m Cc = 2*m*sqrt(K/m) = 2.0 * Kg * sqrt(25 N/m / 0,2 Kg) Cc = 4,472 N.s/m wd = wm*sqrt(1 - 𝜉^2) (c/Cc) = ln (Xl / X8) sqrt(196 * π^2 + [ln (X1 / X8)]^2) = ln (20 mm / 12 mm) sqrt(196 * π^2 + [ln (20 mm / 12 mm)]^2) = 0,511960 Cc = 2 * m * sqrt(K/m) c = 0,01160 * Cc -> c = 0,01160 * 2 * m * sqrt(K/m) c = 0,01160 * 2 * 4 Kg * sqrt(100 N/m / 4 Kg) = 0,50828 N.s/m x(t) = e^(-𝜉 * wn * t) * (A * cos(wd * t) + B * sin(wd * t)) onde Wd = wn * sqrt(1 - 𝜉^2) = 5,4746482058 A = x0 = 20 mm = 0,02 m B = x0 * 𝜉 * wn * x0 = 0,000232 m x(t) = e^(-0,0685t) * (0,02 * cos 5,474648t + 0,000232 * sin 5,474648t) K = 800 N/m C = 24 N s/m v_0 = 2 m/s x = 100 mm F = -Kx = -800 N . 0,1 m = -80 N my F = ma => m = F/a => m = 8,154 Kg w_d = w_n \sqrt {1 - ξ^2} w_n = \sqrt{K/m} = \sqrt{800 N/m / 8,154 Kg } = 9,9051 rad/s ξ = \frac{C}{C_c} = \frac{2.m \sqrt{K/m}}{C_c} = \frac{161,5302 N s/m}{C_c} ξ = \frac{24 N s/m}{161,5302 N s/m} = 0,148 w_d = 9,3051 rad/s \sqrt{1 - 0,148^2} = 9,786 rad/s w_d(t) = e^{-ξw_nt} \left( A \cos(w_d t) + B \sin(w_d t) \right) β = 0,0299.29603 m x(2,5) = e^{-3,668957} \left( 0,1 m . 24,49 rad/s + 0,029929603 m . 24,49 rad/s \right) x(2,5) = 3,181935997 = x(2,5) = 0,0814 m F = -K \cdot x_\text{final} = -65,12 N UNISOCIESC Educação e Tecnologia ( ) Prova ( ) Prova Semestral Nota: (x) Exercícios ( ) Segunda Chamada ( ) Prova Modular ( ) Prova de Recuperação ( ) Prática de Laboratório ( ) Exame Final/Exame de Certificação ( ) Aproveitamento Extraordinário de Estudos Disciplina: _____________ Turma: Professor: _________ Data: Aluno (a): _______________ 2.35 Um volante está montado em um eixo vertical, como mostra a Figura 2.65. O eixo tem diâmetro d e comprimento l e é fixo em ambas as extremidades. O peso do volante é W, e seu raio de giro é r. Determine a frequência natural das vibrações longitudinal, transversal e torcional do sistema. Volante Eixo b = l - a RQ 0501 Rev. 14 Página 1 de 2 Exercício 1 W_1: parte do peso no comprimento a W_2: W - W_1: parte do peso no comprimento b x = \frac{W_1 a}{AE} = alongamento do comprimento a y = \frac{(W - W_1)(l - a)}{AE} = encurtamento em b E = módulo do alongamento \frac{L}{\pi d^2/4} como x = y, temos W_1 = W \frac{(l - a)}{l} x = \frac{Wa(l - a)}{AE l} Considere o comprimento definido e b com massa W/g, como uma mola-mola. w_n = \sqrt{\frac{g}{x}} = \sqrt{\frac{9 \lambda AE}{W \Omega(l-a)}}^{1/2} \\ vibração longitudinal Considerando para vibração transversal, constante de mola de uma viga firme com carga fixa o centro K = \frac{3EI}{\frac{b^3}{2}} = \frac{3EI}{a^3(l-a)^2} w_m = \sqrt{\frac{K}{m}} = \sqrt{\frac{3EI \sigma_3}{W \alpha^2 (l-a)^2}}^{1/2} \ \ \ \ com momento de inércia igual I_s = \pi d^4/64 Se ó a valete permiu uma diferença angular traquea nos comprimentos a e b são GJΘ_ a_ e GJΘ_ b_momento M_t = GJ (1/a + 1/b) Θ K_t = M_t/ Θ = GJ (1/a + 1/b) onde J_o = π d^4/ 32 momento de inércia ω_n = (K_t/ J_o - GJ/ J_o ( 1/a + 1/b))^(1/2) // J_o momento de inércia 2.143* Uma turbina hidráulica de 1.000 kg de massa e 500 kg/m^2 de momento de inércia de massa é montada em um eixo de aço, como mostra a Figura 2.101. A velocidade operacional da turbina é 2.400 rpm. Admitindo que as extremidades do eixo sejam fixas, determine os valores de l, a e d, tais que a frequência natural de vibração da turbina em cada uma das direções axial, transversal e circunferencial seja maior que a velocidade operacional da turbina. Exemplo 2. m = 1000 kg J_o = 500 kg/m^2 v = 2400 rpm ω_o = 2400 . 2π/60 = 251,3274 rad/s ω_n axial = (g l A E / W_a(l-a))^(1/2) ≥ ω_o (I) ω_n transversal = (3EI^3 σ g /W a^2(l-a)^2)^(1/2) ≥ ω_o (II) ω_n circunferencial = (GJ/ J_o (1/a + 1/(l-a)))^(1/2) ≥ ω_o (III) onde A = π d^2/4 W = 1000 x 9.81 = 9810 N I = π d^4/64 J = π d^3/32 , J_o = 500 kg/m^2 E = 20 x 10^9 N/m^2 (Aço) G = π 9,3 x 10^9 N/m^2 o termo l, a e podem ser obtidos substituindo os valores nas equações I, II e III.