Questões Álgebra Linear

1) Consideremos a transformação, linear T:ℝ²→ℝ² definida por T(x,y) = (3x - 2y, x + 4y). Utilizar os vetores u =(1,2) e v =(3,-1) para mostrar que T(3u + 4v) = 3T(u) + 4T(v). 2) Dada a transformação linear T:V→W, tal que T(u) = 3u e T(v) = u - v, calcular em função de u e v: a) T(u + v) b) T(3v) c) T(4u - 5v) 3) Dentre as transformações T:ℝ²→ℝ² definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares: a) T(x,y) = (x - 3y, 2x + 5y) b) T(x,y) = (y, x) c) T(x,y) = (x²,y²) d) T(x,y) = (x + 1,y) e) T(x,y) = (y - x, 0) f) T(x,y) = (|x|,2y) g) T(x,y) = (senx,y) h) T(x,y) = (xy, x - x) i) T(x,y) = (3y, -2x) Questao 1. Seja T: ℝ²→ ℝ² ; u = (1,2) e v = (3, -1) T(x, y) = (3x-2y, x+4y) T(3u + 4v) = 3T(u) + 4T(v) Fazendo, 3u = 3(1,2) = (3, 6) e 4v = 4(3,-1) = (12, -4). Então, 3u+4v = [(3, 6) + (12, -4)] = [3+12, 6-4] = [15, 2]. Temos: T(3u+4v) = (15, 2) = (3.15 - 2.2, 15 + 2.4) = (41, 23) T(u) = T(1,2) = (-1,9). Logo 3T(u) = 3(-1,9) = (-3,27) T(v) = T(3,-1) = (11,-1). Logo 4T(v) = 4(11,-1) = (44,-4) (-3,27) + (44,-4) = (41,23) ∴ T(3u+4v) = (41,23) = 3T(u) + 4T(v). Questao 2. Seja T: V → W ; T(u) = 3u e T(v) = u - v, logo a) T(u+v) = T(u)+T(v) = 3u + u - v = 4u - v b) T(3v) = 3T(v) = 3(u - v) = 3u - 3v c) T(4u-5v) = T(4u)-T(5v) = 4T(u)-5T(v)=4.3u-5(u-v)= =12u-5u+5v=7u+5v. Questao 3. Seja T: ℝ²→ ℝ². Considere u = (x₁,y₁) e v = (x₂,y₂) ∈ ℝ² a) T(x,y) = (x-3y,2x+5y) T(u+v) = (x₁,y₁) + (x₂,y₂) = (x₁+x₂-3(y₁+y₂), 2(x₁+x₂)+5(y₁+y₂)) = (x₁+x₂-3y₁-3y₂,2x₁+2x₂+5y₁+5y₂) = (x₁-3y₁,2x₁+5y₁) + (x₂-3y₂,2x₂+5y₂) T(u+v) = T(u) + T(v) é uma transformação linear. b) T(x,y) = (y, x) T(u+v) = (y₁,y₁) + (x₂,y₂) = (y₁+y₂, x₂+x₁) = (y₁, x₁) + (y₂, x₂) T(u+v) = T(u) + T(v) é uma transformação linear. c) T(x,y) = (x²,y²) T(u+v) = (x₁,y₁) + (x₂,y₂) = ((x₁+x₂)², (y₁+y₂)²) = (x₁²+2x₁x₂+x₂², y₁²+2y₁y₂+y₂²) Como os termos 2x₁x₂ e 2y₁y₂ ficaram dependentes, logo T não é transformação linear. d) Considere x = y = c ; temos: T(x,y) = (x+1,y) T(0,0) = (0+1,0) = (1,0) ≠(0,0) Logo a transformação não é linear. e) T(x,y) = (y-x,0) T(u+v) = (x₁,y₁) + (x₂,y₂) = (y₁+x₁-(x₁+x₂),0) = (y₁-y₂-x₁-x₂,0) = (y₁-x₁,0) + (y₂-x₂,0) T(u+v) = T(u) + T(v) é uma transformação linear. Questão 3. f) T(x,y)= (|x|,2y), T(u+v)= (x1,y1) + (x2,y2) = (|x1+x2|,2(y1+y2)) Pela propriedade modular, temos: |x1+x2| ≤ |x1| + |x2| Não vale para toda igualdade. Logo T não é transformação linear. g) T(x,y)= (senx,y) T(u+v)= (x1,y1) + (x2,y2) = (sen(x1+x2),y1+y2) Pelo fato de sen(x+x2)≠ senx1 + senx2, a transformação não é linear. h) T(x,y)= (xy,y-x) T(u+v)= (x1,y1) + (x2,y2) = ((x1+x2)(y1+y2),(x1+x2)-(y1+y2)) = (x1y1 + x1y2 + y1x2 + x2y2, x1+x2- y1-y2) = (xy1 + 2xy2 + y1x2, x1+x2-y-y1-y2) Por causa do termo 2xy2, a transformação não é linear. i) T(x,y)= (3y,-2x) T(u+v)= (x1,y1) + (x2,y2) = (3(y1+y2), -2(x1+x2)) = (3y1+3y2,-2x1-2x2) = (3y1-2x1)+(3y2-2x2) T(u+v)= T(u) + T(v) é uma transformação linear.