Lista Resolvida-2023-2

2. Um cilindro metálico está conectado a dois reservatórios térmicos a temperaturas diferentes, como mostrado na figura ao lado. O cilindro é composto, tendo uma parte de cobre e outra de alumínio, e a parte de alumínio é duas vezes mais longa que a de cobre. Qual é a temperatura T na junção entre os dois metais? Obs. As condutividades térmicas do alumínio e do cobre a temperatura ambiente são: kAl = 237W/mK e kCu = 398W/mK. T2 60°C 20°C dl T Cu Al Fluxo de Calor Por continuidade, o fluxo de Calor na junção é igual independente do sentido. O calor flui do reservatório quente para o frio Logo, temos que: dQ/dt l1 = Ak1/l1 (T1 - T) Quente e dQ/dt l2 = Ak2/l2 (T2 - T) Frio Na junção vale: dQl/dt = dQ2/dt => Ak1/l1 (T1 - T) = Ak2/l2 (T - T2) => T1 - T = (k2/k1 l1/l2) (T - T2) => (k2/k1 l1/l2) T + T = T1 + (k2/k1 l1/l2) T2 => T [(k2/k1 l1/l2) + 1] = T1 + (k2/k1 l1/l2) T2 Logo: T= T1/1 + k2l1/k1l2 T2/1 + k2l1/k1l2 = T1k1l2 + T2k2l1/k1l2 + k2l1 = T1k1l2 + T2k2l2/k1l2 + k2l1 T= (T1k1 + 2 T2k2)/(k1 + 2 k2) ≈ 323,823K ≈ 50,8°C 10. Um mol de um gás ideal, com γ = 7/5, está contido em um recipiente, inicialmente a 1atm e 300K. O gás é, sucessivamente: (i) comprimido isobaricamente até 3/4 do volume inicial V0; (ii) aquecido, a volume constante, até voltar à temperatura inicial; (iii) expandido a pressão constante até voltar ao volume inicial; (iv) resfriado, a volume constante, até voltar à pressão inicial. (a) Desenhe o diagrama PV associado. (b) Determine o trabalho para cada processo e para o ciclo inteiro. (c) Calcule as temperaturas máxima e mínima atingidas. (d) Calcule o calor para cada processo e para o ciclo inteiro. 17. A figura no lado mostra um ciclo realizado por um sistema, representado em um diagrama de temperatura T(K) como função da entropia S(J/K). (a) Calcule o calor absorvido pelo sistema no processo de expansão isotérmica de até b. (b) Calcule o calor exidido pelo sistema na contração isotérmica de c até d. (d) Determine o trabalho realizado pelo sistema no ciclo completo. (d) Faça uma discussão sobre o conceito de entropia. a) Note que: (a): T_a = 350K e S(a) = 0,05 µ/K. A entropia e a quantidade de calor se associam por: dS = \frac{dQ}{T} => Q = \int_a^b T\,dS = 350 \int_a^b dS = 350 \cdot (S(b) - S(a)) = 350 \cdot (0,35 - 0,05) = 350 \cdot \frac{3}{10} = 105J \therefore Q = 105J \ absorvidos b) É análogo ao anterior mas indo de c -> d dS = \frac{dQ}{T} => Q = \int_c^d T\,dS = 150\int_c^d dS = 150 \cdot (S(c) - S(c)) = 150\cdot (0,05 - 0,35) = -150\cdot \left(\frac{3}{10}\right) = -45J \therefore Q = -45J \ absorvidos. A entropia é uma quantidade física que não pode ser medida diretamente em laboratório e é associa- da ao grau de incerteza/desordem de um sistema que pode ser visto via Teorema de Liouville. Ademais, essa grandeza Termodinâmica possui a característica de ser sempre monotonicamente não decrescente, o que é expressado pela segunda lei da termodinâmica que garante que a entropia de um sistema fechado sempre aumenta. Além disso, a entropia pode ser empregada como uma função que descreve a informação de um sistema termodinâmico ao passo que podemos escrevê-la como função de variáveis que podem ser medidas em laboratório por exemplos S=S(P,V,T). P0 = 0.101atm = 0.101 · 101325Pa = 10233.825Pa ln(P0) = 9.233453689355631 P1 = 0.139atm = 0.139 · 101325Pa = 14084.175000000001Pa ln(P1) = 9.552807105645064 P2 = 0.202atm = 0.202 · 101325Pa = 20467.65Pa ln(P2) = 9.926600869915577 P3 = 0.361atm = 0.361 · 101325Pa = 36578.325Pa ln(P3) = 10.507211130847253 P4 = 0.952atm = 0.952 · 101325Pa = 96461.4Pa ln(P4) = 11.476898207305737 V 0 = 2.5l = 2.5 · 0.01m3 = 0.025m3 e ln(V 0) = −3.6888794541139363 V 1 = 2.02l = 2.02 · 0.01m3 = 0.0202m3 e ln(V 1) = −3.902072674574978 V 2 = 1.48l = 1.48 · 0.01m3 = 0.0148m3 e ln(V 2) = −4.213128098212068 V 3 = 1.01l = 1.01 · 0.01m3 = 0.0101m3 e ln(V 3) = −4.595219855134923 V 4 = 0.5l = 0.5 · 0.01m3 = 0.005m3 e ln(V 4) = −5.298317366548036 Logo, temos que: m = \frac{nS_{xy} - S_y S_x}{nS_{xx} - (S_x)^2} = \frac{5 \cdot -222.25008051881346 - (-50.69697100306926) \cdot (-21.697617448583944)}{5 \cdot (95.77266350928343 + 21.697617448583944^2)} = -1.3925116781653244 b = \frac{S_x^2 - \frac{S_y S_x}{n}}{S_{xx} - (S_x)^2} = \frac{5 \cdot 95.77266350928343 - (-222.25008051881346) \cdot (-21.697617448583944)}{5 \cdot (95.77266350928343 + 21.697617448583944^2)} = -1.3925116781653244 Dai, o gráfico pedido é b) O valor de b pode ser obtido tendo em vista que: o gráfico do ajuste linear é: y = mx + b => \ln(P) = m\ln(V) + b Logo: => \ln(P) = \ln(V^m) + b => \ln(P) - \ln(V^m) = b => \ln(\frac{P}{V^m}) = b => \frac{P}{V^m} = e^b \ \ \ \ \ \ \ (i) Logo \int_{P_o}^{P_i} \frac{dP}{P} = -γ \int_{V_o}^{V_i} \frac{dV}{V} \ln(P_i) - \ln(P_o) = - (\ln(V_i) - \ln(V_o)) \gamma \ln(\frac{P_i}{P_o}) = - \gamma \ln(\frac{V_i}{V_o}) \ln(\frac{P_i}{P_o}) = \ln\left[\left(\frac{V_i}{V_o}\right)^{-γ}\right] => \frac{P_i}{P_o} = \frac{V_o}{V_i}^{\gamma} Assim, temos que: ρ \cdot VV = ρ_o V_o^γ = constante Consequência: PV^{\gamma} = constante, P \cdot V^m = e^b tomando P e V tais que (i)',(ii') e ideia verifica. temos: PV^γ = PV^m => γ = -m ≅ 1,3925 > 1 Logo, o gás não é monodático (γ = 1,66) ou diatâmico (γ = 1,4 é próximo) logo ele é poliatômico. A temperatura com \( V = 2.02 e P = 0.139 T = \frac{2.02 - 0.139}{0.0104 * 0.08205} = 329.0442038156847 K \) A temperatura com \( V = 1.48 e P = 0.202 T = \frac{1.48 - 0.202}{0.0104 * 0.08205} = 350.34924220662826 K \) A temperatura com \( V = 1.01 e P = 0.361 T = \frac{1.01 - 0.361}{0.0104 * 0.08205} = 427.2840200628135 K \) A temperatura com \( V = 0.5 e P = 0.952 T = \frac{0.5 - 0.952}{0.0104 * 0.08205} = 557.8212159564994 K \) Onde usamos as unidades de atm para P e l para V. Com isso, vemos que a temperatura diminui na expansão do gás. Como \( y = \frac{7}{5} \) o gás é diatômico. Condições iniciais do Problema a) Descrição dos Processos: i) Compressão isobárica: \( V_0 \to \frac{3}{4} V_0 \) com \( P \) constante ii) Aquecido com \( V \) constante até \( T_1 \to T_0 \) (iii) Expansão com \( P \) constante \( V_1 \to V_0 \) (iv) Resfriado a \( V \) constante até \( P_0 \) \( P_0 = 1 \text{ atm} \) \( T_0 = 300 K \) b) Os trabalhos são: \( W_{total} = 0 \) pois temos um ciclo. \( W_{(ii)} = W_{(iv)} = 0 \) pois são feitos a Volume constante. \( W_{(i)} = P \cdot \Delta V = P_0 (\frac{3}{4} V_0 - V_0) = -\frac{P_0 V_0}{4} = -\frac{V_0}{4} \) \( W_{(iii)} = P \Delta V = P_0 (V_0 - \frac{3}{4} V_0) = \frac{P_0 V_0}{4} = \frac{V_0}{4} \) c) A temperatura \( T \) é tal que: \( PV = nRT \Rightarrow T = \frac{PV}{nR} \). Agora veja. Processo (i): \( \frac{P_0 V_0}{T_0} = \frac{P_0 V_1}{T_1} \Rightarrow \frac{P_0 V_0}{T_0} = \frac{3P_0 V_0}{4T_1} \Rightarrow T_1 = \frac{3}{4} T_0 \) Processo (ii): \( \frac{3}{4} \frac{P_1 V_0}{T_1} = \frac{3}{4} \frac{P_1 V_0}{T_2} \Rightarrow \frac{P_0}{T_1} = \frac{P_1}{T_2} \Rightarrow T_2 = \frac{P_1}{P_0} T_1 > T_1 \) Processo (iii): \( \frac{3}{4} \frac{P_1 V_0}{T_2} = \frac{V_0 P_1}{T_3} \Rightarrow \)\([...]\)\n A maior temperatura é aquela atingida quando \( P = P_1 \) e \( V = V_0 \). Logo, do processo 3 temos \( T_{max} = T_3 = \frac{4}{3} T_2 = \frac{4}{3} T_0 = \frac{4}{3} 300 = 400 K \). A mínima ocorre se \( V = \frac{3}{4} V_0 \) e \( P = P_0 \) em (i). Logo: \( T_{min} = T_1 = \frac{3}{4} T_0 = \frac{3}{4} (300) = 3 \cdot 75 = 225 K \). Cálculo de \( nR \) com base no ponto \((P_0, V_0, T_0)\): \( (PV = nRT)_0 \Rightarrow nR = \frac{P_0 V_0}{T_0} = \frac{V_0}{T_0} \). d/ Vamos calcular os calores. Para um gás diatomico (γ=7/5) temos : ΔU = 5/2 nRT Da primeira Lei da termodinâmica temos que: ΔU = Q - W => Q = ΔU + W (ii) e (iv) temos que W=0 pelo item (a) Logo: (iii) Q = ΔU = 5/2 nRT = 5/2 nR To. ∴ Q_(ii) = 5/2 nRTo = 5/2 (Vo/ To)To = 5/2 Vo (iv) Q = ΔU = 5/2 nRT = 5/2 nRT4 = 5/2 nR To. ∴ Q_(iv) = 5/2 nRTo = 5/2 (Vo/to)To = 5/2 Vo. Para (i) e (iii) temos: (i) Q = ΔU + W = 5/2 nRT1 - Vo/4 = 5/2 (Vo/To) (3/4 To) - Vo/4 = (15/8 - 1/4) Vo ∴ Q_(i) = 13/8 Vo. (iii) Q = ΔU + W = 5/2 nRT3 + Vo/4 = 5/2 (Vo/To) (4/3 To) + Vo/4 = (20/3 + 1/4) Vo ∴ Q_(iii) = 43/12 Vo. Para o ciclo temos: Q_total = Q_(ii) + Q_(iii) + Q_(i) + Q_(iv) = 5/2 Vo + 5/2 Vo + 43/12 Vo + 13/8 Vo = 245/24 Vo. [Boxed] Q_tot = 245/24 Vo.