Modelagem e Simulação de Sistemas

MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE SISTEMAS Marcos Costa Hunold 2 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO À MODELAGEM I 3 2 INTRODUÇÃO À MODELAGEM II 35 3 REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS DINÂMICOS 71 4 MODELOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS MECÂNICOS TÉRMICOS E HIDRÁULICOS 110 5 MODELOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS ELÉTRICOS 171 6 ANÁLISE DE SISTEMAS DINÂMICOS LINEARES E INVARIANTES NO TEMPO 198 3 1 INTRODUÇÃO À MODELAGEM I Caros alunos neste bloco apresentaremos alguns conceitos e características importantes sobre o desenvolvimento de modelos matemáticos de sistemas físicos e sua utilização dentro da engenharia Além disso procuraremos neste primeiro momento trabalhar as ferramentas básicas da análise de sistemas dinâmicos muito utilizadas na área de controle de processos quando se deseja projetar o sistema de controle de um sistema físico ou avaliar o comportamento dinâmico de um sistema dispositivo ou equipamento Uma ferramenta muito importante é a Transformada de Laplace e para trabalhar de forma adequada com esta ferramenta pois será necessário ter conhecimento dos números complexos e de funções de variáveis complexas É fundamental que você caro aluno pratique os exercícios indicados nas referências ao longo do texto apresentado e quaisquer dúvidas que você tiver consulte o tutor ou o professor responsável pela disciplina 11 Conceituação e caracterização de modelos matemáticos de sistemas físicos O processo de modelagem implica no desenvolvimento de modelos matemáticos de sistemas físicos que podem ser químicos mecânicos elétricos e suas combinações sistemas biológicos e até sistemas econômicos que representem a realidade ou o comportamento de variáveis importantes destes sistemas Estes modelos são elaborados para demonstrar o comportamento dinâmico do sistema ou seja quando aplicamos uma entrada no sistema que é uma variável ou grandeza física importante no estudo desejamos observar o comportamento da saída do sistema que é influenciado pela entrada em questão Além disso estes modelos matemáticos 4 são utilizados no projeto de controladores dentro da teoria de controle clássico e moderno Tratase de um tema de extrema importância dentro da área de controle assim é imprescindível entender algumas classificações nomenclaturas e metodologias utilizadas para a elaboração de modelos matemáticos de sistemas físicos que em sua maioria são dinâmicos ou seja as grandezas físicas variam com o tempo e posteriormente se o sistema for estável atingem o regime permanente ou estado estacionário representado por um valor final fixo Por serem dinâmicos estes modelos matemáticos são representados em sua maioria por equações diferenciais não lineares conceito que será abordado futuramente Se estas equações puderem ser linearizadas conseguimos a partir de ferramentas matemáticas como a transformada de Laplace obter uma solução que descreve a operação do sistema A abordagem adotada para avaliar a dinâmica de sistemas é dada partindo dos seguintes passos Definir o sistema e seus componentes Formular o modelo matemático e fornecer as hipóteses adotadas na proposta do modelo Definir as equações diferenciais que descrevem o modelo matemático considerando as variáveis de entrada e saída do modelo e se necessário linearizar as equações obtidas Avaliar o comportamento dinâmico das saídas do sistema em função das entradas dadas A solução do modelo pode ser analítica ou por simulação numérica do modelo matemático Examinar se as soluções e as hipóteses estão adequadas para caso necessário revisar o modelo e as hipóteses Quando se tem uma bancada experimental é possível validar o modelo matemático de uma forma mais precisa refinando a solução 5 Como sistemas em sua maioria não são lineares ou possuem efeitos nãolineares como atrito zona morta e histerese tornase importante avaliar a qualidade do modelo frente à complexidade proposta para o mesmo Esse compromisso acontecer de forma que os resultados obtidos tenham um pequeno erro em relação à realidade Neste primeiro momento vamos elaborar algumas definições e classificações para os modelos matemáticos Definição de modelo matemático consiste de um conjunto de equações matemáticas que descrevem o comportamento de um sistema representando os aspectos essências Para que servem Servem para estudar o comportamento dinâmico de um sistema ao longo do tempo tanto para o transitório como para o regime permanente Este estudo é fundamental dentro da teoria de controle que avalia o modelo matemático como possuindo uma saída que tem seu comportamento influenciado por uma entrada visão clássica do controle ou através das variáveis de estado visão moderna do controle que são grandezas associadas às energias cinética e potencial de um sistema físico qualquer A figura 11 ilustra como se obter uma relação entre a entrada e saída de um sistema dentro da visão clássica do estudo de controle onde os modelos matemáticos são utilizados 6 Fonte Autor Figura 11 Processo para determinação de uma representação algébrica de um sistema físico A seguir são apresentados alguns exemplos de sistemas físicos e as suas variáveis de interesse para desenvolvimento de um modelo matemático que representa a dinâmica do sistema Um gerador de vapor onde queremos estabelecer o comportamento do nível de água em função da vazão de água de alimentação A posição angular de um eixo do motor CC em função da tensão de alimentação A temperatura de um forno em função da corrente aplicada em um banco de resistências ou de um ventilador Como se observa existe sempre uma entrada que altera uma saída do sistema A partir daí identificamse os componentes a serem modelados as relações constitutivas destes componentes e as leis físicas para então aplicar o processo de desenvolvimento do modelo matemático Esse processo gera uma equação diferencial que quando linear e a derivadas ordinárias permitem obter uma relação algébrica entre a entrada e saída do sistema conhecida como Função de Transferência Para obtêla devemos aplicar a transformada de Laplace Estas ferramentas matemáticas serão apresentadas adiante Formas de obter um modelo matemático Existem duas formas para se determinar um modelo 7 Modelos teóricos analíticos obtidos a partir das leis físicas e das relações constitutivas Modelos empíricos obtidos a partir de dados experimentais do sistema físico em escala Neste caso o modelo é desenvolvido por método de identificação de sistemas 12 Método de modelagem A partir de um sistema físico a ser estudado identificamse os componentes e efeitos importantes que deverão ser modelados Posteriormente aplicamse as leis físicas que regem o comportamento das variáveis analisadas e determinamse as equações matemáticas do modelo proposto Vejamos um exemplo para obter um modelo matemático a composição de um trem A figura 12 ilustra uma composição com locomotiva e vagão Fonte httpswwwyoutubecomwatchvNOnkTwtVg74t163s Figura 12 Composição de um trem ferroviário Se quisermos estudar o deslocamento destes elementos devemos avaliar a fenomenologia da área da mecânica de translação chamada de dinâmica Podemos isolar a locomotiva e um vagão por exemplo A locomotiva com a sua força motriz movimenta o vagão devido ao engate existente entre os dois componentes da 8 composição Este engate não pode ser rígido inclusive possui uma mola interna e elementos de amortecimento o que é possível notar na figura 13 Fontes httpvfcobraziliajorbr e httpvfcobraziliajorbr respectivamente Figura 13 Engate de trens com elementos internos e foto com o engate fixo Existem então os seguintes efeitos que devem ser considerados atrito nos mancais atrito do ar inércia massa da locomotiva e do vagão acoplamento dos vagões e força motriz da locomotiva Podemos considerar no engate um efeito de mola e um efeito de amortecimento garantindo assim a possibilidade de deslocamentos e velocidades diferenciados entre a locomotiva e o vagão Simplificando o sistema teríamos então duas massas acopladas conforme o esquema da figura 14 9 Fonte Autor Figura 14 Esquema com as massas da locomotiva m1 e do vagão m2 e o acoplamento Este esquema ao incluir a representação com as forças e deslocamentos dos corpos com o objetivo de aplicar as leis de Newton é chamada de Diagrama de Corpo Livre ou simplesmente DCL A figura 15 a seguir apresenta o DCL para as duas massas unidas O acoplamento é modelado com um efeito de mola em paralelo com um efeito de amortecimento Foram incluídos na representação os deslocamentos x1 e x2 a constante da mola k e a constante do amortecedor b e todas as forças presentes exceto as forças devidas ao acoplamento Fonte Autor Figura 15 DCL com os dois corpos unidos pela massa e amortecedor As figuras 16 e 17 apresentam os corpos isolados no DCL para aplicação da segunda lei de Newton m2 m1 v1 v2 10 Fonte Autor Figura 16 DCL para o corpo de massa m1 Aplicando a lei de Newton 𝑭𝒕 𝒎𝟏 𝒂𝟏𝒕 Substituindo as forças e lembrando que o sinal das forças na equação é definido em função do sentido de deslocamento e que 𝒂𝒕 𝒅𝟐𝒙𝟏𝒕 𝒅𝒕𝟐 Teremos a seguinte equação 𝑭𝒕 𝑭𝒂𝒓𝒕 𝑭𝒂𝒕𝟏𝒕 𝑭𝒎𝒐𝒍𝒂𝒕 𝑭𝒂𝒎𝒐𝒓𝒕𝒕 𝒎𝟏 𝒅𝟐𝒙𝟏𝒕 𝒅𝒕𝟐 Utilizando as relações das forças com a variável de interesse neste caso deslocamento do corpo 1 x1t vem que 𝑭𝒂𝒓𝒕 𝒃𝒂𝒓𝒗𝟏𝒕𝟐 𝒏ã𝒐 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒓 𝑭𝒂𝒕𝟏𝒕 𝒃𝟏𝒗𝟏𝒕 𝑭𝒎𝒐𝒍𝒂𝒕 𝒌𝒙𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝑭𝒂𝒎𝒐𝒓𝒕𝒕 𝒃𝒗𝟏𝒕 𝒗𝟐𝒕 Observações 1 A velocidade deve ser expressa em função do deslocamento do corpo pois desejamos uma relação entre a entrada no caso a força motriz Ft e a saída que é o deslocamento do corpo x1t 11 Lembrando que a velocidade é a derivada da posição isto é 𝒗𝒕 𝒅𝒙𝟏𝒕 𝒅𝒕 Podemos expressar a correta equação matemática que fornece o comportamento dinâmico da composição de trens 1 No caso da mola e do amortecedor estas relações citadas são chamadas de relações constitutivas pois estão associadas aos componentes do sistema Já as forças de resistência do ar e do atrito nos mancais atrito dinâmico são efeitos que surgem devido às características físicas de elementos Futuramente apresentaremos os três elementos e esse processo de modelagem em detalhe para sistemas mecânicos translacionais e rotacionais A equação para o corpo de massa m1 fica igual a 𝑭𝒕 𝒃𝒂𝒓𝒗𝟏𝒕𝟐 𝒃𝟏𝒗𝟏𝒕 𝒌𝒙𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝒃𝒗𝟏𝒕 𝒗𝟐𝒕 𝒎𝟏 𝒅𝟐𝒙𝟏𝒕 𝒅𝒕𝟐 Substituindo 𝒗𝟏𝒕 por 𝒅𝒙𝟏𝒕 𝒅𝒕 vemos que 𝑭𝒕 𝒃𝒂𝒓 𝒅𝒙𝟏𝒕 𝒅𝒕 𝟐 𝒃𝟏 𝒅𝒙𝟏𝒕 𝒅𝒕 𝒌𝒙𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝒃 𝒅𝒙𝟏𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒙𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝒎𝟏 𝒅𝟐𝒙𝟏𝒕 𝒅𝒕𝟐 Isolando no primeiro membro todos os termos de deslocamento 𝒎𝟏 𝒅𝟐𝒙𝟏𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝒃 𝒅𝒙𝟏𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒙𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝒃𝒂𝒓 𝒅𝒙𝟏𝒕 𝒅𝒕 𝟐 𝒃𝟏 𝒅𝒙𝟏𝒕 𝒅𝒕 𝒌𝒙𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝑭𝒕 Como se verifica temos duas saídas 𝒙𝟏𝒕 𝒆 𝒙𝟐𝒕 Se quisermos analisar o comportamento destas variáveis será necessário obter uma segunda equação a partir da análise de forças do corpo de massa m2 Observando o DCL para o corpo m2 12 Fonte Autor Figura 17 DCL para o corpo de massa m2 Aplicando as leis de Newton e lembrando que o corpo m2 não está sujeito a força motriz Ft e a força de resistência do ar vemos que 𝑭𝒂𝒕𝟐𝒕 𝑭𝒎𝒐𝒍𝒂𝒕 𝑭𝒂𝒎𝒐𝒓𝒕𝒕 𝒎𝟐 𝒅𝟐𝒙𝟐𝒕 𝒅𝒕𝟐 Substituindo as forças pelas relações com o deslocamento dos corpos e as velocidades teremos 𝒃𝟐𝒗𝟐𝒕 𝒌𝒙𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝒃𝒗𝟏𝒕 𝒗𝟐𝒕 𝒎𝟐 𝒅𝟐𝒙𝟐𝒕 𝒅𝒕𝟐 Substituindo as velocidades pelas derivadas dos deslocamentos 𝒃𝟐 𝒅𝒙𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝒌𝒙𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝒃 𝒅𝒙𝟏𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒙𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝒎𝟐 𝒅𝟐𝒙𝟐𝒕 𝒅𝒕𝟐 Isolando no primeiro membro todos os termos de deslocamento 𝒎𝟐 𝒅𝟐𝒙𝟐𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝒃𝟐 𝒅𝒙𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝒃 𝒅𝒙𝟏𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒙𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝒌𝒙𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝟎 Esta equação juntamente com a equação do corpo um fornece o comportamento dos deslocamentos dos corpos em função das forças Se quisermos analisar o comportamento dinâmico deveremos em primeiro lugar fornecer os valores das 13 constantes da mola do amortecedor das massas e a partir daí proceder pela solução do sistema de equações Neste momento podemos linearizar o termo quadrático e avaliar o comportamento dos deslocamentos em função da força Ft aplicada utilizando a solução analítica através por exemplo da transformada de Laplace ou então avaliar a resposta através da simulação do sistema por método numérico como por exemplo o método de Runge Kutta de ordem 4 Existem programas computacionais para realizar esta simulação como o Matlab o Octave o Scilab dentre outros O processo de simulação e a solução analítica para sistemas dinâmicos serão apresentadas nos próximos blocos A seguir apresentamos algumas definições importantes da área de desenvolvimento de modelos matemáticos 13 Características e classificações de modelos de sistemas dinâmicos Modelos parâmetros distribuídos versus parâmetros concentrados Esta classificação diz respeito à forma da variação espacial das variáveis Os modelos de parâmetros concentrados são assim designados se as variáveis espaciais são desprezíveis e as propriedades não mudam com a posição Por outro lado os modelos de parâmetros distribuídos têm lugar quando as variações espaciais são relevantes Modelo de parâmetro distribuído Exemplo Estudo da temperatura em uma placa unidimensional em função de fluxos de calor de entrada e saída Neste estudo por se tratar de uma placa de espessura ínfima e de comprimento muito maior que a largura L aplicase a equação geral da condução de calor desenvolvida apenas em uma direção Assim se verifica pelo balanço de energia que 14 a temperatura varia em função da posição linear no eixo x ou seja na largura L da placa e também em função do tempo t Desta forma ao montar o modelo matemático inicial do sistema dinâmico proposto verificaremos que a análise deve ser feita com derivadas parciais já que a temperatura é dada em função da posição x A figura 18 ilustra o esquema do fluxo através da placa de largura L Os parâmetros massa M densidade ρ calor específico da placa cp e o coeficiente de condutividade térmica da placa k Fonte Autor Figura 118 Variação da temperatura em uma placa unidimensional em função dos fluxos de calor de entrada e saída A equação obtida a partir da equação geral de condução de calor é dada por 𝒄𝒑𝝆 𝜹𝑻 𝜹𝒕 𝒌 𝜹𝟐𝑻 𝜹𝒙𝟐 𝟎 Com condições de contorno 𝒒𝒙 𝟎 𝒒𝒊𝒏 𝒒𝒙 𝑳 𝒒𝒐𝒖𝒕 15 Com condições iniciais 𝑻𝒙 𝑻𝟎 Onde q representa o fluxo de calor por unidade de área Este modelo calcula a temperatura da placa em qualquer posição x e em qualquer instante de tempo t Modelo de parâmetros concentrados No estudo da temperatura média em uma placa unidimensional em função de fluxos de calor de entrada e saída avaliase a temperatura apenas ao longo do tempo assumindo um modelo simplificado onde a temperatura ao longo de x tem um único valor médio ou 𝑻 Neste caso o equacionamento será dado por 𝑴𝒄𝒑 𝒅𝑻 𝒅𝒕 𝒒𝒊𝒏𝒕𝑨 𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕𝑨 Onde A representa a área da placa unidimensional Como condição inicial temos que 𝑻𝒕 𝟎 𝑻𝟎 Modelos determinísticos e estocásticos Um modelo é determinístico quando tem um conjunto de entradas conhecido e do qual resultará um único conjunto de saídas Assim associam a cada experimento um resultado bem definido enquanto os modelos estocásticos incorporam elementos probabilísticos e os resultados são expressos em termos de probabilidade Exemplos de modelo determinístico a variação da temperatura da água quando se aplica uma taxa de calor conhecida em uma panela ou um movimento de 16 deslocamento vertical de uma suspensão quando o carro passa por uma lombada na pista Exemplos de modelo estocástico o crescimento populacional de um país ou o modelo matemático para representar uma fila de um banco Modelos lineares e modelos nãolineares Os modelos são ditos lineares quando apresentam relações lineares entre as variáveis consideradas no problema e quando satisfazem as propriedades de linearidade caso contrário são classificados como não lineares Estes modelos podem ainda ser considerados explícitos ou implícitos conforme a possibilidade de resolução direta ou a necessidade de aplicação de métodos numéricos Exemplo de modelo nãolinear movimento de um pêndulo A figura 19 apresenta o esquema de um pêndulo e das variáveis de análise do comportamento da posição angular do pêndulo θ em função de um torque externo aplicado τe Para obter o deslocamento angular da massa m em função do torque aplicado deve ser utilizada a segunda lei de Newton para movimentos oscilatórios Obtémse então a equação descrita a seguir 17 Fonte Autor Figura 19 Esquema de um pêndulo com indicação das variáveis de interesse 𝛕𝒕 𝑰 𝜶𝒕 Onde I é o momento de inércia α é a aceleração angular e τ são os torques atuantes no sistema No caso do pêndulo o momento de inércia é dado por 𝑰 𝒎𝒍𝟐 Lembrando que 𝜶𝒕 𝒅𝟐𝜽𝒕 𝒅𝒕𝟐 Ao aplicar o torque externo criase o torque devido a massa na direção oposta ao movimento do corpo Assim a segunda lei de Newton resulta em 𝝉𝒆𝒕 𝒎𝒈𝒔𝒆𝒏𝜽𝒕 𝑳 𝒎𝑳𝟐 𝒅𝟐𝜽𝒕 𝒅𝒕𝟐 Com simples manipulação de variáveis isolase a variável de saída no primeiro membro da equação e chegase a seguinte equação 𝒎𝑳𝟐 𝒅𝟐𝜽𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝒎𝒈𝒔𝒆𝒏𝜽𝒕 𝑳 𝝉𝒆𝒕 Esta equação não é linear pois a variável de saída θ está associa a um seno Trata se de uma equação diferencial de segunda ordem com o termo em θ associado a uma função trigonométrica Podemos até trabalhar com a equação nãolinear mas para a análise analítica do movimento angular do pêndulo com a aplicação da transformada de Laplace e determinação da função de transferência é necessário linearizar tal equação e obter um modelo matemático linearizado 18 Exemplo de modelo linear movimento de um pêndulo linearizado O processo de linearização sempre deve ser feito em torno de um ponto de operação Existe um método geral que utiliza a expansão em série de Taylor DORF2018 e será apresentado a seguir Aqui podemos utilizar como exemplo de modelo matemático linear o mesmo exemplo do pêndulo em torno do ponto de operação dado por 𝜽 𝟎 Neste valor podemos afirmar que 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝜽 isto é para valores de 𝜽 em torno de 𝟎 o seno é aproximadamente igual ao arco confira calculando o seno de um ângulo por exemplo de π400078 A equação do modelo do movimento do pêndulo passa a ser linear e dado por 𝒎𝑳𝟐 𝒅𝟐𝜽𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝒎𝒈𝑳𝜽𝒕 𝝉𝒆𝒕 Modelos estacionários ou estáticos e modelos dinâmicos Os modelos estacionários são aqueles onde as variáveis de interesse não se alteram em função do tempo Os modelos dinâmicos são chamados assim pois as variáveis de interesse se alteram com o tempo Estes últimos representam sistemas físicos onde existe um transitório para as variáveis de interesse até que o sistema entra em regime permanente ou estado estacionário caso seja estável Tais sistemas são representados por modelos matemáticos com equações diferenciais conforme vimos nos exemplos anteriores Modelos com variáveis discretas ou modelo discreto e modelos com variáveis contínuas ou modelo contínuo Os modelos com variáveis discretas são aqueles em que as variáveis têm um número contável entre quaisquer dois valores Já os modelos com variáveis contínuas são aqueles em que as variáveis numéricas têm um número infinito de valores entre dois valores quaisquer 19 Como exemplo de modelo discreto é o modelo para representar o fluxo de carros em uma via Já o exemplo de modelo contínuo é o modelo do fluxo de água em uma tubulação Modelos de sistemas invariantes no tempo contínuo ou discreto e modelos de sistemas variantes no tempo Considere um sistema representado pela sua relação entradasaída isto é uma entrada ut leva a uma saída yt em tempo contínuo Pode ser uma relação dada por uma função linear ou até por uma equação diferencial Um sistema é dito invariante no tempo quando com a evolução do período ainda que as variáveis evoluam a relação entre elas se mantém constante Em contrapartida quando não existe a invariância no tempo além de as variáveis evoluírem as relações entre elas não se mantêm as mesmas à medida que o tempo passa Esta invariância independe da natureza do tempo ou seja do modelo ser em tempo contínuo ou em tempo discreto A característica de variância pode ocorrer em um sistema normalmente invariante no tempo como por exemplo no sistema de suspensão de um veículo ilustrado na figura 110 dada a seguir Se a constante da mola variar com o tempo ou a constante do amortecedor variar com tempo teremos um sistema variante no tempo Embora o sistema continue funcionando razoavelmente bem ele terá um comportamento diferente a cada momento uma vez que as características de força dos componentes além de variarem com o deslocamento do corpo para a mola e com a velocidade para o amortecedor irão variar em função destes parâmetros No nosso dia a dia as variações destes parâmetros são muito pequenas a não ser quando o amortecedor ou a mola apresentam algum problema defeito ou estão no fim da sua vida útil 20 Linearização de modelos matemáticos de sistemas físicos Os sistemas dinâmicos em geral dentro de uma faixa ampla de valores das variáveis analisadas são nãolineares Por exemplo o sistema de suspensão de uma roda de um veículo representado por uma massa mola e amortecedor ilustrado na figura 110 Fonte Autor Figura 110 Representação da suspensão de uma roda de um veículo Em geral definemse relações lineares para representar a força de um amortecedor Isto é válido apenas para uma pequena faixa de valores Outro fator a ser considerado é que a mola segue a lei de Hooke dentro de uma variação no deslocamento onde ocorre apenas a deformação elástica Caso a força seja elevada pode ocorrer uma deformação plástica permanente Um sistema para ser considerado como linear em termos de entrada e saída deve satisfazer o princípio da superposição de efeitos e a propriedade da homogeneidade O princípio da superposição de efeitos diz dado um sistema qualquer em repouso que quando sujeito a uma entrada u1 produz uma saída y1 e quando sujeito a uma outra entrada u2 produz uma segunda saída y2 o princípio da superposição é válido para o sistema se quando for aplicada uma entrada igual a u1u2 produzir uma saída y1y2 21 A propriedade da homogeneidade diz Dado um sistema qualquer em repouso que quando é sujeito a uma entrada u1 produz uma saída y1 o sistema segue a propriedade se quando for aplicada uma entrada βu1 produzir uma saída βy1 Para o exemplo anterior onde foi considerada a força de resistência do ar na análise do movimento de translação da composição locomotivavagão verificouse que se tratava de uma relação nãolinear já que não segue o princípio da superposição de efeitos 𝑭𝒂𝒓𝒗 𝒃𝒂𝒓𝒗𝟐 𝑭𝒂𝒓𝟏𝒗𝟏 𝒃𝒂𝒓𝒗𝟏 𝟐 𝒆 𝑭𝒂𝒓𝟐𝒗𝟐 𝒃𝒂𝒓𝒗𝟐 𝟐 𝒍𝒐𝒈𝒐 𝑭𝒂𝒓𝟏𝒗𝟏 𝑭𝒂𝒓𝟐𝒗𝟐 𝒃𝒂𝒓𝒗𝟏 𝟐 𝒗𝟐 𝟐 Como podemos ver o resultado da soma das forças é diferente da força de resistência devido à soma de velocidades v1 e v2 𝑭𝒂𝒓𝟏𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒃𝒂𝒓𝒗𝟏 𝒗𝟐𝟐 Assim se desejarmos linearizar a relação devemos aplicar a seguinte metodologia para a relação apresentada 𝑭𝒂𝒓𝒗 𝒃𝒂𝒓𝒗𝟐 Para ilustrar esta relação ao longo da variação da velocidade de 0 a 5ms foi criado um gráfico apresentado na figura 111 Foi proposto também um ponto de operação onde será feita a linearização e traçada a reta tangente à curva neste ponto de operação 22 Fonte Autor Figura 111 Gráfico da relação entre a velocidade do corpo e a força de resistência do ar O ponto de linearização escolhido é 39 ou v0 3ms e Farv0 9N A função do exemplo tem o coeficiente de arrasto bar 1 Em torno desse valor podemos aproximar a relação nãolinear pela relação dada pelo truncamento da série de Taylor na primeira ordem isto é 𝑭𝒂𝒓𝒗 𝒃𝒂𝒓𝒗𝟐 𝑭𝒂𝒓𝒗𝟎 𝒅𝑭𝒂𝒓𝒗 𝒅𝒗 𝒗𝒗𝟎 𝒗 𝒗𝟎 Como 𝑭𝒂𝒓𝒗 𝟏 𝒗𝟐 então teremos 𝒅𝑭𝒂𝒓𝒗 𝒅𝒗 𝒗𝟑 𝒅𝒗𝟐 𝒅𝒗 𝒗𝟑 𝟐𝒗𝒗𝟑 𝟐 𝟑 𝟔 Logo 𝑭𝒂𝒓𝒗 𝟗 𝟔 𝒗 𝟑 𝑭𝒂𝒓𝒗 𝟔𝒗 𝟗 Reta tangente ao ponto de operação 39 23 A função obtida é linear em torno do ponto de operação e está representada pela reta da equação acima Note que a aproximação obtida está relacionada com o ponto de operação e o resultado do modelo linear é válido somente em torno deste ponto Para verificar a qualidade da aproximação analisemos os valores da força para velocidades em torno de 3 ms apresentados na tabela a seguir Tabela 11 Valores da força para velocidades em torno de 3 ms Velocidade 27 28 29 3 31 32 33 Força não linear 729 784 841 9 961 1024 1089 Força linear 720 780 840 9 960 1020 1080 Fonte Autor Como verificado a aproximação para o valor de velocidade de 27ms tem um erro de 123 o que é um valor pequeno e que permite a aproximação Observações 1 Normalmente admitese que os elementos mecânicos e elétricos têm relações lineares para uma faixa ampla de valores de suas variáveis mas o mesmo não se aplica para elementos de modelos de sistemas térmicos fluídicos e de pressão 2 O processo de linearização segue o processo descrito no exemplo e é válido para pequenas variações em torno do ponto de operação dada uma função não linear qualquer fx Qualquer função não linear pode ser expressa por uma expansão em série de Taylor dado por 𝒇𝒙 𝒇𝒙𝟎 𝒅𝒇 𝒅𝒙 𝒙𝒙𝟎 𝒙 𝒙𝟎 𝟏 𝒅𝟐𝒇 𝒅𝒙𝟐 𝒙𝒙𝟎 𝒙 𝒙𝟎𝟐 𝟐 Esta aproximação é na verdade uma expressão polinomial de infinitos termos a calculadora trabalha com esta aproximação com 10 a 20 termos Quando mais termos forem utilizados mais precisa é a aproximação Porém quando se deseja 24 linearizar devemos obter o resultado da série truncando no termo de primeira ordem ou da derivada de fx Assim teremos uma equação linear já que 𝒇𝒙 𝒇𝒙𝟎 𝒅𝒇 𝒅𝒙 𝒙𝒙𝟎 𝒙 𝒙𝟎 𝟏 O termo da derivada da função em x0 corresponde à inclinação da reta tangente que passa pelo ponto de operação Assim a função fx pode ser descrita pela equação 𝒇𝒙 𝒇𝒙𝟎 𝒎𝒙 𝒙𝟎 ou 𝒇 𝒎𝒙 Esta última relação satisfaz as condições para um sistema ser linear 3 No exemplo do movimento do pêndulo o termo não linear era dado pelo torque devido à massa m isto é 𝝉𝒎𝒕 𝒎𝒈𝑳𝒔𝒆𝒏𝜽𝒕 A linearização a ser feita é da função 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒇𝜽𝟎 𝒅𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒅𝜽 𝜽𝜽𝟎 𝜽 𝜽𝟎 𝟏 O ponto escolhido no exemplo foi para 𝜽𝟎 𝟎 𝟎 𝒓𝒂𝒅 o ideal é trabalhar em radianos Neste valor 𝒇𝟎 𝒔𝒆𝒏𝟎 𝟎 Ainda teremos que o coeficiente m será dado por 𝒎 𝒅𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒅𝜽 𝜽𝜽𝟎 𝒄𝒐𝒔𝜽𝜽𝟎 𝐜𝐨𝐬𝟎 𝟏 Portanto em radianos 25 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝟎 𝟏 𝜽 𝟎 𝟏 𝜽 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝜽 Este resultado tem uma boa aproximação para 𝝅 𝟒 𝜽 𝝅 𝟒 Para outro valor de ponto de operação por exemplo 𝜽𝟎 𝝅 𝟒 𝒔𝒆𝒏𝝅 𝟒 𝟎 𝟕𝟎𝟕 𝒎 𝒅𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒅𝜽 𝜽𝜽𝟎 𝒄𝒐𝒔𝜽𝜽𝝅 𝟒 𝐜𝐨𝐬𝝅 𝟒 𝟎 𝟕𝟎𝟕 Teremos a seguinte aproximação 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝟎 𝟕𝟎𝟕 𝟎 𝟕𝟎𝟕 𝜽 𝝅 𝟒 𝟏 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝟎 𝟏𝟓𝟐 𝟎 𝟕𝟎𝟕𝜽 As linearizações apresentadas aqui estão relacionadas com funções nãolineares Quando se aplica a equações diferenciais é importante verificar que não chegaremos a solução da equação se tivermos termos independentes da função como exemplificado acima Nesta situação não podemos aplicar a transformada de Laplace No entanto podemos avaliar pequenas variações em torno do ponto de operação impondo que o sistema estava em regime permanente no ponto de operação estudado 14 Álgebra de números complexos e funções de variáveis complexas definição representações e operações matemáticas Os números complexos dentro da visão de conjuntos englobam o conjunto dos números reais e mais um o conjunto dos números imaginários Assim um número complexo é definido como um par ordenado ab cujo elemento a representa a sua parte real e o elemento b a sua parte imaginária Representação da parte imaginária e o plano complexo 26 A parte imaginária é representada por um valor real multiplicado pelas letras i ou j onde ij𝟏 a letra j é utilizada principalmente quando se trabalha na área de elétrica a fim de distinguir da grandeza corrente que é representada com a letra i Sendo z um número complexo ele será representado pelo par ordenado ab utilizando as representações cartesiana ou retangular a representação polar e a representação na forma de Euler ou Exponencial A figura 112 ilustra a representação de um número complexo no plano cartesiano ou plano complexo Na verdade ele será representado por um ponto e as projeções do ponto nos eixos são o valor de cada elemento do par ordenado Fonte Autor Figura 112 Plano complexo com a representação de um número complexo z As formas efetivas de se representar matematicamente os números complexos estão descritas a seguir Representação Retangular ou Cartesiana Nesta representação o par ordenado é a soma da parte real com a imaginária isto é zabj 27 Onde a é a parte real e b é o valor numérico associado a parte imaginária Exemplo representar graficamente no plano complexo os seguintes números 𝒛𝟏 𝟐 𝟑𝐣 𝒛𝟐 𝟐 𝐞 𝒛𝟑 𝟑𝐣 PLANO COMPLEXO Figura 113 Plano complexo com a representação dos números z1 z2 e z3 Representação Polar Nesta representação trabalhase com o módulo e a fase do número complexo Na representação do número complexo no eixo cartesiano o par ordenado ab retratam as projeções do número no eixo real e no eixo imaginário respectivamente Para a representação polar o número complexo z é representado pelo módulo z que representa a distância do ponto aonde está localizado o número complexo até a origem do plano Esta distância é representada por um segmento de reta A fase representa o ângulo que o segmento de reta forma com o eixo real A figura 114 ilustra este fato Temos então que 28 𝒛 𝒛𝜽 ou ou Onde zr é o módulo e 𝜽 é 𝐚 fase Conversão entre a representação polar e retangular Esta conversão é feita observando as relações de Pitágoras no triângulo retângulo formado Retangular para polar 𝒛 𝒂𝟐 𝒃² 𝜽 𝒕𝒂𝒏𝟏 𝒃 𝒂 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝒃 𝒂 Figura 114 Plano complexo com a representação do número z Polar para retangular 𝒂 𝒛 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒃 𝒛 𝐬𝐞𝐧 𝜽 Uma vez calculado o par a b a representação cartesiana é dada por 𝒛 𝒛 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐣𝐬𝐞𝐧 𝜽 Exemplos de exercícios de conversão de representações 𝒂 𝒛𝟏 𝟏 𝒋 𝑷𝒐𝒍𝒂𝒓 Sendo ab1 então 𝒛𝟐 𝟏𝟐 𝟏² 𝟐 𝟏 𝟒𝟏 e 𝜽 𝒂𝒕𝒂𝒏 𝟏 𝟏 𝟒𝟓 Assim 𝒛 𝒛𝜽 𝒛 𝒓𝜽 𝒛𝟏 𝟏 𝟒𝟏𝟒𝟓𝒐 29 A fase pode ser dada em radianos também b 𝒛𝟐 𝟐 𝑷𝒐𝒍𝒂𝒓 Sendo a2 e b0 então 𝒛𝟐 𝟐𝟐 𝟎𝟐 𝟐 e 𝜽 𝒂𝒕𝒂𝒏 𝟎 𝟐 𝟏𝟖𝟎 Assim c 𝒛𝟑 𝟑𝒋 𝑷𝒐𝒍𝒂𝒓 Sendo a0 e b3 então 𝒛𝟑 𝟎𝟐 𝟑² 𝟑 e 𝜽 𝒂𝒕𝒂𝒏 𝟑 𝟎 𝟗𝟎 Assim ou Um exemplo de conversão de polar para retangular a 𝑹𝒆𝒕𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒛𝟒 𝟒 𝐜𝐨𝐬 𝟔𝟎𝒐 𝒋 𝐬𝐢𝐧 𝟔𝟎𝒐 𝒛𝟒 𝟒 𝟏 𝟐 𝒋𝟑 𝟐 𝒛𝟒 𝟐 𝟑 𝟒𝟒𝒋 Representação Exponencial ou de Euler Esta representação utiliza a função exponencial para definir o número complexo Utiliza o módulo e a fase descritos da seguinte forma 𝒛 𝒛 𝒆𝒋𝜽 𝒓 𝒆𝒋𝜽 Onde zr é o módulo e 𝜽 é 𝐚 fase Esta representação é utilizada já que as operações algébricas podem ser trabalhadas na forma exponencial através das propriedades da potenciação Exemplos 𝒛 𝟐 𝒆𝒋𝝅 𝒛 𝟏 𝟒𝟏𝝅𝟒 𝒛 𝟐 𝟗𝟎𝒐 𝒛 𝟐 𝟐𝟕𝟎𝒐 𝒛𝟒 𝟒 𝟔𝟎𝒐 30 Corresponde ao módulo 2 com fase de π ou 1800 Note que esta representação utiliza o módulo e a fase da representação polar mas com a função exponencial Operações Algébricas com Números complexos Soma e subtração preferencialmente trabalhase com a representação retangular Exemplo determine 𝒛𝟑 𝒛𝟐𝒛𝟏 dado que 𝒛𝟐 𝟏𝟎 𝟓𝒋 𝒆 𝒛𝟏 𝟑 𝟑𝒋 𝒛𝟑 𝟏𝟎 𝟓𝐣 𝟑 𝟑𝐣 𝒛𝟑 𝟏𝟑 𝟐𝒋 somar ou subtrair as partes reais e partes imaginárias Multiplicação e divisão preferencialmente trabalhase na representação polar Neste caso devemos multiplicar ou dividir os módulos e somar ou subtrair as fases dependendo se for a operação de multiplicação ou de divisão respectivamente Na representação cartesiana basta multiplicar ou dividir os números complexos Exemplos a Execute 𝒛𝟑 𝒛𝟏 𝒛𝟐 para e b Execute 𝒛𝟒 𝒛𝟏 𝒛𝟐 para os mesmos valores de z1 e z2 𝒛𝟒 𝒛𝟏 𝒛𝟐 𝟑𝟎 𝟑𝟎 𝟏𝟎 𝟓𝟎 𝟑𝟎 𝟏𝟎 𝟑𝟎 𝟓𝟎 𝟑 𝟖𝟎 𝒛𝟒 𝟑 𝟖𝟎 𝒛𝟏 𝟑𝟎 𝟑𝟎𝒐 𝒛𝟐 𝟏𝟎 𝟓𝟎𝒐 𝒛𝟑 𝒛𝟏 𝒛𝟐 𝟑𝟎 𝟏𝟎 𝟑𝟎𝒐 𝟓𝟎𝒐 𝒛𝟑 𝟑𝟎𝟎 𝟐𝟎𝒐 31 Observações Em função de uma melhor apresentação optase por utilizar para a representação polar A fase dada pela notação com a indicação de ângulo 𝒛𝟒 𝟑 𝟖𝟎 É possível multiplicar e dividir na forma retangular Veja o exemplo Execute 𝒛𝟑 𝒛𝟏 𝒛𝟐 dado que 𝒛𝟏 𝟏𝟎 𝟓𝒋 𝒆 𝒛𝟐 𝟑 𝟑𝒋 𝒛𝟑 𝟏𝟎 𝟓𝒋 𝟑 𝟑𝒋 𝟑 𝟑𝒋 𝟑 𝟑𝒋 𝒛𝟑 𝟑𝟎 𝟏𝟓𝒋 𝟑𝟎𝒋 𝟏𝟓𝒋𝟐 𝟗 𝟗𝒋𝟐 Como j2 1 vem que 𝒛𝟑 𝟑𝟎 𝟏𝟓𝒋 𝟑𝟎𝒋 𝟏𝟓 𝟗 𝟗 𝒛𝟑 𝟏𝟓 𝟒𝟓𝒋 𝟏𝟖 𝒛𝟑 𝟓 𝟔 𝟏𝟓 𝟔 𝒋 Se tivermos um número complexo na forma polar e outro na forma retangular qualquer operação irá requerer a conversão de um deles Ela deve ocorrer de forma a facilitar os cálculos Um número complexo importante é o conjugado Exemplificando o conjugado do número complexo 𝒛 𝒂 𝒃𝒋 é igual ao número 𝒛 𝒛 𝒂 𝒃𝒋 Note que ele tem os mesmos valores de parte real e imaginária porém com sinal negativo na parte imaginária As operações com a representação de Euler são feitas lembrando das propriedades da exponencial Por exemplo Dado 𝒛𝟏 𝟐 𝒆𝒋𝝅 𝟐 e 𝒛𝟐 𝟑 𝒆𝒋𝝅 𝟒 Exemplos a O valor do produto de z1 com z2 será igual a 𝒛 𝒛𝟏 𝒛𝟐 𝟐 𝒆𝒋𝝅 𝟐 𝟑 𝒆𝒋𝝅 𝟒 𝟐 𝟑 𝒆𝒋𝝅 𝟐𝝅 𝟒 𝒛 𝟔𝒆𝒋𝟑𝝅 𝟒 b A soma de z1 com z2 será igual a 32 𝒛 𝒛𝟏 𝒛𝟐 𝟐 𝒆𝒋𝝅 𝟐 𝟑 𝒆𝒋𝝅 𝟒 Neste caso devemos converter para a forma cartesiana ou retangular lembrando que 𝒆𝒋𝜽 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒋 𝒔𝒆𝒏𝜽 Dessa forma teremos 𝒛 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝝅 𝟐 𝒋 𝒔𝒆𝒏 𝝅 𝟐 𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝝅 𝟒 𝒋 𝒔𝒆𝒏 𝝅 𝟒 𝒛 𝟐 𝟎 𝒋 𝟏 𝟑 𝟐 𝟐 𝒋 𝟐 𝟐 𝒛 𝒋 𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 𝒋 𝒛 𝒋 𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝒋 𝟐 𝟏𝟐 Finalmente 𝒛 𝟐 𝟏𝟐 𝒋 𝟒 𝟏𝟐 Funções de variáveis complexas Normalmente quando trabalhamos com modelos matemáticos avaliamos as variáveis no tempo sendo estas independentes de funções que representam o comportamento de variáveis de interesse no processo de modelagem Porém quando trabalhamos na engenharia de controle fazemos uso de transformações algébricas que levam as funções do domínio do tempo para o domínio de variáveis complexas isto é representadas através dos números complexos como veremos a seguir Por exemplo dado um número complexo z com parte real e imaginária Uma função de Fz isto é uma função de variáveis complexas poderia ser uma função polinomial exponencial trigonométrica etc Vejamos alguns exemplos 33 1 Função polinomial 𝑭𝒛 𝟏 𝒛𝟐 2 Função racional polinomial 𝑭𝒛 𝟐𝒛𝟐 𝒛 𝟏 𝒛𝟑 𝟏 3 Função exponencial e racional 𝑭𝒛 𝒆𝟎𝟐𝒛 𝒛 𝟑 Observação podemos utilizar outra letra para configurar um número complexo Por exemplo a letra s que é um número complexo dado por 𝒔 𝝈 𝒋𝝎 Onde σ representa a parte real e ω a parte imaginária Podemos ter funções nesta variável independente 1 Função racional 𝑭𝒔 𝟏𝟎 𝒔 𝟏 2 Função racional com exponencial 𝑭𝒔 𝒆𝟐𝒔 𝒔 𝟓𝒔 𝟑 As operações algébricas soma subtração multiplicação e divisão seguem as mesmas regras quando trabalhamos com funções a variáveis reais tomando o cuidado de lembrar quando necessário das operações com números complexos A seguir vamos utilizar a variável complexa s na definição da transformada de Laplace Conclusão 34 Vimos neste bloco os conceitos as características de modelos matemáticos de sistemas físicos e uma ferramenta matemática muito utilizada na análise de sistemas dinâmicos que é a transformada de Laplace Para trabalhar adequadamente com esta ferramenta apresentamos a álgebra com os números complexos e as funções de variáveis complexas É importante que você aluno faça todos os exercícios recomendados e que ao perceber dificuldades na solução busque ajuda do tutor do professor ou mesmo dos livros recomendados em cada bloco Bibliografia Consultada e Recomendada OGATA K Engenharia de Controle Moderno 5a ed São Paulo Pearson 2010 NISE S Engenharia de sistemas de Controle 7ª ed Rio de Janeiro LTC 2017 KLUEVER C A Sistemas dinâmicos modelagem simulação e controle 1ª ed Rio de Janeiro LTC 2018 DORF R C Sistemas de controle modernos 13ª ed Rio de Janeiro LTC 2018 35 2 INTRODUÇÃO À MODELAGEM II Caros alunos nesta etapa daremos continuidade ao bloco anterior É fundamental que você pratique os exercícios indicados nas referências ao longo do texto apresentado Quaisquer dúvidas que você tiver consulte o tutor ou o professor responsável pela disciplina 21 Transformada de Laplace definição propriedades e aplicações na solução de equações diferenciais A Transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que propicia uma mudança de representação de variáveis que são analisadas no tempo tais como temperatura vazão corrente elétrica etc São representadas na variável complexa da transformada conhecida como variável s Esta transformação permite representar funções variadas como função impulso degrau rampa parábola exponenciais senóide e suas compostas em funções algébricas na variável s A diferenciação e integração tornamse operações algébricas com isto é possível resolver uma equação diferencial tanto para o transitório quanto para o regime permanente ou estado estacionário com operações e transformações algébricas sobre funções Esta solução é feita com o uso de tabelas de pares de funções no tempo versus 36 funções na variável da Transformada de Laplace obtidas a partir da definição da Transformada que é apresentada a seguir Além disso representação de sistemas dinâmicos com a transformada de Laplace são utilizadas na área de controle clássico Definição A função ft no domínio do tempo t e ft 0 para todo t0 s uma variável complexa com parte real e imaginária dada por 𝒔 𝝈 𝒋𝝎 𝓛 é o símbolo operacional da Transformada de Laplace operador de Laplace Fs é a Transformada de Laplace da função ft A Transformada de Laplace será definida por 𝓛𝒇𝒕 𝑭𝒔 𝒇𝒕𝒆𝒔𝒕 𝒅𝒕 𝟎 Observações 1 𝓛𝒇𝒕 é uma representação que utiliza o operador de Laplace e deve ser lido como a Laplace de ft e a representação Fs deve ser lida como a transformada de Laplace ou simplesmente Fs É importante observar que 𝓛𝒇𝒕 e 𝑭𝒔 são representações para uma função em s que é a variável independente da transformada de Laplace 2 Calcular a transformada de Laplace é calcular a integral de Laplace da função ft Se a função for complicada tratase de um cálculo difícil de ser feito Assim existem tabelas com o valor de Fs para as principais funções ft que são utilizadas na área de controle Algumas funções utilizadas na análise de sistemas dinâmicos e sua transformada de Laplace Função degrau unitário esta função é muito utilizada na área de controle pois representa uma variação de um valor inicial para um valor final de forma abrupta 37 e em um instante específico Temos em especial a função degrau unitário porque varia de zero para um Ela é denotada por ft 1t e é definida pela seguinte expressão 𝟏𝒕 𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 𝟎 𝟏 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 𝟎 A figura 21 a seguir apresenta o gráfico da função degrau unitário Fonte autor Figura 21 Gráfico da função degrau Cálculo da transformada de Laplace 𝓛𝒇𝒕 𝑭𝒔 𝟏𝒆𝒔𝒕 𝒅𝒕 𝟎 𝒆𝒔𝒕 𝒔 𝟎 𝒆𝒔 𝒔 𝒆𝒔𝟎 𝒔 𝟏 𝒔 Observações 1 Utilizase também o degrau de amplitude A O gráfico é o mesmo mas temos que 𝒇𝒕 𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 𝟎 𝑨 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 𝟎 𝒐𝒖 𝒇𝒕 𝑨 𝟏𝒕 A transforma de Laplace é dada acrescentando o valor de A na transformada de Laplace do degrau unitário isto é 𝓛𝒇𝒕 𝑭𝒔 𝑨 𝟏 𝒔 ft 1t 0 1 38 2 É comum representar as funções com o atraso Para o degrau utilizase a seguinte representação 1t t0 para representar o degrau com um atraso t0 O gráfico da figura 22 ilustra o atraso para t02segundos Fonte autor Figura 22 Gráfico da função degrau atrasada de 2 segundos A expressão matemática é dada por 𝟏𝒕 𝟐 𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 𝟐 𝟏 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 𝟐 O cálculo da transformada de Laplace fica neste caso igual a 𝓛𝒇𝒕 𝑭𝒔 𝟏𝒕 𝟐𝒆𝒔𝒕 𝒅𝒕 𝟐 𝒆𝒔𝒕 𝒔 𝟐 𝒆𝒔 𝒔 𝒆𝒔𝟐 𝒔 𝒆𝟐𝒔 𝒔 Função pulso a função pulso é definida pela diferença entre dois degraus de amplitude At0 um degrau de início em t1 e um segundo degrau em t2 Se t10s e t2t0 for qualquer valor teremos a seguinte expressão para representar a função 𝒇𝒕 𝑨 𝒕𝟎 𝟏𝒕 𝑨 𝒕𝟎 𝟏𝒕 𝒕𝟎 𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 𝟎 𝒆 𝒕 𝒕𝟎 𝑨 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝟎 𝒕 𝒕𝟎 O gráfico desta função é dado na figura 117 2 ft1t 2 1 ts 39 Fonte autor Figura 117 Gráfico da função pulso a partir da diferença de dois degraus O pulso foi desenhado com pontilhado e foi definido pela diferença de dois degraus A transformada de Laplace pode ser calculada através da transformada de Laplace do degrau 𝑭𝒔 𝑨 𝒕𝟎 𝒆𝒔𝒕 𝒅𝒕 𝟎 𝑨 𝒕𝟎 𝟏𝒕 𝒕𝟎𝒆𝒔𝒕 𝒅𝒕 𝒕𝟎 𝑨 𝒕𝟎 𝟏 𝒔 𝒆𝒔𝒕 𝒔 𝒕𝟎 𝑨 𝒕𝟎 𝟏 𝒔 𝒆𝒔𝒕𝟎 𝒔 Função impulso unitário esta função é conhecida como função Delta de Dirac δt e é dada pela seguinte expressão 𝜹𝒕 𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 𝟎 𝒄𝒐𝒎 𝜹𝒕𝒅𝒕 𝟏 A expressão anterior embora utilizada em diversos livros não é a definição da função mas demonstra ideia do comportamento da mesma A figura 24 apresenta o gráfico da função impulso Fonte autor 40 Figura 24 Gráfico da função impulso obtida a partir de um pulso com t0 tendendo a zero A função pode ser obtida da função pulso supondo A1 percebese que a área sob a função pulso é igual a 1 fazendo t0 tender a zero e mantendo a área igual a 1 A amplitude no limite será igual a infinito o que está caracterizado na expressão do impulso unitário A transformada de Laplace da função impulso unitário é então calculada a partir da transformada da função pulso aplicando o limite 𝓛𝜹𝒕 𝓛 𝐥𝐢𝐦 𝒕𝟎𝟎𝒇𝒕 𝐥𝐢𝐦 𝒕𝟎𝟎 𝓛𝒇𝒕 𝐥𝐢𝐦 𝒕𝟎𝟎 𝟏 𝒕𝟎 𝟏 𝒔 𝒆𝒔𝒕𝟎 𝒔 𝐥𝐢𝐦 𝒕𝟎𝟎 𝟏 𝒆𝒔𝒕𝟎 𝒕𝟎𝒔 Este limite só pode ser calculado se aplicarmos a regra de LHospital derivar o numerador e o denominador da expressão com relação à t0 𝓛𝜹𝒕 𝐥𝐢𝐦 𝒕𝟎𝟎 𝒔𝒆𝒔𝒕𝟎 𝒔 𝟏 Função Rampa Unitária esta função é dada pela reta que se inicia na origem e tem coeficiente angular igual a 1 Assim possui a seguinte expressão 𝒇𝒕 𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 𝟎 𝒕 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 𝟎 𝒐𝒖 𝒔𝒊𝒎𝒑𝒍𝒆𝒔𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒇𝒕 𝒕 O gráfico da figura 25 ilustra o comportamento da função rampa unitária no tempo ft 41 Fonte Autor Figura 25 Gráfico da rampa unitária A transformada de Laplace é dada por 𝓛𝒇𝒕 𝑭𝒔 𝒕𝒆𝒔𝒕 𝒅𝒕 𝟎 𝟏 𝒔𝟐 Essa integral é calculada através do método de integração por partes resultando no valor especificado acima A rampa pode ser com coeficiente angular qualquer k alterando portanto a inclinação da reta Neste caso a transformada de Laplace será dada por 𝓛𝒇𝒕 𝑭𝒔 𝒌𝒕𝒆𝒔𝒕 𝒅𝒕 𝟎 𝒌 𝒔𝟐 Função Exponencial a função exponencial é representada pela expressão dada a seguir 𝒇𝒕 𝒆𝒂𝒕 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 𝟎 A transformada de Laplace é calculada pela integral da seguinte exponencial 𝓛𝒇𝒕 𝑭𝒔 𝒆𝒂𝒕𝒆𝒔𝒕 𝒅𝒕 𝟎 𝒆𝒔𝒂𝒕 𝒅𝒕 𝟎 𝒆𝒔𝒂𝒕 𝒔 𝒂 𝟎 𝟏 𝒔 𝒂 Além destas funções trabalham com seno cosseno combinações de funções exponenciais com as trigonométricas dentre outras Para facilitar os cálculos são utilizadas tabelas de transformada de Laplace A seguir temos uma dessas tabelas onde se representa a função em t ft e a correspondente função em s Fs ou simplesmente os pares de transformada de Laplace Além desta tabela apresentamos a tabela das propriedades da transformada de Laplace 42 Observação 1 Condição de existência a transformada de Laplace existe se a integral da transformada converge Isto ocorre se a função ft for contínua por partes em cada intervalo finito correspondente pata t 0 e se ft for de ordem exponencial conforme t tende a infinito isto é caso exista uma constante real σ 0 tal que 𝒆𝝈𝒕 𝒇𝒕 𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 1 As propriedades apresentadas se aplicam no cálculo da transformada de Laplace mas o ponto de interesse aqui é utilizar a transformada de Laplace e suas propriedades para resolver equações diferencias ordinárias a coeficientes constantes e também para determinar a representação de sistemas dinâmicos dada pela função de transferência Tabela 21 Pares de Transformada de Laplace Função ft Função Fs Função ft Função Fs 1 𝜹𝒕 1 12 𝟏 𝒂𝒃 𝟏𝒕 𝟏 𝒂 𝒃 𝒃𝒆𝒂𝒕 𝒂𝒆𝒃𝒕 𝟏 𝒔𝒔 𝒂𝒔 𝒃 2 𝟏𝒕 𝟏 𝒔 13 𝟏 𝒂𝟐 𝟏𝒕 𝒆𝒂𝒕 𝒂𝒕𝒆𝒂𝒕 𝟏 𝒔𝒔 𝒂𝟐 3 𝒕 𝟏 𝒔𝟐 14 𝟏 𝒂𝟐 𝒂𝒕 𝟏𝒕 𝒆𝒂𝒕 𝟏 𝒔𝟐𝒔 𝒂 4 𝒕𝒏𝟏 𝒏 𝟏 𝒏 𝟏 𝟐 𝟏 𝒔𝒏 15 𝒆𝒂𝒕𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 𝝎 𝒔 𝒂𝟐 𝝎𝟐 5 𝒕𝒏 𝒏 𝒔𝒏𝟏 16 𝒆𝒂𝒕𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 𝒔 𝒂 𝒔 𝒂𝟐 𝝎𝟐 6 𝒆𝒂𝒕 𝟏 𝒔 𝒂 17 𝟏𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 𝝎𝟐 𝒔𝒔𝟐 𝝎𝟐 7 𝒕𝒆𝒂𝒕 𝟏 𝒔 𝒂𝟐 18 𝟏 𝒂 𝟏𝒕 𝒆𝒂𝒕 𝟏 𝒔𝒔 𝒂 43 8 𝒕𝒏𝟏𝒆𝒂𝒕 𝒏 𝟏 𝒏 𝟏 𝟐 𝟏 𝒔 𝒂𝒏 19 𝟏 𝒃 𝒂 𝒆𝒂𝒕 𝒆𝒃𝒕 𝟏 𝒔 𝒂𝒔 𝒃 9 𝒕𝒏𝒆𝒂𝒕 𝒏 𝒔 𝒂𝒏𝟏 20 𝟏 𝒃 𝒂 𝒃𝒆𝒃𝒕 𝒂𝒆𝒂𝒕 𝒔 𝒔 𝒂𝒔 𝒃 10 𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 𝝎 𝒔𝟐 𝝎𝟐 21 𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 𝒔𝟐 𝝎𝟐 𝒔𝟐 𝝎𝟐𝟐 11 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 𝒔 𝒔𝟐 𝝎𝟐 22 𝟏 𝟐𝝎 𝒕 𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 𝒔 𝒔𝟐 𝝎𝟐𝟐 Função ft Função Fs 23 𝟏 𝟏 𝝃𝟐 𝝎𝒏𝒆𝝃𝝎𝒏𝒕𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒏𝟏 𝝃𝟐 𝒕 𝟎 𝝃 𝟏 𝝎𝒏 𝟐 𝒔𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 24 𝟏 𝟏 𝝃𝟐 𝒆𝝃𝝎𝒏𝒕𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒏𝟏 𝝃𝟐 𝒕 𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒈 𝟏 𝝃𝟐 𝝃 𝟎 𝝃 𝟏 𝟎 𝝅 𝟐 𝒔 𝒔𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 25 𝟏𝒕 𝟏 𝟏 𝝃𝟐 𝒆𝝃𝝎𝒏𝒕𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒏𝟏 𝝃𝟐 𝒕 𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒈 𝟏 𝝃𝟐 𝝃 𝟎 𝝃 𝟏 𝟎 𝝅 𝟐 𝝎𝒏 𝟐 𝒔𝒔𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 Fonte autor extraída de OGATA 2010 Tabela 22 Propriedades da Transformada de Laplace 44 Fonte extraída de OGATA 2010 Além das propriedades acima com a transformada de Laplace é possível determinar o valor inicial e o valor final de funções na variável s 22 Teoremas do valor inicial e final Para encontrar o valor inicial e final de ft qualquer podese utilizar os teoremas do valor inicial e final respectivamente aplicandose para valor inicial f0 e final f Contudo em elétrica isto denotaria valores segundo o que segue 45 𝒔𝑭𝒔 𝒇𝟎 𝓛 𝒅𝒇 𝒅𝒕 𝒅𝒇 𝒅𝒕 𝒆𝒔𝒕 𝒅𝒕 𝟎 Se analisarmos o resultado da integral o termo exponencial anula se s tender ao infinito Se lembrarmos que f0 não depende de s concluímos que 𝐥𝐢𝐦 𝒔𝒔𝑭𝒔 𝒇𝟎 𝐥𝐢𝐦 𝒔 𝒅𝒇 𝒅𝒕 𝒆𝒔𝒕 𝒅𝒕 𝟎 𝒅𝒇 𝒅𝒕 𝐥𝐢𝐦 𝒔𝒆𝒔𝒕 𝒅𝒕 𝟎 𝟎 Logo o valor inicial f0 para t0s é dado por 𝒇𝟎 𝐥𝐢𝐦 𝒔 𝒔𝑭𝒔 Por outro lado se t tender ao infinito calcularemos o valor final e por analogia do exemplo anterior concluímos facilmente que 𝒇 𝐥𝐢𝐦 𝒔𝟎 𝒔𝑭𝒔 Exemplo calcule o valor inicial e final da função pela transformada de Laplace 𝒙𝒕 𝟏𝒕 𝒕𝒆𝟓𝒕 Solução Obtendo a transformada de Laplace da função 𝓛𝒙𝒕 𝑿𝒔 𝟏 𝒔 𝟏 𝒔 𝟓𝟐 Valor inicial 𝒙𝟎 𝐥𝐢𝐦 𝒔 𝒔𝑿𝒔 𝐥𝐢𝐦 𝒔 𝒔 𝟏 𝒔 𝟏 𝒔 𝟓𝟐 𝐥𝐢𝐦 𝒔 𝟏 𝒔 𝒔 𝟓𝟐 𝟏 𝟎 𝟏 Valor final 𝒙 𝐥𝐢𝐦 𝒔𝟎 𝒔𝑿𝒔 𝐥𝐢𝐦 𝒔𝟎 𝒔 𝟏 𝒔 𝟏 𝒔 𝟓𝟐 𝐥𝐢𝐦 𝒔𝟎 𝟏 𝒔 𝒔 𝟓𝟐 𝒙 𝐥𝐢𝐦 𝒔𝟎 𝒔 𝟓𝟐 𝒔 𝒔 𝟓𝟐 𝐥𝐢𝐦 𝒔𝟎 𝒔𝟐 𝟏𝟎𝒔 𝟐𝟓 𝒔 𝒔𝟐 𝟏𝟎𝒔 𝟐𝟓 𝐥𝐢𝐦 𝒔𝟎 𝒔𝟐 𝟗𝒔 𝟐𝟓 𝒔𝟐 𝟏𝟎𝒔 𝟐𝟓 46 𝒙 𝐥𝐢𝐦 𝒔𝟎 𝒔𝟐 𝒔𝟐 𝐥𝐢𝐦 𝒔𝟎𝟏 𝟏 Cálculo da transformada inversa de Laplace A Transformada Inversa de Laplace evidentemente irá retornar a função ao domínio do tempo qual seja ft onde t0 𝓛𝟏𝑭𝒔 𝒇𝒕 𝑭𝒔𝒆𝒔𝒕 𝒅𝒔 𝒄𝒋 𝒄𝒋 Como verificado é uma integral com os extremos dados por números complexos o que torna o seu cálculo bastante complicado Utilizase novamente a tabela mas no sentido contrário ou seja a partir de Fs chega se em ft Vejamos alguns exemplos Exemplo 1 calcule a transformada inversa ou antitransformada da função dada a seguir 𝑭𝒔 𝟏𝟎 𝒔𝟐 𝟒 Solução ao observar os pares da tabela de transformada verificase que os valores são literais Assim devemos comparar a nossa função em s que tem valores numéricos com aquelas da tabela que tem o termo s ao quadrado e o termo independente Verificase a existência de duas funções o seno e o cosseno Como não há em Fs um termo em s no numerador então devemos associar este exemplo numérico com a transformada do seno par 10 que é dada por 𝒔𝒆𝒏𝝎𝒕 𝝎 𝒔𝟐 𝝎𝟐 Basta então determinar o valor de ω do exemplo numérico Devemos utilizar a comparação do termo do denominador da expressão acima ou seja 47 𝝎𝟐 𝟒 𝝎 𝟐𝒓𝒂𝒅𝒔 Se observamos o numerador existe o valor 10 e não 2 Assim devemos fazer uma simplificação algébrica para chegar no valor de ft 𝑭𝒔 𝟏𝟎 𝒔𝟐 𝟒 𝟓 𝟐 𝒔𝟐 𝟒 O valor 5 é mantido na função ft a partir da propriedade que diz que 𝓛𝑨𝒇𝒕 𝑨𝑭𝒔 Finalmente 𝒇𝒕 𝟓 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 Exemplo 2 calcule a transformada inversa da função dada a seguir 𝑭𝒔 𝟏𝟎 𝒔𝟐 𝟓𝒔 𝟒 Solução para calcular ft sempre que aparecer um trinômio no denominador será necessário calcular as suas raízes De acordo com o valor das raízes você deve avaliar qual será o par a ser utilizado a Raízes reais e diferentes transformase o trinômio em um produto de binômios e utilizase o par 19 da tabela b Raízes reais e iguais neste caso transformase o trinômio em um quadrado perfeito e utilizase o par 7 da tabela c Raízes complexas neste caso devemos utilizar o par 23 identificando o valor de ωn frequência natural e 𝝃fator de amortecimento por comparação de denominadores Vejamos em qual caso o exemplo se encaixa calculando as suas raízes 𝒔𝟐 𝟓𝒔 𝟒 𝟎 48 Por Bhaskara 𝒔𝟏𝟐 𝒃 𝒃𝟐 𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂 𝟓 𝟓𝟐 𝟒 𝟏 𝟒 𝟐 𝟏 𝟓 𝟐𝟓 𝟏𝟔 𝟐 𝟓 𝟗 𝟐 Teremos duas raízes reais e distintas dadas por 𝒔𝟏𝟐 𝟓 𝟑 𝟐 𝒔𝟏 𝟒 𝒔𝟐 𝟏 Logo o denominador de Fs será transformado em um produto de dois binômios 𝑭𝒔 𝟏𝟎 𝒔𝟐 𝟓𝒔 𝟒 𝟏𝟎 𝒔 𝟒𝒔 𝟏 Comparando com o par 19 𝟏 𝒃 𝒂 𝒆𝒂𝒕 𝒆𝒃𝒕 𝟏 𝒔 𝒂𝒔 𝒃 Adotando a4 e b1 e mantendo o valor do numerador de Fs teremos 𝑭𝒔 𝟏𝟎 𝟏 𝒔 𝟒𝒔 𝟏 𝓛𝟏 𝒇𝒕 𝟏𝟎 𝟏 𝟏 𝟒 𝒆𝟒𝒕 𝒆𝟏𝒕 𝒇𝒕 𝟏𝟎 𝟑 𝒆𝟒𝒕 𝒆𝟏𝒕 Exemplo 3 calcule a transformada inversa da função dada a seguir 𝑭𝒔 𝟓 𝒔𝟐 𝟒𝒔 𝟒 Solução neste exemplo teremos as seguintes raízes 𝒔𝟐 𝟒𝒔 𝟒 𝟎 49 Por Bhaskara 𝒔𝟏𝟐 𝒃 𝒃𝟐 𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂 𝟒 𝟒𝟐 𝟒 𝟏 𝟒 𝟐 𝟏 𝟒 𝟏𝟔 𝟏𝟔 𝟐 𝟒 𝟎 𝟐 Teremos duas raízes reais e iguais 𝒔𝟏𝟐 𝟒 𝟎 𝟐 𝒔𝟏 𝟐 𝒔𝟐 𝟐 Teremos então um quadrado perfeito 𝑭𝒔 𝟓 𝒔𝟐 𝟒𝒔 𝟒 𝟓 𝒔 𝟐𝒔 𝟐 𝟓 𝒔 𝟐𝟐 Comparando com o par 7 𝒕𝒆𝒂𝒕 𝟏 𝒔 𝒂𝟐 Adotase a 2 e mantendo o valor do numerador de Fs teremos 𝑭𝒔 𝟓 𝟏 𝒔 𝟐𝟐 𝓛𝟏 𝒇𝒕 𝒕𝒆𝟐𝒕 Exemplo 4 calcule a transformada inversa da função dada a seguir 𝑭𝒔 𝟒 𝒔𝟐 𝟒𝒔 𝟓 Solução neste exemplo teremos as seguintes raízes 𝒔𝟐 𝟒𝒔 𝟓 𝟎 Por Bhaskara 𝒔𝟏𝟐 𝒃 𝒃𝟐 𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂 𝟒 𝟒𝟐 𝟒 𝟏 𝟓 𝟐 𝟏 𝟒 𝟏𝟔 𝟐𝟎 𝟐 𝟒 𝟒 𝟐 Teremos duas raízes complexas 50 𝒔𝟏𝟐 𝟒 𝒋𝟒 𝟐 𝒔𝟏 𝟐 𝒋 𝒔𝟐 𝟐 𝒋 Observação lembre que 𝟒 𝟏 𝟒 𝒋𝟒 𝒐𝒖 𝟒𝒋 Devemos comparar com o par 23 e determinar o valor de ωn e 𝝃 para então determinar ft 𝟏 𝟏 𝝃𝟐 𝝎𝒏𝒆𝝃𝝎𝒏𝒕𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒏𝟏 𝝃𝟐 𝒕 𝝎𝒏 𝟐 𝒔𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 Essa comparação deve ser sempre feita entre os termos dos denominadores 𝒔𝟐 𝟒𝒔 𝟓 𝒆 𝒔𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏 𝟐 Note que o termo em s ao quadrado dos dois trinômios deve ser igual a 1 para podermos comparálos Assim teremos as seguintes relações 𝝎𝒏 𝟐 𝟓 𝝎𝒏 𝟓 𝝎𝒏 𝟐 𝟐𝟑𝟔 𝟐𝝃𝝎𝒏 𝟒 𝝃 𝟒 𝟐𝝎𝒏 𝝃 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐𝟑𝟔 𝟎 𝟖𝟗𝟒 Com estes valores é necessário ainda manipular algebricamente o numerador de Fs 𝑭𝒔 𝟒 𝒔𝟐 𝟒𝒔 𝟓 𝟓 𝟓 𝟒 𝒔𝟐 𝟒𝒔 𝟓 𝟒 𝟓 𝟓 𝒔𝟐 𝟒𝒔 𝟓 Assim a transformada inversa será igual a 𝒇𝒕 𝟒 𝟓 𝟏 𝟏 𝝃𝟐 𝝎𝒏𝒆𝝃𝝎𝒏𝒕𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒏𝟏 𝝃𝟐 𝒕 𝟎 𝟖 𝟏 𝟏 𝟎 𝟖𝟗𝟒𝟐 𝟐 𝟐𝟑𝟔𝒆𝟐𝒕𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝟐𝟑𝟔𝟏 𝟎 𝟖𝟗𝟒𝟐 𝒕 Finalmente 𝒇𝒕 𝟒𝒆𝟐𝒕𝒔𝒆𝒏𝒕 Para obter a transformada de Laplace inversa de funções mais complicadas costumase converter a função em uma soma de termos mais simples as quais estão presentes na 51 tabela os pares de transformada da soma Esse processo é conhecido como expansão em frações parciais Veja situações em que é necessário aplicar a expansão Exemplo 5 calcule a transformada inversa da função dada a seguir 𝑭𝒔 𝒔𝟑 𝟐𝒔𝟐 𝟔𝒔 𝟕 𝒔𝟐 𝒔 𝟓 Solução neste exemplo a ordem do numerador é maior que a do denominador Neste caso devese dividir o numerador pelo denominador até que o resultado apresente um resto com a ordem do numerador inferior ao do denominador Executando a divisão Logo 𝑭𝒔 𝒔 𝟏 𝟐 𝒔𝟐 𝒔 𝟓 Calculando a transformada inversa isto é 𝓛𝟏𝒔 𝟏 𝟐 𝒔𝟐𝒔𝟓 Resulta em 𝒇𝒕 𝒅𝜹𝒕 𝒅𝒕 𝜹𝒕 𝟒 𝟔𝒆𝟎𝟓𝒕𝒔𝒆𝒏𝟐 𝟏𝟖𝒕 Observação a transformada inversa do termo em s em Fs é obtida a partir da transformada da derivada de uma função sendo esta função o impulso unitário 𝓛𝒇𝒕 𝓛𝜹𝒕 𝟏 𝒆 𝓛 𝒅𝒇𝒕 𝒅𝒕 𝒔𝑭𝒔 𝒇𝟎 52 Para o impulso unitário a condição inicial da derivada é nula Logo 𝓛 𝒅𝜹𝒕 𝒅𝒕 𝒔𝓛𝜹𝒕 𝒔 𝟏 𝒔 Portanto 𝓛𝟏𝒔 𝒅𝜹𝒕 𝒅𝒕 Para o trinômio devemos calcular as raízes que serão complexas Daí calcular ωn e 𝝃 e só então utilizar o par 23 Faça os cálculos e verifique a sua resposta Exemplo 6 calcule a transformada inversa da função dada a seguir 𝑭𝒔 𝟐𝒔 𝟏𝟎 𝒔 𝟏𝟎𝒔𝟐 𝟖𝒔 𝟐𝟓 Solução se observarmos a tabela de pares de transformada de Laplace não encontraremos um par que forneça a transformada inversa de Laplace desta função Neste caso devemos aplicar a expansão em frações parciais obtendo a soma de funções em s que estão representadas na tabela 𝑭𝒔 𝒓𝟏 𝒔 𝟏𝟎 𝒓𝟐𝒔 𝒓𝟑 𝒔𝟐 𝟖𝒔 𝟐𝟓 O segundo termo da soma pode ser desmembrado em dois termos que estão representados na tabela par 24 e par 23 respectivamente 𝑭𝒔 𝒓𝟏 𝒔 𝟏𝟎 𝒓𝟐𝒔 𝒔𝟐 𝟖𝒔 𝟐𝟓 𝒓𝟑 𝒔𝟐 𝟖𝒔 𝟐𝟓 Devemos então calcular os valores de r1 r2 e r3 Esse processo pode ser feito de duas formas pelo teorema dos resíduos de Cauchy ou através de regras práticas Vamos apresentar alguns cálculos da expansão em frações parciais através do teorema antes de resolver o exemplo 53 Expansão em frações parciais Uma função Fs dada por 𝑭𝒔 𝑩𝒔 𝑨𝒔 𝒂𝒎𝒔𝒎 𝒂𝒎𝟏𝒔𝒎𝟏 𝒂𝟏𝒔 𝒂𝟎 𝒔 𝒑𝟏𝒔 𝒑𝟐 𝒔 𝒑𝒏 Pode ser reescrita como uma soma de termos associadas as raízes do denominador 𝑭𝒔 𝑩𝒔 𝑨𝒔 𝒓𝟏 𝒔 𝒑𝟏 𝒓𝟐 𝒔 𝒑𝟐 𝒓𝒏 𝒔 𝒑𝒏 Onde r1 r2 rn são chamados de resíduos e p1 p2 pn e são as raízes com sinal trocado do denominador Estas raízes podem ser reais e distintas reais e diferentes e complexas Para cada situação teremos um tipo de cálculo para determinação dos resíduos Caso 1 raízes reais distintas Os resíduos são calculados através da expressão dada a seguir 𝒓𝒌 𝒔 𝒑𝒌 𝑩𝒔 𝑨𝒔 𝒔𝒑𝒌 Este caso pode ser aplicado no exemplo 6 para determinar o valor de r1 𝒓𝟏 𝒔 𝒑𝟏 𝑩𝒔 𝑨𝒔 𝒔𝒑𝟏 𝒔 𝟏𝟎 𝟐𝒔 𝟏𝟎 𝒔 𝟏𝟎𝒔𝟐 𝟖𝒔 𝟐𝟓 𝒔𝟏𝟎 𝟐 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟐 𝟖𝟏𝟎 𝟐𝟓 𝒓𝟏 𝟐𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟖 𝟎 𝟐𝟓 𝟏𝟎 𝟒𝟓 𝟐 𝟗 Caso 2 raízes complexas conjugadas 54 Os resíduos podem ser calculados como no caso 1 considerando que as raízes são complexas o que torna o cálculo mais trabalhoso Assim preferese manter o trinômio e no numerador devemos utilizar dois termos em s e o termo independente e daí determinar dois resíduos No exemplo 6 teremos 𝟐𝒔 𝟏𝟎 𝒔 𝟏𝟎𝒔𝟐 𝟖𝒔 𝟐𝟓 𝒓𝟏 𝒔 𝟏𝟎 𝒓𝟐𝒔 𝒓𝟑 𝒔𝟐 𝟖𝒔 𝟐𝟓 Para 𝒓𝟏 𝟐 𝟗 vemos que Podemos então comparar os termos do numerador 𝟗𝟐𝒔 𝟏𝟎 𝟐𝒔𝟐 𝟖𝒔 𝟐𝟓 𝟗𝒓𝟐𝒔 𝒓𝟑𝒔 𝟏𝟎 𝟏𝟖𝒔 𝟗𝟎 𝟐𝒔𝟐 𝟏𝟔𝒔 𝟓𝟎 𝟗𝒓𝟐𝒔𝟐 𝟏𝟎𝒓𝟐𝒔 𝒓𝟑𝒔 𝟏𝟎𝒓𝟑 𝟏𝟖𝒔 𝟗𝟎 𝟐 𝟗𝒓𝟐𝒔𝟐 𝟗𝟎𝒓𝟐 𝟗𝒓𝟑 𝟏𝟔𝒔 𝟓𝟎 𝟗𝟎𝒓𝟑 Por comparação dos dois membros da expressão acima vem que 𝟐 𝟗𝒓𝟐 𝟎 𝟏 𝟗𝟎𝒓𝟐 𝟗𝒓𝟑 𝟏𝟔 𝟏𝟖 𝟐 𝟓𝟎 𝟗𝟎𝒓𝟑 𝟗𝟎 𝟑 De 1 vem que 𝒓𝟐 𝟐𝟗 De 3 vem que 𝟗𝟎𝒓𝟑 𝟏𝟒𝟎 𝒓𝟑 𝟏𝟒𝟗 A equação 2 pode ser utilizada para verificar os valores dos resíduos 𝟗𝟎 𝟐 𝟗 𝟗 𝟏𝟒 𝟗 𝟏𝟔 𝟐𝟎 𝟏𝟒 𝟏𝟔 𝟏𝟖 Assim 55 𝑭𝒔 𝟐𝒔 𝟏𝟎 𝒔 𝟏𝟎𝒔𝟐 𝟖𝒔 𝟐𝟓 𝟐 𝟗 𝟏 𝒔 𝟏𝟎 𝟐 𝟗 𝒔 𝟏𝟒 𝟗 𝒔𝟐 𝟖𝒔 𝟐𝟓 𝟐 𝟗 𝟏 𝒔 𝟏𝟎 𝒔 𝟕 𝒔𝟐 𝟖𝒔 𝟐𝟓 O primeiro termo tem transformada inversa dada pelo par 6 sendo igual a 𝓛𝟏 𝟐 𝟗 𝟏 𝒔 𝟏𝟎 𝟐 𝟗 𝒆𝟏𝟎𝒕 O segundo termo da expressão pode ser calculado de duas formas Utilizando os pares 15 e 16 da tabela e manipulação algébrica 𝓛𝟏 𝝎 𝒔 𝒂𝟐 𝝎𝟐 𝒆𝒂𝒕𝒔𝒆𝒏𝝎𝒕 𝓛𝟏 𝒔 𝒂 𝒔 𝒂𝟐 𝝎𝟐 𝒆𝒂𝒕𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕 Tomando o denominador de 𝒔𝟕 𝒔𝟐𝟖𝒔𝟐𝟓 vem que 𝒔𝟐 𝟖𝒔 𝟐𝟓 𝒔 𝟒𝟐 𝟗 Assim teremos a seguinte manipulação algébrica 𝒔 𝟕 𝒔𝟐 𝟖𝒔 𝟐𝟓 𝒔 𝟒 𝟑 𝒔 𝟒𝟐 𝟗 𝒔 𝟒 𝒔 𝟒𝟐 𝟗 𝟑 𝒔 𝟒𝟐 𝟗 Calculando a transformada inversa dos dois termos finais 𝓛𝟏 𝒔 𝟒 𝒔 𝟒𝟐 𝟗 𝒆𝟒𝒕𝒄𝒐𝒔𝟑𝒕 𝓛𝟏 𝟑 𝒔 𝟒𝟐 𝟗 𝒆𝟒𝒕𝒔𝒆𝒏𝟑𝒕 Desta forma ft será dado por 𝒇𝒕 𝟐 𝟗 𝒆𝟏𝟎𝒕 𝟐 𝟗 𝒆𝟒𝒕𝒄𝒐𝒔𝟑𝒕 𝟐 𝟗 𝒆𝟒𝒕𝒔𝒆𝒏𝟑𝒕 56 Caso 3 raízes reais e iguais Neste caso a expressão com os resíduos será dada por 𝑭𝒔 𝑩𝒔 𝑨𝒔 𝒓𝟏 𝒔 𝒑𝒌 𝒓𝟐 𝒔 𝒑𝒌𝟏 𝒓𝒌 𝒔 𝒑 Os resíduos são calculados através da seguinte expressão 𝒓𝒌𝒊 𝟏 𝒊 𝒅𝒊 𝒅𝒔𝒊 𝒔 𝒑𝒌 𝑩𝒔 𝑨𝒔 𝒔𝒑 Onde k representa a multiplicidade da raiz maior ordem dos polinômios e i varia de 0 a k1 Obs 01 zero fatorial é igual a 1 Exemplo 7 calcule a transformada inversa da função dada a seguir 𝑭𝒔 𝟏 𝒔𝒔 𝟏𝟑 Solução devemos aplicar a expansão em frações parciais para a raiz de multiplicidade 3 k3 e para o termo 1s 𝑭𝒔 𝟏 𝒔𝒔 𝟏𝟑 𝒓𝟏 𝒔 𝟏 𝒓𝟐 𝒔 𝟏𝟐 𝒓𝟑 𝒔 𝟏𝟑 𝒓𝟒 𝒔 Para a raiz múltipla Cálculo de r1 i0 𝒓𝟑 𝟏 𝟎 𝒔 𝟏𝟑 𝟏 𝒔𝒔 𝟏𝟑 𝒔𝟏 𝟏 𝒔 𝒔𝟏 𝟏 Cálculo de r2 i1 57 𝒓𝟐 𝟏 𝟏 𝒅𝒔 𝟏𝟑 𝟏 𝒔𝒔 𝟏𝟑 𝒅𝒔 𝒔𝟏 𝒅 𝟏 𝒔 𝒅𝒔 𝒔𝟏 𝒅𝒔𝟏 𝒅𝒔 𝒔𝟏 𝟏 𝒔𝟐 𝒔𝟏 𝟏 Cálculo de r3 i2 𝒓𝟏 𝟏 𝟐 𝒅𝟐𝒔 𝟏𝟑 𝟏 𝒔𝒔 𝟏𝟑 𝒅𝒔𝟐 𝒔𝟏 𝟏 𝟐 𝒅𝟐 𝟏 𝒔 𝒅𝒔𝟐 𝒔𝟏 𝟏 𝟐 𝒅𝟐𝒔𝟏 𝒅𝒔𝟐 𝒔𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝒔𝟑 𝒔𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 Cálculo de r4 𝒓𝟒 𝒔 𝟎 𝑩𝒔 𝑨𝒔 𝒔𝟎 𝒔 𝟏 𝒔𝒔 𝟏𝟑 𝒔𝟎 𝟏 𝟎 𝟏𝟑 𝟏 Assim 𝑭𝒔 𝟏 𝒔𝒔 𝟏𝟑 𝟏 𝒔 𝟏 𝟏 𝒔 𝟏𝟐 𝟏 𝒔 𝟏𝟑 𝟏 𝒔 𝒇𝒕 𝓛𝟏 𝟏 𝒔 𝟏 𝟏 𝒔 𝟏𝟐 𝟏 𝒔 𝟏𝟑 𝟏 𝒔 𝒆𝒕 𝒕𝒆𝒕 𝟏 𝟑 𝟏 𝒕𝟑𝟏𝒆𝒕 𝟏𝒕 𝒇𝒕 𝒆𝒕 𝒕𝒆𝒕 𝟏 𝟐 𝒕𝟐𝒆𝒕 𝟏𝒕 23 Aplicação da Transformada de Laplace solução de equações diferenciais A principal aplicação é na solução de equações diferenciais mas a transformada de Laplace é aplicada na área de controle para facilitar a representação pois a partir dela 58 equações diferenciais e funções trigonométricas exponenciais e suas combinações são transformadas em funções algébricas racionais na variável s A maior dificuldade é que por se tratar de uma transformação matemática as funções obtidas não têm sentido físico No entanto na análise de sistemas de controle estabelecem vínculos entre o sentido físico e a representação através de algumas propriedades desta representação de sistemas de controle A transformada de Laplace fornece a solução da equação para uma entrada qualquer mas também para condições iniciais Ela também fornece a solução para o transitório e para o regime permanente ou estado estacionário Procurase aqui estabelecer um vínculo com sistemas físicos Por exemplo queremos observar o comportamento de um nível de um tanque de água saída do sistema com a vazão de água de entrada entrada do sistema ou a carga de um capacitor em um circuito RC quando se varia a tensão de alimentação do circuito Adotase o seguinte procedimento para a solução de uma equação diferencial ordinária a coeficientes constantes Procedimento etapas 1 Aplicar a Transformada de Laplace a cada um dos membros da equação diferencial 2 Aplicar as propriedades da transformada de Laplace para obter uma equação algébrica na variável s 3 Rearranjar a equação isolando a variável dependente 4 Substituir o valor das condições iniciais e o valor da entrada 5 A solução da equação diferencial em função do tempo é obtida achandose a Transformada Inversa de Laplace da variável dependente Exemplos 59 Os modelos matemáticos apresentados a seguir serão deduzidos nos blocos subsequentes Neste momento apresentamos a equação diferencial obtida para que se possa demonstrar o procedimento de solução das equações diferenciais 1 Um sistema de nível está representado na figura 120 2 Fonte autor Figura 26 Esquema do comportamento do nível de um tanque em função da vazão de entrada com uma saída de vazão Este sistema pode ser modelado com a entrada dada pela vazão qint que altera o comportamento do nível ht segundo a equação diferencial dada a seguir 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝟑𝒉𝒕 𝒒𝒊𝒏𝒕 Determine o comportamento do nível ao longo do tempo sabendo que h01m e qint teve uma variação de 0 para 2m3s segundo um degrau isto é 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝟐 𝟏𝒕 Solução seguindo o procedimento dado 1 Aplicar a transformada de Laplace aos dois termos da equação 𝓛 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝟑𝒉𝒕 𝓛𝒒𝒊𝒏𝒕 2 Aplicar as propriedades 60 𝓛𝒇𝟏𝒕 𝒇𝟐𝒕 𝓛𝒇𝟏𝒕 𝓛𝒇𝟐𝒕 𝑭𝟏𝒔 𝑭𝟐𝒔 𝓛𝑨𝒇𝒕 𝑨 𝓛𝒇𝒕 𝑨𝑭𝒔 𝓛 𝒅𝒇𝒕 𝒅𝒕 𝒔𝓛𝒇𝒕 𝒇𝟎 𝒔𝑭𝒔 𝒇𝟎 Teremos os seguintes passos 𝓛 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝟑𝓛𝒉𝒕 𝓛𝒒𝒊𝒏𝒕 𝒔𝓛𝒉𝒕 𝒉𝟎 𝟑𝓛𝒉𝒕 𝓛𝒒𝒊𝒏𝒕 Mudando a notação 𝒔𝑯𝒔 𝒉𝟎 𝟑𝑯𝒔 𝑸𝒊𝒏𝒔 3 Isolando Hs 𝒔𝑯𝒔 𝟑𝑯𝒔 𝑸𝒊𝒏𝒔 𝒉𝟎 𝑯𝒔 𝒔 𝟑 𝑸𝒊𝒏𝒔 𝒉𝟎 𝑯𝒔 𝑸𝒊𝒏𝒔 𝒔 𝟑 𝒉𝟎 𝒔 𝟑 4 Substituindo h0 e Qins pela transformada de Laplace de qint 𝑸𝒊𝒏𝒔 𝓛𝒒𝒊𝒏𝒕 𝓛𝟐 𝟏𝒕 𝟐 𝒔 Obtemos 𝑯𝒔 𝟐𝒔 𝒔 𝟑 𝟏 𝒔 𝟑 𝑯𝒔 𝟐 𝒔𝒔 𝟑 𝟏 𝒔 𝟑 5 É comum memorizar algumas poucas transformadas de Laplace para serem aplicadas Desta forma é interessante aplicar a expansão em frações parciais no primeiro termo de Hs 𝟐 𝒔𝒔 𝟑 𝒓𝟏 𝒔 𝒓𝟐 𝒔 𝟑 61 Cálculo dos resíduos 𝒓𝟏 𝒔 𝟐 𝒔𝒔 𝟑 𝒔𝟎 𝟐 𝒔 𝟑 𝒔𝟎 𝟐 𝟎 𝟑 𝟐 𝟑 𝒓𝟐 𝒔 𝟑 𝟐 𝒔𝒔 𝟑 𝒔𝟑 𝟐 𝒔 𝒔𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 Logo 𝑯𝒔 𝟐 𝟑 𝟏 𝒔 𝟐 𝟑 𝟏 𝒔 𝟑 𝟏 𝒔 𝟑 𝟐 𝟑 𝟏 𝒔 𝟏 𝟑 𝟏 𝒔 𝟑 Calculando a transformada inversa 𝒉𝒕 𝓛𝟏 𝟐 𝟑 𝟏 𝒔 𝟏 𝟑 𝟏 𝒔 𝟑 𝒉𝒕 𝟐 𝟑 𝟏𝒕 𝟏 𝟑 𝒆𝟑𝒕 Observações Em t0s a exponencial será igual a 1 e teremos h023131m Em t tendendo a infinito o segundo termo de ht será nulo e o nível irá estabilizar em 23066m Calcule o valor de xt a partir da equação diferencial dada a seguir sabendo que Ftδt e que as condições iniciais são nulas 𝒅𝟐𝒙𝒕 𝒅𝒕 𝟒𝒙𝒕 𝑭𝒕 Solução aplicando Laplace aos dois membros da equação 𝓛 𝒅𝟐𝒙𝒕 𝒅𝒕 𝟒𝒙𝒕 𝓛𝑭𝒕 Aplicando as propriedades 62 𝓛𝒇𝟏𝒕 𝒇𝟐𝒕 𝓛𝒇𝟏𝒕 𝓛𝒇𝟐𝒕 𝑭𝟏𝒔 𝑭𝟐𝒔 𝓛𝑨𝒇𝒕 𝑨 𝓛𝒇𝒕 𝑨𝑭𝒔 𝓛 𝒅𝟐𝒇𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝒔𝟐𝓛𝒇𝒕 𝒔𝒇𝟎 𝒇𝟎 Logo 𝓛 𝒅𝟐𝒙𝒕 𝒅𝒕 𝟒𝓛𝒙𝒕 𝓛𝑭𝒕 𝒔𝟐𝓛𝒙𝒕 𝒔𝒙𝟎 𝒙 𝟎 𝟒𝓛𝒙𝒕 𝓛𝑭𝒕 Substituindo as condições inicias 𝒙𝟎 𝒆 𝒙𝟎 por zero alterando a notação da variável em s 𝓛𝒙𝒕 𝑿𝒔 𝒆 𝓛𝑭𝒕 𝑭𝒔 𝒔𝟐𝑿𝒔 𝟒𝑿𝒔 𝑭𝒔 Lembrando que a força é dada por um impulso unitário isto é 𝓛𝑭𝒕 𝑭𝒔 𝓛𝜹𝒕 𝟏 Vemos que 𝒔𝟐𝑿𝒔 𝟒𝑿𝒔 𝟏 Isolando Xs obtemos 𝑿𝒔𝒔𝟐 𝟒 𝟏 𝑿𝒔 𝟏 𝒔𝟐 𝟒 Calculando a transformada inversa 𝒙𝒕 𝓛𝟏 𝟏 𝒔𝟐 𝟒 Na tabela de transformada de Laplace utilizamos o par 10 𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 𝝎 𝒔𝟐 𝝎𝟐 63 Avaliando ω através do denominador 𝝎𝟐 𝟒 𝝎 𝟐 𝒓𝒂𝒅𝒔 Este valor de 𝝎 deve aparecer no numerador de Xs assim devemos elaborar a seguinte manipulação numérica 𝒙𝒕 𝓛𝟏 𝟏 𝒔𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝓛𝟏 𝟐 𝒔𝟐 𝟒 𝒙𝒕 𝟎 𝟓𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 Simulação de Sistemas Dinâmicos Uma forma de simular um sistema dado por uma equação diferencial de difícil solução analítica é utilizando métodos numéricos Existem diversos programas que implementam soluções numéricas Um deles é o Matlab através da programação de um método numérico como o método de Euler Rungekutta etc e da área de simulação chamada de Simulink Nessa última opção a solução é obtida através de blocos que permitem a implementação de equações diferenciais com termos não lineares Os blocos que serão utilizados no Matlab e o diagrama apresentado a seguir serão melhor explicados ao longo da disciplina Exercício de fixação Um sistema físico de nível é modelado segundo uma equação diferencial que representa o comportamento do nível ht em função da vazão de água de alimentação qint dada a seguir 64 𝟐 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝟑𝒉𝒕 𝒒𝒊𝒏𝒕 Como se verifica o modelo não é linear pois tem um termo de nível quadrático Determine a A simulação da equação nãolinear para um degrau de vazão de 1 m3s supondo que o nível inicial era nulo b O modelo linear a partir da linearização do termo nãolinear em torno do ponto de operação determinado pela equação nãolinear supondo a situação de regime para o degrau dado no item a c O resultado analítico do modelo linear para uma entrada degrau de amplitude igual a 01 aplicandose a transformada de Laplace Solução a Para utilizar um diagrama de blocos do sistema que pode ser determinado a partir da equação do sistema de nível devemos isolar o termo de derivada 𝟐 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝟑𝒉𝒕 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝟏 𝟐 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝟑 𝟐 𝒉𝒕 A equação pode ser implementada pelo diagrama de blocos da figura 27 Fonte autor Figura 27 Diagrama de blocos para determinação numérica de ht no Matlab 65 Esta representação permite obter o gráfico da resposta de modelos de sistemas nãolineares Não será apresentado neste instante como se monta e configura o simulink para realizar a simulação do modelo Outra forma de simular é aplicar um método numérico Como exemplo vamos trabalhar com a transformação da derivada de primeira ordem utilizando o método de Euler em uma diferença para frente isto é 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝒉𝒌 𝟏 𝒉𝒌 𝒕 Onde 𝒕 representa o passo de integração que deve ser pequeno para o resultado do método ser adequado A equação discreta e iterativa é determinada pela substituição da diferença para frente obtendo 𝒉𝒌 𝟏 𝒉𝒌 𝒕 𝟏 𝟐 𝒒𝒊𝒏𝒌 𝟑 𝟐 𝒉𝒌 Isolando 𝒉𝒌 𝟏 no primeiro membro da equação e fazendo 𝒉𝟎 𝟎 𝒆 𝒒𝒊𝒏𝒌 𝟏 para qualquer valor de k0 vemos que 𝒉𝒌 𝟏 𝟏 𝟐 𝒒𝒊𝒏𝒌 𝟑 𝟐 𝒉𝒌 𝒕 𝒉𝒌 Foi elaborado um programa no Matlab chamado de script que calcula o valor de h segundo a equação acima utilizando um passo de integração igual a 𝒕 𝟎 𝟎𝟎𝟏𝒔 Programa no Matlab Programa de simulação numérica de equação diferencial Definindo valor do passo do valor inicial de h e k dt0001 66 k1 h10 qin1 Cálculo dos valores de hk for s0001dt4 kk1 hk05qin15sqrthk1dthk1 end Selecionando pontos de 002s em 002s para plotar t00024 i1 for j1204001 nihj ii1 end Elaborando o gráfico da solução plottn Tabela 23 Valores obtidos no programa t s 00 02 04 06 08 10 14 18 20 24 28 30 hm 102 00 508 75 88 97 102 107 109 1102 1107 111 111 O gráfico da resposta temporal do nível do tanque em função de uma variação em degrau da vazão de entrada do modelo nãolinear está representada na figura 28 67 Fonte autor Figura 28 Gráfico da resposta ao degrau unitário para o modelo nãolinear Assim partindo do estado inicial onde o tanque estava vazio com vazões de entrada e saída nulas determinamos um regime novo ponto de operação onde h011m e as vazões são iguais a 1m3s b Para a entrada fornecida percebese que houve uma pequena variação de nível Para linearizar e avaliar a resposta do modelo linear através da transformada de Laplace adotaremos o ponto de operação onde o nível estabilizou no item anterior isto é na cota h0 0111m O elemento a ser linearizado é a função quadrática que relaciona o nível com a vazão de saída dada pela relação 𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕 𝟑𝒉𝒕 𝒇𝒉 𝒉 𝒉𝟎 𝒅𝒉 𝒅𝒉 𝒉𝒉𝟎 𝒉 𝒉𝟎 𝟏 𝒉𝟎 𝟏 𝟐 𝟏 𝒉𝟎 𝒉 𝒉𝟎 Substituindo o valor de h0 vem que 68 𝒉 𝟎 𝟏𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟏 𝟎 𝟏𝟏𝟏 𝒉 𝟎 𝟏𝟏𝟏 𝟎 𝟑𝟑 𝟏 𝟓𝒉 𝟎 𝟏𝟏𝟏 Logo 𝒉 𝟏 𝟓𝒉 𝟎 𝟏𝟔𝟔 Indo na equação nãolinear e substituindo o valor de 𝒉 vem que 𝟐 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝟑𝟏 𝟓𝒉𝒕 𝟎 𝟏𝟔𝟔 𝒒𝒊𝒏𝒕 Estes valores de ht e qint são absolutos e portanto no modelo surge o termo independente de ht Para podermos resolver este impasse devemos avaliar uma variação de nível em torno do ponto de operação isto é 𝒉𝒕 𝒉𝒕 𝒉𝟎 𝒆 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝒒𝟎 Na condição de regime proposta 𝒉𝟎 𝟎 𝟏𝟏𝟏𝒎 𝒆 𝒒𝟎 𝟏𝒎𝟑𝒔 Assim 𝟐 𝒅𝒉𝒕 𝒉𝟎 𝒅𝒕 𝟑𝟏 𝟓𝒉𝒕 𝒉𝟎 𝟎 𝟏𝟔𝟔 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝒒𝟎 Como 𝒉𝟎 é constante a derivada será nula dessa forma teremos a equação igual a 𝟐 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝟒 𝟓𝒉𝒕 𝟒 𝟓𝒉𝟎 𝟎 𝟒𝟗𝟗𝟖 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝒒𝟎 Na situação do regime permanente a derivada é nula e não temos os termos das variações de nível e de vazão Assim teremos 𝟒 𝟓𝒉𝟎 𝟎 𝟒𝟗𝟗𝟖 𝒒𝟎 𝒐𝒖 𝒒𝟎 𝟎 𝟗𝟗𝟗𝟑 𝟏 Dessa forma cancelamse os termos constantes e a equação final linearizada fica igual a 69 𝟐 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝟒 𝟓𝒉𝒕 𝒒𝒊𝒏𝒕 a Para avaliar a resposta analítica do sistema linear para uma pequena variação em degrau de vazão é necessário aplicar a transformada de Laplace na equação diferencial acima 𝓛 𝟐 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝟒 𝟓𝒉𝒕 𝓛𝒒𝒊𝒏𝒕 Aplicando as propriedades da transformada 𝟐 𝒔 𝑯𝒔 𝒉𝟎 𝟒 𝟓𝑯𝒔 𝑸𝒊𝒏𝒔 A condição inicial da variação do nível é nula pois se deseja avaliar com o modelo linearizado o comportamento do sistema em torno do ponto de operação Assim lembrando que a vazão de entrada deve variar segundo um degrau de amplitude 01 teremos 𝑸𝒊𝒏𝒔 𝓛𝒒𝒊𝒏𝒕 𝓛𝟎 𝟏 𝟏𝒕 𝟎 𝟏 𝒔 Fazendo as substituições e isolando 𝑯𝒔 vem que 𝟐𝒔𝑯𝒔 𝟒 𝟓𝑯𝒔 𝟎 𝟏 𝒔 𝑯𝒔 𝟐𝒔 𝟒 𝟓 𝟎 𝟏 𝒔 𝑯𝒔 𝟎 𝟏 𝒔𝟐𝒔 𝟒 𝟓 Devemos calcular a transformada inversa para obter 𝒉𝒕 𝒉𝒕 𝓛𝟏𝑯𝒔 𝓛𝟏 𝟎 𝟏 𝒔𝟐𝒔 𝟒 𝟓 𝓛𝟏 𝟎 𝟏 𝒔 𝟐 𝒔 𝟒 𝟓𝟐 𝓛𝟏 𝟎 𝟎𝟓 𝒔 𝒔 𝟐 𝟐𝟓 𝒉𝒕 𝟎 𝟎𝟓𝓛𝟏 𝟏 𝒔 𝒔 𝟐 𝟐𝟓 Aplicando o par da tabela 70 𝟏 𝒂 𝟏𝒕 𝒆𝒂𝒕 𝟏 𝒔 𝒔 𝒂 Com isto teremos 𝒉𝒕 𝟎 𝟎𝟓 𝟏 𝟐 𝟐𝟓 𝟏𝒕 𝒆𝟐𝟐𝟓𝒕 𝒉𝒕 𝟎 𝟎𝟐𝟐𝟏𝒕 𝒆𝟐𝟐𝟓𝒕 A função do nível nos informa como ele vai variar em torno do ponto de operação dado ou seja o nível inicia em 0111m e finaliza em 0133m Tratase de uma pequena variação em torno deste ponto de operação Conclusão Vimos neste bloco os conceitos e as características de modelos matemáticos de sistemas físicos e uma ferramenta matemática muito utilizada na análise de sistemas dinâmicos que é a transformada de Laplace Para trabalhar adequadamente com esta ferramenta apresentamos a álgebra com os números complexos e as funções de variáveis complexas É importante que o aluno faça todos os exercícios recomendados e que ao perceber dificuldades na solução busque ajuda do tutor do professor ou mesmo dos livros recomendados em cada bloco deste elemento textual Bibliografia Consultada e Recomendada OGATA K Engenharia de Controle Moderno 5a ed São Paulo Pearson 2010 NISE S Engenharia de sistemas de Controle 7ª ed Rio de Janeiro LTC 2017 KLUEVER C A Sistemas dinâmicos modelagem simulação e controle 1ª ed Rio de Janeiro LTC 2018 71 DORF R C Sistemas de controle modernos 13ª ed Rio de Janeiro LTC 2018 3 REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS DINÂMICOS Caros alunos neste bloco apresentaremos alguns conceitos sobre a representação de sistemas dinâmicos para posterior aplicação na área de controle Existem algumas formas consagradas de representações de sistemas que avaliam o comportamento a partir da relação de variáveis de entrada e de saída utilizada no controle clássico que é a função de transferência de um sistema Além deste enfoque de controle existe o enfoque moderno que trabalha com as equações de espaço de estados e que além de avaliar o sistema observando suas entradas e saídas utiliza as variáveis de estado que estão relacionadas com os fluxos de energia do sistema Finalmente apresentamos os diagramas de blocos e uma visão de como trabalhar com esta representação gráfica quando se utilizam as equações diferenciais as funções de 72 transferência e a técnica de controle mais utilizada na indústria a malha fechada ou o sistema de controle realimentado Ressaltamos novamente para que você caro aluno pratique os exercícios indicados nas referências ao longo do texto apresentado Quaisquer dúvidas que tiver consulte o tutor ou o professor responsável pela disciplina 31 Função de Transferência definição cálculo e determinação de polos e zeros de uma função de transferência Tratase de uma importante representação de sistemas dinâmicos muito utilizada no estudo de sistemas de controle na visão clássica Definição a Função de Transferência é uma representação de sistemas dinâmicos ou instantâneos que leva em consideração a relação ou razão entre a saída e a entrada do sistema na variável da Transformada de Laplace isto é a variável s impondo condições iniciais nulas Ela é representada por funções em s com letras maiúsculas como Gs Hs etc O bloco a seguir estabelece a relação entre a saída e a entrada de um sistema Fonte autor Figura 31 Bloco da função de transferência Gs com a entrada Us e a saída Ys A função de transferência será dada por 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 73 Utilizando a função de transferência teremos uma relação algébrica direta entre a entrada e saída do sistema que antes era dada por uma equação diferencial isto é 𝒀𝒔 𝑮𝒔 𝑼𝒔 Para determinar a função de transferência de um sistema devemos inicialmente desenvolver o modelo matemático desse sistema que leva em consideração uma saída influenciada por determinada entrada de interesse Normalmente essa relação é expressa através de uma equação diferencial Vejamos o exemplo apresentado anteriormente um tanque de água com uma vazão de entrada e outra de saída e o nível no tanque se alterando em função dessas vazões conforme representado na figura 32 Fonte Autor Figura 32 Esquema com tanque onde há variação do nível em função da entrada e saída de água Através do desenvolvimento do modelo matemático que será apresentado futuramente podemos determinar o comportamento do nível de um tanque saída em ht qint qoutt 74 função da vazão de entrada de água entrada Esta relação após a linearização do modelo pode ser representada pela seguinte equação diferencial 𝑪 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝟏 𝑹 𝒉𝒕 𝒒𝒊𝒏𝒕 Onde R e C são valores constantes Aplicase então um procedimento que é sempre o mesmo e semelhante ao desenvolvido na solução de uma equação diferencial linear a coeficientes constantes Aplicar a transformada de Laplace sobre os dois membros da equação diferencial 𝓛 𝑪 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝟏 𝑹 𝒉𝒕 𝓛𝒒𝒊𝒏𝒕 Utilizar as propriedades da transformada representadas a seguir para determinar a transformada de cada termo da equação 𝓛𝒇𝟏𝒕 𝒇𝟐𝒕 𝓛𝒇𝟏𝒕 𝓛𝒇𝟐𝒕 𝑭𝟏𝒔 𝑭𝟐𝒔 𝓛𝑨𝒇𝒕 𝑨 𝓛𝒇𝒕 𝑨𝑭𝒔 𝓛 𝒅𝒇𝒕 𝒅𝒕 𝒔𝓛𝒇𝒕 𝒇𝟎 𝒔𝑭𝒔 𝒇𝟎 Observação lembrese que temos duas notações para indicar a transformada de Laplace Uma que trabalha com o operador 𝓛𝒇𝒕 e outra que trabalha com a função ft em s e com letras maiúsculas Fs Assim teremos a transformação da equação diferencial dada no tempo para uma equação algébrica dada na variável s da transformada de Laplace 𝑪 𝓛 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝟏 𝑹 𝓛𝒉𝒕 𝓛𝒒𝒊𝒏𝒕 𝑪 𝒔𝑯𝒔 𝒉𝟎 𝟏 𝑹 𝑯𝒔 𝑸𝒊𝒏𝒔 Impor condições iniciais nulas 75 𝒉𝟎 𝟎 𝑪 𝒔𝑯𝒔 𝟏 𝑹 𝑯𝒔 𝑸𝒊𝒏𝒔 Isolar o termo de saída no primeiro membro da equação e de entrada no segundo membro da equação 𝑯𝒔 𝑪𝒔 𝟏 𝑹 𝑸𝒊𝒏𝒔 Obter a relação de entrada e saída que é a função de transferência o termo Qins passa para o primeiro membro dividindo Hs e a função que está multiplicando Hs passa para o segundo termo dividindo 𝑯𝒔 𝑸𝒊𝒏𝒔 𝟏 𝑪𝒔 𝟏 𝑹 𝑹 𝑹𝑪𝒔 𝟏 Vamos denotar a função obtida como Gs 𝑮𝒔 𝑯𝒔 𝑸𝒊𝒏𝒔 𝑹 𝑹𝑪𝒔 𝟏 Vamos exercitar este procedimento com o seguinte exemplo determine a função de transferência de um sistema dado pela equação diferencial a seguir onde yt é a saída do sistema e ut é a entrada conforme apresentado na figura 33 Fonte autor Figura 33 Esquema com a entrada e saída e o sistema representado por uma equação diferencial Equação 𝟑 𝒅𝟐𝒚𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝟓 𝒅𝒚𝒕 𝒅𝒕 𝟐𝒚𝒕 𝟑 𝒅𝒖𝒕 𝒅𝒕 76 Aplicando a transformada de Laplace aos dois membros da equação 𝓛 𝟑 𝒅𝟐𝒚𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝟓 𝒅𝒚𝒕 𝒅𝒕 𝟐𝒚𝒕 𝓛 𝟑 𝒅𝒖𝒕 𝒅𝒕 Aplicando as propriedades da transformada de Laplace 𝓛𝒇𝟏𝒕 𝒇𝟐𝒕 𝓛𝒇𝟏𝒕 𝓛𝒇𝟐𝒕 𝑭𝟏𝒔 𝑭𝟐𝒔 𝓛𝑨𝒇𝒕 𝑨 𝓛𝒇𝒕 𝑨𝑭𝒔 𝓛 𝒅𝒇𝒕 𝒅𝒕 𝒔𝓛𝒇𝒕 𝒇𝟎 𝒔𝑭𝒔 𝒇𝟎 𝓛 𝒅𝟐𝒇𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝒔𝟐𝑭𝒔 𝒔𝒇𝟎 𝒇𝟎 Teremos 𝟑𝒔𝟐𝒀𝒔 𝒔𝒚𝟎 𝒚𝟎 𝟓𝒔𝒀𝒔 𝒚𝟎 𝟐𝒀𝒔 𝟑𝒔𝑼𝒔 𝒖𝟎 Impondo condições iniciais nulas 𝒚𝟎 𝒚𝟎 𝒖𝟎 𝟎 Teremos 𝟑𝒔𝟐𝒀𝒔 𝟓𝒔𝒀𝒔 𝟐𝒀𝒔 𝟑𝒔𝑼𝒔 Isolando Ys 𝒀𝒔 𝟑𝒔𝟐 𝟓𝒔 𝟐 𝟑𝒔𝑼𝒔 Isolando a razão entre a saída e a entrada no primeiro membro da equação que é a função de transferência Gs 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝟑𝒔 𝟑𝒔𝟐 𝟓𝒔 𝟐 Observação 77 1 Com a função de transferência é possível avaliar a resposta temporal do sistema saída no tempo em função de determinada entrada inclusive se o sistema tiver alguma condição inicial Veja os exemplos dados a seguir Exemplos de análise da resposta de sistemas a Determine a resposta ao degrau do sistema dado pela seguinte função de transferência 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝟑𝒔 𝟑𝒔𝟐 𝟓𝒔 𝟐 Solução vamos determinar yt a partir da transformada de Ys dada pela relação acima e lembrando que 𝒀𝒔 𝑮𝒔 𝑼𝒔 com 𝑮𝒔 𝟑𝒔 𝟑𝒔𝟐 𝟓𝒔 𝟐 e 𝑼𝒔 𝟏 𝒔 Logo 𝒀𝒔 𝟑𝒔 𝟑𝒔𝟐 𝟓𝒔 𝟐 𝟏 𝒔 𝒀𝒔 𝟑 𝟑𝒔𝟐 𝟓𝒔 𝟐 Para calcular a transformada inversa devemos verificar as raízes do denominador para estabelecer o par correto a ser utilizado 𝟑𝒔𝟐 𝟓𝒔 𝟐 𝟎 𝒔𝟏𝟐 𝟓 𝟓𝟐 𝟒 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑 𝟓 𝟐𝟓 𝟐𝟒 𝟔 𝟓 𝟏 𝟔 𝒔𝟏 𝟓 𝟏 𝟔 𝟔 𝟔 𝟏 𝒔𝟐 𝟓 𝟏 𝟔 𝟒 𝟔 𝟐 𝟑 78 As raízes são reais assim o par da tabela de transformada a ser utilizado é 𝟏 𝒃𝒂 𝒆𝒂𝒕 𝒆𝒃𝒕 𝟏 𝒔𝒂𝒔𝒃 𝟏 𝒔𝟐𝒂𝒃𝒔𝒂𝒃 Para podemos determinar qual o valor de a e b devemos ter o coeficiente de s2 igual a 1 Desta forma devemos fazer a seguinte manipulação algébrica 𝒀𝒔 𝟑 𝟑𝒔𝟐 𝟓 𝟑 𝒔 𝟐 𝟑 𝟏 𝒔𝟐 𝟓 𝟑 𝒔 𝟐 𝟑 𝟏 𝒔 𝟐 𝟑 𝒔 𝟏 Fazendo 𝒂 𝟐 𝟑 e 𝒃 𝟏 teremos 𝒚𝒕 𝟏 𝒃 𝒂 𝒆𝒂𝒕 𝒆𝒃𝒕 𝟏 𝟏 𝟐 𝟑 𝒆𝟐 𝟑𝒕 𝒆𝟏𝒕 𝒚𝒕 𝟏 𝟑 𝟐 𝟑 𝒆𝟐 𝟑𝒕 𝒆𝒕 Finalmente 𝒚𝒕 𝟑 𝒆𝟐 𝟑𝒕 𝒆𝒕 b Determine a resposta do sistema sabendo que ele foi excitado por uma entrada tipo impulso unitário quando sua condição inicial era em y igual a 2 e está representado pela seguinte função de transferência 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝟓 𝒔 𝟐 Solução a resposta temporal do sistema é determinada incluindo a condição inicial Para fazer isto devemos voltar para a equação diferencial que originou a função de transferência para podermos incluir a condição inicial dada 79 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝟓 𝒔 𝟐 𝒀𝒔𝒔 𝟐 𝟓𝑼𝒔 𝒔𝒀𝒔 𝟐𝒀𝒔 𝟓𝑼𝒔 𝓛𝟏 𝒅𝒚𝒕 𝒅𝒕 𝟐𝒚𝒕 𝟓𝒖𝒕 Aplicando a transformada de Laplace incluindo as condições iniciais 𝓛 𝒅𝒚𝒕 𝒅𝒕 𝟐𝒚𝒕 𝓛𝟓𝒖𝒕 𝒔𝒀𝒔 𝒚𝟎 𝟐𝒀𝒔 𝟓𝑼𝒔 Mas 𝒚𝟎 𝟐 𝒆 𝑼𝒔 𝓛𝜹𝒕 𝟏 Então 𝒔𝒀𝒔 𝟐 𝟐𝒀𝒔 𝟓 𝟏 𝒀𝒔𝒔 𝟐 𝟓 𝟐 𝒀𝒔 𝟕 𝒔 𝟐 Calculando a transformada inversa a partir do par 𝒆𝒂𝒕 𝟏 𝒔 𝒂 Teremos 𝒚𝒕 𝟕𝒆𝟐𝒕 Simulação de resposta temporal a partir da função de transferência A resposta obtida em a isto é 𝒚𝒕 𝟑 𝒆𝟐 𝟑𝒕 𝒆𝒕 Gera valores de yt a partir de valores de t Por exemplo 𝒚𝟎 𝟑 𝒆𝟐 𝟑𝟎 𝒆𝟎 𝟑 𝟏 𝟏 𝟎 80 𝒚𝟏 𝟑 𝒆𝟐 𝟑𝟏 𝒆𝟏 𝟑𝟎 𝟓𝟏𝟑 𝟎 𝟑𝟔𝟕 𝟎 𝟒𝟒 etc Estes valores podem ser obtidos por simulação nos programas computacionais como o Matlab Scilab e Octave Para simular e observar a resposta ao degrau de um sistema qualquer a partir da função de transferência devemos calcular numericamente a solução através dos comandos dados a seguir Função de transferência do exemplo a 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝟑𝒔 𝟑𝒔𝟐 𝟓𝒔 𝟐 Comandos no Octave programa online httpsoctaveonlinenet num3 0 den3 5 2 gtfnumden stepg Quando colocamos ponto e vírgula o comando não é representado no programa A resposta de gtfnum den é a função de transferência tftransfer function Gs Note que está sem o ponto e vírgula logo é representado no programa Os três primeiros comandos geram a função de transferência Os elementos do vetor num são os coeficientes do numerador de Gs e os elementos do vetor den são os coeficientes do denominador de Gs ambos vetores representados pelos coeficientes da maior potência em s para a menor potência O último comando gera um gráfico da resposta ao degrau para yt do exemplo a que está representado na figura 34 81 Os valores calculados anteriormente y0 e y1 estão indicados no gráfico Fonte autor Figura 34 Resposta ao degrau do sistema dado por Gs utilizando o programa gratuito Octave Polos e zeros da função de transferência Estes valores da variável s são muito importantes na avaliação da resposta temporal de sistemas Eles estão associados às raízes do denominador polos e do numerador zeros de Gs Temos então a seguinte definição Polos p são os valores de s que anulam o denominador de Gs Assim são os valores de s que fazem Gs tender ao infinito Zerosz são os valores de s que anulam o numerador de Gs Desta forma são os valores de s que fazem Gs tender a zero Podem existir zeros no infinito o número de zeros no infinito corresponde à diferença entre os polos finitos e os zeros finitos isto é 82 𝑵𝒐 𝒛 𝒏 𝒎 Onde n representa o número de polos finitos e m representa o número de zeros finitos Exemplos Determinar os pólos e zeros de a 𝑮𝒔 𝟐𝒔𝟓 𝒔𝟑 O valor do zero é determinado pelas raízes do numerador 𝟐𝒔 𝟓 𝟎 𝟐𝒔 𝟓 𝒔 𝟓 𝟐 𝟐 𝟓 O zero vale 25 ou z25 O valor do polo é determinado pelas raízes do denominador 𝒔 𝟑 𝟎 𝒔 𝟑 O polo vale 3 ou p3 Como o número de polos finitos é 1 isto é n1 e o número de zeros também vale 1 isto é m1 então não há zeros no infinito 𝑵𝒐 𝒛 𝟏 𝟏 𝟎 a 𝑮𝒔 𝟏 𝒔𝟐𝟒 Não há zeros finitos pois não há termos em s no numerador de Gs Logo m0 Pólos de Gs 𝒔𝟐 𝟒 𝟎 ou 𝒑𝟐 𝟒 𝟎 𝒑𝟐 𝟒 𝒑𝟏𝟐 𝟒 𝒑𝟏𝟐 𝟐𝒋 São raízes complexas só com parte imaginária Neste caso o número de polos é n2 Assim teremos dois zeros no infinito z1z2 pois 𝑵𝒐 𝒛 𝟐 𝟎 𝟐 83 Observação a igualdade z1z2 é uma representação que ilustra que os zeros têm valores tendendo ao infinito Para a variável s o infinito tem uma representação específica já que estamos lidando com números complexos Dizemos que o número está no infinito quando seu módulo tende ao infinito Para confirmar que temos zeros no infinito basta lembrar da definição de zero que é o valor de s que anula Gs e adotar que isto deva ocorrer com valores de s ou seja Teremos zeros no infinito se 𝐥𝐢𝐦 𝒔 𝑮𝒔 𝟎 Para o exemplo 𝐥𝐢𝐦 𝒔 𝟏 𝒔𝟐 𝟒 𝐥𝐢𝐦 𝒔 𝟏 𝒔𝟐 𝟎 O que prova que temos zeros no infinito 84 32 Espaço de Estados definição cálculo e exemplos de aplicação A representação de sistemas através das equações do espaço de estados é utilizada na teoria de controle moderno Essa representação permite a análise e projeto de sistemas de controle complexos pois o espaço de estados é um modelo matemático de um sistema físico composto de um conjunto de variáveis de entrada de saída e de estado relacionadas entre si por meio de equações diferenciais de primeira ordem Note que é uma representação de um sistema físico qualquer com várias entradas e saídas e as variáveis de estado e diferente da função de transferência que é realizada no domínio da frequência complexa esta representação de espaço de estados é feita no domínio do tempo As entradas estados e saídas são expressas em vetores e as equações diferenciais e algébricas são escritas na forma matricial Para podermos utilizar esta representação o sistema dinâmico deve ser linear e invariante no tempo Caso não seja é necessário linearizar o modelo físico Vejamos algumas definições Independência Linear um conjunto de variáveis é definido como linearmente independente se nenhuma de suas variáveis puder ser escrita como combinação linear das demais Por exemplo dados x1 x2 e x3 Se x32x25x1 como x3 é determinada por x2 e x1 teremos x3 como combinação linear de x1 e x2 portanto não temos uma independência linear entre as variáveis Variáveis de um sistema dinâmico qualquer variável que responda a uma entrada ou a alguma condição inicial Variáveis de estado é o menor conjunto de variáveis linearmente independente do sistema esse conjunto determina completamente o comportamento do sistema em qualquer instante tt0 dado que se conhecia o valor destas variáveis 85 e da entrada no instante tt0 Assim são as variáveis capazes de determinar totalmente o estado do sistema dinâmico Essas variáveis não precisam ser necessariamente mensuráveis ou observadas no entanto por questão de facilidade de análise é conveniente que elas possam ser escolhidas com esta característica Estado de um sistema dinâmico é o estado que o sistema assume através das variáveis de estado Vetor de estado é aquele que determina de forma única o estado do sistema dado por um vetor xt para qualquer instante t t0 uma vez dado o estado e especificada a entrada ut para tt0 Este vetor xt é composto por n variáveis de estado x1t x2t xnt Espaço de Estados corresponde ao espaço ndimensional cujos eixos coordenados são formados pelos eixos x1 x2 xn que são as variáveis de estado Equação de estado como a representação de estados envolvem as entradas e as variáveis de estado e o valor atual dos estados é dado pelos valores anteriores Definemse equações onde estes últimos estão associados às entradas e a integração ou soma particionada dos estados anteriores Equação de saída é uma equação algébrica que representa os valores das variáveis de saída do sistema que são combinações lineares dos estados e das entradas Para um sistema com múltiplas entradas e múltiplas saídas quaisquer teremos as equações de estado e da saída dadas por 𝒙𝒕 𝒇𝒙𝒕 𝒖𝒕 𝒕 𝒚𝒕 𝒈𝒙𝒕 𝒖𝒕 𝒕 Onde xt é o vetor de estados xx1t x2t xnt com n variáveis ut é o das entradas com r variáveis de entrada isto é utu1t u2t urt yt é o vetor das saída yty1t y2t ymt e t é o tempo 86 Se o sistema for linear ou linearizados as equações de estado e da saída serão dados por 𝒙 𝒕 𝑨𝒕 𝒙𝒕 𝑩𝒕 𝒖𝒕 𝒚𝒕 𝑪𝒕𝒙𝒕 𝑫𝒕 𝒖𝒕 Porém se o sistema for invariante no tempo os valores dos elementos da matrizes e vetores serão constantes numéricas e as equações do espaço de estados serão dadas por 𝒙 𝒕 𝑨 𝒙𝒕 𝑩 𝒖𝒕 𝒚𝒕 𝑪𝒙𝒕 𝑫 𝒖𝒕 Onde A é a matriz de estado B é a matriz das entradas C é a matriz das saídas e D é a matriz de transmissão direta entre a entrada e a saída do sistema dinâmico linear e invariante no tempo SLIT Este sistema é representado normalmente por um diagrama de blocos específicos dado a seguir Fonte autor Figura 35 Diagrama de blocos de um sistema representado pelas equações do espaço de estados 87 Como determinar as equações de estado Qual é o número de variáveis mínimo e quais são as variáveis de estado Uma vez estabelecido o modelo matemático de um sistema através das equações diferenciais o número mínimo de variáveis corresponde à ordem da equação diferencial que descreve o sistema Na maioria dos casos dos sistemas físicos as variáveis de estado estão associadas aos elementos que armazenam energia Por exemplo em um circuito RLC os elementos que armazenam energia são o capacitor energia potencial e o indutor energia cinética Já em um sistema massa mola e amortecedor os elementos que armazenam energia são a mola energia potencial e a massa energia cinética O resistor e o amortecedor dissipam energia em forma de calor assim as variáveis de estado serão o deslocamento do corpo xt e a velocidade do corpo vt a primeira variável associada à energia potencial e a segunda associada à energia cinética Algumas vezes é necessário acrescentar algumas variáveis de estado Isto é feito com a introdução de integradores por exemplo a fim de obter uma representação que forneça mais informações do comportamento do sistema Em NISE 2017 página 99 é exemplificado este fato Exemplo de determinação de modelos matemáticos através da representação no espaço de estados O sistema físico de um pêndulo composto por uma barra rígida está apresentado na figura 36 Neste sistema queremos estudar o comportamento da posição angular do pêndulo 𝜽𝒕 em função do torque Tt aplicado à barra de comprimento L 88 Sabemos que a massa da barra M é uniformemente distribuída ao longo da barra e dessa forma o peso é aplicado sobre o centro de massa localizada na metade do comprimento da barra O momento de inércia da barra é dado por I determine a representação matricial por espaço de estados linearizando as equações de estado Fonte autor Figura 36 Sistema físico do pêndulo simples constituído por uma barra rígida de massa M Solução avaliando o diagrama de corpo livre DCL e aplicando a segunda lei de newton para movimentos de rotação teremos as relações dadas a seguir Fonte autor Figura 37 DCL do sistema físico do pêndulo simples constituído por uma barra rígida de massa M Na representação dada temos o torque externo aplicado Tt e o torque devido ao peso na direção do movimento do corpo τPt mas no sentido contrário 𝜽 Tt Mg 𝜽 𝑴𝒈𝒔𝒆𝒏𝜽 Tt 𝜽 τPt 89 A força peso é decomposta nas duas direções conforme ilustrado na figura 36 O torque é devido à força peso e será igual a 𝝉𝑷𝒕 𝑴𝒈𝒔𝒆𝒏𝜽𝒕 𝑳 𝟐 𝒐𝒖 𝑴𝒈𝑳 𝟐 𝒔𝒆𝒏𝜽𝒕 Aplicando a segunda lei de Newton 𝛕𝒕 𝑰 𝜶𝒕 𝑻𝒕 𝝉𝑷𝒕 𝑰 𝒅𝟐𝜽𝒕 𝒅𝒕𝟐 Substituindo o valor do torque devido ao peso na direção do movimento e colocando os termos da posição angular no primeiro membro da equação vemos que 𝑰 𝒅𝟐𝜽𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝑴𝒈𝑳 𝟐 𝒔𝒆𝒏𝜽𝒕 𝑻𝒕 Como podemos verificar tratase de uma equação de segunda ordem com o termo em 𝜽𝒕 associado à função seno o que torna um modelo nãolinear Vamos definir as variáveis de estado são a posição e a velocidade angular isto é 𝒙𝟏𝒕 𝜽𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝝎𝒕 Note que a derivada da posição será a velocidade angular Em termos da variável de estado teremos a primeira equação de estado dada por 𝒙𝟐𝒕 𝒙 𝟏𝒕 𝒐𝒖 𝒙 𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 A segunda equação de estado vem da equação diferencial obtida no processo de modelagem do pêndulo lembrando que 𝒅𝟐𝜽𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝒅𝝎𝒕 𝒅𝒕 𝒆 𝒙 𝟐𝒕 𝒅𝝎𝒕 𝒅𝒕 Logo a segunda equação de estado será dada por 𝒙 𝟐𝒕 𝟏 𝑰 𝑻𝒕 𝑴𝒈𝑳 𝟐𝑰 𝒔𝒆𝒏𝒙𝟏𝒕 90 Como verificado pela segunda equação o modelo é nãolinear Podemos fazer a linearização em torno de um ponto de operação qualquer e aplicar o processo através da série de Taylor truncada no termo da primeira derivada lembrando que o modelo linear é dado para pequenas variações em torno do ponto de operação que será escolhido como o ponto de equilíbrio 𝒙𝟏𝒕 𝜽𝒕 𝟎𝒓𝒂𝒅 𝒙𝟐𝒕 𝝎𝒕 𝟎𝒓𝒂𝒅𝒔 Avaliando perturbações dos estados em torno do ponto de operação 𝒙𝟏𝒕 𝟎 𝜹𝒙𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝟎 𝜹𝒙𝟐𝒕 Utilizando a série de Taylor truncada 𝒇𝒙 𝒇𝒙𝟎 𝒅𝒇 𝒅𝒙 𝒙𝒙𝟎 𝒙 𝒙𝟎 𝟏 𝒐𝒖 𝒇𝒙 𝒇𝒙𝟎 𝒅𝒇 𝒅𝒙 𝒙𝒙𝟎 𝒙 𝒙𝟎 𝟏 Para o exercício teremos 𝒔𝒆𝒏𝒙𝟏𝒕 𝒔𝒆𝒏𝟎 𝒅𝒔𝒆𝒏𝒙𝟏𝒕 𝒅𝒙 𝒙𝟏𝟎 𝜹𝒙𝟏𝒕 𝟎 𝒔𝒆𝒏𝒙𝟏𝒕 𝒄𝒐𝒔𝒙𝟏𝒕𝒙𝟏𝟎𝜹𝒙𝟏𝒕 𝒔𝒆𝒏𝒙𝟏𝒕 𝒄𝒐𝒔𝟎 𝜹𝒙𝟏𝒕 𝜹𝒙𝟏𝒕 Logo teremos o seguinte modelo linearizado 𝜹𝒙 𝟏𝒕 𝜹𝒙𝟐𝒕 𝜹𝒙 𝟐𝒕 𝟏 𝑰 𝑻𝒕 𝑴𝒈𝑳 𝟐𝑰 𝜹𝒙𝟏𝒕 Na forma matricial 91 𝒙 𝒕 𝟎 𝟏 𝑴𝒈𝑳 𝟐𝑰 𝟎 𝒙𝒕 𝟎 𝟏 𝑰 𝒖𝒕 Onde 𝒙 𝒕 𝜹𝒙 𝟏𝒕 𝜹𝒙 𝟐𝒕 𝒙𝒕 𝜹𝒙𝟏𝒕 𝜹𝒙𝟐𝒕 𝒆 𝒖𝒕 𝑻𝒕 Para a equação de saída como desejamos saber o valor da posição angular teremos 𝒚𝒕 𝟏 𝟎𝒙𝒕 𝟎 𝒖𝒕 𝒐𝒖 𝒚𝒕 𝟏 𝟎𝒙𝒕 Ou simplesmente 𝒚𝒕 𝜹𝒙𝟏𝒕 Este é o modelo matemático dado pelas equações de espaço de estados linearizada do pêndulo dado por uma barra rígida Conversão da função de transferência para o espaço de estados Podemos utilizar a representação de espaço de estados ou a representação dada pela função de transferência É possível através da função de transferência obter as equações de espaço de estados Para tanto é necessário obter a equação diferencial que gerou a função de transferência e aplicar o procedimento feito no exemplo anterior Exemplo Determine a representação em espaço de estados do sistema dado pela função de transferência 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝟓 𝒔 𝟐 Solução Aplicando o processo inverso ou seja voltando para a equação diferencial que originou a função de transferência poderemos incluir a condição inicial dada 92 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝟓 𝒔 𝟐 𝒀𝒔𝒔 𝟐 𝟓𝑼𝒔 𝒔𝒀𝒔 𝟐𝒀𝒔 𝟓𝑼𝒔 𝓛𝟏 𝒅𝒚𝒕 𝒅𝒕 𝟐𝒚𝒕 𝟓𝒖𝒕 Como temos uma derivada de primeira ordem na equação teremos apenas um único estado xtyt Logo teremos a seguinte equação de estado 𝒙 𝒕 𝟐𝒙𝒕 𝟓𝒖𝒕 E a equação da saída será igual a 𝒚𝒕 𝒙𝒕 Conversão do espaço de estados para a função de transferência Para determinar a função de transferência a partir da representação de espaço de estados devemos aplicar a transformada de Laplace nas equações e as regras matriciais já que estamos trabalhando com matrizes e vetores Teremos 𝒙 𝒕 𝑨 𝒙𝒕 𝑩 𝒖𝒕 𝒚𝒕 𝑪𝒙𝒕 𝑫 𝒖𝒕 Aplicando a transformada de Laplace com condições iniciais nulas 𝒔𝑿𝒔 𝑨 𝑿𝒔 𝑩 𝑼𝒔 𝒀𝒔 𝑪 𝑿𝒔 𝑫 𝑼𝒔 Como se deseja uma relação entre a saída Ys e a entrada Us devemos isolar Xs na primeira equação e substituir na segunda equação Lembrando que se tratam de matrizes e vetores temos 93 𝒔𝑿𝒔 𝑨 𝑿𝒔 𝑩 𝑼𝒔 𝒔𝑰 𝑨 𝑿𝒔 𝑩 𝑼𝒔 𝑿𝒔 𝒔𝑰 𝑨𝟏 𝑩 𝑼𝒔 Substituindo na segunda equação 𝒀𝒔 𝑪 𝒔𝑰 𝑨𝟏 𝑩 𝑼𝒔 𝑫 𝑼𝒔 𝑪 𝒔𝑰 𝑨𝟏 𝑩 𝑫 𝑼𝒔 Finalmente enviando Us para o primeiro membro da equação acima determinaremos a função de transferência Gs que será dada por 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝑪 𝒔𝑰 𝑨𝟏 𝑩 𝑫 Exemplo Determine a função de transferência da representação de espaço de estados dada por 𝒙 𝒕 𝟎 𝟏 𝟓 𝟎 𝒙𝒕 𝟎 𝟎 𝟓 𝒖𝒕 𝒚𝒕 𝟏 𝟎𝒙𝒕 𝟎 𝒖𝒕 Solução fazendo o cálculo de 𝒔𝑰 𝑨𝟏 𝒔 𝟏 𝟓 𝒔 𝟏 Devemos calcular a matriz inversa para depois multiplicar pelo vetor C e B Cálculo da inversa de matriz quando a matriz é 2x2 o cálculo da inversa pode ser feito pela seguinte regra invertese a posição dos elementos da diagonal principal da matriz trocamse os sinais dos elementos da diagonal secundária e todos os elementos são divididos pelo determinante da matriz Chamando de M a matriz dada acima 𝑴 𝒔 𝟏 𝟓 𝒔 O determinante de M será dado por 94 𝒅𝒆𝒕𝑴 𝒔 𝟏 𝟓 𝒔 𝒔 𝒔 𝟏 𝟓 𝒔𝟐 𝟓 Calculando a matriz inversa de acordo com a regra dada 𝑴𝟏 𝒔 𝟏 𝟓 𝒔 𝟏 𝒅𝒆𝒕𝑴 𝒔 𝒔𝟐 𝟓 𝟏 𝒔𝟐 𝟓 𝟓 𝒔𝟐 𝟓 𝒔 𝒔𝟐 𝟓 Devemos multiplicar por C e o resultado obtido será multiplicado por B 𝑪 𝒔𝑰 𝑨𝟏 𝟏 𝟎 𝒔 𝒔𝟐 𝟓 𝟏 𝒔𝟐 𝟓 𝟓 𝒔𝟐 𝟓 𝒔 𝒔𝟐 𝟓 𝒔 𝒔𝟐 𝟓 𝟏 𝒔𝟐 𝟓 Multiplicando por B 𝑪 𝒔𝑰 𝑨𝟏 𝑩 𝒔 𝒔𝟐 𝟓 𝟏 𝒔𝟐 𝟓 𝟎 𝟎 𝟓 𝟎 𝟓 𝟏 𝒔𝟐 𝟓 𝟎 𝟓 𝒔𝟐 𝟓 Como D0 o valor de Gs será dado por 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝑪 𝒔𝑰 𝑨𝟏 𝑩 𝑫 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝟎 𝟓 𝒔𝟐 𝟓 33 Diagrama de Blocos na representação através das equações diferencias das funções de transferência e do espaço de estados representações com o diagrama de blocos tipos de blocos e operações básicas A representação gráfica é muito utilizada na área de modelagem inclusive existem ferramentas do programa Matlab voltadas para a simulação de sistemas através de diagrama de blocos o Simulink Esses diagramas de blocos permitem a representação dos modelos matemáticos através de funções de transferência pela representação das equações de estado mas também permitem incluir elementos de nãolinearidades bloco de saturação zona morta 95 histerese e outros além de permitirem a implementação de métodos numéricos de simulação conforme já demonstrado anteriormente A seguir são apresentados os diferentes componentes chamados de blocos para realizar a simulação de sistemas através das funções de transferência equações de estado ou por simulação numérica direta Para todos os blocos existem setas que indicam a entrada do bloco as que apontam para o bloco e setas que se referem à saída do bloco as que apontam para fora do bloco Essas setas representam então sinais de entrada e sinais de saída respectivamente O bloco é o elemento onde o sinal é alterado Blocos básicos 1 Bloco da Função de Transferência Fonte autor Figura 38 Bloco da função de transferência dado na variável s O bloco de função de transferência representa uma função na variável complexa s A saída do bloco é dada por 𝒀𝒔 𝑮𝒔 𝑼𝒔 2 Bloco Somador Neste bloco os sinais de entrada podem ser somados ou subtraídos depende do sinal indicado conforme exemplificado a seguir Pode ser aplicado para elementos variando no tempo ou na frequência complexa dada pela variável s 𝑮𝒔 𝑼𝒔 𝒀𝒔 96 Exemplos a bloco somador de três sinais de entrada que variam no tempo x1t x2t e x3t e uma saída yt A saída será igual à soma das entradas e dada por 𝒚𝒕 𝒙𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝒙𝟑𝒕 A representação gráfica será dada por Fonte autor Figura 39 Bloco de somador de 3 sinais no tempo b Bloco detector de erro fornece a diferença de dois sinais de entrada Pode ser no tempo ou em s 𝒚𝒕 𝒙𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 Fonte autor Figura 310 Bloco da diferença de 2 sinais no tempo Observação A saída yt se for associada ao bloco de sistema realimentado é chamada de erro 𝒙𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝒙𝟑𝒕 𝒚𝒕 𝒙𝟏𝒕 𝒚𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝑹𝒔 𝑬𝒔 𝑩𝒔 97 Fonte autor Figura 311 Bloco da diferença de dois sinais na variável s para um sistema realimentado Neste caso podemos utilizar a notação da área de controle e a notação de sistema realimentado 𝑬𝒔 𝑹𝒔 𝑩𝒔 3 Bloco de Ganho Pode ser definido no tempo ou em s Quando definido em s pode ser interpretado como uma função de transferência e a relação é dada por 𝒀𝒔 𝑲 𝑼𝒔 No tempo 𝒚𝒕 𝑲 𝒖𝒕 O símbolo normalmente é um triângulo conforme representado na figura 312 Fonte autor Figura 312 Bloco de ganho na variável s 4 Bloco Integrador Pode ser definido no tempo ou na variável s e utiliza o símbolo de um triângulo ou quadrado 𝑼𝒔 𝒀𝒔 𝑲 98 A figura 313 apresenta o bloco integrador no tempo e a figura 314 apresenta o bloco na variável s Vale a relação no tempo 𝒚𝒕 𝒖𝒕 𝒅𝒕 Fonte autor Figura 313 Bloco integrador no tempo Vale a relação em s 𝒀𝒔 𝟏 𝒔 𝑼𝒔 Fonte autor Figura 314 Bloco integrador na variável s 5 Bloco Diferenciador Este bloco é somente definido no tempo e é dado pela seguinte relação 𝒚𝒕 𝒅𝒖𝒕 𝒅𝒕 A figura 315 apresenta o bloco diferenciador Em s não se utiliza funções de transferência de sistemas com ordem do numerador maior que a ordem do denominador 99 Fonte autor Figura 315 Bloco diferenciador definido no tempo 6 Bloco multiplicador Este bloco faz multiplicação de sinais no tempo isto é 𝒚𝒕 𝒙𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 Fonte autor Figura 316 Bloco multiplicador definido somente no tempo Operações com blocos Estas operações ocorrem quando os blocos são associados em série cascata paralelo ou em outra situação de combinação de blocos ou sinais de entrada ou saída de blocos Por exemplo o ponto de distribuição de sinais é responsável por transmitir o mesmo sinal a partes distintas dos diagramas de blocos A figura 317 ilustra um ponto de distribuição Fonte autor Figura 317 Ponto de distribuição de um mesmo sinal 𝒙𝟏𝒕 𝒚𝒕 𝒙𝟐𝒕 100 Os blocos estão descritos por funções de transferência ou em alguns casos também no tempo Por exemplo blocos em cascata ou série podem ser simplificados por uma única função de transferência dada pelo produto das funções conforme ilustrado na figura 318 A prova da equivalência é dada pela relação entre as variáveis dos blocos Os blocos em cascata ou série podem ser simplificados por uma única função de transferência pois 𝑨𝒔 𝑮𝟏𝒔 𝑼𝒔 e 𝒀𝒔 𝑮𝟐𝒔 𝑨𝒔 Podemos substituir o valor de As na relação com Ys obtendo 𝒀𝒔 𝑮𝟐𝒔 𝑮𝟏𝒔 𝑼𝒔 ou 𝒀𝒔 𝑮𝟏𝒔 𝑮𝟐𝒔 𝑼𝒔 Como verificado a saída Ys é o produto das duas funções de transferência pela entrada Us ou seja simplificamos dois blocos por um único bloco Desta forma Equivalem a Fonte autor Figura 318 Blocos em cascata ou série e o bloco equivalente A análise sempre é feita utilizando a relação dada entre a entrada e saída dos blocos e as relações entre os sinais A figura 319 dada a seguir ilustra algumas operações com diagramas de blocos 101 A seguir são propostos alguns exemplos destas operações com valores numéricos de funções de transferência ou sinais Tabela 31 Operações com diagramas de blocos Descrição da operação Diagrama de blocos original Diagrama de blocos equivalente Blocos em cascata Blocos em paralelo Deslocando para frente um ponto de soma localizado atrás de um bloco Retirando a função de transferência de um ramo e inserindo outras duas nos outros ramos Troca de sinais nos detectores de erro em cascata 𝑼𝒔 𝑮𝟏𝒔 𝑨𝒔 𝒀𝒔 𝑮𝟐𝒔 𝑼𝒔 𝑮𝟏𝒔 𝑮𝟐𝒔 𝒀𝒔 𝑮𝟏𝒔 𝑮𝟐𝒔 𝑼𝒔 𝒀𝒔 𝑮𝟏𝒔 𝑮𝟐𝒔 𝑼𝒔 𝒀𝒔 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝟏𝒔 𝑼𝟐𝒔 𝒀𝒔 𝑮𝒔 𝑮𝒔 𝑼𝟏𝒔 𝑼𝟐𝒔 𝒀𝒔 𝑮𝒔 𝑼𝟏𝒔 𝑯𝒔 𝑼𝟐𝒔 𝒀𝒔 𝑯𝟏𝒔 𝑼𝟏𝒔 𝑮𝒔𝑯𝒔 𝑼𝟐𝒔 𝑼𝟏𝒔 𝑼𝟐𝒔 𝑼𝟑𝒔 𝑼𝟏𝒔 𝑼𝟐𝒔 𝑼𝟑𝒔 𝒀𝒔 102 Blocos com ramo direto e ramo de realimentação Fonte autor Exemplos 1 Simplifique os blocos dados a seguir a Fonte autor Figura 320 Diagrama de blocos com dois blocos em paralelo Solução Os blocos devem ser somados conforme cálculo dado a seguir A saída de cada bloco será o produto da entrada pela função de transferência conforme indicado na figura Como a saída do somador é dada pela soma dos sinais teremos 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝑮𝟏𝒔 𝑼𝒔 𝑮𝟐𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝑮𝟏𝒔 𝑮𝟐𝒔 𝑯𝒔 𝑮𝒔 𝑪𝒔 𝑹𝒔 𝑬𝒔 𝑩𝒔 𝑮𝒔 𝟏 𝑮𝒔 𝑯𝒔 𝑹𝒔 𝑪𝒔 103 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝑮𝟏𝒔 𝑮𝟐𝒔 Portanto 𝑮𝒔 𝟏 𝟏 𝒔𝟎 𝟓 𝟏 𝟏 𝒔𝟎 𝟒 𝟏 𝒔𝟎 𝟒 𝟏 𝒔𝟎 𝟓 𝟏 𝒔𝟎 𝟓𝟏 𝒔𝟎 𝟒 𝟐 𝒔𝟎 𝟗 𝟏 𝒔𝟎 𝟓𝟏 𝒔𝟎 𝟒 Finalmente 𝑮𝒔 𝟎 𝟗𝒔 𝟐 𝟎 𝟐𝒔𝟐 𝟎 𝟗𝒔 𝟏 Obs podemos dar a resposta sem números decimais Às vezes alguns exercícios com várias alternativas utilizam desse recurso Assim multiplicando e dividindo por 10 vem que 𝑮𝒔 𝟎 𝟗𝒔 𝟐 𝟎 𝟐𝒔𝟐 𝟎 𝟗𝒔 𝟏 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟗𝒔 𝟐𝟎 𝟐𝒔𝟐 𝟗𝒔 𝟏𝟎 b Fonte autor Figura 321 Diagrama de blocos com realimentação e blocos em paralelo Solução temos um bloco em paralelo de duas funções de transferência dentro de um bloco de realimentação Devemos simplificar estes blocos pela soma das funções pois no bloco somador os dois sinais são positivos assim ficaremos com um único bloco dado pela soma 104 𝑮𝟏𝒔 𝟓 𝟏𝟎 𝒔 𝟓𝒔 𝟏𝟎 𝒔 O diagrama fica da seguinte forma Fonte autor Figura 322 Diagrama de blocos com a simplificação dos blocos em paralelo Temos agora dois blocos em série ou cascata no ramo direto Como foi demonstrado quando estes blocos estão em série resulta em um único bloco que é o produto ou seja 𝑮𝟐𝒔 𝟓𝒔 𝟏𝟎 𝒔 𝟏 𝒔 𝟓𝒔 𝟏𝟎 𝒔𝟐 Ficaremos somente com o sistema realimentado Conforme apresentado anteriormente o sistema realimentado será reduzido a um único bloco cuja função de transferência é dada por Fonte autor Figura 323 Diagrama de blocos com a simplificação dos blocos em série Conforme apresentado anteriormente o sistema realimentado será reduzido a um único bloco cuja função de transferência é dada por 105 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝑮𝟐𝒔 𝟏 𝑮𝟐𝒔𝑯𝒔 𝟓𝒔 𝟏𝟎 𝒔𝟐 𝟏 𝟓𝒔 𝟏𝟎 𝒔𝟐 𝟏 𝟓𝒔 𝟏𝟎 𝒔𝟐 𝒔𝟐 𝟓𝒔 𝟏𝟎 𝒔𝟐 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝟓𝒔 𝟏𝟎 𝒔𝟐 𝟓𝒔 𝟏𝟎 Sistema simplificado fica com uma única função de transferência dada por Fonte autor Figura 324 Diagrama de blocos com a simplificação do sistema realimentado Operações com blocos na representação de espaço de estados Como foi apresentado no diagrama de blocos da figura 35 as equações de espaço de estados podem ser apresentadas através dos blocos associados às matrizes ou vetores A B C e D aos blocos somadores e integradores e com retas ou setas com uma largura razoável a fim de lembrar que estamos trabalhando na forma matricial com mais de uma entrada e mais de uma saída Além da representação da figura 35 podemos ter outras representações em diagramas de blocos sem utilizar a forma matricial com a representação de todas as variáveis Desta forma podem ser utilizadas as formas canônicas controlável observável em cascata paralela de representação de sistemas através do espaço de estados Vejamos alguns exemplos Exemplos Dado o sistema a seguir representado por sua equação diferencial represente o sistema segundo as equações de estado e faça o diagrama de blocos do sistema a 𝒚 𝒕 𝟐𝒚 𝒕 𝟓𝒚𝒕 𝟏𝟎𝒖𝒕 𝟓𝒔 𝟏𝟎 𝒔𝟐 𝟓𝒔 𝟏𝟎 𝑼𝒔 𝒀𝒔 106 Solução como foi citado anteriormente devemos criar duas variáveis de estado já que a equação diferencial é de segunda ordem Assim se 𝒙𝟏𝒕 𝒚𝒕 𝒆 𝒙𝟐𝒕 𝒚 𝒕 e utilizando a equação diferencial dada para determinar a derivada da variável de estado x2t vemos que 𝒙𝟏 𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝒙𝟐 𝒕 𝟏𝟎𝒖𝒕 𝟐𝒙𝟐𝒕 𝟓𝒙𝟏𝒕 Representando na forma matricial 𝒙𝒕 𝟎 𝟏 𝟓 𝟐 𝒙𝒕 𝟎 𝟏𝟎 𝒖𝒕 𝒚𝒕 𝟏 𝟎𝒙𝒕 𝟎𝒖𝒕 Fazendo uma representação não matricial com a utilização dos integradores determina se o diagrama de blocos da figura 324 Fonte autor Figura 324 Diagrama de blocos da representação de espaço de estados Observação 1 Note que estamos trabalhando com uma notação diferente para a derivada Esta representação é encontrada nas referências bibliográficas 2 A simulação do sistema pode ser feita com esta representação em diagrama de blocos utilizando o simulink do programa computacional Matlab 107 Posteriormente serão simulados alguns modelos de sistemas físicos utilizando o mesmo 3 O bloco somador pode também ser representado com os sinais de soma e subtração fora do círculo e sem as linhas internas em cruz 4 Note que o sistema poderia ser dado em função da função de transferência veja a seguir e como visto voltaríamos para a equação diferencial e geraríamos as equações de estado 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝟏𝟎 𝒔𝟐 𝟐𝒔 𝟓 b 𝒚 𝒕 𝟐𝒚 𝒕 𝟓𝒚𝒕 𝟑𝒖 𝒕 𝟒𝒖 𝒕 𝟕𝒖𝒕 Solução neste caso devemos fazer um artifício para chegarmos em uma representação pelo espaço de estados pois a entrada está sendo derivada Para resolver esta situação utilizase uma variável intermediaria vt Afim de entender melhor a ideia desta variável vamos obter a função de transferência calcule 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝟑𝒔𝟐 𝟒𝒔 𝟕 𝒔𝟐 𝟐𝒔 𝟓 O artifício é feito multiplicando e dividindo pela variável Vs da seguinte forma 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝑽𝒔 𝑽𝒔 𝑽𝒔 𝑼𝒔 𝒀𝒔 𝑽𝒔 𝟏 𝒔𝟐 𝟐𝒔 𝟓 𝟑𝒔𝟐 𝟒𝒔 𝟕 𝟏 Assim podemos separar a função em duas partes obtendo 𝑽𝒔 𝑼𝒔 𝟏 𝒔𝟐 𝟐𝒔 𝟓 𝒆 𝒀𝒔 𝑽𝒔 𝟑𝒔𝟐 𝟒𝒔 𝟕 Voltando no tempo ficaremos com duas equações 𝒗 𝒕 𝟐𝒗 𝒕 𝟓𝒗𝒕 𝒖𝒕 𝒆 𝒚𝒕 𝟑𝒗 𝒕 𝟒𝒗 𝒕 𝟕𝒗𝒕 108 Adotando os estados a partir da primeira equação com 𝒙𝟏𝒕 𝒗𝒕 𝒆 𝒙𝟐𝒕 𝒗 𝒕 ficaremos com o seguinte sistema 𝒙𝟏 𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝒙𝟐 𝒕 𝒖𝒕 𝟐𝒙𝟐𝒕 𝟓𝒙𝟏𝒕 Para a saída teremos a seguinte equação 𝒚𝒕 𝟑𝒙𝟐 𝒕 𝟒𝒙𝟐𝒕 𝟕𝒙𝟏𝒕 Elaborando o diagrama de blocos a partir das equações de espaço de estado obtidas obtemos a representação dada na figura 325 Fonte autor Figura 325 Diagrama de blocos da representação de espaço de estados para o exemplo b Conclusão 109 Vimos todas as representações de sistemas dinâmicos utilizados na área de controle mais especificamente na área de desenvolvimento de modelos matemáticos e sua simulação Em relação às representações de modelos de sistemas aqui apresentadas cabe um comentário em relação à utilização dos modelos no domínio da frequência função de transferência e no espaço de estados A função de transferência tem como vantagens simplificar os cálculos já que substitui a equação diferencial por uma equação algébrica e permite que os elementos de um sistema sejam interconectados No entanto só pode ser aplicada para sistemas lineares e invariantes no tempo A abordagem no espaço dos estados ou abordagem moderna ou no domínio do tempo representa também sistemas não lineares com saturação zona morta atritos folga etc sistemas variantes no tempo e permite trabalhar com sistemas de múltiplas entradas e saídas MIMO Multiple Input Multiple Output mas não é muito intuitiva e necessita de muitos cálculos antes que a interpretação física do modelo se torne clara Bibliografia Consultada e Recomendada OGATA K Engenharia de Controle Moderno 5a ed São Paulo Pearson 2010 NISE S Engenharia de sistemas de controle 7ª ed Rio de Janeiro LTC 2017 KLUEVER C A Sistemas dinâmicos modelagem simulação e controle 1ª ed Rio de Janeiro LTC 2018 110 4 MODELOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS MECÂNICOS TÉRMICOS E HIDRÁULICOS Caros alunos neste bloco apresentaremos os modelos de sistemas mecânicos fluídicos térmicos e de pressão Como exemplificado no bloco 1 o processo de desenvolvimento de um modelo matemático requer a análise das variáveis de interesse que serão utilizadas no modelo para posterior avaliação de quais leis físicas serão aplicadas e como as grandezas físicas estão associadas com os componentes dos sistemas aqui chamadas de relações constitutivas Quaisquer dúvidas que vocês tiverem consultem o tutor ou o professor responsável pela disciplina 41 Modelos matemáticos de sistemas mecânicos de translação e rotação elementos básicos de exemplos de aplicação Os sistemas mecânicos de translação possuem em geral elementos ou efeitos de massa mola amortecedor e transformadores de movimento por exemplo redutores 111 parafusos com rosca sem fim cremalheirapinhão bielamanivela e outros dispositivos mecânicos quaisquer A força de atrito em geral se opõe ao movimento do corpo tendo assim o mesmo efeito de um amortecedor de carro tal qual a força de resistência do ar Como já foi mencionado estes efeitos são nãolineares mas é possível a linearização do modelo dentro de uma faixa razoável destes sistemas obtendo um modelo matemático que representa adequadamente as variáveis de interesse do sistema em geral posição velocidade aceleração e forças com a seguinte notação Posição ou deslocamento linear xt em metros m Velocidade vt em metros por segundo ms Aceleração at em metros por segundo ao quadrado ms2 Força Ft em Newtons N É importante lembrar as relações entre posição velocidade e aceleração instantâneas nas duas notações utilizadas nas diversas referências bibliográficas sobre a derivada Relações entre as variáveis dos sistemas de translação 𝒗𝒕 𝒅𝒙𝒕 𝒅𝒕 𝒐𝒖 𝒗𝒕 𝒙𝒕 𝒂𝒕 𝒅𝒗𝒕 𝒅𝒕 𝒅 𝒅𝒙𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝟐𝒙𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝒐𝒖 𝒂𝒕 𝒙 𝒕 Para sistemas com movimento de rotação Posição angular ou deslocamento angular 𝜽𝒕 em radianos rad Velocidade angular ωt em radianos por segundo rads Aceleração angular αt em radianos por segundo ao quadrado rads2 Torque τt em Newtons vezes metro Nm Nos sistemas de translação temos a variável massa M e nos sistemas de rotação é definido o momento de Inércia ou simplesmente Inércia Jou I 112 Modelagem de Sistemas de Translação Na modelagem de sistemas mecânicos de translação iremos trabalhar com os elementos básicos massa mola amortecedor Além destes elementos iremos trabalhar com modelos dos transformadores de movimento Como já foi apresentado temos vários tipos de força que podem ser modeladas Aqui trabalharemos além de uma força externa aplicada a um corpo como a força motriz de um carro com a força de atrito viscoso quando o corpo está em movimento e que será proporcional à velocidade Existe também o atrito estático quando o corpo está parado na iminência de se movimentar Há vários tipos de modelos deste tipo de atrito mas não vamos aqui considerar a existência do mesmo já que se trata de um componente de força não linear Além do atrito temos a força de resistência do ar que faz oposição ao movimento como a força de atrito viscoso mas não é proporcional à velocidade A força de atrito é gerada pelo contato de dois corpos e como sabemos está relacionada com a força normal oposta à força peso Leis Físicas normalmente se aplicam as leis de Newton princípio da inércia a segunda lei de Newton e o princípio da ação e reação Neste documento apresentaremos a segunda Lei a somatória das forças aplicadas em um corpo é igual a massa vezes a aceleração do corpo isto é 𝒇𝒐𝒓ç𝒂𝒔𝒄𝒐𝒓𝒑𝒐 𝒎 𝒂𝒕 𝒎 𝒗 𝒕 𝒎 𝒙 𝒕 Obs Existe alguns autores que consideram a força de inércia 𝑭𝒊 𝒎 𝒂𝒕 e aplicam ao invés da segunda lei de Newton a Lei de DLambert ou seja a somatória das forças é igual a zero 113 Componentes básicos Massa normalmente este elemento está ligado ao armazenamento de energia cinética afinal ele armazena energia devido à velocidade imprimida ao corpo quando sujeito a uma força externa Fonte autor Figura 41 Símbolo utilizado para um corpo de massa m em kg Mola elemento ligado ao armazenamento de energia potencial em função do deslocamento ou variação de sua posição A relação existente nesse componente é dada pela Lei de Hokke e vale 𝑭𝒕𝒎𝒐𝒍𝒂 𝒌 𝒙𝒕 Onde k é a constante da mola em Nm Fonte autor Figura 42 Símbolo utilizado para representar uma mola Amortecedor elemento associado com a oposição ao movimento do corpo gerando uma força dissipativa que é proporcional à velocidade isto é 𝑭𝒕𝒂𝒎𝒐𝒓𝒕𝒆𝒄𝒆𝒅𝒐𝒓 𝒃 𝒗𝒕 𝒃 𝒙𝒕 Onde b é a constante do amortecedor em Nsm Massa m k b 114 Fonte autor Figura 43 Símbolo utilizado para representar um amortecedor Método de modelagem A partir de um sistema físico a ser estudado identificamse os componentes e efeitos importantes que deverão ser modelados Posteriormente aplicamse as relações constitutivas dos componentes do sistema mecânico as leis de Newton e determinam se as equações matemáticas do modelo proposto Tais equações fornecem o comportamento das variáveis importantes para o sistema mecânico em questão Para facilitar o equacionamento montamse diagramas de corpo livre DCL Vejamos a seguir alguns exemplos de desenvolvimento de modelos matemáticos mecânicos de translação Exemplo 1 Dado o sistema massa mola e amortecedor a seguir determine o comportamento do deslocamento do corpo de massa xt sabendo que foi aplicada uma força Ft e que Massa do corpo 2kg Constante da mola k2Nm Constante do amortecedor b2Nsm Constante da força de atrito ba3Nsm 115 Fonte autor Figura 44 Sistema massa mola e amortecedor Solução Elaborando o DCL do corpo de massa m Fonte autor Figura 45 DCL do sistema massa mola e amortecedor Utilizando as relações constitutivas 𝑭𝒕𝒎𝒐𝒍𝒂 𝑭𝒌𝒕 𝒌 𝒙𝒕 𝑭𝒕𝒂𝒎𝒐𝒓𝒕𝒆𝒄𝒆𝒅𝒐𝒓 𝑭𝒃𝒕 𝒃 𝒗𝒕 𝒃 𝒙 𝒕 𝑭𝒕𝒂𝒕𝒓𝒊𝒕𝒐 𝑭𝒂𝒕 𝒃𝒂 𝒗𝒕 𝒃𝒂 𝒙𝒕 E a segunda lei de Newton 𝒇𝒐𝒓ç𝒂𝒔𝒄𝒐𝒓𝒑𝒐 𝒎 𝒂𝒕 𝒎 𝒗 𝒕 𝒎 𝒙 𝒕 𝑭𝒕 𝑭𝒌𝒕 𝑭𝒃𝒕 𝑭𝒂𝒕 𝒎 𝒙𝒕 116 Substituindo as relações constitutivas 𝑭𝒕 𝒌 𝒙𝒕 𝒃 𝒙𝒕 𝒃𝒂 𝒙𝒕 𝒎 𝒙 𝒕 Isolando o deslocamento do corpo saída no primeiro membro da equação obtida e a força entrada no segundo membro obtemos a seguinte equação diferencial de segunda ordem linear e invariante no tempo 𝒎𝒙 𝒕 𝒃𝒙 𝒕 𝒃𝒂𝒙 𝒕 𝒌𝒙𝒕 𝑭𝒕 Substituindo os valores numéricos 𝟐𝒙 𝒕 𝟐𝒙 𝒕 𝟑𝒙 𝒕 𝟐𝒙𝒕 𝑭𝒕 Finalmente 𝟐𝒙 𝒕 𝟓𝒙𝒕 𝟐𝒙𝒕 𝑭𝒕 Observações 1 A notação utilizada para as derivadas é com ponto O equivalente na notação de Newton será dado por 𝟐 𝒅𝟐𝒙𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝟓 𝒅𝒙𝒕 𝒅𝒕 𝟐𝒙𝒕 𝑭𝒕 2 A simulação da resposta deste sistema frente a qualquer tipo de entrada pode ser feita através da própria equação diferencial lembrando da representação do espaço de estados e implementando no simulink do Matlab através do diagrama de blocos da figura 46 dada a seguir Representação no espaço de estados Trabalhando com dois estados equação diferencial é de segunda ordem 𝒙𝟏𝒕 𝒙𝒕 𝒆 𝒙𝟐𝒕 𝒙𝒕 Dessa forma 𝒙 𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 e indo na equação diferencial teremos que 117 𝟐𝒙 𝟐𝒕 𝟓 𝒙𝟐𝒕 𝟐𝒙𝟏𝒕 𝑭𝒕 𝒙 𝟐𝒕 𝟏 𝟐 𝑭𝒕 𝒙𝟏𝒕 𝟓 𝟐 𝒙𝟐𝒕 Na forma matricial 𝒙 𝟏𝒕 𝒙 𝟐𝒕 𝟎 𝟏 𝟏 𝟐 𝟓 𝒙𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝟎 𝟎 𝟓 𝑭𝒕 𝒚𝒕 𝟏 𝟎 𝒙𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝟎𝑭𝒕 Ou 𝒙 𝒕 𝟎 𝟏 𝟏 𝟐 𝟓 𝒙𝒕 𝟎 𝟎 𝟓 𝑭𝒕 𝒚𝒕 𝟏 𝟎𝒙𝒕 𝟎𝑭𝒕 Mas o importante é representar no simulink as duas equações no tempo utilizando integradores Fonte autor Figura 46 Representação das equações de estado do sistema dado Simulação no Matlab O diagrama de blocos pode ser colocado no Matlab além de simulada uma resposta de uma entrada degrau por exemplo a partir da introdução dos blocos step e scope 118 Entenda que simular neste caso significa obter valores numéricos da saída quando se aplica uma determinada entrada Aqui foi escolhida uma entrada do tipo degrau unitário assim teremos o seguinte diagrama de blocos Fonte autor Figura 47 Diagrama de blocos do sistema no Simulink do Matlab Para elaborar o diagrama de blocos do simulink apresentado na figura 47 você deve acionar o ícone do Matlab Entrará na tela principal e com o mouse você deve clicar no ícone do simulink indicado na figura 48 Fonte autor Figura 48 Tela do Matlab principal com o ícone do simulink Clique no ícone𝒀𝒔 119 Ao clicar no ícone abrirá seguinte tela Fonte autor Figura 49 Tela do simulink com o ícone que cria um modelo em diagrama de blocos Ao clicar no Blank Model abrirá a tela de trabalho untitled demonstrado na figura 410 onde você deve criar o seu modelo Em seguida clicar no ícone Library Browser Fonte autor Figura 410 Tela da área de trabalho onde será criado o modelo Abra a sua área de trabalho clicando em Blank Model Clique no ícone 120 Abrirá a tela da Simulink Library Browser biblioteca de blocos Coloque em paralelo para transferir blocos da biblioteca para a sua área de trabalho untitled conforme indicado abaixo Fonte autor Figura 411 Telas da biblioteca de blocos e tela da área de trabalho untitled Veja como colocar cada bloco na área de trabalho por exemplo o bloco integrador você encontrará na biblioteca continuous e depois com o mouse você deve arrastálo para a sua área de trabalho Clique em continuous e abrirá a janela onde está o bloco integrador Arraste o bloco para a sua área de trabalho 121 Fonte autor Figura 412 Arrastando ícones da biblioteca para a área de trabalho Além do bloco integrador você deverá pegar os seguintes blocos nas respectivas bibliotecas e arrastálos para a sua área de trabalho O bloco Step em sources O bloco Scope em sinks O bloco Add somador em Math Operations O bloco Gain em Math Operations Ao final teremos os blocos na área de trabalho conforme apresentado na figura 413 dada a seguir 122 Fonte autor Figura 413 Tela da área de trabalho com os elementos básicos dos blocos Se observarmos a figura 46 serão necessários dois blocos integradores e três blocos de ganho Não é necessário arrastar todos estes blocos basta apenas um como apresentado na figura 413 Na própria área de trabalho você irá duplicálos clicando por exemplo no integrador com o botão direito do mouse no bloco e arrastando o mouse para fora da figura do bloco Assim você terá todos os blocos na tela de trabalho e uma vez posicionados corretamente você deverá conectálos mas antes devemos alterar o bloco Add para três entradas e no formato circular Para tanto clique com o botão da esquerda do mouse duas vezes abrirá a janela do bloco conforme indicado na figura acima Clique no botão do Icon shape e altere o formato do bloco para round depois disso vá em List of signs e altere os símbolos para Dê ok e observe o resultado 123 Fonte autor Figura 414 Tela da área de trabalho com os blocos de ganho e integradores duplicados e a janela do bloco Add somador aberta Ainda é necessário inverter dois blocos de ganho Para isso devemos clicar uma vez no bloco de ganho com o botão da direita assim a janela de operações abrirá com o bloco Vá em Rotate Flip e selecione Flip Block Fonte autor Figura 415 Tela da área de trabalho com comando para inverter bloco de ganho 124 Pronto agora podemos posicionar os blocos e ligálos com setas selecionando as pontas dos blocos de saída para os blocos de chegada Fonte autor Figura 416 Tela da área de trabalho com os blocos posicionados e a primeira ligação de blocos executada Uma vez executadas as ligações dos blocos devemos ajustar o valor dos ganhos clicando com o botão da esquerda duas vezes nos blocos de ganho para abrir a tela de Block Parameters Como demonstrado na figura abaixo selecionamos o bloco de ganho da entrada que deve valer 05 No Matlab os decimais devem ser escritos com ponto o programa Matlab é americano conforme indicado na figura utilize o valor 05 depois é só dar ok Fonte autor 125 Figura 417 Janela para ajuste do valor de ganho aberta sobre a tela de trabalho O bloco de Step também deve ser configurado clicando duas vezes com o botão esquerdo do mouse e a janela de Block Parameters Step abrirá No item Step time selecione o tempo de 0 segundos para iniciar a simulação no instante zero Os valores inicial e final estão corretos pois a entrada será de um degrau unitário Fonte autor Figura 418 Área de trabalho com a janela de Block Parameters Step aberta para ajuste do tempo inicial de simulação Depois podemos ajustar o tempo de simulação e iniciala clicando no ícone Run indicado na figura a seguir Salve seu modelo conforme indicado na figura 318 Para ver o gráfico da resposta ao degrau você deve clicar duas vezes com o botão esquerdo do mouse no ícone do Scope 126 Fonte autor Figura 419 Área de trabalho com os blocos conectados e pronto para iniciar a simulação A figura a seguir apresenta o resultado da simulação com o gráfico do Scope depois de rodar os dez segundos de simulação Como verficamos em função dos valores da massa da mola e do amortecedor teremos a resposta de que o deslocamento do corpo aumenta até entrar em regime em um valor de 05m Tempo de parada da simulação Não esqueça de salvar o seu modelo Clique duas vezes no Scope ver o gráfico da saída 127 Fonte autor Figura 420 Gráfico do Scope com o resultado da resposta ao degrau Esta simulação poderia ter sido feita na tela de comandos do Matlab ou no Octave através da simulação da função de transferência Os comandos são obtidos a partir da função de transferência do sistema Determinação da função de transferência 𝟐𝒙 𝒕 𝟓𝒙𝒕 𝟐𝒙𝒕 𝑭𝒕 Aplicando a transformada de Laplace sobre os dois membros as propriedades da transformada e impondo condições iniciais nulas vemos que 𝓛𝟐𝒙 𝒕 𝟓𝒙 𝒕 𝟐𝒙𝒕 𝓛𝑭𝒕 𝟐𝒔𝟐𝑿𝒔 𝟓𝑿𝒔 𝟐𝑿𝒔 𝑭𝒔 Isolando a relação entre Xs e Fs no primeiro membro da equação 𝟐𝒔𝟐 𝟓 𝟐𝑿𝒔 𝑭𝒔 𝑮𝒔 𝑿𝒔 𝑭𝒔 𝟏 𝟐𝒔𝟐 𝟓 𝟐 128 Comandos no Octave ou Matlab Para entrar no Octave o site é octaveonlinenet e os comandos são num1 den2 5 2 gtfnumden Na tela demonstrada na figura 421 aparecerá a função de transferência do sistema Fonte autor Figura 421 Tela do programa Octave com a função de transferência a ser simulada Por último deverá ser dado o comando step stepg Na figura a seguir está o resultado na tela do programa Octave Demonstramos um gráfico dos pontos advindos da simulação numérica feita pelo Octave O gráfico é o mesmo obtido com o Matlab Coloque os comandos nesta área da tela área de comandos 129 Fonte autor Figura 422 Tela do programa Octave com o gráfico da resposta ao degrau O programa Matlab pode ser utilizado na versão teste por 30 dias habilitada através do cadastro no site httpswwwmathworkscomproductsmatlabonlinehtml Além deste programa e do Octave podemos trabalhar com o Scilab versão gratuita que pode ser instalada no computador Exemplo 2 Estude o comportamento da suspensão de ¼ de um carro sabendo que a via possui variações de deslocamento vertical entrada que geram a movimentação horizontal da massa do carro Como estamos avaliando uma roda conforme apresentado na figura 322 verificamos que a massa do carro pode ser em uma primeira aproximação dividida por 4 Dados m300kg massa de ¼ do carro k 23Nmm b27 Nsmm 130 Fonte autor Figura 423 Esquema simplificado do deslocamento de uma roda do carro Solução Não se trata de uma entrada de força aplicada sobre a massa mas de um deslocamento devido á variações verticais que ocorrem no solo Assim podemos em uma primeira aproximação desenvolver o seguinte modelo desprezando efeitos de amortecimento e oscilação devido ao pneu que a variação vertical seja uma entrada aplicada no ponto P indicado na figura 424 Fonte autor Figura 424 Esquema com o modelo de ¼ do veículo Assim vamos admitir que a entrada é o movimento do ponto P ou seja o deslocamento x1t e a saída seja o deslocamento da massa isto é x0t Consideraremos o movimento do carro somente na direção vertical e o deslocamento do corpo é medido a partir da posição de equilíbrio na ausência da variável x0t ou seja partese com o peso do corpo equilibrado pela força da mola k b P x0t x1t Massa de ¼ do veículo 131 Elaborando o DCL do corpo de massa m Fonte autor Figura 425 DCL do modelo de ¼ do veículo As relações constitutivas levam em consideração a diferença do deslocamento da pista x1t representada pelo ponto P com o deslocamento da massa do carro x0t Não se consideram atritos no sistema Utilizando as relações constitutivas 𝑭𝒕𝒎𝒐𝒍𝒂 𝑭𝒌𝒕 𝒌𝒙𝟎𝒕 𝒙𝟏𝒕 𝑭𝒕𝒂𝒎𝒐𝒓𝒕𝒆𝒄𝒆𝒅𝒐𝒓 𝑭𝒃𝒕 𝒃𝒗𝒕 𝒃𝒙 𝟎𝒕 𝒙 𝟏𝒕 E a segunda lei de Newton 𝒇𝒐𝒓ç𝒂𝒔𝒄𝒐𝒓𝒑𝒐 𝒎 𝒂𝒕 𝒎 𝒗 𝒕 𝒎 𝒙 𝒕 𝑭𝒌𝒕 𝑭𝒃𝒕 𝒎𝒙 𝟎𝒕 Substituindo as relações constitutivas 𝒌𝒙𝟎𝒕 𝒙𝟏𝒕 𝒃𝒙 𝟎𝒕 𝒙 𝟏𝒕 𝒎𝒙 𝟎𝒕 Isolando o deslocamento do corpo saída no primeiro membro da equação obtida e o deslocamento devido à pista no ponto P entrada no segundo membro obtemos a seguinte equação diferencial de segunda ordem linear e invariante no tempo 𝒎𝒙 𝟎𝒕 𝒃𝒙 𝟎𝒕 𝒌𝒙𝟎𝒕 𝒃𝒙 𝟏𝒕 𝒌𝒙𝟏𝒕 Massa de ¼ do veículo Ft molafkt Ftamortecedorfbt x0t 132 Substituindo os valores numéricos 𝟑𝟎𝟎𝒙 𝟎𝒕 𝟐𝟕𝟎𝟎𝒙 𝟎𝒕 𝟐𝟑𝟎𝟎𝟎𝒙𝟎𝒕 𝟐𝟕𝟎𝟎𝒙 𝟏𝒕 𝟐𝟑𝟎𝟎𝟎𝒙𝟏𝒕 Finalmente dividindose os dois membros por 100 𝟑𝒙 𝟎𝒕 𝟐𝟕𝒙 𝟎𝒕 𝟐𝟑𝟎𝒙𝟎𝒕 𝟐𝟕𝒙 𝟏𝒕 𝟐𝟑𝟎𝒙𝟏𝒕 Comentário final tratase de um modelo simplificado pois não contempla todos os componentes de uma suspensão de um carro não modela os efeitos do pneu e não inclui as nãolinearidades Observação Podemos obter a solução analítica da resposta do deslocamento vertical do carro frente a uma variação em degrau unitário para o deslocamento da pista Basta aplicar a transformada de Laplace com condições iniciais nulas e impor o degrau unitário Podemos também obter a função de transferência e fazer a simulação no Octave Solução analítica Aplicando a transformada de Laplace nos dois membros da equação com condições iniciais nulas 𝓛𝟑𝒙 𝟎𝒕 𝟐𝟕𝒙 𝟎𝒕 𝟐𝟑𝟎𝒙𝟎𝒕 𝓛𝟐𝟕𝒙 𝟏𝒕 𝟐𝟑𝟎𝒙𝟏𝒕 𝟑𝒔𝟐𝑿𝟎𝒔 𝟐𝟕𝒔𝑿𝟎𝒔 𝟐𝟑𝟎𝑿𝟎𝒔 𝟐𝟕𝒔𝑿𝟏𝒔 𝟐𝟑𝟎𝑿𝟏𝒔 Isolando X0s no primeiro membro e X1s no segundo membro vemos 𝑿𝟎𝒔𝟑𝒔𝟐 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 𝑿𝟏𝒔𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 Dado que X1s é um degrau unitário implica que 𝒙𝟏𝒕 𝟏𝒕 𝓛𝒙𝟏𝒕 𝑿𝟏𝒔 𝟏𝒔 Logo 133 𝑿𝟎𝒔𝟑𝒔𝟐 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 𝟏 𝒔 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 𝑿𝟎𝒔𝟑𝒔𝟐 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 𝟐𝟕 𝟐𝟑𝟎 𝒔 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 𝒔 Isolando X0s no primeiro membro 𝑿𝟎𝒔 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 𝒔𝟑𝒔𝟐 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 Calculando a transformada inversa através da expansão em frações parciais Raízes de 𝟑𝒔𝟐 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 𝟎 𝒔𝟏𝟐 𝟐𝟕 𝟐𝟕𝟐 𝟒 𝟑 𝟐𝟑𝟎 𝟐 𝟑 𝟐𝟕 𝟕𝟐𝟗 𝟐𝟕𝟔𝟎 𝟔 𝒔𝟏𝟐 𝟐𝟕 𝟕𝟐𝟗 𝟐𝟕𝟔𝟎 𝟔 𝒔𝟏𝟐 𝟐𝟕 𝟕𝟐𝟗 𝟐𝟕𝟔𝟎 𝟔 𝟐𝟕 𝟒𝟓 𝟎𝟔𝒋 𝟔 𝒔𝟏𝟐 𝟒 𝟓 𝟕 𝟓𝒋 É o caso de expansão com raízes complexas 𝑿𝟎𝒔 𝒓𝟏 𝒔 𝒓𝟐𝒔 𝒓𝟑 𝟑𝒔𝟐 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 Calculando r1 raiz real r2 e r3 raízes complexastemos Cálculo de r1 raiz real 𝒓𝟏 𝒔 𝟎 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 𝒔𝟑𝒔𝟐 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 𝒔𝟎 𝟐𝟕 𝟎 𝟐𝟑𝟎 𝟑 𝟎𝟐 𝟐𝟕 𝟎 𝟐𝟑𝟎 𝟐𝟑𝟎 𝟐𝟑𝟎 𝟏 Cálculo de r2 e r3 raízes complexas Para 𝒓𝟏 𝟏 teremos a seguinte igualdade 𝟏 𝒔 𝒓𝟐𝒔 𝒓𝟑 𝟑𝒔𝟐 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 𝒔𝟑𝒔𝟐 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 Tirando o mínimo no primeiro termo da igualdade 134 𝟑𝒔𝟐 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 𝒔𝒓𝟐𝒔 𝒓𝟑 𝒔𝟑𝒔𝟐 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 𝒔𝟑𝒔𝟐 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 Aplicando a distributiva no numerador do primeiro termo 𝟑 𝒓𝟐𝒔𝟐 𝟐𝟕 𝒓𝟑𝒔 𝟐𝟑𝟎 𝒔𝟑𝒔𝟐 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 𝒔𝟑𝒔𝟐 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 Para que a igualdade se verifique o numerador do primeiro membro deve ser igual ao do segundo membro da igualdade Assim por comparação temos que O termo independente de s já é igual nos dois numeradores O termo em s deve ser igualado e o termo em s2 deve ser nulo 𝟐𝟕 𝒓𝟑 𝟐𝟕 𝒓𝟑 𝟎 𝟑 𝒓𝟐 𝟎 𝒓𝟐 𝟑 Assim a expansão fica igual a 𝑿𝟎𝒔 𝟏 𝒔 𝟑𝒔 𝟑𝒔𝟐 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 𝟏 𝒔 𝟑𝒔 𝟑𝒔𝟐 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 O primeiro termo possui transformada inversa igual ao degrau unitário e o segundo termo será obtido a partir do par de transformada da tabela dado por par 25 𝟏 𝟏 𝝃𝟐 𝒆𝝃𝝎𝒏𝒕𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒏𝟏 𝝃𝟐 𝒕 𝓛 𝒔 𝒔𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒈 𝟏 𝝃𝟐 𝝃 𝟎 𝝃 𝟏 𝟎 𝝅 𝟐 Note que o termo em s2 do par da tabela deve ser multiplicado por 1 portanto devemos colocar em evidência o número 3 que multiplica este termo 𝟑𝒔 𝟑𝒔𝟐 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 𝟑𝒔 𝟑𝒔𝟐 𝟐𝟕 𝟑 𝒔 𝟐𝟑𝟎 𝟑 𝒔 𝒔𝟐 𝟗𝒔 𝟕𝟔 𝟔𝟕 Cálculo de 𝝎𝒏 e 𝝃 Logo por comparação dos termos do denominador do valor numérico dado acima com 135 𝝎𝒏 𝟐 𝒔𝒔𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 Vemos que 𝛚𝐧 𝟐 𝟕𝟔 𝟔𝟕 𝛚𝐧 𝟖 𝟕𝟓𝟔 𝐫𝐚𝐝𝐬 Ainda 𝟐𝛏𝛚𝐧 𝟗 𝛏 𝟗 𝟐𝛚𝐧 𝟗 𝟐 𝟖 𝟕𝟓𝟔 𝟎 𝟓𝟏𝟒 Fornecendo a transformada inversa do segundo termo da expansão 𝟏 𝟏 𝛏𝟐 𝐞𝛏𝛚𝐧𝐭𝐬𝐞𝐧 𝛚𝐧𝟏 𝛏𝟐 𝐭 𝟏 𝟏 𝟎 𝟓𝟏𝟒𝟐 𝐞𝟎𝟓𝟏𝟒𝟖𝟕𝟓𝟔𝐭𝐬𝐞𝐧 𝟖 𝟕𝟓𝟔𝟏 𝟎 𝟓𝟏𝟒𝟐 𝐭 𝐚𝐫𝐜 𝐭𝐠 𝟏 𝟎 𝟓𝟏𝟒𝟐 𝟎 𝟓𝟏𝟒 𝟏 𝟏𝟔𝟔𝐞𝟒𝟓𝐭𝐬𝐞𝐧𝟕 𝟓𝐭 𝟏 𝟎𝟑 𝐞𝐦 𝐫𝐚𝐝 Finalmente a transformada inversa de X0s será igual a 𝓛𝟏𝑿𝟎𝒔 𝒙𝟎𝒕 𝟏𝒕 𝟏 𝟏𝟔𝟔𝒆𝟒𝟓𝒕𝒔𝒆𝒏𝟕 𝟓𝒕 𝟏 𝟎𝟑 𝒙𝟎𝒕 𝟏𝒕 𝟏 𝟏𝟔𝟔𝒆𝟒𝟓𝒕𝒔𝒆𝒏𝟕 𝟓𝒕 𝟏 𝟎𝟑 O gráfico desta resposta pode ser determinado no Octave através dos comandos t000012 x0onessizet1166exp45tsin75t103 plottx0 grid titleGráfico da resposta ao degrau unitário no deslocamento da via ylabeldeslocamento do corpo m xlabeltempos 136 Com esses comandos obtemos o gráfico dado a seguir na figura 426 Fonte autor Figura 426 Gráfico da resposta à entrada degrau unitário para o modelo simplificado de suspensão Esta mesma resposta poderia ser obtida através da simulação da função de transferência do sistema massa mola e amortecedor No caso teremos a seguinte função de transferência que pode ser determinada a partir da aplicação da transformada de Laplace sobre a equação diferencial obtida que resultou em 𝑿𝟎𝒔𝟑𝒔𝟐 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 𝑿𝟏𝒔𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 Isolando a razão entre X0s e X1s vemos que 𝑮𝒔 𝑿𝟎𝒔 𝑿𝟏𝒔 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 𝟑𝒔𝟐 𝟐𝟕𝒔 𝟐𝟑𝟎 137 Simulando no Octave com os seguintes comandos num27 230 den3 27 230 gtfnumden stepg O gráfico está representado na figura 426 Como demonstrado é a mesma resposta Assim quando não é necessário calcular o valor analítico e desejase fornecer valores do deslocamento do corpo basta simular o valor no tempo através da função de transferência Fonte autor Figura 426 Gráfico da resposta à entrada degrau unitário para a função de transferência do modelo simplificado de suspensão Exemplo 3 Determine a equação do movimento do corpo m1 e m2 da figura 427 e depois determine a função de transferência dos deslocamentos destes corpos com relação à força aplicada Ft 138 Suponha que não existe atritos entre os corpos e o piso Dados das massas e coeficientes m1m21kg k11Nm e k22Nm b3sNm Fonte autor Figura 427 Sistema massamolaamortecedor com dois corpos Solução inicialmente devemos fazer o DCL de cada corpo Massa m1 Massa m2 Fonte autor 139 Figura 428 DCL dos dois corpos do sistema massamolaamortecedor Desenvolvendo a equação do movimento para o corpo 1 e lembrando que as forças da mola e do amortecedor entre os dois corpos são por convenção adotada aqui dadas por 𝑭𝒎𝒐𝒍𝒂𝟏𝒕 𝒌𝟏𝒙𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝑭𝒂𝒎𝒐𝒓𝒕𝒕 𝒃𝒗𝟏𝒕 𝒗𝟐𝒕 A utilização da diferença de 𝒙𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 vem do fato que o corpo m1 é o primeiro a se deslocar em função da força está sendo aplicada neste corpo Aplicando a lei de Newton ao corpo m1 𝑭𝒕 𝑭𝒎𝒐𝒍𝒂𝒕 𝑭𝒂𝒎𝒐𝒓𝒕𝒕 𝒎𝟏 𝒅𝟐𝒙𝟏𝒕 𝒅𝒕𝟐 Substituindo os valores das forças e colocando a equação na forma final 𝒎𝟏 𝒅𝟐𝒙𝟏𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝒃 𝒅𝒙𝟏𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒙𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝒌𝟏𝒙𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝑭𝒕 1 Aplicando a lei de Newton para o corpo m2 𝑭𝒎𝒐𝒍𝒂𝟐𝒕 𝑭𝒎𝒐𝒍𝒂𝟏𝒕 𝑭𝒂𝒎𝒐𝒓𝒕𝒕 𝒎𝟐 𝒅𝟐𝒙𝟐𝒕 𝒅𝒕𝟐 Substituindo os valores das forças e colocando a equação na forma final 𝒎𝟐 𝒅𝟐𝒙𝟐𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝒃 𝒅𝒙𝟏𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒙𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝒌𝟏𝒙𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝒌𝟐𝒙𝟐𝒕 𝟎 2 As equações 1 e 2 representam as equações de movimento do corpo 1 e do corpo 2 respectivamente 140 Como se verifica temos duas equações a duas incógnitas Para determinar as funções de transferência devemos aplicar a transformada de Laplace nas duas equações e isolar um dos deslocamentos e depois substituir na outra equação Aplicando a transformada de Laplace com condições iniciais nulas na equação 1 𝓛 𝒎𝟏 𝒅𝟐𝒙𝟏𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝒃 𝒅𝒙𝟏𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒙𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝒌𝟏𝒙𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝓛𝑭𝒕 Simplificando a equação e substituindo os valores numéricos 𝒔𝟐 𝟑𝒔 𝟏𝑿𝟏𝒔 𝟑𝒔 𝟏𝑿𝟐𝒔 𝑭𝒔 3 Aplicando na equação 2 𝓛 𝒎𝟐 𝒅𝟐𝒙𝟐𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝒃 𝒅𝒙𝟏𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒙𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝒌𝟏𝒙𝟏𝒕 𝒙𝟐𝒕 𝒌𝟐𝒙𝟐𝒕 𝟎 Simplificando a equação 𝒎𝟐𝒔𝟐𝑿𝟐𝒔 𝒃𝒔𝑿𝟏𝒔 𝒃𝒔𝑿𝟐𝒔 𝒌𝟏𝑿𝟏𝒔 𝒌𝟏𝑿𝟐𝒔 𝒌𝟐𝑿𝟐𝒔 𝟎 4 Isolando 𝑿𝟏𝒔 na equação 4 vemos que 𝒔𝟐 𝟑𝒔 𝟑𝑿𝟐𝒔 𝟑𝒔 𝟏𝑿𝟏𝒔 𝟎 Logo 𝑿𝟏𝒔 𝒔𝟐 𝟑𝒔 𝟑 𝟑𝒔 𝟏 𝑿𝟐𝒔 Substituindo na equação 3 𝒔𝟐 𝟑𝒔 𝟏 𝒔𝟐 𝟑𝒔 𝟑 𝟑𝒔 𝟏 𝑿𝟐𝒔 𝟑𝒔 𝟏𝟐 𝟑𝒔 𝟏 𝑿𝟐𝒔 𝑭𝒔 Devemos fazer algumas manipulações algébricas 𝒔𝟒 𝟑𝒔𝟑 𝟑𝒔𝟐 𝟑𝒔𝟑 𝟗𝒔𝟐 𝟗𝒔 𝒔𝟐 𝟑𝒔 𝟑 𝟗𝒔𝟐 𝟔𝒔 𝟏 𝟑𝒔 𝟏 𝑿𝟐𝒔 𝑭𝒔 141 Simplificando 𝒔𝟒𝟔𝒔𝟑𝟒𝒔𝟐𝟔𝒔𝟐 𝟑𝒔𝟏 𝑿𝟐𝒔 𝑭𝒔 5 Logo a função de transferência do deslocamento do corpo 2 será dada por 𝑮𝟐𝒔 𝑿𝟐𝒔 𝑭𝒔 𝟑𝒔 𝟏 𝒔𝟒 𝟔𝒔𝟑 𝟒𝒔𝟐 𝟔𝒔 𝟐 Para a relação entre o deslocamento do corpo 1 e a força basta substituir 𝑿𝟐𝒔 por 𝑿𝟏𝒔 𝒔𝟐 𝟑𝒔 𝟑 𝟑𝒔 𝟏 𝑿𝟐𝒔 𝑿𝟐𝒔 𝟑𝒔 𝟏 𝒔𝟐 𝟑𝒔 𝟑 𝑿𝟏𝒔 Indo em 5 𝒔𝟒 𝟔𝒔𝟑 𝟒𝒔𝟐 𝟔𝒔 𝟐 𝟑𝒔 𝟏 𝟑𝒔 𝟏 𝒔𝟐 𝟑𝒔 𝟑 𝑿𝟏𝒔 𝑭𝒔 Fornecendo a função de transferência do deslocamento do corpo 1 𝑮𝟏𝒔 𝑿𝟏𝒔 𝑭𝒔 𝒔𝟐 𝟑𝒔 𝟑 𝒔𝟒 𝟔𝒔𝟑 𝟒𝒔𝟐 𝟔𝒔 𝟐 Modelos matemáticos de Sistemas Mecânicos Rotacionais Nestes sistemas as variáveis de interesse são a posição velocidade e aceleração angulares Ao invés de forças falamos em momento ou torque Ao contrário de massa definese a inércia em relação ao eixo de rotação do corpo A Inércia é uma propriedade da massa que fornece a informação de como a massa está distribuída no espaço É também chamada de Momento de Inércia de um corpo em relação a um eixo e é dado por 𝑱 𝒓𝟐 𝒂 𝑽 𝒅𝒎 142 Exemplos 1 Para massa pontual 𝑱 𝒎𝑹𝟐 Figura 429 Massa pontual m girando em torno de um ponto O a uma distância R 2 Cilindro de massa m e densidade ρ com comprimento L Fonte autor Figura 430 Cilindro de massa m girando em torno de um eixo x 𝑱 𝟐𝝅𝒓𝟑𝑳𝝆𝒅𝒓 𝑹 𝟎 𝑱 𝟐𝝅𝑳𝝆 𝒓𝟑𝒅𝒓 𝑹 𝟎 𝝅𝑳𝝆 𝑹𝟒 𝟐 Como 𝑽 𝝅𝑹𝟐𝑳 𝑴 𝝅𝑹𝟐𝑳𝝆 Daí 𝑱 𝑴 𝑹𝟐 𝟐 O Torque τ cuja unidade é Nm faz o papel da força dos sistemas translacionais Note na figura 430 que o torque é gerado por uma força F e está aplicado ao eixo gerando o movimento de rotação e portanto variando a posição a velocidade e a aceleração angular Ele pode ser calculado por 𝝎 𝒎 𝑹 𝑶 143 𝝉𝒕 𝑭𝒕 𝑳 Fonte autor Figura 431 Disco com movimento de rotação devido ao torque aplicado Fisicamente podemos observar o movimento quando aplicamos uma força em uma maçaneta e o movimento dela causa o giro do eixo acoplado ao mecanismo de introdução da lingueta dentro do casulo para então abrir a porta A partir daí podemos definir um componente genérico de rotação sob a ação deste torque que sofrerá variações angulares conforme apresentado na figura 431 dada a seguir Teremos as seguintes relações para as variáveis deste componente genérico 𝜽𝟐𝟏 𝜽𝟐 𝜽𝟏 𝝎𝟐𝟏 𝜽 𝟐𝟏 𝜽 𝟐 𝜽 𝟏 𝝎𝟐 𝝎𝟏 𝜶𝟐𝟏 𝜽 𝟐𝟏 𝜽 𝟐 𝜽 𝟏 𝝎 𝟐 𝝎 𝟏 𝜶𝟐 𝜶𝟏 144 Fonte autor Figura 432 Componente genérico de rotação O cálculo da potência P é dado pelo produto 𝑷𝒕 𝝉𝒕𝝎𝟐𝟏𝒕 Nos sistemas de rotação teremos os seguintes componentes inércia que foi descrita acima a mola torcional e o amortecedor rotacional A seguir são apresentadas as formulações sobre cada um destes componentes dos sistemas mecânicos rotacionais Como já foi explicado existem os elementos transformadores como os redutores e amplificadores e componentes mistos de transformação como por exemplo o mecanismo tipo bielamanivela etc Mola Torcional A figura 433 apresenta uma mola torcional o torque da mola é proporcional ao deslocamento angular 𝝉 𝒌𝜽𝟐𝟏𝒕 𝒌 𝝎𝟐𝟏𝒕𝒅𝒕 𝒕 𝟎 Este elemento armazena energia potencial 𝑬𝑷 𝒌 𝝎𝟐𝟏𝒅𝒕 𝒕 𝟎 Fonte autor 145 Figura 433 Mola torcional com a relação de deslocamentos angulares de entrada e saída Amortecedor Rotacional A figura 434 apresenta o amortecedor rotacional onde o torque do amortecedor é proporcional à velocidade angular Fonte autor Figura 434 Amortecedor torcional com a relação de velocidades angulares de entrada e saída Vale 𝝉 𝑩𝝎𝟐𝟏 𝑩𝜽 𝟐𝟏 Uma vez definidos os elementos podemos aplicar a segunda lei de Newton para o movimento de rotação 𝝉𝒄𝒐𝒓𝒑𝒐 𝑱𝜶𝒕 𝑱𝝎 𝒕 𝑱 𝜽 𝒕 Exemplo de desenvolvimento de modelos para movimento de rotação 1 O sistema mecânico de rotação da figura 435 possui um rotor de um motor elétrico com momento de inércia J1 Este motor está acoplado a um propulsor via rotor sendo que a potência é transmitida através de um acoplamento fluídico com coeficiente de atrito viscoso B e um eixo de torção com uma constante de mola K 146 Existe o torque acionador devido ao motor 𝝉𝒂𝒕 sendo exercido em J1 e um torque de carga exercido em J2 Determine a o comportamento das posições angulares 𝜽𝟏𝒕 e 𝜽𝟐𝒕 em função do torque acionador b A função de transferência dada por 𝑮𝒔 𝜽𝟐𝒔 𝚻𝑩𝒔 supondo que 𝝉𝑪𝒕 𝟎 Fonte autor Figura 436 Sistema de transmissão de movimento de um motor para um propulsor Solução a Como desenvolvido nos sistemas de translação vamos realizar o Diagrama de Corpo Livre dos corpos rotor e propulsor e do eixo com efeito de mola torcional conforme apresentado na figura 335 Fonte autor Figura 437 DCL dos corpos motor e propulsor incluindo o eixo com efeito torcional de mola Relações Constitutivas 147 No amortecedor 𝝉𝑩𝒕 𝑩𝝎𝟏𝒕 𝝎𝑩𝒕 𝑩𝜽 𝟏𝒕 𝜽 𝑩𝒕 Na mola 𝝉𝒌𝒕 𝒌𝜽𝑩𝒕 𝜽𝟐𝒕 Observe que no acoplamento a entrada é o deslocamento angular do rotor do motor 𝜽𝟏𝒕 e que a saída tem um deslocamento angular diferente aqui denominado como 𝜽𝑩𝒕 O primeiro valor da diferença dos ângulos ou velocidade nas relações é feita em função do sentido onde o torque atuador foi aplicado Aplicando a 2ª lei de Newton para o movimento de cada corpo e eixo observando o sentido de movimento proposto para definir os sinais dos torques existentes nos componentes estudados Corpo 1 𝝉𝒂𝒕 𝝉𝑩𝒕 𝑱𝟏𝜶𝟏𝒕 𝑱𝟏𝜽 𝟏𝒕 𝑱𝟏𝜽 𝟏𝒕 𝑩𝜽 𝟏𝒕 𝜽 𝑩𝒕 𝝉𝒂𝒕 Corpo 2 𝝉𝒌𝒕 𝝉𝑪𝒕 𝑱𝟐𝜶𝟐𝒕 𝑱𝟐𝜽 𝟐𝒕 𝑱𝟐𝜽 𝟐 𝒌𝜽𝑩𝒕 𝜽𝟐𝒕 𝝉𝑪𝒕 Eixo 𝝉𝑩𝒕 𝝉𝒌𝒕 𝟎 𝑩𝜽 𝟏𝒕 𝜽 𝑩𝒕 𝒌𝜽𝑩𝒕 𝜽𝟐𝒕 𝟎 Note que neste equacionamento existem duas entradas o torque do motor e o torque de carga do propulsor Com estes valores definidos as constantes definidas e verificando que temos três incógnitas para três equações é possível determinar o comportamento dos deslocamentos angulares solicitados em função das entradas b Nas equações obtidas vamos aplicar a transformada de Laplace impondo condições iniciais nulas e lembrando que o propulsor não tem um torque de carga 𝝉𝑪𝒕 𝟎 e desejase calcular a função de transferência de deslocamento angular do corpo 2 em função do torque acionador Corpo 1 𝓛𝑱𝟏𝜽 𝟏𝒕 𝑩𝜽 𝟏𝒕 𝑩𝜽 𝑩𝒕 𝓛𝝉𝒂𝒕 𝑱𝟏𝒔𝟐𝜽𝟏𝒔 𝑩𝒔𝜽𝟏𝒔 𝑩𝒔𝜽𝑩𝒔 𝚻𝑩𝒔 Corpo 2 𝓛𝑱𝟐𝜽 𝟐 𝒌𝜽𝑩𝒕 𝒌𝜽𝟐𝒕 𝟎 𝑱𝟐𝒔𝟐𝜽𝟐𝒔 𝒌𝜽𝟐𝒔 𝒌𝜽𝑩𝒔 𝟎 148 Eixo 𝓛𝑩𝜽 𝟏𝒕 𝑩𝜽 𝑩𝒕 𝒌𝜽𝑩𝒕 𝒌𝜽𝟐𝒕 𝟎 𝑩𝒔𝜽𝟏𝒔 𝑩𝒔𝜽𝑩𝒔 𝒌𝜽𝟐𝒔 𝒌𝜽𝑩𝒔 𝟎 Manipulando a última equação isto é colocando em evidência o termo 𝜽𝑩𝒔 vemos que 𝑩𝒔𝜽𝟏𝒔 𝒌𝜽𝟐𝒔 𝑩𝒔 𝒌𝜽𝑩𝒔 𝟎 Temos as três equações as três incógnitas na variável s Isolando 𝜽𝑩𝒔 na equação do corpo 2 𝜽𝑩𝒔 𝑱𝟐 𝒌 𝒔𝟐 𝟏 𝜽𝟐𝒔 Substituindo 𝜽𝑩𝒔 na equação do corpo 1 𝑱𝟏𝒔𝟐𝜽𝟏𝒔 𝑩𝒔𝜽𝟏𝒔 𝑩𝒔 𝑱𝟐 𝒌 𝒔𝟐 𝟏 𝜽𝟐𝒔 𝚻𝑩𝒔 𝑱𝟏𝒔𝟐 𝑩𝒔𝜽𝟏𝒔 𝑩 𝑱𝟐 𝒌 𝒔𝟑 𝑩𝒔 𝜽𝟐𝒔 𝚻𝑩𝒔 1 Substituindo na equação do eixo 𝑩𝒔𝜽𝟏𝒔 𝒌𝜽𝟐𝒔 𝑩𝒔 𝒌 𝑱𝟐 𝒌 𝒔𝟐 𝟏 𝜽𝟐𝒔 𝟎 𝑩𝒔𝜽𝟏𝒔 𝑩 𝑱𝟐 𝒌 𝒔𝟑 𝑱𝟐𝒔𝟐 𝑩𝒔 𝜽𝟐𝒔 𝟎 2 Isolando 𝜽𝟏𝒔 na equação 2 temse que 𝜽𝟏𝒔 𝑩 𝑱𝟐 𝒌 𝒔𝟑 𝑱𝟐𝒔𝟐 𝑩𝒔 𝑩𝒔 𝜽𝟐𝒔 𝜽𝟏𝒔 𝑱𝟐 𝒌 𝒔𝟐 𝑱𝟐 𝑩 𝒔 𝟏 𝜽𝟐𝒔 Substituindo 𝜽𝟏𝒔 obtido na equação 1 chegase em 𝑱𝟏𝒔𝟐 𝑩𝒔 𝑱𝟐 𝒌 𝒔𝟐 𝑱𝟐 𝑩 𝒔 𝟏 𝜽𝟐𝒔 𝑩 𝑱𝟐 𝒌 𝒔𝟑 𝑩𝒔 𝜽𝟐𝒔 𝚻𝑩𝒔 Trabalhando cada termo da equação para isolar 𝜽𝟐𝒔 no primeiro membro vemos que 149 𝑱𝟏 𝑱𝟐 𝒌 𝒔𝟒 𝑱𝟏 𝑱𝟐 𝑩 𝒔𝟑 𝑱𝟏𝒔𝟐 𝑩 𝑱𝟐 𝒌 𝒔𝟑 𝑱𝟐𝒔𝟐 𝑩𝒔 𝑩 𝑱𝟐 𝒌 𝒔𝟑 𝑩𝒔 𝜽𝟐𝒔 𝚻𝑩𝒔 Logo 𝑱𝟏 𝑱𝟐 𝒌 𝒔𝟒 𝑱𝟏 𝑱𝟐 𝑩 𝒔𝟑 𝑱𝟏 𝑱𝟐𝒔𝟐 𝜽𝟐𝒔 𝚻𝑩𝒔 𝑮𝒔 𝜽𝟐𝒔 𝚻𝑩𝒔 𝟏 𝑱𝟏 𝑱𝟐 𝒌 𝒔𝟒 𝑱𝟏 𝑱𝟐 𝑩 𝒔𝟑 𝑱𝟏 𝑱𝟐𝒔𝟐 Observação final podemos ainda determinar mais duas funções de transferência a que relaciona o deslocamento angular do corpo 1 com o torque acionador e a que relaciona o deslocamento angular 𝜽𝑩𝒔 com o torque acionador chegando em 𝑮𝟏𝒔 𝜽𝟏𝒔 𝚻𝑩𝒔 𝑱𝟐 𝒌 𝒔𝟐 𝑱𝟐 𝑩 𝒔 𝟏 𝑱𝟏 𝑱𝟐 𝒌 𝒔𝟒 𝑱𝟏 𝑱𝟐 𝑩 𝒔𝟑 𝑱𝟏 𝑱𝟐𝒔𝟐 e 𝑮𝟐𝒔 𝜽𝑩𝒔 𝚻𝑩𝒔 𝑱𝟐 𝒌 𝒔𝟐 𝟏 𝑱𝟏 𝑱𝟐 𝒌 𝒔𝟒 𝑱𝟏 𝑱𝟐 𝑩 𝒔𝟑 𝑱𝟏 𝑱𝟐𝒔𝟐 42 Modelagem de sistemas fluídicos elementos básicos e exemplos de aplicação Nos sistemas de nível podemos trabalhar com as leis físicas de balanço de massa e depois definir alguns elementos básicos como os que fazem oposição à passagem do fluxo de água resistência fluídica e a capacitância fluídica Alguns exemplos de modelos são apresentados a seguir para melhor compreensão desenvolvimento do modelo matemático 150 Exemplo 1 Um tanque recebe água de uma tubulação e começa a aumentar o seu nível conforme representado na figura 436 Determine o comportamento do nível ht em função da vazão de entrada qint Fonte autor Figura 438 Esquema com um tanque que recebe uma vazão de entrada qint Solução fazendo um balanço de massa observamos que a variação de massa que está no tanque é a que entra em função da vazão qint ou seja 𝒅𝑴𝒕 𝒅𝒕 𝝆𝒊𝒏𝒒𝒊𝒏𝒕 Onde Mtkg é a massa no tanque no instante t 𝝆𝒊𝒏 𝒌𝒈𝒎𝟑 é a densidade do fluido que entra no tanque e que será constante e igual a densidade do fluido no tanque e 𝝆 𝒌𝒈𝒎𝟑 e 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝒎𝟑𝒔 é a vazão volumétrica que entra no tanque Lembrando que 𝑴𝒕 𝝆𝑽𝒕 𝝆𝑨 𝒉𝒕 Onde A é a área da seção do tanque que é constante ao longo da altura do tanque e 𝝆 é a densidade do fluido no tanque constante Substituindo o valor da massa na primeira equação 𝒅𝝆𝑨 𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝝆𝒊𝒏𝒒𝒊𝒏𝒕 Podemos cancelar o valor de 𝝆 𝒄𝒐𝒎 𝝆𝒊𝒏 pois são iguais a área não varia com o tempo e chegaremos a seguintes equação 𝑨 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝒒𝒊𝒏𝒕 151 Note que chagamos em uma equação diferencial incompleta de primeira ordem de fácil integração para determinarmos como o nível ht se comporta em função da vazão de entrada qint 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝟏 𝑨 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝒅𝒉𝒕 𝟏 𝑨 𝒒𝒊𝒏𝒕𝒅𝒕 Integrando 𝒅𝒉𝒕 𝟏 𝑨 𝒒𝒊𝒏𝒕𝒅𝒕 𝒉𝒕 𝟏 𝑨 𝒒𝒊𝒏𝒕𝒅𝒕 Note que o nível é a integral da vazão de entrada Se aplicarmos um degrau de vazão isto é qint1t com a área A2m2 teremos 𝒉𝒕 𝟏 𝟐 𝟏𝒅𝒕 𝟏 𝟐 𝒕 𝒄𝒕𝒆 Se o tanque estiver vazio em t0s teremos k0 e 𝒉𝒕 𝟎 𝟓𝒕 Como se verifica o sistema de nível dado tem um caráter integrador Se avaliarmos a função de transferência iremos verificar que 𝓛 𝟐 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝓛𝒒𝒊𝒏𝒕 𝟐𝒔𝑯𝒔 𝑸𝒊𝒏𝒔 𝑮𝒔 𝑯𝒔 𝑸𝒊𝒏𝒔 𝟏 𝟐𝒔 Esta função de transferência possui apenas um polo em s0 ou p0 Assim quando temos um polo na origem do plano s o sistema tem um caráter integrativo Veja a resposta ao degrau unitário na figura 439 dada a seguir 152 Fonte Autor Figura 439 Esquema da resposta ao degrau unitário do sistema de nível Note que 𝑸𝒊𝒏𝒔 𝟏 𝒔 𝑯𝒔 𝟎 𝟓 𝒔 𝑸𝒊𝒏𝒔 𝟎 𝟓 𝒔 𝟏 𝒔 𝟎 𝟓 𝒔𝟐 Aplicando a transformada inversa de Laplace por meio da tabela vemos que 𝒉𝒕 𝟎 𝟓𝒕 Como se observa na entrada do sistema foi colocado um sinal constante e a saída corresponde a uma rampa que revela novamente o caráter integrativo do sistema Assim sistemas que possuem polos na origem com os demais polos com parte real negativa acabam gerando uma saída que é a integral da entrada Exemplo 2 Estude o comportamento do nível no tanque representado na figura 439 que possui uma vazão de entrada qint e uma vazão de saída qoutt Fonte autor Figura 439 Esquema da resposta ao degrau unitário do sistema de nível Solução fazendo um balanço de massa observamos que a variação de massa que está no tanque ocorre devido à diferença entre a vazão de entrada qint e a vazão de saída qoutt ou seja 𝒅𝑴𝒕 𝒅𝒕 𝝆𝒊𝒏𝒒𝒊𝒏𝒕 𝝆𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕 153 Onde Mtkg é a massa de fluido no tanque no instante t 𝝆𝒊𝒏 𝒌𝒈𝒎𝟑 é a densidade do fluido que entra no tanque e que será constante e igual a densidade do fluido no tanque 𝝆 𝒌𝒈𝒎𝟑 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝒎𝟑𝒔 é a vazão volumétrica que entra no tanque e 𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕 𝒎𝟑𝒔 é a vazão volumétrica que sai do tanque Novamente a massa que fica no tanque pode ser expressa em função do nível 𝑴𝒕 𝝆𝑽𝒕 𝝆𝑨 𝒉𝒕 Assim como a densidade é constante e a área A também vemos que 𝒅𝝆𝑨 𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝝆𝒊𝒏𝒒𝒊𝒏𝒕 𝝆𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕 𝑨𝝆 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝝆𝒊𝒏𝒒𝒊𝒏𝒕 𝝆𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕 Então 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕 A vazão de saída como já apresentado pode ser descrita em função do nível através de uma relação nãolinear quando o regime de escoamento é turbulento Assim 𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕 𝒌𝒉𝒕 Esta relação depende das perdas que existem nas tubulações e também de eventuais perdas concentradas válvulas cotovelos etc A equação final nãolinear fica igual a 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝒌𝒉𝒕 𝒒𝒊𝒏𝒕 Se o regime de escoamento for laminar a relação é de proporcionalidade e a equação é linear o que não é comum 154 Como já foi demonstrado podemos linearizar esta relação em torno de um ponto de operação e avaliar o funcionamento do sistema linear para pequenas variações em torno deste ponto Ao final teremos uma equação diferencial de primeira ordem que é válida para variações em torno do ponto de operação Assim teremos um ponto de operação com valor h0 e qin0 definidos A função quadrática pode ser aproximada pela série de Taylor fornecendo 𝒇𝒉 𝒉 𝒉𝟎 𝒅𝒉 𝒅𝒉 𝒉𝒉𝟎 𝒉 𝒉𝟎 𝟏 𝒉𝟎 𝟏 𝟐 𝟏 𝒉𝟎 𝒉 𝒉𝟎 𝒉𝒕 𝟏 𝟐 𝟏 𝒉𝟎 𝒉𝒕 𝒉𝟎 𝟏 𝟐 𝒉𝟎 𝒉𝟎 𝒂𝒉𝒕 𝒃 Onde 𝒂 𝟏 𝟐 𝟏 𝒉𝟎 𝒆 𝒃 𝒉𝟎 𝟏 𝟐 𝒉𝟎 𝒉𝟎 Voltando para a equação diferencial 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝒌𝒂𝒉𝒕 𝒃 𝒒𝒊𝒏𝒕 Quando se estuda uma pequena variação𝒉𝒕 𝒒𝒊𝒏𝒕 em torno do ponto de operação 𝒉𝟎 𝒒𝒊𝒏𝟎 os valores de ht e qint podem ser calculados fazendo 𝒉𝒕 𝒉𝒕 𝒉𝟎 𝒆 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝒒𝒊𝒏𝟎 𝒅𝒉 𝒕 𝒉𝟎 𝒅𝒕 𝒌𝒂𝒉𝒕 𝒉𝟎 𝒃 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝒒𝒊𝒏𝟎 𝒅𝒉 𝒕 𝒉𝟎 𝒅𝒕 𝒌𝒂𝒉𝒕 𝒌𝒂𝒉𝟎 𝒌𝒃 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝒒𝒊𝒏𝟎 155 Na condição de regime o termo da derivada da equação será nulo e como não existem variações pois temos uma situação de regime as variações serão nulas isto é 𝒉𝒕 𝟎 𝒆 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝟎 Dessa forma a equação fica igual a 𝟎 𝒌𝒂𝟎 𝒌𝒂𝒉𝟎 𝒌𝒃 𝟎 𝒒𝒊𝒏𝟎 𝒌𝒂𝒉𝟎 𝒌𝒃 𝒒𝒊𝒏𝟎 Ou seja podemos cancelar estes valores na equação e determinar a equação linearizada que será igual a 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝒌𝒂𝒉𝒕 𝒒𝒊𝒏𝒕 Alguns autores da área de simulação fazem uma analogia com o sistema elétrico para os diversos sistemas físicos e definem um elemento de resistência e um elemento capacitivo Isto facilita os cálculos quando agregamos dois sistemas de nível acoplados Vejamos as definições que são utilizadas na situação descrita Componentes dos sistemas fluídicos Resistência entendese aqui como elemento que faz oposição à passagem do fluido cuja grandeza física é a vazão Como foi citado uma válvula e a própria tubulação fazem essa oposição Em OGATA 2010 é utilizada uma definição para resistência consideremos o fluxo ao longo de uma tubulação curta que conecta dois reservatórios A resistência ou restrição R ao fluxo de líquido nessa tubulação é definida como a variação na diferença de nível dos líquidos nos dois reservatórios necessária para causar uma variação unitária na taxa de escoamento vazão isto é 𝑹 𝒅𝑯 𝒅𝑸 156 Capacitância Fluídica a capacitância de um reservatório é definida como a variação na quantidade de líquido armazenado volume necessária para causar uma alteração unitária na altura potencial isto é 𝑪 𝒅𝑽 𝒅𝑯 Observação através da fórmula dada supondo que o reservatório tenha uma área constante ao longo da sua altura podemos dizer que a capacitância é igual a área de sua seção transversal pois VAH e se aplicarmos a definição da capacitância 𝑪 𝒅𝑨𝑯 𝒅𝑯 𝑨 𝟏 𝑨 Onde V é o volume do tanque H é a altura do fluido e A é a área da seção transversal Exemplo de aplicação Nos sistemas de controle de nível normalmente o controle é elaborado da seguinte forma medese o nível e o sinal é enviado para o controlador No controlador este sinal é comparado com um valor de referência set point e gera se um erro No controle digital este erro é utilizado em uma equação de diferenças de uma estratégia de controle específica para gerar a saída do controlador O sinal de saída é aplicado em uma válvula de controle da vazão de entrada do tanque para alterar o nível A vazão de saída não é controlada sendo uma variável de perturbação O modelo matemático do tanque é importante para projetar o controlador Não só do tanque mas da válvula de controle e do sensor de nível A figura 440 apresenta o tanque com fluido onde se deseja propor um modelo matemático que forneça o comportamento do nível em função da vazão de entrada Note que existe uma válvula na saída do tanque que pode alterar a vazão de saída 157 Fonte autor Figura 440 Sistema de nível de líquido com válvula de controle na entrada e válvula manual na saída Solução neste caso vamos utilizar os efeitos de resistência ao fluxo imposto pela perda concentrada da válvula manual na saída com o objetivo de estabelecer a relação entre a vazão de entrada qint e o nível ht que é a saída do sistema Vamos verificar dois comportamentos para o modelo matemático para o fluxo de saída através da válvula ser laminar ou por ser turbulento a Se o fluxo de saída através da válvula manual for laminar a relação entre vazão de saída e o nível é de proporcionalidade 𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕 𝒌𝒉𝒕 Onde 𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕 é a vazão volumétrica em regime permanente em m3s K é um coeficiente em m2s e ht é o nível em regime permanente em m Assim a resistência para o fluxo laminar será dada por 𝑹𝒍 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕 𝒉𝒕 𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕 Note que Rl1k Pelo balanço de massa teremos que a diferença entre a vazão de entrada e saída em um intervalo de tempo dt é igual à quantidade adicional armazenada no tanque isto é 𝒅𝑽 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕𝒅𝒕 158 Como foi visto na definição de capacitância fluídica 𝒅𝑽 𝑪 𝒅𝒉𝒕 Assim temos 𝑪 𝒅𝒉𝒕 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕𝒅𝒕 Substituindo 𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕 pela relação com a resistência devido ao fluxo laminar 𝑹𝒍 𝒉𝒕 𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕 𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕 𝒉𝒕 𝑹𝒍 Chegase no seguinte modelo para o sistema de nível 𝑪 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝒉𝒕 𝑹𝒍 𝒒𝒊𝒏𝒕 Ou simplesmente 𝑹𝒍𝑪 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝒉𝒕 𝑹𝒍𝒒𝒊𝒏𝒕 b Se o fluxo de saída através da válvula manual for turbulento a relação entre vazão de saída e o nível é quadrática isto é 𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕 𝒌𝒉𝒕 Diferentemente do exemplo 2 podemos calcular a resistência e verificaremos que ela depende do ponto de operação do sistema já que não é uma relação linear No entanto em torno do ponto de operação podemos supor que a resistência é constante utilizando a reta tangente que passa pelo ponto ou seja a função dada acima é linearizada em torno do ponto de operação 𝒉𝟎 𝒒𝒐𝒖𝒕𝟎 conforme apresentado na figura 441 Ponto de operação 𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕 𝒎𝟑𝒔 𝒉𝒕 𝒎 𝒉𝟎 𝒒𝒐𝒖𝒕𝟎 𝒉𝒕 𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕 159 Fonte autor Figura 441 Curva entre ht e qoutt com indicação do ponto de operação para processo de linearização O modelo linearizado é válido para as variações 𝒉𝒕 𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕 em torno do ponto de operação 𝒉𝟎 𝒒𝒐𝒖𝒕𝟎 A resistência do regime turbulento será calculada fazendose 𝑹𝒕 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒒𝒐𝒖𝒕 𝒉𝟎𝒒𝒐𝒖𝒕𝟎 Podemos expressar ht em função de qoutt que valerá 𝒉𝒕 𝒌𝟏𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕𝟐 Note que 𝒌𝟏 𝒉𝒕𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕𝟐 Assim teremos 𝑹𝒕 𝒅𝒌𝟏𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕𝟐 𝒅𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕 𝒉𝟎𝒒𝒐𝒖𝒕𝟎 𝟐𝒌𝟏𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕𝒉𝟎𝒒𝒐𝒖𝒕𝟎 Substituindo o valor de k1 𝑹𝒕 𝟐 𝒉𝒕 𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕𝟐 𝒒𝒐𝒖𝒕𝒕 𝒉𝟎𝒒𝒐𝒖𝒕𝟎 𝑹𝒕 𝟐 𝒉𝟎 𝒒𝒐𝒖𝒕𝟎 O modelo linearizado será dado em função das variações em torno do ponto de operação e terá a mesma relação obtida para o modelo do regime laminar ou seja a equação diferencial final será dada por 160 𝑹𝒕𝑪 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝒉𝒕 𝑹𝒕𝒒𝒊𝒏𝒕 Note para o ponto de operação escolhido o valor da vazão de saída e de entrada é o mesmo já que se admite que existe a situação de regime permanente ou seja o nível é o valor de operação e a vazão de saída é igual a vazão de entrada A partir daí teremos um modelo equivalente ao laminar porém com um valor de resistência diferente que varia em torno do ponto de operação que se está trabalhando Modelo Linearizado 𝑹𝒕𝑪 𝒅𝒉𝒕 𝒅𝒕 𝒉𝒕 𝑹𝒕𝒒𝒊𝒏𝒕 c Modelo com dois tanques a figura 442 apresenta um sistema com dois tanques onde a vazão de saída do primeiro corresponde a vazão de entrada do segundo tanque havendo válvulas manuais que restringem o fluxo nas saídas dos tanques e uma válvula de controle no primeiro tanque Admitindo o regime turbulento e que temos pequenas variações em torno de um ponto de operação determine a função de transferência que relaciona o nível do segundo tanque com a vazão de entrada do tanque 1 Utilize os elementos de capacitância C1 e C2 e de resistência Rt1 e Rt2 para os tanques 1 e 2 respectivamente Fonte autor Figura 442 Representação de um sistema de nível de dois tanques interconectados 161 As variáveis do modelo são válidas em torno do ponto de operação quando em regime permanente com pequenas variações em torno deste ponto ou seja 𝒉𝟏𝒕 𝒉𝟎𝟏 𝒉𝟏𝒕 𝒉𝟐𝒕 𝒉𝟎𝟐 𝒉𝟐𝒕 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝒒𝒊𝒏𝟎 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝒒𝟏𝒐𝒖𝒕𝒕 𝒒𝟏𝒐𝒖𝒕𝟎 𝒒𝟏𝒐𝒖𝒕𝒕 𝒒𝟐𝒐𝒖𝒕𝒕 𝒒𝟐𝒐𝒖𝒕𝟎 𝒒𝟐𝒐𝒖𝒕𝒕 Solução devemos determinar as equações dos modelos de cada tanque e lembrar que a vazão de saída do tanque 1 é igual a vazão de entrada do tanque 2 mas é calculada em função da diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 da figura 442 Valem as relações Para o tanque 1 𝑪𝟏𝒅𝒉𝟏𝒕 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝒒𝟏𝒐𝒖𝒕𝒕𝒅𝒕 𝒒𝟏𝒐𝒖𝒕𝒕 𝒉𝟏𝒕 𝒉𝟐𝒕 𝑹𝒕𝟏 Para o tanque 2 𝑪𝟐𝒅𝒉𝟐𝒕 𝒒𝟏𝒐𝒖𝒕𝒕 𝒒𝟐𝒐𝒖𝒕𝒕𝒅𝒕 𝒒𝟐𝒐𝒖𝒕𝒕 𝒉𝟐𝒕 𝑹𝒕𝟐 Substituindo os valores das vazões de saída nas equações de balanço de massa 162 𝑪𝟏𝒅𝒉𝟏𝒕 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝒉𝟏𝒕 𝒉𝟐𝒕 𝑹𝒕𝟏 𝒅𝒕 𝑪𝟏 𝒅𝒉𝟏𝒕 𝒅𝒕 𝟏 𝑹𝒕𝟏 𝒉𝟏𝒕 𝟏 𝑹𝒕𝟏 𝒉𝟐𝒕 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝑪𝟐𝒅𝒉𝟐𝒕 𝒉𝟏𝒕 𝒉𝟐𝒕 𝑹𝒕𝟏 𝒉𝟐𝒕 𝑹𝒕𝟐 𝒅𝒕 𝑪𝟐 𝒅𝒉𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝟏 𝑹𝒕𝟐 𝟏 𝑹𝒕𝟏 𝒉𝟐𝒕 𝒉𝟏𝒕 𝑹𝒕𝟏 Temos duas equações a duas incógnitas 𝒉𝟏𝒕 e 𝒉𝟐𝒕 Podemos calcular o valor da função de transferência que relaciona o nível do segundo tanque com a vazão de alimentação do tanque 1 isolando 𝒉𝟏𝒕 na segunda equação e substituindo o valor obtido na primeira equação 𝒉𝟏𝒕 𝑹𝒕𝟏 𝑪𝟐 𝒅𝒉𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝟏 𝑹𝒕𝟐 𝟏 𝑹𝒕𝟏 𝒉𝟐𝒕 𝑹𝒕𝟏𝑪𝟐 𝒅𝒉𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝑹𝒕𝟏 𝟏 𝑹𝒕𝟐 𝟏 𝑹𝒕𝟏 𝒉𝟐𝒕 𝒉𝟏𝒕 𝑹𝒕𝟏𝑪𝟐 𝒅𝒉𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝑹𝒕𝟏 𝑹𝒕𝟐 𝟏 𝒉𝟐𝒕 Substituindo na primeira equação 𝑪𝟏 𝒅 𝑹𝒕𝟏𝑪𝟐 𝒅𝒉𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝑹𝒕𝟏 𝑹𝒕𝟐 𝟏 𝒉𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝟏 𝑹𝒕𝟏 𝑹𝒕𝟏𝑪𝟐 𝒅𝒉𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝑹𝒕𝟏 𝑹𝒕𝟐 𝟏 𝒉𝟐𝒕 𝟏 𝑹𝒕𝟏 𝒉𝟐𝒕 𝒒𝒊𝒏𝒕 Trabalhando a equação acima 𝑹𝒕𝟏𝑪𝟏𝑪𝟐 𝒅𝟐𝒉𝟐𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝑪𝟏 𝑹𝒕𝟏 𝑹𝒕𝟐 𝟏 𝒅𝒉𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝑪𝟐 𝒅𝒉𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝟏 𝑹𝒕𝟏 𝑹𝒕𝟏 𝑹𝒕𝟐 𝟏 𝒉𝟐𝒕 𝟏 𝑹𝒕𝟏 𝒉𝟐𝒕 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝑹𝒕𝟏𝑪𝟏𝑪𝟐 𝒅𝟐𝒉𝟐𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝑪𝟏 𝑹𝒕𝟏 𝑹𝒕𝟐 𝑹𝒕𝟐 𝑪𝟐 𝒅𝒉𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝟏 𝑹𝒕𝟐 𝒉𝟐𝒕 𝟏 𝑹𝒕𝟏 𝒉𝟐𝒕 𝟏 𝑹𝒕𝟏 𝒉𝟐𝒕 𝒒𝒊𝒏𝒕 Finalmente 163 𝑹𝒕𝟏𝑹𝒕𝟐𝑪𝟏𝑪𝟐 𝒅𝟐𝒉𝟐𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝑹𝒕𝟏𝑪𝟏 𝑹𝒕𝟐𝑪𝟏 𝑹𝒕𝟐𝑪𝟐 𝒅𝒉𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝒉𝟐𝒕 𝑹𝒕𝟐𝒒𝒊𝒏𝒕 Aplicando a transformada de Laplace sobre os dois membros da equação vemos que 𝓛 𝑹𝒕𝟏𝑹𝒕𝟐𝑪𝟏𝑪𝟐 𝒅𝟐𝒉𝟐𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝑹𝒕𝟏𝑪𝟏 𝑹𝒕𝟐𝑪𝟏 𝑹𝒕𝟐𝑪𝟐 𝒅𝒉𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝒉𝟐𝒕 𝓛𝑹𝒕𝟐𝒒𝒊𝒏𝒕 𝑹𝒕𝟏𝑹𝒕𝟐𝑪𝟏𝑪𝟐𝒔𝟐𝑯 𝟐𝒔 𝑹𝒕𝟏𝑪𝟏 𝑹𝒕𝟐𝑪𝟏 𝑹𝒕𝟐𝑪𝟐𝒔𝑯 𝟐𝒔 𝑯 𝟐𝒔 𝑹𝒕𝟐𝑸 𝒊𝒏𝒔 Isolando no primeiro termo da equação a relação 𝑯 𝟐𝒔𝑸𝒊𝒏𝒔 temos 𝑮𝒔 𝑯 𝟐𝒔 𝑸𝒊𝒏𝒔 𝑹𝒕𝟐 𝑹𝒕𝟏𝑹𝒕𝟐𝑪𝟏𝑪𝟐𝒔𝟐 𝑹𝒕𝟏𝑪𝟏 𝑹𝒕𝟐𝑪𝟏 𝑹𝒕𝟐𝑪𝟐𝒔 𝟏 Obs Podemos determinar outras funções de transferência sempre com relação a vazão de entrada do tanque 1 Por exemplo com a saída sendo o nível do tanque 1 ou a vazão de saída do tanque 2 aproximação por parâmetros concentrados nos modelos uma vez que eles têm características distribuídas Como se sabe a resistência térmica faz oposição ao fluxo de calor e a capacitância é a forma de armazenar energia térmica associada à variação de temperatura Valem aqui as seguintes definições Resistência Térmica Para a transferência de calor entre duas substâncias pode ser definida como a razão entre a variação na diferença de temperatura 𝒅𝚫𝜽 oCe a variação na taxa de fluxo de calor 𝐝𝐪kcals ou seja 𝑹 𝒅𝚫𝜽 𝒅𝒒 164 Capacitância Térmica A capacitância térmica é definida como a razão entre a variação no calor armazenado kcal e a variação na temperatura oC A partir desta razão chegase na seguinte equação 𝑪 𝒎𝒄 Onde m é a massa da substância em questão kg e c é o calor específico kcalkgoC A transferência de calor ou simplesmente o calor flui entre duas substâncias ou corpos a partir de três fenômenos observados a condução a convecção e a radiação Esta última não será considerada nesta análise pois ela ocorre quando um dos corpos tem temperatura excessivamente elevada o que não é comum nos sistemas de controle de temperatura Assim podemos aproximar a transferência de calor por condução ou por convecção através da relação 𝒒 𝑲𝚫𝜽 Onde 𝚫𝜽 é a diferença de temperatura entre os dois corpos oC K é o coeficiente de transferência kcalsoC e q é a taxa de fluxo de calor kcals O valor de K é determinado em função do tipo de fenômeno que ocorre Condução 𝑲 𝒌𝑨 𝚫𝐗 Onde 𝒌 é a condutividade térmica kcalmsoC 𝑨 é a área normal ao fluxo de calor m2 e 𝚫𝐗 é a espessura do corpo Convecção 𝑲 𝑯𝑨 165 Onde A é a área normal e H é o coeficiente de convecção Em função da relação de transferência é fácil determinar que a resistência térmica será dada por 𝑹 𝒅 𝟏 𝑲 𝒒 𝒅𝒒 𝟏 𝑲 Uma vez definido estes elementos do sistema térmico e utilizando o balanço de energia teremos os exemplos abaixo 1 Um tanque representado na figura 443 com um bom isolamento térmico é utilizado para aquecer um fluído que entra com uma vazão mássica G kgs utilizando uma resistência física Para ter uma boa homogeneidade da temperatura é utilizado um misturador que garante a mesma temperatura em todo o tanque temperatura uniforme Determine o comportamento da temperatura de saída do tanque em função da variação da taxa de entrada de calor Fonte autor Figura 443 Representação de um sistema térmico com fluído entrando e saindo do tanque e sendo aquecido por um aquecedor Solução A fim de simplificar cálculos verificase que A temperatura no tanque é a mesma e igual a saída uma vez que temos um isolamento térmico que reduz a perda para o meio externo a valores desprezíveis 166 A temperatura do líquido frio é constante isto é não varia com o tempo A vazão mássica de entrada e saída é a mesma não necessitando de um balanço de massa apenas um balanço de energia Trabalharemos com as seguintes variáveis G é a vazão mássica de entrada e de saída kgs 𝜽𝒊𝒕 é a temperatura de entrada do líquido frio oC e 𝜽𝒐𝒕 é a temperatura de saída do líquido quente oC M é a massa de líquido no tanque kg c é o calor específico do fluído kcalkgoC R é a resistência térmica oCskcal C é a capacitância térmica kcaloC e 𝒉 é a taxa de entrada de calor quando o sistema está em regime permanente kcals imposta pelo aquecedor Supondo que a temperatura do líquido frio de entrada é constante e a taxa de entrada de calor é feita somente pela resistência e na condição de que o regime permanente seja igual a 𝒉 As temperaturas de entrada e saída também estão em regime iguais a 𝜽𝒐 𝒆 𝜽𝒊 Neste instante há uma pequena variação da taxa de entrada de calor do aquecedor dada por 𝒉𝒕 e 𝒉𝒕 𝒉 𝒉𝒕 que causa uma pequena variação na temperatura de saída de 𝜽𝒐𝒕 e 𝜽𝒐𝒕 𝜽𝒐 𝜽𝒐𝒕 e uma pequena taxa de variação da taxa de saída de calor de saída 𝒉𝒐𝒕 e 𝒉𝒐𝒕 𝒉𝒐 𝒉𝒐𝒕 O balanço de calor é dado por 𝑪𝒅𝜽𝒐𝒕 𝒉𝒕 𝒉𝒐𝒕𝒅𝒕 Note que 𝒉𝒐𝒕 𝑮𝒄𝜽𝒐𝒕 𝑪 𝑴𝒄 𝑹 𝜽𝒐 𝒉𝒐 𝜽𝒐𝒕 𝒉𝒐𝒕 𝟏 𝑮𝒄 167 Em torno do ponto de operação 𝜽𝒐 𝒉𝒐 a resistência térmica é constante inclusive para a pequena variação em torno deste ponto de operação Substituindo a taxa de saída de calor pela relação com a temperatura de saída no tanque que é igual a temperatura do tanque vemos que 𝑪 𝒅𝜽𝒐𝒕 𝒅𝒕 𝟏 𝑹 𝜽𝒐𝒕 𝒉𝒕 ou 𝑹𝑪 𝒅𝜽𝒐𝒕 𝒅𝒕 𝜽𝒐𝒕 𝑹𝒉𝒕 Representase a relação entre a variação da temperatura de saída em função da taxa de calor do aquecedor Podemos determinar a função de transferência aplicando a transformada de Laplace com condições iniciais nulas e isolar a relação entre a temperatura e a taxa de calor devido à resistência 𝓛 𝑹𝑪 𝒅𝜽𝒐𝒕 𝒅𝒕 𝜽𝒐𝒕 𝓛𝑹𝒉𝒕 Assim 𝑹𝑪𝒔𝚯𝒐𝒔 𝚯𝒐𝒔 𝑹𝑯𝒔 𝑹𝑪𝒔 𝟏𝚯𝒐𝒔 𝑹𝑯𝒔 Isolando a relação da função de transferência no primeiro membro da equação teremos 𝑮𝟏𝒔 𝚯𝒐𝒔 𝑯𝒔 𝑹 𝑹𝑪𝒔 𝟏 Podemos também estudar a variação de temperatura de saída em função da variação da temperatura de entrada do líquido supondo que não há variação na taxa de variação de calor devido ao aquecedor Posteriormente podemos conjugar os dois efeitos em um único modelo aplicando o teorema da superposição de efeitos Neste caso teremos um determinado instante em que há uma variação na taxa de calor do líquido de entrada de 𝜽𝒊 para 𝜽𝒊 𝜽𝒊𝒕 Isto irá causar uma variação na temperatura 168 de saída de 𝜽𝒐 para 𝜽𝒐 𝜽𝒐𝒕 Assim a equação de balanço de calor é devido a variação da taxa de calor de entrada que causa uma variação na taxa de calor de saída isto é 𝑪𝒅𝜽𝒐𝒕 𝒉𝒊𝒕 𝒉𝒐𝒕𝒅𝒕 Onde 𝒉𝒊𝒕 𝑮𝒄𝜽𝒊𝒕 e 𝒉𝒐𝒕 𝜽𝒐𝒕𝑹 Portanto 𝑪 𝒅𝜽𝒐𝒕 𝒅𝒕 𝟏 𝑹 𝜽𝒊𝒕 𝟏 𝑹 𝜽𝒐𝒕 Finalmente 𝑹𝑪 𝒅𝜽𝒐𝒕 𝒅𝒕 𝜽𝒐𝒕 𝜽𝒊𝒕 A função de transferência será dada por 𝑮𝟐𝒔 𝚯𝒐𝒔 𝚯𝒊𝒔 𝟏 𝑹𝑪𝒔 𝟏 Analisando o efeito das duas componentes teremos a seguinte equação diferencial 𝑹𝑪 𝒅𝜽𝒐𝒕 𝒅𝒕 𝜽𝒐𝒕 𝜽𝒊𝒕 𝑹𝒉𝒕 A função de transferência dos dois efeitos é a soma das duas funções calculadas 𝑮𝒔 𝑮𝟏𝒔 𝑮𝟐𝒔 𝑹 𝑹𝑪𝒔 𝟏 𝟏 𝑹𝑪𝒔 𝟏 𝑹 𝟏 𝑹𝑪𝒔 𝟏 2 Na figura 343 é representado um termômetro de parede fina de mercúrio que estava no ambiente externo à uma cuba em temperatura de regime 𝜽 169 Posteriormente foi colocado em uma cuba cuja temperatura é dada por 𝜽 𝜽𝒄𝒕 onde 𝜽𝒄𝒕 representa o acréscimo de temperatura constante ou não em relação à temperatura ambiente Isso provocará um aumento da temperatura do termômetro de 𝜽 para 𝜽 𝜽𝒕 Determine o comportamento da temperatura do termômetro 𝜽𝒕 em função da temperatura do fluido da cuba 𝜽𝒄𝒕 Fonte Autor Figura 444 Representação de um termômetro de parede fina de mercúrio que estava no ambiente externo à uma cuba em temperatura de regime 𝜽 Solução o balanço de calor neste caso será dado em função da absorção do calor pela capacitância térmica ou seja 𝑪𝒅𝜽𝒕 𝒒𝒕𝒅𝒕 Lembrando pela definição que 𝑹 𝒅𝚫𝜽 𝒅𝒒 𝚫𝜽 𝒒 Logo o calor absorvido está relacionado com a resistência térmica por 𝒒𝒕 𝜽 𝜽𝒄𝒕 𝜽 𝜽𝒕 𝑹 𝜽𝒄𝒕 𝜽𝒕 𝑹 Substituindo na equação do balanço de calor 170 𝑪 𝒅𝜽𝒕 𝒅𝒕 𝜽𝒄𝒕 𝜽𝒕 𝑹 𝑹𝑪 𝒅𝜽𝒕 𝒅𝒕 𝜽𝒕 𝜽𝒄𝒕 Conclusão Vimos neste bloco os modelos de sistemas mecânicos em especial um sistema muito utilizado na análise de dinâmica de sistemas mecânicos que é o sistema massa mola e amortecedor Além destes elementos avaliamos sistemas do ponto de vista translacional com movimento rotacional e também foram apresentados os modelos matemáticos de sistemas fluídicos e térmicos Desenvolver um modelo matemático ou simplesmente executar a modelagem de um sistema dinâmico é uma tarefa complexa uma vez que é necessário o conhecimento dos componentes que compõem o sistema das leis físicas que regem o comportamento das variáveis e as relações existentes entre as grandezas físicas dos componentes do sistema que estão sendo avaliadas Bibliografia Consultada e Recomendada OGATA K Engenharia de Controle Moderno 5a ed São Paulo Pearson 2010 NISEN S Engenharia de sistemas de controle 7ª ed Rio de Janeiro LTC 2017 KLUEVER C A Sistemas dinâmicos modelagem simulação e controle 1ª ed Rio de Janeiro LTC 2018 171 VARGAS F J T Ferramentas de álgebra computacional aplicações em modelagem simulação e controle para engenharia 1ª ed Rio de Janeiro LTC 2015 GARCIA C Controle de processos industriais estratégias convencionais 1a ed Digital Ed Edgard Blücher Ltda 2018 5 MODELOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS ELÉTRICOS Caros alunos neste bloco apresentaremos os modelos de sistemas elétricos em especial de circuitos com componentes básicos como resistores capacitores e indutores Também serão apresentados os modelos matemáticos de circuitos com estes elementos e amplificadores operacionais modelos matemáticos de motores CC dentre outros Quaisquer dúvidas que vocês tiverem consultem o tutor ou o professor responsável pela disciplina 51 Modelos matemáticos de sistemas elétricos Os sistemas elétricos são utilizados na área de desenvolvimento de modelos matemáticos pois são sistemas com características lineares e invariantes no tempo além de serem simples de ser concebidos 172 Cabe ressaltar o fato das analogias existentes entre diferentes sistemas físicos inclusive os sistemas fluídicos e térmicos que utilizam do efeito da resistência e capacitância nos seus modelos matemáticos As variáveis de interesse aqui são a tensão carga elétrica corrente potência e energia com a seguinte notação Tensão diferença de potencial Utilizamse as letras vt ut e et unidade volts V Corrente movimento de cargas elétricas Utilizase a letra it unidade ampere A Carga elétrica utilizase a letra qt unidade coloumb C Potência elétrica utilizase a letra pt unidade watts W Energia Elétrica utilizase a letra wt unidade wattshora Wh A análise do circuito se faz através das relações constitutivas dos bipolos resistor capacitor e indutor utilizando as leis dos nós e das malhas de Kirchhoff que serão apresentadas a seguir Relações constitutivas dos componentes Resistor Os resistores são bipolos que seguem as leis de ohm o que define a sua relação entre tensão e corrente Os bipolos nãoôhmicos podem ser modelados desde que seu comportamento seja linearizado em torno de um ponto de operação Assim é possível trabalhar com o modelo de lâmpadas que não seguem a lei de ohm Simbologia e unidade ohms Ω RESISTOR FÍSICO exemplo SIMBOLOGIA NO ESQUEMA ELÉTRICO 173 ou R Fonte autor Figura 51 Aspecto físico de um resistor e sua simbologia Relação Lei de ohm 𝒗𝑹𝒕 𝑹𝒊𝒕 𝒐𝒖 𝒊𝒕 𝟏 𝑹 𝒗𝑹𝒕 Onde R é o valor da resistência em ohms Ω e a relação entre tensão e corrente é de proporcionalidade Capacitor Os capacitores são componentes que acumulam cargas elétricas proporcionalmente à sua tensão e em função de características geométricas e de natureza física dada pela Capacitância C em Faraday F Valem as relações 𝒒𝒕 𝑪 𝒗𝑪𝒕 e 𝒊𝒕 𝒅𝒒𝒕 𝒅𝒕 Substituindo a primeira relação na segunda chegase na relação constitutiva do componente 𝒊𝒕 𝑪 𝒅𝒗𝑪𝒕 𝒅𝒕 Simbologia e unidades Faraday F CAPACITOR FÍSICO exemplo SIMBOLOGIA NO ESQUEMA ELÉTRICO 174 Fonte autor Figura 52 Aspecto físico de um capacitor e sua simbologia Indutor O indutor quando ocorre uma variação de corrente em seus terminais produz uma força eletromotriz ou tensão para que a corrente permanece a mesma Esta tensão é diretamente proporcional à taxa de variação de corrente definindo a sua relação constitutiva dada por 𝒗𝑳𝒕 𝑳 𝒅𝒊𝑳𝒕 𝒅𝒕 Onde L é a constante de proporcionalidade e sendo a propriedade que representa a oposição à mudança do fluxo de corrente através do indutor Simbologia e unidade Henry H INDUTOR FÍSICO exemplo SIMBOLOGIA NO ESQUEMA ELÉTRICO Fonte autor Figura 53 Aspecto físico de um indutor e sua simbologia As leis físicas para desenvolvimento dos modelos matemáticos leis de kirchhoff Lei das Malhas a somatória das tensões dos componentes de uma malha é igual a zero L 175 Lei das malhas 𝑽𝒊 𝟎 𝒎𝒂𝒍𝒉𝒂 𝑰𝜶 Lei dos Nós A somatória das correntes em um nó é igual a zero ou a somatória das correntes que entram no Nó é igual a somatória das correntes que saem do Nó Lei dos Nós 𝑰𝒊 𝟎 𝑵ó 𝑨 Assim como nos demais sistemas físicos é possível determinar uma variável de saída de um circuito elétrico em função de uma entrada o que pode ser uma fonte de tensão fonte de corrente ou qualquer outro sinal de entrada como circuitos abertos ou em curtocircuito Por exemplo quando se fala que no instante zero segundos t0s foi aplicado em um circuito RC com um sinal de tensão constante de 1 volt podemos entender do ponto de vista matemático que foi aplicado um degrau unitário na entrada do sistema A variável de saída pode ser a corrente do circuito a tensão no capacitor ou a tensão no resistor e com os valores de corrente e tensão é possível determinar o valor das outras variáveis do circuito como a potência energia etc A fim de determinar as equações no tempo devemos somente aplicar os conceitos aqui apresentados Se quisermos determinar o comportamento da saída no tempo frente a uma entrada imposta ou a função de transferência podemos aplicar a transformada de Laplace sobre a equação ou resolver o circuito através da relação de impedâncias de cada um dos bipolos 176 Vejamos alguns exemplos Exemplo 1 dado o circuito RC da figura 54 determine a O comportamento da tensão do capacitor vct em função da tensão de alimentação ut b O valor da tensão do capacitor no instante de 05 segundo dado que as condições iniciais eram nulas e foi aplicado um sinal de tensão de 2 volts c O valor da função de transferência através da equação e aplicando as relações de impedância do circuito na variável de Laplace Iα VC VR ut R C I Fonte autor Figura 54 circuito RC série com entrada ut e saída vct Solução Aplicando a lei das malhas 𝑽𝒊 𝟎 𝒎𝒂𝒍𝒉𝒂 𝑰𝜶 𝒖𝒕 𝒗𝑹𝒕 𝑽𝑪𝒕 𝟎 Assim 𝒗𝑹𝒕 𝒗𝑪𝒕 𝒖𝒕 Devemos substituir a tensão no resistor por uma relação coma tensão do capacitor Desta forma aplicamos as relações constitutivas 𝒗𝑹𝒕 𝑹 𝒊𝒕 𝒆 𝒊𝒕 𝑪 𝒅𝒗𝒄𝒕 𝒅𝒕 Podemos substituir a corrente dada na relação do capacitor na relação do resistor pois a corrente no resistor e no capacitor é a mesma já que temos um circuito série Logo fazendo as substituições adequadas vemos que 177 𝒗𝑹𝒕 𝑹𝑪 𝒅𝒗𝒄𝒕 𝒅𝒕 Assim substituindo na equação de malha o valor da tensão no resistor o resultado na seguinte equação fornece a relação entre a tensão no capacitor e a tensão de alimentação 𝑹𝑪 𝒅𝒗𝒄𝒕 𝒅𝒕 𝒗𝒄𝐭 𝐮𝐭 Numericamente RC1k1000𝝁10³10³𝟏𝟎𝟔 RC1s 𝟏 𝒅𝒗𝒄𝒕 𝒅𝒕 𝒗𝒄𝒕 𝒖𝒕 Note que foram aplicadas as leis das malhas e a relação constitutiva do capacitor e do resistor para determinar uma equação diferencial linear de primeira ordem que representa o comportamento do capacitor só podemos ter termos referentes a saída no primeiro membro da equação b Desejase o valor da tensão no capacitor quando t05s e ut21t Aplicando a transformada de Laplace nos dois termos da equação e impondo condições iniciais nulas vemos que 𝓛 𝒅𝒗𝒄𝒕 𝒅𝒕 𝒗𝒄𝒕 𝓛𝒖𝒕 𝒔𝑽𝒄𝒔 𝑽𝒄𝒔 𝑼𝒔 178 Substituindo o valor de Us já que 𝒖𝒕 𝟐 𝟏𝒕 𝑼𝒔 𝟐 𝟏 𝒔 Então 𝒔 𝟏𝑽𝒄𝒔 𝟐 𝟏 𝒔 Isolando no primeiro membro da equação 𝑽𝒄𝒔 𝟐 𝟏 𝒔𝒔 𝟏 Se determinarmos a transformada inversa teremos o valor da tensão no capacitor ao longo do tempo Na tabela de pares de transformada 𝟏 𝒂 𝟏𝒕 𝒆𝒂𝒕 𝟏 𝒔𝒔 𝒂 Com a1 temos 𝒗𝒄𝒕 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏𝒕 𝒆𝟏𝒕 𝒗𝒄𝒕 𝟐𝟏𝒕 𝒆𝟏𝒕 Para t05s 𝒗𝒄𝒕 𝟐𝟏𝒕 𝒆𝟎𝟓 𝒗𝒄𝒕 𝟎 𝟕𝟖𝑽 c A função de transferência é calculada através da aplicação da transformada de Laplace na equação o que já foi feito Assim 𝒔𝑽𝒄𝒔 𝑽𝒄𝒔 𝑼𝒔 179 Isolando no primeiro membro a relação de entrada e saída temos 𝒔 𝟏𝑽𝒄𝒔 𝑼𝒔 𝑮𝒔 𝑽𝒄𝒔 𝑼𝒔 𝟏 𝒔 𝟏 Observação final Podemos chegar no mesmo valor através das impedâncias dos componentes na variável s Resistor 𝒁𝑹 𝑹 Capacitor 𝒁𝑪 𝟏 𝒔𝑪 Indutor 𝒁𝑳 𝒔𝑳 Aplicando no exercício a ideia de divisor de impedâncias 𝑽𝒄𝒔 𝑼𝒔 𝒁𝑪 𝒁𝑻𝑶𝑻𝑨𝑳 𝑼𝒔 𝒁𝑪 𝒁𝑪 𝒁𝑹 𝑮𝒔 𝑽𝒄𝒔 𝑼𝒔 𝒁𝑪 𝒁𝑪 𝒁𝑹 Logo podemos chegar no mesmo valor 𝑮𝒔 𝟏 𝒔𝑪 𝟏 𝒔𝑪 𝑹 𝟏 𝒔𝑪 𝑹𝑪𝒔 𝟏 𝒔𝑪 𝑮𝒔 𝟏 𝑹𝑪𝒔 𝟏 𝑮𝒔 𝟏 𝒔 𝟏 Exemplo 2 Para o circuito da figura 55 determine a equação diferencial que define o comportamento da tensão do capacitor v2t em função da tensão de alimentação v1t e a função de transferência correspondente sabendo que C100mF L300mH e R1kΩ 180 Fonte autor Figura 55 Circuito com resistor indutor e capacitor onde será modelada a relação entre atenção no capacitor e a tensão da fonte Solução Como devemos calcular a equação diferencial que define o comportamento da tensão do capacitor v2t em função da tensão de alimentação v1t é interessante depois de determinar a equação aplicar a transformada de Laplace para chegar na função de transferência Assim podemos utilizar o nó A do circuito e aplicar a Lei dos nós 𝑰𝒊 𝟎 𝒏ó 𝑨 𝒊𝒕 𝒊𝑹𝒕 𝒊𝑳𝒕 𝟎 Utilizando as relações constitutivas 𝒊𝑹𝒕 𝟏 𝑹 𝒗𝑹𝒕 𝒊𝑳𝒕 𝟏 𝑳 𝒗𝑳𝒕𝒅𝒕 𝒊𝑪𝒕 𝒊𝒕 𝑪 𝒅𝒗𝑪𝒕 𝒅𝒕 𝑪 𝒅𝒗𝟐𝒕 𝒅𝒕 vRt v1t C i vLt L v2t Nó A R iR iL 181 As tensões no indutor e no resistor são iguais e dadas pela diferença das tensões v1t e v2t Assim podemos modificar a equação dos nós obtendo 𝑪 𝒅𝒗𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝟏 𝑹 𝒗𝟏𝒕 𝒗𝟐𝒕 𝟏 𝑳 𝒗𝟏𝒕 𝒗𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝟎 Para obtermos uma equação diferencial devemos derivar todos os termos da equação a fim de eliminar o termo integral 𝒅 𝑪 𝒅𝒗𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝟏 𝑹 𝒗𝟏𝒕 𝒗𝟐𝒕 𝟏 𝑳 𝒗𝟏𝒕 𝒗𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝟎 Assim teremos 𝑪 𝒅𝟐𝒗𝟐𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝟏 𝑹 𝒅𝒗𝟏𝒕 𝒅𝒕 𝟏 𝑹 𝒅𝒗𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝟏 𝑳 𝒗𝟏𝒕 𝟏 𝑳 𝒗𝟐𝒕 𝟎 Isolando a saída no primeiro membro da equação e a entrada no segundo membro vemos que 𝑪 𝒅𝟐𝒗𝟐𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝟏 𝑹 𝒅𝒗𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝟏 𝑳 𝒗𝟐𝒕 𝟏 𝑹 𝒅𝒗𝟏𝒕 𝒅𝒕 𝟏 𝑳 𝒗𝟏𝒕 Substituindo os valores de R L e C chegase a 𝟎 𝟏 𝒅𝟐𝒗𝟐𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝟏 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒅𝒗𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝟏 𝟎 𝟑 𝒗𝟐𝒕 𝟏 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒅𝒗𝟏𝒕 𝒅𝒕 𝟏 𝟎 𝟑 𝒗𝟏𝒕 Podemos multiplicar por 1000 todos os termos dos dois membros chegando a 𝟏𝟎𝟎 𝒅𝟐𝒗𝟐𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝟏 𝒅𝒗𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝟑𝟑𝟎𝟎𝒗𝟐𝒕 𝟏 𝒅𝒗𝟏𝒕 𝒅𝒕 𝟑𝟑𝟎𝟎𝒗𝟏𝒕 Esta equação final representa o modelo matemático que relaciona a tensão no capacitor com a tensão da fonte 182 A função de transferência é obtida a partir da aplicação da transformada de Laplace 𝓛 𝟏𝟎𝟎 𝒅𝟐𝒗𝟐𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝟏 𝒅𝒗𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝟑𝟑𝟎𝟎𝒗𝟐𝒕 𝓛 𝒅𝒗𝟏𝒕 𝒅𝒕 𝟑𝟑𝟎𝟎𝒗𝟏𝒕 Impondo condições iniciais nulas obtemos 𝟏𝟎𝟎𝒔𝟐𝑽𝟐𝒔 𝒔𝑽𝟐𝒔 𝟑𝟑𝟎𝟎𝑽𝟐𝒔 𝒔𝑽𝟏𝒔 𝟑𝟑𝟎𝟎𝑽𝟏𝒔 Colocando em evidência os termos das tensões vemos que 𝟏𝟎𝟎𝒔𝟐 𝒔 𝟑𝟑𝟎𝟎𝑽𝟐𝒔 𝒔 𝟑𝟑𝟎𝟎𝑽𝟏𝒔 Teremos então a seguinte função de transferência 𝑮𝒔 𝑽𝟐𝒔 𝑽𝟏𝒔 𝒔 𝟑𝟑𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎𝒔𝟐 𝒔 𝟑𝟑𝟎𝟎 Observação final a determinação da equação diferencial pode passar por diferentes análises tudo vai depender do circuito que estamos analisando inclusive pode ser feita a análise matricial se o circuito for muito complexo lembrando neste caso que devemos trabalhar com a transformada de Laplace e as impedâncias complexas na variável da transformada s 52 Modelagem de sistemas elétricos com amplificadores operacionais Os amplificadores operacionais são utilizados na elaboração de circuitos analógicos voltados para a área de controladores e de filtragem de sinais A proposta aqui é de apresentar como são obtidas as equações dos circuitos que utilizam além do operacional resistores capacitores e indutores Para tanto trabalhase com as relações constitutivas as leis de Kirchhoff e as definições de tensão e corrente 183 O amplificador operacional e seu funcionamento As figuras 56 e 57 apresentam o símbolo do amplificador operacional e a pinagem do circuito integrado LM741 com apenas um único amplificador operacional Fonte autor Figura 56 Aparência Física e símbolo do amplificador operacional com as suas entradas Fonte catálogo da National Semiconductor do LM741 Figura 57 Circuito integrado LM741 com a sua pinagem O amplificador operacional é um circuito eletrônico composto por diversos transistores que lhe conferem algumas características importantes Possui duas entradas a inversora V e a nãoinversores V e uma saída vot Possui duas entradas de alimentação para Vcc V da figura e VEE V da figura Impedância de entrada elevada desta forma a corrente de entrada é praticamente nula A tensão de saída é calculada através da seguinte expressão 184 𝒗𝟎 𝑨𝑽 𝑽 Como A é elevado temos que 𝑽 𝑽 Com estes fatos podemos fornecer qualquer equação de circuitos com amplificadores operacionais e também determinar as funções de transferência Vejamos alguns exemplos Exemplo 1 Determine a equação diferencial que relaciona vot com vet e calcule a função de transferência entre a entrada e saída do circuito da figura 58 Fonte autor Figura 58 Circuito com amplificador operacional do exemplo 1 Solução Correntes no nó A 𝑰𝒊 𝟎 𝒏ó 𝑨 𝒊𝟏𝒕 𝒊𝟐𝒕 𝒊𝟑𝒕 𝟎 Mas devido à alta impedância de entrada 𝒊𝟑𝒕 𝟎 e com isso temos que 𝒊𝟏𝒕 𝒊𝟐𝒕 𝟎 𝒊𝟏𝒕 𝒊𝟐𝒕 Por outro lado através das relações constitutivas podemos calcular as correntes por 𝒊𝟏𝒕 𝟏 𝑹 𝒗𝑹𝒕 e 𝒊𝟐𝒕 𝑪 𝒅𝒗𝑪𝒕 𝒅𝒕 185 Devemos agora substituir as tensões no resistor e no capacitor pela tensão de entrada e pela tensão de saída Aplicando a lei das malhas 𝒗𝒆𝒕 𝒗𝑹𝒕 𝑽 𝟎 𝒗𝑹𝒕 𝒗𝒆𝒕 𝑽 e 𝑽 𝒗𝑪𝒕 𝒗𝒐𝒕 𝟎 𝒗𝑪𝒕 𝑽 𝒗𝒐𝒕 Como 𝑽 𝑽 e a entrada não inversora está ligada ao nível de referência 𝑽 𝑽 𝟎 obtemos 𝟏 𝑹 𝒗𝒆𝒕 𝑪 𝒅𝒗𝒐𝒕 𝒅𝒕 Como queremos uma relação da saída em função da entrada devemos isolar 𝒗𝒐𝒕 no primeiro membro da equação obtendo 𝒗𝒐𝒕 𝟏 𝑹𝑪 𝒗𝒆𝒕𝒅𝒕 Tratase de um circuito integrador inversor Para obter a função de transferência basta aplicar a transformada de Laplace e suas propriedades impondo condições iniciais nulas Teremos então 𝓛𝒗𝒐𝒕 𝓛 𝟏 𝑹𝑪 𝒗𝒆𝒕𝒅𝒕 Daí o resultado 𝑽𝒐𝒔 𝟏 𝑹𝑪 𝑽𝒆𝒔 𝒔 E a função de transferência será igual a 186 𝑮𝒔 𝑽𝒐𝒔 𝑽𝒆𝒔 𝟏 𝑹𝑪 𝟏 𝒔 Às vezes é interessante resolver o exercício calculando a função de transferência do circuito através das impedâncias complexas dadas em s Vejamos isso no próximo exemplo Exemplo 2 Determine a função de transferência que relaciona a entrada com a saída do circuito dado na figura 59 Fonte autor Figura 59 Circuito com amplificador operacional do exemplo 2 Solução Podemos utilizar as mesmas relações obtidas do amplificador inversor básico a resistores mas utilizando as impedâncias Dessa forma teremos 𝑮𝒔 𝑽𝒐𝒔 𝑽𝒆𝒔 𝒁𝟐𝒔 𝒁𝟏𝒔 Essa análise facilita em muito os cálculos 187 𝒁𝟏𝒔 𝑹𝟏 Já o cálculo de Z2s envolve a determinação da impedância de dois bipolos em paralelo que fornece 𝒁𝟐𝒔 𝒁𝑪𝒔𝒁𝑹𝟐𝒔 𝒁𝑪𝒔 𝒁𝑹𝟐𝒔 𝒁𝟐𝒔 𝟏 𝒔𝑪 𝑹𝟐 𝟏 𝒔𝑪 𝑹𝟐 𝟏 𝒔𝑪 𝑹𝟐 𝟏 𝑹𝟐𝒔𝑪 𝒔𝑪 𝒁𝟐𝒔 𝑹𝟐 𝟏 𝑹𝟐𝑪𝒔 Assim 𝑮𝒔 𝑽𝒐𝒔 𝑽𝒆𝒔 𝒁𝟐𝒔 𝒁𝟏𝒔 𝑹𝟐 𝟏 𝑹𝟐𝑪𝒔 𝑹𝟏 𝑮𝒔 𝑹𝟐 𝑹𝟏 𝟏 𝑹𝟐𝑪𝒔 𝟏 Observações finais 1 Podemos voltar com a equação diferencial a partir da função de transferência utilizando a função de transferência dada Para o exemplo 2 a equação diferencial será igual a 𝑮𝒔 𝑽𝒐𝒔 𝑽𝒆𝒔 𝑹𝟐 𝑹𝟏 𝟏 𝑹𝟐𝑪𝒔 𝟏 𝑽𝒐𝒔𝑹𝟐𝑪𝒔 𝟏 𝑹𝟐 𝑹𝟏 𝑽𝒆𝒔 Calculando a transformada inversa nos dois membros da equação 𝑹𝟐𝑪 𝒅𝒗𝒐𝒕 𝒅𝒕 𝒗𝒐𝒕 𝑹𝟐 𝑹𝟏 𝒗𝒆𝒕 O sinal negativo pode ser anulado se colocarmos em série a saída do amplificador operacional um amplificador inversor a resistores com ganho 1 2 Quando o circuito possui blocos de amplificadores operacionais podemos obter a função de transferência de cada bloco para depois determinar a função de transferência total que será dada pelo produto das funções calculadas 3 São definidas então duas configurações com impedâncias quaisquer a configuração inversora e a configuração não inversora conforme apresentado na figura 510 188 a Amplificador inversor b Amplificador não inversor Relações de entrada e saída 𝑮𝒔 𝑽𝒐𝒔 𝑽𝒆𝒔 𝒁𝟐𝒔 𝒁𝟏𝒔 𝑮𝒔 𝑽𝒐𝒔 𝑽𝒆𝒔 𝟏 𝒁𝟐𝒔 𝒁𝟏𝒔 Fonte autor Figura 510 Circuito com amplificador operacional na configuração inversora a e não inversora b com impedâncias quaisquer Z1s e Z2s 53 Modelagem de Sistemas Eletromecânicos Estes dispositivos possuem elementos mecânicos e elétricos conjugados Um exemplo disso são os motores que têm movimento de rotação graças ao desenvolvimento de campos magnéticos que interagem A seguir apresentamos o modelo de um motor CC Além destes motores pode ser modelado qualquer dispositivo onde exista a interação do movimento de translação ou rotação com o elemento de geração da força eletroímã por exemplo ou torque motor CC motor CA etc como servoválvulas e outros dispositivos de acionamento Modelo matemático do motor CC 189 O motor CC converte energia elétrica corrente contínua em energia mecânica rotativa sendo constituído de duas partes fundamentais uma parte fixa o estator e uma parte móvel o rotor conforme ilustrado na figura 511 a b e c a Ilustração com o rotor vermelho interno ao estator azul b Estator c rotor com comutador Por KPixMining via Shutterstock Figura 511 Partes do motor CC com a indicação do rotor e do estator com comutador Um motor CC pode ter comutador com escovas alimentando as bobinas do rotor ou dispensar o comutador e as escovas e alimentar as bobinas do estator motor brushless sem escovas Neste último caso o estator possui enrolamentos que são 190 alimentados adequadamente por um circuito em uma sequência específica e o rotor possui imãs permanentes Uma parte da energia mecânica gerada na conversão é utilizada para movimentar uma carga externa Para possuir um elevado torque é comum utilizar redutores elemento transformador mecânico que na sua saída eleva o torque mas reduzindo a rotação para manter a potência de entrada e de saída em um mesmo valor a menos de perdas mecânicas como atrito etc Em função de suas características de velocidadetorque favoráveis controle de velocidade sobre ampla faixa sempre onde há necessidade de um posicionamento com boa precisão bem como de posição os motores CC são utilizados em diversas aplicações por exemplo manipuladores robóticos posicionamento e movimentação de eixos CNC servoválvulas entre outros Vamos elaborar o modelo para um motor com escova A tensão de entrada pode ser aplicada no enrolamento de campo do estator ou no enrolamento da armadura rotor O fluxo magnético no entreferro do motor região entre o rotor e o estator é proporcional à corrente de campo e é dado por 𝒕 𝒌𝒇𝒊𝒇𝒕 Onde 𝒊𝒇𝒕 é a corrente de campo 𝒌𝒇 é a constante de campo O torque desenvolvido pelo motor é proporcional ao fluxo 𝒕 e a corrente de armadura isto é 𝝉𝒎𝒕 𝒌𝟏𝒕𝒊𝒂𝒕 𝝉𝒎𝒕 𝒌𝟏𝒌𝒇𝒊𝒇𝒕𝒊𝒂𝒕 Onde 𝒌𝟏 é a constante de proporcionalidade da relação do torque com o fluxo e a corrente de armadura e 𝒊𝒂𝒕 é a corrente de armadura Podemos definir dois tipos de acionamento do motor já que a energia transmitida está associada tanto à corrente de campo quanto à corrente de armadura 191 Motor CC controlado pela corrente de campo com a corrente de armadura constante Motor CC controlado pela corrente de armadura com a corrente de campo constante Motor CC controlado pela corrente de campo com a corrente de armadura constante A figura 512 dada a seguir ilustra como o motor será ligado as perdas resistivas na fiação dos enrolamentos Rf e a indutância de campo que gera o fluxo concatenado A equação do torque motor é modificada uma vez que essa grandeza só irá variar em função de 𝒊𝒇𝒕 Assim teremos que 𝝉𝒎𝒕 𝒌𝟏𝒌𝒇𝒊𝒂𝒊𝒇𝒕 𝒌𝒎𝒊𝒇𝒕 Esta relação nos diz que o torque produzido pelo motor varia em função da corrente de campo if θ ω J b Lf ia cte Rf ut Fonte autor Figura 512 Esquema com o modelo do motor CC controlado pela corrente de campo A tensão aplicada nos terminais do enrolamento de campo pode ser calculada por 192 𝒗𝒇𝒕 𝑹𝒇𝒊𝒇𝒕 𝑳𝒇 𝒅𝒊𝒇𝒕 𝒅𝒕 1 Onde 𝑹𝒇 é a resistência do enrolamento de campo e 𝑳𝒇 é a indutância de campo Observando a parte mecânica temos o torque motor o torque de carga e um torque devido à distúrbios grandezas físicas não esperadas por exemplo o vento afetando a movimentação de uma antena durante o seu posicionamento Teremos a relação 𝝉𝒎𝒕 𝝉𝒄𝒕 𝝉𝒅𝒕 Onde 𝝉𝒄𝒕 é o torque de carga 𝝉𝒅𝒕 é o torque devido à distúrbios O torque de carga está associado às inércias em movimento de rotação e ao atrito nos mancais por 𝝉𝒄𝒕 𝝉𝒂𝒕𝒓𝒊𝒕𝒐𝒕 𝑱 𝒅𝟐𝜽𝒕 𝒅𝒕𝟐 Onde 𝝉𝒂𝒕𝒓𝒊𝒕𝒐𝒕 é o torque devido ao atrito viscoso que será proporcional a velocidade b é a constante de proporcionalidade 𝑱 é o momento de inércia do rotor e da carga e 𝜽𝒕 é a posição angular Impondo a inexistência de distúrbios 𝝉𝒅𝒕 𝟎 e 𝝉𝒎𝒕 𝝉𝒄𝒕 𝒌𝒎𝒊𝒇𝒕 Ficaremos então com a seguinte equação 𝑱 𝒅𝟐𝜽𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝒃 𝒅𝜽𝒕 𝒅𝒕 𝒌𝒎𝒊𝒇𝒕 2 O motor tem como entrada a tensão aplicada no enrolamento de campo e saída a posição angular Para determinarmos a relação entre a entrada e a saída devemos aplicar a transformada de Laplace nas equações 1 e 2 com condições iniciais nulas e fazer as devidas substituições 𝑽𝒇𝒔 𝑹𝒇𝑰𝒇𝒔 𝑳𝒇𝒔𝑰𝒇𝒔 𝑰𝒇𝒔𝑹𝒇 𝑳𝒇𝒔 𝑽𝒇𝒔 𝑰𝒇𝒔 𝑽𝒇𝒔 𝑹𝒇 𝑳𝒇𝒔 193 𝑱𝒔𝟐𝚯𝒔 𝒃𝒔𝚯𝒔 𝒌𝒎𝑰𝒇𝒔 𝚯𝒔𝒔𝑱𝒔 𝒃 𝒌𝒎𝑰𝒇𝒔 Substituindo 𝑰𝒇𝒔 na segunda equação obteremos a função de transferência 𝚯𝒔𝒔𝑱𝒔 𝒃 𝒌𝒎 𝑽𝒇𝒔 𝑹𝒇 𝑳𝒇𝒔 𝑮𝒔 𝚯𝒔 𝑽𝒇𝒔 𝒌𝒎 𝒔𝑱𝒔 𝒃𝑹𝒇 𝑳𝒇𝒔 Como podemos ver temos uma parcela associada aos efeitos mecânicos da inércia e atrito e outra parcela devido à parte elétrica indutância e resistência de campo Podemos definir duas constantes de tempo então a do campo elétrica 𝝉𝒇 𝑳𝒇 𝑹𝒇 e a mecânica 𝝉𝒎𝒆𝒄 𝑱 𝒃 associadas a estes elementos 𝑮𝒔 𝚯𝒔 𝑽𝒇𝒔 𝒌𝒎 𝒃𝑹𝒇 𝒔𝑱 𝒃 𝒔 𝟏𝑳𝒇 𝑹𝒇 𝒔 𝟏 𝒌𝒎 𝒃𝑹𝒇 𝒔𝝉𝒎𝒆𝒄𝒔 𝟏𝝉𝒇𝒔 𝟏 Como a constante de tempo mecânica é muito maior que a constante do campo é usual desprezar esta constante e reduzir a ordem do modelo de terceira ordem para segunda ordem Motor CC controlado pela corrente de armadura com a corrente de campo constante Neste caso a corrente de campo é feita constante e a corrente de armadura é quem varia isto é 𝝉𝒎𝒕 𝒌𝟏𝒌𝒇𝒊𝒇𝒊𝒂𝒕 𝒌𝒎𝒊𝒂𝒕 A figura 513 apresenta o modelo do motor CC controlado pela corrente de armadura 194 Fonte autor Figura 513 Esquema com o modelo do motor CC através do campo A tensão aplicada nos terminais do enrolamento da armadura 𝒖𝒕 podem ser calculada por 𝒖𝒕 𝑹𝒂𝒊𝒂𝒕 𝑳𝒂 𝒅𝒊𝒂𝒕 𝒅𝒕 𝒆𝒕 3 Onde 𝑹𝒂 é a resistência do enrolamento da armadura 𝑳𝒂 é a indutância de armadura e 𝒆𝒕 é a força contraeletromotriz que ocorre devido ao movimento do rotor sendo dada por 𝒆𝒕 𝒌𝒃𝝎𝒕 Onde 𝝎𝒕 é a rotação do motor e 𝒌𝒃 é a constante de velocidade Esta expressão nos diz que a velocidade de regime só depende da tensão de armadura e menos do que as perdas da tensão de alimentação da armadura 𝒖𝒕 Assim 𝒖𝒕 𝑹𝒂𝒊𝒂𝒕 𝑳𝒂 𝒅𝒊𝒂𝒕 𝒅𝒕 𝒌𝒃𝝎𝒕 𝒖𝒕 𝑹𝒂𝒊𝒂𝒕 𝑳𝒂 𝒅𝒊𝒂𝒕 𝒅𝒕 𝒌𝒃 𝒅𝜽𝒕 𝒅𝒕 Aplicando a transformada de Laplace com condições iniciais nulas 𝑼𝒔 𝑹𝒂𝑰𝒂𝒔 𝑳𝒂𝒔𝑰𝒂𝒔 𝒌𝒃𝒔𝚯𝒔 𝑰𝒂𝒔𝑹𝒂 𝑳𝒂𝒔 𝑼𝒔 𝒌𝒃𝒔𝚯𝒔 Então 𝑰𝒂𝒔 𝑼𝒔 𝒌𝒃𝒔𝚯𝒔 𝑹𝒂 𝑳𝒂𝒔 195 Para a parte mecânica teremos a mesma relação do motor CC controlado pela corrente de campo só que para a corrente de armadura 𝑱 𝒅𝟐𝜽𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝒃 𝒅𝜽𝒕 𝒅𝒕 𝒌𝒎𝒊𝒂𝒕 Aplicando a transformada de Laplace 𝑱𝒔𝟐𝚯𝒔 𝒃𝒔𝚯𝒔 𝒌𝒎𝑰𝒂𝒔 Substituindo o termo da corrente 𝑱𝒔𝟐𝚯𝒔 𝒃𝒔𝚯𝒔 𝒌𝒎 𝑼𝒔 𝒌𝒃𝒔𝚯𝒔 𝑹𝒂 𝑳𝒂𝒔 𝑱𝒔𝟐 𝒃𝒔𝚯𝒔 𝒌𝒎𝒌𝒃𝒔𝚯𝒔 𝑹𝒂 𝑳𝒂𝒔 𝒌𝒎 𝑼𝒔 𝑹𝒂 𝑳𝒂𝒔 𝒔𝑱𝒔 𝒃𝑹𝒂 𝑳𝒂𝒔 𝒌𝒎𝒌𝒃𝒔 𝑹𝒂 𝑳𝒂𝒔 𝚯𝒔 𝒌𝒎 𝑼𝒔 𝑹𝒂 𝑳𝒂𝒔 𝒔𝑱𝒔 𝒃𝑹𝒂 𝑳𝒂𝒔 𝒌𝒎𝒌𝒃𝚯𝒔 𝒌𝒎𝑼𝒔 A função de transferência será dada por 𝑮𝒔 𝚯𝒔 𝑼𝒔 𝒌𝒎 𝒔𝑱𝒔 𝒃𝑹𝒂 𝑳𝒂𝒔 𝒌𝒎𝒌𝒃 Como no caso do motor CC controlado pela corrente de campo podemos desprezar a constante de armadura elétrica que é bem menor que a mecânica 𝑮𝒔 𝚯𝒔 𝑼𝒔 𝒌𝒎 𝒔 𝑱𝒔 𝒃𝑹𝒂 𝑳𝒂 𝑹𝒂 𝒔 𝟏 𝒌𝒎𝒌𝒃 𝒌𝒎 𝒔𝑹𝒂𝑱𝒔 𝒃 𝒌𝒎𝒌𝒃 𝑮𝒔 𝚯𝒔 𝑼𝒔 𝒌𝒎 𝒔𝑹𝒂𝑱𝒔 𝑹𝒂𝒃 𝒌𝒎𝒌𝒃 𝒌𝒎 𝒔𝑹𝒂𝒃 𝒌𝒎𝒌𝒃 𝑹𝒂𝑱 𝑹𝒂𝒃 𝒌𝒎𝒌𝒃 𝒔 𝟏 𝑮𝒔 𝚯𝒔 𝑼𝒔 𝒌𝒎𝑹𝒂𝒃 𝒌𝒎𝒌𝒃 𝒔𝝉𝟏𝒔 𝟏 196 𝝉𝟏 𝑹𝒂𝑱 𝑹𝒂𝒃 𝒌𝒎𝒌𝒃 Os dois modelos matemáticos podem ser representados por diagramas de blocos Fonte autor Figura 514 Diagrama de blocos dos modelos do motor CC a controlado pela corrente de campo b controlado pela corrente de armadura Conclusão Vimos neste bloco os modelos de sistemas elétricos em especial os circuitos com resistores capacitores e indutores Podemos avaliar a resposta destes circuitos utilizando a transformada de Laplace determinando a função de transferência destes sistemas Analisamos também as funções de transferência de circuitos com amplificadores operacionais que são utilizados como controladores analógicos na teoria de controle Finalmente desenvolvemos os modelos matemáticos de motores CC que são utilizados no posicionamento de dispositivos mecânicos 197 Bibliografia Consultada e Recomendada DORF R C Sistemas de controle modernos 13ª ed Rio de Janeiro LTC 2018 GARCIA C Controle de processos industriais estratégias convencionais 1a ed Digital Ed Edgard Blücher Ltda 2018 KLUEVER C A Sistemas dinâmicos modelagem simulação e controle 1ª ed Rio de Janeiro LTC 2018 NISE S Engenharia de sistemas de controle 7ª ed Rio de Janeiro LTC 2017 OGATA K Engenharia de Controle Moderno 5a ed São Paulo Pearson 2010 VARGAS F J T Ferramentas de álgebra computacional aplicações em modelagem simulação e controle para engenharia 1ª ed Rio de Janeiro LTC 2015 198 6 ANÁLISE DE SISTEMAS DINÂMICOS LINEARES E INVARIANTES NO TEMPO Caros alunos neste bloco inicialmente apresentaremos a resposta temporal de sistemas de primeira e segunda ordens Ao longo desta disciplina esta resposta já foi apresentada diversas vezes pois os modelos matemáticos são desenvolvidos em sua maioria por equações diferenciais de 1ª e 2ª ordens mas agora vamos trabalhar com a função de transferência e parâmetros que caracterizam estas respostas O objetivo ao estudar a resposta temporal de sistemas é partindo da equação diferencial obter a função de transferência e então verificar a resposta temporal da saída do sistema para uma entrada específica no caso a entrada degrau A resposta temporal aqui analisada será relacionada com os polos do sistema Neste estudo os sistemas são estáveis exceto para sistemas de 2ª ordem cujas respostas são oscilatórias puras portanto não entram em regime permanente Ao final serão definidos conceitos muito importantes sobre a análise de sistemas dinâmicos lineares e invariantes no tempo como a estabilidade de sistemas polos dominantes e influência dos zeros na resposta do sistema que são utilizados na teoria de controle 61 Resposta temporal de Sistemas de Primeira Ordem Como foi apresentado existem diversos sistemas físicos cujo modelo matemático é representado por uma equação diferencial de primeira ordem tais como Variação do nível em um tanque frente a variação da vazão de entrada Variação da temperatura de um forno frente a variação da potência das resistências Indicação da temperatura de um sensor frente a modificação da temperatura real 199 Genericamente a equação diferencial é dada por 𝒂 𝒅𝒚𝒕 𝒅𝒕 𝒃𝒚𝒕 𝒄𝒖𝒕 Tratase de uma equação diferencial de primeira ordem por ter uma derivada de primeira ordem Ela contém os literais a b e c o que a torna genérica Estudaremos a resposta ao degrau através da transformada de Laplace utilizando a função de transferência Aplicando sobre os dois membros da equação vemos 𝓛 𝒂 𝒅𝒚𝒕 𝒅𝒕 𝒃𝒚𝒕 𝓛𝒄𝒖𝒕 Aplicando as propriedades e impondo condições iniciais nulas para calcularmos a função de transferência obtémse 𝒂𝒔𝒀𝒔 𝒃𝒀𝒔 𝒄𝑼𝒔 𝒂𝒔 𝒃𝒀𝒔 𝒄𝑼𝒔 Isolando no primeiro membro a razão entre Ys e Us 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝒄 𝒂𝒔 𝒃 O diagrama de blocos da função de transferência está apresentado na figura 61 Existem três coeficientes da equação que não trazem nenhum significado físico ou de informação a respeito da resposta do sistema Fonte autor Figura 61 Diagrama de blocos da função de transferência de primeira ordem Dessa forma trabalhase a função de transferência com dois parâmetros que trazem mais informações sobre a resposta do sistema que são o ganho do sistema K e a 200 constante de tempo do sistema T Para obtêlos devemos fazer algumas manipulações algébricas sobre a função de transferência 𝑮𝒔 𝒄 𝒃 𝒂 𝒃 𝒔 𝟏 𝒄𝒃 𝒂 𝒃 𝒔 𝟏 Fazendose 𝑲 𝒄 𝒃 𝑻 𝒂 𝒃 𝑮𝒔 𝑲 𝒔𝑻 𝟏 Vejamos um exemplo numérico a partir da função de transferência com os seus coeficientes dados por valores numéricos 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝟓 𝟒𝒔 𝟑 Fazendo as manipulações chegase no s valores de K eT 𝑮𝒔 𝟓 𝟑 𝟒 𝟑 𝒔 𝟏 𝟓𝟑 𝟒 𝟑 𝒔 𝟏 Dessa forma 𝑲 𝟓 𝟑 𝒆 𝑻 𝟒 𝟑 Utilizando a função de transferência com os parâmetros K e T vamos determinar a resposta ao degrau 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝑲 𝒔𝑻 𝟏 Logo 𝒀𝒔 𝑮𝒔 𝑼𝒔 201 Para o degrau unitário 𝒖𝒕 𝟏𝒕 𝑼𝒔 𝟏 𝒔 Substituindo Gs e Us temos 𝒀𝒔 𝑲 𝒔𝑻 𝟏 𝟏 𝒔 𝑲 𝒔𝒔𝑻 𝟏 Para calcular a transformada inversa devemos utilizar a tabela de transformada e escolher o par mais adequado no caso 𝟏 𝒂 𝟏𝒕 𝒆𝒂𝒕 𝟏 𝒔𝒔 𝒂 Para podermos utilizar este par devemos fazer a seguinte manipulação algébrica 𝒀𝒔 𝑲 𝒔𝑻𝒔 𝟏 𝑻 𝑲 𝑻 𝟏 𝒔𝒔 𝟏 𝑻 Fazendo 𝒂 𝟏 𝑻 Vemos 𝒚𝒕 𝑲 𝑻 𝟏 𝟏 𝑻 𝟏𝒕 𝒆𝟏 𝑻𝒕 𝒚𝒕 𝒌 𝟏𝒕 𝒆𝟏 𝑻𝒕 Este valor de yt corresponde a resposta ao degrau para qualquer sistema de primeira ordem representado pela função de transferência com os parâmetros K e T Se o degrau tiver amplitude A a resposta fica multiplicada por esta amplitude 𝒚𝒕 𝑲𝑨𝟏𝒕 𝒆𝟏 𝑻𝒕 202 Parâmetros da resposta ao degrau Alguns parâmetros como o valor final tempo de subida e tempo de acomodação são utilizados para caracterizar a resposta de um sistema de primeira ordem além do ganho K da constante de tempo T e do polo do sistema p Vamos avaliar cada um destes elementos em relação à resposta temporal ao degrau de um sistema de primeira ordem Valor Final O valor final de uma função qualquer no tempo ou na variável s pode ser calculado através do teorema do valor final e é dado por 𝒗𝒇 𝒚 𝐥𝐢𝐦 𝒕 𝒚𝒕 𝐥𝐢𝐦 𝒔𝟎 𝒔𝒀𝒔 Substituindo Ys por GsUs 𝒗𝒇 𝐥𝐢𝐦 𝒔𝟎 𝒔𝑮𝒔𝑼𝒔 𝒗𝒇 𝐥𝐢𝐦 𝒔𝟎𝒔 𝑮𝒔 𝟏 𝒔 Que resulta em 𝒗𝒇 𝐥𝐢𝐦 𝒔𝟎𝐆𝐬 𝒗𝒇 𝐆𝟎 Conclusão G0 é o ganho em estado estacionário para entrada degrau unitário A1 e constante Este resultado vale para qualquer sistema seja de primeira ordem segunda ou de ordem superior Para o sistema de primeira ordem teremos que 𝒗𝒇 𝐆𝟎 𝑲 𝒔𝑻 𝟏 𝒔𝟎 𝑲 𝟎𝑻 𝟏 𝑲 Como se verifica o valor final é o próprio ganho K Este mesmo resultado pode ser obtido calculando o valor final sobre a resposta do sistema 𝒗𝒇 𝒚 𝐥𝐢𝐦 𝒕 𝒚𝒕 203 Logo 𝒗𝒇 𝒚 𝐥𝐢𝐦 𝒕 𝑲 𝟏𝒕 𝒆𝟏 𝑻𝒕 𝒗𝒇 𝑲 Interpretação do ganho K quando o sistema está em regime a saída do sistema será o produto do ganho K pelo valor da entrada Se o degrau tiver uma amplitude A teremos 𝒗𝒇 𝑲𝑨 Interpretação da constante de tempo T A constante de tempo é utilizada em circuitos elétricos e em eletrônica bem como na área de instrumentação quando se deseja ter ideia do tempo de resposta de um sensor ou mesmo sobre a carga de um capacitor em um circuito RC aplicada a uma temporização etc Para entender o seu significado devemos avaliar a resposta yt em função da constante de tempo T Se calcularmos o valor de yt quando tT 𝒚𝑻 𝑲𝑨 𝟏𝒕 𝒆𝟏 𝑻𝑻 𝒚𝑻 𝒗𝒇𝟏 𝒆𝟏 𝒚𝑻 𝟎 𝟔𝟑𝟐𝒗𝒇 Conclusão a constante de tempo T do sistema é o valor do tempo onde a resposta do sistema atinge aproximadamente 63 do valor final Com este valor é possível compararmos a resposta de dois sistemas para ver quem atinge primeiro o regime permanente Veja o exemplo a seguir Dados os sistemas de primeira ordem G1s e G2s quem atingirá primeiro o regime permanente 𝑮𝟏𝒔 𝟓 𝟒𝒔 𝟑 𝒆 𝑮𝟐𝒔 𝟐 𝟑𝒔 𝟏𝟎 Vamos calcular as duas constantes de tempo 204 𝑮𝟏𝒔 𝟓 𝟒𝒔 𝟑 𝟓 𝟑𝟒 𝟑 𝒔 𝟏 𝟓𝟑 𝟒 𝟑 𝒔 𝟏 𝑻𝟏 𝟒 𝟑 𝒔 𝑻𝟏 𝟏 𝟑𝟑𝒔 e 𝑮𝟐𝒔 𝟐 𝟑𝒔 𝟏𝟎 𝟐 𝟏𝟎 𝟑 𝟏𝟎 𝒔 𝟏 𝟎 𝟐 𝟎 𝟑𝒔 𝟏 𝑻𝟐 𝟎 𝟑𝒔 O sistema mais rápido isto é que vai para o regime primeiro é G2s pois tem a menor constante de tempo logo atinge 63 da resposta ao degrau antes de G1s Outro parâmetro importante para comparar a velocidade de resposta de um sistema é o tempo de acomodação que é na verdade um múltiplo da constante de tempo para sistemas de primeira ordem Podemos colocar a resposta do sistema em gráficos utilizando valores múltiplos da constante de tempo Se 𝒕 𝑻 𝒚𝑻 𝑲𝑨 𝟏𝒕 𝒆𝟏 𝑻𝑻 𝒚𝑻 𝒗𝒇𝟏 𝒆𝟏 𝒚𝑻 𝟎 𝟔𝟑𝟐𝒗𝒇 Se 𝒕 𝟐𝑻 𝒚𝟐𝑻 𝑲𝑨 𝟏𝒕 𝒆𝟏 𝑻𝟐𝑻 𝒚𝟐𝑻 𝟎 𝟖𝟔𝟒𝒗𝒇 Se 𝒕 𝟑𝑻 𝒚𝟑𝑻 𝑲𝑨 𝟏𝒕 𝒆𝟏 𝑻𝟑𝑻 𝒚𝟑𝑻 𝟎 𝟗𝟓𝒗𝒇 Se 𝒕 𝟒𝑻 𝒚𝟒𝑻 𝑲𝑨 𝟏𝒕 𝒆𝟏 𝑻𝟒𝑻 𝒚𝟒𝑻 𝟎 𝟗𝟖𝟏𝒗𝒇 A figura 62 apresenta o gráfico da resposta ao degrau em função destes valores Assim com a constante de tempo e o ganho é possível montar rapidamente o gráfico da reposta de um sistema de primeira ordem para um degrau de amplitude A qualquer O processo inverso também é valido isto é a partir do gráfico da resposta ao degrau é possível determinar os valores de K e T e portanto a função de transferência de Gs 205 Fonte autor Figura 62 Gráfico da resposta ao degrau para um sistema de primeira ordem genérico Polo de um sistema de primeira ordem O polo como se verificará adiante é um importante elemento na avaliação se um sistema é estável ou não ou seja entra em regime permanente ou estado estacionário ou não Relembrando a sua definição ele representa as raízes do denominador de Gs ou faz com que Gs tenda ao infinito Para um sistema de primeira ordem o polo será a raiz da equação característica dada por 𝒔𝑻 𝟏 𝟎 𝒔𝑻 𝟏 𝒔 𝟏 𝑻 ou 𝒑 𝟏 𝑻 Como notamos o polo é negativo e é o inverso da constante de tempo Ele portanto está associado a resposta do sistema pois é o elemento que está multiplicando o tempo na exponencial da resposta Veja quando aplicamos a resposta 206 𝒚𝒕 𝒌 𝟏𝒕 𝒆𝟏 𝑻𝒕 𝒚𝒕 𝒗𝒇𝟏𝒕 𝒆𝒑𝒕 Como o polo é negativo com o passar do tempo a exponencial vai para zero e o sistema estabiliza no valor final Tempo de subida ou Rise Time Tr Por definição é o tempo necessário para que a resposta ao degrau passe de 10 até 90 de seu valor final Tomemos o tempo t1 onde a amplitude é 10 de vf e o tempo t2 onde ela é 90 de vf Vale então que 𝑻𝒓 𝒕𝟐 𝒕𝟏 O gráfico da figura 63 apresenta o tempo de subida de um sistema de primeira ordem Tempo de Acomodação Assentamento ou Estabilização ou Settling Time Ts Por definição é o tempo necessário para o sistema variar dentro de uma faixa de 2 do valor final O seu cálculo pode ser dado de forma aproximada em função da constante de tempo 𝑻𝒔 𝟒𝑻 No gráfico da resposta temporal indicase que quando o tempo corresponder a quatro constantes de tempo a saída será 981 de vf ou seja está acima de 98 o que equivale a dizer dentro da faixa de 2 do valor final 207 Fonte autor Figura 63 Gráfico da resposta temporal para a entrada degrau de um sistema de primeira ordem com Tr e Ts indicados Vamos calcular estes parâmetros da resposta temporal através do exemplo dado a seguir Exemplo 1 Dado o gráfico da resposta ao degrau unitário para um sistema de primeira ordem determine o ganho K e a constante de tempo T do sistema O valor do polo do tempo de acomodação do tempo de subida e do valor final observando o gráfico da figura 64 208 Fonte autor Figura 64 Gráfico da resposta ao degrau unitário Solução Observase que o valor final vale 10 Logo 𝒗𝒇 𝑲 𝟏𝟎 Para a constante de tempo no gráfico está indicado onde a amplitude vale 63 de vf 63 Portanto T1s o polo será igual a p1 inverso negativo de T e a função de transferência será dada por 𝑮𝒔 𝟏𝟎 𝒔 𝟏 O tempo de acomodação será igual a 4s a resposta atinge o valor de 981 e o tempo de subida vale aproximadamente 𝑻𝒓 𝒕𝟐 𝒕𝟏 𝟐 𝟑 𝟎 𝟏 𝟐 𝟐𝒔 Observação graficamente os valores tomados na curva não são precisos mas podemos calcular através da resposta temporal tomando 10 e 90 de vf ou seja utilizando a resposta ao degrau 𝒚𝒕 𝟏𝟎𝟏𝒕 𝒆𝟏𝒕 209 Se 𝒕 𝒕𝟏 𝒚𝒕 𝟎 𝟏𝒗𝒇 𝟏 𝟏 𝟏𝟎𝟏 𝒆𝟏𝒕𝟏 𝟏 𝒆𝟏𝒕𝟏 𝟏 𝟏𝟎 Logo 𝟏 𝒆𝟏𝒕𝟏 𝟎 𝟏 𝒆𝟏𝒕𝟏 𝟎 𝟗 𝒍𝒏𝒆𝟏𝒕𝟏 𝒍𝒏𝟎 𝟗 𝒕𝟏 𝒍𝒏𝟎 𝟗 𝒕𝟏 𝟎 𝟏𝟎𝟓𝒔 Se 𝒕 𝒕𝟐 𝒚𝒕 𝟎 𝟗𝒗𝒇 𝟗 𝟗 𝟏𝟎𝟏 𝒆𝟏𝒕𝟐 𝟏 𝒆𝟏𝒕𝟐 𝟗 𝟏𝟎 Logo 𝟏 𝒆𝟏𝒕𝟐 𝟎 𝟗 𝒆𝟏𝒕𝟐 𝟎 𝟏 𝒍𝒏𝒆𝟏𝒕𝟐 𝒍𝒏𝟎 𝟏 𝟏𝒕𝟐 𝒍𝒏𝟎 𝟏 𝒕𝟐 𝟐 𝟑𝒔 Estes valores obtidos são precisos determinados analiticamente e praticamente iguais aos valores tomados no gráfico 62 Resposta temporal de Sistemas de Segunda Ordem Os sistemas de segunda ordem são modelados por equações diferenciais de segunda ordem Enquanto os sistemas de primeira ordem só têm um tipo de resposta os sistemas de segunda ordem têm quatro tipos diferentes de resposta que vamos apresentar aqui Para tanto partiremos da equação diferencial definindo a função de transferência para então verificar estas respostas do sistema de segunda ordem Avaliando sistemas físicos podemos citar como exemplos de sistemas de segunda ordem A suspensão de um carro onde se estuda o deslocamento vertical de um quarto do veículo frente as variações existentes na pista A velocidade angular de um motor CC em função da tensão aplicada Um circuito elétrico RLC série Estes e outros sistemas podem ser representados genericamente pela seguinte equação diferencial 𝒂 𝒅𝟐𝒚𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝒃 𝒅𝒚𝒕 𝒅𝒕 𝒄𝒚𝒕 𝒅𝒖𝒕 210 Onde a b c e d são valores quaisquer yt é a saída do sistema e ut é a entrada do sistema Aplicando a transformada de Laplace nos dois membros da equação e suas propriedades vemos que 𝓛 𝒂 𝒅𝟐𝒚𝒕 𝒅𝒕𝟐 𝒃 𝒅𝒚𝒕 𝒅𝒕 𝒄𝒚𝒕 𝓛𝒅 𝒖𝒕 Como as condições iniciais são impostas como nulas temos 𝒂𝒔𝟐𝒀𝒔 𝒃𝒔𝒀𝒔 𝒄𝒀𝒔 𝒅𝑼𝒔 𝒂𝒔𝟐 𝒃𝒔 𝒄𝒀𝒔 𝒅𝑼𝒔 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝒅 𝒂𝒔𝟐 𝒃𝒔 𝒄 Ao invés de trabalharmos com os coeficientes da equação normalmente utilizamos dois parâmetros que caracterizam a resposta de sistemas de segunda ordem a frequência natural ωn e o fator de amortecimento 𝝃 Trabalhamos com a seguinte função de transferência 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝝎𝒏 𝟐 𝒔𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 O exemplo numérico a seguir demonstra como determinamos estes parâmetros Exemplo 1 Dado a função de transferência de um sistema de segunda ordem determine 𝝃 e ωn 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝟖 𝟐𝒔𝟐 𝟔𝒔 𝟏𝟔 Solução devemos comparar sempre o denominador da função de transferência numérica com a dada pelos parâmetros Para calcularmos os parâmetros o termo 211 associado ao quadrado de s deve ser igual a 1 Devemos então colocar em evidência o termo que multiplica 𝒔𝟐 isto é 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝟖 𝟐𝒔𝟐 𝟔 𝟐 𝒔 𝟏𝟔 𝟐 𝑮𝒔 𝟒 𝒔𝟐 𝟑𝒔 𝟖 Agora a comparação dos demais coeficientes pode ser feita a fim de determinar os dois parâmetros 𝑮𝒔 𝟒 𝒔𝟐 𝟑𝒔 𝟖 𝐞 𝑮𝒔 𝝎𝒏 𝟐 𝒔𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 Por comparação dos denominadores das duas funções de transferência vemos que 𝝎𝒏 𝟐 𝟖 𝝎𝒏 𝟖 𝝎𝒏 𝟐 𝟖𝟑 𝟐𝝃𝝎𝒏 𝟑 𝝃 𝟑 𝟐𝝎𝒏 𝝃 𝟑 𝟐 𝟐 𝟖𝟑 𝝃 𝟎 𝟓𝟑 A seguir calculase a resposta no tempo do sistema de segunda ordem para uma entrada degrau unitário Resposta ao degrau unitário O cálculo será feito com os parâmetros 𝝃 e ωn partindo da função de transferência 𝑮𝒔 𝝎𝒏 𝟐 𝒔𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 Vamos calcular a resposta ao degrau isto é 𝐮𝒕 𝟏𝒕 Logo 𝐔𝐬 𝟏 𝒔 e assim 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝒀𝒔 𝑮𝒔 𝑼𝒔 𝒀𝒔 𝝎𝒏 𝟐 𝒔𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 𝟏 𝒔 Para calcular a transformada inversa e determinar yt é necessário observar que a resposta do sistema depende do valor do fator ou relação de amortecimento 𝝃 Quando este fator é elevado o sistema não oscila se ele tiver um valor reduzido permite que o sistema oscile e quando é nulo o sistema oscila com a frequência natural 𝝎𝒏 212 Dessa forma existem quatro possibilidades de resposta ao degrau que são associadas ao valor de 𝝃 ou aos pólos de Gs Resposta Superamortecida Resposta Criticamente Amortecida Resposta Subamortecida Resposta Oscilatória Pura Antes de calcularmos estas respostas vamos calcular os polos de Gs já que as respostas podem ser relacionadas ao valor dos polos 𝐆𝐬 𝝎𝒏 𝟐 𝒔𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 Os polos são as raízes do denominador 𝒔𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏 𝟐 𝟎 Por baskhara 𝒑𝟏𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏 𝟐𝝃𝝎𝒏𝟐 𝟒 𝟏 𝝎𝒏𝟐 𝟐 𝟏 𝒑𝟏𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏 𝟐𝝎𝒏𝝃𝟐 𝟏 𝟐 𝒑𝟏𝟐 𝝃𝝎𝒏 𝝎𝒏𝝃𝟐 𝟏 Com este valor pode ser estabelecida uma relação entre o valor de 𝝃 e dos pólos Se 𝝃 𝟏 os polos são reais e distintos e a resposta será superamortecida Se 𝝃 𝟏 os polos são reais e iguais e a resposta será criticamente amortecida Se 𝟎 𝝃 𝟏 os polos são complexos com parte real e imaginária e a resposta será subamortecida Se 𝝃 𝟎 os polos são imaginários puros e a resposta será oscilatória pura Vamos calcular cada resposta com exemplos numéricos 1 Resposta subamortecida 𝝃 𝟏 213 Neste caso é possível decompor o trinômio no produto de dois binômios onde estão representados os valores dos polos 𝒀𝒔 𝝎𝒏 𝟐 𝒔 𝒑𝟏𝒔 𝒑𝟐 𝟏 𝒔 O gráfico da figura 65 representa estes dois polos que são os valores calculados acima Fonte autor Figura 65 Polos reais e distintos de um sistema de segunda ordem Para esta resposta devemos utilizar o seguinte par da tabela de transformada de Laplace 𝟏 𝒂𝒃 𝟏𝒕 𝟏 𝒂 𝒃 𝒃𝒆𝒂𝒕 𝒂𝒆𝒃𝒕 𝟏 𝒔𝒔 𝒂𝒔 𝒃 Como pode ser observado os valores de a e b são os valores dos polos com sinal trocado isto é 𝒂 𝒑𝟏 𝐞 𝒃 𝒑𝟐 Ao invés de calcularmos a resposta literal vamos calcular a resposta para um exemplo numérico Exemplo dado Gs a seguir calcule yt para a entrada degrau unitário 𝐆𝐬 𝟒 𝒔𝟐 𝟓𝒔 𝟒 Solução Cálculo dos polos de Gs 214 𝒔𝟐 𝟓𝒔 𝟒 𝟎 Por baskhara 𝒑𝟏𝟐 𝟓 𝟓𝟐 𝟒 𝟏 𝟒 𝟐 𝟏 𝟓 𝟐𝟓 𝟏𝟔 𝟐 𝟓 𝟗 𝟐 𝟓 𝟑 𝟐 𝒑𝟏 𝟒 𝒑𝟐 𝟏 Obtemos dois polos reais e distintos logo podemos decompor o trinômio em um produto de binômios dado por 𝑮𝒔 𝟒 𝒔 𝟏𝒔 𝟒 𝒀𝒔 𝟒 𝒔 𝟏𝒔 𝟒 𝟏 𝒔 Com 𝒂 𝟏 𝐞 𝒃 𝟒 obtemos a resposta temporal que será dada por 𝒚𝒕 𝟒 𝟒 𝟏𝒕 𝟏 𝟏 𝟒 𝟒𝒆𝟏𝒕 𝟏𝒆𝟒𝒕 𝒚𝒕 𝟏𝒕 𝟒 𝟑 𝒆𝟏𝒕 𝟏 𝟑 𝒆𝟒𝒕 Como verificamos na resposta não existem termos que provoquem uma oscilação do sinal ou seja o sistema é muito amortecido a ponto de não oscilar Os polos estão associados às duas exponenciais da resposta e como são negativos estes dois termos serão nulos depois de um determinado tempo o que faz com que o sistema entre em regime com valor final igual a um O gráfico da figura 66 ilustra este comportamento da resposta no tempo para um degrau unitário aplicado a entrada do sistema 215 Fonte autor Figura 66 Resposta ao degrau para um sistema superamortecido 2 Resposta criticamente amortecida ou com amortecimento crítico 𝝃 𝟏 Neste caso o sistema está entre uma resposta que não oscila e outra que oscila mas não iguala nenhuma das duas respostas Vejamos o valor de yt 𝐆𝐬 𝝎𝒏 𝟐 𝒔𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 𝝎𝒏 𝟐 𝒔𝟐 𝟐 𝟏𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 𝝎𝒏 𝟐 𝒔 𝝎𝒏𝟐 Os polos de Gs serão dados por 𝒔 𝝎𝒏𝟐 𝟎 𝒑𝟏𝟐 𝝎𝒏 Obs através da fórmula dos polos podemos chegar nos mesmos valores de polos 𝒑𝟏𝟐 𝝃𝝎𝒏 𝝎𝒏𝝃𝟐 𝟏 𝒑𝟏𝟐 𝟏𝝎𝒏 𝝎𝒏𝟏𝟐 𝟏 𝒑𝟏𝟐 𝝎𝒏 No plano s da figura 67 estão representados estes dois polos 216 Fonte autor Figura 67 Polos reais e iguais de um sistema de segunda ordem E o valor de ys será dado por 𝒀𝒔 𝝎𝒏 𝟐 𝒔 𝝎𝒏𝟐 𝟏 𝒔 Para esta resposta devemos utilizar o seguinte par da tabela de transformada de Laplace 𝟏 𝒂𝟐 𝟏𝒕 𝒆𝒂𝒕 𝒂𝒕𝒆𝒂𝒕 𝟏 𝒔𝒔 𝒂𝟐 Onde 𝒂 𝝎𝒏 Ao invés de calcularmos a resposta literal vamos calcular a resposta para um exemplo numérico Exemplo dado Gs a seguir calcule yt para a entrada degrau unitário 𝐆𝐬 𝟒 𝒔𝟐 𝟒𝒔 𝟒 Solução Podemos calcular os polos ou verificar se o denominador é um quadrado perfeito Cálculo dos polos de Gs 𝒔𝟐 𝟒𝒔 𝟒 𝟎 Por baskhara 217 𝒑𝟏𝟐 𝟒 𝟒𝟐 𝟒 𝟏 𝟒 𝟐 𝟏 𝟒 𝟏𝟔 𝟏𝟔 𝟐 𝟒 𝟎 𝟐 𝟒 𝟐 𝒑𝟏 𝟐 𝒑𝟐 𝟐 Obtemos dois polos reais e iguais Se observarmos que o trinômio do denominador é um quadrado perfeito os polos não precisam ser calculados por baskhara Analisando verificaremos que o denominador é um quadrado perfeito 𝐆𝐬 𝟒 𝒔𝟐 𝟒𝒔 𝟒 𝟒 𝒔 𝟐𝟐 E assim o valor dos polos pode ser obtido diretamente da equação 𝒔 𝟐𝟐 𝟎 Desta forma 𝒀𝒔 𝟒 𝒔 𝟏𝒔 𝟒 𝟏 𝒔 E a sua transformada inversa será 𝒚𝒕 𝟒 𝟐𝟐 𝟏𝒕 𝒆𝟐𝒕 𝟐𝒕𝒆𝟐𝒕 𝒚𝒕 𝟏𝒕 𝒆𝟐𝒕 𝟐𝒕𝒆𝟐𝒕 Como pode ser verificado esta reposta não é igual a resposta superamortecida mas o seu gráfico é parecido conforme ilustrado na figura 68 Fonte autor Figura 68 Resposta ao degrau para um sistema criticamente amortecido 218 3 Resposta subamortecida 𝟎 𝝃 𝟏 Neste caso os polos ficam complexos e a resposta do sistema não é decomposta em binômios Vejamos a resposta e os valores dos polos Os polos de um sistema de segunda ordem foram calculados e forneceram os seguintes valores 𝒑𝟏𝟐 𝝃𝝎𝒏 𝝎𝒏𝝃𝟐 𝟏 Note que se 𝟎 𝝃 𝟏 o valor da raiz será negativa e portanto os polos serão complexos Podemos inverter a ordem do termo da raiz 𝒑𝟏𝟐 𝝃𝝎𝒏 𝝎𝒏𝟏𝟏 𝝃𝟐 𝝃𝝎𝒏 𝝎𝒏𝟏𝟏 𝝃𝟐 Mas 𝟏 𝒋 logo os polos serão iguais a 𝒑𝟏𝟐 𝝃𝝎𝒏 𝒋𝝎𝒏𝟏 𝝃𝟐 Estes polos têm parte real e imaginária que estão associadas a resposta do sistema A parte real corresponde a constante de decaimento da resposta e está associado a uma exponencial da resposta Já a parte imaginária é chamada de frequência amortecida que está associada à oscilação do sinal No plano s da figura 69 estão representados estes dois polos complexos Fonte autor Figura 69 Polos complexos conjugados de um sistema de segunda ordem 219 Já o valor de Ys será dado por 𝒀𝒔 𝝎𝒏 𝟐 𝒔𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 𝟏 𝒔 Para esta resposta devemos utilizar o seguinte par da tabela de transformada de Laplace 𝟏𝒕 𝟏 𝟏 𝝃𝟐 𝒆𝝃𝝎𝒏𝒕𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒏𝟏 𝝃𝟐 𝒕 𝝎𝒏 𝟐 𝒔𝒔𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 Onde 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 𝟏𝝃𝟐 𝝃 e os valores de 𝝃 e 𝝎𝒏 podem ser determinados conforme exemplificado anteriormente Vamos calcular a resposta de um exemplo numérico Exemplo dado Gs a seguir calcule yt para a entrada degrau unitário 𝐆𝐬 𝟗 𝒔𝟐 𝒔 𝟗 Solução A necessidade de calcular os polos é justamente para estabelecer qual é a resposta a ser utilizada Cálculo dos polos de Gs 𝒔𝟐 𝒔 𝟗 𝟎 Por Baskhara 𝒑𝟏𝟐 𝟏 𝟏𝟐 𝟒 𝟏 𝟗 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝟑𝟔 𝟐 𝟏 𝟑𝟓 𝟐 𝒑𝟏𝟐 𝟎 𝟓 𝒋𝟐 𝟗𝟔 Sabendo que os polos são complexos devemos calcular 𝝃 e 𝝎𝒏 𝝎𝒏 𝟐 𝟗 𝝎𝒏 𝟗 𝝎𝒏 𝟑 𝟐𝝃𝝎𝒏 𝟏 𝝃 𝟑 𝟐𝝎𝒏 𝝃 𝟏 𝟐 𝟑 𝝃 𝟎 𝟏𝟔𝟕 220 Já o valor de Ys será dado por 𝒀𝒔 𝝎𝒏 𝟐 𝒔𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 𝟏 𝒔 Para esta resposta devemos utilizar o seguinte par da tabela de transformada de Laplace 𝟏𝒕 𝟏 𝟏 𝝃𝟐 𝒆𝝃𝝎𝒏𝒕𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒏𝟏 𝝃𝟐 𝒕 𝝎𝒏 𝟐 𝒔𝒔𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 Com 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 𝟏𝝃𝟐 𝝃 E a transformada inversa determina o valor de yt 𝐲𝒕 𝟏𝒕 𝟏 𝟏 𝟎 𝟏𝟔𝟕𝟐 𝒆𝟎𝟓𝒕𝒔𝒆𝒏 𝟑𝟏 𝟎 𝟏𝟔𝟕𝟐 𝒕 O valor de será dado por 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 𝟏 𝟎 𝟏𝟔𝟕𝟐 𝟎 𝟏𝟔𝟕 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 𝟎 𝟗𝟖𝟔 𝟎 𝟏𝟔𝟕 𝟏 𝟒 E finalmente a resposta será dada por 𝐲𝒕 𝟏𝒕 𝟏 𝟎𝟏𝟒𝒆𝟎𝟓𝒕𝒔𝒆𝒏𝟐 𝟗𝟔𝒕 𝟏 𝟒 O gráfico de yt está ilustrado na figura 610 221 Fonte autor Figura 610 Resposta ao degrau do sistema subamortecido O período da oscilação do sinal está associado à frequência amortecida que é a frequência angular do seno Já a parte real do polo está associada à exponencial da resposta sendo conhecida como fator de decaimento 𝝈 𝝃𝝎𝒏 e 𝝎𝒅 𝝎𝒏𝟏 𝝃𝟐 e 𝝎𝒅 𝟐𝝅 𝑻𝒅 Onde 𝝈 é o fator de decaimento e 𝝎𝒅 é a frequência amortecida do sistema 4 Resposta oscilatória pura 𝝃 𝟎 Neste caso o sistema não possui amortecimento nenhum portanto deve oscilar sem nenhuma atenuação da saída A função de transferência fica igual a 𝐆𝐬 𝝎𝒏 𝟐 𝒔𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 𝝎𝒏 𝟐 𝒔𝟐 𝟐 𝟎𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 𝝎𝒏 𝟐 𝒔𝟐 𝝎𝒏𝟐 Os polos podem ser facilmente calculados 𝒔𝟐 𝝎𝒏 𝟐 𝟎 𝒔𝟐 𝝎𝒏 𝟐 𝒔 𝒋𝝎𝒏 𝒐𝒖 𝒑𝟏𝟐 𝒋𝝎𝒏 São polos somente com parte imaginária 222 No plano s da figura 611 estão representados estes dois polos imaginários puros Fonte autor Figura 611 Polos imaginários puros de um sistema de segunda ordem Já o valor de Ys será dado por 𝒀𝒔 𝝎𝒏 𝟐 𝒔𝟐 𝝎𝒏𝟐 𝟏 𝒔 Para esta resposta devemos utilizar o seguinte par da tabela de transformada de Laplace 𝟏𝒕 𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕 𝝎𝟐 𝒔𝒔𝟐 𝝎𝟐 Para calcular a resposta de um sistema trabalharemos com um exemplo numérico Exemplo Dado Gs a seguir calcule yt para a entrada degrau unitário 𝐆𝐬 𝟗 𝒔𝟐 𝟗 Solução Como observamos temos dois polos imaginários puros 𝒑𝟏𝟐 𝒋𝝎𝒏 𝒋𝟑 223 O valor de Ys será dado por 𝒀𝒔 𝟗 𝒔𝟐 𝟗 𝟏 𝒔 O valor da frequência natural é imediato relembrando que devemos comparar sempre o valor do denominador Teremos então 𝝎𝒏 𝟐 𝟗 𝝎𝒏 𝟗 𝝎𝒏 𝟑 E a resposta temporal para a entrada degrau unitário será igual a 𝐲𝐭 𝟏𝒕 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒕 O gráfico da figura 612 ilustra esta resposta no tempo Como visto o sistema não para de oscilar não tendo nenhum decaimento Fonte autor Figura 612 Resposta ao degrau do sistema oscilatório puro Vimos todos os tipos de respostas possíveis para sistemas de segunda ordem Para descobrir qual é a resposta a ser utilizada podemos examinar o valor dos polos ou o valor de 𝝃 Vejamos alguns parâmetros que são utilizados na especificação da resposta transitória 224 Especificações da Resposta Transitória de Sistemas de Segunda Ordem Parâmetros da Resposta Temporal Os parâmetros que são utilizados na resposta de segunda ordem são Mp o máximo sobressinal ou máxima ultrapassagem ou overshoot Tr o tempo de subida Ts o tempo de acomodação vf o valor final Estes elementos são utilizados quando se realiza o projeto de um controlador ou para avaliar as características da resposta Vamos falar sobre cada um destes parâmetros Tempo de subida Rise time Tr São utilizadas duas definições para sistemas que não ultrapassam o valor final superamortecidos e criticamente amortecidos e para sistemas que ultrapassam o valor final subamortecidos e sistemas com zeros Definição 1 o tempo de subida Tr1 é o intervalo de tempo necessário para que a resposta ao degrau passe de 10 até 90 de seu valor final para sistemas que não tem sobressinal Definição 2 o tempo de subida Tr é o intervalo de tempo necessário para que a resposta ao degrau atinja o valor final pela primeira vez para sistemas subamortecidos e com efeito de zero que gere sobressinal A figura 613 ilustra as duas definições A figura apresenta a resposta de um sistema subamortecido com tempo de subida Tr e um superamortecido com tempo de subida Tr1 225 Fonte autor Figura 613 Gráficos da resposta ao degrau para sistemas de segunda ordem Para sistemas subamortecidos o valor do tempo de subida corresponde ao valor de ytvf Assim pode ser calculado resultando em 𝑻𝒓 𝝅 𝒄𝒐𝒔𝟏𝝃 𝝎𝒏𝟏 𝝃 𝟐 Observação sistemas superamortecidos ou criticamente amortecidos com zeros finitos podem apresentar ultrapassagem Veja o exemplo a seguir Exemplo Simule e apresente o gráfico da resposta ao degrau de 𝐆𝐬 𝟓𝐬 𝟒 𝒔𝟐 𝟓𝒔 𝟒 Este sistema possui os dois polos em 1 e 4 e um zero em 08 226 A resposta ao degrau está apresentada na figura 614 Como se nota o sistema passa do valor final em função do zero de Gs e observamos também que o sistema não oscila o que caracteriza uma resposta no caso superamortecida Fonte autor Figura 614 Resposta ao degrau de um sistema superamortecido com zero finito Tempo de Assentamento Settling Time Ts Também conhecido como tempo de acomodação ou de estabilização é o tempo necessário para que a saída se estabilize dentro de uma faixa percentual de seu valor final Esta faixa é definida em torno de 2 ou 5 do valor final Adotaremos sempre a faixa de 2 Quando o sistema não oscila e não ultrapassa o valor final podese dizer que o tempo de acomodação é o instante de tempo onde a amplitude da saída é igual a 98 do valor final No momento em que o sistema ultrapassa o valor final o tempo de assentamento é o instante de tempo onde a resposta atinge o valor da faixa permanecendo dentro da mesma 227 A figura 615 apresenta uma resposta subamortecida onde o tempo de assentamento é de 765s é uma resposta superamortecida com um tempo de assentamento de 39s No caso da resposta subamortecida o sistema oscila e entra e sai da faixa de 𝟐 do valor final até que atinge o tempo de assentamento Fonte autor Figura 615 Resposta ao degrau de sistemas de segunda ordem com o tempo de assentamento Máximo Sobressinal ou Sobressinal Overshoot Mp Também conhecido como máxima ultrapassagem ou simplesmente ultrapassagem é um valor que ocorre quando o sistema é subamortecido e no caso de sistemas que não oscilam mas apresentam zeros que levam a uma ultrapassagem do valor final Neste caso existe um sobressinal conforme pode ser identificado na figura 614 onde apresentamos a resposta de um sistema subamortecido com sobressinal Por definição o sobressinal é dado por 𝑴𝑷 𝑴𝑷𝒕 𝒗𝒇 𝒗𝒇 𝟏𝟎𝟎 228 Onde 𝑴𝑷𝒕 é o valor de pico e 𝒗𝒇 é o valor final Este valor está relacionado com o valor de máximo de yt assim podemos calcular o instante de pico derivando a função e igualando a zero e substituir este instante em yt para obter a valor final a partir da fórmula Assim o tempo de pico e o sobressinal serão iguais a 𝑻𝑷 𝝅 𝝎𝒏𝟏 𝝃𝟐 𝐞 𝑴𝑷 𝒆 𝝃𝝅 𝟏𝝃𝟐 𝟏𝟎𝟎 Como se nota ele está somente associado ao valor do fator de amortecimento Fonte Autor Figura 616 Resposta de um sistema subamortecido com o valor do sobressinal A figura 617 demonstra diversas respostas ao degrau de sistemas de segunda ordem em função do fator de amortecimento 229 Fonte autor Figura 617 Resposta ao degrau de diversos sistemas de segunda ordens Finalizando cabe uma reflexão sobre o ganho do sistema Com a função de transferência aqui analisada o sistema terá um ganho DC ou simplesmente ganho igual a um Para generalizar utilizando o mesmo resultado do valor final apresentado no item 61 podemos definir um ganho K e calcular o seu valor Ganho do sistema ou ganho DC é o ganho K na função de transferência 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝑲 𝝎𝒏 𝟐 𝒔𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 Exemplo Determinar o ganho do sistema para 𝑮𝒔 𝟏𝟖 𝒔𝟐 𝟒𝒔 𝟗 Verificamos que o termo independente do denominador está atrelado ao quadrado da frequência natural 𝝎𝒏 𝟐 Assim 𝝎𝒏 𝟐 𝟗 𝝎𝒏 𝟑 𝑲𝝎𝒏 𝟐 𝟏𝟖 𝑲 𝟏𝟖 𝟗 𝑲 𝟐 230 Conclusão o valor final para ut1t 𝒗𝒇 𝐆𝟎 𝐊 63 Conceito de estabilidade de sistemas dinâmicos e características de respostas de sistemas de ordem superior Quando se fala em estabilidade de sistemas somos levados a avaliar que a saída do sistema deve depois de variar ficar constante ao longo do tempo ou seja entrar em regime permanente ou estado estacionário No entanto é importante caracterizar a entrada que está gerando os valores de saída Outro fato importante é a ideia que a estabilidade pode ser avaliada em duas situações a primeira quando se deseja verificar se o sistema é estável ou não a que chamamos de estabilidade absoluta e a segunda é a ideia de estabilidade relativa quando se comparam sistemas estáveis e queremos verificar qual sistema é mais rápido Este último conceito está associado ao projeto de controladores ESTABILIDADE ABSOLUTA Existem duas definições para verificar se um sistema é estável ou não Um teorema é utilizado para através dos polos da função de transferência efetivamente classificar o sistema entre ser ou não estável Definição 1 Um sistema é estável se estando em uma condição de repouso for excitado por uma entrada impulso sua saída varia e retorna para o valor inicial A figura 618 ilustra a resposta de um sistema estável que foi alimentado por uma entrada impulso e varia a sua saída mas volta à condição inicial 231 Fonte autor Figura 618 A entrada impulso aplicada no sistema produz uma saída que varia mas retorna a sua condição inicial Definição 2 Um sistema é BIBO boundedinput bounded output estável se para qualquer entrada limitada mantém uma saída limitada ao longo do tempo BIBO estável é que o sistema que recebe uma entrada limitada em amplitude por exemplo um degrau que será estável se produzir uma saída que varia mas depois estabiliza A resposta ao degrau unitário de um sistema BIBO estável está apresentada na figura 619 232 Fonte autor Figura 619 Entrada degrau do sistema BIBO estável e sua saída correspondente limitada e que estabiliza em um valor final Teorema Para um sistema ser estável todos os polos da função de transferência devem estar localizados no semiplano esquerdo estrito do plano complexo s Entendese como semiplano esquerdo estrito o plano onde a parte real dos polos complexos é negativa isto é 𝓡𝒆𝒑0 Assim não se inclui os polos que estão no eixo imaginário Esse teorema nos dá também a seguinte classificação quanto à estabilidade Se o sistema tiver polos à esquerda do eixo imaginário ou no eixo e pelo menos um polo à direita do eixo imaginário o sistema será instável Se o sistema tiver polos à esquerda do eixo imaginário e pelo menos um par de polos imaginários puros no eixo imaginário o sistema será marginalmente estável Nessa situação o sistema não é instável e nem estável pois tem uma resposta que não estabiliza senóide mantida mas não tende ao infinito 233 Especial atenção se deve dar ao polo na origem o sistema será instável pois tratase de um polo integrador Exemplo o sistema dado pela função de transferência abaixo será estável Justifique 𝑮𝒔 𝟏𝟎 𝒔 𝟒𝒔𝟐 𝟐𝒔 𝟓 Solução para verificar se será estável devemos determinar os polos Lembrando que o polo é o valor de s que anula o denominador de Gs e portanto faz Gs0 tender ao infinito teremos o primeiro polo como raiz da equação 𝒔 𝟒 𝟎 𝒔 𝟒 ou 𝒑𝟏 𝟒 Os demais polos serão raízes de 𝟏𝒔𝟐 𝟐𝒔 𝟓 𝟎 Por bhaskara 𝒂𝒔𝟐 𝒃𝒔 𝒄 𝟎 𝒔𝟐𝟑 𝒃 𝒃𝟐 𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂 Então 𝒔𝟐𝟑 𝟐 𝟐𝟐 𝟒 𝟏 𝟓 𝟐 𝟏 𝟐 𝟒 𝟐𝟎 𝟐 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟐 𝟏𝟏𝟔 𝟐 𝟐 𝟒𝒋 𝟐 Finalmente 𝒔𝟐𝟑 𝟏 𝟐𝒋 𝒐𝒖 𝒑𝟐𝟑 𝟏 𝟐𝒋 O sistema será estável pois todos os polos têm parte real negativa Assim estão à esquerda do eixo imaginário conforme representado no plano s da figura 620 234 Fonte autor Figura 620 Plano s com a representação dos polos da função de transferência dada Observações finais É importante lembrar que a resposta de um sistema está associada ao valor dos polos do mesmo Por exemplo 𝑮𝒔 𝟏 𝒔 𝟐 Gera uma resposta à entrada degrau unitário como apresentado igual a 𝒚𝒕 𝟏 𝟐 𝟏𝒕 𝒆𝟐𝒕 Como se observa a exponencial tem o valor do polo do sistema p2 Como o expoente é negativo conforme o tempo aumenta a exponencial tende a zero e a resposta do sistema estabiliza em 05 o que demonstra que polos negativos geram respostas estáveis Caso o polo fosse 𝒑 𝟐 𝒂 𝟐 teríamos uma reposta instável tendendo à ESTABILIDADE RELATIVA 235 O conceito de estabilidade relativa está relacionado com a velocidade de resposta do sistema isto é quanto tempo o sistema demora para entrar em regime e está associado ao tempo de assentamento Assim este conceito é aplicado para determinar qual sistema é mais estável A ideia é simples Quanto mais distante do eixo imaginário mais negativo estiver o polo dominante do sistema mais rapidamente ele estabiliza O projeto de controladores está relacionado com este conceito Os polos dominantes de um sistema são os polos mais próximos do eixo imaginário estando os demais cerca de dez vezes mais distante A figura 621 representa a região dos polos dominantes Fonte autor Figura 621 Representação da região dos polos dominantes Observação Se 𝒃 𝒂10 podese desprezar o polo em 𝒔 𝒃 Exemplo O sistema dado pela função de transferência a seguir tem polos dominantes em 𝒑𝟏𝟐 𝟎 𝟓 𝟎 𝟖𝟔𝒋 Função de transferência 236 𝑮𝒔 𝟏𝟎 𝒔 𝟏𝟎𝒔𝟐 𝒔 𝟏 Polos de 𝒔𝟐 𝒔 𝟏 𝟎 𝒑𝟏𝟐 𝟏 𝟏𝟐 𝟒 𝟏 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 𝟑 𝟐 𝟎 𝟓 𝟎 𝟖𝟔𝒋 Polo de 𝒔 𝟏𝟎 𝟎 𝒑𝟑 𝟏𝟎 O polo em 10 está 20 vezes mais distante Assim quem domina a resposta do sistema são os polos 𝒑𝟏𝟐 𝟎 𝟓 𝟎 𝟖𝟔𝒋 Observação dizemos que os sistemas são equivalentes ao possuírem a mesma resposta quando excitados por um determinado sinal por exemplo para uma entrada degrau ou impulso Se compararmos a resposta do sistema dado por Gs com o sistema dado pelos polos dominantes verificaremos que os sistemas são equivalentes No passado este fato era utilizado para reduzir a ordem da função de transferência uma vez que todos os cálculos eram feitos à mão Simulação no octave na figura dd apresentamos a resposta do sistema dado por Gs e o sistema com os pólos dominantes para uma entrada degrau Para Gs devemos aplicar a distributiva no denominador para podermos entrar com os coeficientes da soma 𝑮𝒔 𝟏𝟎 𝒔 𝟏𝟎𝒔𝟐 𝒔 𝟏 𝟏𝟎 𝒔𝟑 𝒔𝟐 𝒔 𝟏𝟎𝒔𝟐 𝟏𝟎𝒔 𝟏𝟎 𝑮𝒔 𝟏𝟎 𝒔𝟑 𝟏𝟏𝒔𝟐 𝟏𝟏𝒔 𝟏𝟎 O sistema com os polos dominantes Gds deve ter o mesmo valor final que Gs isto é 𝒗𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 𝑮𝟎 𝑮𝒅𝟎 237 𝑮𝒅𝒔 𝒌 𝒔𝟐 𝒔 𝟏 Valor final de Gs 𝒗𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 𝟏𝟎 𝟎𝟑 𝟏𝟏 𝟎𝟐 𝟏𝟏 𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏 Valor final de Gds 𝒗𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 𝒌 𝟎𝟐 𝟎 𝟏 𝒌 𝟏 𝒌 Logo 𝒌 𝟏 𝒆 𝑮𝒅𝒔 𝟏 𝒔𝟐 𝒔 𝟏 Comandos no Octave ou Matlab n10 d1 11 11 10 gtfnd stepg hold n11 d11 1 1 g1tfn1d1 stepg1 O gráfico obtido está apresentado na figura 622 O comando hold mantém o gráfico de Gs e imprime junto o gráfico de Gds Como se nota os gráficos são praticamente iguais o que implica que o polo em 10 pode ser desprezado e toda a análise de controle pode ser feita com os polos dominantes 238 Fonte autor Figura 622 Gráfico da resposta ao degrau de Gs e Gds Observação final é interessante verificar que isoladamente os polos complexos geram uma resposta subamortecida que tem um decaimento exponencial cujo tempo de assentamento como foi citado equivale a aproximadamente quatro vezes o valor da parte real do polo correspondendo no exemplo a oito segundos Se verificarmos o tempo de assentamento do polo em 4 corresponde como também foi visto a 4 vezes a constante de tempo que é o inverso do valor do módulo do polo e que equivale a um segundo Com isto fica claro porque a resposta do sistema completo tem como efeito predominante o dos polos complexos e de aspecto gráfico de uma resposta subamortecida Resposta de sistemas de ordem superior 239 Sistemas de ordem três em diante quando excitados em sua entrada produzirão uma resolução que é a combinação de respostas de primeira e segunda ordens O exemplo anterior pode ser utilizado para verificar que a resposta global será dada pela soma da resposta de um sistema de primeira ordem com um sistema de segunda ordem No entanto para este exemplo como foi explicado a resposta que predomina é a dos polos complexos Exemplo vamos verificar a resposta ao impulso unitário para o Gs do exemplo anterior 𝑮𝒔 𝟏𝟎 𝒔 𝟏𝟎𝒔𝟐 𝒔 𝟏 Solução a resposta ao impulso corresponde ao valor de yt para utδt e com isso Us1 Teremos então 𝑮𝒔 𝒀𝒔 𝑼𝒔 𝟏𝟎 𝒔 𝟏𝟎𝒔𝟐 𝒔 𝟏 𝒀𝒔 𝑮𝒔 𝑼𝒔 𝟏𝟎 𝒔 𝟏𝟎𝒔𝟐 𝒔 𝟏 𝟏 Afim de calcular yt devemos calcular a transformada inversa da função Ys Para tanto aplicamos a expansão em frações parciais 𝒀𝒔 𝟏𝟎 𝒔 𝟏𝟎𝒔𝟐 𝒔 𝟏 𝒓𝟏 𝒔 𝟏𝟎 𝒓𝟐𝒔 𝒓𝟑 𝒔𝟐 𝒔 𝟏 Cálculo de 𝒓𝟏 𝒓𝟏 𝒔 𝒑𝟏 𝑩𝒔 𝑨𝒔 𝒔𝒑𝟏 𝒔 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝒔 𝟏𝟎𝒔𝟐 𝒔 𝟏 𝒔𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟐 𝟏𝟎 𝟏 𝒓𝟏 𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎 𝟏 𝟏𝟎 𝟗𝟏 Com o valor de 𝒓𝟏 240 𝟏𝟎 𝒔 𝟏𝟎𝒔𝟐 𝒔 𝟏 𝟏𝟎 𝟗𝟏 𝟏 𝒔 𝟏𝟎 𝒓𝟐𝒔 𝒓𝟑 𝒔𝟐 𝒔 𝟏 𝟏𝟎 𝟗𝟏 𝒔 𝟏𝟎𝒔𝟐 𝒔 𝟏 𝟏𝟎𝒔𝟐 𝟏𝟎𝒔 𝟏𝟎 𝟗𝟏𝒓𝟐𝒔𝟐 𝟗𝟏𝒓𝟑𝒔 𝟗𝟏𝟎𝒓𝟐𝒔 𝟗𝟏𝟎𝒓𝟑 𝒔 𝟏𝟎𝒔𝟐 𝒔 𝟏 Comparando apenas os numeradores da identidade 𝟗𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟗𝟏𝒓𝟐𝒔𝟐 𝟏𝟎 𝟗𝟏𝟎𝒓𝟐 𝟗𝟏𝒓𝟑𝒔 𝟏𝟎 𝟗𝟏𝟎𝒓𝟑 Por comparação do numerador de Gs com o obtido acima vemos que 𝟏𝟎 𝟗𝟏𝒓𝟐 𝟎 𝒓𝟐 𝟏𝟎 𝟗𝟏 𝟏𝟎 𝟗𝟏𝟎𝒓𝟐 𝟗𝟏𝒓𝟑 𝟎 𝟏𝟎 𝟗𝟏𝟎𝒓𝟑 𝟗𝟏𝟎 𝟗𝟏𝟎𝒓𝟑 𝟗𝟎𝟎 𝒓𝟑 𝟗𝟎𝟎 𝟗𝟏𝟎 𝟗𝟎 𝟗𝟏 A segunda equação indica que os valores obtidos estão corretos pois 𝟏𝟎 𝟗𝟏𝟎𝒓𝟐 𝟗𝟏𝒓𝟑 𝟏𝟎 𝟗𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟗𝟏 𝟗𝟏 𝟗𝟎 𝟗𝟏 𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟗𝟎 𝟎 Assim a expansão resulta em 𝒀𝒔 𝟏𝟎 𝟗𝟏 𝟏 𝒔 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟗𝟏 𝒔 𝒔𝟐 𝒔 𝟏 𝟗𝟎 𝟗𝟏 𝟏 𝒔𝟐 𝒔 𝟏 A transformada inversa é determinada pelos pares da tabela da transformada de Laplace dados a seguir Da tabela de pares 𝟏 𝒆𝒂𝒕 𝓛𝟏 𝟏 𝒔 𝒂 𝟐 𝟏 𝟏 𝝃𝟐 𝝎𝒏𝒆𝝃𝝎𝒏𝒕𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒏𝟏 𝝃𝟐 𝒕 𝓛𝟏 𝝎𝒏 𝟐 𝒔𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 𝟑 𝟏 𝟏 𝝃𝟐 𝒆𝝃𝝎𝒏𝒕𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒏𝟏 𝝃𝟐 𝒕 𝓛𝟏 𝒔 𝒔𝟐 𝟐𝝃𝝎𝒏𝒔 𝝎𝒏𝟐 Com 𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒈 𝟏𝝃𝟐 𝝃 Para o primeiro par a10 241 𝓛𝟏 𝟏 𝒔 𝟏𝟎 𝒆𝟏𝟎𝒕 Para o segundo e terceiro termos 𝝎𝒏 e 𝝃 devem ser calculados bem como os termos da função no tempo associados a estes parâmetros Por comparação dos coeficientes do denominador 𝝎𝒏 𝟐 𝟏 𝝎𝒏 𝟏 𝟐𝝃𝝎𝒏 𝟏 𝟐 𝝃 𝟏 𝟏 𝝃 𝟎 𝟓 Logo 𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒈 𝟏𝝃𝟐 𝝃 𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒈 𝟏𝟎𝟓𝟐 𝟎𝟓 𝝅 𝟑 𝝎𝒏𝟏 𝝃𝟐 𝟏𝟏 𝟎 𝟓𝟐 𝟎 𝟖𝟔𝟔 Logo teremos 𝓛𝟏 𝒔 𝒔𝟐 𝒔 𝟏 𝟏 𝟏𝟓𝟒𝒆𝟎𝟓𝒕𝒔𝒆𝒏 𝟎 𝟖𝟔𝟔𝒕 𝝅 𝟑 e 𝓛𝟏 𝟏 𝒔𝟐 𝒔 𝟏 𝟏 𝟏𝟓𝟒𝒆𝟎𝟓𝒕𝒔𝒆𝒏𝟎 𝟖𝟔𝟔𝒕 Assim 𝒚𝒕 𝟏𝟎 𝟗𝟏 𝒆𝟏𝟎𝒕 𝟏𝟎 𝟗𝟏 𝟎 𝟏𝟏𝟓𝟒𝒆𝟎𝟓𝒕𝒔𝒆𝒏 𝟎 𝟖𝟔𝟔𝒕 𝝅 𝟑 𝟗𝟎 𝟗𝟏 𝟏 𝟏𝟓𝟒𝒆𝟎𝟓𝒕𝒔𝒆𝒏𝟎 𝟖𝟔𝟔𝒕 Efetuando os produtos 𝒚𝒕 𝟏𝟎 𝟗𝟏 𝒆𝟏𝟎𝒕 𝟏 𝟏𝟓𝟒 𝟗𝟏 𝒆𝟎𝟓𝒕𝒔𝒆𝒏 𝟎 𝟖𝟔𝟔𝒕 𝝅 𝟑 𝟏𝟎𝟑 𝟖𝟔 𝟗𝟏 𝒆𝟎𝟓𝒕𝒔𝒆𝒏𝟎 𝟖𝟔𝟔𝒕 Como evidenciado a resposta resultante vem de um termo de primeira ordem com um de segunda ordem 242 Sobre a redução de ordem do sistema a resposta ao impulso da função de ordem reduzida é dada por 𝒚𝒅𝒕 𝓛𝟏 𝟏 𝒔𝟐 𝒔 𝟏 𝟏 𝟏𝟓𝟒𝒆𝟎𝟓𝒕𝒔𝒆𝒏𝟎 𝟖𝟔𝟔𝒕 O gráfico da figura 623 representa as duas respostas no tempo Como notamos são bem próximas indicando que o sistema pode ser reduzido de terceira ordem para um sistema de segunda ordem Comandos no Octave ou Matlab t000110 y1091exp10t1091sqrt075exp05tsin0866tpi31038691exp 05tsin0866t yd1154exp05tsin0866t plottytyd Fonte autor 243 Figura 623 Gráfico da resposta ao impulso unitário para Gs e Gds Neste caso a resposta de um sistema de terceira ordem é a soma das respostas de um sistema de primeira ordem e de um sistema de segunda ordem com duas partes Eventualmente podemos ter três sistemas de primeira ordem sendo somados Como observado no exemplo dado o tempo de assentamento do sistema será aproximadamente igual a quatro vezes a maior constante de tempo principalmente quando existem polos dominantes O fator de amortecimento do termo de segunda ordem fornece uma aproximação para a ultrapassagem percentual sobressinal No entanto se o sistema não tiver polos dominantes a análise rigorosa de sistemas de ordem superior é bastante complexa Hoje temos ferramentas de simulação e de projeto de controladores que permitem utilizar qualquer ordem no modelo de um sistema físico como o Matlab não havendo a necessidade da redução de ordem do sistema Efeito dos zeros na resposta dos sistemas dinâmicos O zero da função de transferência altera a resposta do sistema modificando assim os parâmetros como sobressinal tempo de subida e tempo de acomodação mas não altera a questão da estabilidade de sistemas Na classificação de sistemas de segunda ordem o zero pode gerar uma resposta ao degrau com sobressinal mesmo que ela seja superamortecida O gráfico da figura 624 ilustra a mudança da resposta de um sistema conforme variamos o valor do seu zero Exemplos um sistema de segunda ordem com polos em 𝒔 𝟏 𝒋𝟐 𝟖𝟐𝟖 São analisadas as respostas ao degrau unitário para o sistema sem zero com zero em 3 5 e 10 244 Conforme apresentado no gráfico observase que a resposta é subamortecida mas com alteração dos parâmetros sobressinal tempo de subida e tempo de acomodação e quanto mais próximo do polo for o zero mais forte é o efeito sobre a resposta temporal Fonte autor Figura 624 Resposta ao degrau de sistemas com diversos valores de zeros Se o zero estiver à direita do eixo imaginário ou seja for um número real e positiva a resposta será de um sistema de fase nãomínima que pode ser observada na resposta do sistema anterior com um zero positivo Verificase pelo gráfico da resposta ao degrau da figura 625 que o sistema reduz a sua amplitude antes de tender ao seu valor final Fonte autor 245 Figura 625 Resposta ao degrau unitário de um sistema subamortecido com zero positivo Conclusão Vimos neste bloco a resposta ao degrau de sistemas de primeira ordem segunda ordem e ordem superior Foram apresentados conceitos importantes sobre estabilidade de sistemas a partir dos valores dos polos de um sistema e os parâmetros utilizados para especificar a resposta transitória de sistemas Bibliografia Consultada e Recomendada OGATA K Engenharia de Controle Moderno 5a ed São Paulo Pearson 2010 NISE S Engenharia de sistemas de Controle 7ª ed Rio de Janeiro LTC 2017 KLUEVER C A Sistemas dinâmicos modelagem simulação e controle 1ª ed Rio de Janeiro LTC 2018 VARGAS F J T Ferramentas de álgebra computacional aplicações em modelagem simulação e controle para engenharia 1ª ed Rio de Janeiro LTC 2015 GARCIA C Controle de processos industriais estratégias convencionais 1a ed Digital Ed Edgard Blücher Ltda 2018