Notas de Aula sobre Sistemas de Controle - Prof. Me Eng Josemar dos Santos

Sistemas de Controle Notas de Aula V25 2021 Prof Me Eng Josemar dos Santos 2 Sumário Lista de Figuras 5 Lista de Tabelas 6 1 Introdução a Sistemas de Controle 7 Definições 7 Apresentação dos Tipos de Sistemas de Controle 9 Comparação entre SCMA e SCMF 10 2 Transformadas de Laplace 11 Propriedades das Transformadas de Laplace 12 Teorema do valor final 16 Teorema do valor inicial 16 Transformada inversa de Laplace 17 Expansão em frações parciais 17 Tabela de transformadas de Laplace 24 3 Modelagem de Sistemas 25 Modelos Matemáticos de Circuitos Elétricos 25 Sistemas Mecânicos em Translação 27 Sistemas Mecânico em Rotação 31 4 Diagrama de Blocos 34 Blocos em Cascata 34 Bloco com ramo de alimentação 35 Realimentação Negativa 36 Realimentação Positiva 36 Blocos em cascatas com ramo de Realimentação 37 Blocos em paralelo 37 Simplificação do diagrama em blocos 38 3 Entradas múltiplas 44 5 Resposta no Domínio do Tempo 47 Função de Transferência 47 Comentários Sobre Função de Transferência 48 Propriedades das Funções de Transferência 48 Sistemas de Primeira Ordem 52 Resposta de Sistemas de 1a Ordem à Entrada Degrau 53 Constante de Tempo 54 Tempo de Subida 54 Tempo de Acomodação 54 Sistemas de Segunda Ordem 55 Freqüência de Oscilação Amortecida 57 Período de Oscilação Amortecida 57 Tempo de Subida Rise Timetr 57 Tempo de Pico Time to first peak tp 57 Tempo de Acomodação Settling Time 57 SobreSinal Overshoot 58 Sistemas com Tempo morto 58 Sistemas com Integradores 59 6 Critério de Estabilidade de Routh 61 Estabilidade de Sistemas Lineares 61 Critério de Estabilidade de Routh 62 Condições de Estabilidade 63 Complementos Matemáticos 65 Zero 0 na coluna da Série de Routh 65 Linha de Zeros 0 na Matriz de Routh 66 7 Erro em Regime Permanente 68 Classificação dos Sistemas de Controle 70 Erro em Regime Permanente de Sistemas com Realimentação Unitária 70 Entrada Degrau 71 Entrada Rampa 72 4 Entrada Parábola 73 Constantes de Erro Estático 74 8 Referências Bibliográficas 76 9 Anexos 77 Instalando uma Biblioteca na HP484950G 77 Critério de Estabilidade de RouthHourwitz com a HP50G 78 5 Lista de Figuras Figura 11 Principais componentes de um Sistema de Controle 8 Figura 21 Resolução de EDOs via Transformadas de Laplace 11 Figura 31 Circuito RLC 26 Figura 32 Sistemas Massa Mola Amortecedor 28 Figura 33 Sistema Mecânico em Translação com 2 graus de Liberdade 30 Figura 34 Sistema Mecânico em Rotação com 2 graus de Liberdade 32 Figura 41 Diagrama de Blocos 34 Figura 51 Resposta ao Degrau Unitário de um Sistema de 1a Ordem 53 Figura 52 Especificações da Resposta Subamortecida de Segunda Ordem 56 Figura 53 Resposta ao Degrau de um Sistema com Integradores 59 Figura 54 Diagrama de um Controle de Nível de um Tanque 60 Figura 61 Região de Estabilidade no Plano Complexo S 61 Figura 71 Diagrama de Blocos Genérico 68 Figura 91 File Manager e Modos 77 Figura 92 Inserção dos Coeficientes da equação Característica 78 Figura 93 Menu da Biblioteca Routh 79 Figura 94 Matriz de Routh 79 Figura 95 Coeficientes da equação característica 79 Figura 96 Matriz de Routh 79 6 Lista de Tabelas Tabela 11 Comparação SCMA x SCMF 10 Tabela 21 Transformas de Laplace Usuais 24 Tabela 31 Relações tensãocorrente tensãocarga e impedância para capacitoers resistores e indutores 25 Tabela 32 Relações forçavelocidade forçadeslocamento e impedância de translação de molas amortecedores e massas 28 Tabela 33 Relações torquevelocidade angular torquedeslocamento angular e impedância de rotação de molas amortecedores viscosos e inércia 31 Tabela 41 Manipulação de Diagrama de Blocos 39 Tabela 51 Combinações de Pólos e Zeros 50 Tabela 52 Principais formas de um sistema de Segunda Ordem 56 Tabela 61 Tabela de Routh Completa 63 Tabela 71 Tipos de Excitação Padrão para estudo do Erro 69 Tabela 72 Constantes de Erro Estático 74 Tabela 73 Relação Entrada Tipo Constante e Erro 75 Introdução 7 1 Introdução a Sistemas de Controle Definições Sistema é um conjunto de componentes que atuam conjuntamente e realizam um certo objetivo Assim um sistema é um arranjo de partes ou componentes sem limitações de quantidade ou qualidade Um sistema pode ter qualquer tamanho ou de quaisquer proporções dimensionais Por exemplo o sistema elétrico de uma casa tem dimensões complentamente diferentes das de um sistema elétrico de um país Além disso um sistema não está limitado a algo físico O conceito de sistema também pode ser aplicado para fenômenos dinâmicos abstratos como aqueles encontrados em economia Dinâmica referese a uma situação ou estado que é dependente do tempo Mesmo uma variável que não sofre mudanças em função do tempo é considerada dentro do estudo da dinâmica uma vez que uma constante é também uma função do tempo O estudo de um sistema dinâmico pode ser entendido como sendo o estudo do comportamento em função do tempo de grandezas relacionadas com uma parte do universo que foi imaginariamente separada para esse fim Controle é o ato de comandar dirigir ordenar manipular alguma coisa ou alguém Assim um sistema de controle é um conjunto de componentes que tem por função dirigir alguma coisa ou alguém Grandezas que cruzam a fronteira imaginária de um sistema podem ser chamadas de entradas ou saídas Entradas são grandezas que estimulam excitam um sistema Saídas são as reações respostas do sistema a um ou mais estímulos externos Variável Controlada do inglês process variable PV é uma grandeza ou condição que é medida e controlada Normalmente é a saída ou resposta do sistema Variável Manipulada do inglês manipulated variable MV é uma grandeza ou condição que é variada pelo controlador para que modifique o valor da variável controlada No Introdução 8 controle podese medir o valor da variável controlada do sistema e aplicar uma ação ao sistema através da variável manipulada para corrigir ou limitar o desvio do valor medido em relação a um valor desejado A Figura 11 apresenta os 4 blocos principais de um sistema de controle Figura 11 Principais componentes de um Sistema de Controle Perturbações ou distúrbios são sinais que tendem a afetar adversamente o valor da saída do sistema Se a perturbação for gerada dentro do sistema ela é denominada perturbação interna enquanto que uma perturbação distúrbio externa é gerada fora do sistema e constitui uma entrada Controle Realimentado referese a uma operação que mesmo na presença de perturbações ou distúrbios tende a reduzir a diferença entre a saída do sistema e alguma entrada de referência e que opera com base nessa diferença sistema de controle realimentado é um sistema que mantém uma determinada relação entre a saída e alguma entrada de referência comparandoas e utilizando a diferença como um meio de controle Exemplo um sistema de controle da temperatura ambiente Os sistemas de controle realimentados não estão limitados a aplicações de Engenharia Um exemplo é o sistema de controle da temperatura do corpo humano que é um sistema altamente avançado Planta é uma parte de um equipamento eventualmente um conjunto de itens de uma máquina que funcionam juntos cuja finalidade é desempenhar uma certa operação No nosso caso é qualquer objeto físico a ser controlado como por exemplo um forno uma aeronave etc Controlador Atuador Planta Sensor SP MV PV Introdução 9 Processo é uma operação ou desenvolvimento natural que evolui progressivamente caracterizado por mudanças graduais que se sucedem um em relação às outras de um modo relativamente fixo ordenado e conduzindo a um resultado ou finalidade particular uma operação artificial ou voluntária que evolui progressivamente e que consiste em uma série de ações controladas ou movimentos sistematicamente dirigidos objetivando um resultado ou finalidade particular The MerriamWebester Dictionary Apresentação dos Tipos de Sistemas de Controle Servosistema servomecanismo é um sistema de controle realimentado em que a saída é alguma posição velocidade ou aceleração mecânicas O termos servosistema e sistema de controle de posição ou velocidade ou aceleração são sinônimos São sistemas extensivamente usados na industria moderna Sistema Regulador Automático é um sistema de controle realimentado em que a entrada de referência ou a saída desejada ou é constante ou varia lentamente com o tempo e que tem como tarefa principal manter a saída real no valor desejado na presença de perturbações Sistema de Controle de Processos é um sistema regulador automático no qual a saída é uma variável tal como temperatura pressão fluxo nível de líquido ou pH É exaustivamente usado na indústria Sistema de Controle a Malha Fechada SCMF nome dado ao sistema de controle realimentado Num SCMF a diferença entre a referência sinal de entrada e a medida da variável controlada sinal realimentado1 também chamada de sinal de erro atuante é introduzido no controlador de modo a reduzir o erro e trazer a saída do sistema a um valor desejado O termo controle a malha fechada sempre implica o uso de ação de controle realimentado a fim de reduzir o erro do sistema Sistema de Controle a Malha Aberta SCMA é aquele sistema em que a saída não tem nenhum efeito sobre a ação de controle Em outras palavras em um SCMA a saída não é Introdução 10 medida nem realimentada para comparação com a entrada Exemplo máquina de lavar roupas Sistema de Controle Robusto é um sistema de controle que é insensível a variações de parâmetros Sistema de Controle Adaptativo é aquele sistema que tem a habilidade de se auto ajustar ou automodificar de acordo com variações imprevisíveis nas condições de ambiente ou de estrutura O próprio sistema de controle detecta variações nos parâmetros da planta e faz os ajustes necessários no nos parâmetros do controlador afim de manter um desempenho ótimo Sistema de Controle com Aprendizado é aquele sistema de controle que tem habilidade de aprender Comparação entre SCMA e SCMF A Tabela 11 apresenta uma comparação entre os sistemas de controle em malha aberta e sistemas de controle em malha fechada Tabela 11 Comparação SCMA x SCMF Transformadas de Laplace 11 2 Transformadas de Laplace O método de transformada de Laplace é um método muito útil para resolver equações diferenciais ordinárias EDO Com a transformada de Laplace podese converter muitas funções comuns tais como senoidais e amortecidas em equações algébricas de uma variável complexa s As equações diferenciais também podem ser transformadas em equações algébricas através da transformada de Laplace Definição A transformada de Laplace é uma operação semelhante a transformada logarítmica As equações diferenciais são transformadas em equações algébricas em que podese realizar operações algébricas normais no domínio s e depois retornando ao domínio t através da inversa A Figura 21 apresenta esquematicamente as operações a serem realizadas Figura 21 Resolução de EDOs via Transformadas de Laplace O matemático francês Pierre Simon de Laplace 1749 1827 descobriu um meio de resolver as equações diferenciais que consiste em Multiplicar cada termo da equação por e s t Integrar cada termo em relação ao tempo de zero a infinito s é uma constante de unidade de um 1tempo A transformada de Laplace de uma função ft é definida como Comportamento descrito por Equações Diferenciais Domínio do tempo t Transformada de Laplace Manipulações Algébricas de Equações Domínio S de Laplace Transformada Inversa de Laplace Solução Domínio do Tempo t Transformadas de Laplace 12 F s f t f t e st dt L 0 Onde Fs Símbolo da transformada de Laplace ft Função do tempo contínua para 0 t L Operador de Laplace Inversa da transformada de Laplace f t f s L 1 Onde ft Função do tempo que não é definida para t0 L 1 Operador de inversa de Laplace Propriedades das Transformadas de Laplace As propriedades básicas são Soma de duas funções L L L f t f t f t f t F s F s 1 2 1 2 1 2 Multiplicação por constante L L af t a f t aF s Função com atraso no tempo L f t t e t s F s 0 0 L f t t f t t e d t t e f t e dt s t t s t s t 0 0 0 0 0 0 0 L f t t e s t F s 0 0 Transformadas de Laplace 13 Derivada primeira de uma função L df t dt sF s f onde f f t 0 0 0 L L df t dt f df t dt e dt f t e dt f t e s f s t s t s t 0 0 0 0 L df t dt sF s f 0 Derivada segunda de uma função L d f t dt s F s sf df dt onde d dt f t 2 2 2 0 0 0 fazendo df dt ou s sF s f 0 L L d f dt d dt s s 2 2 0 substituindo L d f dt s sF s f s F s sf f 2 2 2 0 0 0 0 Derivada nésima de uma função L d dt f t s F s S f S d dt f d dt f n n n n n n 1 2 1 0 0 0 Integral de uma função entre instantes 0 e t L f t s F s s F s t 0 1 1 Transformadas de Laplace 14 Exemplos de transformadas de Laplace Função constante f s a f s f t ae dt a s e a s s t s t L 0 0 0 F s a s Função de grau unitário f t p t p t 0 0 1 0 F s f t e dt s e s s t s t L 1 1 0 1 0 0 F s s 1 Função Pulso f t t A t t t t t w w w 0 0 0 0 F s f t f t e dt a t e dt a t s e a t s e s t w s t w s t t w s t t w w w L 0 0 0 1 Transformadas de Laplace 15 F s A t s e w tws 1 Função Impulso Delta de Dirac t f t A t para t t f t para t e t t t w o w w 0 0 0 0 lim L f t A t s e t w t s w w 0 1 lim Aplicando a regra de LHôpital L f t d dt A e d dt t s As s A t w t s w w w w 0 1 lim F s A Função exponencial F t e bt s b e s b dt e dt e e t f s t b s t b st bt 1 1 0 0 0 L F s b s 1 OBS A transformada de Laplace não é definida para b 0 Função trigonométrica F t t e e j t j t cos 2 Transformadas de Laplace 16 L L L f t e e s j s j j t j t 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 F s s j s j 1 2 1 1 Teorema do valor final O teorema do valor final relaciona o comportamento em regime estacionário de ft isto é o ganho da função Teorema Se uma transformada de Laplace é multiplicada por s o valor do produto fazendo s tender a zero é o valor da transformada inversa com t tendendo a infinito f f t sF s t s lim lim 0 Teorema do valor inicial O teorema do valor inicial não dá o valor de ft em t 0 mais num tempo ligeiramente superior a zero Teorema Se uma transformada de Laplace é multiplicada por s o valor do produto fazendo s tender a infinito é o valor da transformada inversa com t tendendo a zero f f t sF s t s 0 0 lim lim Exemplo G s s s s 5 2 5 4 G sG s s s s s 0 5 2 5 4 1 lim lim G sG s s s s s 0 0 5 2 5 4 1 2 lim lim Transformadas de Laplace 17 Transformada inversa de Laplace O processo matemático de se passar da expressão com variáveis complexas para expressão no tempo é chamada transformada inversa A notação da transformada inversa é L 1 F s f t Um método conveniente para se obter as transformadas inversas de Laplace consiste em usar uma tabela de transformadas de Laplace Neste caso a transformada de Laplace deve entrar em forma imediatamente reconhecível na tabela Se uma transformada Fs não puder encontrada na tabela então devese expandir em frações parciais e escrever Fs em termos de funções simples de s nas quais as transformadas são conhecidas Expansão em frações parciais Para resolver uma expressão algébrica em frações parciais o denominador deve ser fatorado O numerador deve ser pelo menos um grau abaixo do denominador Quando o grau do numerador for igual ou maior do denominador o numerador deve ser dividido pelo denominador para dar termos que sejam pelo menos um grau abaixo do denominador Existem três tipos básicos de frações parciais as formas são as seguintes Fatores lineares no denominador Expressão pn s p s p s z s G s 2 1 pi i 1n raízes distintas Frações Parciais pn s N p s B p s A G s 2 1 1 1 lim s p A s p G s 2 2 lim s p B s p G s Transformadas de Laplace 18 lim n n s p N s p G s Exemplo 1 G s s s s s s s s s 1 6 11 6 1 1 2 3 3 2 G s A s B s C s D s 1 2 3 A s s s s s s lim 0 0 1 1 2 3 1 6 B s s s s s s lim 1 1 1 1 2 3 1 2 C s s s s s s lim 2 2 1 1 2 3 1 2 D s s s s s s lim 3 3 1 1 2 3 1 6 G s s s s s 1 6 1 2 1 1 2 2 1 6 3 Fatores lineares repetidos no denominador Expressão n k p s p s p s z s s G 2 1 Frações Parciais 2 1 2 1 2 1 1 k k n A A A B N G s s p s p s p s p s p 1 1 lim k k s p A s p G s Transformadas de Laplace 19 1 1 1 1 1 lim k k k k s p d A s p G s ds 2 2 lim s p B s p G s lim n n s p N s p G s Exemplo 2 G s s s s s s s s 1 4 4 1 2 2 2 2 2 1 2 2 s A s A s B G s 4 1 1 lim 1 lim 2 1 2 lim 2 2 2 2 2 2 1 s s s ds d s s s s ds d A s s s 2 1 1 lim 2 1 2 lim 2 2 2 2 2 s s s s s s A s s 4 1 2 1 0 lim 2 0 s s s s B s G s s s s 1 4 1 4 2 1 2 2 2 Fatores complexos conjugados no denominador Quando a função possui pólos complexos Nesses casos a função temporal sempre envolve produto de uma exponencial e um seno ou cosseno como indicado a seguir Transformadas de Laplace 20 2 2 2 2 cos a s a B s t sen Ae a s a A s t Ae at at L L Quando a função possui pólos complexos e reais Para utilizarmos os resultados das seções anteriores devemos primeiro separar os pólos complexos dos reais da seguinte forma Expressão onde K1 é obtido como definido no item 1 e K2 e K3 são determinados por igualdade polinomial atribuindose valores a s Exemplo 3 5 2 5 2 3 2 3 2 1 2 s s K s K s K s G s s s s G K1 pode ser obtido pelo procedimento habitual e vale 35 K2 e K3 podem ser determinados simplificando a equação anterior e comparando os polinômios 3 5 6 5 3 3 5 2 5 3 5 2 3 3 2 2 2 3 2 2 s K s K s s K s K s s s s Portanto K235 e K365 Ajustando os termos 2 2 2 1 2 0 5 1 5 3 5 3 s s s F s utilizando da tabela de laplace encontramos b as s K s K p s K b as s p s N s s F 2 3 2 1 1 2 1 Transformadas de Laplace 21 sen t t e t f t 2 2 1 2 5 3 5 3 cos Solução de equações diferenciais por Laplace O procedimento que envolve utilizar a transformada de Laplace para obter a solução de uma equação diferencial é o seguinte 1 Transformar cada termo da equação diferencial em suas transformadas de Laplace isto é mudar a função do tempo para uma função de s 2 Pesquisar todas as manipulações por exemplo considerar o que acontece quando uma entrada degrau é aplicada ao sistema 3 Converter a função de Laplace resultante em uma equação como função do tempo isto é operação inversa da transformação de Laplace Para usar as tabelas de transformadas de Laplace e assim determinar a conversão é freqüentemente necessário decompor em frações parciais para obter as formas padrões dadas nas tabelas A apresenta esquematicamente a solução de equações diferenciais ordinárias por Transformadas de Laplace Exemplo Seja a equação diferencial d y t dt d y t dt dy t dt y t u t 3 3 2 2 6 11 6 com as seguinte condições iniciais Equações Diferenciais Condições Iniciais Etapa 1 Realizar a Transformada de Laplace Etapa 2 Resolver Etapa 3 Fatorar Ds Expansão em Frações Parciais Erapa 4 Inversa da Transformada de Laplace Domínio do Tempo t Domínio de Laplace s Solução yt Transformadas de Laplace 22 d y dt dy dt y 2 2 0 0 0 0 0 0 aplique um degrau unitário em u ut 1 Etapa 1 Aplicação da transformada de Laplace L L L L L d y t dt d y t dt dy t dt y t u t 3 3 2 2 6 11 6 s y s s y s dy dt d y dt s y s sy dy dt sy s y y s u s 3 2 2 2 2 0 0 0 6 0 0 11 0 6 s y s s y s sy s y s u s 3 6 2 11 6 y s s s s u s 1 6 11 6 3 2 L u t u s s 1 Etapa 2 Operação com a função de transferência y s s s s s 1 6 11 6 1 3 2 y s s s s s 1 6 11 6 3 2 y s s s s s 1 1 2 3 Etapa 3a Expansão em frações parciais y s A s B s C s D s 1 2 3 Transformadas de Laplace 23 A s s s s s s lim 0 0 1 1 2 3 1 6 B s s s s s s lim 1 1 1 1 2 3 1 2 C s s s s s s lim 2 2 1 1 2 3 1 2 D s s s s s s lim 3 3 1 1 2 3 1 6 y s s s s s 1 6 1 2 1 1 2 2 1 6 3 Etapa 3b Aplicação da transformada inversa de Laplace L L L L L 1 1 1 1 1 y s s s s s 1 6 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 6 1 3 y t e e e t t t 1 6 1 2 1 2 1 6 2 3 Transformadas de Laplace 24 Tabela de transformadas de Laplace Tabela 21 Transformas de Laplace Usuais Função Transformada ft FS 1 Impulso unitário t 1 2 Degrau unitário ut 1t 1 s 3 Rampa Unitária T 1 2s 4 tn n 123 n sn 1 5 e at 1 s a 6 te at 1 2 s a 7 t e n n at 1 2 3 n s a n 1 8 1 1 a e at 1 s s a 9 1 1 a2 e ate at at 1 2 s s a 10 1 b a e e at bt 1 s a s b 11 1 b a be ae bt at s s a s b 12 sent s2 2 13 cost s s2 2 14 sen h t 2 2 s 15 cosht 2 2 s s 16 Senóide Amortecida e t at sen s a 2 2 17 Cossenóide Amortecida e t at cos s a s a 2 2 18 n t n e t n 1 1 2 2 sen n n n s s 2 2 2 2 19 eat f t F s a Modelagem de Sistemas 25 3 Modelagem de Sistemas Modelos Matemáticos de Circuitos Elétricos Os circuitos equivalentes às redes elétricas com as quais trabalhamos consistem basicamente em três componentes lineares passivos resistores capacitores e indutores A Tabela 31resume os componentes e as relações entre tensão e corrente e entre tensão e carga sob condições iniciais nulas Tabela 31 Relações tensãocorrente tensãocarga e impedância para capacitoers resistores e indutores As equações de um circuito elétrico obedecem às leis de Kirchhoff que estabelecem A soma algébrica das diferenças de potencial ao logo de um circuito fechado é igual a zero A soma algébrica das correntes em uma junção ou nó é igual a zero A partir destas relações podemos escrever as equações diferenciais do circuito Aplicase então a Transformada de Laplace das equações e finalmente se soluciona a Função de Transferência Modelagem de Sistemas 26 Exemplo Obter a função de transferência relacionando a tensão VCs no capacitor à tensão de entrada Vs da Figura 31 Figura 31 Circuito RLC Resolução Utilizando as leis de Kirchhoff obteremos a equação diferencial para o circuito Somando as tensões ao longo da malha supondo condições iniciais nulas resulta a equação íntegrodiferencial 0 1 t L di t Ri t i d v t dt C Fazendo uma mudança de variável de corrente para carga usando a relação i t dq t dt resulta 2 2 1 d q t dq t L R q t v t dt C dt A partir da relação tensãocarga em um capacitor da Tabela 1 C q t Cv t Substituindo 2 2 C C C d v t dv t LC RC v t v t dt dt Aplicando Laplace 2 1 C LCs RCs V s V s Modelagem de Sistemas 27 Calculando a função de transferência c V s V s 2 1 1 c V s LC R V s s L s LC Sistemas Mecânicos em Translação Os sistemas mecânicos obdecem à lei fundamental onde o somatório de todas as forças é igual a zero Isto é conhecido como lei de Newton e pode ser dito da seguinte forma a soma das forças aplicadas deve ser igual à soma das forças de reação Iniciaremos arbitrando um sentido positivo para o movimento por exemplo para direita Usando o sentido escolhido como positivo para o movimento desenhamos em primeiro lugar um diagrama de corpo livre posicionando sobre o corpo todas as forças que agem sobre ele no sentido do movimento ou no sentido oposto Em seguida utilizamos a lei de Newton para construir a equação diferencial do movimento somando as forças e igualando a soma a zero Finalmente supondo as condições iniciais nulas aplicamos a transformada de Laplace à equação diferencial sepramos as variáveis e chegamos à função de transferência A Tabela 32 apresenta os elementos mecânicos comuns em sistemas de translação como suas relações Modelagem de Sistemas 28 Tabela 32 Relações forçavelocidade forçadeslocamento e impedância de translação de molas amortecedores e massas Exemplo Obter a função de transferência XsFs para o sistema da Figura 32 abaixo Figura 32 Sistemas Massa Mola Amortecedor Resolução Desenhando o diagrama de corpo livre para o sistema proposto e arbitrando o sentido do movimento para direta obtemos Modelagem de Sistemas 29 Utilizando a Lei de Newton escrevemos a equação diferencial do movimento 2 2 v d x t dx t M f Kx t f t dt dt Aplicando Laplace 2 2 v v Ms X s f sX s KX s F s Ms f s K X s F s Resolvendo para obter a função de transferência 2 1 v X s G s F s Ms f s k Em sistemas mecânicos o número necessário de equações de movimento é igual ao número de movimentos linearmente independentes A independência linear implica que um onto de movimento em um sistema em movimento pode continuar a se mover mesmo se todos os outros pontos forem mantidos parados A expressão linearmente independente também é conhecida por graus de liberdade Desta forma podemos sugerir uma pequena equação Soma de ImpedânciasXs Soma de forças aplicadas Quando utilizando a lei de Newton somando as forças de cada corpo e fazemos a soma igual a zero o resultado é um sistema de equações simultâneas do movimento Estas equações podem ser resolvidas em função da variável de saída de interesse a partir da qual se calcula a função de transferência Modelagem de Sistemas 30 Exemplo Obter a função de transferência X2sFs para o sistema da Figura 33 abaixo Figura 33 Sistema Mecânico em Translação com 2 graus de Liberdade Usando o conceito apresentado anteriormente podemos solucionar o exercício por inspeção escrevendo as equações de movimento do sistema sem desenhar o diagrama de corpo livre 1 2 1 1 2 1 Soma das Soma das impedâncias Soma das impedâncias conectadas ao forças aplicadas entre movimento em x x e x em x X s X s e 1 2 1 2 2 2 Soma das impedâncias Soma das Soma das impedâncias conectadas ao forças aplicadas movimento entre x e x em x em x X s X s Modelagem de Sistemas 31 Sistemas Mecânico em Rotação As equações caracterizando os sistemas que apresentam movimento de rotação são semelhantes às dos sitemas com translação Escrever as equações de conjugado é equivalente a escrever as equações de força com os termos de deslocamento velocidade e aceleração considerada agora como grandezas angulares O torque substitui a força e deslocamento angular substitui deslocamento O termo associado à Massa é substituído por inércia O conceito de graus de liberdade também continua válido nos sitemas em rotação O número de pontos de movimento que podem ser submetidos a deslocamentos angulares enquanto se mantêm parados todos os demais é igual ao número de equações de movimento ncessário para descrever o sistema Os elementos relacionados ao movimento mecânico em rotação são apresentados na Tabela 33 Tabela 33 Relações torquevelocidade angular torquedeslocamento angular e impedância de rotação de molas amortecedores viscosos e inércia Modelagem de Sistemas 32 Exemplo Obter a função de transferência 2 s T s para o sistema em rotação mostrado na Figura 34 O eixo elástico é suspenso por meio de mancais em cada uma das extremidades e é submetido à torção Um torque é aplicado à esquerda e o deslocamento angular é medido à direita Figura 34 Sistema Mecânico em Rotação com 2 graus de Liberdade Resolução Embora a torção ocorra ao longo do eixo aproximamos o sistema admitindo que a torção atua como uma mola concentrada em um ponto particular do eixo com uma inércia J1 à esquerda e uma inércia J2 à direita Usando o princípio da superposição notamos que o sistema apresenta dois graus de liberdade Desta forma podemos solucionar o problema por inspeção onde 1 2 1 2 1 1 1 1 2 Soma das Impedâncias Soma das Impedâncias Soma dos torques conectas ao movimento entre e aplicados em em Soma das I Soma das Impedâncias entre e s s s 2 2 2 mpedâncias Soma dos torques conectas ao movimento aplicados em em s Ou ainda utilizando o diagrama de corpo livre para cada um dos torques Modelagem de Sistemas 33 E assim obtemos as equações do movimento 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 0 J s D s K s K s T s K s J s D s K s A partir das quais se obtém a função de transferência pedida 2 2 1 1 2 2 2 s K T s J s D s K K K J s D s K Diagrama de blocos 34 4 Diagrama de Blocos Verificando os modelos para sistemas complexos podese notar que eles são resultantes de subsistemas ou elementos cada qual com sua função de transferência Os diagramas em blocos podem ser usados para representar cada um destes subsistemas e o arranjo agrupado e conectado num sistema como um todo O diagrama em blocos contém vários itens na sua representação São estes Seta É usada para representar o sentido do fluxo de sinal Bloco É um símbolo de operação matemática sobre o sinal de entrada do bloco que produz a saídaÉ representado normalmente por função de transferência Ponto de soma O círculo com uma cruz é o símbolo que indica uma operação de soma O sinal mais ou menos determina se o sinal deve ser adicionado ou subtraído Ponto de junção É um ponto a partir do qual o sinal proveniente de um bloco vai para outros blocos ou pontos de soma Figura 41 Diagrama de Blocos Blocos em Cascata Um sistema tem elementos em cascatas se dois ou mais elementos estão num mesmo ramo direto então a função de transferência Gs do sistema é G s s s o i Diagrama de blocos 35 Onde o sinal de saída i sinal de entrada Portanto o i G 1 1 1 o i G 2 2 2 i o 2 1 o i G G 2 1 2 1 G G G 2 1 Bloco com ramo de alimentação Um sistema em malha fechada com realimentação é representado na figura a seguir A função de transferência Gs é dada por Diagrama de blocos 36 Realimentação Negativa G H o i o 1 o i o G G H 1 1 G G H i o 1 1 1 G s s s G G H o i 1 1 1 G s G s G s H s 1 1 1 Realimentação Positiva G H o i o 1 o i o G G H 1 1 G G H i o 1 1 1 G s s s G G H o i 1 1 1 G s G s G s H s 1 1 1 Diagrama de blocos 37 Blocos em cascatas com ramo de Realimentação Considere um sistema em ramo fechado constituído de dois componentes em cascata e uma realimentação O sistema pode ser simplificado para o seguinte Portanto G s G s G s G s G s H s 2 1 2 1 1 Blocos em paralelo Num sistema com blocos em paralelo os sinais se somam no ponto de soma Diagrama de blocos 38 o i i G G 1 2 o i G G 1 2 G s G s G s 1 2 Se os sinais se subtraem no ponto de soma temos o i i G G 1 2 o i G G 1 2 G s G s G s 1 2 Simplificação do diagrama em blocos Os métodos apresentados a seguir são utilizados para simplificar diagramas em blocos A Tabela 41 lista estes métodos Diagrama de blocos 39 Tabela 41 Manipulação de Diagrama de Blocos Transformação Diagrama Original Diagrama Equivalente Equação 1 Combinação de blocos em série o i s G s G s s 2 1 2 Eliminando um ramo de realimentação o i o s G s s H s s 3 Eliminando um ramo de alimentação o i s G s G s s 2 1 Diagrama de blocos 40 4 Movendo um ponto de soma para a frente de um bloco o s G s s s 1 2 5 Movendo um ponto de soma para a depois de um bloco o s G s s s 1 2 6 Rearranjo de pontos de soma o s s s s 1 2 3 7 Rearranjo de pontos de soma o s s s s 1 2 3 Diagrama de blocos 41 8 Movendo um ponto de bifurcação para antes de um bloco o i s G s s 9 Movendo um ponto de bifurcação para depois de um bloco o i s G s s 10 Movendo um ponto de bifurcação para antes de um ponto de soma o s s s 1 2 11 Movendo um ponto de bifurcação para depois de um ponto de soma o s s s 1 2 Diagrama de blocos 42 Exemplo Agrupar os blocos em série e em paralelo Agrupar os ramos de realimentação internos feedback interno Agrupar os blocos em série Diagrama de blocos 43 Agrupar o ramo de realimentação externo feedback externo Simplificar a apresentação da função de transferência Diagrama de blocos 44 Entradas múltiplas Os sistemas em geral tem mais de uma entrada Pode existir um sinal de entrada referente ao valor desejado da variável controlada SP e também uma entrada ou mais devidas a perturbações que afetam o sistema O procedimento que pode ser adotado para obter a relação entre as entradas e saídas para o sistemas é 1 Fazer todas as entradas exceto uma delas iguais a zero 2 Transformar o diagrama em blocos resultante em apenas um ramo direto e um ramo de realimentação 3 Determinar a relação dos sinais de saída e entrada 4 Repetir os passos 1 2 e 3 para cada uma das entradas 5 A saída total é a soma das saídas devida a cada entrada Diagrama de blocos 45 Caso 1 Servo i 0 d 0 G s G s G s G s G s H s i 2 1 2 1 1 Caso 2 Regulador i 0 d 0 Diagrama de blocos 46 G s G s G s G s H s d 2 2 1 1 A saída do sistema é a soma dos dois casos o i i d d s G s s G s s o i d s G s G s G s G s H s s G s G s G s H s s 2 1 2 1 2 2 1 1 1 Resposta no Domínio do Tempo 47 5 Resposta no Domínio do Tempo Em teoria de controle funções chamada funções de transferência são comumente usadas para caracterizar as relações de entradasaída de componentes ou sistemas que podem ser descritos por equações diferenciais Função de Transferência A função de transferência de um sistema de equação diferenciais lineares é definida como a relação da transformada de Laplace da saída para a transformada de Laplace da entrada Consideramos o sistema definido pela seguinte equação diferencial a d y dt a d y dt a dy dt a y b d x dt b d x dt b dx dt b x n n n n n n m m m m m m 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 Onde y é saída do sistema e x é a entrada e n m A função de transferência do sistema é obtida tomandose a transformada de Laplace de ambos os membros da equação função de transferência G s saída entrada L L condições iniciais nulas G s Y s X s b s b s b s b a s a s a s a b s a s m m m m n n n n i i i m i i i n 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 Usando o conceito de função de transferência é possível representar a dinâmica do sistema pelas equações algébricas em s A aplicabilidade do conceito da função de transferência é limitada aos sistemas de equações diferenciais lineares invariantes no tempo Resposta no Domínio do Tempo 48 Comentários Sobre Função de Transferência É um modelo matemático expresso através de uma equação diferencial que relaciona a saída com a entrada Independe da magnitude e da natureza da entrada Inclui as unidades das entradas e saídas Não fornece informações sobre a estrutura física do sistema Pode ser estabelecida experimentalmente introduzindose entradas conhecidas e analisando as saídas Propriedades das Funções de Transferência Ganho da função de transferência A variação da saída no estadoestacionário é calculado diretamente fazendo S O Em Gs dá o ganho no estadoestacionário do processo se ele existe O ganho no estadoestacionário é a razão entre a variação da saída com a variação da entrada K y y x x b a 2 1 2 1 0 0 Onde 1 e 2 indicam diferentes estadosestacionários y e x Ordem da função de transferência A ordem da função de transferência é a maior potência de s no denominador do polinômio que é a ordem da equação diferencial equivalente O sistema é chamado de nésima ordem Constante de tempo da função de transferência Se ambos o numerador e denominador forem divididos por ao polinômio característico denominador pode ser fatorado na forma de produto i i s 1 O termo em s é chamado constante de tempo i que dá uma informação da velocidade e das características da resposta do sistema Resposta no Domínio do Tempo 49 Realização Física Dado um sistema descrito por G s b s b s b s b a s a s a s a m m m m n n n n 1 1 1 0 1 1 1 1 0 é fisicamente possível se n m Pólos e zeros Dada a função de transferência G s b s b s b s b a s a s a s a m m m m n n n n 1 1 1 0 1 1 1 1 0 Esta expressão pode ser fatorada em G s b a s z s z s z s p s p s p m n m n 1 2 1 2 onde zi são os zeros da função de transferência pi são os pólos de função de transferência Os pólos e zeros tem um papel importante na determinação do comportamento dinâmico do sistema Podemos visualizar o tipo de comportamento dinâmico associado a cada tipo de pólo distintos e reais pares complexos e conjugados a b j múltiplos A Tabela 51 apresenta algumas possíveis relações de polós e zeros Resposta no Domínio do Tempo 50 Tabela 51 Combinações de Pólos e Zeros Raízes Forma Lugar das raízes Comportamento 1 pólos reais e negativos p1 a1 y t C e a t 1 1 2 pólos reais e positivos p1 a1 y t C ea t 1 1 Resposta no Domínio do Tempo 51 3 pólos complexos conjugados com parte real negativa p1 a bi p2 a bi y t e C bt C bt at 1 2 cos sen 4 pólos imaginários puros p1 bi p2 bi y t C bt C bt 1 2 cos sen 5 pólos complexos conjugados com parte real positiva p1 a bi p2 a bi y t e C bt C bt at 1 2 cos sen Resposta no Domínio do Tempo 52 Sistemas de Primeira Ordem Sistemas de primeira ordem tem seu comportamento dinâmico descrito por equações diferenciais de primeira ordem Seja a seguinte equação diferencial ordinária a dy dt a y bu 1 0 Onde y Variável saída u Variável entrada Como o objetivo é obter a saída do sistema é necessário isolar y Para isto dividese toda a EDO por a0 a a dy dt y b a u dy dt y K u p p 1 0 0 Considerando 1 0 p a a e 0 p b K a definimos os parâmetros de dinâmica de um sistema de 1a ordem onde p constante de tempo Kp ganho do processo No domínio s temos p p p p sy s y s K u s G s K s 1 A resposta dinâmica de primeira ordem depende do tipo de entrada Resposta no Domínio do Tempo 53 Resposta de Sistemas de 1a Ordem à Entrada Degrau Seja a função de transferência dada por a G s s a Se uma entrada Rs degrau unitário 1 s for aplicada ao sistema a transformada de laplace da resposta ao degrau é Cs onde Saída s C s a G s Entrada s R s s s a Aplicando a Expansão em Frações Parciais e posteriormente a transformada inversa de Laplace a saída ct pode ser expressa como 1 at f n c t c t c t e A representação gráfica da saída e dada pela Figura 51 Figura 51 Resposta ao Degrau Unitário de um Sistema de 1a Ordem Resposta no Domínio do Tempo 54 Constante de Tempo A inclinação inicial da reta apresentada na Figura 51 é definida como a constante de tempo do processo p Quando 1 t a temos 1 1 1 1 037 063 at t a t a c t e Ou seja a constante de tempo p representa o tempo necessário para que a resposta ao degrau unitário atinja 63 do seu valor final Tempo de Subida O tempo de subida é definido como o tempo necessário para que a forma de onda partindo de 10 de seu valor final atinja 90 desse valor 2 2 rT a Tempo de Acomodação O tempo de acomodação é definido como o tempo para a resposta alcançar a faixa de valores de 2 em torno de seu valor final e ali permanecer 4 sT a Resposta no Domínio do Tempo 55 Sistemas de Segunda Ordem Sistema de segunda ordem tem seu comportamento dinâmico descrito por equações diferenciais de segunda ordem Também pode ser composto por duas funções de transferência de 1a ordem em série Como o objetivo é obter a saída do sistema é necessário isolar y Para isto dividese toda a EDO por a0 a d y dt a dy dt a y bu a a d y dt a a dy dt y b a u 2 2 2 1 0 2 0 2 2 1 0 0 2 2 2 2 d y dt dy dt y k u p se considerarmos n 1 e multiplicando todos os termos por n 2 temos os parâmetros dinâmicos do sistema d y dt dy dt y k u n n p n 2 2 2 2 2 Kp Ganho estacionário do processo Fator de amortecimento Determina a velocidade da resposta equivalente à constante de tempo do processo n Freqüência natural de oscilação do processo No domínio s temos 2 2 2 s y s sy s y s K u s p G s y s u s K s s p 2 2 2 1 ou s y s sy s y s K u s n n p n 2 2 2 2 Resposta no Domínio do Tempo 56 G s y s u s K s s p n n n 2 2 2 2 Há três formas importantes das funções de transferência de segunda ordem como mostrado na Tabela 52 Tabela 52 Principais formas de um sistema de Segunda Ordem Forma Faixa do Fator de Amortecimento característica de resposta do sistema características dos pólos raízes 1 1 sobre amortecido pólos reais e distintos 2 1 criticamente amortecido pólos reais e iguais 3 0 1 sub amortecido pólos complexos e conjugados O caso mais importante é o sistema subamortecido Há uma série de parâmetros de interesse na resposta do sistema Figura 52 Figura 52 Especificações da Resposta Subamortecida de Segunda Ordem Resposta no Domínio do Tempo 57 Freqüência de Oscilação Amortecida d n d ou 1 1 2 2 Período de Oscilação Amortecida Pd d 2 Tempo de Subida Rise Timetr Tempo onde a resposta alcança o novo estadoestacionário pela 1a vez É uma medida da velocidade de resposta do sistema ao degrau tr d 2 Tempo de Pico Time to first peak tp Tempo em que o sistema atinge o 1o pico t p d Tempo de Acomodação Settling Time Tempo requerido para que o processo tenha a resposta na banda de 5 do estadoestacionário ts n 4 Resposta no Domínio do Tempo 58 SobreSinal Overshoot Quantidade máxima na qual a resposta ultrapassa o valor do estadoestacionário É representado como uma fração do valor em estadoestacionário 2 1 P a M e b Sistemas com Tempo morto O tempo morto é uma característica presente em muitos processos é conhecida como dinâmica de tubulação e a propriedade do sistema de responder a uma entrada após um certo tempo td y t x t td td Tempo morto Gp s y s x s e t d s Resposta no Domínio do Tempo 59 Sistemas com Integradores Processos integradores são aqueles que não estabilizam com o tempo Figura 53 Um caso típico é um sistema de nível de líquido Figura 53 Resposta ao Degrau de um Sistema com Integradores Exemplo Nível de Líquido Considere um tanque de um líquido qualquer representado esquematicamente pela Figura 54 Resposta no Domínio do Tempo 60 Figura 54 Diagrama de um Controle de Nível de um Tanque Pela equação de Bernoulli podese obter a equação diferencial que rege o sistema A dh dt q q i fazendo q q q i temos A dh dt q No domínio s temos Ash s q s h s As q s 1 Critério de Estabilidade de Routh 61 6 Critério de Estabilidade de Routh Estabilidade de Sistemas Lineares Definição de Estabilidade Um sistema linear é estável quando qualquer sinal de entrada de amplitude finita produz sinais de saída também de amplitude finita Teorema da Estabilidade Um sistema linear invariante no tempo SLIT e de parâmetros concentrados é estável se e somente se nenhum dos pólos de sua função de transferência ou seja nenhuma das raízes de sua equação característica pertence ao semiplano direito SPD do plano complexo sjw incluindo também o próprio eixo jw Figura 61 Figura 61 Região de Estabilidade no Plano Complexo S Critério de Estabilidade de Routh 62 Critério de Estabilidade de Routh Dado um Sistema Linear Invariante no Tempo SLIT na forma G s b s b s b s b a s a s a s a m m m m n n n n 1 1 1 0 1 1 1 1 0 Montase uma Tabela chamada Matriz de Routh da seguinte forma 2 4 0 1 1 3 5 0 2 3 5 3 5 7 0 0 série de Routh matriz de Routh 1 Linha se n for par 2 Linha se n for ímpar 3 Linha 4 Linha Linha a n n n n a n n n n a n n n a n n n a S a a a a S a a a a S b b S c c n S a Onde os elementos por exemplo na Terceira linha são 1 2 1 2 1 n n i n n i n i n a a a a b a I 1 3 5 ímpar O elemento 1 na da 2a linha é chamado de pivô para a 3a linha O mesmo acontece apra as próximas linhas usandose como base as duas linhas anteriores Observe a função de transferência a malha fechada equiavalente Critério de Estabilidade de Routh 63 A forma inicial da tabela de Routh adotando as informações acima é A tabela se complete quando todas as linhas estiverem concluídas até 0 S A é a tabela de Routhcompleta Tabela 61 Tabela de Routh Completa Condições de Estabilidade 1ª Condição Necessária Para que todas as raízes da equação característica do sistema tenham parte real negativa é necessário que todos os coeficientes ai tenham o mesmo sinal algébrico Critério de Estabilidade de Routh 64 2ª Condição Necessária e Suficiente A condição necessária e suficiente para que todas as raízes da equação característica tenham parte real negativa é que todos os elementos da Série de Routh tenham o mesmo sinal algébrico Exemplo Analise a equação característica abaixo pelo Critério de Routh 3 10 2 31 1030 0 s s s Interpretação Um sistema é dito estável quando não houver mudança de sinal na primeira coluna da tabela de Routh número de raízes que estão no semiplano a direita é igual ao número de mudanças de sinal na primeira coluna Desta forma no exemplo anterior o sistema é dito instável com duas raízes no semiplano direito Critério de Estabilidade de Routh 65 Complementos Matemáticos Zero 0 na coluna da Série de Routh Esse zero na coluna de Routh já indica que o sistema é marginalmente instável Para saber quantas raízes estão sobre o eixo jw no lugar do 0 colocase ε tão pequeno quanto se queira Exemplo Dada a Equação Característica de um sistema 5 4 3 2 2 3 6 5 3 0 s s s s s Interpretação Critério de Estabilidade de Routh 66 Desta forma no exemplo anterior o sistema é dito instável com duas raízes no semiplano direito Linha de Zeros 0 na Matriz de Routh Quando todos os elementos de uma linha da Matriz de Routh são nulos substituise a linha de zeros pelos coeficientes da derivada da equação auxiliar A equação auxiliar é a linha imediatamente acima da linha de zeros usando os elementos dessa linha como coeficientes Exemplo Dada a Equação Característica de um sistema 5 4 3 2 7 6 42 8 56 0 s s s s s Rótulo Primeira coluna Critério de Estabilidade de Routh 67 O polinômio formado equação auxilar é 4 2 6 8 P s s s E sua derivada 3 4 12 0 dp s s ds Desta forma no exemplo anterior o sistema é dito estável uma vez que não ocorreu mudança de sinal na série de Routh Erro em Regime Permanente 68 7 Erro em Regime Permanente Um sistema de controle com realimentação é valioso porque dá ao engenheiro a capacidade de ajustar a resposta transitória Como um requisite adicional devese examiner e comparer o erro final em regime permanente para um sistema em malha aberta e um sistema em malha fechada O Erro em Regime Permanente é o erro depois que a resposta transitória tenha desaparecido deixando apenas a resposta continua ou seja sem oscilações É importante citar que para fazer o estudo do erro em regime permanente é necessário que o sistema seja ESTÁVEL Desta forma é necessário fazer o estudo da estabilidade do sistema antes do estudo do erro Considere o Diagrama de Blocos apresentado na Figura 71 Figura 71 Diagrama de Blocos Genérico As equações que descrevem este sistema no domínio da transformada de Laplace são Cs GsEs Bs HsCs Es RsBs Combinando estas equações temse a relação de controle ou função de transferência em malha fechada 1 C s G s R s G s H s Rearranjando as equações podese obter a expressão erro G s Rs Cs H s Bs Erro em Regime Permanente 69 1 R s E s G s H s Esta expressão está diretamente relacionada com a entrar Rs e a realimentação do sistema Hs Existem vários tipos de entrada Rs para se avaliar o erro Entre as comumente usadas são as entradas Degrau Rampa e Parábola Tabela 71 Portanto para cada uma das entradas devese obter o erro e assim estudar seu comportamento Tabela 71 Tipos de Excitação Padrão para estudo do Erro Para se obter o valor do erro em regime permanente aplicase o Teorema do Valor Final na expressão do erro Es 0 0 lim lim lim 1 RP t s s R s e e t sE s s G s H s Forma de onda Nome Interpretação física Função do tempo Transformada de Laplace Degrau Posição constante Rampa Parábola Velocidade constante Aceleração constante Erro em Regime Permanente 70 Classificação dos Sistemas de Controle Seja a FTMA GHs 1 2 1 2 n K s z s z FTMA G s H s s s p s p Um sistema é dito do tipo 0 tipo 1 tipo 2 se N 0 N 1 N 2 respectivamente Aumentandose o número do tipo melhora precisão mas piora a estabilidade Um compromisso entre precisão e estabilidade relativa sempre é necessária Erro em Regime Permanente de Sistemas com Realimentação Unitária Considere o sistema de controle com realimentação mostrado na Figura 71 Como a realimentação Hs é igual a 1 o sistema possui realimentação Unitária A conseqüência é que Es é na realidade o erro entre a entrada Rs e a saída Cs Portanto temse uma expressão do erro quando Hs 1 Cs GsEs Es RsCs Desta forma 1 R s E s G s Aplicando o Teorema do Valor Final temos 0 0 lim lim lim 1 RP t s s R s e e t sE s s G s Como descrito anteriormente é necessário a aplicação de entradas padrões para a análise do erro em regime permanente ou seja entrada degrau rampa e parabola Erro em Regime Permanente 71 Entrada Degrau Utilizando a equação eRP descrita anteriormente e aplicandose uma entrada degrau unitário pode se obter a expressão para o erro 0 0 lim lim lim 1 RP t s s R s e e t sE s s G s deg 0 0 1 1 lim lim 1 1 rau s s s s s s e e G s H s G s deg 0 1 1 lim rau s e e G s É possível notar que para se obter erro em regime igual a zero é necessário que 0 lim s G s Para tanto a Função de Transferência do ramo direto Gs deve conter pelo menos uma integração ou seja Gs de ser pelo menos do Tipo 1 1 n Caso não ocorram integrações n 0 temse 1 2 0 1 2 lim s z z G s p p cujo valor é finito conduzindo a um erro também finito Erro em Regime Permanente 72 Entrada Rampa Utilizando a equação eRP descrita anteriormente e aplicandose uma entrada rampa unitária pode se obter a expressão para o erro 0 0 lim lim lim 1 RP t s s R s e e t sE s s G s 2 2 0 0 1 1 lim lim 1 1 rampa s s s s s s e e G s H s G s 0 0 1 1 lim lim rampa s s e e s sG s sG s É possível notar que para se obter erro em regime igual a zero é necessário que 0 lim s sG s Para tanto a Função de Transferência do ramo direto Gs deve conter pelo menos uma integração ou seja Gs de ser pelo menos do Tipo 2 n 2 Caso ocorra apenas uma integração n 1 temse 1 2 0 1 2 lim s z z sG s p p cujo valor é finito conduzindo a um erro também finito Erro em Regime Permanente 73 Entrada Parábola Utilizando a equação eRP descrita anteriormente e aplicandose uma entrada parábola unitária podese obter a expressão para o erro 0 0 lim lim lim 1 RP t s s R s e e t sE s s G s 3 3 0 0 1 1 lim lim 1 1 parábola s s s s s s e e G s H s G s 2 2 2 0 0 1 1 lim lim parábola s s e e s s G s s G s É possível notar que para se obter erro em regime igual a zero é necessário que 2 0 lim s s G s Para tanto a Função de Transferência do ramo direto Gs deve conter pelo menos uma integração ou seja Gs de ser pelo menos do Tipo 3 n 3 Caso ocorra apenas uma integração n 2 temse 2 1 2 0 1 2 lim s z z s G s p p cujo valor é finito conduzindo a um erro também finito Erro em Regime Permanente 74 Constantes de Erro Estático Em um dado sistema a saéda pode ser posição velocidade pressão temperatura tensão elétrica etc A forma física não tem a natureza material nessa análise Portanto daqui em diante chamaremos a saída de posição a taxa de variação da saída de velocidade etc Por exemplo num sistema de controle de temperatura posição representa a temperatura de saída velocidade representa a taxa de variação da temperatura de saída etc As três expressões do erro quando aplicada uma entrada degrau rampa e parabola são respectivamente deg 0 1 1 lim rau s e e G s 0 0 1 1 lim lim rampa s s e e s sG s sG s 2 2 2 0 0 1 1 lim lim parábola s s e e s s G s s G s Os termos que aparecem no denominador das expressões de erro para os quais se calcula o limite determinam o erro em regime permanente E estes são denominados constantes de erro estacionário Tabela 72 Tabela 72 Constantes de Erro Estático Constantes Expressão Posição 0 lim P s K G s Velocidade 0 lim V s K sG s Aceleração 2 0 lim a s K s G s A Tabela 73 reúne os conceitos de erro em regime estacionário constantes de erro estático e tipo de sistema A Tabela 73 mostra as constantes de erro estático e os erros de regime estacionário como funções da forma de onda do sinal de entrada e do tipo de Sistema Erro em Regime Permanente 75 Tabela 73 Relação Entrada Tipo Constante e Erro Tipo 0 Tipo 1 Tipo 2 Entrada Expressão do erro estacionário Constante de erro estacionário Constante de erro estacionário Constante de erro estacionário Erro Erro Erro Degrau Rampa Parábola Constante Constante Constante Referências Bibliográficas 76 8 Referências Bibliográficas BEGA E A Organizador Instrumentação Industrial 1a ed Rio de Janeiro Interciência 2003 541 p FRANKLIN GF POWELL JD EMAMINAEINI A Feedback Control of Dynamic Systems 3a ed USA AddisonWesley Publishing Company 1994 778 p GARCIA CLAUDIO Modelagem e Simulação 1a ed São Paulo EDUSP 1997 458 p MARLIN T Process Control Designing Processes and Control Systems for Dynamics Performance 1a ed USA McGrawHill 1995 954 p NISE NS Engenharia de Sistemas de Controle 3a Edição ed São Paulo LTC 2002 695 p OGATA K Engenharia de Controle Moderno 4a ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2005 788 p Anexos 77 9 Anexos Instalando uma Biblioteca na HP484950G Para instalar uma biblioteca é necessário transferir o arquivo normalmente com extensão LIB para a calculadora Podese tranferílo via o software que acompanha a calculadora Conn4x ou através de um cartão MicroSD Copie o arquivo para a pasta CASDIR Após a cópia do arquivo de biblioteca utilize o File Manager da calculadora e encontre o arquivo em questão Para acessar o File Manager utilize Shift Branco e em seguida Files Tecla APPS A maioria das bibliotecas só funcionam no MODO RPN Verifique o manual a respeito dos Modos da Calculadora Assim altere o modo para RPN Tecla MODE Figura 91 Figura 91 File Manager e Modos Mova o arquivo para o Banco de Memória 0IRAM Neste banco de memória assim que a calculadora for ligada as bibliotecas instaladas estarão disponíveis para o uso Após copiar ou mover o arquivo é necessário resetar a calculadora Utilize as teclas ON e F3 simultaneamente Anexos 78 Critério de Estabilidade de RouthHourwitz com a HP50G Podemos obter a Matriz de RouthHourwitz utilizando uma biblioteca específica para as calculadoras científicas HP484950G Esta ferramenta é de grande auxílio para a verificação da estabilidade de sistemas de controle Mesmo quando se tem uma variável K na matriz a ferramenta consegue apresentar uma resposta satisfatória Cabe salientar que a interpretação dos critério de estabilidade deve ser feita pelo usuário Para utilizar o Critério de Estabilidade na HP484950G baixe a Biblioteca Routh2 no site HPCalcorg Neste site é possível encontrar várias bibliotecas nas mais diversas áreas Descompacte o arquivo e mude a extensão do arquivo RouthHP para Routhlib Proceda a instalação como descrito no início do capítulo É necessário mudar o modo para RPN para que a biblioteca funcione Insira os coeficientes da equação característica entre chaves Para exemplificar utilize os coeficientes 1 4 1 6 Figura 92 Observe que os coeficientes estão separados por espaços Tecla SPC Figura 92 Inserção dos Coeficientes da equação Característica Acesse a biblioteca ROUTH Teclas Shift Laranja e Tecla 2 Tecle na biblioteca Routh em uma das teclas de função conforme a instalação realizada O menu específico é mostrado Figura 93 Precione a tecla F1 e sera apresentada a Matriz de RouthFigura 94 Anexos 79 Figura 93 Menu da Biblioteca Routh Figura 94 Matriz de Routh A biblioteca possibilita a inclusão nos coeficientes da equação característica uma variável por exemplo K Seja os coeficientes da equação característica 1 6 11 6 K2Figura 95 Para incluir a variável K coloque o termo K2 entre apóstrofos Figura 95 Coeficientes da equação característica Precione a tecla F1 e será apresentada a Matriz de Routh e a biblioteca considera a variável K para verificar a estabilidadeFigura 96 Figura 96 Matriz de Routh Anexos 80 Modelador e Simulador de Sistemas Dinâmicos Híbridos ScilabXcos O Xcos é uma ferramenta de simulação baseada em diagram de blocos ou seja o modelo matemático do sistema está representado em blocos de funções O Xcos é similar aos módulos de simulação Simulink e LabView O Xcos pode similar sistemas lineares e não lineares contínuos no tempo sistemas discretos e sistemas dinâmicos O Xcos é baseado no Scicos criado pelo INRIA1 o Xcos substituiu o Scicos a partir da versão 52 do Scilab Não é possível instalar somente o Xcos Para utilizer o Xcos inicie o Scilab e posteriormente digite na linha de comando Xcos ou ainda Menu Aplicativos Xcos Surgirá a tela de trabalho do Xcos juntamente com o Navegador de Paleta de Blocos 1 O Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique INRIA é uma organização pública francesa de carácter científico e tecnológico criada em janeiro de 1967 O seu objetivo é de reunir pesquisadores e incentivar a pesquisa nas áreas de informática e automação