Material Teórico: Análise da Resposta Transitória de Sistemas

Modelagem e Controle de Sistemas Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Profª Drª Claudia Barros dos Santos Demori Revisão Textual Profª Meª Natalia Conti Análise da resposta Transitória de Sistemas de Primeira e Segunda Ordem Análise da Resposta Transitória e de Regime Estacionário Sistemas de Segunda Ordem Aplicar o conteúdo de toda disciplina à análise da resposta de um sistema a determinados tipos de sinais de entrada Avaliar o comportamento de sistemas de primeira e segunda ordem para sinais de entrada típicos Reconhecer e saber escrever a função de transferência de malha fe chada de um sistema Recorrer a sua antitransformada de Laplace Esboçar o gráfico de resposta transitória do sistema como uma fun ção do tempo OBJETIVO DE APRENDIZADO Análise da resposta Transitória de Sistemas de Primeira e Segunda Ordem Orientações de estudo Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem aproveitado e haja maior aplicabilidade na sua formação acadêmica e atuação profissional siga algumas recomendações básicas Assim Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte da sua rotina Por exemplo você poderá determinar um dia e horário fixos como seu momento do estudo Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar lembrese de que uma alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo No material de cada Unidade há leituras indicadas e entre elas artigos científicos livros vídeos e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade Além disso você também encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar que ampliarão sua interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados Após o contato com o conteúdo proposto participe dos debates mediados em fóruns de discus são pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento além de propiciar o contato com seus colegas e tutores o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e de aprendizagem Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte Mantenha o foco Evite se distrair com as redes sociais Mantenha o foco Evite se distrair com as redes sociais Determine um horário fixo para estudar Aproveite as indicações de Material Complementar Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar lembrese de que uma Não se esqueça de se alimentar e de se manter hidratado Aproveite as Conserve seu material e local de estudos sempre organizados Procure manter contato com seus colegas e tutores para trocar ideias Isso amplia a aprendizagem Seja original Nunca plagie trabalhos UNIDADE Análise da resposta Transitória de Sistemas de Primeira e Segunda Ordem Análise da Resposta Transitória e de Regime Estacionário Já vimos em unidades anteriores que é possível analisar o comportamento de um sistema quando há uma função de entrada do tipo impulso degrau rampa aceleração etc Analisando a resposta do sistema a certos sinais de entrada é pos sível obter uma resposta sobre o próprio desempenho desse sistema ao longo do tempo Essa resposta temporal é dividida em resposta transitória e resposta esta cionária A resposta transitória é o comportamento que vai do estado inicial por conveniência considerase que o sistema parte de repouso absoluto até o estado final Já a resposta estacionária é o comportamento de saída do sistema quando o tempo tende a infinito Na prática não se sabe qual será o sinal de entrada num sistema de controle No entanto no projeto de sistemas devese haver uma base de comparação do desempenho estabelecida por testes específicos Ou seja detalhandose sinais de entrada temos uma resposta esperada préestabelecida Sendo assim estimamos a capacidade do sistema em responder a qualquer sinal de entrada real Note que já vimos como são no geral os sistemas de primeira ordem e segunda ordem Todos os sistemas que têm a mesma função de transferência apresentarão a mesma saída para um mesmo impulso sinal de entrada Além disso sistemas de ordem superior apresentam respostas que no geral são combinações de sistemas de ordem 1 e 2 Estabilidade de um Sistema A estabilidade de um sistema é uma de suas características fundamentais Por isso no projeto devem ser levados em consideração todos os seus componen tes e suas respectivas funções de transferência Um sistema como um todo deve levar em consideração a Estabilidade absoluta ou seja o sistema é instável ou estável O sistema no geral será estável se a saída tende a um estado de equi líbrio quando esse sistema é submetido a determinada condição inicial Lembre se estamos estudando os sistemas lineares e invariantes no tempo O sistema será criticamente estável se as oscilações do sinal de saída se repetem continuamente A saída no entanto poderá divergir a partir de um estado de equi líbrio assim que o sistema for submetido a alguma condição inicial e neste caso o sistema é instável Outra consideração a ser feita é o fato de que o sistema nem sempre respon derá imediatamente ao sinal de entrada Ele pode apresentar o que chamamos de 8 9 resposta transitória Essa resposta transitória apresentase em formas de oscila ções amortecidas antes de o sistema entrar em equilíbrio e apresentar o chamado regime permanente Normalmente pode ocorrer de o sinal de saída de um siste ma em regime permanente não coincidir com o sinal de entrada essa diferença é conhecida como erro estacionário e é essa grandeza que indica quão preciso é o sistema Sendo assim no projeto devese considerar a resposta transitória e o estado estacionário do sistema Sistemas de Primeira Ordem Vamos iniciar a nossa análise com a resposta de sistemas de primeira ordem a alguns dos sinais de entrada típicos Já vimos com frequência a função de transferência de malha fechada para um sistema de primeira ordem C s R s Ts 1 1 Vamos analisar a resposta desse sistema para uma entrada do tipo degrau ou seja Rs1s você pode conferir utilizando a tabela de transformadas de Laplace C s Ts s 1 1 1 Para facilitar a análise e a leitura da tabela de transformadas de Laplace vamos reescrever a equação utilizando as frações parciais C s s T Ts 1 1 E rearranjando C s s s T 1 1 1 Agora vamos utilizar a antitransformada de Laplace para escrevermos a res posta Cs em função do tempo ct c t C s c t e t T L 1 1 9 UNIDADE Análise da resposta Transitória de Sistemas de Primeira e Segunda Ordem Devemos considerar a função nula para valores de t 0 Vamos analisar alguns valores dessa função em relação à constante de tempo T observando a tabela e o gráfico Tabela 1 t ct 0 0 T 06321 2T 08646 3T 09502 4T 09816 5T 09932 0T 1T 2T 3T 4T 5T 00 02 04 06 08 10 ct Tempo 0 0632 4T 09816 Entrada do tipo degrau unitário Figura 1 Podemos inferir que para quando o tempo é igual à constante de tempo T a resposta alcança 6321 de sua resposta total Para quando o tempo é 2T a res posta já é 8646 de seu valor final e assim por diante Outra análise importante é verificar qual é a taxa de variação dessa resposta ct na origem ou seja como ela se comporta do início da medida ao longo do tempo Para tanto basta calcularmos a derivada no tempo da função ct para quando t 0 dc t dt T t 0 1 10 11 Note essa resposta nos mostra que ct varia com o inverso de T ou seja a função cresce mais rápido para valores próximos à origem conforme t aumenta a função passa a crescer menos estabilizando o seu valor para uma resposta esta cionária Observe no gráfico para um tempo de 4T ou seja 4 vezes a constante de tempo a resposta ct alcança 98 do seu valor final o que é aceitável como regime estacionário Agora vamos analisar a resposta de um sistema de primeira ordem a uma entra da do tipo rampa ou seja Rs1s2 A resposta do sistema será C s Ts s 1 1 1 2 Para facilitar a leitura da tabela de transformadas de Laplace vamos rearranjar a equação utilizando as frações parciais C s T s s T Ts 1 1 2 2 Agora vamos utilizar a antitransformada de Laplace para escrever a resposta Cs em função do tempo ct c t C s c t T t Te t T L 1 0T 1T 2T 3T 4T 5T 0T 1T 2T ct Tempo Entrada do tipo rampa Figura 2 11 UNIDADE Análise da resposta Transitória de Sistemas de Primeira e Segunda Ordem Observe no gráfico acima a saída ct é muito parecida com uma função do tipo rampa exceto para valores pequenos de t Podemos analisar o erro desse sistema O erro é dado pela diferença entre função de entrada e de saída Pode mos escrever Erro t r t c t Erro t t T t Te Erro t T e t T t T 1 Vamos observar a curva da resposta do sistema e do erro Observe na equação acima que para t o erro se aproxima do valor T que é a constante de tempo 0T 1T 2T 3T 4T 5T 0 1 2 3 4 5 Tempo Saída t Entrada t Erro em estado permanente Figura 3 Observe que para um intervalo pequeno de tempo t menor que a constante de tempo T o erro entre saída e entrada é pequeno no entanto ao longo do tempo esse valor a distância entre as duas curvas tende a se estabilizar tendendo a T em regime permanente Para finalizar a análise da saída de um sistema de primeira ordem vamos con siderar uma entrada do tipo impulso ou seja Rs1 A saída do sistema será C s Ts 1 1 12 13 Utilizando a antitransformada de Laplace teremos c t C s c t T e t T L 1 1 Vamos plotar ct e observar como a saída é modificada em função da entrada 0T 1T 2T 3T 4T 5T 0T 1T 2T 3T 4T 5T ct Tempo Entrada do tipo impulso Figura 4 Se o sistema for linear e invariante no tempo LIT note que a partir da resposta para entrada em degrau é possível calcular matematicamente qual será a resposta para rampa e para o impulso A resposta ao impulso é a derivada da resposta ao de grau assim como a resposta ao degrau é a derivada à resposta para rampa Por observar essas condições a análise da resposta transitória de um sistema de segunda ordem é feita em termos da resposta transitória do sistema para uma entrada do tipo degrau que é suficiente brusca para testar o sistema e é gerada com facilidade Sistemas de Segunda Ordem Sendo assim vamos definir algumas especificações para os sistemas de segunda ordem Não esqueça essas especificações são para entradas do tipo degrau e para condições iniciais nulas 13 UNIDADE Análise da resposta Transitória de Sistemas de Primeira e Segunda Ordem Na unidade anterior foi observado que na prática a resposta transitória do sis tema pode apresentar certas oscilações até que então atinja o regime permanente Sendo assim ocorre o chamado regime transitório onde algumas variáveis são de extrema importância para a análise da estabilidade e das características do sistema São elas Tabela 2 Variável Representação Definição Tempo de atraso td É o tempo necessário para que a resposta alcance a metade de seu valor final pela primeira vez Tempo de subida tr É o tempo necessário para que a resposta vá de 10 a 90 ou ainda de 0 a 100 de seu valor final Tempo de pico tp É o tempo necessário para que a resposta atinja o primeiro pico de sobressinal Máximo sobressinal Mp É o valor máximo na curva de sobressinal É dado em porcentagem M c t c c p p 100 Tempo de acomodação ts É o tempo necessário para que a curva de resposta chegue a 2 ou 5 de seu valor final Observe todas essas grandezas ilustradas no gráfico abaixo tr t td tp ts 0 05 Tolerância aceitável 005 ou 002 1 ct Mp Figura 5 Fonte Adaptado de Pearson Prentice Hall 2010 Note que pode ocorrer o caso onde em determinados sistemas nem todas es sas variáveis sejam convenientes Por exemplo em um sistema superamortecido o máximo sobressinal não ocorre E assim por diante 14 15 O ideal é que a resposta transitória apresente rapidez nos tempos mostrados acima e que seja amortecida Nos sistemas de segunda ordem para que isso ocorra o coeficiente de amortecimento ξ deve estar entre 04 e 08 Não se esqueça as definições são válidas para a resposta a uma entrada do tipo degrau de sistemas de segunda ordem que estejam associados à forma padrão dada por C s R s s s n n n ω ξω ω 2 2 2 2 Onde s é a variável complexa ξ é o coeficiente de amortecimento e ωn rad s é a frequencia natural não amortecida do sistema Outras variáveis que não apare cem na equação mas são importantes definições para o sistema são a frequência natural amortecida ωd rad s e o coeficiente de atenuação σ rad s Ao testar no sistema de segunda ordem a entrada Rs como um sinal degrau encontramos as definições para ωd e σ Não faremos essa definição aqui mas o aluno poderá explorar mais Assista o vídeo Características da resposta subamortecida Disponível em httpsgooglkwe5wj Explor Podemos escrever que ω ω ξ d n 1 2 e σ ξω n E então definir equações para o tempo de subida tempo de pico e tempo de acomodação em função das variáveis que definem o comportamento dinâmico do sistema ξ e ωn o tempo de rampa tr d π β ω 15 UNIDADE Análise da resposta Transitória de Sistemas de Primeira e Segunda Ordem Onde o ângulo β está definido no plano complexo conjugado conforme mostra o gráfico n 1 2 n n d j j 0 σ σ β Figura 6 Fonte Adaptado de Pearson Prentice Hall 2010 Ou ainda podemos utilizar a equação β ω σ tg d 1 O tempo de pico t d p π ω E o tempo de acomodação para o critério de 2 da resposta final ts 4 σ E o tempo de acomodação para o critério de 5 também aceitável da res posta final ts 3 σ E o máximo sobressinal M e p d σ ω π 16 17 Para exemplificar todos os conceitos que aprendemos aqui vamos utilizar um servossistema e analisar cada parâmetro de sua resposta a uma entrada do tipo de grau Observe a imagem abaixo Ela mostra um servossistema representado por um diagrama de blocos em a que pode ser resumido conforme mostra a imagem b K Js B Rs Rs Cs Cs a b 1 s Kh K sJs B KKh Figura 7 Fonte Adaptado de Pearson Prentice Hall 2010 Um servossistema é um sistema de controle com realimentação e tem como saída um controle de posição velocidade ou aceleração Vamos começar escrevendo a função de transferência de malha fechada para esse sistema ou seja CsRs Observe o diagrama representado acima na imagem b Podemos escrever a fun ção de transferência utilizando a equação geral para um diagrama com realimenta ção a mesma que aprendemos algumas unidades atrás onde C s R s G s G s 1 desta maneira a função de transferência de malha fechada para o servossistema do nosso exemplo será C s R s K Js B KK s K h 2 Observe na equação acima já vemos uma semelhança entre ela e a equação geral para um sistema de segunda ordem Se Rs é uma função do tipo degrau ou seja Rs1s não será necessário encontrar a antitransformada de Laplace para caracterizála no tempo As equações definidas acima tempo de pico tem po de subida tempo de acomodação e máximo sobressinal já nos fornecem os resultados esperados para o comportamento da resposta transitória do sistema 17 UNIDADE Análise da resposta Transitória de Sistemas de Primeira e Segunda Ordem Sendo assim temos a seguinte proposta 1 Desejase que o máximo sobressinal da resposta desse sistema à entrada do tipo degrau seja 02 ou seja 20 e o tempo de pico seja 1s Quais se riam o valor de ganho K e a constante de realimentação Kh Suponha que J 1kg m 2 e B Nm 1rad s 2 Obtenha o tempo de subida e o tempo de acomodação 3 Para verificar se os valores obtidos nos itens anteriores são adequados vamos utilizar a antitransformada de Laplace para obter um gráfico da resposta ao degrau em função do tempo Solução 1 O primeiro passo é obtermos os valores das grandezas principais que caracterizam o comportamento do sistema de segunda ordem ξ e ωn Para tanto vamos comparar a função de transferência de malha fechada à equação padrão de um sistema de segunda ordem Sendo assim pode mos utilizar a equação definida para o máximo sobressinal M e p d σ ω π Para resolver teremos que recorrer às definições do coeficiente de atenuação e da frequência natural amortecida Você se lembra σ ξω ω ω ξ n d n e 1 2 Substituindo os valores que temos na equação para o máximo sobres sinal teremos M e e p d σ ω π ξ ξ π 0 2 1 2 Para resolver essa equação você deve buscar compreender as propriedades de logarítmo em STEWART J Cálculo São Paulo Cengage Learning 2003 ISBN 9788522106615 5 ed São Paulo 2003 Explor E solucionando a equação temos ξ 0 456 Se utilizarmos a expressão para o cálculo do tempo de pico podemos obter o valor da frequência natural amortecida t rad s p d d d π ω π ω ω 1 3 14 18 19 Agora utilizando relações para frequência natural amortecida e não amor tecida temos ω ω ξ ω d n n rad s 1 3 53 2 Uma vez que temos os parâmetros que caracterizam o sistema basta com pararmos a função de transferência de malha fechada à equação geral de um sistema de segunda ordem ou seja C s R s K Js B KK s K s s h n n n 2 2 2 2 2 ω ξω ω Pela comparação dos coeficientes de cada denominador podemos con cluir que J 1 Obs J utiliza o Sistema internacional de Unidades conforme o próprio enunciado nos forneceu K K rad s n ω 2 2 12 5 e B KK K s h n h 2 0 178 ξω 2 O tempo de subida e o tempo de acomodação podem ser obtidos por meio de suas equações tr d π β ω Aqui será necessário fazer o cálculo do coeficiente de atenuação σ e do ângulo β σ ξω σ β ω σ β n d rad s tg rad 1 61 1 10 1 Sendo assim t t s r d r π β ω 0 650 19 UNIDADE Análise da resposta Transitória de Sistemas de Primeira e Segunda Ordem E por fim o tempo de acomodação para o critério de 2 é t t s s s 4 2 48 σ 3 Para finalisar a nossa análise podemos verificar que se o sistema é do tipo C s R s s s n n n ω ξω ω 2 2 2 2 para uma entrada do tipo degrau teremos C s s s s n n n ω ξω ω 2 2 2 2 1 E a resposta em função do tempo você poderá verificar essa função na tabela de transformadas de Laplace será Se plotarmos a ct acima com os valores obtidos no nosso problema tere mos o seguinte gráfico 00 05 10 15 20 25 30 35 40 00 02 04 06 08 10 12 ct Tempo Servossistema Figura 8 Se você verificar os valores obtidos na teoria e buscálos no gráfico você verá que são uma boa aproximação No gráfico podemos inferir com uma certa precisão o valor para o qual a função chega pela primeira vez a 50 do seu valor final o chamado tempo de atraso que é pela leitura 05s 20 21 Material Complementar Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade Livros Cálculo STEWART J Cálculo São Paulo Cengage Learning 2003 ISBN 97885221 06615 5 ed São Paulo 2003 Vídeos Características da resposta subamortecida Variáveis no sistema de segunda ordem httpsgooglituQyF Sistemas de Controle 58 Sistemas de Segunda Ordem httpsyoutubeUVFer8huMKE Leitura Resposta no tempo de sistemas de primeira e de segunda ordem só com pólos Estabilidade do sistema de segunda ordem httpsgooglcu3C4U 21 UNIDADE Análise da resposta Transitória de Sistemas de Primeira e Segunda Ordem Referências OGATA K Engenharia de Controle Moderno 5 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2010 OPPENHEIM A Willsky A Sinais e Sistemas 2ª Ed São Paulo Pearson 2010 STEWART J Cálculo São Paulo Cengage Learning 2003 ISBN 97885221 06615 5 ed São Paulo 2003 22 Cruziero do Sul Educacional