Matemática Financeira: Capitalização Simples e Composta

Matemática Financeira Capitalização Simples e Composta Conteúdo Programático Objetivo Conceitos básicos Capitalização Simples Capitalização composta Cálculo do Valor Futuro FV Cálculo do Valor Presente PV Cálculo da taxa i Cálculo do prazo n Exercícios Resolvidos Taxa Equivalente Exercícios Resolvidos Objetivo Realizar cálculos envolvendo o regime de regime de capitalização simples e composta Valor Presente PV Juros J Taxa de Juros i Prazo n Valor Futuro FV Conceitos básicos Conceitos básicos Princípio fundamental O valor do dinheiro no tempo Por que Custo de oportunidade Aluguel do capital Juros remuneração do capital por período de tempo Conceitos básicos Observação O juro deve estar sempre associado ao período de tempo aa ao ano am ao mês Exemplo 10 aa 10 ao ano 15 am 15 ao mês Conceitos básicos Diagrama de Fluxos de Caixa Maneira esquemática de representar operações financeiras ao longo do tempo demonstrando todas as entradas receitas e saídas despesas de recursos Por convenção as entradas são representadas como setas para cima sendo o inverso para as saídas Linha do tempo Saída de Caixa Entrada de Caixa 0 n No regime de capitalização simples ou linear a taxa de juros i incide apenas sobre o capital inicial PV Valor Futuro Tempo P Juros Simples n PV J i 10 1 R10000 R1000 2 R10000 R1000 3 R10000 R1000 Total dos juros auferidos em 03 períodos 30 Exemplo Consideremos a aplicação de R10000 por três anos à taxa anual de 10 Juros Simples J 100 x 010 x 3 J 30 100 J PV x i x n 0 P F J PV x i x n n 3 i 10 a a Juros Simples PV FV J J PV FV Igualando as equações teremos que n i PV PV FV n i PV PV FV Finalmente n i PV FV 1 J PV x i x n Juros Simples Exercício Qual o valor de resgate montante de uma aplicação de 1600 feita por um ano à taxa de juros simples de 15 aa Solução PV 1600 i 15 aa e queremos saber FV J PVx i x n logo J 1600 x 015 x 1 240 FV PV J então FV 1600 240 1840 Poderíamos resolver o problema ainda utilizando a equação FV PV x 1 i x n Desta forma teríamos FV 1600 x 1 015 x 1 1840 Juros Simples Exercício Quanto renderia um capital de 10000 aplicado por dois meses à taxa simples de 18 aa Solução PV 10000 n 2 meses i 18 aa e queremos saber J J PV x i x n 10000 x 01812 x 2 300 Juros Simples A capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial acrescido dos juros acumulados até o período anterior Capitalização Composta Cálculo do Valor Futuro FV Exemplo 1 Qual seria o valor futuro de uma aplicação de R 100000 a uma taxa de juros compostos de 4 ao mês pelo período de três meses Nesse caso teríamos 0 3 PV 100000 FV 1 2 i 4 a m Capitalização Composta Juros por período Montante 100000 x 004 4000 104000 104000 x 004 4160 108160 108160 x 004 4326 112486 Cálculo do Valor Futuro FV PV 100000 FV1 100000 004 x 100000 100000 1 004 FV2 FV1 1 004 FV2 100000 1 004 1 004 FV2 100000 1 0042 FV3 FV2 1 004 FV3 100000 1 0042 1 004 FV3 100000 1 0043 FV3 112486 FV PV 1 in Cálculo do Valor Futuro FV Generalizando temos a seguinte fórmula Onde FV Valor futuro PV Valor presente n Número de períodos de capitalização i Taxa de juros Cálculo do Valor Futuro FV 0 3 FV 1 2 i 4 am 1 12486 0 04 1 00000 1 3 FV FV PV 100000 i n PV FV 1 FV 112486 As calculadoras financeiras permitem o cálculo de qualquer um dos elementos da equação acima dado o valor dos demais Usando a HP 12C OBS Deixar sempre ativado no visor o C Esta função serve para calcular quando o prazo não é inteiro Para isso basta pressionar STO e EEX No visor deverá aparecer o C i n PV FV 1 Cálculo do Valor Futuro FV f FIN 100000 CHS PV 4 i 3 n FV 112486 0 3 FV 1 2 i 4 am PV 100000 Cálculo do Valor Presente PV Exemplo 2 Uma pessoa pretende resgatar daqui a 24 meses o valor de R 2500000 para comprar um carro Sabendose que essa pessoa pode obter uma taxa de 10 ao mês no mercado financeiro perguntase qual o valor que ela deve aplicar hoje Cálculo do Valor Presente PV 1968915 0 01 1 00000 25 24 PV PV n i FV PV 1 0 24 FV 2500000 1 2 i 1 a m PV 22 23 PV 1968915 Cálculo do Valor Presente PV 0 24 FV 2500000 1 2 i 1 a m PV 22 23 f FIN 2500000 FV 1 i 24 n PV 1968915 Exemplo 3Em que prazo um empréstimo de R 10000000 pode ser liquidado em um único pagamento de R 11592741 sabendose que a taxa contratada é de 3 ao mês Cálculo do prazo n Cálculo do prazo n i n PV FV 1 0 PV 10000000 1 2 i 3 a m n FV 11592741 n n 003 1 11592741 10000000 0 03 1 10000000 11592741 meses n n n 5 log 1 03 log 11593 1 03 11593 n 5 meses Cálculo do prazo n 0 PV 10000000 1 2 i 3 a m FV 11592741 n f FIN 10000000 PV 11592741 CHS FV 3 i n 5 meses Obs Quando a incógnita for o prazo é necessário colocar um dos valores PV ou FV negativo CHS na HP 12C Caso isso não seja feito aparecerá uma mensagem de erro no visor da máquina Error 5 Exemplo 4 Qual é a taxa de juros mensal recebida por um investidor que aplica R 1500000 e resgata R 1591812 no final de 3 meses Cálculo da Taxa i 0 3 FV 1591812 1 2 i PV 1500000 Cálculo da Taxa i i n PV FV 1 3 3 1 1500000 1591812 1 1500000 1591812 i i a m a m ou i i i 2 0 02 1 1 02 1 06121 1 1 3 i 2 a m 0 3 FV 1591812 1 2 i PV 1500000 Cálculo da Taxa i f FIN 1500000 CHS PV 1591812 FV 3 n i 2 a m Obs Quando a incógnita for a taxa é necessário colocar um dos valores PV ou FV negativo CHS na HP 12C Caso isso não seja feito aparecerá uma mensagem de erro no visor da máquina Error 5 1 Calcular o montante de uma aplicação de R 100000 pelo prazo de 9 meses à uma taxa de 4 ao mês 1 42331 0 04 1 00000 1 9 FV FV HP12C f FIN 1000 CHS PV 4 i 9 n FV 142331 Exercícios Resolvidos 2 Após 2 anos uma pessoa efetuará um pagamento de R 500000 referente ao valor tomado emprestado hoje mais os juros devidos correspondente a uma taxa de 45 ao mês Perguntase qual o valor emprestado HP12C f FIN 500000 CHS FV 45 i 24 n PV 173852 1 73852 0 045 1 00000 5 24 PV PV Exercícios Resolvidos 3 Qual é a taxa de juros mensal recebida por um investidor que aplica R 500000 e resgata R 578813 no final de 3 meses 3 3 1 5 00000 5 78813 1 5 00000 5 78813 i i 5 0 05 1 1 05 1 78813 1 1 3 ou i i i f FIN 500000 CHS PV 578813 FV 3 n i 5 a m Exercícios Resolvidos 4 Em que prazo um empréstimo de R 5500000 pode ser liquidado em um único pagamento de R 11062465 sabendose que a taxa contratada é de 15 ao semestre n n 015 1 5500000 11062465 015 1 5500000 11062465 semestres n n n 5 log 115 log 2 0114 115 2 0114 f FIN 5500000 CHS PV 11062465 FV 15 i n 5 semestres Exercícios Resolvidos 5Uma casa está sendo oferecida por R 10000000 à vista ou R 3000000 de entrada e mais duas parcelas sendo a primeira de R 5000000 no final de 6 meses e mais uma de R 2800000 após 12 meses da data da compra Sabendose que no mercado financeiro a taxa de juros composta é de 153 ao mês determinar o valor presente e a melhor opção para um interessado que possua recursos disponíveis para comprála Exercícios Resolvidos 4564610 0 0153 1 00000 50 6 PV PV 2333595 0 0153 1 00000 28 12 PV PV Valor Presente da Primeira parcela Valor Presente da Segunda parcela Valor Presente Total VP 3000000 4564610 2333595 R 9898205 f FIN 5000000 FV 153 i 6 n PV 4564610 STO 1 f FIN 2800000 FV 153 i 12 n PV 2333595 STO 2 3000000 Enter RCL 1 RCL 2 9898205 Para podermos comparar valores eles necessariamente devem estar em uma mesma data Assim sendo podemos concluir que a melhor opção para um interessado seria comprar parcelado Exercícios Resolvidos Taxa equivalente No regime de capitalização composta duas taxas de juros são equivalentes quando considerando o mesmo prazo de aplicação e o mesmo capital as duas taxas promovam rendimentos iguais Taxa Equivalente 1 1 T Q T Q i i 1 1 12 m a i i 1 1 1 12 a m i i 12 12 1 1 1 1 m a m a i i i P i P Taxa equivalente Exemplo 5 Determine a taxa anual equivalente a 2 ao mês Solução 0 26824 1 0 02 1 12 1 1 T Q T Q i i Taxa equivalente 102 Enter 12 yx 1 026824 ou 26824 aa iq 26824 aa Para comprovar que estas duas taxas são equivalentes vamos calcular o valor futuro de uma aplicação de R 100000 pelo prazo de 1 ano Uma sendo aplicado à taxa de 2 ao mês e uma outra de mesmo valor pelo mesmo prazo a uma taxa de 26824 ao ano Taxa equivalente 0 12 FV 1 2 i 2 a m PV100000 9 10 FV 126824 FV 100000 1 00212 Taxa equivalente 0 12 FV 1 2 i 2 a m PV100000 9 10 Taxa equivalente f FIN 100000 CHS PV 2 i 12 n FV 126824 0 1 ano FV i 26824 a a PV100000 FV 126824 FV 100000 1 0268241 Taxa equivalente 0 1 ano FV i 26824 a a PV100000 Taxa equivalente f FIN 100000 CHS PV 26824 i 1 n FV 126824 OBSERVÇÃO IMPORTANTE 1 Nos cálculos financeiros por convenção são utilizadas no mínimo quatro casas decimais após a vírgula para os cálculos intermediários e duas casas decimais após a vírgula no resultado Entretanto como utilizamos o cálculo em cadeia isto é não foi retirado os valores da máquina as resoluções dos exercícios contemplam todas as casas decimais após a vírgula Assim sendo será normal encontrar algumas pequenas diferenças nos resultados No caso acima por exemplo se fosse utilizada apenas duas casas para calcular o valor futuro VF o resultado seria de R126820 e não R 126824 como apresentado Taxa equivalente Exemplo 6 Calcule o valor de resgate de uma aplicação de R 2400000 considerando 9 meses de prazo e uma taxa efetiva de 25 ao ano Taxa equivalente 0 9 FV 1 2 i 188 a m PV2400000 7 8 Taxa equivalente 1 1 T Q T Q i i 1 0 25 1 112 Qi a m iQ 188 FV 2400000 1 001889 f FIN 2400000 CHS PV 188 i 9 n FV 2837225 FV 2837225 HP12C Comentário f RS PR Entra no módulo de programação f PRGM Limpa os programas existentes 1 1 Enter Introduz ENTER Enter Introduz ENTER RCL i Recupera o conteúdo do registro i Extrai a porcentagem Adiciona o conteúdo do registro y ao registro x RCL PV Recupera o conteúdo de PV RCL FV Recupera o conteúdo de FV dividir Divide o conteúdo do registro y pelo conteúdo do registro x no caso PV por FV Yx Eleva o conteúdo do registro y pelo conteúdo x Encontra a variação percentual g GTO 00 Vai para a linha zero 00 da programação f RS PR Volta ao módulo de operação Taxa equivalente i taxa de juros que tenho não precisa dividir por 100 PV período que eu quero período que eu Preciso Ver FV período que eu tenho é Fácil de Ver qual é o período que eu tenho RS executa a programação Taxa equivalente f FIN 2 i 1 FV 12 PV RS 2682 aa Determine a taxa anual equivalente a 2 ao mês Taxa equivalente Exemplo 7 Sabendose que foi aplicado R 10000000 por 6 meses a uma taxa efetiva de 12 ao ano calcule o valor de resgate dessa aplicação Taxa equivalente 0 6 meses FV 1 2 i 12 aa PV 10000000 3 4 5 1 1 T Q T Q i i 1 012 1 112 Qi a m iQ 0 95 FV PV 1 in FV 10000000 1 000956 FV 10583005 Taxa Equivalente Mensal Taxa equivalente 0 6 meses FV 1 2 i 12 aa PV 10000000 3 4 5 1 1 T Q T Q i i 1 012 1 612 Qi 5 83 a s iQ FV PV 1 in FV 10000000 1 005831 FV 10583005 Taxa Equivalente Semestral Taxa equivalente 0 6 meses FV 1 2 i 12 aa PV 10000000 3 4 5 f FIN 12 i 12 FV 1 PV RS 095 am f FIN 095 i 10000000 CHS PV 6 n FV 10583005 6 Determine a taxa anual equivalente a 1 ao mês HP12C 1 i 1 FV fácil de ver 12 PV preciso ver RS 1268 01268 1 0 01 1 12 iq 101 Enter 12 yx 1 100 x iq 1268 aa Exercícios Resolvidos 7 O Sr Guilherme aplicou em um Certificado de Depósito Bancário CDB a quantia de R 20000000 pelo prazo de 193 dias úteis à taxa de 25 ao ano 252 dias úteis Calcule o valor de resgate desse título 1 1 T Q T Q i i 1 0 25 1 193252 Qi 1864 Qi Taxa equivalente FV 20000000 1 018641 FV 23727433 f FIN 25 i 252 FV 193 PV RS 1864 para 193 dias úteis f FIN 1864 i 20000000 CHS PV 1 n FV 23727433 Exercícios Resolvidos 8 Dona Maria possui um título que vencerá no prazo de um ano O valor de resgate desse título é de R 200000 Foi oferecida a ela uma proposta para trocar aquele título por outro com vencimento daqui a 7 meses sendo o seu valor de resgate de R 160000 Considerando que a taxa composta no mercado financeiro gira ao redor de 35 ao ano a troca seria vantajosa para Dona Maria 1 1 T Q T Q i i 1 0 35 1 112 Qi a m iQ 253 FV 160000 1 002535 FV 181312 f FIN 35 i 12 FV 1 PV RS 253 aa f FIN 253 i 160000 CHS PV 5 n FV 181312 Exercícios Resolvidos A troca não deveria ser feita 9O valor à vista de uma geladeira é de R 100000 Sabendose que uma pessoa deu de entrada R 20000 e fez mais um pagamento de R 30000 no final 60 dias e que a loja cobra uma taxa efetiva de 15 ao ano pergunta se qual será o valor do pagamento que ainda deverá ser feito no final de 90 dias para liquidar a dívida 1 1 T Q T Q i i 1 015 1 112 Qi a m iQ 117 FV 80000 1 001172 FV 81885 FV 51885 1 001171 FV 52493 f FIN 15 i 12 FV 1 PV RS 117 aa f FIN 117 i 80000 CHS PV 2 n FV 81885 30000 f FIN 51885 CHS PV 117 i 1 n FV 52493 Exercícios Resolvidos