Matemática Financeira: Séries Uniformes de Pagamento

Matemática Financeira Séries Uniformes de Pagamento Conteúdo Programático Séries Uniformes Séries Vencidas Séries Antecipadas Séries Diferidas Uma série uniforme de pagamentos recebimentos implica o pagamento ininterrupto e periódico de uma prestação PMT por um período 1n e uma taxa i 0 1 2 3 n1 n PMT PV i Séries Uniformes Séries Vencidas As séries vencidas são aquelas em que os pagamentos ou recebimentos são exigidos no final de cada período isto é as prestações são vencidas postecipadas 0 1 2 3 4 5 PV PMT O pagamento ocorre no final do primeiro período Cálculo do Valor Futuro FV Exemplo 1 Determinar o valor futuro no final do 5º mês de uma série de 5 aplicações mensais iguais e consecutivas em um fundo de renda fixa no valor de R 100000 cada uma a uma taxa de 1 ao mês 0 1 2 3 4 5 FV PMT 100000 O pagamento ocorre no final do primeiro período Cálculo do Valor Futuro FV 1 04060 0 01 1 1000 4 1 FV 1 03030 0 01 1 1000 3 2 FV 1 02010 0 01 1 1000 2 3 FV 1 01000 0 01 1 1000 1 4 FV 1 00000 0 01 1 1000 0 5 FV TOTAL 5 10101 FV Cálculo do Valor Futuro FV 1 1 1 q a q a G P n 5 10101 1 0 01 1 1 0 01 1 1 00000 1 5 FV Cálculo do Valor Futuro FV 5 10101 0 01 1 0 01 1 0 01 1 0 01 1 0 01 1 1000 4 3 2 1 0 TOTAL FV 5 10101 01 0 1 0 01 1 00000 1 5 FV i i PMT FV n 1 1 Cálculo do Valor Futuro FV Fórmula Genérica f FIN g END 1000 CHS PMT 1 i 5 n FV 510101 Série Vencida g END Cálculo do Valor Futuro FV Cálculo do Valor Presente PV Exemplo 2 Calcular o valor à vista de um bem vendido em 5 parcelas de R 10000 sabendo se que se trata de uma série vencida e que a taxa contratada foi de 4 ao mês e que a primeira parcela é aplicada no final do primeiro mês 0 1 2 3 4 5 PV PMT 10000 O pagamento ocorre no final do primeiro período Cálculo do Valor Presente PV 9615 0 96614 00 100 0 04 1 1 10000 1 1 PV 9246 0 9256 00 100 0 04 1 1 10000 2 2 PV 8890 0 8890 00 100 0 04 1 1 10000 3 3 PV 8548 0 8548 00 100 0 04 1 1 10000 4 4 PV 8219 0 82193 00 100 0 04 1 1 10000 5 5 PV R44518 PVTOTAL Cálculo do Valor Presente PV i i i PMT PV n n 1 1 1 Cálculo do Valor Presente PV 18 445 0 04 0 04 1 1 0 04 1 10000 5 5 x PV Fórmula Genérica f FIN g END 100 CHS PMT 4 i 5 n PV 44518 Cálculo do Valor Presente PV Exemplo 3 Um televisor foi vendido por R400000 em oito prestações mensais iguais e consecutivas sendo a primeira um mês após a data da aquisição Considerando que o juro composto cobrado é de 5 am calcule o valor das prestações Cálculo das Parcelas PMT f FIN g END 4000 CHS PV 5 i 8 n PMT 61889 Cálculo das Parcelas PMT Cálculo da Taxa i Exemplo 4 Um financiamento deverá ser pago em 10 prestações anuais consecutivas e iguais de R 200000 Sabendose que o valor do financiamento foi de R 1000000 perguntase qual a foi a taxa de juros efetiva cobrada PV 10000 PMT 2000 1 10 i i i 10 10 1 1 1 2 00000 00000 10 Cálculo da Taxa i 39165 10 01410 01410 1 1 01410 1 2 00000 10 10 x PV 28342 9 01710 01710 1 1 01710 1 2 00000 10 10 x PV 00000 10 01510 01510 1 1 01510 1 2 00000 10 10 x PV i 1510 Cálculo da Taxa i Tentativa e Erro Erro de interpolação através de uma reta Interpolação linear 1039165 928342 14101710 1000000 928342 x1710 110823 3 71658 x1710 X 1710194 i aproximada 1516 Cálculo da Taxa i f FIN g END 10 n 1000000 PV 200000 CHS PMT i 1510 a a Cálculo da Taxa i Quando a incógnita for a taxa é necessário colocar um dos valores do fluxo PMT ou PVFV negativo CHS na HP 12C Caso isso não seja feito aparecerá uma mensagem de erro no visor da máquina Error 5 Cálculo do Número de Prestações n Exemplo 5 Uma pessoa necessita de um empréstimo de R222591 Para saldar a dívida ela somente pode disponibilizar mensalmente o valor de R50000 Sabendo que a instituição financeira procurada por ela adota a taxa de 4 am para empréstimos de tal vulto calcule em quantas prestações postecipadas o empréstimo será pago f FIN g END 222591 PV 500 CHS PMT 4 i n 5 prestações mensais Cálculo do Número de Prestações n Quando a incógnita for o prazo é necessário colocar um dos valores do fluxo PMT ou PVFV negativo CHS na HP 12C Caso isso não seja feito aparecerá uma mensagem de erro no visor da máquina Error 5 Séries Antecipadas Uma série é dita antecipada quando os pagamentos ou recebimentos são exigidos no início de cada período de tempo Assim a primeira prestação é sempre paga ou recebida no momentos ZERO ou seja na data do contrato do empréstimo do financiamento ou qualquer outra operação que implique pagamentos ou recebimentos de prestações 0 1 2 3 4 5 PV PMT O primeiro pagamento ocorre no momento zero Séries Antecipadas i i i PMT FV n 1 1 1 1 1 1 1 i x i i i PMT PV n n Séries Antecipadas Série Antecipada g BEG Séries Antecipadas Cálculo do Valor Futuro FV Exemplo 6 Marina fez cinco aplicações mensais de R 100000 em uma aplicação que paga juros efetivos de 1 am Sabendose que a primeira aplicação foi feita no ato perguntase quanto ela terá acumulado ao final de 5 meses 0 1 2 3 4 5 100000 100000 100000 100000 100000 FV i i i PMT FV n 1 1 1 5 15202 0 01 1 01 0 1 0 01 1 00000 1 5 x FV Cálculo do Valor Futuro FV 0 1 2 3 4 5 100000 100000 100000 100000 100000 FV Cálculo do Valor Futuro FV f FIN g BEG 5 n 1 i 1000 CHS PMT FV 515202 Exemplo 7 um televisor foi vendido em oito prestações mensais e iguais de R 51574 Sabendose que a primeira parcela foi feita no ato série antecipada e que a taxa de juros composta cobrado foi de 5 am calcule o valor presente dessa televisão Cálculo do Valor Presente PV 1 1 1 1 i x i i i PMT PV n n 0 05 1 0 05 0 05 1 1 0 05 1 51574 8 8 x x PV PV 350000 Cálculo do Valor Presente PV f FIN g BEG 51574 CHS PMT 5 i 8 n PV 350000 Cálculo do Valor Presente PV Exemplo 8 O Sr Carlos deseja saber quanto ele deve aplicar mensalmente a partir de hoje para que daqui a vinte anos ele possa sacar R 250000 por mês ao longo de dez anos A taxa de juros efetiva de 1 am Cálculo das Parcelas PMT PMT 250000 i 1 a m 0 1 2 238 239 240 241 359 PMT Cálculo das Parcelas PMT 0 01 1 0 01 0 01 1 1 0 01 1 2 50000 120 120 x PV PV 17599381 0 01 1 01 0 1 0 01 1 99381 175 240 x PMT PMT 17614 Cálculo das Parcelas PMT f FIN g BEG 120 n 2500 CHS PMT 1 i PV 17599381 f FIN 17599381 FV 240 n 1 i PMT 17614 Cálculo das Parcelas PMT Exemplo 9 Após 18 depósitos mensais consecutivos e iguais de R 40000 Sílvia acumulou um capital de R 777282 Determinar a taxa de juros efetiva mensal ganha nessa aplicação sabendose que o primeiro depósito foi feito no ato Cálculo da Taxa i f FIN g BEG 400 CHS PMT 18 n 777282 FV i 08 am Cálculo da Taxa i Quando a incógnita for a taxa é necessário colocar um dos valores do fluxo PMT ou PVFV negativo CHS na HP 12C Caso isso não seja feito aparecerá uma mensagem de erro no visor da máquina Error 5 Exemplo 10 Viviane fez uma poupança programada a partir de hoje de R 120000 por trimestre O gerente da instituição financeira escolhida por ela informou que a taxa praticada naquela operação seria de 6 ao trimestre Em quanto tempo Viviane acumulará um capital de R 53274203 Cálculo do Número de Prestações n f FIN g BEG 1200 CHS PMT 6 i 53274203 FV n 56 prestações trimestrais Quando a incógnita for o prazo é necessário colocar um dos valores do fluxo PMT ou PVFV negativo CHS na HP 12C Caso isso não seja feito aparecerá uma mensagem de erro no visor da máquina Error 5 Cálculo do Número de Prestações n Séries Diferidas As séries diferidas são caracterizadas pela existência de um período de carência para efetuar o pagamento ou recebimento da primeira prestação termo Em outras palavras o primeiro pagamento ou recebimento é efetuado em data posterior àquela do primeiro período 0 1 2 3 4 5 P PMT Carência Exemplo 11 uma empresa conseguiu um financiamento no valor de R 5000000 O empréstimo deverá ser pago em 12 parcelas mensais à taxa de juros efetivos de 8 am Sabendo se que o primeiro pagamento será realizado no final do terceiro mês prazo de carência calcule o valor das prestações Séries Diferidas PV 5000000 i 8 am PMT 0 1 2 3 4 11 12 13 14 Séries Diferidas 5832000 0 08 1 00000 50 2 FV FV 0 08 0 08 1 1 0 08 1 5832000 12 12 x PMT PMT 773877 PV 5000000 i 8 am PMT 0 1 2 3 4 11 12 13 14 Séries Diferidas f FIN g END 8 i 2 n 50000 PV FV 5832000 f FIN 5832000 CHS PV 8 i 12 n PMT 773877 Exercícios Resolvidos 1 Uma pessoas depositou mensalmente a partir de hoje R50000 em uma aplicação que paga juros efetivos de 05 am Quanto ela terá acumulado ao final de 15 meses f FIN g BEG 15 n 05 i 500 CHS PMT FV 780712 Exercícios Resolvidos Exercícios Resolvidos 2 Seu Inácio deseja comprar um veículo novo cujo valor à vista é de R4850000 A loja aceita o veículo usado dele avaliado em R1700000 como parte do pagamento da entrada O restante do valor será pago com uma entrada além do valor do carro usado mais 18 prestações mensais vencidas postecipadas de R130000 Considerando que foram aplicados juros anuais de 56 calcule o valor da entrada adicional ao carro usado 56 i 12 FV 1 PV RS 378a m f FIN g END 378 i 18 n 130000 CHS PMT PV 1676186 17000 3376186 CHS 48500 1473814 Exercícios Resolvidos Exercícios Resolvidos 3Dona Maria tomou um empréstimo para ser liquidado em oito prestações de R486000 pagas ao final de cada mês Calcule o valor do empréstimo considerando que a taxa de juros efetiva no mercado é de 3 am f FIN g END 8 n 4860 CHS PMT 3 i PV 3411570 Exercícios Resolvidos Exercícios Resolvidos 4 Joaquim tomou emprestado de um banco o valor de R 555040 Ele pretende pagar em seis prestações semestrais Sabendo que a taxa contratada foi de 12 ao semestre que a série é vencida pedese calcule o valor das parcelas f FIN g END 555040 PV 12 i 6 n PMT 135000 Exercícios Resolvidos Exercícios Resolvidos 5 Um financiamento deverá ser pago em 18 prestações mensais consecutivas e iguais de R 10000000 Sabendose que o valor do financiamento foi de R 149920313 qual a taxa de juros efetiva cobrada f FIN g END 18 n 149920313 PV 10000000 CHS PMT i 200 Exercícios Resolvidos Exercícios Resolvidos 6 Uma empresa de comunicação enviou aos assinantes de um de seus jornais uma proposta de assinatura anual com três opções de pagamento pagamentos mensais pagamentos semestrais e pagamento a vista Na primeira opção o assinante pagará mensalmente doze parcelas fixas de R 4900 sendo a primeira no dia da assinatura Na segunda opção o assinante fará dois pagamentos semestrais de R275 sendo a primeira no ato da assinatura Finalmente na terceira opção o assinante fará um único pagamento de R53900 à vista Determine a taxa de juros embutida nas alternativas de pagamento semestral e mensal e aponte qual seria a melhor alternativa Pagamento mensal f FIN g BEG 539 PV 49 CHS PMT 12 n i 162 am Pagamento semestral f FIN g BEG 539 PV 275 CHS PMT 2 n i 417 as ou 068 am Exercícios Resolvidos Melhor alternativa é o pagamento semestral 7 Uma pessoa deseja retirar daqui a 36 meses a quantia de R 4500000 para comprar um carro Sabendose que a primeira aplicação é feita no ato série antecipada e o fundo que ela aplicou remunera a uma taxa de 18 ao ano determinar qual o valor de cada aplicação mensal que essa pessoa terá que fazer Exercícios Resolvidos f FIN g BEG 139 i 45000 FV 36 n PMT 95861 Exercícios Resolvidos 1 018 1 112 Qi a m iQ 139 Exercícios Resolvidos 8 Uma empresa firmou um contrato de financiamento de capital de giro no valor de R 50000000 para ser liquidado em 20 prestações mensais e iguais Sabendose que a empresa pagará a primeira parcela após 150 dias da data do contrato que não haverá pagamento de juros no período de carência e que a taxa de juros firmada pelo banco foi de 3 ao mês pergunta se qual seria o valor de cada parcela Exercícios Resolvidos f FIN 3 i 4 n 500000 PV FV 56275441 f FIN g END 56275441 CHS PV 3 i 20 n PMT 3782594 9 Uma pessoa fez oito aplicações mensais em fundo de renda fixa Sabendose que as quatro primeiras foram de R 600000 série vencida que nos dois meses seguintes não houve aplicação depois foram feitas mais quatro aplicações mensais de R 900000 e que a taxa de juros dessa aplicação foi de 2 ao mês perguntase qual o valor futuro que essa pessoa resgatou no décimo mês Exercícios Resolvidos f FIN g END 4 n 600000 CHS PMT 2 i FV 2472965 f FIN 2 i 6 n 2472965 CHS PV FV 2784960 f FIN g END 4 n 900000 CHS PMT 2 i FV 3709447 FV Total 2784960 3709447 FV total 6494407 Exercícios Resolvidos