NOTAS DE AULA DE EME905 pdf

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ INSTITUTO DE ENGENHARIA MECÂNICA NOTAS DE AULA DE EME905 Controle de Sistemas Mecânicos Autor: Prof. Dr. José Juliano de Lima Junior 03/2024 Sumário 1 Introdução aos Sistemas de Controle 1 1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Revisão Histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Evolução Tecnológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Evolução da Teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6 Configuração de um Sistema de Controle de Avanço (Feedforward) . . . . . 10 1.7 Configuração de um Sistema de Controle de Retroação (FeedBack) . . . . . 11 1.8 Exemplos de Sistemas de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.8.1 Sistema de Controle de Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.8.2 Sistema de Controle de Nível de Líquido . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.8.3 Sistema de Controle de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.8.4 Sistema de Controle de Vazão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Exemplo de Sistemas 17 2.1 Sistemas de Ordem Zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Sistemas de 1a Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Sistemas de 2a Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 Armazenamento de Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5 Controle de guinada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.6 Suspensão automotiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.7 Circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.8 Servomecanismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.9 Sistemas de Nível de Líquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.10 Sistemas Hidráulico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 Modelos Matemáticos de Sistemas 27 3.1 Classificação dos Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Sistema de Nível de Líquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2.1 Resposta Não Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2.2 Resposta Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Prof. José Juliano de Lima Jr. ii SUMÁRIO 3.3 Pêndulo Invertido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.4 Pêndulo Hélice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.4.1 Problema Proposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.4.2 Modelo Matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.4.3 Simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.4.4 Componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4 Transformada de Laplace 51 4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.2 A Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.2.1 Pólos e Zeros de X(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.3 Transformada de Laplace de Sinais Comuns . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.3.1 Função Impulso Unitário δ(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.3.2 Função Degrau Unitário u(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.3.3 Pares de Transformada de Laplace de Sinais Comuns . . . . . . . . 54 4.4 Propriedades da Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.4.1 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.4.2 Deslocamento no Tempo (Time Shifting) . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.4.3 Deslocamento no Domínio s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.4.4 Escalonamento no tempo (time Scaling) . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.4.5 Reverso do Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.4.6 Diferenciação no Domínio do Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.4.7 Diferenciação no Domínio de s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.4.8 Integração no Domínio do Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.4.9 Convolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.5 Transformada Inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.5.1 Fórmula de Inversão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.5.2 Uso de Tabelas de Pares de Transformada de Laplace . . . . . . . . 60 4.5.3 Expansão em Frações Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.6 Teorema do Valor Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.7 Teorema do Valor Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.8 A função do Sistema ou Função de Transferência . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.8.1 Função do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.8.2 Caracterização de um Sistema LTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.8.3 Função do Sistema para um Sistema LTI Descrito por Equações Diferenciais Lineares de Coeficiente Constantes . . . . . . . . . . . 68 4.8.4 Interconexões entre Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Prof. José Juliano de Lima Jr. SUMÁRIO iii 5 Análise Dinâmica de Processos 73 5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.2 Modelo Matemático Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.2.1 Solução de um sistema de 2a Ordem com excitação harmônica . . . 78 5.2.2 Solução de um sistema de 1a ordem com excitação Delta de Dirac . 80 5.2.3 Solução de um sistema de 1a ordem com excitação Degrau . . . . . 82 5.2.4 Solução de um sistema de 2a ordem com excitação Delta de Dirac . 84 5.2.5 Solução de um sistema de 2a ordem com excitação Degrau . . . . . 88 5.3 Modelagem no Espaço de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.3.1 Correlação entre funções de transferência e equações no espaço de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.4 Sistemas de Ordem Zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5.4.1 Transmissão Cora-Cremalheira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5.4.2 Redutor de Engrenagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5.4.3 Potenciômetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 5.4.4 Ponte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 5.4.5 Tacômetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.5 Sistemas de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.5.1 Exemplo de sistemas de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.5.2 Nível de líquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.5.3 Sistemas térmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.5.4 Circuito Integrador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.5.5 Circuito Derivador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.5.6 Outras Formas de Representar o Sistema . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.5.7 Constante de Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.6 Sistemas de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.6.1 Exemplo de Sistema de 2a Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.6.2 Outras formas de representar o sistema . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.6.3 Resposta ao Degrau Unitário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.6.4 Definição das Especificações da Resposta Transitória (0 < ζ < 1) . . 115 5.6.5 Exemplos de sistemas de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.6.6 Combinação de dois sistemas de 1a. Ordem . . . . . . . . . . . . . 121 5.7 Linearização de Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.7.1 Aproximação linear de modelos matemáticos não-linear - Função de uma Entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.7.2 Aproximação linear de modelos matemáticos não-linear - Função de duas Entradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.7.3 Exemplo de Linearização de uma Equação Não-Linear . . . . . . . . 126 Prof. José Juliano de Lima Jr. iv SUMÁRIO 6 Tipos de Excitações 129 6.1 Sinais de Testes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6.1.1 Impulso Unitário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6.1.2 Degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6.1.3 Rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6.1.4 Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 6.1.5 Harmônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 6.2 Aplicação dos Sinais de Testes no Sistema de 1a Ordem . . . . . . . . . . . 130 6.2.1 Impulso Unitário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 6.2.2 Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.2.3 Rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.2.4 Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 6.2.5 Harmônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 6.3 Aplicação dos Sinais de Testes no Sistema de 2a Ordem . . . . . . . . . . . 139 6.3.1 Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.3.2 Degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.3.3 Rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.3.4 Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.3.5 Harmônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 7 Erros Estacionários 159 7.1 Coeficiente de Erro Estático de Posição Kp - R(s) = 1/s. . . . . . . . . . . 160 7.1.1 Sistemas tipo 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 7.1.2 Sistemas tipo 1 ou maior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 7.2 Coeficiente de Erro Estático de Velocidade Kv - R(s) = 1/s2. . . . . . . . . 162 7.2.1 Sistemas tipo 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 7.2.2 Sistemas tipo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 7.2.3 Sistemas tipo 2 ou maior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 7.3 Coeficiente de Erro Estático de Aceleração Ka. . . . . . . . . . . . . . . . . 163 7.3.1 Sistemas tipo 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 7.3.2 Sistemas tipo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 7.3.3 Sistemas tipo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 7.3.4 Sistemas tipo 3 ou maior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 7.4 Coeficiente de Erro Estático - Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 7.5 Exemplo: Controle Proporcional - Nível de Líquido . . . . . . . . . . . . . 165 8 Diagrama de Blocos 169 8.1 Diagrama de Blocos - Malha Aberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 8.2 Diagrama de Blocos - Malha Fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 8.3 Diagrama de Blocos - Pertubações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Prof. José Juliano de Lima Jr. SUMÁRIO v 8.4 Simplificação do Diagrama de Blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 9 Preditor de Smith para o Controle de Sistemas com Atraso de Trans- porte 179 9.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 9.2 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 9.3 Preditor de Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 9.3.1 Aplicação em uma Planta de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . 183 10 Lugar das Raízes 185 10.1 Revisão Histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 10.2 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 10.3 Conceito do Lugar das Raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 10.4 Traçado do Diagrama do lugar das Raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 10.5 Conceito do Lugar das Raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 10.6 Regras para o Traçado do Lugar das Raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 10.7 Lugar das Raízes Típicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 11 Ações de Controle Básicas 213 11.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 11.2 Diagrama de Blocos - Sistema de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 11.3 Classificação dos Controladores Analógicos Industriais . . . . . . . . . . . . 213 11.4 Exemplo Sistema de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 11.5 Equipamentos de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 11.6 Simbologia de Instrumentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 11.7 Malha Fechada - Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 11.7.1 Ação de Controle de 2 Posições ou liga-desliga (on-off) . . . . . . . 218 11.7.2 Controle PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 11.7.3 Controlador Proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 11.7.4 Controlador Proporcional-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 11.7.5 Controlador Proporcional-Derivativo . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 11.7.6 Controlador Proporcional-Integral-Derivativo . . . . . . . . . . . . . 228 11.8 Ação Derivativa - Salto Derivativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 11.8.1 Ação Derivativa - Amplificação do Ruído . . . . . . . . . . . . . . . 230 11.8.2 Alteração da Ação Derivativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 11.9 Wind-up da Ação Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 11.9.1 Back Calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 11.10PID nos equipamentos industriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 11.11Ajuste dos Controladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 11.12Método Heurístico de Ziegler e Nichols (década de 40) . . . . . . . . . . . . 233 Prof. José Juliano de Lima Jr. vi SUMÁRIO 11.12.1Primeiro Método - Ziegler-Nichols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 11.13Aproximação de Padé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 11.13.1Segundo Método - Ziegler-Nichols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 11.13.2Ziegler-Nichols - Observações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 11.13.3Segundo Método - Ziegler-Nichols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 11.13.4Método do Decaimento de 1/4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 11.13.5Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 12 Controle Usando o Lugar das Raízes 249 12.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 12.1.1 Especificações de desempenho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 12.1.2 Compensação de Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 12.1.3 Compensação em série e através de retroação . . . . . . . . . . . . . 250 12.1.4 Compensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 12.1.5 Procedimentos de projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 12.2 Considerações Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 12.2.1 Efeitos da adição de pólos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 12.2.2 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 12.2.3 compensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 12.2.4 Técnica de compensação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 12.2.5 Compensação por Avanço de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 12.2.6 Procedimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 12.2.7 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 12.3 Compensação por Atraso de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 12.3.1 Técnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 12.3.2 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 12.4 Compensação por Atraso e Avanço de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 12.4.1 técnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 12.4.2 passos γ ̸= β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 12.5 Compensação por Atraso e Avanço de Fase: γ = β . . . . . . . . . . . . . . 284 12.5.1 passos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 13 Análise no Domínio da Frequência 297 13.1 Resposta Senoidal de Estruturas de Avanço ou Atraso de Fase . . . . . . . 297 13.2 Resposta Senoidal de Estruturas de Avanço ou Atraso de Fase . . . . . . . 298 13.2.1 Exemplo Sistema de 1a Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 13.2.2 Exemplo Sistema de 2a Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 13.3 Análise no Domínio da Frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 13.4 Diagramas de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 13.5 Gráfico de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 Prof. José Juliano de Lima Jr. SUMÁRIO vii 13.6 Gráfico de Nichols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 14 Controle no Domínio da Frequência 339 14.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 14.2 Margens de Fase e Ganho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 14.2.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 14.3 Frequência de corte e banda passante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 14.3.1 Taxa de Corte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 14.3.2 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 14.4 Compensação por Avanço de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 14.4.1 Compensação por Avanço de Fase - Exemplo . . . . . . . . . . . . . 349 14.5 Compensação por Atraso de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 14.5.1 Compensação por Atraso de Fase - Exemplo . . . . . . . . . . . . . 357 14.6 Compensação por Atraso e Avanço de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 14.6.1 Compensação por Atraso e Avanço de Fase - Exemplo . . . . . . . . 363 A Projeto de Controle de um Sistema Pêndulo Hélice 369 A.1 Problema proposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 A.2 Modelo matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 A.3 Momento de inércia em relação ao ponto O . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 A.4 Função transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 A.5 Malha aberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 A.6 Malha fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 A.7 Componente utilizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 B Programas aplicados a teoria 377 B.1 Simulação de um Sistema de Segunda Ordem com Condições Iniciais . . . 377 B.2 Simulação de um sistema de controle usando o Preditor de Smith. . . . . . 380 B.3 Simulação de um Sistema de 1a Ordem com Atraso de Transporte Usando Aproximação de Padé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 B.4 Simulação de um Sistema de 1a Ordem com Condições Iniciais Nulas sujeito ao Impulso ou Degrau Unitários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 B.5 Solução da Equação Não Linear e Linear do Tanque . . . . . . . . . . . . . 391 C Programas dos exercícios resolvidos 397 C.1 Exemplo 7-1, p. 339, Ogata, 3a ed. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 C.2 Exemplo 7-2, p. 346, Ogata, 3a ed. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 Prof. José Juliano de Lima Jr. viii SUMÁRIO Prof. José Juliano de Lima Jr. Lista de Figuras 1.1 Relógio d’água de Ctesibios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Fotos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Foto de Maxwell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 Fotos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.5 Foto de Minorsky. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.6 Foto de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.7 Foto de Nyquist. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.9 Foto de Kalman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.10 ENIAC - 1946. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.11 Summit - 2022. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.12 Sistema de Controle com Realimentação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.13 Sistema de Controle de Velocidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.14 Controle de Nível. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.15 Diagrama de Blocos do Sistema de Nível. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.16 Sistema de Controle de Temperatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.17 Diagrama de Blocos do Sistema de Controle de Temperatura. . . . . . . . . 14 1.18 Evolução da temperatura após um incremento r no valor da referência da temperatura para: (a) K=10 e atraso=0,1; (b) K=1 e atraso=0,1; (c) K=10 e atraso=0,025. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.19 Controle de temperatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.20 Malha Fechada - Sistema de Controle de Vazão. . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.21 Controle Leme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1 Sistema Mecânico: Engrenagens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Sistema Mecânico: Redutor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Sistema Elétrico: Potenciômetro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4 Sistema Elétrico: Potenciômetro-erro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.5 Sistema Mecânico-Elétrico: Tacômetro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.6 Sistema Elétrico: Amplificador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.7 Sistema Térmico: Aquecimento de Fluido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Prof. José Juliano de Lima Jr. x LISTA DE FIGURAS 2.8 Sistema Elétrico: Integrador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.9 Sistema Elétrico: Diferenciador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.10 Sistema Hidráulico: Valvula-Pistão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.11 Sistema Mecânico-Elétrico: Acelerômetro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.12 Sistema Mecânico-Elétrico: Motor DC - Campo Controlado. . . . . . . . . 20 2.13 Sistema Mecânico-Elétrico: Motor DC - Armadura Controlada. . . . . . . 21 2.14 Sistema Mecânico-Elétrico: Motor DC - Duas Fases Campo Controlado. . . 21 2.15 Fluxo de Material. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.16 Armazenamento de Material. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.17 Sistemas de controle de guinadada: satélite. . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.18 Sistemas massa, mola e amortecedor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.19 Circuito RLC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.20 Servosistema de posição. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.21 Nível de Líquido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.22 servosistema hidráulico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.1 Nível de Líquido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2 Variação do nível do quando sujeito ao degrau ¯qi. . . . . . . . . . . . . . . 32 3.3 Vazão de Saída em Regime Estacionário em Função da Pressão da Altura da Coluna de Líquido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.4 Nível de líquido solução Não Linear e Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.5 Tanques com configurações a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.6 Tanques com configurações b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.7 Tanques com configurações c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.8 Pêndulo Invertido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.9 Sistema Pêndulo e Hélice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.10 Diagrama de blocos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.11 Resposta no tempo da posição do pêndulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.12 Diagrama de blocos de Malha Fechada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.13 Resposta no tempo do sistema sem controle e com controle. . . . . . . . . . 48 3.14 Motor de quadricóptero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.15 Placa Arduino. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.16 Potenciômetro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.17 Esquema elétrico do sistema de controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.1 Processo da transformada de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.2 Representação no Plano s de X(s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.3 Função Transferência do Sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.4 Sistema em Série no Domínio de t e no Domínio de s. . . . . . . . . . . . . 71 4.5 Sistema em Paralelo no Domínio de t e no Domínio de s. . . . . . . . . . . 71 Prof. José Juliano de Lima Jr. LISTA DE FIGURAS xi 5.1 Sistema de 1a Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.2 Sistema Mecânico: Transmissão Cora-Cremalheira (Dorf & Bishop, 2011, p. 79). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5.3 Sistema Mecânico: Redutor (Dorf & Bishop, 2011, p. 789). . . . . . . . . . 98 5.4 Sistema Elétrico: Potenciômetro (Dorf & Bishop, 2011, p. 78). . . . . . . . 98 5.5 Sistema Elétrico: Potenciômetro-erro (Dorf & Bishop, 2011, p. 78). . . . . 98 5.6 Sistema Mecânico-Elétrico: Tacômetro (Dorf & Bishop, 2011, p. 78). . . . 99 5.7 Nível de Líquido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.8 Sistema de Aquecimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.9 Sistema Elétrico: Integrador (Dorf & Bishop, 2011, p. 768). . . . . . . . . 102 5.10 Sistema Elétrico: Diferenciador (Dorf & Bishop, 2011, p. 768). . . . . . . . 102 5.11 Sistema de 1a Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.12 Função Transferência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.13 Modelo de Estados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.14 Curva de Resposta com Excitação Degrau Unitário - Constante de Tempo. 106 5.15 Sistema Hidráulico: Valvula-Pistão (Dorf & Bishop, 2011, p. 79). . . . . . 110 5.16 Sistema Mecânico-Elétrico: Acelerômetro (Dorf & Bishop, 2011, p. 79). . . 111 5.17 Sistemas de controle de guinadada: satélite. . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.18 Sistemas massa, mola e amortecedor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.19 Servosistema de posição. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.20 Função Transferência de um Sistema de 2a Ordem. . . . . . . . . . . . . . 113 5.21 Modelo de Estados de Espaço de um Sistema de 2a Ordem. . . . . . . . . . 113 5.22 Diagrama de Blocos de um Sistema de 2a Ordem. . . . . . . . . . . . . . . 114 5.23 Resposta do Sistema de 2a ordem a excitação degrau Unitário . . . . . . . 115 5.24 Resposta do Sistema de 2a ordem a excitação degrau Unitário . . . . . . . 116 5.25 Representação do Pólo no Plano s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.26 Resposta ao impulso para várias raízes - y(t) = Aeσt sen(ωdt + φ). . . . . . 118 5.27 Sistema Massa-Mola com Excitação Impulso Unitário. . . . . . . . . . . . . 118 5.28 Redutor de Velocidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.29 Sistemas de 2a. Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.30 Resposta da Vazão a uma Excitação Degrau de Reservatórios em Série c/ e s/ Interação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 6.1 Sistema de 1a Ordem - Resposta Impulsiva y(t) = h(t). . . . . . . . . . . . 132 6.2 Resposta ao Degrau Unitário. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.3 Sistema de 1a Ordem - Resposta a Rampa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 6.4 Sistema de 1a Ordem - Resposta Parabólica r(t) = At 2 . . . . . . . . . . . . 137 6.5 Sistema de 1a Ordem - Resposta a Excitação Harmônica. . . . . . . . . . . 140 6.6 Resposta ao Impulso Unitário para Sistema de 2a Ordem. . . . . . . . . . . 143 Prof. José Juliano de Lima Jr. xii LISTA DE FIGURAS 6.7 Resposta do Sistema de 2a ordem a excitação degrau unitário. . . . . . . . 145 6.8 Resposta do Sistema de 2a ordem a excitação rampa unitária. . . . . . . . 146 6.9 Resposta do Sistema de 2a ordem a excitação parábola. . . . . . . . . . . . 147 6.10 Resposta do Sistema de 2a ordem a excitação harmônica. . . . . . . . . . . 157 7.1 Malha Fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 7.2 Equivalência: G(s) = G1(s)G2(s) e H(s) = H1(s)/G1(s). . . . . . . . . . . 161 7.3 (a) - Nível de líquido; (b) - Diagrama de blocos; (c) Diagrama simplificado e (d) curva h(t) × t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 8.1 Diagrama de Blocos - Malha Aberta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 8.2 Diagrama de Blocos - Malha Fechada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 8.3 Álgebra dos Diagramas de Blocos - Pertubações. . . . . . . . . . . . . . . . 171 8.4 Álgebra do Diagrama de Blocos - Parte 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 8.5 Álgebra do Diagrama de Blocos - Parte 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 8.6 Diagrama de Blocos do Sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 8.7 Diagrama de Blocos - primeira redução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 8.8 Diagrama de Blocos - segunda redução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 8.9 Diagrama de Blocos - terceira redução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 8.10 Diagrama de Blocos - quarta redução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 8.11 Diagrama de Blocos - final. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 8.12 Diagrama de Blocos - final. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 9.1 Tanque com atraso de transporte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 9.2 Processo de Prensagem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 9.3 Malha fechada sem atraso de transporte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 9.4 Malha fechada com atraso de transporte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 9.5 Malha fechada com o Preditor de Smith. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 9.6 Malha fechada equivalente com o Preditor de Smith. . . . . . . . . . . . . 182 9.7 Malha fechada planta sem atraso, planta com atraso sem e com o Preditor de Smith. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 10.1 Sistema de controle com realimentação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 10.2 Diagrama do lugar das raízes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 10.3 Lugar das Raízes Tipicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 10.4 Lugar das Raízes Típicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 10.5 Lugar das raízes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 10.6 Lugar da raízes - marcações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 10.7 Lugar da raízes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 10.8 a) Sistema de Controle e b) Lugar das raízes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 10.9 Lugar da raízes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Prof. José Juliano de Lima Jr. LISTA DE FIGURAS xiii 10.10Sistema instável. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 10.11Sistema marginalmente estável. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 10.12Sistema estável. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 10.13Lugar das raízes K = 28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 10.14Resposta em MF do sistema com ζ = 0, 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 11.1 Modelo de um Sistema de controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 11.2 Equipamentos de Controle: a) transdutor de temperatura; b) controlador PID; c) conversor corrente-pressão (4-20 mA para 3-15 psi ou 0,21 -1,05 bar) e d) válvula de regulação comandada a ar (3-15 psi). . . . . . . . . . . 214 11.3 Equipamentos de Controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 11.4 Controlador Lógico Programável. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 11.5 a) Dispositivo de Programação e b) Instalação . . . . . . . . . . . . . . . . 215 11.6 Válvula de Controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 11.7 Válvula de Controle tipo on-off. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 11.8 Simbologia de Instrumentação-Exemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 11.9 Simbologia de Instrumentação-Exemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 11.10Malha Fechada - Exemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 11.11Diagrama de blocos de um controlador liga-desliga. . . . . . . . . . . . . . 221 11.12Circuito elétrico do controlador P. Matias (2002). . . . . . . . . . . . . . . 223 11.13Controle proporcional ideal e real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 11.14Faixa ou banda proporcional - BP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 11.15Faixa ou banda proporcional - BP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 11.16Resposta de um controlador proporcional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 11.17Circuito elétrico do controlador I Matias (2002). . . . . . . . . . . . . . . . 225 11.18Circuito elétrico do controlador PI Matias (2002). . . . . . . . . . . . . . . 225 11.19a) Diagrama de blocos de controlador PI; b) degrau unitário na entrada e c) resposta do controlador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 11.20Circuito elétrico do controlador D Matias (2002). . . . . . . . . . . . . . . 226 11.21Circuito elétrico do controlador PD Matias (2002). . . . . . . . . . . . . . 226 11.22Resposta de um controlador proporcional-integral. . . . . . . . . . . . . . . 227 11.23a) Diagrama de blocos de controlador PD; b) rampa unitária na entrada e c) resposta do controlador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 11.24Resposta de um controlador proporcional-derivativo. . . . . . . . . . . . . 228 11.25a) Diagrama de blocos de controlador PID; b) rampa unitário na entrada e c) resposta do controlador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 11.26Circuito elétrico do controlador PID Matias (2002). . . . . . . . . . . . . . 229 11.27Resposta de um controlador proporcional-integral-derivativo. . . . . . . . . 229 11.28Correção dos modos de controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 Prof. José Juliano de Lima Jr. xiv LISTA DE FIGURAS 11.29PID em paralelo com filtro derivativo de 1a ordem. . . . . . . . . . . . . . 231 11.30Tracking anti-windup, back-calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 11.31PID de controladores industriais Pinto (2014). . . . . . . . . . . . . . . . . 233 11.32Característica do método. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 11.33Primeiro método - MA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 11.34M.F. usando a exponencial e M.F. usando a aproximação de Padé de 1a ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 11.35M.F. exponencial e M.F. Padé de 1a ordem PID reajustado K′ p = Kp/4. . . 239 11.36M.F. exponencial e M.F. Padé de 1a ordem PID reajustado z1,2 = −0, 01. . 239 11.37L. R. Original e reajustado z1,2 = −0, 01. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 11.38Segundo método - MF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 11.39M.F. exponencial e Padé reajustado K′ p = Kp/4. . . . . . . . . . . . . . . . 242 11.40L.R. sistema compensado original e reajustado K′ p = Kp/4 . . . . . . . . . 243 11.41Método do decaimento de 1/4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 11.42Método de Decaimento 1/4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 11.43Lugar das Raízes de G(s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 11.44Sistema compensado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 11.45Sistema compensado reajustado K′ p = 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 11.46L. R. do sistema compensado reajustado K′ p = 9. . . . . . . . . . . . . . . 248 12.1 a) Realimentação negativa, B) Realimentação tacométrica. . . . . . . . . . 250 12.2 a) Realimentação negativa, B) Realimentação tacométrica. . . . . . . . . . 252 12.3 a) lugar das raízes com um único pólo; b) com dois pólos; c) com três pólos.253 12.4 a) lugar das raízes com três pólos; b), c) e d) efeito da adição de um zero. . 253 12.5 a) Sistema de fase não-mínima; b) gráfico do lugar das raízes. . . . . . . . 254 12.6 Configurações de pólos e zeros: a) estrutura de avanço de fase; b) estrutura de atraso de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 12.7 Sistema de controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 12.8 a) Sistema de controle; b) lugar das raízes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 12.9 a- pólos complexos; b- retas de coeficientes de amortecimento ζ. . . . . . . 257 12.10Lugar das raízes do sistema não compensado. . . . . . . . . . . . . . . . . 259 12.11a- Determinação do pólo e do zero da estrutura de avanço de fase; b- lugar das raízes do sistema compensado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 12.12Lugar das raízes do sistema compensado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 12.13Resposta ao degrau unitário do sistema não compensado e compensado. . . 263 12.14Alterando o zero do compensador de 2,9 para 2,5. . . . . . . . . . . . . . . 263 12.15Lugar das raízes do sistema não compensado e compensado. . . . . . . . . 264 12.16a) Sistema de controle; b) lugar das raízes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 12.17a- pólos complexos; b- retas de coeficientes de amortecimento ζ. . . . . . . 267 Prof. José Juliano de Lima Jr. LISTA DE FIGURAS xv 12.18Lugar das raízes do sistema compensado e pólo dominante. . . . . . . . . . 269 12.19Lugar das raízes do sistema não compensado e compensado. . . . . . . . . 272 12.20Resposta a entrada rampa do sistema não compensado e compensado. . . . 273 12.21Resposta a entrada degrau do sistema não compensado e compensado. . . . 273 12.22Sistema de controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 12.23a- Pólos complexos; b- retas de coeficientes de amortecimento ζ. . . . . . . 277 12.24Determinação do pólo e zero do compensador - Ogata. . . . . . . . . . . . 279 12.25Lugar das raízes do sistema compensado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 12.26Lugar das raízes do sistema não compensado e compensado. . . . . . . . . 283 12.27Resposta a entrada rampa do sistema não compensado e compensado. . . . 283 12.28Resposta a entrada degrau do sistema não compensado e compensado. . . . 283 12.29Sistema de controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 12.30a- Pólos complexos; b- retas de coeficientes de amortecimento ζ. . . . . . . 287 12.31Determinação do pólo e zero do compensador - Ogata. . . . . . . . . . . . 289 12.32Lugar das raízes do sistema compensado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 12.33Lugar das raízes do sistema não compensado e compensado. . . . . . . . . 293 12.34Resposta a entrada rampa do sistema não compensado e compensado. . . . 293 12.35Resposta a entrada degrau do sistema não compensado e compensado. . . . 294 13.1 Sistema Linear (LTI). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 13.2 Amplitude e fase da saída a uma entrada senoidal. . . . . . . . . . . . . . . 301 13.3 Amplitude da saída a uma entrada senoidal. . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 13.4 Fase da saída a uma entrada senoidal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 13.5 Reta de conversão de valores numéricos em dB. . . . . . . . . . . . . . . . 305 13.6 Diagrama de Bode de: a) G(jω) = 1/jω; b) G(jω) = jω. . . . . . . . . . . 306 13.7 Curvas de módulo em dB com assíntotas e de ângulo de fase para 1/(1+jωT).308 13.8 Erro de módulo em dB na expressão assíntota da curva de resposta em frequência de 1/(1 + jωT). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 13.9 Curvas de módulo em dB com assíntotas e de ângulo de fase para (1 + jωT).309 13.10Curvas de módulo em dB com assíntotas e de ângulo de fase para o fator quadrático. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 13.11Curva Mr versus zeta relativa ao sistema de 2a ordem. . . . . . . . . . . . 313 13.12Diagrama de Bode de G(jω). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 13.13Diagram de Bode - Módulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 13.14Diagram de Bode - Módulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 13.15Diagram de Bode - Módulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 13.16Diagrama de Bode Aproximado e Exato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 13.17Diagram de Bode - Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 13.18Diagram de Bode - Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 Prof. José Juliano de Lima Jr. xvi LISTA DE FIGURAS 13.19Diagram de Bode - Fase ... 2... 2. ..02.020 2020020222222... 319 13.20Diagrama de Bode Aproximado e Exato. ................... 320 13.21Diagrama de Bode do sistema do considerado no exemplo. ........ . 320 13.22Diagrama de Bode do sistema do considerado no exemplo. ........ . 320 13.23Configuracao de pdlos e zeros de um sistema de fase minima G(s) e nao minima Go(s).. ee ee ee eee. B21 13.24Caracteristicas do angulo de fase de fase minima G)(s) e nao minima G(s).321 13.25Caracteristica do Angulo de fase do retardo de transporte... ....... . 322 13.26Diagramas de Bode - amplitude e fase, com D=0,5eT=1........ . 323 13.27Sistema de controle com retroagao unitaéria. ................. 328 13.28Curva de modulo em dB de um sistema do tipo 0............... 324 13.29Curva de modulo em dB de um sistema do tipo l............... 324 13.30Curva de modulo em dB de um sistema do tipo 2............... 326 13.31Grafico Polar. 2... ee ee ee B27 13.32Grafico Polar de (jw)7t. 2. ee ee 328 13.33Grafico Polar de (jw), 2... ee ee ee eee . B28 13.34Grafico Polar de: a) (1+ jwT)~! e b) G(jw) no plano X —Y. ...... . 329 13.35Grafico Polar de (1+ jwT). 2... 0.0.0.0... eee ee ee ee. . 830 13.36Diagrama Polar... 2... 2 ee ee ee B81 13.37Grafico Polar de [1 + 2¢(jw/wn) + (Gw/wn)?], C>0.............. 331 13.38Grafico Polar de [jw(1+jwT)J. 2. ee ee es 832 13.39Grafico Polar de ee . 8333 13.40Graficos Polares de e/*? e (1+ jwT) 1... ee ee ee ee ee. 838 13.41Graficos Polares de e~J#4(1 + jwT)7t. oe ee es 884 13.42Graficos Polares de sistemas tipo 0, tipo le tipo2. ............. 335 13.43Graficos Polares la parte. . 2... 0... 2 ee ee ee ee ee. 336 13.44Graficos Polares 2a parte. 2... 2... ee ee ee ee . 336 13.45Trés representagdes da resposta em frequéncia de [1+2¢ (i) + (i) ru para ¢ > 0. a) Bode; b) Nyquist ec) Nichols... 2... .......... . 337 13.46Diagrama de mddulo em dB versus fase de G(jw) = (jw)! e G(jw) = (4 jwT) ee ee es . 838 13.47Diagrama de médulo em dB versus fase de G(jw) = (1+ jwT) e G(jw) = a 13.48Diagrama de médulo em dB versus fase de G(jw) = Giw)?+ 26uin (ju) tn e G(jw) = [jw(L jw) ee ee eee. 838 14.1 Diagrama de Bode de um sistema estavel e instavel. ............. 341 14.2 Diagrama de Polar de um sistema estavel e instavel.. 2... ........ 341 14.3 Diagrama de Nichols de um sistema estavel e instavel.. ........... 342 Prof. José Juliano de Lima Jr. LISTA DE FIGURAS xvii 14.4 Sistema de controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 14.5 Sistema de controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 14.6 Sistema de controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 14.7 Lugar das raízes do sistema de controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 14.8 Frequência de corte ωb e banda passante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 14.9 características dinâmica: a) resposta em frequência a malha fechada; b) resposta ao degrau unitário; c) resposta à rampa unitária. . . . . . . . . . . 346 14.10Diagrama de Bode de um compensador por avanço de fase com α = 0, 1. . 347 14.11Sistema de controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 14.12Sistema de controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 14.13Diagrama de Bode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 14.14Diagrama de Bode do sistema compensado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 14.15Sistema compensado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 14.16Curva de resposta ao degrau unitário dos sistemas compensado e não com- pensado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 14.17Curva de resposta à rampa unitária dos sistemas compensado e não com- pensado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 14.18Diagrama de Bode de um compensador por atraso de fase com β = 10. . . 355 14.19sistema de controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 14.20Diagrama de Bode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 14.21Diagramas de Bode relativos ao sistema não compensado G1(jω), ao com- pensador Gc(jω) e ao sistema compensado Gc(jω)G(jω). . . . . . . . . . . 359 14.22Resposta ao degrau unitário do sistema compensado e não compensado. . . 361 14.23Resposta à rampa unitária do sistema compensado e não compensado. . . . 361 14.24Diagrama de Bode do compensador por atraso e avanço de fase com Kc = 1, γ = β = 10 e T2 = 10T1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 14.25Diagramas de Bode relativos ao sistema não compensado G1(jω), ao com- pensador Gc(jω) e ao sistema compensado Gc(jω)G(jω). . . . . . . . . . . 364 14.26Resposta ao degrau unitário do sistema compensado. . . . . . . . . . . . . 366 14.27Resposta à rampa unitária do sistema compensado. . . . . . . . . . . . . . 366 14.28Curvas de resposta ao degrau e rampa unitários de sistemas compensados: a) não compensado; b) por avanço de fase; c) por atraso de fase e d) por atraso e avanço de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 A.1 Sistema Pêndulo e Hélice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 A.2 Diagrama de corpo livre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 A.3 Malha aberta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 A.4 Gráfico θ(t) versus t M. A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 A.5 Malha fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 Prof. José Juliano de Lima Jr. xviii LISTA DE FIGURAS A.6 Gráfico θ(t) versus t - M.F. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 A.7 Quadricóptero Crazyflie Nano 1.0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 A.8 Arduino UNO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 A.9 Potenciômetro de 10k ohm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 A.10 Fonte e regulador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 A.11 Mosfet IRF3415. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 A.12 Diagrama esquemático. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 B.1 Modelo no simunlink. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 B.2 Modelo no simunlink. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 B.3 Malha fechada planta sem atraso, planta com atraso sem e com o Preditor de Smith. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 B.4 Resposta ao degrau unitário. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 B.5 Lugar das raízes sem atraso e com atraso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 B.6 Resposta ao Impulso via ODE45 e via a função impulse do MatLab. . . . . 391 B.7 Resposta ao Impulso via ODE45 e via a função step do MatLab. . . . . . . 392 B.8 Altura do nível de líquido solução Não Linear e Linear. . . . . . . . . . . . 395 Prof. José Juliano de Lima Jr. Capítulo 1 Introdução aos Sistemas de Controle 1.1 Introdução O controle automático tem desempenhado um papel vital no avanço da engenharia, com aplicações em: • Veículos espaciais e terrestres; • Veículos Terrestres com sistema de freios anti-blocante ("ABS - Anti-lock Braking System"), com distribuição eletrônica de Frenagem ("EBD - Electronic Brake Distri- bution"), assistência de frenagem de urgência ("BA - Panic Brake Assist"), controle de estabilidade ("ESC - Electronic stability control"), controle de cruzeiro adapta- tivo ("ACC - Adaptive Cruise Control") - gerencia a distância e a velocidade do automóvel que vai à frente, controle de tração ("TCS - traction control system"), Assistente de Partida em Rampa ("HSA - Hill Start Assist"); • Sistema de guiamento de mísseis; • Sistemas robóticos; • Processos industriais e • Sistemas de manufatura - máquinas ferramentas de comando numérico. A teoria e os sistemas de controle automático propiciam meios para atingir: • Desempenho ótimo de sistemas dinâmicos; • Melhoria na produtividade; • Alívio de trabalho enfadonho de muitas operações manuais repetitivas e muito mais e Prof. José Juliano de Lima Jr. 2 Introdução aos Sistemas de Controle • Suprimir a influência de pertubações externas. Os engenheiros e cientistas, em sua maioria, devem possuir um bom conhecimento deste campo. O que é controle? Segundo o dicionário Houaiss: • controle: Dispositivo ou mecanismo destinado a comandar ou regular o funciona- mento de máquina, aparelho ou instrumento. • controlar: exercer ação restritiva sobre, conter, regular, dominar, comandar. Controlar é fazer com que uma variável do sistema assuma um valor desejado referência por meio de uma ação comando no sistema. 1.2 Revisão Histórica • As primeiras aplicações de controle automático podem ser encontradas entre 300 A.C. e 1 A.C. na Grécia com mecanismos de reguladores flutuantes. O relógio de água de Ctesibios foi um exemplo desse mecanismo; (a) Esquema (b) Foto Figura 1.1: Relógio d’água de Ctesibios. • No século XVIII, James Watt (1736 - 1819) construiu um controlador centrífugo para o controle de velocidade de uma máquina a vapor (1788); • James Clerk Maxwell (1831 - 1879) apresentou o primeiro estudo sistemático do controlador centrífugo de Watt, no artigo intitulado On Governors, em 1868. Mos- trou que a estabilidade depende das raízes da equação característica do sistemas, as quais devem ter parte real negativa; Prof. José Juliano de Lima Jr. 1.2 Revisão Histórica 3 (a) Watt. (b) Motor à Vapor. (c) Controlador. Figura 1.2: Fotos. Figura 1.3: Foto de Maxwell. • Na mesma época, Edward John Routh (1831 - 1907) foi um matemático inglês e Adolf Hurwitz (1859 -1919) foi um matemático alemão, desenvolveram técnicas que permitiam determinar diretamente a estabilidade do sistema sem a necessidade da solução das equações. O teste de Routh é um algoritmo recursivo eficiente que o matemático inglês Edward John Routh propôs em 1876 para determinar se todas as raízes do polinômio característico de um sistema linear apresentam partes reais negativas. O matemático alemão Adolf Hurwitz propôs de forma independente, em 1895, organizar os coeficientes do polinômio em uma matriz quadrada, chamada de matriz de Hurwitz, e mostrou que o polinômio é estável se, e somente se, a sequência dos determinantes de suas submatrizes principais é positiva. (a) Routh. (b) Hurwitz. (c) Critério de Routh Figura 1.4: Fotos. Prof. José Juliano de Lima Jr. 4 Introdução aos Sistemas de Controle • Em 1922, Nicolas Minorsky (1885 - 1970) ou Nikolai Fyodorovich Minorsky traba- lhou em controladores automáticos PID em sistemas de direção de automáticos de navios da marinha americana e mostrou como poderia determinar sua estabilidade a partir da representação do sistema através de equações diferenciais; Figura 1.5: Foto de Minorsky. • Um marco no desenvolvimento da teoria de controle foi a publicação de um trabalho pelo matemático russo Aleksandr Mikhailovich Lyapunov (1857 - 1917) em 1897. Este trabalho foi traduzido para o francês em 1907 e em inglês em 1947. Pouco divulgado no ocidente, o trabalho de Lyapunov continuou a ser desenvolvido na então União Soviética, o que permitiu aos pesquisadores soviéticos grandes avanços especialmente na teoria de sistemas não-lineares e uma liderança na área que se manteve até os anos 1950; Figura 1.6: Foto de Lyapunov • Em 1932, Harry Theodor Nyquist (1889 - 1976) desenvolveu um procedimento rela- tivamente simples para determinar a estabilidade de sistema a malha fechada com base na resposta estacionária de sistemas a malha aberta a excitações senoidais, conhecido como Critério de Estabilidade de Nyquist (1923). Na década de 1920, engenheiros dos Laboratórios Bell trabalhavam com o problema de comunicação a longa distância nos Estados Unidos. O problema de reforço de sinais através de amplificadores eletrônicos levou ao desenvolvimento de técnicas no domínio da Prof. José Juliano de Lima Jr. 1.2 Revisão Histórica 5 frequência. Nyquist e Bode, assim como vários outros associados a estas técnicas, eram engenheiros dos Laboratórios Bell; Figura 1.7: Foto de Nyquist. • Hendrik Wade Bode (1905 - 1982), engenheiro dos Laboratórios Bell, participou do desenvolvimento de técnicas no domínio da frequência como: Resposta em frequên- cia (1938), Gráficos de Bode e Margens de estabilidade; (a) Foto de Bode (b) Gráficos Figura 1.8: • John G. Ziegler (1909-1997) foi um engenheiro de controle americano que fez con- tribuições significativas ao campo da teoria de controle. Ele é conhecido por seu trabalho de pesquisa sobre o método Ziegler-Nichols, em co-autoria com Nathaniel B. Nichols (1914-1997) engenheiro químico. Neste artigo estudaram o controlador Proporcional, Integral e Derivativo (PID), desenvolvendo o método conhecido como Método de Ziegler-Nichols em 1942, no artigo ZIEGLER, J. G.; NICHOLS, N. B. Optimum Settings for Automatic Controllers, ASME Transaction, v. 64, p. 759-768, Nov. 1942; Challender et. al (1936) J. G. Ziegler e N. B. Nichols – Controlador Proporcional, Integral e Derivativo (PID); – Método de Ziegler-Nichols (1942) – ZIEGLER, J. G.; NICHOLS, N. B. Optimum Settings for Automatic Control- lers, ASME Transaction, v. 64, p. 759-768, Nov. 1942. Prof. José Juliano de Lima Jr. 6 Introdução aos Sistemas de Controle (a) Ziegler (b) Nichols (c) Regras de Sinto- nia • Walter Richard Evans (1920 - 1999) foi um especialista na área de controle desenvol- vendo o Método do Lugar das Raízes em 1948 aplicado na teoria clássica de controle (SISO); (d) Evans (e) Lugar das Raízes • Lev Semenovich Pontryagin (1908 - 1988) apresentou o Princípio do Mínimo (1956): é utilizado na teoria controle otimizado para encontrar o melhor controle possível para a tomada de sistemas dinâmicos de um estado para outro, especialmente na presença de restrições para os controles de estado ou de entrada. • R. Bellman desenvolveu a Programação dinâmica (1958): é um método para a cons- trução de algoritmos para a resolução de problemas computacionais, em especial os de otimização combinatória. • Rudolf Emil Kalman (1930 -2016) foi um matemático e engenheiro húngaro, natu- ralizado americano. É conhecido por sua co-invenção do filtro de Kalman, técnica matemática intensamente utilizada no campo da engenharia de controle. Estudou controladores e estimadores ótimos; • ENIAC, 1º computador de grande porte totalmente eletrônico usando válvulas. 17.000 válvulas, 175kW, 5.000 operações por segundo; Summit IBM, Supercomputador. – 200 pentaflops ou 200 × 1015 operações de ponto flutuante por segundo; Prof. José Juliano de Lima Jr. 1.2 Revisão Histórica 7 Figura 1.9: Foto de Kalman. Figura 1.10: ENIAC - 1946. – 37 mil processadores (trabalham com inteligência artificial e machine learning); – Usa 15 mil litros de água; – tem 250 mil HDs de 1 TB; Figura 1.11: Summit - 2022. • Harold Locke Hazen (1901 - 1980) foi um engenheiro eletricista. Ele contribuiu com a teoria de servomecanismos e sistemas de controle em malha fechada em 1924. Em 1934 discutiu o projeto de servomecanismo a relé capaz de seguir, de muito perto, uma excitação variável no tempo; • Durante a década de 1940, os métodos de resposta em frequência tornaram possível Prof. José Juliano de Lima Jr. 8 Introdução aos Sistemas de Controle aos engenheiros projetar sistemas de controle a malha fechada satisfazendo requisitos de desempenho; • No final da década de 1940 até o início dos anos 50 desenvolveu-se completamente o Método do Lugar das Raízes graças a Evans (Teoria Clássica de Controle - SISO); • A partir de 1960, com a disponibilidade dos computadores digitais, tornou-se pos- sível a análise no domínio do tempo de sistemas complexos (Teoria Moderna de Controle - MIMO - variáveis de estados); • Durante o período de 1960 a 1980, foram investigados os controles ótimos de sistemas determinísticos e estocásticos bem como o controle adaptativo e o controle com aprendizado; • De 1980 aos dias de hoje, os desenvolvimentos na teoria moderna de controle têm se concentrado no controle robusto, no controle H∞ e tópicos associados; • Década de 90 o controle não-linear e controle preditivo. 1.3 Evolução Tecnológica A seguir apresenta-se um resumo da evolução tecnológica na área de controle Bennett (1996) • 120 a.c.: Heron de Alexandria, esfera movida a vapor; • 1698: Thomas Newcomem, 1a máquina a vapor útil (drenagem); • 1765: James Watt, aperfeiçoamento da máquina a vapor; • 1776: James Watt, 1a máquina a vapor instalada e operada em uma empresa; • 1785: Boulton, produção industrial de máquinas a vapor; • 1824: foram produzidas mais de 1000 máquinas a vapor Final do século XIX - relé eletromecânico; • 1906: invenção da válvula (Edison, Thompson, Flemming, Lee De Forest); • 1948: invenção do transistor (laboratórios da Bell Telephone); • 1961: primeiro circuito integrado comercial; • 1972: primeiro processador (Intel 8088), 8 bits, 3500 transistores, 0.2 MHz; • 2002: Pentium IV, 64 bits em alguns modelos, 55 milhões de transistores, 3 GHz; Prof. José Juliano de Lima Jr. 1.4 Evolução da Teoria 9 • Por volta de 1650: 1ª calculadora mecânica (Pascal); • Por volta de 1900: tabulação e acumulador de informações - tabulador de censo (Hollerith); • 1941: 1º computador digital eletro-mecânico programável (Zuse, Alemanha); • 1946: ENIAC, 1º computador de grande porte totalmente eletrônico usando válvu- las. 17.000 válvulas, 175kW, 5.000 operações por segundo; • 1957: 1º computador comercial totalmente a transistores (NCR); • 1960: COBOL - 1ª linguagem de programação comercial padronizada; • 1973: 1º computador pessoal (Xerox PARC); • 1981: computador pessoal IBM de arquitetura aberta de grande sucesso comercial. 1.4 Evolução da Teoria Aqui é apresentado as principais teorias que contribuíram na área de controle. • 1807: Série de Fourier; • 1809: Transformada de Laplace; • 1895: Teorema de Routh-Hurwitz; • 1899: Estabilidade de Lyapunov; • 1922: Controlador PID (Minorsky); • 1930: Diagrama de Bode (resposta em freqüência); • 1932: Critério de estabilidade de Nyquist; • 1942: Método de Ziegler e Nichols (Taylor Instruments); • 1948: Lugar das raízes (Evans); • 1950: Programação dinâmica (controle ótimo); • 1960: Filtro de Kalman (variáveis de estado) • 1964: Função descritiva (Pole J. Groszkowski); • 1950-1970: Controle discreto (Franklin, Kuo, Jury, Aström, Wittenmark, Shannon). Prof. José Juliano de Lima Jr. 10 Introdução aos Sistemas de Controle 1.5 Definições Variável controlada: é a grandeza ou a condição que é medida e controlada. É normal- mente a variável de saída do sistema; Variável manipulada: é a grandeza ou condição variada pelo controlador de modo a afetar o valor da variável controlada; Distúrbio: é caracterizado por um sinal que tende a afetar de modo adverso o valor da variável de saída de um sistema; Sistema: é uma combinação de componentes que agem juntos e constituem um conjunto para atingir objetivos; Controle por Realimentação: é uma operação que na presença de perturbações, tende a reduzir a diferença entre a saída do sistema e a entrada de referência; Sistema de controle por realimentação: é aquele que tende a manter uma relação pré-determinada entre saída e entrada pela comparação destas e é empregando a diferença como meio de controle; Servomecanismo: é um sistema de controle por realimentação, com referência variável, em que a saída é: posição mecânica, velocidade ou aceleração; Sistema Regulador Automático: é um sistema de controle por realimentação em que a entrada (referência) ou a saída é sempre constante; Sistema de controle de processo: é um sistema de regulador automático em que a saída é uma variável como: temperatura, pressão, fluxo, nível de líquido ou pH; Sistema de Controle por Malha Fechada (closed loop): é aquele em que o sinal de saída tem uma atuação direta sobre a ação controle; Sistema de Controle por Malha Aberta (open loop): é aquele em que a saída não tem efeito sobre a ação de controle. 1.6 Configuração de um Sistema de Controle de Avanço (Feedforward) A figura mostra configuração de um sistema de controle de ação direta ou seja em malha aberta. Nesta caso a variável controlada C(s) é influenciada diretamente pelo distúrbio. Prof. José Juliano de Lima Jr. 1.7 Configuração de um Sistema de Controle de Retroação (FeedBack) 11 C(s) = G(s)D(s) + Gc(s)G(s)R(s) 1.7 Configuração de um Sistema de Controle de Retro- ação (FeedBack) A figura (1.12) apresenta a estrutura de um sistema de controle automático por re- troação. A retroação provê um sistema com a capacidade de se adaptar as variações do ambiente. Quando a referência é um sinal normalmente constante, se está diante de um sistema regulador. Se a referência é variável, como acontece, por exemplo, em um radar de rastreamento de aeronaves, se está ante a um servossistema. Figura 1.12: Sistema de Controle com Realimentação. Nesta caso a variável controlada C(s) é menos influenciada pelo distúrbio do que sistema de controle em malha aberta. Considera-se a referencia do sistema de controle igual a zero R(s) = 0. C(s) = G(s) 1 + G(s)Gc(s)D(s) + Gc(S)G(s) 1 + G(s)Gc(s)R(s) 1.8 Exemplos de Sistemas de Controle Prof. José Juliano de Lima Jr. 12 Introdução aos Sistemas de Controle 1.8.1 Sistema de Controle de Velocidade O princípio básico do regulador de Watt para controlar a velocidade de um motor de combustão interna é ilustrado no diagrama esquemático da figura (1.13). A quantidade de combustível admitida no motor é ajustada de acordo com a diferença entre a velocidade desejada e a velocidade real do motor. Figura 1.13: Sistema de Controle de Velocidade. 1.8.2 Sistema de Controle de Nível de Líquido A figura (1.14) mostra um sistema automático de controle de nível onde a vazão de entrada do fluido no reservatório é controlada em função do nível do reservatório através de um sistema de medição de nível, cuja leitura é enviada ao controlador, que envia o sinal de controle a válvula pneumática de controle de vazão. (a) (b) Figura 1.14: Controle de Nível. A figura (1.15) apresenta o diagrama de blocos correspondente ao sistema de controle de nível apresentado na figura(1.14). Prof. José Juliano de Lima Jr. 1.8 Exemplos de Sistemas de Controle 13 Figura 1.15: Diagrama de Blocos do Sistema de Nível. 1.8.3 Sistema de Controle de temperatura Na figura (1.16) apresenta-se um sistema cujo objetivo é manter a temperatura de uma estufa num valor preestabelecido. A estufa é aquecida à custa de uma circulação forçada de ar quente, cuja velocidade é determinada por um ventilador. Figura 1.16: Sistema de Controle de Temperatura. Em virtude da velocidade finita de circulação de ar quente, qualquer variação de temperatura no queimador será detectada pelo termômetro colocado na estufa, apenas L/v segundos mais tarde - atraso de transporte -(L é o comprimento da tubulação e v velocidade do ar na tubulação). Se, no instante t = 0, a referência for incrementada de r, o erro sofrerá imediatamente esse acréscimo e manter-se-á nesse valor durante L/v segundos, começando então a diminuir, e acabando por mudar de sinal num instante posterior, que designar-se-à por tc. Quando isso acontece, o controlador ordena a redução do calor fornecido a estufa. Contudo, isso só se fará sentir também L/v segundos mais tarde. Até lá, o ar que foi atravessando a estufa transportou mais calor do que o necessário, pelo que a temperatura da estufa no instante tc + L/v estará acima do valor desejado. Consequentemente, o mesmo padrão irá se repetir, mas agora com o sinal contrário, e assim sucessivamente. A temperatura oscilará com período aproximado de 4L/v, conforme ilustrado na figura Prof. José Juliano de Lima Jr. 14 Introdução aos Sistemas de Controle Figura 1.17: Diagrama de Blocos do Sistema de Controle de Temperatura. (1.18) curva (a). Reduzindo o valor de K (procedimento cauteloso), figura (1.17), pode-se evitar as oscilações - mas à custa da precisão e velocidade de resposta. Este fato é patente na curva (b) da figura (1.18), onde se pode ver a temperatura convergir muito lentamente, e de forma monótona, para um valor mais baixo. Figura 1.18: Evolução da temperatura após um incremento r no valor da referência da tem- peratura para: (a) K=10 e atraso=0,1; (b) K=1 e atraso=0,1; (c) K=10 e atraso=0,025. Numa tentativa de conseguir uma resposta que fosse simultaneamente rápida e precisa, quadruplicou-se a velocidade do ar, fixando-se o ganho no mesmo valor da curva (a). Isto resultou numa melhoria drástica do desempenho conforme se constata da curva (c). A (1.19) mostra um sistema de aquecimento de água em malha aberta, malha fe- chada e o gráfico do fluxo do sistema de controle. O objetivo é mater a temperatura da água dentro do tanque constante. Para esse fim controla-se a pressão de combustível, consequentemente a vazão de combustível através de uma válvula de controle de vazão. 1.8.4 Sistema de Controle de Vazão A figura (1.20) mostra um sistema de controle de vazão. A variável do processo é a vazão que é detectada através de um sensor de vazão. A informação da vazão atual é transmitida usando um transmissor ao controlador. A vazão desejada no processo e ajusta no controlador que compara a vazão atual com a vazão desejada. Assim é gerado um sinal de erro que é enviado a válvula. Como o acionamento da válvula é pneumático e o Prof. José Juliano de Lima Jr. 1.8 Exemplos de Sistemas de Controle 15 Figura 1.19: Controle de temperatura. controlador gera um sinal de erro eletrônico, 4 mA, é necessário um conversor, que converte o sinal eletrônico em um sinal pneumático, acionando assim a válvula pneumática. A ação da válvula pneumática é de abrir ou fechar, enquanto o controlador enviar um sinal de erro. Se o a vazão entre em regime, o controlador enviará um sinal constantes, bias, de forma que a abertura da válvula tenha um valor pré-determinado. Figura 1.20: Malha Fechada - Sistema de Controle de Vazão. Já a figura (1.21) apresenta a estrutura de um sistema de controle de um leme. O sistema (simplificado) eletromecânico de direção de um navio do tipo "drive-by-wire"serve como exemplo de aplicação do conceito de realimentação. Nele, a posição do leme é de- terminada por um motor (atuador) e mecanismo redutor, comandado por um controlador eletrônico que recebe sinais: 1) do sensor de posição do leme (sinal realimentado) que re- flete o estado do leme, e 2) do sensor de posição do timão (sinal de controle ou de ajuste) que reflete a posição desejada. A função do controlador, que compara constantemente esses sinais, é a de comandar o motor de acionamento do leme até conseguir que a diferença entre eles seja nula ou a menor possível. Nesse momento, o leme estará na posição desejada. Qualquer modi- Prof. José Juliano de Lima Jr. 16 Introdução aos Sistemas de Controle ficação na posição do timão implicará na modificação do sinal de ajuste 2 (controle) e conseqüentemente, no ângulo do leme, o qual "segue"constantemente, o primeiro. Este é um exemplo de sistema de controle realimentado funcionando em "malha fe- chada". Pelo fato de não existir nenhuma ligação mecânica entre o timão e o leme, qualquer falha nos sinais ou sensores impede o funcionamento. Nesse caso, o sistema deve funcionar obrigatoriamente, em malha aberta. Figura 1.21: Controle Leme. Prof. José Juliano de Lima Jr. Capítulo 2 Exemplo de Sistemas 2.1 Sistemas de Ordem Zero O exemplos aqui apresentados foram retirados em sua maioria do livro do Dorf Dorf & Bishop (2011). Seja o sistema coroa e cremalheira sem considerar a massa da cremalheira e a inércia de rotação da cora. Figura 2.1: Sistema Mecânico: Engrenagens. O sistema coroa e pinhão sem considerar a inércia de rotação da cora e do pinhão. Potenciômetros com translação e rotação da referência. Potenciômetro de detecção de erro. Tacômetro no qual não é considerada a inércia de rotação. 2.2 Sistemas de 1a Ordem Amplificador DC. Prof. José Juliano de Lima Jr. 18 Exemplo de Sistemas Figura 2.2: Sistema Mecânico: Redutor. Figura 2.3: Sistema Elétrico: Potenciômetro. Figura 2.4: Sistema Elétrico: Potenciômetro-erro. Figura 2.5: Sistema Mecânico-Elétrico: Tacômetro. Prof. José Juliano de Lima Jr. 2.3 Sistemas de 2a Ordem 19 Figura 2.6: Sistema Elétrico: Amplificador. Sistema térmico de aquecimento. Figura 2.7: Sistema Térmico: Aquecimento de Fluido. Amplificador operacional, circuito de integração. Figura 2.8: Sistema Elétrico: Integrador. Amplificador operacional, circuito de derivação. 2.3 Sistemas de 2a Ordem Sistema hidráulico para movimentação de carga. Modelo de um acelerômetro. Modelo de um motor elétrico de corrente contínua, campo controlado. Modelo de um motor elétrico de corrente contínua, armadura controlada. Prof. José Juliano de Lima Jr. 20 Exemplo de Sistemas Figura 2.9: Sistema Elétrico: Diferenciador. Figura 2.10: Sistema Hidráulico: Valvula-Pistão. Figura 2.11: Sistema Mecânico-Elétrico: Acelerômetro. Figura 2.12: Sistema Mecânico-Elétrico: Motor DC - Campo Controlado. Prof. José Juliano de Lima Jr. 2.4 Armazenamento de Material 21 Figura 2.13: Sistema Mecânico-Elétrico: Motor DC - Armadura Controlada. Figura 2.14: Sistema Mecânico-Elétrico: Motor DC - Duas Fases Campo Controlado. Modelo de um motor elétrico de corrente contínua, com 2 fases de campo controlado. Modelo de sistema de fluxo de material granulado. Figura 2.15: Fluxo de Material. Exemplo de sistema de armazenamento: material granulado, nível de líquido, sistema de aquecimento, sistema de laminação e reservatório. 2.4 Armazenamento de Material 2.5 Controle de guinada Modelo simplificado do controle de inclinação ou controle do ângulo de guinada θ(t) com dois jatos colocados anti-simetricamente em A e B. Prof. José Juliano de Lima Jr. 22 Exemplo de Sistemas Figura 2.16: Armazenamento de Material. J d2θ(t) dt2 = T Se o empuxo de cada jato for F/2 então T = FL. Figura 2.17: Sistemas de controle de guinadada: satélite. 2.6 Suspensão automotiva Sistema mecânico dinâmico de uma suspensão veicula, movimento de base. md2xo(t) dt2 + bdxo(t) dt + kxo(t) = bdxi(t) dt + kxi(t) Prof. José Juliano de Lima Jr. 2.7 Circuito RLC 23 _ k—rzE =a k b ’ Figura 2.18: Sistemas massa, mola e amortecedor. 2.7 Circuito RLC Circuito elétrico RLC. di(t 1 pat) + Ri(t) + a | ieee = e,(t) = f ile = colt a a =€, L R ; ‘\ Cc | eo Figura 2.19: Circuito RLC. 2.8 Servomecanismo Modelo de um servomecanismo elétrico. d’c(t) — dc(t) Tm + — + K nc(t) = Kmr(t Ww tat c(t) r(t) Prof. José Juliano de Lima Jr. 24 Exemplo de Sistemas R, Le A A OO f a Ny | \ i Ny — a, e, Amp (A) - : 1 = = -“) ly No J = I if f, 1 iM © A OO ke | | | | i | | r | | ‘y= constante | Pee ee! Figura 2.20: Servosistema de posigao. 2.9 Sistemas de Nivel de Liquido Modelo linearizado de um sistema de nivel de liquido dH (t AR 5 Q(t) = Qt _ Valvula de controle Q+ 4; | fe —_ Valvula de carga H+h / f Og, Capecitintia Resisténcia Cc R Figura 2.21: Nivel de Liquido. 2.10 Sistemas Hidraulico Modelo de um servomecanismo hidraulico. pV md? y(t) 1 pVb 1 (L + K2)m Hy(t) KA dt? KA A dt? Ap+ pVk 1 (L + K2)m] dy(t) 1 (L + K2)m (1) = Kyx(1) OKA A dt A” ' Prof. José Juliano de Lima Jr. 2.10 Sistemas Hidráulico 25 Figura 2.22: servosistema hidráulico. Prof. José Juliano de Lima Jr. 26 Exemplo de Sistemas Prof. José Juliano de Lima Jr. Capítulo 3 Modelos Matemáticos de Sistemas 3.1 Classificação dos Sistemas • Sistema Linear e Não Linear. Para o sistema linear: – Aditividade: se x1(t) → y1(t) e x2(t) → y2(t) então x1(t) + x2(t) → y1(t) + y2(t) – Homogeneidade: αx1(t) → αy1(t) • Sistema Invariante no tempo e Variante no tempo Para o Sistema Invariantes no tempo: se x(t) → y(t) então x(t − t0) → y(t − t0) • Sistema Causal e Não Causal. – Sistema Causal: São os sistemas físicos ou Não Antecipativos e a resposta y(t) depende somente de instantes anteriores a t. y(t) = x(t − 2) – Sistema Não Causal: São os sistemas Antecipativos e a resposta y(t) com alguma dependência de instantes de tempo posteriores a t. y(t) = x(t−2)+x(t+2) a resposta y(t) depende da entrada no instante (t−2) e no instante (t + 2), ou seja futuro. Neste capítulo iremos modelar principalmente sistemas dinâmicos contínuos através de equações diferenciais ordinárias lineares invariantes no tempo (LTI - Linear Time Invariant). Se o modelo for não linear este dever ser linearizado usando por exemplo a série de Taylor. Quando o modelo resultante for uma equação a derivadas parciais, Prof. José Juliano de Lima Jr. 28 Modelos Matemáticos de Sistemas então esta será normalmente discretizado na sua variável espacial de forma a obter uma descrição mais simples apesar de menos. detalhada. 3.2 Sistema de Nível de Líquido Considera-se um reservatório com uma seção reta de área A conforme indicado na figura (3.1), com as seguintes variáveis (de Carvalho, 2000, p. 14 a 16): Figura 3.1: Nível de Líquido. Qi(t) - vazão de entrada, m3/s; Qo(t) - vazão de saída, m3/s Q - vazão em regime permanente, m3/s; qi(t) - pequeno desvio da vazão de entrada em relação ao seu valor de regime, m3/s; qo(t) - pequeno desvio da vazão de saída em relação ao seu valor de regime, m3/s; H(t) - nível, m H - nível em regime permanente, m h(t) - pequeno desvio do nível em relação ao seu valor de regime, m; ρ - massa específica do fluido, kg/m3; R resistência ao fluxo de líquido na restrição definida como a variação na diferença de nível necessária para causar uma variação unitária na vazão, (m)/(m3/s) R = ∆H ∆Q0 ; C capacitância do reservatório definida como sendo a variação na quantidade de líquido armazenado necessário para causar uma variação unitária na altura do nível de líquido, m3/m - C = ∆V ∆H ; Prof. José Juliano de Lima Jr. 3.2 Sistema de Nível de Líquido 29 A Lei da conservação de massa diz-nos que, num curto intervalo de tempo, a diferença entre a vazão mássica de entrada e a de saída é igual ao aumento de massa de líquido armazenado, isto é massa que entra menos massa que saí é igual a acumulação. Então ρQi(t) − ρQo(t) = ρd[A(H(t))H(t)] dt (3.1) Vamos considerar que a área da seção transversal do tanque A é constante, não tendo variação em função da forma geométrica do tanque, isto é, não varia com a variação do nível de líquido no tanque. Caso contrário a área seria uma função do nível do líquido no tanque, que por sua vez e função tempo, A(H(t)). ρQi(t) − ρQo(t) = ρAdH(t) dt (3.2) onde: Qi(t) = Q + qi(t) (3.3) Qo(t) = Q + qo(t) (3.4) H(t) = H + h(t) (3.5) O escoamento de um fluido em uma tubulação, orifício ou válvula pode ser turbulento para o qual o número de Reynolds é grande em torno de 4.000, ou laminar para o qual o número de Reynolds é menor do que 2.000.(Eckman, 1962, p. 18). É conhecido que a vazão através de um orifício (válvula) é normalmente uma função da raiz quadrada da queda de pressão através deste; para o caso de uma descarga para a atmosfera, a queda de pressão é proporcional a H(t). O escoamento turbulento de um fluido na saída de um sistema de nível de líquido estacionário (tanque), cuja vazão de saída dependente do nível do líquido, não existindo pressão externa agindo sobre o líquido, exceto a pressão atmosférica, é encontrado usando a equação de Bernoulli. v2 2g + P γ + H = const No caso do tanque o volume V é constante. Considerando o ponto 1 o nível superior do tanque e o ponto 2 no nível da vazão de saída, tem-se: Prof. José Juliano de Lima Jr. 30 Modelos Matematicos de Sistemas 0? Patm v3 Patm v5 spt +h = + t+ A > M1 - P = SS > 0 = V2GAH 29 7 29 7 29 logo que a vazao no orificio (valvula) quando o tanque é esvaziado sob a acao da forga gravitacional, considerando Hp =0 e H, = H, é: Qo(t) = KiV A(t) (3.6) onde: K; coeficiente do orificio (valvula). Ky, = CyAov/ 29 (3.7) com Cy sendo o coeficiente de descarga do orificio (valvula), normalmente 0,6 e Ap area do orificio. Deveria-se também ser considerado a queda de pressao na linha de descarga que, para um regime turbulento, é aproximadamente proporcional ao quadrado da vazao. Substituindo a equacao (3.6) na equacao (3.2) e reagrupando os termos, obtém-se o seguinte modelo: dH (t ai) + Kin/ H(t) = Q(t) (3.8) que é uma equacao diferencial nao linear. A resisténcia turbulenta é encontrada de dH(t) 2Qo(t 2Q2(t 2H (t p= HHO) _ 200) _ 204, [2H 39) dQ kj Kk? Qo(t) Qo(t) Portanto a resisténcia turbulenta nao é constante, mas depende da vazao e do nivel existentes a cada tempo. Consequentemente é necessario definir a resisténcia turbulenta para uma valor particular de vazao e nivel e trabalhar com este valor em uma faixa de operacao estreita, para cada nova faixa de operacgao, um novo valor de resisténcia turbulenta é requerido. A capacitancia liquida do tanque é definida por dV (t) C = — 3.10 dH (3.10) Prof. José Juliano de Lima Jr. 3.2 Sistema de Nivel de Liquido 31 Para um tanque com secao transversal constante A o volume é igual a V = A x H(t) e a capacitancia do tanque é dV (t) c- MO _4 5 sal dH (3.11) Portanto a capacitancia liquida do tanque é igual a area da secao transversal do tanque tomada na superficie liquida. Se o tanque possui area da secao transversal constante, a capacitancia é¢ constante para qualquer nivel de liquido no tanque. 3.2.1 Resposta Nao Linear A equacao(3.8) pode ser resolvida exatamente (Campbell, 1958, p. 53-55). Neste caso faz-se uma mudanga de varidvel ,/H(t) = u(t) a qual reduz a equacao na forma: du(t u(t ae) + Kyu(t) = Q(t) (3.12) Apos a mudanga de varidvel a equacao(3.12) pode ser escrita como: 2u(t)d dt __2ult)du dt (3.13) Kyu(t) — Q(t) A cuja solugao pode ser encontrada por integracao considerando uma variagao degrau, na vazao de entrada, q;(t) = q. “~— u(t)du 1 | ' 2 > FS dt 3.14 [ Kyult)-Q:i A Jo B14) A solugao fica: 2 20: (Kult)-Qi\ __t —(u(t) — ae) =—— 3.15 Flu) ~ v0) + Flog (AIM) — o (3.15) ou 2Q); t 2Q; 2u(t) + 20; log (K,u(t) — Q;) = 2up — Kip = + 20; log (Kyup — Q;) (3.16) Ki A kK, Prof. José Juliano de Lima Jr. 32 Modelos Matematicos de Sistemas NL_ 4G ; inclinagao = i = (: ‘ 3) A H(t) i, =A (1+28) 6 i / i Ah = bXE — ne. fi \ Resposta Nao Linear Resposta Linear ; Figura 3.2: Variacgao do nivel do quando sujeito ao degrau q;. Substituindo na equacao(3.16) u(t) = \/ A(t), u = VH e Q; = Q+&, tem-se: KH + (Q+ a) log [KV HO — (Q+4)| = _ 2 _ Q-— t+ (Q+ &G) log G (3.17) 2A Considerando a resposta em regime permanente para uma excitacao degrau de valor gi, tem-se: _ di 2 AN’ = (1 + 4) (3.18) Q O angulo de inclinacao e o desvio na altura, valem: inclinacao = “ e Ah=hXt —hk 3.2.2. Resposta Linear Obviamente, equacoes lineares tem um processo de solucao mais direto; portanto deve- se tentar uma simplificagao. Na maior parte das situag6es se quer manter H(t) constante, igual a H, e se o sistema de controle estiver funcionando normalmente apenas permitira pequenos desvios h(t) ao redor do valor de equilibrio H. Pode-se linearizar 0 termo nao linear da equac4o(3.8) ao redor do ponto de funcionamento H. Designa-se por Q o valor Prof. José Juliano de Lima Jr. 3.2 Sistema de Nivel de Liquido 33 em regime permanente da vazao, tanto de entrada como de saida. Se Q;(t) for subitamente aumentado de uma pequena quantidade q;(t), Q.(t) aumen- tara gradualmente até Q + q(t). Exprimindo as varidveis da equagéo (3.2) em termos das suas componentes em regime estacionario e dos seus desvios, obtém-se: d — _ _ AS (H + h(t)) =(Q+a(t)) — (Q+a(t)) (3.19) que é equivalente a dh(t A = a(t) — all (3.20) Por outro lado, qolt) = E(t) + FP) (3.21) ° 2VH com: f(h?(t)) sao diferenciais de segunda ordem e superiores que serao desprezados na linearizacao de ,/H(t). Substituindo a equagao (3.21) na equacao (3.20), chega-se a: dh(t K, AM = g(t) Ent) (3.22) dt WH dh(t) Ky AST 5 Seni) = alt) (3.23) dt 2/H Definindo resisténcia dindmica, R, como sendo a resisténcia ao fluxo de liquido na restrigao, como WH R=— 3.24 ( a equagao (3.23) é escrita como: dh(t Prof. José Juliano de Lima Jr. 34 Modelos Matematicos de Sistemas A solugao da equagao (3.25), para uma entrada degrau com valor q;(t) = q; constante, é: h(t) = RG (1 - ca) (3.26) A solugao da equagao (3.26) pode ser aproximada para as condic6es de regime perma- nente por: h(t) = RG mas - - _ WH H(t) =H+h(t)=H + Ra = 1+ TG t como Q = Ky V H => Ky = * entao _ —/H _ iF H(t) =H + Java =H (1 + 2%) Q Q L 7 qi hy, =H (1 + 25 (3.27) Q A solugao linearizada equacao (3.25) pode ser utilizando no lugar da solucao nao linear, equacao (3.17), se: Q Pode-se representar também a equacao (3.25) em fungao da variavel q,(t). Da equacao (3.21) com a definicgéo da equagaéo (3.24) chega-se a: Prof. José Juliano de Lima Jr. 3.2 Sistema de Nivel de Liquido 35 hit w(t) =" nyt) = Ratt (3.29 Substituindo a equacao (3.29) na equacao (3.25), obtém-se: dqo(t ARMED 5 a(t) = 460 (3.30) As equacoes (3.25) e (3.30) so as equacoes lineares desejadas. Vejamos agora como a equacao (3.21) resultou da equagdo (3.6). Desenvolvendo ,/ H(t) em série de Taylor ao redor de H, obtém-se: to Na fe) =#@) + Bem + fea... (3.31) Fazendo = = H e h = (x — 7), tem-se: f(z) =VH (3.32) 1 f@) = (3.33) 2VH 1 f"(@) = Ss (3.34) 4V (3.35) entao — 1 1 1 VH(t) = V+ —=h(t) - -—=h’ (t) +... oH 8 \/RP — 1 = VA+—an(t) + (W(t 3.36) Vi (t) + f(h°(t)) ( Para pequenos valores de h(t) pode-se desprezar os termos nao-lineares f(h?(t)). Substituindo a equacgao (3.36) na equagao (3.6) tem-se: — — 1 Q(t) =Q+q(t) = Kh (v H+ Rt) (3.37) o/A entao: Prof. José Juliano de Lima Jr. B60 Modelos Matematicos de Sistemas K, = = qo(t) = —Kh(t) + K.VH —Q (3.38) 2VH finalmente: Kt do(t) = —=z= hit) (3.39) 2VH O valor de K; pode ser determinado, sem dificuldades, por via experimental, através da representacgao grafica do valor de H, em regime permanente, para cada valor de Q,. Qo —~mi1 tWga=7 =, desvio Z a 0 7~ H A Figura 3.3: Vazao de Saida em Regime Estacionario em Funcao da Pressao da Altura da Coluna de Liquido. Do grafico da figura (B.8), tem-se que: df (x OQo(t K, 1 W(z)) OQ} gg = KEL t (3.40) dx |,_> OH |y_-7 WH &R A tabela (7.1) apresenta a determinacao da 65 usando uma aproximacao linear. Na primeira coluna da tabela encontra-se o valor do qual quer-se saber a raiz x. Na segunda coluna apresenta o valor médio Z e na terceira a variagao Ax em torno do valor médio, de forma que a soma seja x. Na quarta coluna o valor percentual da relacao entre a variacao e o valor médio. Observa-se que quando menor esta relacao, menor é o valor da pequena variacao, fazendo-se com que o valor da raiz de x, determinado pela aproximacao linear 7, seja o mais proximo do valor exato. Valor apresentado na quinta coluna. A sexta coluna apresenta o desvio percentual relativo entre o valor da raiz de x aproximado e seu valor Prof. José Juliano de Lima Jr. 3.2 Sistema de Nível de Líquido 37 Tabela 3.1: √ ˆx ≈ √¯x + 1 2√¯x∆x x ¯x ∆x ∆x ¯x % √ ˆx √ ˆx−√x √x % 65 1 64 6.400,0 33,0000 309,31 65 4 61 1.525,0 17,2500 113,96 65 9 56 622,2 12,3333 52,98 65 16 49 306,3 10,1250 25,59 65 25 40 160,0 9,0000 11,63 65 36 29 80,6 8,4167 4,40 65 49 16 32,7 8,1429 1,00 65 64 1 1,6 8,0625 0,003 exato. A conclusão é quando menor o desvio em relação ao valor médio mais exato será o cálculo de √¯x. √ 65 = 8, 062 Exemplo 3.1 Determinar para um tanque com área da seção transversal A = 1 m2, constante da válvula Kt = 0, 5 m/s, nível do tanque no instante inicial h0 = 2 m, a resposta da variação do nível H(t) versus t, para Aguirre (2011): • Qi(t) = 0 m3/s, 0 < t ≤ 20 s, Qi(t) = 1, 0 m3/s, 20 < t ≤ 80 s, Qi(t) = 1, 05 m3/s, 80 < t ≤ 120 s, resolvendo a equação não linear, eq (3.8), numericamente; • ¯H = 4 m, no instante t = 80 s, resolvendo numericamente a eq (3.25); • ¯H = 4 m, no instante t = 20 s, resolvendo numericamente a eq (3.25). As soluções das equações não linear, eq (3.8), e linear, eq (3.29), são obtidas usando o Método de Ruge-Kutta, que corresponde a função ODE45 do MatLab ou ODE do SCILAB. O gráfico apresenta a solução do problema proposto. A curva em azul representa o comportamento do nível de líquido em função da vazão de entrada, resolvendo a equação não linear. A equação não linear foi linearizada em torno de ¯H = 4 m, sendo o valor de R = 8 s/m2, aplicada no instante de tempo t = 80 s, cuja solução é apresentada pela curva vermelha. Observa-se uma boa concordância entre as curvas azul e vermelha. Quanto aplicamos a equação lineariza em torno de ¯H = 4 m, R = 8 s/m2, no instante de tempo t = 20 s, curva verde, observamos a grande discrepância das curvas. Isso ocorre devido a linearização ser válida apenas em torno de ¯H = 4 m, Prof. José Juliano de Lima Jr. 38 Modelos Matemáticos de Sistemas 0 20 40 60 80 100 120 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Tanque: Nível de Líquido x Tempo Figura 3.4: Nível de líquido solução Não Linear e Linear R = 8 s/m2. Para aplicar a equação linearizada no instante de tempo t = 20 s deve-se determinar um novo valor de R (R = 4 s/m2). As figura (3.5) a (3.7) apresentam as equações diferenciais para algumas configurações de sistemas de nível de líquido (tanques) (Campbell, 1958, p. 58). 3.3 Pêndulo Invertido Um pêndulo invertido montado sobre um suporte móvel acionado a motor é mostrado na figura (3.8). Este é um modelo do controle de atitude de um foguete durante a fase de lançamento ou de posição vertical de um robô, entre outros. A posição vertical do pêndulo invertido é instável pelo fato de que ele tende a se afastar desta posição, para um lado ou para o outro, a menos que seja aplicada uma força de controle adequada. Considera-se aqui somente o problema a duas dimensões, em que o movimento do pêndulo fica restrito ao plano da página. A força de controle u(t) e a força de amortecimento viscoso c ˙x(t) são aplicadas ao suporte móvel. Admitindo que o centro de massa da haste do pêndulo esteja em seu centro geométrico, obtém-se um modelo matemático para o sistema. As principais variáveis, são: M - massa do suporte móvel, kg; m - massa da haste do pêndulo, kg; I - momento de inércia de massa da haste do pêndulo, kgm2; ℓ - metade do comprimento da haste do pêndulo, m; Prof. José Juliano de Lima Jr. 3.3 Pêndulo Invertido 39 Figura 3.5: Tanques com configurações a. Figura 3.6: Tanques com configurações b. Prof. José Juliano de Lima Jr. 40 Modelos Matemáticos de Sistemas Figura 3.7: Tanques com configurações c. Figura 3.8: Pêndulo Invertido. Prof. José Juliano de Lima Jr. 3.3 Péndulo Invertido Al u(t) - forcga de controle, N; c - coeficiente de amortecimento, kg/s; x - coordenada horizontal, m; @ - coordenada angular da haste do péndulo, rad; Xq - coordenada horizontal do centro de massa da haste do péndulo, m; yq - coordenada vertical do centro de massa da haste do péndulo, m. A equacao de movimento dinaémico do péndulo invertido é obtida aplicando-se a equa- cao de Lagrange, método energético, para as coordenadas generalizadas q(t) = x(t) e qo(t) = A(t). a (a) ~ (az) =® on) com: L - Lagrangeano, J; q, - coordenada generalizada, m ou rad; Q; - forcas generalizadas conservativas ou dissipativas, N ou Nm. O Lagrangeano é definido por: L=T-V (3.42) com: T - energia cinética do sistema, J; V -energia potencial do sistema, J. A energia cinética do sistema, é: ru)” (ae 80)" A energia potencial gravitacional, é: Prof. José Juliano de Lima Jr. 42 Modelos Matematicos de Sistemas V = —mgl(1 — cos O(t)) (3.44) Com base na figura (3.8), as coordenadas do centro de massa da haste do péndulo, sao: ta(t) = a(t) + ¢ sen 6(t) (3.45) yc(t) = cos O(t) (3.46) Desenvolvendo a equagao (3.43), tem-se: 1 1 fd - 1 fd - 1. T=-Mi?+=m|— =m |— ~16? 3.47 5 Ma 5m | 5 (e+ € sen) 5m | Fos +5 (3.47) entao: 1, 1 , 2 J ; 2 1 T= gMe + 3” (« + €0 cos 0) + 3” (— sen 0) + 5/8 (3.48) ou Let 2) p292,..2 A L272 2 Ly T= gMe + 3” (« + £6" cos” 6 + 2U::6 cos 8) + git 0° sen* 6 + 518 (3.49) logo Let “2, p2f2,..2 A 242 can2 Lay T= gMe + 3” (a + £°6° cos” 6 + 226 cos 6 + 0° sen 2) + 51? (3.50) Finalmente: 1 7) 1 7) 2 /A2 _ 1 A9 T= 5Mi + 3m (« + £0 + 2030 cos) + 510 (3.51) Com as expressdes (3.44) e (3.51) obtém-se o Lagrangeano. Lie 1 2, 7292 A 1 io L= gMa + 3” (é + 0° + 20%0 or) + 5/8 + mgl(1 — cos6) (3.52) Prof. José Juliano de Lima Jr. 3.3 Péndulo Invertido 43 Aplicando-se a equacao de Lagrange para a coordenada generalizada q(t) que corres- ponde a coordenada x(t), vem: OL “~ _ 9g Ox OL ; or (M +m) «+ m£6cos6 (3.53) xt Q; = u-ce Aplicando-se a equacao de Lagrange para a coordenada generalizada q(t) que corres- ponde a coordenada @(t), vem: OL 1 9 7 (—2080 sen 0) +mgl sen 0 (3.54) OL 1 <= 5m (26 + 2técos8) + 10 oo 2 Q2 = 0 simplificando, vem: OL ryan —mlz sen @ + mgé sen 0 (3.55) OL ——— (ml? + I) d+ mlx cos 0 oo Q.2 = 0 Substituindo-se as equagoes (3.53) na equacao (3.41), para a coordenada q,(t), tem-se: d ; ; ; ai (Mi + ma + moo cos) =u-cé (3.56) (M + m)# + cz = u— (mécos0)6 + (mé sen 6) 6? (3.57) Substituindo-se as equagdées (3.55) na equacao (3.41), para a coordenada q(t), tem-se: d 2 : a, ai (me + 1)@ + m£é cos 6| + mlx0 sen 6 — mgl sen 6 = 0 (3.58) Prof. José Juliano de Lima Jr. 44 Modelos Matemáticos de Sistemas (mℓ2 + I)¨θ − mℓ ˙x ˙θ sen θ + mℓ ˙x ˙θ sen θ − mgℓ sen θ = −mℓ¨x cos θ (3.59) Logo, tem-se o sistema de equações:    (M + m)¨x + c ˙x = u − (mℓ cos θ)¨θ + (mℓ sen θ) ˙θ2 (mℓ2 + I)¨θ − mgℓ sen θ = −mℓ¨x cos θ (3.60) O sistema de equações (3.60) é não linear. Linearizando o sistema de equações (3.60) considerando pequenas variações de θ, então sen θ = θ e cos θ = 1, tem-se:    (M + m)¨x(t) + c ˙x(t) = u(t) − mℓ¨θ(t) (mℓ2 + I)¨θ(t) − mgℓθ(t) = −mℓ¨x(t) (3.61) Se θ = 14o o erro na linearização do seno é de 1 %, θ = 20o o erro é de 2 % e se θ = 45o o erro é de 10 %. 3.4 Pêndulo Hélice 3.4.1 Problema Proposto Projetar um compensador PID para controlar um pêndulo suspenso acionado por uma hélice motorizada em sua extremidade livre de forma que o sistema fique posicionado na horizontal. Figura 3.9: Sistema Pêndulo e Hélice. Prof. José Juliano de Lima Jr. 3.4 Péndulo Hélice 45 3.4.2 Modelo Matematico Seja o diagrama de corpo livre. atrito O Ct L/2 L 0(t) \, LY mgseno(t) mgcos 6(t) F(t) mg Mgseno(t) Mgcos 0(t) Mg Aplicando a 2a Lei de Newton, vem: S7 My = Jodie) . L . Jo0(t) = —MgL sen O(t) — mg sen O(t) — c¢O(t) + LF(t) Jo(t) + 46(t) + (uv + ~) gL sen 6(t) = LF(t) Para pequenos 9 => send = 6 ecosé & 1. Logo JoO(t) + 6(t) + (u + =) gL6(t) = LF (t) Momento de Inércia com relacao ao ponto 0 e Massa M Jy = ML? e Haste m mL? Jim = — 3 Prof. José Juliano de Lima Jr. 46 Modelos MatemAaticos de Sistemas e Total L? Jo = Ine + Im = ML? + M Jo = a) L? 3 A equacao final de movimento, fica: 3M . . (a) L6(t) + ¢,0(t) + (uv + ~) gL0(t) = LF(t) = T(t) A relacao entre a tensao v(t) aplicada no propulsor e o torque T(t) gerado é: T(t) = Knv(t) o valor de K,, é retirado do catdlogo do fabricante do quadricéptero. logo 3M . . (=) L?6(t) + ¢,0(t) + (u + =) gLO(t) = Kmv(t) Passando Laplace com condicoes iniciais nulas (6(0) = 6(0) = 0), tem-se: 3M (*) Ls? +s + (uv + ~) at] O(s) = KnV(s) A Funcao Transferéncia, é: O(s) _ Km, V0) IF t gst Ba 3.4.3 Simulacao A figura (3.10) apresenta o diagrama de blocos do sistema em malha aberta conside- rando uma entrada de 2,5 V que corresponde a um Angulo do péndulo de 40°. A resposta no tempo pode ser vista na (11.7) a qual apresenta uma fase de resposta transitoria e uma fase de regime permanente iniciando em aproximadamente 10 s. O diagrama de blocos corresponde ao sistema de controle em malha fechada é visto na (3.12) no qual o controle utilizado é um PID. Prof. José Juliano de Lima Jr. 3.4 Pêndulo Hélice 47 Figura 3.10: Diagrama de blocos. Figura 3.11: Resposta no tempo da posição do pêndulo. Figura 3.12: Diagrama de blocos de Malha Fechada. Prof. José Juliano de Lima Jr. 48 Modelos Matemáticos de Sistemas A figura (3.13) apresenta em uma mesmo gráfico a resposta do sistema e malha aberta e em malha fechada. É possível verificar que o sistema em malha fechada não apresenta oscilações e entre no regime permanente em aproximadamente 1,7 s. Figura 3.13: Resposta no tempo do sistema sem controle e com controle. 3.4.4 Componentes • Motor de Quadricóptero Figura 3.14: Motor de quadricóptero. • Arduino Figura 3.15: Placa Arduino. • Potenciômetro Prof. José Juliano de Lima Jr. 3.4 Pêndulo Hélice 49 Figura 3.16: Potenciômetro. • Diagrama-esquema Figura 3.17: Esquema elétrico do sistema de controle. Prof. José Juliano de Lima Jr. 50 Modelos Matemáticos de Sistemas Prof. José Juliano de Lima Jr. Capítulo 4 Transformada de Laplace 4.1 Introdução A Transformada de Laplace é uma das mais importantes ferramentas disponíveis para a análise e projeto de sistemas lineares. É um método operacional que pode ser usado vanta- josamente par resolver equações diferenciais lineares invariantes no tempo. Sua vantagem principal é que a diferenciação de uma função no tempo corresponde a multiplicação da transforma por uma variável complexa s, e assim a equação diferencial no tempo torna-se uma equação algébrica em s. Transforma a convolução no tempo em uma multiplicação na frequência. A solução da equação diferencial pode ser então encontrada usando uma tabela de transformada de Laplace ou pela técnica da expansão em frações parciais. Outra vantagem da Transformada de Laplace é que ao resolver a equação diferencial, as con- dições iniciais são automaticamente levadas em conta, e as soluções homogênea (regime transitório) e particular (regime permanente) são obtidas simultaneamente. Transforma a convolução no tempo em uma multiplicação na frequência. Figura 4.1: Processo da transformada de Laplace. Prof. José Juliano de Lima Jr. 52 Transformada de Laplace 4.2 A Transformada de Laplace A funcgao X(s) na equacao (4.1) ¢ chamada de transformada de Laplace de x(t). Para x(t) continuo no tempo, a transformada de Laplace é definida como: X(s) = / a(t)e*dt (4.1) A variavel s é geralmente complexa e expressa como: s=o+jw (4.2) A transformada de Laplace definida na equacao (4.1) ¢ frequentemente chamada de Transformada de Laplace Bilateral (ou de dois lados) em contraste com a seguinte defini- Gao: X,(s) = / a(t)e~**dt (4.3) 6- onde 0” = lim (0 —¢) e>0 Claramente a transformadas bilateral e unilateral sao equivalentes somente se x(t) = 0 para t < 0. A equacao (4.1) é algumas vezes considerada um operador que transforma um sinal x(t) em uma fungao X(s), simbolicamente representada por: X(s) = L{2(t)} (4.4) e o sinal x(t) e sua transformada de Laplace X(s) sao ditas que formam um par da transformada de Laplace, escrita como: x(t) + X(s) (4.5) Prof. José Juliano de Lima Jr. 4.2 A Transformada de Laplace 53 4.2.1 Pólos e Zeros de X(s) Normalmente X(s) é uma função racional em s, isto é: X(s) = b0sm + b1sm−1 + ... + bm a0sn + a1sn−1 + ... + an = b0(s − z1)...(s − zm) a0(s − p1)...(s − pn) (4.6) Os coeficientes ak e bk são constantes reais, e m e n são inteiros positivos. X(s) é chamada de função racional própria se n > m e imprópria se n ≤ m. As raízes do polinômio do numerador, zk, são chamadas de zeros de X(s), porque X(s) = 0 para esses valores do s. Da mesma maneira, as raízes do polinômio do denomi- nador, pk, são chamadas de pólos de X(s), porque X(s) é infinito para esses valores de s. Exceto por um fator de escala b0/a0, X(s) pode ser completamente especificado pelos seus pólos e zeros. Assim, uma representação muito compacta de X(s) no plano s é mostrar a localização dos pólos e zeros em conjunto com a ROC. Tradicionalmente, um “x” é usado para indicar cada localização do pólo e “o” para indicar cada zero. Por exemplo, se X(s) = 2s + 4 s2 + 4s + 3 = 2 (s + 2) (s + 1) (s + 3) Re(s) > −1 Observe que X(s) tem um zero para s = −2 e dois pólos s = −1 e s = −3 com fator de escala de 2. Figura 4.2: Representação no Plano s de X(s). Prof. José Juliano de Lima Jr. 54 Transformada de Laplace 4.3. Transformada de Laplace de Sinais Comuns 4.3.1 Funcao Impulso Unitario 4(t) Com auxilio das equacées (4.7) e (4.8) temos: X(s) = / a(t)e*dt (4.7) J estat = 010) (4.8) tem-se: L{5(t)} = / d(the “dt =1 Vs (4.9) 4.3.2 Funcao Degrau Unitario u(t) A transformada de Lapace de u(t) é dada pela equagao (4.10), como: —st —st l —st * 1 Li{u(t)}= | u(t)e “dt= | e“dt= —5e =F Re(s) > 0 (4.10) —oo ot oF onde 0+ = lim (0 + «) e—0 4.3.3. Pares de Transformada de Laplace de Sinais Co- muns Na tabela (4.1) sAo apresentados alguns pares de transformada de Laplace com as respectivas regides de convergéncia. Na tabela (4.2) sao apresentados alguns pares de transformada de Laplace especiais usadas na solucao de algumas equacoes diferenciais parciais (Campbell, 1958, p. 100). Prof. José Juliano de Lima Jr. 4.3 Transformada de Laplace de Sinais Comuns 55 Tabela 4.1: Pares de Algumas Transformadas de Laplace para t > 0. Ce Re(s) = 0 Re(s) = 0 Re(s) > 0 Re(s) > = Re(a) Rel) <= Reta) Reta) >= Rela Ret) = Re Ret) = = Re aon (n = 1,2,...) | Re(s) < - Re(a) Re(s) > 0 Rel) =O Rels) ~0 Rete) = Ret) Rete) >= Reta Tabela 4.2: Pares de Algumas Transformadas de Laplace Especiais para t > 0. a ee ee Pear | eet aE cosnavat [er a en /4t —ay/s Prof. José Juliano de Lima Jr. 56 Transformada de Laplace 4.4 Propriedades da Transformada de Laplace As principais propriedades são apresentadas a seguir: 4.4.1 Linearidade Se x1(t) ↔ X1(s) com ROC = R1 x2(t) ↔ X2(s) com ROC = R2 então a1x1(t) + a2x2(t) ↔ a1X1(s) + a2X2(s) R′ ⊃ R1 ∩ R2 (4.11) A ⊃ B ⇒ que A contém B e A ∩ B ⇒ A interseção com B. 4.4.2 Deslocamento no Tempo (Time Shifting) Se x(t) ↔ X(s) com ROC = R então x(t − t0) ↔ e−st0X(s) com R′ = R (4.12) A equação (4.12) indica que a ROC antes e depois da operação de deslocamento no tempo são as mesmas. 4.4.3 Deslocamento no Domínio s Se x(t) ↔ X(s) com ROC = R então es0 t x(t) ↔ X(s − s0) com R′ = R + Re(s0) (4.13) Prof. José Juliano de Lima Jr. 4.4 Propriedades da Transformada de Laplace 57 4.4.4 Escalonamento no tempo (time Scaling) Se x(t) & X(s) com ROC = R entao 1 8 ' x(at) 6 —X (=) com R’ = aR (4.14) jal Na A equacao (4.14) indica que um escalonamento de varidvel do tempo t por um fator a causa um escalonamento inverso de varidvel s por 1/a, como também, um escalonamento da amplitude de X(s/a) por 1/|a]. 4.4.5 Reverso do Tempo Se x(t) & X(s) com ROC = R entao x(—-t) + X(-—s) com R’=—R (4.15) Assim, um reverso no tempo x(t) produz um reverso de ambos os eixos o- e jw— no plano s. A equacao (4.15) é realmente obtida fazendo a = —1 na equacao(4.14). 4.4.6 Diferenciacgao no Dominio do Tempo Se x(t) & X(s) com ROC = R entao dx(t at) 4 sX(s)—2(0+) R'D R (4.16) dx(t sa 4 s°X(s)—sa(0+)—a(0+) R'D R (4.17) d'x(t) . —k ¢(k— Gp #8" X(s) d° f*Y(0£) R’' DR (4.18) Prof. José Juliano de Lima Jr. 58 Transformada de Laplace O efeito da diferenciagao no tempo é a multiplicacao da correspondente transformada de Laplace por s. A ROC associada é inalterada a menos que exista um cancelamento dos polos e zeros em s = 0. 4.4.7 Diferenciagao no Dominio de s Se x(t) & X(s) com ROC = R entao dX —ta(t) o a) R'=R (4.19) dX?(s) Pax(t ——— R=R 4.20 n(t) 6 (4.20) 4.4.8 Integragao no Dominio do Tempo Se x(t) & X(s) com ROC = R entao 1 1 [oo dr + —X(s)+ a rea R' = Rn {Re(s) > 0} (4.21) 8 S Jot t=0+ ot ou 1 [oo dr + —X(s), se f(0T)=0 R’ = RN {Re(s) > 0} (4.22) S Oo+ 4.4.9 Convolucao Se x(t) + X1(s) com ROC = R, X2(t) + X2(s) com ROC = Rp Prof. José Juliano de Lima Jr. 4.5 Transformada Inversa de Laplace 59 entao x1(t) * 2(t) + X1(s)Xe(s) com R’D Ri NRe (4.23) Tabela 4.3: Propriedades da Transformada de Laplace. Propriedade rT SOdSC*dSCSC“‘aRSYSCONSC*C“‘(#SDNN’NN’NS:WRCCC“‘“‘ on a Oo ant) + an) | aki) + aXe) Desloc. no Tempo R= Re Rew) QI Xs) 205) s°X(s) — sa(0) — #04) t [ x(r)ar LX(s) 44)" a(z)ar_ | R’ > RA{Re(s) > 0} o+ Comonieio | AW hide | Essa propriedade de convolugao ¢ uma regra importante na analise e projeto de siste- mas LTI continuos no tempo. 4.5 ‘Transformada Inversa de Laplace A inversao da transformada do Laplace para encontrar o sinal x(t) através de sua transformada X(s) é chamada de Transformada inversa de Laplace e é simbolicamente escrita como: a(t) = LZ'{X(s)} (4.24) 4.5.1 Formula de Inversao Existe um procedimento que é aplicdével a todas as classes de transformada de funcoes que envolvem o calculo da integral de linha no plano complexo, isto é, Prof. José Juliano de Lima Jr. 60 Transformada de Laplace 1 c+ joo o(t) = 5 / x) eds (4.25) Nesta integral, o c é escolhido como real, tal que se a ROC do X(s) @ 0, < Re(s) < 02, entao a1 < Cc < do O calculo da integral da transformada inversa requer um conhecimento de teoria de varidveis complexas. 4.5.2 Uso de Tabelas de Pares de Transformada de La- place No segundo método para inverséo de X(s), nds temos que expressar X(s) como uma soma X(s) = X1(s) + Xo(s) +... + Xn(s) (4.26) onde X,(s), Xo(s),...,Xn(s) sao fungdes com transformadas inversas conhecidas x(t), Lo (t),..-,0n(t). Da propriedade de linearidade (4.11) segue que: x(t) = 21 (t) + x(t) +... + x(t) (4.27) 4.5.3 Expansao em Fracoes Parciais Se X(s) é uma fungao racional, isto é da forma: N (s) (s — 2%) ...(S — 2m) X(s) — MY = pRB TH) ST Am) 4.28 (s) D(s) (s — py) ... (8 — Pn) (4.28) Uma técnica simples baseada na expansao das fragdes parciais pode ser usada para a inversao do X(s). a. Quando X(s) é uma fungao racional propria, isto é, m <n e Poélo Simples Se todos os pdlos de X(s), isto é, todas as raizes de D(s), sao simples (ou distintos), entao X(s) pode ser escrito como: Prof. José Juliano de Lima Jr. 4.5 Transformada Inversa de Laplace 61 c Cn X(s) = —*~— +. ¢# (4.29) 5 — Pi 5 — Pn onde os coeficientes c, sao dados por: Ck = (8 — Pr) X (S)|5-y, (4.30) Por exemplo: 2 4 2 s* +45 + 3 (s + 1) (s + 3) s+1 843 2 (s + 2) 2(-1 +4 2) 2 cq = (s + 1) X(s) |g2-1 = —m——|,=_-1 = ~~ = - = 1 = (64 I X() fa = TEP ea = EY = 5 2 (s + 2) 2 (—3 + 2) —2 Cc = (s + 3) X(s) |,2-3 = ———~|,_-_3 = ——_— = — = 1 entao: X (s) , + , Re(s) > - 1 = —— ——“— e(s - ° s+ 1 s+3 a(t) =e 'u(t)+e *u (t)= (e* +e *") u (t) a(t) = (e* +e) u(t) e Mialtiplos Pélos Se D(s) tem miltiplas raizes, isto é, se ele contém fatores na forma (s — p;)" diz-se que p; ¢ 0 polo miultiplo de X(s) com multiplicidade r. Entao a expansao do X(s) ira consistir dos termos na forma, com n polos nao repetidos e r polos repetidos: Prof. José Juliano de Lima Jr. 62 Transformada de Laplace n A r Ap X(s)=—1- 4.4 4 55 Og 431) S— pi S—Prn S—P (s—p) (s — p) onde dn = FAs py’ X(s) (4.32) rk = a(S — Di s . kl dsk p s=p;, k=0,...,r—1 Por exemplo: s?4+25+5 Cy At AQ X(s) = ———_. = + 4 + ()=Gyayetbe std stb Hep onde: s?+2s+5 9-6+5 8 1 = (8 +3)X(s) |s—-3 = “a Ie-3 = apap =F Fazendo r = 2 e k = 0 tem-se: 1 d° 2 s?+258+5 25—-10+5 ra = yigge US + BY ACS). og = Eg bes = Fazendo r = 2 e k = 1 tem-se: 1d d [s?+2s4+5 \’=—— 5)2X = — |=" 1 Ids (s+ ) (s)],--s ds s+3 L. _ [ (2s + 2)(s +3) — (s? +254 5)1 _ 25-3041 _ | 7 (s + 3)? wes 4 7 Logo 2 1 10 X(s) = ——~ — —— —- —— R > -3 (9) = S37 545 Geoe Be) a(t) = 2e-*u(t) — e u(t) — 10te~*u(t) = [2e~** — e~™ — 10te~”] u(t) Prof. José Juliano de Lima Jr. 4.6 Teorema do Valor Final 63 b. Quando X(s) é uma função racional imprópria, isto é, m ≥ n Se m ≥ n, por várias divisões podemos escrever X(s) na forma: X (s) = N (s) D (s) = Q (s) + R (s) D (s) (4.33) onde N(s) é o numerador e D(s) o denominador, os quais são polinômios em s de X(s). O quociente Q(s) é um polinômio em s com grau m−n, o resto R(s) é um polinômio em s com grau estritamente menor de n. A transformada inversa de Laplace do X(s), então pode ser determinada pela trans- formada inversa do Q(s) e de R(s)/D(s), com R(s)/D(s) são funções polinomiais próprias. A transformada inversa de Laplace de Q(s) pode ser calculada usando o par de transformada: dkδ (t) dtk ↔ sk k = 1, 2, 3... (4.34) 4.6 Teorema do Valor Final Relaciona o comportamento de regime estacionário de f(t) ao comportamento de sF(s) nas vizinhanças de s = 0. f(∞) = lim t→∞ f(t) = lim s→0 sF(s) (4.35) O teorema é verdadeiro se a função f(t) e df(t) dt possuir transformada de Laplace e f(t) tender a um valor constante quando t → ∞. A última condição é satisfeita se o denominador de F(s) possuir todas as raízes com parte real negativa. seja X(s) = 7 (s + 4)2 + 49 então Prof. José Juliano de Lima Jr. 64 Transformada de Laplace x(∞) = lim s→0 sX(s) = lim s→0 7s (s + 4)2 + 49 = 0 Logo x(∞) = 0 O que está correto pois a transformada inversa de Laplace de X(s), é: x(t) = e−4t sen 7t com x(∞) = lim t→∞ e−4t sen 7t = 0 Logo x(∞) = 0 As raízes do denominador −4 − 7j e −4 + 7j possuem todas parte real negativa. Uma situação comum no qual o teorema não se aplica é em funções periódicas. Por exemplo. Se x(t) = sen 5t então X(s) = 5 (s2 + 25) As raízes do denominador são s1 = −5j e s2 = 5j, portanto não possui raízes com parte real negativa o que não satisfaz o teorema. x(∞) = lim s→0 sX(s) = lim s→0 5s (s2 + 25) = 0 Prof. José Juliano de Lima Jr. 4.7 Teorema do Valor Inicial 65 Assim o limite existe mas o resultado é incorreto, porque x(t) oscila continuamente e não tende a um valor constante. 4.7 Teorema do Valor Inicial Através da utilização do teorema do valor inicial é possível obter o valor de f(t) em t = 0+ diretamente a partir da transformada de Laplace de f(t). Se f(t) e df(t) dt possuírem transformada de Laplace, se F(s) for a transformada de Laplace de f(t) e se limt→∞ sF(s) existe, então f(0+) = lim t→0+ f(t) = lim s→∞ sF(s) • Se F(s) for uma fração racional própria, isto é, n > m então o teorema apresentará valor finito para x(0+); • Se F(s) for uma fração racional imprópria, isto é, n ≤ m o valor inicial é indefinido e o teorema apresentará valor inválido; Seja X(s) = 7s + 2 s(s + 6) = 1 3 × 1 s + 20 3 × 1 s + 6 fração racional própria. Então x(0+) = lim s→∞ sX(s) = lim s→∞ s(7s + 2) s(s + 6) = 7 logo x(0+) = 7 O que está correto, pois x(t) = 1 3 + 20 3 e−6t é a transformada inversa de X(s). Prof. José Juliano de Lima Jr. 66 Transformada de Laplace Para t = 0*, tem-se 1 20 Ot)==4+5=7 “Oasys logo x(0T) =7 4.8 A funcao do Sistema ou Fungao de Transferéncia 4.8.1 Funcao do Sistema Sabe-se que a saida y(t) de um sistema LTI (Linear Time Invariant) continuo no tempo é igual a convolugao de entrada x(t) com a resposta impulsiva h(t), isto é, t y(t) = x(t) * A(t) -|/ x(r)h(t — r)dr (4.36) 0 Aplicando a propriedade de convolucgao, equacao (4.23), obtém-se: Y(s) = X(s)H(s) (4.37) onde Y(s), X(s) e H(s) sao as transformadas de Laplace de y(t), x(t) e h(t) respectiva- mente. A equacao (4.37) pode ser expressa como: Y(s) H(s) = — 4.38 ()=55 (4.38) A transformada de Laplace H(s) de h(t) é chamada de Fungdo do Sistema ou Fungdao Transferéncia do Sistema. Pela equacao (4.38), a fungao do sistema H(s) pode ser definida como a razao entre transformada de Laplace da saida y(t) e a transformada de Laplace de entrada x(t). A fungao do sistema H(s) caracteriza completamente o sistema, porque a resposta ao impulso h(t) caracteriza completamente o sistema. Prof. José Juliano de Lima Jr. 4.8 A fungao do Sistema ou Fungao de Transferéncia 67 5(t) h(t) x(t) Sistema Linear (LTT) y(t) = x(t) * h(t) y(t) = I) x(7) h(t — 7) dr Laplace | | Laplace 1 H(s) X(s) Sistema Linear (LTT) Y(s)=X(s)H(s) Figura 4.3: Fungao Transferéncia do Sistema. 4.8.2 Caracterizacao de um Sistema LTI Muitas propriedades de um sistema LTI continuo no tempo sao diretamente associadas com as caracteristicas de H(s) nos plano s, em particular com a localizacao de pélos da ROC (relagao entre causa e efeito). Causalidade Para um sistema LTI continuo no tempo, temos: h(t)=0 t<0 (4.39) Como A(t) é um sinal colocado a direita (right-sided), 0 requisito correspondente de H(s) @ que a sua ROC deve ser da forma: Re(s) > Omar (4.40) Isto é, a ROC é a regiao no plano s a direita de todos os pdlos do sistema. Da mesma forma, se 0 sistema é anticausal, entao h(t)=0 t>0 (4.41) e h(t) € um sinal colocado a esquerda. Assim, a ROC de H(s) deve ser de forma: Re(s) < Omin (4.42) Isto é, a ROC é a regiao no plano s a esquerda de todos os polos do sistema. Prof. José Juliano de Lima Jr. 68 Transformada de Laplace Estabilidade Um sistema LTI continuo no tempo é BIBO estavel se e somente se: / In(t)|dt. < 00 (4.43) A exigéncia correspondente sobre H(s) é que a ROC de H(s) contém o eixo jw, isto, S= JW. Sistema Causal e Estavel Se o sistema é causal e estavel, entao todos os pélos de H(s) devem ficar na metade esquerda do plano s; isto é, todos possuem parte real negativa porque a ROC é da forma Re(s) > Omar € desde que o eixo jw esta incluido na ROC, nos devemos ter Omax < 0. 4.8.3 Funcao do Sistema para um Sistema LTI Descrito por Equacoes Diferenciais Lineares de Coeficiente Constantes Considera-se um sistema LTI continuo no tempo para o qual a entrada x(t) e a saida y(t) satisfazem a equacgao diferencial linear de coeficientes constantes na forma: N M d* y(t) d* x (t) k=0 k=0 Aplicando a transformada de Laplace e usando a propriedade de diferenciagao com condic6es iniciais nulas, equacao (4.16), da transformada de Laplace, obtemos: N M S- ans" Y (s) = S- by s* X(s) k=0 k=0 ou N M Y(s) S- a, s* = X(s) S- by s* (4.45) k=0 k=0 Assim Prof. José Juliano de Lima Jr. 4.8 A fungao do Sistema ou Fungao de Transferéncia 69 ~ k by s _¥(s) | eo H(s) = == = —— (4.46) X(s) ON So az s* k=0 Conseqiientemente H(s) é sempre racional. A ROC de H(s) nao foi especificada pela equagao (4.46) mas deve ser determinada com exigéncias adicionais sobre o sistema como a causalidade ou estabilidade. Por exemplo: Encontre a solugao x(t) da equacao diferencial &(t) + 3a(t) + 22(t) = 0, 2x(0) =a,2(t) =b onde a e b sao constantes. Aplicando a Transformada de Laplace em cada termo da equacao diferencial, tem-se: L{ua(t)} = sX(s) — x(0) L{x(t)} = s? — sx(0) — «(0) Entao a Transformada de Laplace da equacao diferencial, é: [s°X(s) — sa(0) — £(0)] + 3[sX(s) — 2(0)] + 2X(s) =0 Substituindo as condicoes iniciais dadas, vem: [s’X(s) — as — b] + 3[sX(s) — a] + 2X(s) =0 ou (s* + 3s + 2) X(s) =as+b+ 3a Resolvendo esta tltima equacao para X(s), tem-se: Prof. José Juliano de Lima Jr. 70 Transformada de Laplace X(s) as +b+ 3a as + b+ 3a 2a+b at+b $s) = __ _ | COCroOmn————- Esa Te s?+3s+2 (s+1)(s+2) s4+1 542 A transformada inversa de Laplace de X(s) é: 2a+b a+b th= LUX = Gf'e hE pt fe = (2a + b)e* — (a+ bje™ Entao a solugao é: a(t) = (2a+ b)e'—(a+bje* t>0 a(t) = [(2a + b)e* — (a+ be} u(t) 4.8.4 Interconexoes entre Sistemas Para dois sistemas LTI, com h(t) e ho(t), respectivamente, em cascata, a resposta ao impulso global h(t) é dada por: Assim as funcoes do sistema correspondentes sao relacionadas pelo produto: H(s) = H,(s) A2(s) (4.47) De forma similar, a resposta ao impulso da combinacao em paralelo de dois sistemas LTI é dada por: h(t) = hi(t) + halt) Prof. José Juliano de Lima Jr. 4.8 A função do Sistema ou Função de Transferência 71 Figura 4.4: Sistema em Série no Domínio de t e no Domínio de s. Assim, H(s) = H1(s) + H2(s) (4.48) Figura 4.5: Sistema em Paralelo no Domínio de t e no Domínio de s. Prof. José Juliano de Lima Jr. 72 Transformada de Laplace Prof. José Juliano de Lima Jr. Capítulo 5 Análise Dinâmica de Processos 5.1 Introdução Com o objetivo de estudar o comportamento da dinâmica de um processo, visto que, de maneira geral, as características dinâmicas são mais importantes do que as características estáticas, pois estas últimas apresentam respostas invariantes no tempo, lança-se mão das equações diferencias lineares ordinárias. 5.2 Modelo Matemático Geral A equação diferencial linear com coeficientes constantes é a ferramenta mais utilizada para representar matematicamente os sistemas de engenharia, como por exemplo, os que aparecem na: • teoria da vibração; • teoria dos circuitos elétricos; • teoria de controle automático e outros. É necessário estabelecer a relação entre um determinado sinal de entrada (input) e um sinal de saída (output). A entrada pode ser desejável, modificadora ou indesejável. Adotando algumas hipóteses simplificadoras, pode-se escrever: an dny(t) dtn + an−1 dn−1y(t) dtn−1 + . . . + a1 dy(t) dt + a0y(t) = bm dmu(t) dtm + . . . + b0u(t) yn(0) = yn 0, . . . , ˙y(0) = ˙y0, y(0) = y0 (5.1) Prof. José Juliano de Lima Jr. 74 Análise Dinâmica de Processos sendo: u(t) a quantidade de entrada ou excitação do sistema, y(t) a quantidade de saída ou resposta do sistema, ai e bi são coeficientes invariantes ao longo do tempo e t o tempo. A solução completa para este tipo de equação diferencial ordinária linear é a soma da solução homogênea (complementar, em regime transitório, resposta à excitação nula, resposta natural, resposta transitória ou resposta livre) e a solução particular (em regime permanente ou resposta forçada) e pode ser obtida usando a Transformada de Laplace. y(t) = yh(t) + yp(t) (5.2) com y(t) solução completa, yh(t) solução homogênea e yp(t) solução particular. A solução homogênea tem n constantes arbitrárias determinadas pelas condições ini- ciais. Já a solução particular depende da função forçante e não depende das condições iniciais e não tem constantes arbitrárias. A solução da equação diferencial, solução completa, soluções homogênea mais particu- lar, quando existe excitação ou entrada forçante diferente de zero, independe da solução homogênea. Se não vejamos. Seja por exemplo a equação de primeira ordem com a1 = 2, a0 = 6, b0 = 1 e u(t) = 1 a1 ˙y(t) + a0y(t) = b0u(t) → 2 ˙y(t) + 6y(t) = 1 com condições iniciais y(0) = y0 = 2. A solução homogênea é yh(t) = Ce− a0 a1 t = Ce−3t y(0) = 2 = C → C = 2 yh(t) = 2e−3t Já a solução particular, é yp(t) = 1 6 − 1 6e−3t que em regime vale y∞ = 1/6. A solução completa y(t) é obtida fazendo Prof. José Juliano de Lima Jr. 5.2 Modelo Matemático Geral 75 y(t) = yh(t) + yp(t) = Ce−3t + 1 6 − 1 6e−3t Para t = 0 0 = C + 1 6 − 1 6 → C = 2 Então y(t) = 1 6 + 11 6 e−3t Fazendo t = 0 na solução completa tem-se y∞ = 1/6 que é igual a solução particular em regime permanente. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Resposta de um Sistema de 1a ordem Homogênea Particular Completa Figura 5.1: Sistema de 1a Ordem. O gráfico da figura (5.1) apresenta 3 curvas. A primeira é a solução completa do sistema de 1a ordem, em vermelho, a segunda é a solução homogênea, em azul, que a medida que o valor do tempo cresce a solução caminha para zero, solução transitória. A terceira curva, em verde, é a solução em particular, que em regime permanente se iguala a solução completa. O gráfico mostra que a solução particular, em regime permanente, independe das condições iniciais, isto é, da solução homogênea. Observa-se também que na curva da solução particular, curva verde, existe um transitório, até a curva se estabilizar. Este transitório deve ser desconsiderado pois não é verdadeiro sendo obtido com as condições iniciais nula. Prof. José Juliano de Lima Jr. 76 AnAdlise Dinaémica de Processos Para simplificar a escrita ¢ conveniente definir o operador diferencial, como sendo: d D=— 5.3 Logo a equagao ( 5.1 ) pode ser escrita na seguinte forma: (a,D" + Qn1D"* +... +.a,D + a) y(t) = (bm D™ +... + ,D + bo) u(t) (5.4) Quando o sistema possui uma entrada diferente de zero, ou seja, existe uma excitacao externa, 6 comum considerar as condicoes iniciais nulas, e nesse caso a resposta forcada é também chamada de resposta de estado nulo. Para encontrar a solugao homogénea deve-se resolver a equagao homogénea: (a,D" + nD" 1 +...+a,D+ ao) y(t) =0 (5.5) Tomando-se a liberdade matematica de considerar 0 operador D como uma varidvel livre, deve-se encontrar as raizes do polindémio: A,D" + dn D™ 1} +...+a,D +a) =0 (5.6) Este polinémio é chamado de polinédmio caracteristico do sistema ou equacao caracte- ristica, e suas raizes sao também chamada de podlos ou autovalores do sistema. A equacao caracteristica ¢ portanto uma equacao basica que descreve 0 comportamento do sistema. A solucgdo da equagao homogénea, eq.equacao (5.5), é da forma: yp (t) = Ce™ (5.7) com: C’ e X sao constantes. Substituindo a solucao equacao (5.7) na equacaéo (5.6) pode-se determinar as n raizes \’s e escrever a solugao homogénea: yn (t) = Cre + Coe! +... + C,e2”" (5.8) Dependendo dos valores das raizes A, tem-se: Prof. José Juliano de Lima Jr. 5.2 Modelo Matematico Geral 77 a. raizes reais e distintas A solucgao tem a forma: yn(t) = Cre! + Coe? +... +.C,,00"" (5.9) Por exemplo se as raizes sao —1,2; 3,4; —0,4 e 0, entao a resposta é y,(t) = Cie 1 + Cre? + Cze7 0-4 + C4. b. raizes reais repetidas Para cada raiz k que aparece r vezes, a parcela correspondente da solucao é escrita como: (C) + Cot + Ct? +... + C,t7") (5.10) Por exemplo se as raizes sao —1; —1; 4; 4 e 10 entao a solucao é yp (t) = (Cy + Cot) e+ (C3 + Cyt) ett + Cre, c. raizes complexas distintas Cada raiz complexa tem a sua conjugada; Para a + ib a parcela correspondente da solugao é: Ce“ sen(bt + o) (5.11) sendo: 4b o=tel- (5.12) a com C' e @ constantes arbitrarias. Por exemplo se as raizes sto 4+57; —4+7i, 5 e 4 a solucao é yp_(t) = Cle“ sen(5t+ $1) + Coe“ sen(7t + 2) + C3e% + Cre. d. raizes complexas repetidas Para cada raiz (a + ib) que aparece r vezes, tem-se a parcela da solucao: Prof. José Juliano de Lima Jr. 78 Análise Dinâmica de Processos C1eat sen(bt + φ1) + C2eatt sen(bt + φ2) + . . . +Cr−1eattr−2 sen(bt + φr−1) + Creattr−1 sen(bt + φr) (5.13) Por exemplo se as raízes são −1 ± 4i; −1 ± 4i; −9 e 0 a solução é: yh(t) = C1e−t sen(4t + φ1) + C2e−tt sen(4t + φ2) + C3e−9t + C4 A solução particular não tem um método que resolva todos os casos. Essa solução depende da forma da função de entrada u(t) ou função forçante. Se u(t) for restrito às funções normais de engenharia, a solução particular yp(t) pode ser obtida por um método relativamente simples: o Método dos Coeficientes Indeterminados. Esse método não funciona para todos os casos, e então, é preciso testar se a função u(t) é passível de solução. Existem três possibilidades: a. após uma determinada ordem de derivação, as derivadas superiores se anulam; b. após uma determinada ordem de derivação, as derivadas superior têm a mesma forma funcional das derivadas inferiores; c. após repetidas derivações continuam aparecer novas formas funcionais. O método dos coeficientes indeterminados não funciona para o terceiro caso. Se o método é aplicável a solução yp(t) é imediatamente escrita como: yp(t) = Af(t) + Bf ′(t) + Cf ′′(t) + . . . (5.14) sendo que o lado direito inclui um termo para cada forma funcional diferente verificada em todas as derivadas de f(t). Substituindo a equação (5.14) na equação (5.4) tem-se um sistema de equações simul- tâneas em número igual ao número de incógnitas A, B, C, etc. 5.2.1 Solução de um sistema de 2a Ordem com excita- ção harmônica Seja a equação diferencial: Prof. José Juliano de Lima Jr. 5.2 Modelo MatemAatico Geral 79 @y(t) dy(t) —_ —— t) = bou(t (2a tT Ue + agy(t) = bou(t) Se u(t) for uma funcao forgante harmonica do tipo: u(t) = cos Wat, bo = Fo A solucao segundo a equagao (5.14) é do tipo: y,(t) = Acoswa,t + B senwa,t A equacao diferencial que descreve 0 comportamento de um sistema massa, mola e amortecedor com excitacao harmonica é: dy(t) | _dy(t) m——— + c— + ky(t) = Fo cos wat di? at RUC) = Focoswa Dividindo essa equacao diferencial por m, tem-se: G+ 2Wuny + wry = fo COS wart com: Wy, = V/k/m, ¢ =c/(2mw,) e fo = Fo/m. Tomando as derivadas primeira e segunda de y,(t), tem-se: y(t) = —WarA sen Wert + WarB cos wart y(t) = —w%,(Acoswat + B sen wart) Substituindo y,(t), Yp(t) e ¥»(t) na equacao diferencial de movimento, tem-se: (—wi,A + 2CWyWerB + wA — fo) COS Wart + (—wi,.B = WWW A + w* B) sen Wart = 0 Como sen wg,t e cos Wg,t sao diferentes de zero, entao seus coeficientes devem ser iguais a Zero. Logo Prof. José Juliano de Lima Jr. 80 Andlise Dinaémica de Processos (—2€w,war) A+ (w2 -wi.)B =0 , Resolvendo esse sistema de equagoes encontra-se: A= (ws 7 Wap) fo (2 — wi,)° + (26wnbwar)” _ (2¢wpWwar) fo B= 7 > 9 \2, fpr... \2 (wy — 3.) + (2¢wnwar) Fazendo r = wg,/Wn, Ap = V A2 + B2 e 6 = tg 1 B/A, escreve-se: Yp(t) = Ao cos (Wart — @) com: oe w2 /(1—1?)* + (2¢r)” 2¢r — tot! 9=t8 Tp 5.2.2 Solucao de um sistema de la ordem com excitacao Delta de Dirac Seja a equacao diferencial dy(t 0) + aoy(t) = bou(t) t y(0) = yo (5.16) Se u(t) for uma entrada do tipo Prof. José Juliano de Lima Jr. 5.2 Modelo Matematico Geral 81 u(t) = d(t) A solugao da equagao colocada na forma dy(t AHO. Pey(a) = QW) segundo Kreyszig (1993), é: pitunlt) = f p(Qaae +c com p(t) _ es Pat chamado de fator integrante. Assim para a equacao (5.16) vem: ag bo P(th=— e Q(t) = —d(t) ay ay e o fator integrante vale p(t) = ef ay at = ear entao 20 + 20 +4 bo e1 y(t) = | ex G, Olbdt + © 1 A integral de uma fungao f(t) multiplicada por 6(t), é: J teosmat= 10 assim Prof. José Juliano de Lima Jr. 82 Andlise Dinaémica de Processos a ao b b a b ag x0 b ey (t) = / en 5(t)dt +C = 2 / en 5(t)dt+C=2eu = ay ay ay ay Entao a solucao permanente neste caso particular nao existe pois a resposta y(t) tende a zero quando t tendo ao oo, entao: bo — 204 t = ay, Assim para um impulso unitario bp = 1, tem-se: 1 — 204 t)=—e 4 5.2.3 Solucao de um sistema de 1a ordem com excitacao Degrau Seja a equacao diferencial dy(t AD + agy(t) = boult t y(0) = Yo (5.17) Se u(t) for uma entrada do tipo degrau u(t) =1 A solucao da equacao colocada na forma dy (t a9 + Peyylt) = OW segundo Kreyszig (1993), é: Prof. José Juliano de Lima Jr. 5.2 Modelo Matematico Geral 83 pitunlt) = f p(Qaae +c com p(t) _ es Pat chamado de fator integrante. Assim para a equacao (5.17) vem: b PW)= ¢ QW== ay ay e o fator integrante vale p(t) = of apt = eart entao 204 204 bo ea y(t) = | es —dt+C ay assim 20 4 bo 204 ea y(t) = 7 fe dt+C ay a, b a en'y,(t) = ey Betti a = ag b a y(t) =— + Cea! ao O valor de C pode ser encontrado fazendo-se t = 0 que implica em y(0) = yo. b yo=—+C ag b C= yo — — ao Prof. José Juliano de Lima Jr. 84 Andlise Dinaémica de Processos Substituindo-se o valor de C’, tem-se: bo bo 20 + t = —- —_— ay, ult) = + (w — Phe bo 20 4 20 4 y(t) = (1 ec") + pert ao Assim para um degrau unitario bg = 1, tem-se: 1 204 20 4 y(t) = — (1-8) + yes ao A resposta com condicoes inicial nula ¢ obtida fazendo-se yo = 0. 1 20 4 t)=—{l-e ) y(t) i ( e 5.2.4 Solucao de um sistema de 2a ordem com excitacao Delta de Dirac Seja a equacao diferencial azy(t) + ary(t) + aoy(t) = bod(t) y(0) = yo, (0) = Yo Dividindo a equacao por a2, vem: i(t) + Ay(t) + y(t) = oe) y ay” ay” — a2 fazendo | ~ ow, MO ky? K-20, bo _ Pod _ I2 ag ag ao a2 ag a2 Prof. José Juliano de Lima Jr. 5.2 Modelo Matematico Geral 85 vem Ut) + Wuny(t) + wry(t) = Kw d(t) Segundo Kreyszig (1993) a solugao particular dessa equacao colocada na forma g(t) + p(t)y(t) + a(t)y(t) = r(t) (5.18) é yo(t)r(t) / yi(t)r(t) t) = —y(t dt t ——__——~ dt o.1 w(t) =—nit) | POP ae se vais) | AOE (5.19) sendo W o Wronskiano y(t) yet) . . We=!, ; = yi(t)ya(t) — yi(t)y2(t) n(t) Y(t) com y;(t) e yo(t) solugdes da equacgao homogénea, isto ¢, com r(t) = 0. Observando a equacao (5.18) conclui-se: P(t) = 2Cun, g(t) =wr, r(t) = Kw d(t) A equacgao homogénea H(t) + WCuny(t) + way(t) = 0 tem a solugao do tipo yn(t) = Ce™ com A1,2 = —CWn + Wy, V ¢? —1 Prof. José Juliano de Lima Jr. 86 Andlise Dinaémica de Processos as raizes da equagao caracteristica. Chamando a = Con, bD=unVC-1 => Ag=—-atb p/¢o>l (5.20) a = Cun, b=junVl1—-C? = Ag=—-a+tb p/0O<¢<1 Assim a solucao da equacao homogénea, é: yn (t) _ Cie 4 Coe arb) Agora temos que YI (t) _ Cre e yo(t) _ Coe at oyt Diferenciando y(t) = Cy(—a — bye! ee yo (t) = Co(—a + bye 0! Na sequéncia podemos determinar o valor do Wronskiano W. W = yilt)yo(t) — y1(t)ye(t) = Cyc 'Cy(—a + bye)" — Cy (—a — bye Ege Ot = (—a + b)C\Cxe 7" _ (—a _ b)C Cre 2" W = 2bC, Che 2" Assim a solugao y,(t), equagao (5.19), fica: Coe 2+) Kw?5(t) Cre)" Kw? 5(t) t — _C coo f n dt C. Coon f n dt y(t) ve 2bC1 Cre Fe 2bC{ Cre~ Kw? Kw? _— eo [ccommeno(nyat + am caste Feo bt eats eat A integral de uma fungao f(t) multiplicada por 6(t), é: Prof. José Juliano de Lima Jr. 5.2 Modelo Matematico Geral 87 J teosmat= 10 assim Kw? Kur t) = ——rel-e-b)t 4 tn Q(-atb)t Kw at —bt , bt = “op © (—e +e ) Finalmente Kur _, (e&-—e% yp(t) = ee ™ (— ) (5.21) Considerando na equagao (5.21), um sistema superamortecido ¢ > 1 e substituindo os valores de a e b definidos na equagao (5.20), vem. Kw2 elt _ et p(t) = — ===“ (——) Wnr/C2 — 1 2 Kwn — tn at sen bt Ve=T Fazendo K = 1, entao y(t) = yea senh (nV — 1) t (5.22) Considerando na equagaéo (5.21), um sistema criticamente amortecido ¢ = 1 e subs- tituindo os valores de a e b definidos na equacao (5.20), existe uma indeterminagéo pois b=0. Para levantar a indeterminagao vamos aplicar a regra de L’ Hospital. Prof. José Juliano de Lima Jr. 88 Andlise Dinaémica de Processos Kur _, (e&-—e% y(t) = =PBemw (——) K 2 K 2 _ 7 erat edt a erat et bt —bt = Kune" — Kune de® deW"* _ 2,,—at_db 2 -—at db = Kure 5b _ Kwre “5d db db Assim 2 at t 2 .—at at 24,,—at yp(t) = Kwre 37 Kwie >= Kw-te Finalmente para kK = 1,vem: 29 Considerando na equacao (5.21), um sistema subamortecido 0 < ¢ < 1 e substituindo os valores de a e 6 definidos na equacao (5.20), vem. ; Kw? ' ciwny/1—Ct _ e Jun 1-Ct Yy t = —_—__" _»~4 —_—SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS ° jumnV1 =? 2 Kup Coop eiuny/1—-Ct _ e Jun 1—C7t ~ VI @ 2) Para K = 1, entao Yp(t) = aoe sen (envi — @) t (5.24) 5.2.5 Solucao de um sistema de 2a ordem com excitacao Degrau Seja a equacao diferencial Prof. José Juliano de Lima Jr. 5.2 Modelo Matematico Geral 89 agy(t) + ary(t) + aoy(t) = bou(t) y(0) = yo, y(0) = Yo Dividindo a equagao por a2, vem: u(t) + g(t) + 2y(t) = Bale y ay” ay” 7 ce) fazendo 2p, OO 8 2 c= bo _ odo _ 2 a2 a2 ao a2 ao a2 vem H(t) + Wong (t) + wry(t) = Kujult) Segundo Kreyszig (1993) a solugao dessa equacao colocada na forma y(t) + pty) + a(t)y(t) = r(t) (5.25) é yo(t)r(t) p= t) = —y(t dt t ——— dt 2 w(t) =—nit) | ae + wie) | AOR (5.26) sendo W o Wronskiano y(t) yo(t) . . We=!, ; = yi(t)ya(t) — yi(t)y2(t) w(t) yo(t) com y1(t) e y2(t) solugdes da equacgao homogénea, isto é, com r(t) = 0. Observando a equacao (5.18) conclui-se: Prof. José Juliano de Lima Jr. 90 AnAdlise Dinaémica de Processos P(t) = 2Cun, g(t) =n, r(t) = Kwzu(t) A equagao homogénea H(t) + Wuny(t) + way(t) = 0 tem a solucao do tipo yn(t) = Ce™ com A1,2 = —CWn + Wy, V ¢? —1 as raizes da equagao caracteristica. Chamando a= Cun, b=un,J/C-1 => AMg=-atbp/¢>1 (5.27) a= Con, b=junV1-C => A2=-atbp/0<¢<1 Assim a solucao da equacao homogénea, é: yn(t) = Cee! + Cyc art Agora temos que y(t) = Cye— 2 e@ -yo(t) = Cye— rt" Diferenciando ia(t) = Ci(—a— bye" go(t) = C2(—a + bet" Prof. José Juliano de Lima Jr. 5.2 Modelo Matematico Geral 91 Na sequéncia podemos determinar o valor do Wronskiano W. W = yilt)yo(t) — y(t) ye(t) _ Cre? "C5 (—a 4 beat _ Ci(—a _ bee Eyelet ht = (—a + b)C,Cye7 _ (—a _ b)C,Cye7 W = 2bC, Coe 2" Assim a solucao y(t), equacao (5.26), fica: Coe 2+)! Kw? u(t) Cre 2) K wu (t) t) = —C coor f n dt +C. cov | n dt u(t) ve 2bC1,Cye724 FO 2bC Cre~2* (t) = Kur 1 1 Ww “op \a—b ath Finalmente Kur yp(t) = Roe (5.28) Considerando na equagao (5.28), um sistema superamortecido ¢ > 1 e substituindo os valores de a e b definidos na equagao (5.27), vem. bo th= kK =— Yp( ) a Para K = 1, entao yp(t) = 1 (5.29) Considerando na equagao (5.28), um sistema criticamente amortecido ¢ = 1 e substi- tuindo os valores de a e b definidos na equacao (5.20), tem-se bo th= kK =— yp(t) ao Finalmente para K = 1,vem: Prof. José Juliano de Lima Jr. 92 Análise Dinâmica de Processos yp(t) = 1 (5.30) Considerando na equação (5.28), um sistema subamortecido 0 < ζ < 1 e substituindo os valores de a e b definidos na equação (5.27), vem. yp(t) = K = b0 a0 Para K = 1, então yp(t) = 1 (5.31) 5.3 Modelagem no Espaço de Estados A tendência atual dos sistemas de engenharia é no sentido de aumentar sua comple- xidade em função, principalmente, da necessidade de realizar tarefas complexas e com requisitos de boa precisão. Sistemas complexos podem ter múltiplas entradas e saídas. A necessidade de satisfazer requisitos cada vez mais rigorosos quando ao desempenho de sistemas de controle e a facilidade de acesso aos computadores desenvolveram a teoria de controle moderno. O estado de um sistema dinâmico é o menor conjunto de varáveis, chamadas de va- riáveis de estado, de modo que o conhecimento destes valores em t = t0, junto com o conhecimento dos valores do sinal de entrada em t ≥ t0, determina completamente o comportamento do sistema em qualquer instante t ≥ t0. As variáveis de estado de um sistema dinâmico são as grandezas cujo conjunto de valores determina o estado do sistema. Nota-se que as variáveis de estado não precisam ser grandezas físicas mensuráveis ou observáveis. Tal liberdade na escolha das variáveis de estado é uma vantagem dos métodos de espaço de estado. Em termos práticos, no entanto, é conveniente escolher grandezas facilmente mensuráveis para as variáveis de estado, se isto for de todo possível, pois as lei de controle ótimo requerem a retroação de todas as varáveis de estado com ponderação adequada. As equações de estado para sistemas lineares invariantes no tempo, são: { ˙z(t)} = [A] {z(t)} + [B] {u(t)} (5.32) {y(t)} = [C] {z(t)} + [D] {u(t)} (5.33) Prof. José Juliano de Lima Jr. 5.3 Modelagem no Espaço de Estados 93 com: [A] é a matriz de estados com dimensão n×n, [B] a matriz de entrada com dimensão n×m, [C] a matriz de saída com dimensão p ×n, [D] a matriz de transmissão direta com dimensão p × m, n número de variáveis de estado, m número de entradas e p número de saídas. Considere o sistema de ordem n descrito pela equação(5.1) transcrito para efeito de clareza: an dny(t) dtn + an−1 dn−1y(t) dtn−1 + . . . + a1 dy(t) dt + a0y(t) = b0u(t) (5.34) Definindo-se as seguintes variáveis de estado: z1(t) = y(t), z2(t) = dy(t) dt , . . . , zn(t) = dn−1y(t) dtn−1 (5.35) e ˙z1(t) = z2(t), ˙z2(t) = z3(t), . . . , ˙zn−1(t) = zn(t), ˙zn(t) = −a0 an z1(t) − . . . − an−1 an zn(t) + b0 an u0(t) + . . . + bn−1 an un−1(t) (5.36) onde: {z(t)} =   z1(t) z2(t) ... zn−1(t) zn(t)   , [A] =   0 1 0 . . . 0 0 0 1 . . . 0 ... ... ... ... ... 0 0 0 . . . 1 − a0 an − a1 an − a2 an . . . −an−1 an   (5.37) e [B] =   0 0 0 . . . 0 0 0 0 . . . 0 ... ... ... ... ... 0 0 0 . . . 0 b0 an b1 an b2 an . . . bn−1 an   , [C] =   1 0 0 . . . 0 0 1 0 . . . 0 0 0 1 . . . 0 ... ... ... ... ... 0 0 0 . . . 1   (5.38) Prof. José Juliano de Lima Jr. 94 Análise Dinâmica de Processos [D] =   0 0 0 . . . 0 0 0 0 . . . 0 0 0 0 . . . 0 ... ... ... ... ... 0 0 0 . . . 0   , {u(t)} =   u0(t) u1(t) u2(t) ... un−1(t)   (5.39) 5.3.1 Correlação entre funções de transferência e equa- ções no espaço de estados Apresenta-se a seguir a relação entre a função de transferência de uma sistema mono- variável a partir das equações no espaço de estados. Considere o sistema cuja função transferência é dada por G(s) = Y (s) U(s) ⇒ Y (s) = G(s)U(s) Em termos matriciais {Y (s)} = [G(s)] {U(s)} (5.40) Um sistema pode ser representado no espaço de estado pelas seguintes equações: { ˙x(t)} = [A(t)] {x(t)} + [B(t)] {u(t)} {y(t)} = [C(t)] {x(t)} + [D(t)] {u(t)} Considerando um sistema linear e invariante no tempo, tem-se: { ˙x(t)} = [A] {x(t)} + [B] {u(t)} {y(t)} = [C] {x(t)} + [D] {u(t)} (5.41) Prof. José Juliano de Lima Jr. 5.3 Modelagem no Espaco de Estados 95 As transformadas de Laplace das equacoées (5.41) sao dadas por s{X(s)}—{eO)} = [A] {X(s)} + [B] {U(s)} {Y(s)} = [C]{X(s)} + [D]{U(s)} (5.42) Considerando as condicoes iniciais nulas s{X(s)} — [A] {X(s)} = [B] {U(s)} (sl7] —[A]) {X(s)} = [B]{U(s)} Pré-multiplicando ambos os membros da equacao por (s[I] — [A])~*, obtém-se: {X(s)} = (s] — [A])* [B] {U(s)} Substituindo esse resultado na equacao (5.42) resulta {Y(s)} = [[C] (s[Z] — [A]) * [B] + [D]] {U(s)} Observando-se o valor de {Y(s)} na equagao (5.40), entao [G(s)] = [C] (s[Z] — [A]) * [B] + [D] (5.43) Exemplo Exemplo 5.1 Seja o sistema dindmico representado pela equagao diferencial miy(t) + cy(t) + ky(t) = u(t) Passando para a representagao de espago de estado fazendo x(t) = y(t) e xo(t) = y(t), tem-se: ol Les -al [oe * ft) Prof. José Juliano de Lima Jr. 96 Andlise Dinaémica de Processos A equacao de satda é escrita como x(t) y= [1 0) [2 | + owe) a(t) Assim 0 1 0 [A] = we A . [B]= Hq , (C)=|1 0], [D)=0 Substituindo [A], |B], |C] e |D] na equagao (5.43), tem-se: s 0 0 1 _, | 0 conf fff S]-[%. L]y |) +0 ou S —1 0 G(s) = [1 0] { ha “ cs eal como -1 s —1 _ 1 s+< 1 + s+ — tt Ss 4k —+ 8 Assim 1 s++ 1] ]0 G(s) = [1 0] =—— |r IG(s)] s+fspF Py i | finalmente 1 G(s) = —————_ (s) s?4+ts4+F que € a fungao transferéncia do sistema. Prof. José Juliano de Lima Jr. 5.4 Sistemas de Ordem Zero 97 5.4 Sistemas de Ordem Zero Quando todos os coeficientes ak e bk são nulos exceto a0 e b0, a equação (5.1) torna-se: a0y(t) = b0u(t) (5.44) Qualquer sistema ou instrumento que obedeça a equação (5.44) em sua faixa de ope- ração é definido como sistema de ordem zero. Se y(t) = b0 a0 u(t) = Ku(t) (5.45) com K é chamado de sensibilidade estática ou ganho de regime permanente. Quando u(t) varia no tempo a saída y(t) segue perfeitamente a entrada sem nenhuma distorção e sem qualquer atraso, de forma que esse sistema representa o comportamento dinâmico perfeito. Em seguida são apresentados alguns sistemas que podem ser modelados como sistemas de ordem zero. 5.4.1 Transmissão Cora-Cremalheira Neste modelo não considera-se o momento de inércia de massa J (kg.m2) da cora. Figura 5.2: Sistema Mecânico: Transmissão Cora-Cremalheira (Dorf & Bishop, 2011, p. 79). 5.4.2 Redutor de Engrenagens Prof. José Juliano de Lima Jr. 98 Análise Dinâmica de Processos Figura 5.3: Sistema Mecânico: Redutor (Dorf & Bishop, 2011, p. 789). Neste modelo não considera-se o momento de inércia de massa J (kg.m2) da cora e do pinhão. 5.4.3 Potenciômetro Potenciômetro para controle da tensão de saída. Figura 5.4: Sistema Elétrico: Potenciômetro (Dorf & Bishop, 2011, p. 78). 5.4.4 Ponte Potenciômetro trabalhando como uma ponte de Windstone para determinação do erro entre dois sinais de tensão. Figura 5.5: Sistema Elétrico: Potenciômetro-erro (Dorf & Bishop, 2011, p. 78). Prof. José Juliano de Lima Jr. 5.5 Sistemas de Primeira Ordem 99 5.4.5 Tacômetro Transforma a rotação do eixo medido em θ(t) em tensão na saída em v(t). Figura 5.6: Sistema Mecânico-Elétrico: Tacômetro (Dorf & Bishop, 2011, p. 78). 5.5 Sistemas de Primeira Ordem Quando todos os coeficientes ak e bk na equação (5.1) são nulos exceto a0, a1 e b0 a derivada de maior ordem é a primeira e então: a1 dy(t) dt + a0y(t) = b0u(t) (5.46) define um sistema de primeira ordem com resposta y(t) e uma excitação u(t). Dividindo a equação (5.46) por a0, obtém-se: a1 a0 dy(t) dt + y(t) = b0 a0 u(t) (5.47) ou τ dy(t) dt + y(t) = Ku(t) (5.48) 5.5.1 Exemplo de sistemas de primeira ordem Prof. José Juliano de Lima Jr. 100 Análise Dinâmica de Processos Figura 5.7: Nível de Líquido. 5.5.2 Nível de líquido RC dh(t) dt + h(t) = Rqi(t) (5.49) ou RC dq0(t) dt + q0(t) = qi(t) (5.50) com: RC é a constante de tempo τ do sistema. Aplicando a transformada de Laplace a ambos os membros das equações (5.49) e (5.50), supondo condições iniciais nula, obtém-se as funções transferências para o sistema de nível de líquido. H(s) Qi(s) = R RCs + 1 (5.51) Q0(s) Qi(s) = 1 RCs + 1 (5.52) com: H(s) = L [h(t)], Qi(s) = L [qi(t)] e Q0(s) = L [q0(t)] 5.5.3 Sistemas térmicos No sistema térmico representado pela figura (5.8) tem-se as seguintes variáveis: Θ : temperatura em regime permanente do líquido, ◦C; Prof. José Juliano de Lima Jr. 5.5 Sistemas de Primeira Ordem 101 Figura 5.8: Sistema de Aquecimento. θi : pequena variação na temperatura do líquido na entrada, ◦C; θ0 : pequena variação na temperatura de saída, ◦C; ˙m : vazão mássica de regime permanente, kg/s; m : massa do líquido no reservatório, kg; c : calor específico do líquido, kcal/kg ◦C; R : resistência térmica que é definida pela relação entre a variação na diferença de tem- peratura e a variação na taxa de fluxo de calor, ◦C s/kcal; C : capacitância térmica que é a relação entre a variação no calor armazenado e a variação na temperatura, kcal/◦C; Q : taxa de fluxo de calor de entrada em regime, kcal/s; qi : pequena variação na taxa de fluxo de calor de entrada em regime, kcal/s. A equação diferencial para este sistema para um valor constante de R é a seguinte: RC dθ0 dt + θ0 = Rqi (5.53) com: RC = m/ ˙m é a constante de tempo τ do sistema. Aplicando a transformada de Laplace a ambos os membros da equação (5.53), supondo condições iniciais nula, obtém-se: Θ0(s) Qi(s) = R RCs + 1 (5.54) com: Θ0(s) = L [θ0(t)] e Qi(s) = L [qi(t)] Prof. José Juliano de Lima Jr. 102 Análise Dinâmica de Processos 5.5.4 Circuito Integrador Figura 5.9: Sistema Elétrico: Integrador (Dorf & Bishop, 2011, p. 768). 5.5.5 Circuito Derivador Figura 5.10: Sistema Elétrico: Diferenciador (Dorf & Bishop, 2011, p. 768). Escrevendo a equação (5.48) com auxílio do operador D, equação (5.3), encontra-se: (τD + 1)y(t) = Ku(t) (5.55) cuja equação característica é: τD + 1 = 0 (5.56) A raiz da equação característica (5.56) é: λ1 = −1 τ (5.57) Prof. José Juliano de Lima Jr. 5.5 Sistemas de Primeira Ordem 103 então, segundo a equação (5.9), a solução complementar ou homogênea é: yh(t) = C1eλ1t yh(t) = C1e−t/τ (5.58) Para t = 0 ⇒ C1 = y(0) = y0, então yh(t) = y0e−t/τ (5.59) com: y0 é a condição inicial. 5.5.6 Outras Formas de Representar o Sistema Função transferência Passando a transformada de Laplace em ambos os membros da equação (5.48) e consi- derando condições iniciais nulas, tem-se a função transferência de um sistema de primeira ordem. Y (s) U(s) = b0 a1s + a0 (5.60) Y (s) U(s) = K τs + 1 (5.61) com: τ = a1/a0 o tempo de resposta ou constante de tempo do sistema e K = b0/a0 a sensibilidade estática ou ganho estático. Espaço de estados Colocando o sistema de primeira ordem na representação de espaço de estados, pode-se escrever: ˙x = ax + bu (5.62) y = cx + du (5.63) com: a, b e c são escalares. Prof. José Juliano de Lima Jr. 104 Análise Dinâmica de Processos Tomando a equação (5.48) e fazendo x(t) = y(t), tem-se: τ ˙x + x = Ku ˙x = −1 τ x + K τ u (5.64) y = x (5.65) onde: a = 1/τ, b = K/τ, c = 1 e d = 0. Outra forma equivalente de escrever, é: a1 ˙x + a0x = b0u ˙x = −a0 a1 x + b0 a1 u (5.66) y = x (5.67) Diagramas de blocos Figura 5.11: Sistema de 1a Ordem. Outra forma de representar um sistema é através de diagrama de blocos, conforme apresentado na figura (5.11), o qual é composto por integradores, somadores e ganhos. Para a sua construção é necessário isolar o diferencial de mais alta ordem da equação de comportamento do sistema, neste caso, primeira ordem, que sai de um somador e entra em um integrador até se obter o sinal de saída y(t) do sistema. A função transferência, conforme a figura (5.12), é obtida passando-se a transformada de Laplace em ambos os membros da equação diferencial do sistema. No caso da figura (5.12), considerou-se condições iniciais nulas. Finalmente a figura (5.13) representa o diagrama de blocos do modelo em estados de espaço. Prof. José Juliano de Lima Jr. 5.5 Sistemas de Primeira Ordem 105 Figura 5.12: Função Transferência. Figura 5.13: Modelo de Estados. 5.5.7 Constante de Tempo Seja o sistema de primeira ordem representado por sua função transferência conforme equação (5.68): Y (s) U(s) = 1 τs + 1 (5.68) Quando aplica-se uma excitação ou entrada do tipo degrau unitário, na equação (5.68), sendo u(t) = 1, cuja transformada de Laplale é igual a L [u(t)] = U(s) = 1/s, obtém-se: Y (s) = 1 τs + 1 1 s (5.69) Y (s) é expandido em frações parciais próprias com numerador igual a C1 e C2, que são determinados aplicando-se a equação (4.30) para frações racionais próprias com pólos simples. Prof. José Juliano de Lima Jr. 106 Análise Dinâmica de Processos Y (s) = C1 s + C2 τs + 1 (5.70) C1 = 1 (τs + 1)s s |s=0 = 1 (5.71) C2 = 1 (τs + 1)s (τs + 1) |s=− 1 τ = −τ (5.72) Y (s) = 1 s + −τ (τs + 1) (5.73) Y (s) = 1 s − 1 s + (1/τ) (5.74) Tomando a transformada inversa de Laplace da equação (5.74), obtém-se: y(t) = 1 − e−t/τ , t ≥ 0 (5.75) A equação (5.75) estabelece que inicialmente, a saída y(t) é nula e finalmente torna-se unitária. Uma das características importantes desta curva de resposta exponencial y(t) é que no instante t = τ o valor de y(t) é 0,632, ou seja, o valor y(t) alcançou 63,2 % da condição de regime permanente. Nota-se que, quanto menor for a constante de tempo τ, mais rápida será a resposta do sistema. Figura 5.14: Curva de Resposta com Excitação Degrau Unitário - Constante de Tempo. Prof. José Juliano de Lima Jr. 5.6 Sistemas de Segunda Ordem 107 5.6 Sistemas de Segunda Ordem Quando todos os coeficientes a, e b,, na equacao (5.1), sao nulos exceto ag, a1, do € para efeito de simplificagao sem perda da generalidade bo, a derivada de mais alta ordem é a segunda, entao: d?y(t dy(t coe tan age + aol) = bon (5.76) define um sistema de segunda ordem com resposta y(t) e excitagao u(t). Dividindo ambos os membros da equagao (5.76) por ao, obtém-se: az d*y(t) a, dy(t) bo wae wie t) = —u(t 5.77 ao dt? a dt + y( ) ao ) ( ) Fazendo-se: 2 _ 40 — “0 5.78 wae (5.78) ay — ——__ 5.79 6 2,/apa9 ( ) b kK=— (5.80) ao com: Ww, é¢ a frequéncia angular natural nao amortecida do sistema, ¢ o fator de amorte- cimento e K a sensibilidade estatica. Substituindo essas constantes na equacao (5.77), tem-se; 1 dy(t) | 2¢ dy(t) => 4H SS t) = Ku(t 5.81 Boe tg TU = Kull (5.81) Escrevendo a equacaéo (5.81) com auxilio do operador D, equacao (5.3), encontra-se: 1, 2¢ (=? + DP + 1) = Ku(t) (5.82) cuja equacao caracteristica é: D? + 2wn,D +w? =0 (5.83) Prof. José Juliano de Lima Jr. 108 AnAdlise Dinaémica de Processos As raizes da equagao caracteristica (5.83) sao: A1,2 = — CW + Wn VW ¢ — 1 (5.84) O comportamento dinamico dos sistemas de segunda ordem pode ser descrito em funcao dos parametros ¢ e wy. Se 0 < ¢ < 1 0 sistema é dito subamortecido, e a resposta transitoria é@ oscilatoria. Se ¢ = 1, o sistema é dito criticamente amortecido. Sistemas superamortecidos correspondem a ¢ > 1. A resposta transitoria de sistemas criticamente amortecidos e superamortecidos nao oscila. Se ¢ = 0, a resposta transitdoria nao decai. e caso superamortecido (¢ > 1) As raizes sao reais e simples: A12 = WC + Wn VW ¢? —1 (5.85) Entao a solugdo da equagéo homogénea (5.83) é: yn(t) = Cre’ + Cre" (5.86) Levando em consideragao as condigoes iniciais (t = 0) pode-se determinar o valor das constantes C, e Cy da equacao (5.86), cujos valores sao: 1 Cy = == (Cwny(0 + wn C2 — 1y(0 + 4(0)) 5.87 —l C. == (Guny(0 — un (2 — 1y(0 + 4(0)) 5.88 Entao a solugao homogénea fica: 1 . —Cwntwn 2 n() = — (Goong (0) + nV Iy(0) +.9(0)) eS QWyr1/ C2 — 1 1 . —Cwn—Wwn 2] = (unu(0) ~ on VE 1y(0) + 9(0)) Hr VEN 89) QWy/ C2 — 1 e caso criticamente amortecido (¢ = 1) Prof. José Juliano de Lima Jr. 5.6 Sistemas de Segunda Ordem 109 As raizes sao reais e repetidas , as quais sao: A1,2 = —-Wy (5.90) Entao a solugao homogénea é escrita como: yn(t) = Cre ent + Cote en" (5.91) Com auxilio das condigoes iniciais (t = 0) pode-se determinar os valores das cons- tantes Cy e Co. Entao: C, = y(0), Cz = wny(0) + 9(0) (5.92) Finalmente a solugao homogénea, equacao (5.91), com auxilio da equacao (5.92) é: yn(t) = y(O)e*"" + (wny(O) + y(O)) teen" (5.93) e caso subamortecido (0 < ¢ < 1) As raizes so conjugadas e complexas, dadas pela equacao (5.94): A12 = — CW, + j Wn VW 1- ¢? (5.94) onde wy é a frequéncia circular natural amortecida. A solugao da equagao homogénea escreve-se como: yn(t) = Ce~S*r' sen (wat +o) = CreS*"" cos (wat) + Coe St sen (wat) (5.95) com: Prof. José Juliano de Lima Jr. 110 AnAdlise Dinaémica de Processos Ci = tg '— 5.96 O= 18S (5.96) As constantes Ce Cy sao determinadas pelas condigées iniciais (t = 0), cujos valores sao: W(O) + y(O) Cw, Cy = WO EMO ony = y(0) (5.97) Wd Substituindo a equagao (5.97) na equagdo (5.95), obtém-se: 1(0 O)Cwn Yyn(t) = (a) eS! sen (wat) + y(O)e $2" cos (wat) (5.98) Wa 5.6.1 Exemplo de Sistema de 2a Ordem Sistema Hidraulico Hydraulic actuator . ¥(s) x vif, Control valve Sa eee i eee | { displacement X(s) s(Ms + B) , _ Ak, A Rem | 9 | K= k B=[6+ k. Pressure we cL ER j sourec ’ dg dg 1 re Reun#-_]| @ i ax ro P aP Py | g = g(x, P) = flow Load vir A = area of piston Figura 5.15: Sistema Hidraulico: Valvula-Pistao (Dorf & Bishop, 2011, p. 79). Acelerémetro Prof. José Juliano de Lima Jr. 5.6 Sistemas de Segunda Ordem 111 Figura 5.16: Sistema Mecânico-Elétrico: Acelerômetro (Dorf & Bishop, 2011, p. 79). Sistemas de controle de guinadada: satélite. Controle de inclinação ou controle do ângulo de guinada θ(t) com dois jatos colocados anti-simetricamente em A e B. J d2θ(t) dt2 = T Se o empuxo de cada jato for F/2 então T = FL. Figura 5.17: Sistemas de controle de guinadada: satélite. Suspensão Automotiva - Movimento de Base Sistema mecânico dinâmico de uma suspensão automotiva com movimento de base. md2xo(t) dt2 + bdxo(t) dt + kxo(t) = bdxi(t) dt + kxi(t) Prof. José Juliano de Lima Jr. 112 Análise Dinâmica de Processos Figura 5.18: Sistemas massa, mola e amortecedor. Servomecanismo Tm d2c(t) dt2 + dc(t) dt + Kmc(t) = Kmr(t) Figura 5.19: Servosistema de posição. 5.6.2 Outras formas de representar o sistema função transferência Passando a Transformada de Laplace em ambos os membros da equação (5.82) e considerando as condições iniciais nulas, tem-se a função transferência de um sistema de segunda ordem, apresentado pela equação (5.99). Y (s) U(s) = ω2K s2 + 2ζωs + ω2 (5.99) Y (s) U(s) = b0 a2s2 + a1s + a0 (5.100) Prof. José Juliano de Lima Jr. 5.6 Sistemas de Segunda Ordem 113 onde o tempo de resposta de um sistema subamortecido de segunda ordem é¢: T = 1/|Re(A)|= 1/(Gw) A fungao transferéncia, em termos de diagrama de blocos, e apresentada conforme a figura (5.20) JH serena aival 24a (alse uit — saida Fungao Transf. entrada Figura 5.20: Funcgao Transferéncia de um Sistema de 2a Ordem. espaco de estados Para representar o sistema de segunda ordem, equacao (5.76), na forma de espaco de estados define-se: x1 = y;%q = y. Entao . . ao ay bo Uy =X, Lo = -——X-— — Xa + —u(t) (5.101) a2 a2 a2 A equacao de estado é escrita como: x 0 1 x 0 oh a u(t) (5.102) v, —ag/ az —a;/az v2 bo /a2 Representando na forma de diagrama de blocos, tem-se: | w= A+B - ut) wth oS State- Space entrada Figura 5.21: Modelo de Estados de Espago de um Sistema de 2a Ordem. diagrama de blocos Outras formas de representar um sistema é através de diagrama de blocos conforme apresentado na figura (5.22). Prof. José Juliano de Lima Jr. 114 Andlise Dinamica de Processos ~ Peg : T “B uct) bOvaz - . ° Integrator Integrator wt) atfaz <a aQvaz Figura 5.22: Diagrama de Blocos de um Sistema de 2a Ordem. 5.6.3 Resposta ao Degrau Unitario Vamos determinar a resposta de um sistema de segunda ordem subamortecido (0 < ¢ <1) a uma entrada degrau unitaério com auxilio da transformada de Laplace. VY 2 Ys) (5.103) U(s) 8? + 2Gwns + w? Quando aplica-se uma excitacao ou entrada do tipo degrau unitario, na equacao(5.103), sendo u(t) = 1, cuja transformada de Laplace é igual a @ |u(t)] = U(s) = 1/s, obtém-se: we Y(s) = ——_—T—_ 5.104 (s) (s2 + 2€w,5 + w?) s ( ) A transformada inversa de Laplace da equacao (5.104) pode ser obtida se Y(s) for escrita da seguinte maneira: ¥(s)- 1 — 8+ 26m (5.105) ss 824+ wns +0? , 1 n n ¥(s)=—_—-—2tS4. _ _ _S#n (5.106) 8 (st Wn) tw (s+ wn)” +02 A transformada inversa de Laplace de: Lo! co = e S*"* coswat (5.107) (s+ Cwn)” + w4 Prof. José Juliano de Lima Jr. 5.6 Sistemas de Segunda Ordem 115 g\|_—_“¢ __| _ e $n sent (5.108) - + wn)? + wi entao a transformada inversa de Laplace da equagaéo (5.104) é obtida como: L"[Y(s)] = y(t) =1-e se" (rosa + ase (5.109) —Cwnt /] _ 72 y(t) =1—- ___sen wat + g32wtee (5.110) VJ/1—C ¢ A figura (5.23) mostra uma familia de curvas y(t) como resposta ao degrau unité- rio para diversos valores de ¢ com a abscissa igual 4 w,t adimensional considerando as condicoes iniciais nulas. 20 : — - L = tl LB =i PaO! Loe os [x ~ he eS Hi OA a | a ee es | oly D0 Wh SSS ss O.8 HH FA i i/ Wis x (hf : y of, o4) U2 o 1 2 8 4 5 6 F 8B 8 [0 TH 13 Figura 5.23: Resposta do Sistema de 2a ordem a excitacao degrau Unitario 5.6.4 Definicao das Especificacoes da Resposta Transi- toria (0 < ¢ < 1) Prof. José Juliano de Lima Jr. 116 Andlise Dinaémica de Processos Em muitos casos praticos, as caracteristicas de desempenho desejada de um sistema de controle sao especificadas em termos de grandezas no dominio do tempo. Com freqiiéncia, as caracteristicas de desempenho de um sistema de controle sao especificadas em termo de resposta transitoria a uma entrada em degrau unitario, com condigoes inicias nulas, ja que se trata de entrada suficientemente brusca e gerada com facilidade. a“) _ Allowable tolerance LE TIN Ste 1 See 0.02 ofp t | 0 i tot f —— |, — = |, i, ——______ + Figura 5.24: Resposta do Sistema de 2a ordem a excitagao degrau Unitario Ne especificacao das caracteristicas das respostas transitoria de um sistema de controle a uma entrada em degrau unitario, €é comum se especificar o seguinte: e Tempo de Atraso - ty: trata-se do tempo requerido para que a resposta alcance metade de seu valor final pela primeira vez. e Tempo de Subida - t,: é 0 tempo requerido para que a resposta passa de 10% a 90%, ou de 5% a 95% ou de 0% a 10% do valor final. Para sistemas subamorte- cidos, o tempo de subida de 0% a 100% é@ o normalmente utilizado. Para sistemas superamortecidos, 0 tempo de subida de 10% a 90% é 0 normalmente utilizado. 1 Wad t, = —tg™' ( —— 5.111 . Wd J (=) ( ) e Tempo de Pico - ¢,: € 0 tempo para que a resposta atinja 0 primeiro pico de sobre-sinal. T tp =— 5.112 p= (5.112) e Maximo sobre-sinal - /,: é 0 valor maximo de pico da curva de resposta, medido a partir da unidade. Se o valor final da resposta em regime permanente diferir da unidade, entao ¢ comum utilizar porcentagem maxima de sobre-sinal, definido por: Prof. José Juliano de Lima Jr. 5.6 Sistemas de Segunda Ordem 117 Mp% = c(tp) − c(∞) c(∞) × 100% (5.113) Para uma excitação degrau unitário, tem-se: Mp = e−(ζ/√ 1−ζ2)π (5.114) • Tempo de Acomodação - ts: é o tempo necessário para que a curva de resposta alcance valores em uma faixa, usualmente de 2 % a 5 %, em torno do valor final. ts2% = 4τ = 4 ζωn (5.115) ts5% = 3τ = 3 ζωn (5.116) A figura (5.25)mostra a representação do pólo no plano s. Figura 5.25: Representação do Pólo no Plano s. A resposta do sistema depende da localização do polo s no plano S, figura (5.26). Se o polo possuir parte real negativa (−σ) o sistema é estável e o polo esta localizado do lado esquerdo do plano S. Se a parte real do polo for positiva (σ) o polo está localizado do lado esquerdo do plano S e o sistema é instável. 5.6.5 Exemplos de sistemas de segunda ordem Prof. José Juliano de Lima Jr. 118 AnAdlise Dinaémica de Processos 4 A | A an? f A A / A Ww | = i a | ee \ A a Mh 1 Ht rE Figura 5.26: Resposta ao impulso para varias raizes - y(t) = Ae” sen(wgt + @). sistema mecanico vibratoério Considera-se 0 sistema mecanico mostrado na figura (5.27). Sup6e-se que o sistema esteja inicialmente em repouso, z(0) = 0 e «(0) = 0, e que no instante t = 0, o sistema é posto em movimento através de um impulso unitario de forga. - * Korg cit | ‘ hpa impulse pon | é ‘ Ouit : on , Figura 5.27: Sistema Massa-Mola com Excitagao Impulso Unitario. Aplicando a 2a Lei de Newton a equacao dinamica de movimento é obtida. mz(t) + ka(t) = d(t) (5.117) com: m massa do sistema em kg; k rigidez do sistema em N/m e 6(t) forga impulso unitario em N. Aplicando-se a transformada de Laplace a ambos os membros da equacao (5.117) resulta em: m |s*X(s) — sx(0) — &(0)] +kX(s) =1 (5.118) Substituindo-se as condigées iniciais e explicitando o valor de X(s), obtém-se: Prof. José Juliano de Lima Jr. 5.6 Sistemas de Segunda Ordem 119 X(s) . (5.119) $s) = —_—_— . ms? +k A transformada de Laplace da equacao (5.119) deve ser colocada na forma: Wn, X(s) — 5.120 ()=a0 3 (5.120) que possui transformada inversa de Laplace tabela, cujo valor é: x(t) = senwyt (5.121) Dividindo-se a equacao (5.119) por m e arranjando o resultado, obtém-se: 1 X(s) = ————_,; (5.122) VB Multiplicando 0 numerador e denominador da equagao (5.122) por VE vem: 1 | ke X(s) = ———_—_*_, (5.123) Vik 2+ ( fe) cuja a transformada de Laplace inversa de X(s) conduz a 1 k; x(t) = —== sen,/— t 9.124 () = sen (5.124) A oscilagao 6 um movimento harmonico simples. A amplitude de oscilagao é 1/Vmk. sistema mecanico torcional A figura (5.28) apresenta de forma esquematica um redutor de velocidades. A equacgao que descreve 0 comportamento do sistema é obtida aplicando-se a 2a. Lei de Newton: Prof. José Juliano de Lima Jr. 120 Análise Dinâmica de Processos Figura 5.28: Redutor de Velocidades. J2 eq¨ω2 + b2 eq ˙ω2 + TL = 1 nTm (5.125) onde: J1 momento de inércia de massa do eixo 1, kgm2; J2 momento de inércia de massa do eixo 2, kgm2; ω1 frequência circular do eixo 1, rad/s; ω2 frequência circular do eixo 2, rad/s; T1 torque no eixo 1, Nm; T2 torque no eixo 2, Nm; Tm torque de entrada aplicado pelo motor elétrico, Nm; TL torque aplicado na carga, Nm; n1 velocidade de rotação do eixo 1, rpm; n1 velocidade de rotação do eixo 2, rpm; J1 eq momento de inércia equivalente no eixo 1, kgm2; J2 eq momento de inércia equivalente no eixo 2, kgm2; b1 eq coeficiente de atrito visco equivalente do tem de engrenagens referenciados ao eixo 1, Nm/s2; b2 eq coeficiente de atrito visco equivalente do tem de engrenagens referenciados ao eixo 2, Nm/s2; Prof. José Juliano de Lima Jr. 5.6 Sistemas de Segunda Ordem 121 Sendo que: n\2 Di eq = (=) bo eq (5.126) nh no\2 byeq = bn + (=) by (5.127) ny nm \2 J eq = (=) J2eq (5.128) nh no\2 Joeq = Jn + (“) J, (5.129) Ny n=— (5.130) n2 5.6.6 Combinacao de dois sistemas de la. Ordem Os sistemas de segunda ordem também aparecem quando dois sistemas de primeira ordem sao unidos em série para formar um sistema maior. Na ligacéo em série a saida de um é a entrada do outro, conforme ilustrado na (??). Para a figura (??) tem-se o seguinte tratamento matematico: Y, 1 — = —— 5.131 U; TS + 1 ( ) Y; 1 a (5.132) Up T)8 + 1 U2 Y- 5.133 ° Tos +1 ( ) Uz=Y, (5.134) Y, Y- 5.135 ° Tas + 1 ( ) U. Y; = ——______ (5.136) (715 + 1)(ms + 1) Y2 1 SS = 5.137 U; (715 + 1)(7s + 1) ( ) Y2 1 = 5.138 Uy 4782+ (%+T)s+1 ( ) que é a forma tipica de um sistema de segunda ordem. Um erro deste procedimento e desprezar a drenagem de poténcia que o segundo sis- tema aplica ao primeiro e que nao foi considerada na fungao de transferéncia original. A fungao transferéncia Y,/U, é diferente quando o segundo sistema é conectado e a fungao Prof. José Juliano de Lima Jr. 122 Análise Dinâmica de Processos transferência global Y2/U1 não é apenas o produto das duas funções. Este efeito é cha- mado efeito de carga ou loading effect que se for pequeno pode ser desprezado mas em outros casos exige a reformulação do problema a partir do esquema já combinado. Por exemplo, vai-se analisar um sistema líquido ligado em série conforme a figura (5.29). A função transferência do reservatório 1 e 2 relacionando a vazão de entrada Q com a altura do reservatório H é segundo a equação (5.51): H1(s) Q(s) = R1 C1R1s + 1 (5.139) H2(s) Q1(s) = R2 C2R2s + 1 (5.140) Como deve-se obter a relação entre a vazão de entrada do reservatório 1, Q, e a altura do reservatório 2, H2, é interessante escrever a função transferência do reservatório 1 em função das vazões de entrada e saída, usando-se a relação equação (5.141): Q1(s) = H1(s) R1 (5.141) onde: Q1 é a vazão de saída do reservatório 1. Logo, tem-se: Q1(s) Q(s) = 1 C1R1s + 1 (5.142) Finalmente a função de transferência dos reservatórios sem interação é: H2(s) Q(s) = R2 C1R1C2R2s2 + (C1R1 + C2R2) + 1 (5.143) Com o sistema de nível de líquido com interação a função de transferência do sistema não é o produto das duas funções de transferência de primeira ordem. Para o sistema com interação da figura (5.29(b)) escreve-se as equações para o reser- vatório 1: Prof. José Juliano de Lima Jr. 5.6 Sistemas de Segunda Ordem 123 (a) Tanque sem Interação. (b) Tanque com Interação. Figura 5.29: Sistemas de 2a. Ordem. Q1 = H1 − H2 R1 (5.144) C1H1s = Q − Q1 ⇒ H1 = Q C1s − Q1 C1s (5.145) Q1 = H1 R1 − H2 R1 ⇒ Q1 = Q C1R1s − Q1 C1R1s − H2 R1 (5.146) Q1 = Q C1R1s + 1 − C1s C1R1s + 1H2 (5.147) Já para o reservatório 2, escreve-se: C2H2s = Q1 − Q2 (5.148) Q2 = H2 R2 (5.149) C2H2s + H2 R2 = Q1 (5.150) C2R2H2s + H2 = R2Q1 (5.151) Substituindo-se o valor de Q1 obtido na equação (5.147) na equação (5.151) obtém-se a função de transferência. H2(s) Q(s) = R2 C1R1C2R2s2 + (C1R1 + C2R2 + C1R2) s + 1 (5.152) ou Prof. José Juliano de Lima Jr. 124 Análise Dinâmica de Processos Qo(s) Qi(s) = 1 C1R1C2R2s2 + (C1R1 + C2R2 + C1R2) s + 1 (5.153) Observe-se a similaridade e a diferença entre a função de transferência dada pela equação (5.143) e aquela dada pela equação (5.152). O termo R2C1 que aparece no denominador da equação (5.152) exemplifica a interação entre os dois reservatórios. Figura 5.30: Resposta da Vazão a uma Excitação Degrau de Reservatórios em Série c/ e s/ Interação. 5.7 Linearização de Modelos Um sistema é não-linear se o princípio da superposição não se aplica a ele. Na en- genharia de controle, uma operação normal do sistema pode ser em torno do ponto de equilíbrio, e os sinais podem ser considerados pequenos sinais em torno do equilíbrio, en- tão é possível aproximar o sistema não-linear por um sistema linear. Esse sistema linear é equivalente ao sistema não-linear considerado dentro de um conjunto limitado de ope- rações. Esse modelo linearizado, modelo linear, invariante no tempo, é muito importante na engenharia de controle. O processo de linearização tem como base o desenvolvimento da função não-linear em uma série de Taylor em torno do ponto de operação e a retenção somente do termo linear. Em virtude de desprezarmos os termos de ordem elevada da expansão da série de Taylor, esses termos desprezados devem ser suficientemente pequenos; isto é, as variáveis devem se desviar apenas ligeramente das condições de operação. Prof. José Juliano de Lima Jr. 5.7 Linearização de Modelos 125 5.7.1 Aproximação linear de modelos matemáticos não- linear - Função de uma Entrada Para obter um modelo matemático linear de um sistema não-linear, admitimos que as variáveis desviem apenas ligeiramente de alguma condição de operação. Considere um sistema em que a entrada é x(t) e a saída é y(t). A relação entre y(t) e x(t) é dada por: y = f(x) (5.154) Se a condição de operação normal corresponde a x, y, então a equação (5.154) pode ser expandida em uma série de Taylor em torno desse ponto. y = f(x) + df(x) dx |x=x (x − x) + 1 2! d2f(x) dx2 |x=x (x − x)2 + . . . (5.155) Se a variação de (x − x) for pequena, podemos desprezar os termos de ordem mais elevada em (x − x), escrevendo-se a equação (5.155), como: y = y + K(x − x) (5.156) com: y = f(x) e K = df(x) dx |x=x A equação (5.156) pode ser reescrita como: y − y = K(x − x) (5.157) A equação (5.157) fornece um modelo matematicamente linear para o sistema não- linear dado pela equação (5.154) próximo do ponto de operação (x − x), (y − y). 5.7.2 Aproximação linear de modelos matemáticos não- linear - Função de duas Entradas Considere o sistema não-linear cuja saída y é uma função de duas entradas x1 e x2, tal que: Prof. José Juliano de Lima Jr. 126 Andlise Dinaémica de Processos y = f(x1, £2) (5.158) Para obter uma aproximacao linear desse sistema nao-linear expande-se a equacao (5.158) em uma série de Taylor em torno do ponto normal de operacgao Z, e Zo. a Of (x1, £2) _ Of (x1, £2) _ y= f (1, %2)+ ee (x1 _ £1) + By laisFiee=F (x2 _ £2) + l O f (a1, ©) _ O f(x, 2) — 2 ee enn (v1 _ 7)? + ag bstieate (x2 ~ Ty)” +... (5.159) Nas proximidades do ponto normal de operagao, os termos de ordem mais elevada podem ser desprezados. O modelo matematico linear desse sistema nao-linear, nas proxi- midades das condigoes normais de operacao, é entao: y-y= Ki(11 —%1) + Ko(x2 — 72) (5.160) com a Of (r1, £2) Of (21, 22) Y= f(%1,%2), iy = ag, lai aFiee=F e Ko = ar a ee 5.7.3. Exemplo de Linearizacao de uma Equacao Nao- Linear Seja linearizar a equacao z= ary (5.161) na regiao 5 <2 <7,10<y< 12. Com a regiao de linearizagao definida seleciona-se ¥ = 6 e Y = 11. Como Z = TY = 66. Expandindo e equagao nao-linear (5.161) em uma série de Taylor proximo do ponto x =7, y = Ye desprezando os termos de ordem mais elevada, temos: Prof. José Juliano de Lima Jr. 5.7 Linearização de Modelos 127 z − z = a(x − x) + b(y − y) (5.162) com a = ∂(xy) ∂x |x=x,y=y= y = 11 (5.163) b = ∂(xy) ∂y |x=x,y=y= x = 66 (5.164) Então a equação linearizada é: z − 66 = 11(x − 6) + 6(y − 11) z = 11x + 6y − 66 (5.165) Quando x = 5 e y = 10, o valor de z dado pela equação linearizada, equação (5.162), é: z = 11 × 5 + 6 × 10 = 49 Já o valor exato é dado pelo equação (5.161). z = 5 × 10 = 50 Assim o erro é de (50 − 49)/50 = 0, 02, que representa um erro de 2%. Prof. José Juliano de Lima Jr. 128 Análise Dinâmica de Processos Prof. José Juliano de Lima Jr. Capitulo 6 Tipos de Excitacoes Neste capitulo estudar-se-a a resposta de sistema de primeira e segunda ordem 4 varios sinais, chamados sinais de testes, a saber: impulso, degrau, rampa, parabola é harmonico. 6.1 Sinais de Testes Os principais sinais de teste sao aqui apresentados. 6.1.1 Impulso Unitario A t=0 Ad(t) = & U(s)=A 0 t4#0 6.1.2 Degrau A t>0 A Au(t) = & U(s)=— 0 t<0 s 6.1.3. Rampa At t>0 g A Ar(t) = & R(s)= 5 (t) » boo (s)=5 Prof. José Juliano de Lima Jr. 130 Tipos de Excitagoes 6.1.4 Paradbola At? =— t>0 g A Ap(t) = 2 & P(s)=— p(t on ()=5 6.1.5 Harmdénica Acos(wt) t>0 ¥¢ As t) = a Oo — act?) 1 t<0 (s) s+? A t) t>0 A As(t) = sen(w ) 4 S(s) = —_—.. 0 t<0 s* +W 6.2 Aplicagao dos Sinais de Testes no Sistema de la Ordem 6.2.1 Impulso Unitério Considere o sistema de primeira ordem Y(s) 1 Cs) = _ 6.1 (s) U(s) Ts+l1 (6-1) sendo Kk = 1. Para uma entrada impulso unitario u(t) = 6(t) = U(s) =1 a resposta do sistema é 1 1/7 Y(s) = = —_]| = —— 6.2 (8) = G(s)U(8) = = (6.2) 1 e 25 —— s+a Prof. José Juliano de Lima Jr. 6.2 Aplicação dos Sinais de Testes no Sistema de 1a Ordem 131 6.2.2 Impulso O pólo da função transferência G(s), é: p = −a = −1 τ A importância da localização do pólo e especificação da resposta temporal pode ser observada pela análise: • se p < 0, então lim t→∞ y(t) = 0 • se p = 0, então y(t) = 1 • se p > 0, então lim t→∞ y(t) = ∞ A transformada inversa de Laplace L −1[Y (s)] é y(t) = 1 τ e−t/τ (6.3) Considere o sistema de 1a ordem com K = 1 Y (s) U(s) = 1 τs + 1 Para u(t) = 1 Y (s) = G(s)U(s) = 1 (τs + 1) 1 s = 1 s − 1 (s + 1/τ) y(t) = 1 − e−t/τ , t ≥ 0 6.2.3 Rampa Considere uma excitação do tipo rampa Prof. José Juliano de Lima Jr. 132 Tipos de Excitações Figura 6.1: Sistema de 1a Ordem - Resposta Impulsiva y(t) = h(t). Prof. José Juliano de Lima Jr. 6.2 Aplicagao dos Sinais de Testes no Sistema de la Ordem 133 Sistema de la Ordem S i So: ST —T=258 ——u(t) =1 0 0 0 T 2T 3T AT 5T t, s Figura 6.2: Resposta ao Degrau Unitario. A r(t)=At © R(s)= Z (6.4) entao a resposta do sistema é 1 A Y(s) = G(s)R(s) = ——— | = 6.5 (3) = G(s)R6) = 5 (5) (6.5) Separando em fracgoes parciais, vem: Cy At 2 Y (s) = —— + —— + — > 6.6 (8) S—pl 8—pz (s—ps)? 6-6) com: p, = —1/T, po =0e p3 = 0. Para a raiz nao repetida aplica-se: Prof. José Juliano de Lima Jr. 134 Tipos de Excitagoes qQ = (s ~~ Pi) Y (S)|5—», A/T = 1/7) ————-; =A 6.7 a= eHUng al nar 60) Para as raizes repetidas aplica-se: 1 dé \p—-k = —— |(s — p;)' Y(s 6.8 b= Gaglls- |, 0rd (6.8) sendo r = 2 numero de repetigoes. 1 d 2 A 209 = == —_————— 6.9 oe 0! ds® [is aml s=0 (6.9) 42 = A (6.10) 1d 2 A 1.= > —_——_—___ 6.11 Aa 1! ds! [is (Ts + 5a s=0 (6.11) Ox(ts+1)-AxrT ’) = ere 6.12 ' (7s + 1)? s—-0 ( ) Entao AT Ar A Y(s) = ———~ - — + = 6.14 (s) (s+ 1/r) s + s? ( ) A transformada inversa de Laplace de #~'[Y(s)] é y(t) = Are-’” — Ar + At (6.15) y(t) = A[t+7 (e-”” — 1)] (6.16) O erro é Prof. José Juliano de Lima Jr. 6.2 Aplicagao dos Sinais de Testes no Sistema de la Ordem 135 e(t) =r(t) — y(t) = At— A [t+7 (et —1)| (6.17) e(t) = Ar?e~/" — Ar? + Art e(oo) = Ar lim (ret! —T+t) t00 Sistema de la Ordem 10 10 8 8 6 6 S & > 3 4 4 —T=2s ——u(t)=t 2 2 0 0 0 T 2T 3T AT 5T t. s Figura 6.3: Sistema de 1a Ordem - Resposta a Rampa. 6.2.4 Paradbola Considere uma excitacao do tipo parabola Prof. José Juliano de Lima Jr. 136 Tipos de Excitagoes At) 1 A A = Goa & VO= SI 3 (o entao a resposta do sistema, é: 1 A Y(s) = G(s)U(s) = ———~ [| — 6.19 (8) = GU) = 5 (5) (6.19) Separando em fragoes parciais, vem: Cy At 2 ABZ Y(s) =——— + —— + ——_, + —_, 6.20 (5) S—pi 8—p2, (s—ps3)* (s—pa)? (6.20) O processo de determinacgao das constantes c,, 41, Az e A3 segue Os mesmos procedi- mentos da entrada rampa. Entao C= —Ar? M1 = Ar’: r2 = — Ar; AZ =A 1 Pi = ——; P2 = 0; ps = 05 pa = 0 ¥(s) —Ar? 4 Ar? Ar 4 A (6.21) 8s) = ——+—-ZWt+S . s+1/r 8 s? 53 A transformada inversa de Laplace de #~'[Y(s)] é 1 y(t) = —Ar?e/ + Ar? — Art + sat (6.22) 2,-t/r ; 2 Li. y(t) = A|—r°e 7 + 7° — t+ ou (6.23) O erro é e(t) = u(t) — y(t) (6.24) Prof. José Juliano de Lima Jr. 6.2 Aplicagao dos Sinais de Testes no Sistema de la Ordem 137 L 2 20-t/r 2 li, e(t) = ait —Aj—-tree!7 + 7° —Tt+ 3 (6.25) e(t) = Ar?e/* + Ar? — Art (6.26) _ Any t/r e(oo) = Ar kim (re—/7 +7 -t) (6.27) 028 Sistema de la Ordem 50 50 —T=25s ——u(t) = t?/2 S & > S 0 — 0 0 T 2T 3T AT 5T t, s Figura 6.4: Sistema de 1a Ordem - Resposta Parabdélica r(t) = 4. 6.2.5 Harmonica Considere uma excitacao do tipo harménica Prof. José Juliano de Lima Jr. 138 Tipos de Excitações u(t) = Acosωt ←→ U(s) = As (s2 + ω2) (6.29) então a resposta do sistema é Y (s) = G(s)U(s) = As (τs + 1)(s2 + ω2) (6.30) Separando em frações parciais, vem: Y (s) = c1 (τs + 1) + c2 (s2 + ω2) + c3s (s2 + ω2) (6.31) Reagrupando as frações, vem: Y (s) = c1(s2 + ω2) + (τs + 1)c2 + (τs + 1)sc3 (τs + 1)(s2 + ω2) (6.32) Colocando o numerador em ordem decrescente de s, tem-se: Y (s) = (c1 + c3τ)s2 + (c2τ + c3)s + (c1ω2 + c2) (τs + 1)(s2 + ω2) (6.33) Comparando-se os numeradores da equação(6.30) e equação (6.33), vem: As = (c1 + c3τ)s2 + (c2τ + c3)s + (c1ω2 + c2) (6.34) Logo, c1 = − Aτ (1 + τ 2ω2) (6.35) c2 = Aτω2 (1 + τ 2ω2) (6.36) c3 = A (1 + τ 2ω2) (6.37) A equação (6.31) com a substituição de c1, c2 e c3, fica: Prof. José Juliano de Lima Jr. 6.3 Aplicacao dos Sinais de Testes no Sistema de 2a Ordem 139 AT 1 Atw? 1 Y = ono aH Oooo (s) (1+ 7?w?) (rs + 1) r (1 + 7?w?) (5? + w?) r A S (1 + 72w?) (s? + w?) ou A —T W S Y(s) = —————~ | ——— ———_— + ———_ 6.38 () = Ty a + TOT ey =| (6.38) A transformada inversa de Laplace da equagao (6.38), é: y(t) = _ 4 [-e'/" + Tw sen (wt) + cos (wt)| (6.39) (1 + T2w?) O erro, é: e(t) = u(t) — y(t) (6.40) entao e(t) = _ A (e/" — Tw sen(wt) + 77w? cos(wt)) (6.41) (1 + T2w?) 6.3 Aplicagao dos Sinais de Testes no Sistema de 2a Ordem 6.3.1 Impulso Um sistema de segunda ordem pode ser representado pela equacao: Y(s) Ku G(s) = —S = 6.42 (9) = Ty = Fae Te (6.42) Como K = b/ap pode-se considerar sem perda de generalidade K = 1 e considerando uma excitacéo impulso unitério com transformada de Laplace U(s) = 1, vem: Prof. José Juliano de Lima Jr. 140 Tipos de Excitagoes Sistema de la Ordem 0.4 7\ 1 ——T=25 ——u(t) = cos 2t 0.2 0.5 S = = ° ° SS -0.2 -0.5 -0.4 1 0 T 2T 3T AT 5T t. s Figura 6.5: Sistema de la Ordem - Resposta a Excitagao Harmonica. Ww Y(s) = G(s)U(s) = ————_|} 6.43 (3) = GU) = sae (6.43) Para 0 < ¢ < 1 (raizes complexas nao repetidas) A equacao (6.43) pode ser escrita como: “: (6.44) Y(s) = —2"_——__ 6.44 9) = Byer Dlls+ a com $12 = —CWn E JW V 1— ¢? $12 = —a + gb a= CW, b = wnVl-@ A equacao (6.44) apds a multiplicagao do denominador, fica: Prof. José Juliano de Lima Jr. 6.3 Aplicacao dos Sinais de Testes no Sistema de 2a Ordem 141 2 2 b Y(s) = ——“" —_ = Sn (sta)?+l 6b [(s +a)? +}? A transformada inversa de Laplace, é: +a —at bt o _ sre © 08 (s+ a)? +b? b —at bt ~ ——— csen (s+ a)? +b? Entao w? w? y(t) = e~ sen bt = ——2.—e$*" sen wy, \/1 — Ct b Wnrv/ 1 — ¢? y(t) = aoe sen (onv1 — @) t (6.45) Para ¢ = 1 (raizes reais repetidas) A equagao (6.43) pode ser escrita, como: 2 2 Y (s) = ——“# _ = —“» _ s?+ Qw2s+w2 (8 +wW,)? A transformada de Laplace inversa, é: te! gy — > (s +a)? entao y(t) =w2te “r' Para ¢ > 1 (raizes reais nao repetidas) A equagao (6.43) pode ser escrita, como: Prof. José Juliano de Lima Jr. 142 Tipos de Excitagoes w2 Y(s) = —2?"——_ 6.46 () = Bas [s+ ad] (6.46) com: W122 = —CWn + Wy, V ¢? —1 W412 = —a +6 A = CWn b= uwnVC-1 Separando em fragdes parciais, tem-se: Cy C2 Y(s) = ————_ 4+ ——— ()= Ey a+b] | st a—by Apos multiplicagoes, vem y(s) — 2 telst lat e)a+ (@ = ab} [s + (a+ b)| [s+ (a — 6) Comparando a equagao (6.43) com a equagao (6.46), conclui-se: _ _&n ny Wn OQ = Ob Logo — wy? w2 V(s) = ———— 2 +} () = See (a tb] | Fa —d) A transformada de Laplace inversa, é: —at 1 e * 4 —— (Fa) entao Prof. José Juliano de Lima Jr. 6.3 Aplicagao dos Sinais de Testes no Sistema de 2a Ordem 143 2 2 — Wn -(atd)t _ Yn ,—(a-byt y(t) op” + ap y(t) = —“2— [conten + cro (6.47) 2/2 —1 W t) = ——2—¢~“*" senh (wnt 2 1) 6.48 ult) = Te ve (6.48) Sistema de 2a Ordem —- Amort. Viscoso 4 200 > ie 3 ——¢ = 0.125 72 —¢=1 50 ——€>2 ——¢=0 u(t) = 6(t) —4 0 0 1 2 3 4 5 6 t, s Figura 6.6: Resposta ao Impulso Unitaério para Sistema de 2a Ordem. Prof. José Juliano de Lima Jr. 144 Tipos de Excitagoes 6.3.2 Degrau Para0<¢ <1 Ww? 1 ¢ w? a Yi) = yy = fhe (cost —4 sent] (s) (sta)?+hs & y(t) ae e cos 5 Sen eWSent /1—C? th = 1—-—— sen [ wat + tg’ Para ¢ = 1 Y(s) = nt & (t)=1-—e"'(1+u,t) ~ (s +Wn)? 8 wy " Para ¢ > 1 w? 1 »y Y a 6) = Boa Djls— (a + Os Ww? w? Ww? t) = n _ n —(a—b)t n —(a+b)t W) = BIR a-b° + mMath® 1 ~(Cwn —wn\/C2—1)t y(t) = LY = A ern en rit 2wnlC VC —1— (C7 — 1)] + Gen tony ¢2-1)t 2wnl[CVC — 1+ (0? — 1)] 6.3.3 Rampa 6.3.4 Parabola 6.3.5 Harmonica Consider uma excitacao do tipo harmonica A u(t) = Acoswt + U(s) = ra (6.49) Para 0 < ¢ < 1 (raizes complexas nao repetidas) Y(s) = G(s)U(s) = As (6.50) 7 ~— [(s + a)? + B] (s2 + w?) com Prof. José Juliano de Lima Jr. 6.3 Aplicagao dos Sinais de Testes no Sistema de 2a Ordem 145 Sistema de 2a Ordem —- Amort. Viscoso 2 2 ——¢€ = 0.125 ——¢=1 ——¢>2 ——¢=0 1.5 —— u(t) =] 1.5 Ve | 0.5 vial | 0.5 0 / 0 0 1 2 3 4 5 6 t, s Figura 6.7: Resposta do Sistema de 2a ordem a excitacao degrau unitario. $12 = —CWn + JwnV 1- C $12 = —a + jb a = Cun; b= wnVl—C Separando em fracoes parciais, vem: Ci Cys Y = ooo Oo 6.51 () = Gyepaby! [erat hy (6.51) 4 C3 4 Cys (s?+w?) (s? +w?) Reagrupando as fragoes, vem: ¥(s) = G(s)U(s) ~ (6.52) 8s) = G(s)U(s) = ————— . [(s + a)? + b?] (s? + w?) com Prof. José Juliano de Lima Jr. 146 Tipos de Excitações Figura 6.8: Resposta do Sistema de 2a ordem a excitação rampa unitária. Prof. José Juliano de Lima Jr. 6.3 Aplicagao dos Sinais de Testes no Sistema de 2a Ordem 147 Sistema de 2a Ordem —- Amort. Viscoso 50 50 ——¢ = 0.125 —¢=1 ——¢>2 —— u(t) = t?/2 30 30 > 3 20 20 10 10 0 — 0 0 2 4 6 8 10 t, s Figura 6.9: Resposta do Sistema de 2a ordem a excitacao parabola. N = (Cy+Cy)s*? + (Ci + C3 + 2aCy)s? (6.53) + [w?C + 2aC3 + (a? + b7)C4] 5 (6.54) + w'C,+ (a? +0°)C3 (6.55) Logo N =u? As Entao, tem-se: Prof. José Juliano de Lima Jr. 148 Tipos de Excitagoes 9aA 2( 72 b2 2 Ci = LOVE wn (a + ) (6.56) D A 2 2 b2 7 2 c, = Adal Fe) =e") (6.57) D 2aAw?2w? Cz; = —— (6.58) A 2 2 b? 7 2 Cy = ee (6.59) D = 4a?w* + wt — Qu? (a? + 7)? + (a? + 0?)4 (6.60) A transformada inversa de Laplace para a primeira parcela da equacao (6.112), é: 2a Aw? (a? + b?)? 1 y, — _ nr fo 6.61 i(s) D [(s + a)? + b?] ( ) ou 2a Aw? (a? + b?)? b Y; = TS 6.62 ils) bD (star +P] (6.62) cuja transformada inversa, é: aA 2( 72 b? 2 yi(t) = et sen bt (6.63) A transformada inversa de Laplace para a segunda parcela da equagao (6.112), é: Aw? [(a? + b?) — w?] s y. — _ n a 6.64 2(s) D [(s +a)? + P| (6.64) ou Aw? [(a? + 0?) — w?] sta y. — —i*n Ao PN 6.65 2(s) D [(s + a)? + b?] ( ) a b — 2 6.66 rary} (6.66) Cuja transformada inversa, é: Prof. José Juliano de Lima Jr. 6.3 Aplicacao dos Sinais de Testes no Sistema de 2a Ordem 149 A 2 2 b? 7 2 yo(t) = Ava l(@ e bo lew cos bt — Se7* sen ot (6.67) D b A transformada inversa de Laplace para a terceira parcela da equacao (6.112), é: 2a Aw?w? 1 Y3(s) = ———*+—_—_——_ 6.68 3(S) D (s? 4 Ww) ( ) 2QaAw2wr — w Y3(s) = ——>—_——_ 6.69 3(S) wD (s? 4 Ww) ( ) cuja transformada inversa de Laplace, é: 2a Aw? y3(t) = een senwt (6.70) D A transformada inversa de Laplace para a quarta parcela da equacao (6.112), é: Aw? [(a* + b?)-—w?] ss Y,(s) = —_, IF _ 6.71 a(S) D (s? 4 w) ( ) cuja transformada inversa de Laplace, é: A 2 2 b2 7, 2 D Considerando apenas a solucdéo permanente das fungoes no tempo y3(t) e y4(t), tem-se: 2aA 2 A 2 2 b? 42 y,(t) = een ‘sen wt + Awn (a +) =o" cos wt (6.73) D D Substituindo os valores de a e b, vem: a+b = uw (6.74) D = (wi +w*) t+ (2¢wpw)? — 2w2w? (6.75) Finalmente a solucao temporal procurada, é: 2¢w,w senwt + (w? — w*) coswt ty) = Aw? J An 6.76 Prof. José Juliano de Lima Jr. 150 Tipos de Excitagoes ou (a2 — wr)? + (2Cw,w) 1) = Auz Wien = WF ACen” cost — 6 6.77 Yp( ) Wr, (w2 _ w?)?2 + (26wpw)? cos(w ) ( ) 2 2 6(t) = tet n=) 6.78 () = tg (6.78) Trabalhando a expressao, tem-se: [(os? — w)2 + (2Cw,w)2 yp(t) = Aug? Vn P+ (2G nee)” cos(wt — 0) (6.79) V (wn — W?)? + (2Gwrw)? A 2 yp(t) = Ee cos(wt — 0) (6.80) V (wh — ©)? + (2Gww)? Fazendo r = w/wy»,vem: (t) A (wt — 0) (6.81) = ———___—_ cos(wt — . WN Oa OCP 1—r? A(t) = tg + —— 6.82 =e (6.82) Para ¢ = 1 (raizes reais repetidas) ¥(s) = G(s)U(s) = —"** (6.83) OP TENT TS tin )?(S2 + W) com $1.2 = “Wn Separando em fragdes parciais, vem: Prof. José Juliano de Lima Jr. 6.3 Aplicacao dos Sinais de Testes no Sistema de 2a Ordem 151 Ci Cys Y = ——, + — — 6.84 () = Gye? Grup (6.84) 4 C3 4 Cys (s?+w?) (s? +w?) Reagrupando as fragoes, vem: ¥(s) = G(s)U(s) = N (6.85) 7 (8 + Wp)?(s? + w2) com N = (Cy +Cy)s? + (Ch + C3 + Qu Cy)s” (6.86) + (w?Cy + 23 + .wC1) 8 (6.87) + wC) + w2C3 (6.88) Logo N =w?As Entao, tem-se: 2w3 Aw? Aw? (w? — w? Cp = Ante) (6.90) Qw,w Aw? C3 = pa (6.91) A 2 A 2, 42 Cy = Aen 2) (6.92) D = oft 2u?w? +04 = (Ww? — w?)? + (Quw,)? (6.93) A transformada inversa de Laplace para a primeira parcela da equacao (6.112), é: Qu? Aw? 1 Y\(s) = ——*. .——__, 6.94 i( ) D (s+w,)? ( ) Prof. José Juliano de Lima Jr. 152 Tipos de Excitações cuja transformada inversa, é: y1(t) = −2ω3 nAω2 n D te−ωnt (6.95) A transformada inversa de Laplace para a segunda parcela da equação (6.112), é: Y2(s) = −Aω2 n (ω2 n − ω2) D s (s + ωn)2 (6.96) cuja transformada inversa, é: y2(t) = −Aω2 n (ω2 n − ω2) D (1 − ωnt)e−ωnt (6.97) A transformada inversa de Laplace para a terceira parcela da equação (6.112), é: Y3(s) = 2ωnω2Aω2 n D 1 (s2 + ω2) (6.98) Y3(s) = 2ωnωAω2 n D ω (s2 + ω2) (6.99) cuja transformada inversa de Laplace, é: y3(t) = 2ωnωAω2 n D sen ωt (6.100) A transformada inversa de Laplace para a quarta parcela da equação (6.112), é: Y4(s) = Aω2 n (ω2 n − ω2) D s (s2 + ω2) (6.101) cuja transformada inversa de Laplace, é: y4(t) = Aω2 n (ω2 n − ω2) D cos ωt (6.102) Prof. José Juliano de Lima Jr. 6.3 Aplicacao dos Sinais de Testes no Sistema de 2a Ordem 153 Considerando apenas a solugao permanente das fungdes no tempo y3(t) e ys(t), tem-se: 2 n A 2 A 2 2, 42 p(t) = ee con gt + Aen 8) cost (6.103) ou Qwpw senwt + (w? — w) coswt t) = Aw? ——— 6.104 Yp( ) Wy, (w2 _ w?)? + (Quw,w)? ( ) Transformando a soma de arcos e um arco, tem-se: a 0 (WR = w?)? + (Qunw)? 2 2 o(t) — tg? Wa #) 6.106 () = tg ae (6.106) Trabalhando a expressao, tem-se: [Cu — Ww)? + (Qu,w) y,(t) = Aug? Wien = + (ernie) cos(wt — 0) (6.107) y/ (w2 — w?)? + (2w,w)? A 2 y(t) = I cos(wt — 0) (6.108) / (w2 — w?)? + (Qw,w)? Fazendo r = w/w,,vem: A 1—r? A(t) = tg-| —— Al (i) = te (6.110) Para ¢ > 1 (raizes reais nao repetidas) Prof. José Juliano de Lima Jr. 154 Tipos de Excitagoes w? AsU(s) Y(s) = G(s)U(s) = WIT 74#____ 6.111 (8) = G(8)U(s) = is + (a — Dw Fa) (6.111) com $1.2 = —CWn E Wy V ¢? —1 S12 = —a +b a= CWn; b=unV1—¢? Separando em fragdes parciais, vem: Ci Cy V(s) = 2 6.112 (9) = Byard * bt a—by (6.112) 4 C3 4 Cys (s?+w?) (s?+w?) Reagrupando as fragoes, vem: N V(s) = ee 6.113 \) = Byte + e+e) (6.108) com N = (Cy +Cy+ C4)s° + [qC, + pCz + C3 + (p + q)Cyj 8 + [w'Cy +w?Cy + (p+ g)C3 + pqC4] s + quw*C, + pw*C, + pqCs Logo N =u?As p=(atb); q=(a—b); ptq=2a; pqg= (a? —0) Prof. José Juliano de Lima Jr. 6.3 Aplicacao dos Sinais de Testes no Sistema de 2a Ordem 155 Entao, tem-se: =—mpg t+ p?q—4*p _ (a+b) (a? — b*) — 0] = NN 6.114 C1 D D (6.114) _ 2 2 Cy, = mpd —— d (6.115) s,s . —wpm+wqm 4wab C3. = ue — = 6.117 ° D D (6.117) 2 — WwW — c, - & De qP) _ —2b[(a? — 6?) — uw 7 D D = —piq? + 2up2q— wpm? + rg — wg? — wp + w2qm? + wq = (p—q)(-w* + w*m* + p?q’) — 2u*(1 — pq) = 2 [(a? —) —w?]’ + 8a°b A transformada inversa de Laplace para a primeira parcela da equacao (6.112), é: (a + b) [(a? — 6?) — ww? 1 Y,(s) — ie 6.118 ce) D b+ arD) ous cuja transformada inversa, é: 2 72) _ 2 yi(t) = (a+b) (a =) = wT] (ataye (6.119) D A transformada inversa de Laplace para a segunda parcela da equagao (6.112), é: ¥x(s) = (a — b) {[(@? — b*) — | + 2a(a? — b*)} D 1 [s + (a — b)] cuja transformada inversa, é: Prof. José Juliano de Lima Jr. 156 Tipos de Excitagoes _ 2 b2 7, 2 2 2 b2 y(t) _ (a b) {[(a ) Ww + a(a I .—(a-ve (6.120) D A transformada inversa de Laplace para a terceira parcela da equacao (6.112), é: ¥s(s) 4u?ab (6.121) s) = —_->—> . ° D_ (s? +w?) Aw?ab ww Y3(s) = ——————— 6.122 3(S) wD (s? + w?) ( ) cuja transformada inversa de Laplace, é: Aw?.ab y3(t) = Tp 8 wt (6.123) A transformada inversa de Laplace para a quarta parcela da equacao (6.112), é: —2b|(a2-—b?)-w] ss Y¥4(s8) = ——-— J ———— 6.124 4(s) D (s? 4 w) ( ) cuja transformada inversa de Laplace, é: —2b [(a? — 0?) — wu? ya(t) = =2b (a =) = a cos wt (6.125) D Considerando apenas a solugao permanente das fungdes no tempo y3(t) e y4(t), tem-se: 4us?ab —2b |(a? — b?) — w?] yp(t) = Tp 8 wt + 5 008 wt (6.126) Substituindo os valores de a e b, vem: a = uw (6.127) D = 2[(a?—0) —w*]’ + 807) (6.128) Prof. José Juliano de Lima Jr. 6.3 Aplicagao dos Sinais de Testes no Sistema de 2a Ordem 157 Finalmente a solugao temporal procurada, é: 2,,2-. [F2 _ yp(t) = VO wnb V6 . sen wt Qwun/C? — 1 [(w2 — w?)? + 8¢7w?] _ 2 IV (.92 — 732 . 2WnV OC = 1(wn = w*) cos wt Qwun/C? — 1 [(w2 — w?)? + 8¢7w?] Sistema de 2a Ordem —- Amort. Viscoso 4 7\ 1 ——¢ = 0.125 ——¢=1 ——¢>2 ——¢=0 2 ——u(t) = cos 2t 8 A TAWA TAWA = AS AWN Pay LW | Pay |, = > | = yi yt Ny ji / N | —4 -1 0 5 10 15 t, Ss Figura 6.10: Resposta do Sistema de 2a ordem a excitagao harmonica. Fazendo r = w/w, e aplicando as Formulas de Euler, obtém-se a resposta em regime permanente. A it) = ——____. t—0 Wht) = ae comlet - 8) _ _, 2¢r 6 = tg 7, Prof. José Juliano de Lima Jr. 158 Tipos de Excitações Prof. José Juliano de Lima Jr. Capítulo 7 Erros Estacionários Os erros em um sistema de controle podem ser atribuídos a vários fatores: • Alterações na entrada de referência; • Imperfeições nos componentes do sistema como atrito estático, folga, desgaste e outros. Vamos estudar um tipo de erro estacionário que é causado pela incapacidade de um sistema em seguir determinados tipos de sinais de entrada Os sistemas podem ser classificados de acordo com a habilidade em seguir os sinais de entrada em degrau, rampa e parábola. Considere o sistema com a função transferência em malha aberta: G(s) = K(Tas + 1)(Tbs + 1) · · ·(Tms + 1) sN(T1s + 1)(T2s + 1) · · ·(Tns + 1) Um sistema será do: • tipo 0 se N=0; • tipo 1 se N=1 e • tipo 2 se N=2 • Conforme o tipo N aumenta, a precisão aumenta; mas por outro lado agrava a estabilidade; • É sempre necessária uma conciliação entre precisão em regime permanente e esta- bilidade relativa e • Na prática raramente tem-se sistemas do tipo 3 ou maior pois é difícil projetar sistemas estáveis com mais de duas integrações no percurso. Prof. José Juliano de Lima Jr. 160 Erros Estacionários Figura 7.1: Malha Fechada seja o sistema com a função transferência em malha fechada igual á: C(s) R(s) = G(s) 1 + G(s) E(s) R(s) = 1 1 + G(s) E(s) = 1 1 + G(s)R(s) O erro em regime permanente ou estacionário é: ess = lim s→0 sE(s) = lim s→0 sR(s) 1 + G(s) Pode encontrar uma equivalência para o sistema em malha fechada cuja a realimenta- ção e a referência possam funções transferência, conforme figura: Em um sistema a saída poder ser a posição, a velocidade, a pressão e outros. Generi- camente vamos chamar de • erro de posição o erro em relação ao valor da variável; • erro de velocidade o erro em relação a variação da variável. 7.1 Coeficiente de Erro Estático de Posição Kp - R(s) = 1/s. Neste caso; R(s) = 1 s ⇒ ess = lim s→0 s 1 + G(s) 1 s = 1 1 + G(0) Prof. José Juliano de Lima Jr. 7.1 Coeficiente de Erro Estático de Posição Kp - R(s) = 1/s. 161 Figura 7.2: Equivalência: G(s) = G1(s)G2(s) e H(s) = H1(s)/G1(s). Prof. José Juliano de Lima Jr. 162 Erros Estacionários Então: Kp = lim s→0 G(s) = G(0) ⇒ ess = 1 1 + Kp 7.1.1 Sistemas tipo 0 Kp = lim s→0 K(Tas + 1)(Tbs + 1) · · ·(Tms + 1) (T1s + 1)(T2s + 1) · · ·(Tps + 1) = K ess = 1 1 + Kp ⇒ ess = 1 1 + K 7.1.2 Sistemas tipo 1 ou maior Kp = lim s→0 K(Tas + 1)(Tbs + 1) · · ·(Tms + 1) s(T1s + 1)(T2s + 1) · · ·(Tps + 1) = ∞ ess = 1 1 + Kp ⇒ ess = 0 7.2 Coeficiente de Erro Estático de Velocidade Kv - R(s) = 1/s2. Neste caso: R(s) = 1 s2 ⇒ ess = lim s→0 s 1 + G(s) 1 s2 = 1 sG(s) Então: Kv = lim s→0 sG(s) ⇒ ess = 1 Kv Prof. José Juliano de Lima Jr. 7.3 Coeficiente de Erro Estático de Aceleração Ka. 163 7.2.1 Sistemas tipo 0 Kv = lim s→0 sK(Tas + 1)(Tbs + 1) · · ·(Tms + 1) (T1s + 1)(T2s + 1) · · ·(Tps + 1) = 0 ess = 1 Kv ⇒ ess = ∞ 7.2.2 Sistemas tipo 1 Kv = lim s→0 sK(Tas + 1)(Tbs + 1) · · ·(Tms + 1) s(T1s + 1)(T2s + 1) · · ·(Tps + 1) = K ess = 1 Kv ⇒ ess = 1 K 7.2.3 Sistemas tipo 2 ou maior Kv = lim s→0 sK(Tas + 1)(Tbs + 1) · · ·(Tms + 1) s2(T1s + 1)(T2s + 1) · · · (Tps + 1) = ∞ ess = 1 Kv ⇒ ess = 0 7.3 Coeficiente de Erro Estático de Aceleração Ka. Neste caso: R(s) = 1 s3 ⇒ ess = lim s→0 s 1 + G(s) 1 s3 = 1 s2G(s) Então: Prof. José Juliano de Lima Jr. 164 Erros Estacionários Ka = lim s→0 s2G(s) ⇒ ess = 1 Ka 7.3.1 Sistemas tipo 0 Ka = lim s→0 s2K(Tas + 1)(Tbs + 1) · · ·(Tms + 1) (T1s + 1)(T2s + 1) · · ·(Tps + 1) = 0 ess = 1 Ka ⇒ ess = ∞ 7.3.2 Sistemas tipo 1 Ka = lim s→0 s2K(Tas + 1)(Tbs + 1) · · ·(Tms + 1) s(T1s + 1)(T2s + 1) · · ·(Tps + 1) = 0 ess = 1 Ka ⇒ ess = ∞ 7.3.3 Sistemas tipo 2 Ka = lim s→0 s2K(Tas + 1)(Tbs + 1) · · ·(Tms + 1) s2(T1s + 1)(T2s + 1) · · ·(Tps + 1) = K ess = 1 Ka ⇒ ess = 1 K 7.3.4 Sistemas tipo 3 ou maior Ka = lim s→0 s2K(Tas + 1)(Tbs + 1) · · ·(Tms + 1) s3(T1s + 1)(T2s + 1) · · ·(Tps + 1) = ∞ Prof. José Juliano de Lima Jr. 7.4 Coeficiente de Erro Estático - Resumo 165 ess = 1 Ka ⇒ ess = 0 7.4 Coeficiente de Erro Estático - Resumo A tabela (7.1) resume os erros estacionários. Tabela 7.1: Erro estacionário ess em termos de K. Entrada Degrau Rampa Aceleração r(t) = 1 r(t) = t r(t) = 1/2t2 Sistema R(s) = 1/s R(s) = 1/s2 R(s) = 1/s3 Tipo 0 1 1+K ∞ ∞ Tipo 1 0 1 K ∞ Tipo 2 0 0 1 K ess = 1 1 + Kp ess = 1 Kv ess = 1 Ka Kp = lim s→0 G(s) Kv = lim s→0 sG(s) Ka = lim s→0 s2G(s) 7.5 Exemplo: Controle Proporcional - Nível de Líquido Figura 7.3: (a) - Nível de líquido; (b) - Diagrama de blocos; (c) Diagrama simplificado e (d) curva h(t) × t A função transferência do sistema de nível de líquido, é: H(s) Qi(s) = R RCs + 1 Prof. José Juliano de Lima Jr. 166 Erros Estacionários Como o controle é proporcional a vazão Q(s) é igual a Qi(s) = KpKvE(s) Um diagrama de blocos simplificado é mostrado na figura (7.3c), com X(s) = (1/Kb)R(s), K = KpKvKb e T = RC A função transferência do sistema da figura (7.3c), é: H(s) X(s) = K Ts + 1 + K Aplicando um degrau unitário no sistema x(t) = 1 que em Laplace é X(s) = 1/s, tem-se: H(s) = K Ts + 1 + K 1 s Aplicando o teorema do valor final h(∞) = lim s→0 sH(s) isto é: h(∞) = lim s→0 Ks Ts + 1 + K 1 s h(∞) = K 1 + K Como x(∞) = 1, existe um erro estacionário e(∞) = x(∞) − h(∞) = 1 − K 1 + K Prof. José Juliano de Lima Jr. 7.5 Exemplo: Controle Proporcional - Nível de Líquido 167 e(∞) = 1 1 + K Analisado o sistema pela teoria de erro estacionário, verifica-se que o sistema é do tipo 1. H(s) = K (Ts + 1 + K)s Logo o erro de posição de acordo com a tabela (7.1), é: ess = 1 1 + Kp ⇒ ess = 1 1 + K e Kp = lim s→0 G(s) = lim s→0 K Ts + 1 = K Prof. José Juliano de Lima Jr. 168 Erros Estacionários Prof. José Juliano de Lima Jr. Capítulo 8 Diagrama de Blocos Um sistema de controle pode ser constituído por vários componentes. O diagrama de blocos é uma representação por meio de símbolos das funções desempenhadas por cada componente e do fluxo dos sinais. Num diagrama de blocos as variáveis do sistema estão ligadas entre si por meio de blocos funcionais. O bloco é uma representação das operações que são efetuadas sobre o sinal à sua entrada. Um elemento do diagrama de blocos pode: • ser a representação gráfica das funções desempenhadas por cada um dos componen- tes de um sistema e do fluxo de sinais correspondentes; • inclui apenas informações sobre o comportamento dinâmico, isto é, sistemas dife- rentes podem ter o mesmo diagrama e • introduzir funções transferências nos blocos correspondentes nos quais a saída e a função transferência vezes a entrada saída=FT*entrada. Outras observações sobre o diagrama de blocos, são: • A representação por diagramas de blocos tem como principal vantagem a simplifi- cação da análise dos sistemas; • O diagrama de blocos não contem nenhuma informação relativa à estrutura física do sistema e • Qualquer sistema linear pode ser representado por um diagrama de blocos consti- tuído por blocos, somadores e pontos de ramificação. Prof. José Juliano de Lima Jr. 170 Diagrama de Blocos 8.1 Diagrama de Blocos - Malha Aberta O diagrama de blocos em malha fechada representa a relação entre a saída do diagrama e a entrada, isto é, a saída é igual a função transferência multiplicada pela entrada. Figura 8.1: Diagrama de Blocos - Malha Aberta. 8.2 Diagrama de Blocos - Malha Fechada Quando a saída de um sistema é realimentada para comparação com a entrada, pode ser necessário modificar o sinal de saída de modo a que ele possa ser comparado com o sinal de entrada. Isso pode ser feito por meio de um bloco auxiliar de função de transferência H(s). U(s) = R(s) − H(s) Y (s) Y (s) = G(s) U(s) Y (s) = G(s) R(s) − G(s) H(s) Y (s) Y (s) + G(s) H(s) Y (s) = G(s)R(s) Y (s) R(s) = G(s) 1 + G(s) H(s) Figura 8.2: Diagrama de Blocos - Malha Fechada. • R(s) - sinal de referência (set-point); • Y (s) - sinal de saída (variável controlada); • U(s) - desvio (sinal de erro, E(s), quando H(s) = 1); Prof. José Juliano de Lima Jr. 8.3 Diagrama de Blocos - Pertubações 171 • H(s) - FT de realimentação (sensor). 8.3 Diagrama de Blocos - Pertubações Para analisar o efeito das perturbações W(s), D(S) e N(s), considera-se que o sis- tema está inicialmente com W(s) = D(s) = N(s) = 0 e R(s) ̸= 0. Calcula-se então a resposta YR(s) à variação na referência apenas. Neste exemplo a resposta pode então ser determinada a partir de: Figura 8.3: Álgebra dos Diagramas de Blocos - Pertubações. YR(s) = G(s)C(s) 1 + G(s)C(s)H(s)R(s) (8.1) Em seguida calcula-se o efeito da pertubação D(s) considerando W(s), N(s) e R(s) iguais a zero. YD(s) = 1 1 + G(s)C(s)H(s)D(s) (8.2) Calcula-se o efeito da pertubação W(s) considerando D(s), N(s) e R(s) iguais a zero. YW(s) = G(s) 1 + G(s)C(s)H(s)W(s) (8.3) Calcula-se o efeito da pertubação N(s) considerando D(s), W(s) e R(s) iguais a zero. YN(s) = G(s)C(s)H(s) 1 + G(s)C(s)H(s)N(s) (8.4) Como o sistema é linear, a resposta à aplicação simultânea da entrada e da perturbação pode ser obtida somando as respostas individuais (Principio da sobreposição), equações (8.1) a (8.4), e portanto: Prof. José Juliano de Lima Jr. 172 Diagrama de Blocos Y (s) = G(s)C(s) 1 + G(s)C(s)H(s)R(s) + 1 1 + G(s)C(s)H(s)D(s) (8.5) + G(s) 1 + G(s)C(s)H(s)W(s) − G(s)C(s)H(s) 1 + G(s)C(s)H(s)N(s) Da mesma forma pode-se determinar o erro E(s) no sistema. E(s) = 1 1 + G(s)C(s)H(s)R(s) + H(s) 1 + G(s)C(s)H(s)D(s) (8.6) + H(s)G(s) 1 + G(s)C(s)H(s)W(s) − H(s) 1 + G(s)C(s)H(s)N(s) 8.4 Simplificação do Diagrama de Blocos As tabelas 1 das figuras (9.1) e (9.2) apresentam os métodos que podem ser utilizados para a simplificação dos diagramas de blocos. Exemplo Exemplo 8.12 Encontrar a função transferência em malha aberta da sistema representado pelo dia- grama de blocos das figura (9.3). Solução Primeiramente agrupar os blocos em série e em paralelo, figura (9.4). Agrupar os ramos de realimentação internos, isto é, feedback internos, figura (9.5). Agrupar os blocos em série, figura (9.6). Agrupar o ramo de realimentação externo, isto é, feedback externo, figura (9.7). Simplificar a apresentação da função transferência em malha aberta do sistema em malha fechada, figura (8.11). Finalmente 1Campbell (1958), tabela A.2, páginas 296-297. 2Santos (2010) Prof. José Juliano de Lima Jr. 8.4 Simplificação do Diagrama de Blocos 173 Figura 8.4: Álgebra do Diagrama de Blocos - Parte 1. Prof. José Juliano de Lima Jr. 174 Diagrama de Blocos Figura 8.5: Álgebra do Diagrama de Blocos - Parte 2. Prof. José Juliano de Lima Jr. 8.4 Simplificação do Diagrama de Blocos 175 Figura 8.6: Diagrama de Blocos do Sistema. Figura 8.7: Diagrama de Blocos - primeira redução. Figura 8.8: Diagrama de Blocos - segunda redução. Figura 8.9: Diagrama de Blocos - terceira redução. Prof. José Juliano de Lima Jr. 176 Diagrama de Blocos Figura 8.10: Diagrama de Blocos - quarta redução. Figura 8.11: Diagrama de Blocos - final. Figura 8.12: Diagrama de Blocos - final. Prof. José Juliano de Lima Jr. 8.4 Simplificação do Diagrama de Blocos 177 Prof. José Juliano de Lima Jr. 178 Diagrama de Blocos Prof. José Juliano de Lima Jr. Capítulo 9 Preditor de Smith para o Controle de Sistemas com Atraso de Transporte 9.1 Objetivos • Introduzir as noções básicas do método de compensação do atraso de transporte. • Projetar um compensador de atraso via preditor de Smith. • Analisar a robustez do método de controle frente a incertezas na planta e no atraso de transporte. 9.2 Introdução Quando um material ou uma energia é fisicamente movimentado num processo indus- trial, pode existir um atraso de transporte (tempo morto) associado ao movimento. Isto se deve ao tempo que o material ou a energia leva para ser transferida da posição inicial a posição do sensor. Seja o exemplo do tanque de nível de líquido da Figura (9.1). Se a válvula de entrada é aberta, provoca-se uma mudança na vazão de entrada do tanque e o nível do fluido no tanque começa a aumentar. A mudança no nível do fluido, no entanto, só é percebida no sensor de nível, posicionado a uma distância d do tanque, depois de decorrido o tempo necessário para o fluido se deslocar da válvula até o sensor. Observações: • O atraso de transporte é função do posicionamento do sensor. Este aspecto prá- tico deve ser considerado no projeto de sistemas de controle industriais. O atraso de transporte está presente, por exemplo, nas indústrias de laminação, alumínio, cimento e celulose. Prof. José Juliano de Lima Jr. 180Preditor de Smith para o Controle de Sistemas com Atraso de Transporte Figura 9.1: Tanque com atraso de transporte. • Além do movimento físico de material ou energia, existem outros fatores de atraso de transporte em problemas de controle de processos, como tempo de análise de composição de alguns instrumentos. Por exemplo uso de cromatógrafo, para medir concentração em amostras de fluxo de líquido ou gás tomado do processo, introduz um atraso de transporte, o tempo de análise. • A presença do atraso de transporte em um processo limita o desempenho do sistema clássico de controle por realimentação. Da perspectiva de resposta em frequência, um atraso de transporte adiciona um atraso de fase na malha de realimentação, o que afeta a estabilidade de malha fechada. Logo, o ganho do controlador deve ser reduzido e a resposta em malha fechada torna-se lenta em comparação com o controle da malha sem atraso. O Predidor de Smith poderia ser aplicado, por exemplo, ao processo de prensagem ilustrado na figura (9.2)1. Nele, o efeito da ação de posicionamento dos rolos de prensagem só começa a ser percebida pelo sensor de espessura após o tempo necessário para o material passar pelo secador. Como consequência, o ganho do controlador precisa ser drasticamente reduzido e o desempenho fica muito limitado. Sejam as estruturas de controle de realimentação clássica sem atraso, figura (9.3) e com atraso de transporte, figura (9.4), e suas respectivas funções de transferência. C(s) = Gc(s)Gp(s) 1 + Gc(s)Gp(s)R(s) 1www.tdps.com.br Prof. José Juliano de Lima Jr. 9.2 Introdução 181 Figura 9.2: Processo de Prensagem. com Gc(s) função transferência do compensador; Gp(s) função transferência da planta do processo. Seja Gp(s) um processo com atraso de transporte, td tempo morto ou de atraso, G(s) planta do processo sem atraso de transporte ou planta rápida ou modelo da planta. A função transferência em malha fechada da planta com atraso de transporte fica: Figura 9.3: Malha fechada sem atraso de transporte. C(s) = Gc(s)e−tdsG(s) 1 + Gc(s)e−tdsG(s)R(s) Figura 9.4: Malha fechada com atraso de transporte. Pergunta: Como compensar o atraso de transporte na dinâmica de malha fechada? Prof. José Juliano de Lima Jr. 182Preditor de Smith para o Controle de Sistemas com Atraso de Transporte 9.3 Preditor de Smith Um método proposto na literatura de Controle de Processos para melhorar o desempe- nho em malhas fechadas na presença do atraso de transporte é a técnica de compensação do atraso (TDC – Time Delay Compensation). Este método tenta prever a saída do processo sem atraso e realimentá-la ao controlador. A técnica mais popular é o Preditor de Smith desenvolvido por Otto J. M. Smith em 1957. O Preditor de Smith é uma com- pensação de projeto baseada em modelo que divide o modelo da planta em duas parcelas: a dinâmica do modelo (planta rápida) e o atraso. A versão do diagrama de controle do Preditor de Smith está mostrada na figura (9.5). Figura 9.5: Malha fechada com o Preditor de Smith. O controlador atua sobre o processo como se não existisse o atraso na dinâmica de malha fechada. O atraso está associado ao sinal de referência. A figura (9.6) ilustra o sistema equivalente obtido com a aplicação do Preditor de Smith. Figura 9.6: Malha fechada equivalente com o Preditor de Smith. A malha interna de realimentação é dada pela seguinte expressão: Prof. José Juliano de Lima Jr. 9.3 Preditor de Smith 183 U(s) _ G(s) B(s) 1+ G_(s)G(s)(1 — e's) com G(s) modelo da planta sem o tempo morto. A malha externa de controle é determinada como: Ge(s)Gp(s) C(s) GWG d—-e) 7 Ge(s)Gp(s) Rs) 1+ pagueayine Cs) _ Gals)G,(5) R(s) 14+ G.(s)(G(s) + Gp(s) — G(s)es) No caso ideal se a planta nao tem atraso de transporte, isto é, G(s) = G,(s) e ta =0, assim C(s)__ G(s)G,(s) Ris) 1+ G.5)G,(5) 9.3.1 Aplicagao em uma Planta de Segunda Ordem Considere os processos de segunda ordem sem e com atraso de transporte 1 e tas 9) = poise ° CM) = Geiss) com t=0,3s. Projetar o controlador PI nas estruturas classica e com o Preditor de Smith. Seja a funcao de transferéncia do controlador PI continuo com as respectivas sintonias G.(s) = K, {1+ ' cls) = a Pp T;s com K, = 3,415 e T; = 0, 907 s. A resposta dos sistemas sem e com o Preditor de Smith é apresentado na figura (9.7). O uso do Preditor de Smith a apresenta a vantagem de melhorar o desempenho do compensador na presenga de tempo morto. Prof. José Juliano de Lima Jr. 184Preditor de Smith para o Controle de Sistemas com Atraso de Transporte Figura 9.7: Malha fechada planta sem atraso, planta com atraso sem e com o Preditor de Smith. A desvantagem é: • dependência da modelagem G(s) representar a planta Gp(s) sem o atraso de trans- porte. Esse aproximação não for boa o desempenho do sistema tende a cair; • Na prática não é possível construir um modelo para o Preditor que seja totalmente idêntico à dinâmica do sistema; • bastante sensível a incertezas do modelo do processo, principalmente no tempo de atraso; • pequenos erros de modelagem podem levar o sistema à malha fechada à instabilidade. Prof. José Juliano de Lima Jr. Capítulo 10 Lugar das Raízes 10.1 Revisão Histórica Walter R. Evans (1920 - 1999) (a) Evans (b) Lugar das Raízes • Lugar das raízes (Teoria Clássica de Controle - SISO)(1948). 10.2 Introdução • É uma método gráfico de busca dos valores das raízes da equação característica; • Com estes valores pode-se obter a resposta transiente do sistema a qualquer função pertubação e • É também utilizado para determinar a estabilidade do sistema de controle com realimentação a partir de sua equação característica. 10.3 Conceito do Lugar das Raízes A função transferência do sistema de realimentação da figura, é: Prof. José Juliano de Lima Jr. 186 Lugar das Raízes C(s) = G(s) 1 + H(s)G(s)R(s) Figura 10.1: Sistema de controle com realimentação. A equação característica do sistema em malha fechada 1 + H(s)G(s) = 0 • determina os pólos de malha fechada e • determina a forma da resposta de c(t) a qualquer pertubação r(t). O Método do Lugar das Raízes é um procedimento gráfico de busca das raízes de 1 + H(s)G(s) = 0 a medida que um dos parâmetros de H(s)G(s) varia continuamente (0 → ∞). H(s)G(s) = −1 ⇒                Critério de Módulo |H(s)G(s)|= 1 Critério de Fase ̸ H(s)G(s) = ±180o(2k + 1), k = 0, 1, ... Considere G(s) = K (s + 1)(s + 2)(s + 3), H(s) = 1 Então Prof. José Juliano de Lima Jr. 10.3 Conceito do Lugar das Raízes 187 C(s) R(s) = K (s+1)(s+2)(s+3) 1 + 1 × K (s+1)(s+2)(s+3) = K (s + 1)(s + 2)(s + 3) + K Assim 1 + H(s)G(s) = 0 1 + K (s + 1)(s + 2)(s + 3) = 0 (s + 1)(s + 2)(s + 3) + K = 0 Expandido o produto desta equação, resulta em s3 + 6s2 + 11s + (K + 6) = 0 (10.1) Se K = 26, 5 a equação (10.1), torna-se s3 + 6s2 + 11s + 32, 5 = 0 Resolvendo-se esta equação, obtém-se as raízes r1 = −5, 1; r2 = −0, 45 − 2, 5j; r3 = −0, 45 + 2, 5j; Selecionando-se outros valores de K, outros conjuntos de raízes são obtidos, conforme tabela (10.1). Tabela 10.1: Raízes da equação característica K r1 r2 r3 0 -3,00 -2,00 -1,00 0,23 -3,10 -1,75 -1,15 0,39 -3,16 -1,42 -1,42 1,58 -3,45 -1,28-0,75j -1,28+0,75j 6,6 -4,11 -0,95-1,50j -0,95+1,50j 26,5 -5,10 -0,45-2,50j -0,45+2,50j 60 -6,00 0,00-3,32j 0,00+3,32j 100 -6,72 0,35-4,00j 0,35+4,00j Prof. José Juliano de Lima Jr. 188 Lugar das Raízes Pode-se plotar as raízes r1, r2 e r3 no plano complexo, a medida que K varia continu- amente, como mostrado na figura (10.2). Figura 10.2: Diagrama do lugar das raízes. Do gráfico da figura (10.2) observa-se: • Se K = K2 tem-se duas raízes reais iguais; • Se K = K3 tem-se duas raízes imaginárias puras; • Se K < K2 as raízes são reais e a resposta do sistema c(t) não oscilará; • Se K2 < K < K3 duas raízes são complexas com parte real negativa e a resposta do sistema c(t) terá termos senoidais amortecidos que produzirão uma resposta oscilatória; • Se K > K3 duas das raízes são complexas com parte real positiva, sendo a resposta c(t) uma senoide crescente. 10.4 Traçado do Diagrama do lugar das Raízes O traçado de diagramas do lugar das raízes para equações características de qualquer ordem, desenvolvida por Evans (1948), segue alguns passos. O primeiro passo é representar a função de transferência na forma padrão H(s)G(s) = K N(s) D(s) com K = const Prof. José Juliano de Lima Jr. 10.5 Conceito do Lugar das Raízes 189 N(s) = (s − z1)(s − z2) . . . (s − zm) D(s) = (s − p1)(s − p2) . . . (s − pn) A equação característica do sistema é 1 + H(s)G(s) = 0 que pode ser escrita na forma alternativa 1 + K N(s) D(s) = 0 ou D(s) + KN(s) = 0 Supõe-se que o número de pólos n é maior ou igual ao número de zero m, isto é, n ≥ m. 10.5 Conceito do Lugar das Raízes Para desenvolver o método gráfico a equação característica é escrita na forma K N(s) D(s) = −1 em termos de pólos e zeros, tem-se; K (s − z1)(s − z2) . . . (s − zm) (s − p1)(s − p2) . . . (s − pn) = −1 Prof. José Juliano de Lima Jr. 190 Lugar das Raízes Como o membro esquerdo é geralmente complexo escreve-se esta equação na forma equivalente envolvendo módulo e fase. Módulo K |s − z1||s − z2|. . . |s − zm| |s − p1||s − p2|. . . |s − pn| = 1 Fase ̸ (s − z1) + ̸ (s − z2) + . . . + ̸ (s − zm) − [̸ (s − p1) + ̸ (s − p2) + . . . + ̸ (s − pn)] = (2k + 1)π, k = 0, 1, 2, . . . sendo i qualquer número inteiro, positivo ou negativo. O lugar das raízes pode ser obtido, por tentativa e erro, usando inicialmente o critério de fase e após algum pontos que atendam este critério determina-se os valores dos ganhos K pelo critério dos módulos. 10.6 Regras para o Traçado do Lugar das Raízes Para sistemas com realimentação negativa e n ≥ m as regras são: Regra 1: O número de ramos é igual ao número de pólos da malha aberta, n; Regra 2: Os ramos começam nos pólos da malha aberta e terminam nos zeros da malha aberta. O final de (n − m) dos ramos ocorrerá nos zeros localizado no infinito, segundo assíntotas que serão descritas proximamente. No caso de um pólo de ordem r, r ramos emergem dele. Para um zero de ordem r, r ramos terminam nele. Regra 3: Lugares no eixo real. O eixo real é parte do lugar das raízes quando a soma do número de zeros e pólos à direita do ponto considerado no eixo real é ímpar. É necessário considerar apenas os zeros e pólos reais na aplicação desta regra, pois os pólos e zeros complexos sempre aparecem em pares conjugado, cancelado deste modo, seus efeitos na verificação do critérios de ângulos nos pontos do eixo real. Além disso, deve-se contar r vezes um pólo ou zero de ordem r na aplicação desta regra; Regra 4: Assíntotas. Existem (n − m) ramos que tendem (à medida que K → ∞) assintoticamente para (n − m) retas que partem do centro de gravidade dos pólos e Prof. José Juliano de Lima Jr. 10.7 Lugar das Raizes Tipicos 191 zeros da fungao transferéncia da malha aberta. O centro de gravidade é dado por: vi Pj — Donn %i Y = OO n—-m Estas assintotas fazem angulos de 2k4+1 a, =< 2Ak+) k =0,1,2,...,(n—m—1) n-m Regra 5: Ponto de separagao de partida e chegada. Os pontos onde os ramos dei- xam e regressam ao eixo real sao pontos onde K, considerado como uma fungao de ses real, atinge um maximo ou minimo local, respectivamente. Seja D(s)+ KN(s) =0 dk | D'(s)N(s) — D(s)N“(s) ds N?(s) Estes ramos deixam (ou penetram) o eixo real com angulos de +7/2. Regra 6: Interceptacao do eixo imaginario. Quando os ramos cruzam 0 eixo ima- ginario, os pontos de cruzamento e o ganho nesses pontos podem ser determinados pelo critério de Routh-Hurwitz. 10.7 Lugar das Raizes Tipicos Figura 10.3: Lugar das Raizes Tipicos. Prof. José Juliano de Lima Jr. 192 Lugar das Raízes Figura 10.4: Lugar das Raízes Típicos. Exemplo 10.1 Construir o diagrama do lugar das raízes da função de transferência em malha aberta G(s) = K (s + 1)(s + 2)(s + 3), H(s) = 1 destacando seus principais pontos. Solução i. Determinação dos pólos e zeros de malha aberta Os polos de malha aberta são determinados igualando-se o denominador de G(s) a zero. Polos: (s + 1)(s + 2)(s + 3) = 0 então p1 = −1; p2 = −2; p3 = −3. Os zeros de malha aberta são determinados igualando-se o numerador de G(s) a zero. Zeros: Não existem. ii. Número de ramos Prof. José Juliano de Lima Jr. 10.7 Lugar das Raizes Tipicos 193 Utilizando-se da regra 1 que determina que o ntimero de ramos € igual ao ntimero de polos, entao, tem-se 8 (trés) ramos pois existem 3 (trés) polos. wt. Lugar das ratzes sobre o eixo real Da regra 3 se 0 ntimero de polos mais zeros reais a direita de um ponto de teste for par entao o lugar das raizes, sobre o eixo real, esta a direita deste ponto de teste até a esquerda do préximo polo ou zero. Assim o lugar das raizes estd no eito (—oo — 3] e |—2 — 1]. iv. Ponto de partida/chegada Deve-se fazer dk —— _9 ds Assim N(s) D(s) 1+kK~—— = kK =-—— D(s) N(s) como dk D'(s)N(s) — D(S)N‘(s) ds N?(s) entao D(s) = 8° +6s*+11s+6, N(s)=1 D'(s) =3s?+12s+11, N’(s)=0 substituindo os valores 3s? + 12st11 ; — logo 8, =—2,5774, so = —1,4226 O ponto de separacao sera s = —1,4226, pois s = —2,5774 nao pertencem ao lugar Prof. José Juliano de Lima Jr. 194 Lugar das Raizes das ratzes no eixo real que € (—co — 3] e [—2 — 1]. v. Assintotas Da regra 4, como n—m = 3, entdo existem 8 (trés) asstntotas e o seu centro de gravidade € ¥y. Pi - Se 3-2-1 Y => — 0”: wi eee —2 n—m 3—0 Os dngulos que as assintotas fazem com o eixo real sao: m(2k + 1 m(2k + 1 o, = T2k+Y _ mkt) k =0,1,2. n—-m ) entao T OT OT a= z=, 41=—, @H=— OB Bt 8 vt. Pontos de interceptacao do eixo imagindrio Ponde-se obter 0 ponto de interseccao dos ramos com o eixo imagindrio de duas for- mas. A primeira e aplicando o critério de Routh-Hurwitz. Neste caso se existe algum valor zero na primeira coluna da tabela indica que existe uma interseccao do ramo com o elxo imaginario. A equagao caracteristica na forma D(s) + K N(s) =0, é: s°+6s?+11s+(K +6) =0 a partir da qual podemos escrever o arranjo de Routh anotando os valores dos coeficientes do polindmio em s. Como o maior expoente de s € 8 a tabela comeca com os coeficientes impares de s° es’. Tabela 10.2: Arranjo de Routh Linha s* |1 11 s*? |6 (K +6) si by 0 so lag Prof. José Juliano de Lima Jr. 10.7 Lugar das Raízes Típicos 195 b1 = a1 × a2 − a0 × a3 a2 = 6 × 11 − 1 × (K + 6) 6 = 0 Resolvendo para K, K = 60 Substituindo na equação característica s3 + 6s2 + 11s + (60 + 6) = 0 encontra-se as raízes s1 = −6, s2 = j √ 11, s3 = −j √ 11 logo ω = √ 11 rad/s A segunda forma de encontrar o ponto de intersecção dos ramos com o eixo imaginário e saber que uma raiz no eixo imaginário é expressa por s = jω (s = σ ± jω, σ = 0). Substituindo s = jω no polinômio característico, resulta: −jω3 − 6ω2 + 11jω + (K + 6) = 0 (K + 6 − 6ω2) + (11ω − ω3)j = 0 Igualando-se as partes real e imaginária a zero, obtém-se: 11ω − ω3 = 0 ⇒ ω2 = 11 ⇒ ω = √ 11 K + 6 − 6ω2 = 0 ⇒ K + 6 − 6 × 11 = 0 ⇒ K = 60 Assim, os ramos interceptam o eixo imaginário em ±j √ 11. Prof. José Juliano de Lima Jr. 196 Lugar das Raízes Figura 10.5: Lugar das raízes. Exemplo 10.2 Construir o lugar das raízes para o sistema (Ogata, 2000, A-6-9/315) G(s) = 10(s + 1) s(s − 3) , H(s) = 1 Solução i. zeros de malha aberta O numerador de G(s)H(s) dever ser igual a zero. 10(s + 1) = 0 ⇒ z1 = −1 ii. pólos de malha aberta O denominador de G(s)H(s) dever ser igual a zero. s(s − 3) = 0 ⇒ p1 = 0, p2 = 3 Como existem 2 pólos (n = 2), existem 2 ramos, e 1 zero (m = 1), então n−m ramos vão para o infinito, neste caso 1 ramo. iii. lugar da raízes sobre o eixo real Escolhe-se um ponto de teste, sendo o número de zeros mais pólos deve ser ímpar, então o lugar da raízes passa por esse ponto sobre o eixo real. (∞, −1], [0, 3] Prof. José Juliano de Lima Jr. 10.7 Lugar das Raízes Típicos 197 iv. função transferência de malha fechada C(s) R(s) = G(s) 1 + G(s)H(s) = K 10(s+1) s(s−3) 1 + K 10(s+1) s(s−3) = 10K(s + 1) s2 − 3s + 10Ks + 10K logo C(s) R(s) = 10K(s + 1) s2 + (10K − 3)s + 10K (i) v. equação característica A equação característica é obtida do denominador da função transferência de malha fechada. De maneira geral C(s) R(s) = G(s) 1 + G(s)H(s) então a equação característica pode ser obtida das seguintes formas: 1 + G(s)H(s) = 0, 1 + K N(s) D(s) = 0, D(s) + KN(s) = 0 (ii) com G(s)H(s) = N(s) D(s) Logo da equação (i), tem-se s2 + (10K − 3)s + 10K = 0 (iii) vi. pontos de partida/chegada Para determinas os pontos de partida/chegada faz-se a derivada de K em relação a s e iguala-se a zero. dK ds = 0 Prof. José Juliano de Lima Jr. 198 Lugar das Raizes O valor de K pode ser obtido através da equagao (iti) ou da equagao (ii). K= —D(s) N(s) dk — D'(s)N(s) — D(s)N"(s) 0 ds N(s)? 7 D'(s)N(s) — D(s)N'(s) = 0 assim, N(s) = 10(s + 1) N'(s) = 10 D(s) = s* — 3s D'(s) = 258-3 entao D'(s)N(s) — D(s)N’(s) = (2s — 3)(10(s + 1)) — (s? — 3s)(10) = 0 (2s — 3)(s +1) — (s* — 3s) =0 s°+2s—-3=0 As ratzes deste polindmio sao encontrada aplicando-se a formula de Bhaskara. A = 2-—4x1-x(-3)=16 25 4 5, =—-3 = ——s 71,2 2 sg > 1 As raizes —3 e 1 pertencem ao lugar da raizes sobre o eixo real, sendo —1 ponto de partida pois estd entre dois polos e —3 ponto de chegada. vit. interseccao dos ramos com o etxo imagindrio Como o ponto de partida 1 estd a direta do eixo imagindrio e o ponto de chegada —3 a esquerda do eixo imagindrio obrigatoriamente os ramos cortarao o eizo imaginario. Pode-se determinar este ponto de duas formas: a primeira substituindo-se s = jw na Prof. José Juliano de Lima Jr. 10.7 Lugar das Raízes Típicos 199 equação característica equação (iii) e a segunda aplicando o critério de Houth-Hurwitz. Substituindo s = jω na equação (iii), vem: s2 + (10K − 3)s + 10K = 0 (jω)2 + (10K − 3)(jω) + 10K = 0 (10K − ω2) + (10K − 3)jω = 0 assim, 10K − 3 = 0 ⇒ K = 0, 3 10K − ω2 = 3 − ω2 ⇒ ω = ± √ 3 Determinando o ponto de intersecção pelo Houth-Hurwitz, encontra-se: s2 1 10K s1 (10K − 3) 0 s0 b1 0 com b1 = (10K − 3) × 10K − 1 × 0 (10K − 3) = 10K Se (10K − 3) = 0 existe a intersecção, logo 10K − 3 = 0 ⇒ K = 0, 3 Substituindo na equação característica encontra-se o valor de ω. s2 + (10 × 0, 3 − 3)s + 10 × 0, 3 = 0 ⇒ ω = ± √ 3 viii. ponto de teste Prof. José Juliano de Lima Jr. 200 Lugar das Raizes Para possibilitar a construgao do lugar das raizes escolhe-se um ponto de teste. Va-se admitir que o lugar das ratzes € uma circunferéncia. Como o ponto de partida é 1 e o de chegada 8, considera-se que a diferenca entre eles € 0 didmetro da circunferéncia (1 — (—83) = 4, logo o raio da circunferéncia é€ 2, assim o centro estéd em -1. O ponto escolhido neste caso € —1+ 92. Para verificar se o ponto pertence ao lugar das ratzes deve-se aplicar o critério de aéngulo. Si — 55 0; = £180°(2k + 1),k = 0,1,... i=1 j=l Jw (+1, j2) eon HR 2 oo V3, K =0,3 _ 5) \ SO o 3 - -1 0 hi 2 3 \ <j / sce din Figura 10.6: Lugar da raizes - marcagoes. Do triéngulo ABD, determina-se 0,. t eno 2? ti, te! = = 26,56" a =_l COO Ee a Qay= - = 6, = 180° — ay = 180° — 26, 56° = 153, 48° Do triéngulo ABC, determina-se 02. 2-0 tga. = ——~ = 2 = ay = tg | 2 = 63, 43° 8 a2 0—(-1) 2 g 621 = 180° — ag = 180° — 63, 43° = 116, 57° Da reta AB ¢, = 90°. Deve obedecer o critério de fase para um ponto pertencer ao lugar das raizes. Prof. José Juliano de Lima Jr. 10.7 Lugar das Raizes Tipicos 201 Si — SO; = £180°(2k + 1),k = 0,1,... i=1 j=l 1 — (0; + 02) = 90° — (153, 43° + 116, 57°) = 90° — 270° = 180° Logo os pontos s; = —1+ 2 pertencem ao lugar das ratzes. iz. centro de gravidade da assintota O centro de gravidade da assintota esta localizado na abscissa ¥. vi Pi ~ oie Zi Y = OO n-m (0 + 3) — (-1) Y 9-1] Y x. Gdngulo da assintota com o eixo real O dngulo da assintota é medido no sentido antihorario. 180°(2k + 1 An = 1OORFD 8g (nm) n-m ag = 180°,k = 0 Jw (-1,j2) |. j2 7 OO ) 2 ; —j2 Figura 10.7: Lugar da raizes. Prof. José Juliano de Lima Jr. 202 Lugar das Raízes Exemplo 10.3 Determine os valores de a tal que o sistema de controle em malha fechada, mostrado na figura (10.8), seja estável quando aplicada uma entrada do tipo degrau unitário, isto é, tenha resposta em malha fechada estável, fazendo o Lugar da Raízes e usando o Critério de Houth-Hurwitz. Determine em seguida o valor de a para que o sistema em malha fechada tenha fator de amortecimento ζ = 0, 5 para os polos dominantes (Ogata, 2000, A-6-13/320). Figura 10.8: a) Sistema de Controle e b) Lugar das raízes. Solução i. Determinação da equação característica Seja G(s) = 10(s + a) (s + 8)s(s + 1), H(s) = 1 Sabe-se que: 1 + H(s)G(s) = 0 logo 1 + 10(s + a) (s + 8)s(s + 1) = 0 s(s + 1)(s + 8) + 10(s + a) = 0 s3 + 9s2 + 8s + 10s + 10a = 0 s3 + 9s2 + 18s + 10a = 0 Pode-se escrever esta equação característica de na forma 1+H(s)G(s) = 0 explicitando a variável a para se construir o lugar das raízes. Prof. José Juliano de Lima Jr. 10.7 Lugar das Raízes Típicos 203 1 + 10a s3 + 9s2 + 18s = 0 1 + K s3 + 9s2 + 18s = 0, K = 10a Assim tem-se a redefinição de H(s) e G(s). H(s) = 1, G(s) = K s3 + 9s2 + 18s ou s3 + 9s2 + 18s + K = 0 Os polos de malha aberta são determinados igualando-se o denominador de G(s) a zero ou fazendo-se K = 0. Polos: s3 + 9s2 + 18s = 0 então s(s2 + 9s + 18) = 0 s1 = 0 ∆ = 92 − 4 × 1 × 18 = 9 s2,3 = −9 ± √ 9 2 s2 = −3, s3 = −6 sendo os polos p1 = 0; p2 = −3; p3 = −6. Os zeros de malha aberta são determinados igualando-se o numerador de G(s) a zero. Prof. José Juliano de Lima Jr. 204 Lugar das Raizes Zeros: Nao existem. ut. Numero de ramos Utilizando-se da regra 1 que determina que o ntimero de ramos € igual ao ntimero de polos, entao, tem-se 8 (trés) ramos pois existem 3 (trés) polos. iu. Lugar das ratzes sobre o eixo real Da regra 8 se o ntimero de polos mais zeros reais a direita de um ponto de teste for par entao o lugar das raizes, sobre o eixo real, esté a direita deste ponto de teste até a esquerda do préximo polo ou zero. Assim o lugar das raizes sobre o eixo real esté nos intervalos (—oo, —6] e [—3, 0]. iw. Assintotas Da regra 4, como o ntimero de polos € 3 e o ntimero de zeros € zero, entao, n -—m = 3—0= 3, assim existem 3 (trés) asstntotas e o seu centro de gravidade é 4. _dLjari~Viia _-6-3+0_, 7 n—m 3—0 Os dngulos que as assintotas fazem com o eixo real sao: m(2k + 1 m(2k + 1 o, = TARE _mPRFN plots, n—-m ) entao T OT OT Aa=-=, @a=—, a =— OB Bt 8 v. Ponto de partida/chegada Para encontrar os pontos, sobre o eixo real, nos quais os ramos deizam o eixo real deve-se fazer dk — _9 ds Assim N(s D(s 1+k Ns) =>k= _ Pls) D(s) N(s) Prof. José Juliano de Lima Jr. 10.7 Lugar das Raizes Tipicos 205 como dk _ D'(s)N(s) — D(S)N‘(s) ds N?(s) entao D(s) = s°+9s*+18s, N(s)=1 D'(s) = 3s* + 18s+18, N’(s) =0 substituindo os valores 387 + 1854+ 18 _9 7 — entao A=6-4x1x6=12 —6+V12 $1.2 = — 2 §2 = —l, 27, $3 >= —4, 73 logo O ponto de separagao seré s = —1,27, pois s = —4,73 nao pertencem ao lugar das ratzes no eixzo real que € (—oo, —6] e [—3, 0]. vt. Pontos de interceptacao do eixo imagindrio Ponde-se obter os pontos de interseccao dos ramos com o eizo imagindrio de duas formas. A primeira e aplicando o critério de Routh-Hurwitz. Neste caso se existe algum valor zero na primeira coluna da tabela formada pelos coeficientes da equacao caractertstica indica que existe uma interseccao dos ramos com o eizo imaginario. A equagdao caracteristica na forma D(s) + K N(s) =0, é: s?+9s?+18s+ kK =0 a partir da qual podemos escrever 0 arranjo de Routh anotando os valores dos coeficientes Prof. José Juliano de Lima Jr. 206 Lugar das Raízes do polinômio em s. Como o maior expoente de s é 3 a tabela começa com os coeficientes ímpares de s3 e s1. Tabela 10.3: Arranjo de Routh Linha s3 1 18 s2 9 K s1 b1 0 s0 c1 b1 = a1 × a2 − a0 × a3 b1 = 9 × 18 − 1 × K 9 = 0 Resolvendo para K, K = 162 Substituindo na equação característica s3 + 9s2 + 18s + 162 = 0 encontra-se as raízes s1 = −9, s2 = j √ 18, s3 = −j √ 18 logo o ponto de intersecção dos ramos com o eixo imaginários vale ω = ±j √ 18 rad/s A segunda forma de encontrar o ponto de intersecção dos ramos com o eixo imaginário e saber que uma raiz no eixo imaginário é expressa por s = jω (s = σ ± jω, σ = 0). Substituindo s = jω no polinômio característico, resulta: −jω3 − 9ω2 + 18jω + K = 0 (K − 9ω2) + (18ω − ω3)j = 0 Prof. José Juliano de Lima Jr. 10.7 Lugar das Raízes Típicos 207 Igualando-se as partes real e imaginária a zero, obtém-se: 18ω − ω3 = 0 ⇒ ω2 = 18 ⇒ ω = √ 18 K − 9ω2 = 0 ⇒ K − 9 × 18 = 0 ⇒ K = 162 Assim, os ramos interceptam o eixo imaginário em ±j √ 18. Figura 10.9: Lugar da raízes. vii. Determinação dos valores de a Como K = 10a ⇒ a = K 10 = 162 10 = 16, 2 Assim a          > 16, 2 − sistema instável = 16, 2 − sistema marginalmente estável 0 < a < 16, 2 − sistema estável viii. Resposta para a = 17 Prof. José Juliano de Lima Jr. 208 Lugar das Raízes A figura (10.10) apresenta a resposta em malha fechada do sistema para a = 17. Nota- se que o sistema tem uma resposta crescente com o tempo, isto é, o sistema é instável. Figura 10.10: Sistema instável. ix. Resposta para a = 16.2 A figura (10.11) apresenta a resposta em malha fechada do sistema para a = 16.2. Nota-se que o sistema tem uma resposta harmônica com o tempo, isto é, o sistema é marginalmente instável. Figura 10.11: Sistema marginalmente estável. x. Resposta para a = 15 A figura (10.12) apresenta a resposta em malha fechada do sistema para a = 15. Nota-se que o sistema tem uma resposta decrescente com o tempo, isto é, o sistema é estável. xi. Pontos de interceptação do eixo imaginário Ponde-se obter o ponto de intersecção dos ramos com o eixo imaginário aplicando o critério de Routh-Hurwitz. Neste caso se existe algum valor zero na primeira coluna da tabela indica que existe uma intersecção do ramo com o eixo imaginário. Prof. José Juliano de Lima Jr. 10.7 Lugar das Raízes Típicos 209 Figura 10.12: Sistema estável. A equação característica na forma D(s) + KN(s) = 0, é: s3 + 9s2 + 18s + K = 0 a partir da qual podemos escrever o arranjo de Routh anotando os valores dos coeficientes do polinômio em s. Como o maior expoente de s é 3 a tabela começa com os coeficientes ímpares de s3 e s1. Tabela 10.4: Arranjo de Routh Linha s3 1 18 s2 9 K s1 c1 0 s0 d1 b1 = a1 × a2 − a0 × a3 a2 = 9 × 18 − 1 × K 9 = 0 Resolvendo para K, K = 162 Logo K = 10a ⇒ a = K 10 = 162 10 ⇒ a = 16, 2 Prof. José Juliano de Lima Jr. 210 Lugar das Raízes xii. ponto s Para que o sistema em malha fechada tenha amortecimento ζ = 0, 5 deve-se encontrar o ponto que corresponde a intersecção da reta com inclinação θ com o eixo imaginário, sentido antihorário, com os ramos. Assim ζ = sen θ ⇒ θ = sin−1 ζ = sin−1 0, 5 ⇒ θ = 30o Logo o polo procurado é: s = −a + jb, a = ωn sen 30o, b = ωn cos 30o s = ωn(−0, 5 + j0, 866) = ωne120o xiii. determinação de a Substituindo na equação característica, tem-se: ω3 ne360o + 9ω2 ne240o + 18ωne120o + K = 0 (ω3 n − 4, 5ω2 n − 9ωn + K) + j(−7, 8ω2 n + 15, 6ωn) = 0 −7, 8ω2 n + 15, 6ωn = 0 ⇒ ωn = 2 rad/s 23 − 4, 5 × 22 − 9 × 2 + K = 0 ⇒ K = 28 Logo K = 10a ⇒ a = K 10 = 28 10 ⇒ a = 2, 8 xiv. lugar das raízes A figura (10.13) apresenta o lugar das raízes do sistema destacando a interseção da reta de fator de amortecimento 0,5 com o ramo encontrado K = 28 e por conseguinte a = 2, 8. xv. Reposta no tempo A figura (10.14) apresenta a resposta em malha fechada do sistema para uma entrada degrau unitário com a = 2, 8 Prof. José Juliano de Lima Jr. 10.7 Lugar das Raízes Típicos 211 Figura 10.13: Lugar das raízes K = 28. Figura 10.14: Resposta em MF do sistema com ζ = 0, 5. Prof. José Juliano de Lima Jr. 212 Lugar das Raízes Prof. José Juliano de Lima Jr. Capítulo 11 Ações de Controle Básicas 11.1 Introdução Um controlador automático compara o valor real da grandeza de saída do processo com a grandeza de referência (valor desejado), determina o desvio e produz um sinal de controle que reduzirá o desvio a zero ou a um valor pequeno. A maneira pela qual o controlador automático produz o sinal de controle é chamado de ação de controle. O objetivo de um controlador pode ser sintetizado, como: • Minimizar a resposta em regime permanente; • Minimizar o tempo de estabilização (alterar) e • Alterar a resposta transitória tal que minimize o sobre sinal (overshoot). 11.2 Diagrama de Blocos - Sistema de Controle Controlador Processo ou Planta Sensor Sinal de Referˆencia Sinal de Erro Sinal de Controle Sinal de Controle Vari´avel Manipulada Dist´urbio Vari´avel Controlada Sinal do Sensor + + +- Comando ou Amplificado Sinal de Atua¸c˜ao Sinal de Amplificador R(s) Gc(s) E(s) Gg(s) Ga(s) Gp(s) Gs(s) Atuador U(s) M(s) D(s) A(s) C(s) S(s) Transdutor de Entrada Ge(s) X(s) Figura 11.1: Modelo de um Sistema de controle. 11.3 Classificação dos Controladores Analógicos Indus- triais • Controladores de duas posições ou liga-desliga (on-off); Prof. José Juliano de Lima Jr. 214 Ações de Controle Básicas • Controladores do tipo proporcionais - P; • Controladores do tipo proporcional e integral - PI; • Controladores do tipo proporcional e derivativo - PD; • Controladores do tipo proporcional, integral e derivativo - PID; • Controladores do tipo proporcional, integral e derivativo modificados. 11.4 Exemplo Sistema de Controle Figura 11.2: Equipamentos de Controle: a) transdutor de temperatura; b) controlador PID; c) conversor corrente-pressão (4-20 mA para 3-15 psi ou 0,21 -1,05 bar) e d) válvula de regulação comandada a ar (3-15 psi). 11.5 Equipamentos de Controle Figura 11.3: Equipamentos de Controle. Prof. José Juliano de Lima Jr. 11.5 Equipamentos de Controle 215 Figura 11.4: Controlador Lógico Programável. A figura apresenta uma variedade de CLPs utilizados amplas na indústria. É apresentada a interface homem máquinas e um exemplo de instalação do CLP. Figura 11.5: a) Dispositivo de Programação e b) Instalação CLP o que é? É um equipamento eletrônico dotado de software e hardware capaz de automatizar, controlar e monitorar máquinas, processos específicos ou linhas de produção. Vantagens • Redução de custo: são mais econômicos e não demandam grande volume de fiação, nem manutenções; • Programação com uso de linguagens de aprendizagem intuitiva, como a Ladder; • Monitoramento on-line, permitindo o acompanhamento dos processos em tempo real e • Manutenção simples, com o próprio CLP indicando a existência de erros. Estrutura • CPU: Microprocessador ou Unidade Central de Processamento do CLP, que faz a leitura dos valores lógicos das entradas, segue os comandos do programa instalado e direciona as ações das saídas Prof. José Juliano de Lima Jr. 216 Ações de Controle Básicas • Fonte de Alimentação, 220 V; • Processador; • Memória; • Entradas do CLP: Digitais e Analógicas; • Saídas do CLP: Digitais e Analógicas e • Dispositivo de Programação. Principais Marcas • Siemens • Rockwell; • Schneider; • WEG; • GE e • ABB • Os elementos primários de medição têm por função medir alguma propriedade do sistema e convertê-la em um sinal que possa ser utilizado para controle; • Tipicamente, o sensor e o transmissor estão localizados perto do processo, e por isso são denominados "elementos de campo". Existem diversas padronizações para o envio de sinais a um sistema de controle: • O padrão pneumático (pressões de ar de 0,2 a 1,0 kgf/cm2 ou de 3 a 15 psi), usual há alguns anos, está praticamente em desuso; • O padrão eletrônico consiste em sinais de corrente de 4 a 20 mA, 10 a 50 mA e 1 a 5 V; • O padrão digital - o protocolo fieldbus de comunicação digital, em que os elementos de campo trocam informações entre si. Prof. José Juliano de Lima Jr. 11.5 Equipamentos de Controle 217 O elemento final de controle mais utilizado na indústria química é a válvula de controle; Basicamente, a válvula de controle é uma válvula capaz de variar a restrição ao escoamento de um fluido em resposta a um comando recebido na forma de um sinal padrão. Em geral, o movimento da haste da válvula é obtido pelo balanço entre duas forças: a tensão de uma mola ligada à haste (função da posição da haste), e a força exercida sobre um diafragma na cabeça da válvula (função da pressão de ar na cabeça da válvula). O comando da válvula é feito pela variação da pressão de ar fornecido à válvula. Existem diversas padronizações para o envio de sinais a um sistema de controle: • Um dos aspectos importantes na especificação de uma válvula de controle é a sua posição de falha, ou seja, sua posição na ausência do sinal de controle externo; • Esta especificação é geralmente ditada pela segurança do processo; • Em algumas aplicações, como no suprimento de vapor para um aquecedor, é desejável que a válvula feche na falta de um sinal de comando: esta válvula é chamada de falha-fecha, ou ar-para-abrir; • Em outras situações, a segurança do processo exige a abertura da válvula em caso de falha do sistema: falha-abre, ou ar-para-fechar. Figura 11.6: Válvula de Controle. Prof. José Juliano de Lima Jr. 218 Ações de Controle Básicas Figura 11.7: Válvula de Controle tipo on-off. 11.6 Simbologia de Instrumentação As figuras a seguir apresentam um resumo da simbologia de instrução usada no meio industrial. 11.7 Malha Fechada - Exemplo Seja o sistema de controle de um fluido conforme figura(11.7): 11.7.1 Ação de Controle de 2 Posições ou liga-desliga (on-off) 11.7.2 Controle PID • Devido à sua simplicidade e eficiência, o controlador PID tem sido muito usado nas indústrias; Prof. José Juliano de Lima Jr. 11.7 Malha Fechada - Exemplo 219 Prof. José Juliano de Lima Jr. 220 Ações de Controle Básicas Figura 11.8: Simbologia de Instrumentação-Exemplo. Prof. José Juliano de Lima Jr. 11.7 Malha Fechada - Exemplo 221 Figura 11.9: Simbologia de Instrumentação-Exemplo. Figura 11.10: Malha Fechada - Exemplo. Figura 11.11: Diagrama de blocos de um controlador liga-desliga. Prof. José Juliano de Lima Jr. 222 Acoes de Controle Basicas e A uniao das 3 agoes é suficiente para resolver grande parte dos problemas industriais; e Permite 0 ajuste dos parametros durante o funcionamento; e Permite o controle de sistemas cujo modelo matematico é desconhecido; e A fungao PID pode ser observada facilmente nos CLPS, as quais este controlador esta presente, sendo necessdrio apenas 0 ajuste dos parametros do PID. Seja o sinal de controle u(t): 1 de(t u(t) = K,(e(t)+— [ewae + 72) (11.1) T; dt K, de(t u(t) = K,e(t) + 7 ewa + Kr (11.2) de(t u(t) = Ky,e(t)+ K, f e(tjae + Koo (11.3) Passando Laplace, tem-se: 1 4s K; K, s? + Kys + K; G(s) = K,+—+Kys = (11.5) s s 11.7.3. Controlador Proporcional Considerando Kg = K; = 0, 0 PID é@ um controlador proporcional que pode ser visto como um controle de volume. e Aumentando-o ajuda a reduzir os efeitos dos disttirbios e a sensibilidade a variagao de parametros na planta; e Porém nao rejeita completamente disttirbios e erros em estado estacionario geral- mente irao persistir (off-set); e A eliminacao do off-set sd é possivel, através de um ajuste manual da saida do controlador, isto é, tirar o controlador do modo automAético e passar para manual; e Também aumentando muito o ganho pode levar o sistema em malha fechada a instabilidade e amplificagao de ruidos de medidas presentes no sistema e Prof. José Juliano de Lima Jr. 11.7 Malha Fechada - Exemplo 223 • um ponto positivo é sua simplicidade. O controle proporcional pode ser obtido através do circuito eletrônico formado por amplificadores operacionais e resistência. Na figura SP é o set point ou referência, PV é a variável do processo ou variável controlada, R é a resistência elétrica e V0 é a tensão de saída proporcional ao erro e Kp = R1/R2 é o ganho proporcional. Figura 11.12: Circuito elétrico do controlador P. Matias (2002). O controle proporcional age proporcionalmente ao erro. P(s) = Gc(s)E(s) = KpE(s) + Ps (11.6) com: • Kp - ganho do controlador • Ps - bias - valor do controlador quando o erro for zero. BP% = 100 Kp BP = 1 Kp Figura 11.13: Controle proporcional ideal e real. BP - É a percentagem do range do instrumento (variável controlada) que corresponde ao curso completo do elemento final de controle. Se BP é de 20%, significa que uma variação de 20% no erro produzirá uma variação de 100% na saída, ou seja, a válvula se moverá de totalmente aberta para totalmente fechada ou vice-versa. Em resumo: quanto maior a banda proporcional, mais dificilmente ocorrerá saturação de controle, ou seja, maior é a região de comportamento linear para o controlador PID. Prof. José Juliano de Lima Jr. 224 Acoes de Controle Basicas mee “TOT awn = EL TTT TAA sey LT TV ALA “TCC AT I. oft] | eter TT weet » et Tt wo AAP TT TT o SZ A oO 20 ATT TUTTI YI Figura 11.14: Faixa ou banda proporcional - BP. BP= Umax — Umin Ky Considerando-se os limites do controle, tem-se que o sinal que sera efetivamente apli- cado é descrito da seguinte forma: u(t) == Z — w(t) Figura 11.15: Faixa ou banda proporcional - BP. Ibo Figura 11.16: Resposta de um controlador proporcional. 1 11.7.4 Controlador Proporcional-Integral O controle proporcional e integral age proporcionalmente ao erro e fazendo a integragao do erro. K; K, P(s) = G.(s)E(s) = (x, + “) E(s), Ky= 7 (11.7) 8 i Prof. José Juliano de Lima Jr. 11.7 Malha Fechada - Exemplo 225 R = 1/Ti com: • Ki - ganho integral; • Ti - tempo integral ou taxa de reset; • R é chamado de taxa de reestabelecimento, que é o no. de vezes por minuto que a parte proporcional da ação é duplicada. O controle integral pode ser obtido através do circuito eletrônico formado por ampli- ficador operacional, resistência e capacitor sendo 1/Ti = −1/(RC) o tempo reset da ação integral. Figura 11.17: Circuito elétrico do controlador I Matias (2002). A figura mostra o circuito elétrico de um controlador proporcional e integral. Figura 11.18: Circuito elétrico do controlador PI Matias (2002). 11.7.5 Controlador Proporcional-Derivativo • a parte integral do controlar elimina o erro (off-set), pois aumenta o tipo do sistema; Prof. José Juliano de Lima Jr. 226 Ações de Controle Básicas Figura 11.19: a) Diagrama de blocos de controlador PI; b) degrau unitário na entrada e c) resposta do controlador. • quanto maior o R, mais rápida será a correção devido a ação integral; • a ação integral aumenta a instabilidade do sistema, pois acrescenta um pólo domi- nante em zero. O controle derivativo pode ser obtido através do circuito eletrônico formado por am- plificador operacional, resistência e capacitor, sendo Td = −RC o tempo derivativo. Figura 11.20: Circuito elétrico do controlador D Matias (2002). A figura mostra o circuito elétrico de um controlador proporcional e derivativo Figura 11.21: Circuito elétrico do controlador PD Matias (2002). O controle proporcional e derivativo age proporcionalmente ao erro e fazendo a deri- vação do erro. P(s) = Gc(s)E(s) = (Kp + Kds) E(s) (11.8) Prof. José Juliano de Lima Jr. 11.7 Malha Fechada - Exemplo 227 Figura 11.22: Resposta de um controlador proporcional-integral. 2 com: • Kd - ganho derivativo; • Td - tempo derivativo; Figura 11.23: a) Diagrama de blocos de controlador PD; b) rampa unitária na entrada e c) resposta do controlador. • O tempo derivativo é definido como o tempo em minutos em que o modo derivativo adianta o efeito proporcional; • quanto maior o tempo derivativo mais forte é a ação derivativa; • a ação derivativa acrescenta amortecimento na resposta da variável controlada; • a ação derivativa é uma ação de antecipação, pois determina a inclinação do erro; • não elimina do off-set; • é mais utilizado em processos de variação lenta. Sua aplicação resulta em respostas mais rápidas. Prof. José Juliano de Lima Jr. 228 Acoes de Controle Basicas eee nee Vw Ta MEDIO Trerscusso ‘Tempo (minutos) Figura 11.24: Resposta de um controlador proporcional-derivativo. 3 11.7.6 Controlador Proporcional-Integral-Derivativo O controle proporcional, integral e derivativo age proporcionalmente ao erro, inte- grando e derivado o erro. K; P(s) = G_.(s)E(s) = | Kp + > + Kgs ) E(s) (11.9) Oo Kull - ie Fike: Mest Figura 11.25: a) Diagrama de blocos de controlador PID; b) rampa unitdrio na entrada e c) resposta do controlador. e tem os trés parametros de ajuste: ganho ou faixa proporcional, taxa de reset ou tempo integral e tempo derivativo; e utilizado quando se deseja uma grande rapidez de corregao, auséncia de off-set, aliado a um desvio maximo reduzido; e em geral, nao ha necessidade de acao derivativa no controle de nivel e pressao; e a adicao do modo derivativo em vazao se torna contraproducente; e o modo derivativo é adicionado normalmente no controle de temperatura por ser considerada uma varidvel de racao lenta; O controle proporcional, integral e derivativo pode ser obtido através do circuito ele- tronico formado por amplificadores operacionais, resisténcias e capacitores. Prof. José Juliano de Lima Jr. 11.7 Malha Fechada - Exemplo 229 Figura 11.26: Circuito elétrico do controlador PID Matias (2002). Figura 11.27: Resposta de um controlador proporcional-integral-derivativo. 4 Figura 11.28: Correção dos modos de controle. 5 Prof. José Juliano de Lima Jr. 230 Acoes de Controle Basicas 11.8 Acao Derivativa - Salto Derivativo No sistema PID basico, no qual a acao derivativa é Tys, se o sinal de referéncia for uma funcao degrau, por causa do termo derivativo, o sinal de controle u(t) envolvera um impulso delta de Dirac. Em controladores PID reais, em vez do termo derivativo Ty, emprega-se: Tys Ge(s) = 7 Wve + 1 que é um filtro de primeira ordem. Os valores de N, sao: . Valores praticos: 8 < N < 16 . Valores Teéricos: 1 < N < 33 11.8.1 Acao Derivativa - Amplificagcao do Ruido Se o ruido de medida for n(t) = A senwt o sinal de controle apresentaré uma resposta u(t) = K,TywA coswt considerando apenas a acao derivativa. Quando w for muito grande implica que K,,7qwA sera um valor grande, isto é, ampli- ficacao do ruido de alta frequéncia, que pode causar danos ao atuador. 11.8.2 Alteracao da Acao Derivativa 1 Tas G(s) = K, | 1+—+=—_—— (s) (eg) ou Prof. José Juliano de Lima Jr. 11.9 Wind-up da Ação Integral 231 Figura 11.29: PID em paralelo com filtro derivativo de 1a ordem. Gc(s) = Kp + Ki s + Kds Td N s + 1 11.9 Wind-up da Ação Integral • Quando o valor da variável de controle atinge o limite máximo ou mínimo do atuador ocorre a saturação do sinal de controle. • Este fato faz com que a malha de realimentação seja de certa forma quebrada, pois o atuador permanecerá no seu limite máximo ou mínimo, independentemente do sinal de saída do processo. • Se um controlador com ação integral é utilizado, o erro continuará a ser integrado e o termo integral tende a se tornar muito grande, isto é, carregar-se demasiadamente. • Neste caso para que o controlador saia da saturação é necessário que o termo integral se descarregue. • Portanto dever-se-á esperar que o sinal de erro troque de sinal e, por um longo período de tempo, aplicar na entrada do controlador, um sinal de erro oposto. • A consequência é que a resposta transitória do sistema tenderá a ficar lenta e osci- latória, características extremamente indesejável em um processo industrial. • Existem vária maneiras de se evitar o wind-up da ação integral impedindo que o integrador continue a se carregar quando a saturação ocorre. Prof. José Juliano de Lima Jr. 232 Acoes de Controle Basicas Kp Tg s Tg s+1 N E(s) W(s) | — U(s) K 1 p ©) aa | E.(s) Tt Figura 11.30: Tracking anti-windup, back-calculation 11.9.1 Back Calculation e Na saturacéo E,(s) sera diferente de zero e o sinal na entrada do integrador nao sera mais Ky —F 7 Els) mas K, 1 —-—E — FE, TEs) + Es) e Em regime permanente K,T, E,(s) =-—“E (s) T, (s) A entrada do integrador sera igual a zero prevenindo o seu carregamento demasiado. e O tempo para a entrada do integrador chegue a zero é determinada pelo ganho 1/7;, com TJ; sendo a constante que determina o quao rapido a entrada do integrador sera levada a zero. e Na pratica Ta << Ti regra empirica T, = VTiTa Prof. José Juliano de Lima Jr. 11.10 PID nos equipamentos industriais 233 11.10 PID nos equipamentos industriais Observa-se que diferentes tipos de controladores podem ter diferentes estruturas. Isto significa que se um controlador em uma certa malha de controle for realocado para outro tipo de controlador, os parâmetros do controlador possivelmente devem ser mudados. A figura (11.31) apresenta o algoritmo atual para alguns equipamentos. É importante sempre consultar o manual do fabricante pois este pode ter sofrido alterações ou melhorias. Figura 11.31: PID de controladores industriais Pinto (2014). 11.11 Ajuste dos Controladores • Tentativa e erro; • Sintonia manual; • Simulação. 11.12 Método Heurístico de Ziegler e Nichols (década de 40) Desenvolvido por J. G. Ziegler e N. B. Nichols, ambos da Taylor Instrument Compa- nies, foi o primeiro método de ajuste sistemático dos parâmetros de um controlador PID Prof. José Juliano de Lima Jr. 234 Ações de Controle Básicas (Ziegler & Nichols 1942). Os autores desenvolveram regras empíricas de ajuste dos parâ- metros do controlador, baseado em testes práticos manuais realizados em determinados processos com o controlador comercial Fulscope da Taylor. Alguns critérios de desempenho que podem ser usados para a sintonia de controladores do tipo PID: • O menor sobressinal ou overshoot; • O menor tempo de subida; • O menor tempo de estabilização; • Mínima energia ou atuação na variável manipulada; • Utilização de um índice de desempenho para avaliar a qualidade do controle. Porém, o principal critério para ajuste de uma malha de controle seja satisfeito é a estabilidade. • Este Método é principalmente aplicado quando não se conhece a função transferência do Sistema. • Caso a função transferência seja conhecida existe outros métodos mais eficientes para se determinar os ganhos do compensadores. Existem dois métodos: • Primeiro Método: Baseado em um processo de malha aberta com função transfe- rência de 1a ordem com atraso de transporte; • Segundo Método: Baseado no ganho crítico, malha fechada, quando a resposta fica oscilatória harmônica. Figura 11.32: Característica do método. Prof. José Juliano de Lima Jr. 11.13 Aproximacao de Padé 235 ‘i a te Figura 11.33: Primeiro método - MA. 11.12.1 Primeiro Método - Ziegler-Nichols A curva em S pode ser caracterizada por duas constantes: e L - tempo de atraso; e 7 - constante de tempo; e K - ganho estatico. Tabela 11.1: 1° Método de Ziegler-Nichols PI 095|)/45] 0 PID 1,2 | 2L | 0,5L C(s) | Ke"'* M(s) Ts+1 G(s) = K,(1+—-+ Ts) =1,2 (14 +0,5hs OTS ONE Ts OO] ORE Qhs 2 0,67 (s+ 4) —1 G(s) _— “K 5s”? p= 0, 21,2 = L 11.13 Aproximacao de Padé O Atraso de transporte em Laplace é modelado por Ga(s) =e *"4 (11.10) Prof. José Juliano de Lima Jr. 236 Acoes de Controle Basicas Existem intimeras formas de aproximar uma fungao dada f(x), por fungoes mais sim- ples ou com propriedades mais interessantes, tais como: e aproximagao polinomial f(x) & pp(x) = S- cx" i=0 e séries de poténcia f" Xv f” (xo) n Fw) © Flea) + F(@o)(« ~ 29) + LO (a — a9)? + 2 PE o — 0) e fragoes continuadas QA4\ x Fe) = bo + + - x ooo e funcgodes racionais ~ Pn(X) _ i=0 aya! f(x) = ——~ = er n(2) yj=0 Ajx A desvantagem de usar polinémios para a aproximagao é sua tendéncia a oscilacgoes. Este comportamento pode ser reduzido com o uso de funcgoes racionais, que sao razoes de polinémios. (Xx ax" r(x) = Pa ) _ diz Qn(X) Fig 5X9 Por exemplo eo] eo 3 e= Fat oy tap be Usando a aproximagao de Padé que é uma razao de polindmios, tem-se: er/2 1424248 4..4 _— 2 22.2! 23.3! 2” .n! (11 11) —2x x a2 23 nar . ew? l-staty ate tet (Ue Uma aproximacao de Padé de la Ordem é obtida fazendo n = 1 na equagao (11.11) Prof. José Juliano de Lima Jr. 11.13 Aproximacao de Padé 237 eo. 2+2 ey — 2—2 e uma aproximacao de Padé de 2a Ordem fazendo n = 2 na equacao (11.11). 2. 8+4a +2? e x ———— 8 — 4a + 2? Assim para o atraso de transporte a aproximacao de Padé de 1a Ordem fica: elas yy 2 — Tas 2+ Tys Aproximacao de Padé de ordem 1 —s + 0,02 G(s)-—2t Sistema aproximado els 1 x 28 + 0,02 100s+1 100s+1 °° s+0,02 Exemplo 11.1 Considere 0 sistema G(s) com atraso de transporte no qual um compensador PI é utilizado para controlar o processo. Utilize o 1° Método de Sintonia de Ziegler-Nichols de forma que o valor maximo do sobre sinal seja de 25% a uma entrada degrau unitaria. Ke7'0s 1 G(s) = ———.,, H(s) = 1, K = 1, G.(s) = Kp(1+— como L = 10, T = 100, K = 1, entao £ = im =0,15S0,1< £ < 03, Fator de controlabi- lidade, ok. Prof. José Juliano de Lima Jr. 238 Acoes de Controle Basicas Da tabela do Primeiro Método, vem T 100 K, = 0,9—— = 0,9— = K, =9 PKL" 10 p L 10 T= sh=— 0,3 0,3 1 0,3 90s + 2,7 G.(s) = K,{1+—]=9 —} = G.(s) = ————_ @)=K, (1472) =9(s+ 54) = G0) = 48 10. Método de Ziegler-Nichols Figura 11.34: M.F. usando a exponencial e M.F. usando a aproximacao de Padé de la ordem. Existem duas maneiras de diminuir o sobre sinal atual Mp = 1,711 > Mp% = 71,1%, atraso de transporte exponencial Mp = 1,573 > Mp% = 57, 3%, atraso de transporte Padé A primeira é reduzir 0 ganho K;, reduzindo as oscilagoes. Por exemplo Kj, = 4p Mp = 1,246 > Mp% = 24, 6%, atraso de transporte exponencial Mp = 1,246 > Mp% = 24, 6%, atraso de transporte Padé A 2a maneira é alterando a posicgao do zero do compensador PI que vale: 21,2 = —0, 03 Prof. José Juliano de Lima Jr. 11.13 Aproximação de Padé 239 Figura 11.35: M.F. exponencial e M.F. Padé de 1a ordem PID reajustado K′ p = Kp/4. Para por exemplo z1,2 = −0, 01 Assim Mp = 1, 381 ⇒ Mp% = 38, 1%, atraso de transporte exponencial Mp = 1, 261 ⇒ Mp% = 26, 1%, atraso de transporte Padé Figura 11.36: M.F. exponencial e M.F. Padé de 1a ordem PID reajustado z1,2 = −0, 01. Prof. José Juliano de Lima Jr. 240 Ações de Controle Básicas Figura 11.37: L. R. Original e reajustado z1,2 = −0, 01. 11.13.1 Segundo Método - Ziegler-Nichols Este método é aplicado quando o sistema tem ordem igual ou superior a 3 ou pelo menos um retardo de transporte, pois dessa forma o Lugar das Raízes cruza o eixo ima- ginário. Neste segundo método ajustam-se primeiramente os valores de Ti = ∞ e Td = 0, para que se tenha exclusivamente a ação proporcional. Figura 11.38: Segundo método - MF. Tabela 11.2: 2o Método de Ziegler-Nichols Controlador Kp Ti Td P 0, 5Kcr ∞ 0 PI 0, 45Kcr Pcr 1,2 0 PID 0, 6Kcr 0, 5Pcr 0, 125Pcr Prof. José Juliano de Lima Jr. 11.13 Aproximacao de Padé 241 G.(s) = K, l+247 0,6Ke, (1+ : +0, 125P, AS) = mpm SJ] =U, cr 7 ED. ’ crs P T,' 4 0, 5P.ps 2 (s + x) _4 G. = 0, 075K Pep ~~, = 0, = >a (s) ; Pp 41,2 P, 11.13.2 Ziegler-Nichols - Observagoes E importante atentar para algumas consideracées para os métodos de Ziegler-Nichols Pinto (2014): e O fator de controlabilidade, que é dado por L/T, deve ser sempre observado; e Quando o mesmo for entre 0,1 e 0,3, serao obtidos boas sintonias; e Quando o fator for entre 0,3 e 1,4 serao obtidos sintonias razodveis; e Quando o fator for acima de 4, as sintonias gerarao sistemas instaveis; e O Método de sintonia de Ziegler e Nichols ¢ muito agressivo gerando declinios em torno de 25% (decaimento de 1/4) e fator de amortecimentos proximos 4 0,25; e Foi desenvolvido para controladores anal6gicos e nao para os controladores digitais empregados atualmente; e Se o periodo critico P.,. for grande, o Método pode gera decaimentos maiores que 25% tendendo a instabilidade; e Uma solucao é aumentar 0 atraso somando-se a metade do periodo critico: L’ = L+ Fox assim substitui-se L por L’ no Método; e O Método de Ziegler e Nichols produz respostas muito oscilatérias e uma solugao para suavizar a resposta é usar a metade do valor do ganho critico K/,. = Kon: 11.13.3 Segundo Método - Ziegler-Nichols Ganho critico e periodo critico (Critério Routh-Hurwitz) usando o sistema aproximado por Padé de 1* Ordem 27 Ky = 20, 7; Wer = 0,208 rad/s; P., = — = 30,28; K =1 Wer Prof. José Juliano de Lima Jr. 242 Acoes de Controle Basicas Da tabela do Segundo Método, vem K, = 0,45k., = 0,45 x 20,7 > K, = 9,3 1 30, 2 T; = — Por T; = —_ 2" 1,2 1 1,2 281,45 + 11,2 G(s) = Kp {1+——} =9,3 —* |) = G(s)= (s) = Kp ( r i) (s r io) (s) 30, 28 Existem duas maneiras de diminuir o sobre sinal atual Mp = 1,900 > Mp% = 90, 0%, atraso de transporte exponencial Mp = 1,752 > Mp% = 75, 2%, atraso de transporte Padé A primeira é reduzir 0 ganho K;, reduzindo as oscilagoes. Por exemplo Kj, = 4p Mp = 1,351 > Mp% = 35, 1%, atraso de transporte exponencial Mp = 1,348 > Mp% = 34, 8%, atraso de transporte Padé ‘a 20. Método de Ziegler-Nichols Figura 11.39: M.F. exponencial e Padé reajustado A) = K,/4. 11.13.4 Método do Decaimento de 1/4 O ganho é variado até que a resposta apresente a razao de 1/4 entre picos consecutivos. Ganho 1/4 e periodo 1/4 Prof. José Juliano de Lima Jr. 11.13 Aproximação de Padé 243 Figura 11.40: L.R. sistema compensado original e reajustado K′ p = Kp/4 Figura 11.41: Método do decaimento de 1/4. Tabela 11.3: Ajuste dos controladores - Método do Decaimento de 1/4. Controlador Kp Ti Td P PI PID K1/4 0,9 K1/4 1,2 K1/4 0 T1/4 T1/4 0 0 T1/4/4 Prof. José Juliano de Lima Jr. 244 Acoes de Controle Basicas 27 Kiya = 10; W1/4 = 0, 137 rad/s; Th /4 = —_— = 46s, K=1 CW /4 Da tabela do Método de Decaimento de 1/4, vem K, =0,9-/4 =0,9x10 > K, =9 p= 097F = 09x 10 > Ky = T, = Tj, => T; = 46 1 1 414s +9 G. = K, 1 —_——_ = 9 — > G. = (s) = Kp ( r 7) (: r a) (s) = 45, 46 - Método do Decaimento de 1/4 Figura 11.42: Método de Decaimento 1/4. 11.13.5 Exemplos Exemplo 11.2 ° Considere o sistema G(s) no qual um compensador PID @ utilizado para controlar o processo. Utilize o Método de Sintonia de Ziegler-Nichols de forma que o valor maximo do sobre sinal seja de 25% a uma entrada degrau unitdria. Caso nao ocorra realize uma sintonia fina para reduzir este valor. G(s) ! H(s) =1, Gels) —Kp (14-47 8) = ——: As) = 1, Gels) = aT s(s + 1)(s +5) i Solucao ® Ziegler Nichols_O1.m Prof. José Juliano de Lima Jr. 11.13 Aproximação de Padé 245 i. equação característica G(s) = 1 s(s + 1)(s + 5) = 1 s3 + 6s2 + 5s 1 + KG(s) = 0 1 + K 1 s3 + 6s2 + 5s = 0 s3 + 6s2 + 5s + K = 0 ii. Lugar das Raízes Figura 11.43: Lugar das Raízes de G(s). iii. Determinação do ganho crítico Pode ser determinado substituindo-se s = jω na equação característica do sistema. (jω)3 + 6(jω)2 + 5(jω) + K = 0 ⇒ (−6ω2 + K) + j(−ω3 + 5ω) = 0 Assim as partes real e imaginárias devem ser iguais a zero. −ω3 + 5ω = 0 ⇒ ω(−ω2 + 5) = 0 ⇒ ω = 0, ω = ± √ 5 rad/s −6ω2 + K = 0 ⇒ −6 × 5 + K = 0 ⇒ K = 30 Prof. José Juliano de Lima Jr. 246 Acoes de Controle Basicas iv. Ganho Critico e periodo critico 2 2 Km =30, Py = == =2,81 w V5 v. ajuste do compensador PID Da tabela do Segundo Método de Ziegler e Nichols, tem-se: k, = 0,6Ke, = 0,6 x 30 > kK, = 18 T; = 0,5P, =0,5 x 2,81 > 7;=1,4 Ty = 0,125P,, = 0,125 x 2,81 => Ty = 0,35 Assim os ganhos do controlador PID em paralelo, sao: Kp 18 T; 1,4 Ky = K,Ty = 18 x 0,35 > Ka = 6,3 vi. compensador PID 6,32s? + 18s + 12,81 7 42,85s4+ 2,03 G(s) = Ree ROS FAS! _ 6. 39 (a) S S vil. zeros do compensador 21,2 = —1, 424 viii. Sistema compensado C= G.(s)G(s) 6, 32s? + 18s + 12,8 1 1+ Ge(s)G(s)— s*+6s3 +11, 3s? + 18s + 12,8 ix. Resposta ao degrau do sistema compensado Sobresinal de M, = 1,62 > M,% = 62% x. Refinamento do compensador Pode-se altera o zero do compensador com isso aumenta-se 0 amortecimento, por exemplo: Prof. José Juliano de Lima Jr. 11.13 Aproximação de Padé 247 Figura 11.44: Sistema compensado. z1,2 = −0, 8 Assim o sobre sinal fica Mp = 1, 29 ⇒ Mp% = 29% ou reduzir o ganho do compensador pela metade K′ p = Kp 2 = 18 2 ⇒ K′ p = 9 Assim o sobre sinal fica Mp = 1, 21 ⇒ Mp% = 21% xi. Resposta ao degrau do sistema compensado original e ajustado xii. Lugar das raízes do sistema compensado original e ajustado Prof. José Juliano de Lima Jr. 248 Ações de Controle Básicas Figura 11.45: Sistema compensado reajustado K′ p = 9. Figura 11.46: L. R. do sistema compensado reajustado K′ p = 9. Prof. José Juliano de Lima Jr. Capítulo 12 Controle Usando o Lugar das Raízes 12.1 Introdução Objetivos: • apresentar procedimentos para o projeto e a compensação de sistemas de controle lineares, invariantes no tempo, monovariáveis (uma entra e uma saída - SISO). • Compensação significa modificações da dinâmica do sistema, visando satisfazer a um dado conjunto de especificações; • enfoques do projeto e compensação de sistemas de controle adotado será o do lugar das raízes (resposta em frequência, alocação de pólos e outros). 12.1.1 Especificações de desempenho • Os sistemas de controle são projetados para permitir a execução de tarefas especí- ficas. • Os requisitos impostos ao sistemas são usualmente designados como especificações de desempenho. • As especificações de desempenho se relacionam, geralmente, a exatidão, estabilidade relativa e velocidade da resposta. • As especificações de desempenho podem ser dada em termos quantitativos, valo- res numéricos precisos, ou qualitativos, parcialmente através de enunciados e ou parcialmente através de valores numéricos precisos. • As especificações de desempenho não deveriam ser mais apertadas do que o neces- sário à execução da tarefa a que se destina. Prof. José Juliano de Lima Jr. 250 Controle Usando o Lugar das Raízes • A etapa mais importante do projeto de sistemas de controle consiste em estabelecer precisamente as especificações de desempenho de modo a conduzir a um sistema de controle ótimo em relação a um dado objetivo. • Se o objetivo primordial for a exatidão na operação em regime permanente, não se deve, então, impor especificações de desempenho desnecessariamente rígidas sobre o regime transitório, que podem resultar na utilização de componentes dispendiosos. 12.1.2 Compensação de Sistemas • O ajuste do ganho é a primeira etapa na adequação de um sistema para um desem- penho satisfatório. • E muitos casos práticos, somente o ajuste do ganho não é suficiente para promover as alterações de comportamento do sistema e assim atingir as especificações dadas. • Frequentemente um aumento do ganho melhora o comportamento em regime per- manente mas resulta em deficiência de estabilidade e mesmo em instabilidade. • Então, é necessário reprojetar o sistemas, modificando a estrutura ou incorporando dispositivos ou componentes adicionais, para alterar o comportamento como um todo, de modo que o sistema se comporte como desejado. • Um procedimento de reprojeto é chamado de compensação. • Um dispositivo inserido no sistema com o propósito de satisfazer as especificações de desempenho é chamado de compensador. 12.1.3 Compensação em série e através de retroação Figura 12.1: a) Realimentação negativa, B) Realimentação tacométrica. Prof. José Juliano de Lima Jr. 12.1 Introdução 251 • Ao se compensar sistemas de controle, verifica-se que o problema se reduz ao projeto adequando de um compensador em série ou através de retroação. • A escolha entre eles depende da natureza do sinais no sistema, do nível de potência nos diversos pontos, dos componentes disponíveis, da experiência do projetista, de considerações econômicas, e assim por diante. • De modo geral a compensação em série pode ser mais simples que a compensação através de retroação. • A compensação em série requer, frequentemente, amplificadores adicionais para au- mentar o ganho e/ou propiciar isolamento. • Para evitar problemas de dissipação de potência, o compensador em série é inserido no ponto de menor nível de potência no percurso direto. • Em geral, o número de componentes requeridos no compensador através de retroação é menor que o da compensação em série. • Neste caso deve-se dispor de um sinal adequado, considerando que o fluxo de energia se dá do nível de potência mais alto para o mais baixo (amplificadores adicionais pode não ser necessário). 12.1.4 Compensadores Dentre as muitas espécies de compensadores amplamente usados estão os compensa- dores: • de avanço de fase; • de atraso de fase; • de avanço-atraso de fase e • de retroação de velocidade (compensação tacométrica). Observação: Os compensadores clássicos são casos particulares dos compensadores: PI Atraso de Fase PD Avanço de Fase PID Avanço e Atraso de Fase Prof. José Juliano de Lima Jr. 252 Controle Usando o Lugar das Raízes Figura 12.2: a) Realimentação negativa, B) Realimentação tacométrica. 12.1.5 Procedimentos de projetos • Estabelecer um modelo matemático para o sistema; • ajustar os parâmetros do compensador; • verificar o desempenho do sistema para cada ajustes dos parâmetros; • construir um protótipo; • testar o sistema em malha aberta no protótipo; • testar o desempenho a malha fechada no protótipo (efeito de carga entre compo- nentes, não-linearidades, parâmetros distribuídos que não foram levados em consi- deração no modelo); • fazer as modificações no protótipo até que as especificações de desempenho sejam alcançadas; • implementar o sistema de controle projetado. 12.2 Considerações Preliminares 12.2.1 Efeitos da adição de pólos A adição de um pólo à função de transferência a malha aberta tem por efeito puxar o lugar das raízes para a direita, tendendo diminuir a estabilidade do sistema e tornar mais lenta a acomodação da resposta (similar ao efeito da ação integral). Prof. José Juliano de Lima Jr. 12.2 Considerações Preliminares 253 Figura 12.3: a) lugar das raízes com um único pólo; b) com dois pólos; c) com três pólos. A adição de um zero à função de transferência a malha aberta tem por efeito puxar o lugar das raízes para a esquerda, tendendo a tornar o sistema mais estável e mais rápida a acomodação da resposta (similar ao efeito da ação derivativa). Figura 12.4: a) lugar das raízes com três pólos; b), c) e d) efeito da adição de um zero. 12.2.2 Definições • sistema de fase mínima: Se todos os pólos e zeros de um sistema estiverem no semiplano esquerdo do plano s, então o sistema é chamado de fase mínima. • sistema de fase não-mínima: Se um sistema possui pelo menos um pólo ou um zero no semiplano direito do plano s, então o sistema é chamado de fase não-mínima. Para um sistema de fase mínima, a função transferência pode ser determinada, univocamente, a partir da curva de módulo. 12.2.3 compensadores 12.2.4 Técnica de compensação O enfoque do lugar das raízes para projeto é efetivo quando as especificações são dadas em termos de grandezas no domínio do tempo, tais como: ∗ Regime transitório: Prof. José Juliano de Lima Jr. 254 Controle Usando o Lugar das Raízes Figura 12.5: a) Sistema de fase não-mínima; b) gráfico do lugar das raízes. Figura 12.6: Configurações de pólos e zeros: a) estrutura de avanço de fase; b) estrutura de atraso de fase. Prof. José Juliano de Lima Jr. 12.2 Considerações Preliminares 255 • fator de amortecimento, ζ (ζ = sen θ) e frequência natural não amortecida, ωn, dos pólos a malha aberta dominante que se deseja; • tempo de pico, tp = π ωd; • valor máximo de ultrapassagem, Mp = e −ζπ √ 1−ζ2 ; • tempo de subida, tr = π−β ωd e • tempo de acomodação, ts2% = 4 ζωn. ∗ Regime permanente: • constante estática de erro de posição, Kp = lims→0 G(s) • constante estática de erro de velocidade ,Kv = lims→0 sG(s) • constante estática de erro de aceleração, Ka = lims→0 s2G(s) 12.2.5 Compensação por Avanço de Fase Considera-se o problema de projeto no qual o sistema seja estável ou instável, mas com características da resposta transitória indesejáveis. Este problema pode ser resolvido através da inserção de um compensador de avanço de fase apropriado em cascata com a função de transferência do percurso direto. +− Gc(s) G(s) H(s) R(s) E(s) U(s) C(s) Figura 12.7: Sistema de controle. 12.2.6 Procedimentos Os procedimentos para se projetar um compensador por avanço de fase para o sistema mostrado na figura (12.7), são: • 1) A partir das especificações de desempenho determina-se a posição desejada dos pólos de malha fechada dominantes. • 2) Pelo desenho do lugar das raízes identifica-se se os pólos a malha fechadas domi- nantes podem ser alocados nas posições desejadas ajustando-se apenas o ganho do sistema. Prof. José Juliano de Lima Jr. 256 Controle Usando o Lugar das Raízes – Se não for possível, calcula-se a deficiência φ. – Este ângulo deve ser acrescentado pelo compensador de avanço de fase se se desejar que o novo lugar das raízes passe nas posições requeridas para os pólos de malha fechada dominantes. • 3) Admite-se que o compensador por avanço de fase Gc(s) seja da forma: Gc(s) = Kcα Ts + 1 αTs + 1 = Kc s + 1 T s + 1 αT (0 < α < 1) (12.1) com α e T determinados a partir do valor da deficiência angular φ e Kc a partir do requisito de ganho de malha aberta. • 4) Se as constantes de erro estático não forem especificadas, determina-se as posições do pólo e zero do compensador de modo que a contribuição angular deste seja o valor do ângulo α necessário. – Se nenhum outro requisito for imposto ao sistema, tenta-se fazer α o maior valor possível que usualmente resulta num elevador valor de Kv. – Se for especificada a constate de erro estático, geralmente é mais simples usar o enfoque da resposta em frequência. • 5) Determina-se o ganho de malha aberta do sistema compensado pela condição de módulo. • 6)Uma vez que se tenha projetado o compensador, verifica-se se as especificações de desempenho foram alcançadas. – Se o compensador não atender às especificações de desempenho, repete-se então o procedimento de projeto. – Se for requerida uma constante de erro estático com valor elevado, acrescenta- se uma estrutura de atraso de fase em cascata ou se substitui o compensador por avanço de fase por um compensador de atraso-avanço de fase. 12.2.7 Exemplo 1 1Exemplo 7-1, pg. 339, Ogata. 3a Edição Prof. José Juliano de Lima Jr. 12.2 Consideracgoes Preliminares 257 Projetar um controlador de modo que o tempo de estabilizacao 2% seja de 2sea maxima ultrapassagem seja de 16% para o sistema mostrado na figura (12.8a) e lugar das raizes mostrado na figura (12.8b). jo ~ _ j2 Pélos a malha fechada t > \ ~ jl CY - -4 3 -2\ | 0 loo \ os \ ~j2 — 3 (a) (b) Figura 12.8: a) Sistema de controle; b) lugar das raizes. i) Fungao transferéncia de malha fechada C(s)__ G(s) __ =m _ 4 R(s) 1+G(s) 1l+at, 8?+2s+4 ii) Polos e zeros de malha aberta e Zeros: nao existe zeros finitos e Polos: py = 0 e py = —2. iti) Polos e zeros de malha fechada e Zeros: nao existe zeros finitos e Polos: s?+2s+4=0 > pig = -L£jV32eH PO = wel, iv) Frequéncias naturais de malha fechada Figura 12.9: a- pdlos complexos; b- retas de coeficientes de amortecimento ¢. _ 2 2 _ Ten G _ _ 2 Wn = 4/(—Cwn)? +w5, tg = —— = —=—,, ¢ = send, wa = Wn V1 -¢ Wd J/1— ¢ Prof. José Juliano de Lima Jr. 258 Controle Usando o Lugar das Raizes Wry = \/(—1)2 + (V3)? = 2 rad/s Wn2 = \/(—1)? + (—V3)? = 2 rad/s v) fatores de amortecimento de malha fechada 6 = te! +50 =30° V8 ¢ = sen30° = 0,5 @ = sen30°=0,5 vi) Tempo de estabilizacao e maxima ultrapassagem t a ‘ >t 4 =O TO = S Cun «0,5 x2” —¢nr —0,57 M, = ev-? = evi-05? => M, = 0,1630u M, = 16,3% Logo o ponto de trabalho atual do sistema atende a maxima ultrapassagem, mas nao atende ao tempo de estabilizacao. vii) Pélo especificado O novo polo deve satisfazer a condicao especificada: 4 4 toy = 2 > Wy, = — = > > , = 4rad % on = Fe xO n= Arad/s ¢=0,5 > M, = 16,3% logo 0 novo ponto de trabalho, é: Prof. José Juliano de Lima Jr. 12.2 Consideracgoes Preliminares 259 a = w, send=4~x sen30° > a=2 b = w,cosé = 4x cos30° => b= 2/3 Sy = 2+ J2V/3 = 4eF 90490) & ges 170" s = a+b > [Pola Ip El-LRCL][tan}o > s, = ze" s, = ze =| SHIFT [ Ree( [Ee [al) [Ele[2CLltan]o => 8,;=a+ jb Figura 12.10: Lugar das raizes do sistema nao compensado. iz) angulo do sistema com o novo pdlo LG(s) = bi D6 1=1 1=1 G(s1) 4 4 4e)°° 3) = OTE eee ‘ s1(8, +2) (—2 + j2V/3)(—2 + j2V3-42) — dell2° x 2/390" £G(s,) = 0° — (120° + 90°) = —210° = 150° x) deficiéncia angular LG(s1) + ZG.(s1) = £180°(2k + 1) Prof. José Juliano de Lima Jr. 260 Controle Usando o Lugar das Raízes 150o + ̸ Gc(s1) = 1800 ⇒ ̸ Gc(s1) = 30o ωn = 4 ζts2% = 4 0, 5 × 2 ⇒ ωn = 4 rad/s logo a = ωn sen θ = 4 × sen 30o ⇒ a = 2 b = ωn cos θ = 4 × cos 30o ⇒ b = 2 √ 3 s1 = −2 + j2 √ 3 = 4ej(30o+90o) = 4ej120o Obs: Apresenta-se a sequência de comandos para fazer as transformação de coorde- nadas retangulares para polar e vice e versa na calculadora casio. s1 = a + jb ⇒ Pol( a , b ) = z RCL tan θ ⇒ s1 = zejθ s1 = zejθ ⇒ SHIFT Rec( z , θ ) = a RCL tan b ⇒ s1 = a + jb Figura 12.11: a- Determinação do pólo e do zero da estrutura de avanço de fase; b- lugar das raízes do sistema compensado. Da figura (12.11), tem-se: Prof. José Juliano de Lima Jr. 12.2 Consideracgoes Preliminares 261 54 + aT =0,185 aT “es a9 S 1 =0,345 T ~~ ? as) 0,185 a= ae > a=0,536 ou 1 _ sen (4 **) _ 4 sen (fence | —] _ 9 928 pwn sen (See) ~ ax sen (180260 +30" ) 7 T 3 Lo sen (@a8+2) “ay sen, (180°=60° 30° ) . 1 = 161 aT sen (Rs) gen ( 1i02=60°=30" ) or s+2,9 G. = K.——— (s) s4 5.4 zi) Determinacao do ganho k,. (s+2,9) 4 s+2,9 G.(s)G(s) = K.———— —_. = k (8)@(s) (s+5,4)s(s+2) (5 +5,4)s(s +2) K=4k, Prof. José Juliano de Lima Jr. 262 Controle Usando o Lugar das Raizes | K(s + 2,9) | 1 (s+ 5,4)(s+2)]. o 98 2,9 s(s + 5, 4)(s +2) s=—24j2V3 (—2 + j2/3 + 2,9) || oO = 1 (—2 + j2V/3)(—2 + j2V3 + 5, 4)(—2 + j2V3 + 2) (—2 + j2V3)(3,4 + j2V3)(j2v3) 3.58 J 75,4° i Aeh120° x 4, 85e445.5° x 2y/3eI90° || x |]0,0533e7"°"| = 1 K K=18,80 => K.= 7T = 4,70 rii) Fungao transferéncia do compensador s+2,9 G(s) = 4, 70 ——— (s) 5454 ziti) Fungao transferéncia do sistema compensado s 18, 8(s + 2,9) 18, 8s + 54,5 G(s) = G.(s)G(s) = ——w ee (s) (s)G(s) s(s+2)(s+5,4) s3+7,4s? 4+ 10,8s ziv) Fungao transferéncia a malha fechada do sistema compensado C(s) G(s) 18, 8s + 54,5 R(s) 14+G(s) 88 + 7,48? + 29,68 + 54,5 Como o sobre sinal do sistema compensado foi de 20,9 % nao atendendo as espe- cificagdes de controle pode-se fazer um refinamento da resposta do sistema controlado alterando-se a posigao do zero do compensador de 2,9 para 2,5, figura (12.14). O Lugar das raizes do sistema nao compensado e compensado é apresentado na figura mostrando que a compensagao de avanco de fase altera de forma significativa o lugar das raizes do sistema nao compensado. Prof. José Juliano de Lima Jr. 12.2 Considerações Preliminares 263 Figura 12.12: Lugar das raízes do sistema compensado. 0 1 2 3 4 5 6 t (s) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Sinais de Saída c1 e c1 Resposta ao Degrau Unitário não compensado Mp=16.3 % compensado: Mp=20.9 % Figura 12.13: Resposta ao degrau unitário do sistema não compensado e compensado. 0 1 2 3 4 5 6 t (s) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Sinais de Saída c1 e c1 Resposta ao Degrau Unitário não compensado Mp=16.3 % compensado: Mp=15.6 % Figura 12.14: Alterando o zero do compensador de 2,9 para 2,5. Prof. José Juliano de Lima Jr. 264 Controle Usando o Lugar das Raízes Figura 12.15: Lugar das raízes do sistema não compensado e compensado. 12.3 Compensação por Atraso de Fase 12.3.1 Técnicas • Considere o problema de encontrar uma estrutura de compensação adequada para o caso em que o sistema apresenta resposta transitória com características satisfatórias mas cujo comportamento estacionário seja insatisfatório. • A compensação, neste caso, consiste essencialmente em aumentar o ganho a malha aberta sem mudar apreciavelmente as características da resposta transitória. • O lugar das raízes nas proximidades dos pólos dominantes não deve mudar sensivel- mente mas o ganho a malha aberta deve ser aumentado tanto quanto o necessário. • Para evitar uma mudança considerável no lugar das raízes, a contribuição angular da estrutura de atraso de fase deve ser limitada a um valor muito pequeno, digamos −5o. • O pólo e o zero do compensador são colocados juntos e próximos da origem do plano s. • Considere-se um compensador por atraso de fase Gc(s), com: Gc(s) = ˆKcβ Ts + 1 βTs + 1 = ˆKc s + 1 T s + 1 βT , β > 1 • Se o pólo e zero do compensador forem colocados muito próximos um do outro,então, Prof. José Juliano de Lima Jr. 12.3 Compensacao por Atraso de Fase 265 em s = 8;, com s; sendo um polo a malha fechada dominante, entao: 1 . SIT . IG-(s1)|= Ke——- = Ke Sita 1 BT e Se K. = 1 as caracteristicas da resposta transitéria nao serdo alteradas e o ganho global da f.t. a malha aberta aumentou de um fator §, 6 > 1. e Um aumento no ganho significa um aumento nas constantes de erro estatico. e A constante de erro estatico de velocidade K,, do sistema nao compensado, é: K, = lim sG(s) s—0 e A constante de erro estatico de velocidade K,, do sistema compensado, é: K, = lim sG,(s)G(s) = limG,(s) lim sG(s) = limG,(s)K, = K.6K, s—0 s—0 s—0 s—0 Entao a constante de erro estatico de velocidade é aumentada de um fator @, com K.& 1. Os procedimentos para se projetar um compensador de atraso de fase para o sistema da figura(12.7), sao: e 1) Constréi-se o lugar das raizes para o sistema nao compensado cuja F.T. a malha aberta é G(s). e 2) Com base nas especificagdes da resposta transitoria, localizam-se, sobre o lugar das raizes, os polos dominantes a malha fechada. e 3) Admite-se que a F. T. do compensador por atraso de fase seja 1 ~ Ts+1 , 5 T G.(s) = K.6———— = K.——— c(S) POPs +l “ep BT e {) A F.T. a malha aberta do sistema compensado se torna G(s) = G.(s)G(s). e 5) Calcula-se o valor da constante de erro estatico particular especificada no pro- blema. e 6) Determina-se o acréscimo no valor da constante de erro estatico necessario para se atender as especificacoes. Prof. José Juliano de Lima Jr. 266 Controle Usando o Lugar das Raízes • 7) Determina-se o pólo e o zero do compensador por atraso de fase que produzam o aumento no valor da constante de erro estático particular, sem alterar significati- vamente os lugares das raízes. • 8) A relação entre o valor de ganho requerido pelas especificações e o valor do ganho encontrado no sistema sem compensação é a relação requerida entre as distâncias do zero à origem e do pólo à origem. • 9) Traça-se o novo diagrama do lugar das raízes para o sistema compensado. • 10) Localiza-se, sobre o lugar das raízes, os pólos a malha fechada dominantes nas posições desejadas. – Se a contribuição angular do compensador por atraso de fase for pequena, isto é, uns poucos graus, então os lugares das raízes originais e o novo serão quase idênticos – Em caso contrário, haverá uma pequena discrepância entre eles. • 11) Localizam-se, então, sobre o novo lugar das raízes, os pólos a malha fechada dominantes desejados com base nas especificações de regime transitório da resposta. • 12) Ajusta-se o ganho ˆKc do compensador a partir das condições de módulo de modo que os pólos a malha fechada dominantes estejam na posição desejada. 12.3.2 Exemplo 2 Projetar um compensador por atraso de fase de modo a não alterar significativamente a resposta transitória e que diminua o erro estático de velocidade em 10 vezes, mantendo o coeficiente de amortecimento do sistema a malha fechada. Figura 12.16: a) Sistema de controle; b) lugar das raízes. i) Sistema a ser compensado 2Exemplo 7-2, pg. 346, Ogata. 3a Edição Prof. José Juliano de Lima Jr. 12.3 Compensação por Atraso de Fase 267 G(s) = 1, 06 s(s + 1)(s + 2), H(s) = 1 ii) Pólos e zeros a malha aberta • zeros: não existem zeros finitos • pólos: s(s + 1)(s + 2) = 0 ⇒ p1 = 0; p2 = −1; p3 = −2 iii) Malha fechada C(s) R(s) = G(s) 1 + G(s) C(s) R(s) = 1,06 s3+3s2+2s 1 + 1,06 s3+3s2+2s = 1, 06 s3 + 3s2 + 2s + 1, 06 iv) Pólos e zeros a malha fechada • zeros: não existem zeros finitos • pólos: s3 + 3s2 + 2s + 1, 06 = 0 ⇒ p1 = −2, 3386; p2,3 = −0, 3307 ± 0, 5864j = 0, 6732e±j119,4o v) frequência natural e fator de amortecimento −ζωn jωd = ωn √1 − ζ2 ωn θ β X X 0 σ jω s1 s2 ζ = sin θ ζ = 0 ζ ≥ 1 ζ < 0 ζ = 0 ζ < 0 Figura 12.17: a- pólos complexos; b- retas de coeficientes de amortecimento ζ. Prof. José Juliano de Lima Jr. 268 Controle Usando o Lugar das Raizes —CWn ¢ Wn = \/(—Cw,)?+u2 tg? = —— = = ( ¢ ) d g Wa J1—-@ senOd = ¢ e frequéncias naturais de malha fechada - polos complexos Wn = 1/(—0, 3307)? + 0, 5864? = 0, 6732 rad/s e Angulo de fase 0, 3307 0= tg '-~—— = §=29,4° © 0.5864 e fator de amortecimento ¢ = sen29,4° > ¢€ =0,4912 vt) Constante de erro estatico de velocidade do sistema nao compensado 1, 06 K, = lim sG(s) = lim s———~—_ = 0,53 s"! s—0 s—0 s(s + 1)\(s + 2) A constante de erro especificada para o sistema compensado é K, = 10 Ky, entao: ry : : : PS Ky Ky, = lim sGc(s)G(s) = lim Gc(s) lim sG(s) = K.6k, > 6 =— =10 s—0 s—0 s—0 Ky Obs: RK. ~1 vii) Escolha do poélo e zero do compensador A relacao entre z lal _ IPI e a contribuigao angular do compensador nao deve ser maior do que —5°. Sao escolhidos z = —0,05 e p = 2/10 = —0, 005 Entao a F.T. do compensador, fica: Prof. José Juliano de Lima Jr. 12.3 Compensação por Atraso de Fase 269 Gc(s) = ˆKc s + 0, 05 s + 0, 005 Para o pólo dominante a malha fechado do sistema não compensado, s = −0, 3307 + 0, 5864j, a contribuição angular do compensador, é: Gc(s) = ˆKc −0, 3307 + 0, 5864j + 0, 05 −0, 3307 + 0, 5864j + 0, 005 = −0, 2807 + j0, 5864 −0, 3257 + j0, 5864 = 0, 6501ej115,58o 0, 6708ej119,05 ̸ Gc(s) = 115, 58o − 119, 05o = −3, 47o, |Gc(s)|= 0, 6501 0, 6708 = 0, 9691 Obs: com esta contribuição angular haverá uma pequena modificação no lugar das raízes do sistema compensado próximo aos pólos a malha fechada dominantes desejados. viii) F.T. a malha aberta do sistema compensado. ˆG(s) = Gc(s)G(s) = ˆKc (s + 0, 05) (s + 0, 005) 1, 06 s(s + 1)(s + 2) ˆG(s) = K(s + 0, 05) (s + 0, 005)s(s + 1)(s + 2) com K = 1, 06 ˆKc ix) Lugar da raízes Figura 12.18: Lugar das raízes do sistema compensado e pólo dominante. x) Novo pólo dominante mantendo o mesmo ζ = 0, 4912 Do gráfico do lugar das raízes do sistema compensado, figura (12.18), tem-se: Prof. José Juliano de Lima Jr. 270 Controle Usando o Lugar das Raizes s, = —0,31+4 0,55) ou através de calculos. s K(s+0,05) C(s) _ G(s) (8 #0,005)s(s+1)(s+2) — A — K (s+0,05) R(s) 1+G(s) 1+ (s+-0,005)s(s+1)(s+2) C(s) K(s + 0,05) R(s) — s4 +. 3, 00553 + 2,015s2 + (0,01 + K)s +0,05K Fazendo-se K = 1 na equacao caracteristica encontra-se os polos dominantes de malha fechada. s* + 3,005s° + 2,015s* + 1,01s + 0,05 =0 812 = —0,3149 + j0, 5405 = 0, 6256e*170" zi) Ganho de malha aberta | K(s + 0,05) | 4 (s + 0,005)s(s + 1)(s + 2)],- 9 31494-j0,5405 IK| (—0, 3149 + 70, 5405 + 0, 05) ye (—0, 3149 + 70,5405 + 0, 005)(—0, 3149 + 70, 5405) 1 ey * (—0, 3149 + 70, 5405 + 1)(—0, 3149 + 70, 5405 + 2) | Prof. José Juliano de Lima Jr. 12.3 Compensagao por Atraso de Fase 271 K| —0, 2649 + 70,5405 (—0, 3099 + j0, 5405) x 0,6256e!?9.2° x (0, 6851 + 70, 5405) 1 x ———_———__| = 1 (1, 6851 + 70, a IK| 0, 6019eN61” 1 0, 6230e119:83° x 0, 6256¢!20:2° x 0, 872663827" x 1, 7697e!7,78° | 0, 6019e'611" 0, 6019e79°- |||, De 789,90" | — 1 Entao * “ K 1,0 K=1,0K, > k.=— =—— 1,06 1,06 K, = 0,9434 zii) F.T. a malha aberta do sistema compensado. s 1,0(s + 0,05) G(s) = G.(s)G(s) = — J (8) = Gels)G(8) = T9 O05)s(s + I) 22) s s+0,05 G(s) = ———__ 2 (S) = 773, 00559 +2, 01bs? + 0,015 riii) Constante de erro estatico de velocidade do sistema compensado “ s 0,05 K, = li = — = —l lim sG(s) 0.01 5,08 riv) F.T. a malha fechada do sistema compensado Prof. José Juliano de Lima Jr. 272 Controle Usando o Lugar das Raízes C(s) R(s) = ˆG(s) 1 + ˆG(s) C(s) R(s) = 1, 0235s + 0, 05 s4 + 3, 005s3 + 2, 015s2 + 1, 034s + 0, 05 xv) Pólos e zeros a malha fechada do sistema compensado • Zeros: z = −0, 05 • Pólos: p1 = −2, 3201; p2,3 = −0, 3149 ± 0, 5405j; p4 = −0, 0551 xvi) Freq. natural e fator de amortecimento a malha fechada do sistema compensado ωn1 = 0, 0551 ζ1 = 1 ωn2 = 0, 6260 ζ2 = 0, 5030 ωn3 = 0, 6260 ζ3 = 0, 5030 ωn4 = 2, 3200 ζ4 = 1 Como ωn do pólo dominante do sistema compensado, 0, 6260, é 7, 0% menor do que do sistema não compensado, 0, 6732, a resposta transitória do sistema compensado é mais lenta que a do sistema original, resultando num tempo de acomodação maior (ts2% = 4/(ζωn)). xvii) Comparação entre o lugar das raízes do sistema não compensado e compensado Figura 12.19: Lugar das raízes do sistema não compensado e compensado. xviii) Resposta a excitação rampa xix) Resposta degrau xx) Comentário Prof. José Juliano de Lima Jr. 12.3 Compensação por Atraso de Fase 273 Figura 12.20: Resposta a entrada rampa do sistema não compensado e compensado. Figura 12.21: Resposta a entrada degrau do sistema não compensado e compensado. Prof. José Juliano de Lima Jr. 274 Controle Usando o Lugar das Raizes e A constante de erro estacionario de velocidade passou de 0,53 para 5,12 que corres- ponde a uma aumento de 9,7 vezes; e O compensador aumentou a ordem do sistema de 3 para 4; e O polo a malha fechada acrescentado -0,0551 fica proximo ao zero do compensador -0,05, que da origem a uma espécie de cauda alongada de pequena amplitude na resposta transitoria. 12.4 Compensacao por Atraso e Avanco de Fase e A compensacgao por avanco de fase basicamente torna a resposta mais rapida e aumenta a estabilidade do sistema. e A compensacao por atraso de fase melhora a exatidao do sistema em regime estaci- onario, mas reduz a velocidade de resposta. e A compensagcao por atraso e avanco de fase combina as vantagens das compensacoes especificas por atraso de fase e avanco de fase. 12.4.1 técnicas Considera-se 0 sistema mostrado na figura(12.7)._ Admita-se o uso do compensador por atraso e avanco de fase: Tys+1)(Tos+1 G(s) = KAO Et) 7 (4s + 1) (6T2s +1) * +2 +2 s+— s+— G.(s) = K, (5 2 (12.2) s+— _— T, S+ BT, com 6 > 1, y >1e K, pertencendo a parte de avanco de fase do compensador por atraso e avanco de fase. 12.4.2. passos y 4 § No projeto de compensadores por atraso e avanco de fase, consideram-se dois casos: VF Bey=—B. Prof. José Juliano de Lima Jr. 12.4 Compensacao por Atraso e Avanco de Fase 275 e 1) A partir das especificagdes de desempenho fornecidas, determina-se a posicao desejada dos polos a malha fechada dominantes. e 2) Usando-se a F.T. a malha aberta G(s) do sistema nao compensado, determina-se a deficiéncia angular @ para que os polos dominantes estejam na posicao desejada. — A parte de avanco de fase do compensador deve contribuir com este angulo @. e 3) Admitindo-se que adiante sera escolhido o valor T> suficientemente alto de modo que o médulo da parte de atraso de fase 1 S — T> ~~] _ - S —_ BT | -5, com s; é um dos polos dominantes. e Escolhem-se os valores de TJ; e y a partir do requisito _1 S] — p45 ~ 9 S] + J T, A escolha de TJ, e y nao é tinica, existe um nimero infinito de combinacoes. e 4) Determina-se, em seguida, o valor de K, a partir da condigaéo de médulo _1 S — ak a = s+ Ti s=s1 e 5) Se a constante de erro estatico de velocidade K,, é especificada, determina-se o valor de 6 que satisfaz o requisito de K,. K, = limsG,(s)G(s) s—0 +2 +2 s+— s+— Ky = limsk, 4 — te G(s) s>0 S+ ae st to qi BT Ky = lim Kee G(s) s—0 Y Prof. José Juliano de Lima Jr. 276 Controle Usando o Lugar das Raizes onde Kk, e y foram determinados na etapa 4. e 6) Em seguida, usando-se o valor de (, escolhe-se o valor de T>, tal que 4 1 S — T» _1 + : - S —_ BT> | 6, 4 1 S] — 5° < p—2 < 0° Sy + BT» Exemplo Projetar um compensador por atraso e avanco de fase de modo que o coeficiente de amortecimento dos polos dominantes a malha fechada seja igual a 0,5, a frequéncia natural igual a 5 rad/s e a constante de erro estdtico de velocidade igual a 80s". S2 _ 4 Ox) s(s + 0.5) Figura 12.22: Sistema de controle. i) Sistema a ser compensado G(s) = =, H(s)=1 s) = ———., H(s)= s(s + 0,5) it) Polos e zeros a malha aberta e zeros: nao existem zeros finitos e polos: s(s+0,5)=0 => p, =0; po = —0,5. Prof. José Juliano de Lima Jr. 12.4 Compensagao por Atraso e Avanco de Fase 277 iii) Malha fechada C(s) _ G(s) R(s) 1+G(s) 4 C(s) _ s(s+0,5) _ 4 _ 4 R(s) 1+ a s(s+0,5)+4 s?+0,5s+4 iv) Polos e zeros a malha fechada e zeros: nao existem zeros finitos e polos: s?+0,5s5+4=0 => pio = —0,25 + 71,9843 = 2e*I9718" v) frequéncia natural e fator de amortecimento Figura 12.23: a- Polos complexos; b- retas de coeficientes de amortecimento ¢. —CWn ¢ Wn = 1/(—Cwn)?+u2 tg? = —— = = a rr send = ¢ e frequéncias naturais de malha fechada - polos complexos Wn = /(—0, 25)? + 1, 9843? = 2 rad/s e angulo de fase 0,25 0= tg '——~ = 6=7,18° S 7,9843 Prof. José Juliano de Lima Jr. 278 Controle Usando o Lugar das Raizes e fator de amortecimento ¢ = sen7,18° => ¢ =0,125 vi) Escolha do pélo e zero do compensador Com w,, = 5 rad/s, ¢ = 0,5, e s; = a+b], tem-se: a = Wy, sen30° = 5 sen30° > a=2,5 b = w, cos 30° = 5cos30° => b= 2.573 Novo polo: $1 = —2,5 + 72,573 = 5e7!20° vii) Compensador por avanco de fase 4 1 S — Get = K,—4 s+ Ti viii) Angulo do sistema original considerando 0 novo pdlo Para s,, 0 angulo do sistema nao compensado, é: 4 O LG(s) |s=s. = “Is 10.5) |-=-2,542,5v3j = 125, 2 iz) Deficiéncia angular LG(8) |s=s, + ZGe1(S) |s=s, = £180°(2k + 1) 125, 2° + £ZGei(s) |s=s, = 180° > 2Ga(s) |s=s, = 54,8° Prof. José Juliano de Lima Jr. 12.4 Compensação por Atraso e Avanço de Fase 279 x) Determinação do pólo e zero do compensador. Figura 12.24: Determinação do pólo e zero do compensador - Ogata. Do gráfico da figura (12.24), tem-se: − 1 T1 = −0, 5 ⇒ T1 = 2 − γ T1 = −5, 021 ⇒ γ = 5, 021 × T1 = 10, 04 Foi escolhido z = −0, 5 para o compensador para cancelar o pólo p = −0, 5 do sistema não compensado. Então a F.T. do compensador por avanço de fase, é: Gc1 = Kc (s + 0, 5) (s + 5, 021) xi) Determinação do ganho Kc ˆG1(s) = Gc1(s)G(s) = Kc (s + 0, 5) (s + 5, 021) 4 s(s + 0, 5) ˆG1(s) = K (s + 0, 5) s(s + 0, 5)(s + 5, 021) Prof. José Juliano de Lima Jr. 280 Controle Usando o Lugar das Raizes com kK =4K, A condicgao de médulo deve ser satisfeita. s (s + 0,5) G = | =] G(s)! | s(s +0,5)(s+5,021)|,_,. 1 Kk |—————~ =] s(s + 5,021) |,_,. Kx0,04=1 > K =25 Entao K 25 Ke=—=— => K,.= 6,25 4 4 rii) Determinacao de 3 A parte do compensador referente ao atraso de fase pode ser projetado como: K, = lim sG.(s)G(s) = lim sK,2G(s) s—0 s—0 Y 4 lim 6,25 x 2 x —*8 _ = go s—>0 y s(s+0,5) 6, 25 4 —— x ~~ =80 = 4,98 = 80 = 2 =16,06 OX a9 0a * 0,5 98 x B p= 16, riii) Escolha do polo e zero do compensador por avango de fase 4 1 S — G.o(s) = 2 s+ a BT» Escolhe-se T> suficientemente alto de modo a se ter: Prof. José Juliano de Lima Jr. 12.4 Compensagao por Atraso e Avanco de Fase 281 |G.2()|s=s= 1 e 5° < £G2(s)|s=s1< 0° Médulo 4 1 S — 2 =15>%%=5 s+ a BT» s=sl Fase LG .2(S)|s=s1= —l, 91° A F.T. do compensador, é: s+0,2 Go(s) = — 2 ls) = Ty p1ads xiv- F.T. do compensador por avanco e atraso de fase projetado (s + 0,5) (s + 0, 2) G(s) = Ga(s)Ge = 6,25 x ————__ x ——___—_ (8) = Ga(s)Gea(s) * (s4+5,021) * (s +0, 01245) 6, 250s? + 4, 375s + 0, 625 Ge(8) = SS s* + 5,033s + 0, 06251 ru) F.T. a malha aberta do sistema compensado 4 (s + 0,5) (s + 0, 2) G = G,(s)G(s) = 6,25 x ————_— x ———____ (s) (s)G(s) “(s4+5,021) ~ (s +0, 01245) ye 4 s(s + 0,5) Prof. José Juliano de Lima Jr. 282 Controle Usando o Lugar das Raízes ˆG(s) = 25s + 5 s3 + 5, 033s2 + 0, 06251 xvi) Lugar da raízes Figura 12.25: Lugar das raízes do sistema compensado. xvii) F.T. a malha fechada do sistema compensado C(s) R(s) = ˆG(s) 1 + ˆG(s) = 25s + 5 s3 + 5, 033s2 + 25, 06s + 5 xviii) Pólos e zeros a malha fechada do sistema compensado • Zeros: z = −0, 2 • Pólos: p1 = −0, 2078; p2,3 = −2, 4126 ± j4, 2707 = 4, 9051e±j119,46o. xix) Freq. natural e fator de amortecimento a malha fechada do sistema compensado ωn1 = 0, 2078 rad/s; ζ1 = 1 ωn2 = 4, 9051 rad/s; ζ2 = 0, 4919 ωn3 = 4, 9051 rad/s; ζ3 = 0, 4919 • pólo dominante do sistema compensado: ωn = 4, 9051 rad/s e ζ = 0, 4919; • pólo dominante do sistema não compensado ωn = 2 rad/s e ζ = 0, 125; • a resposta transitória do sistema compensado é mais rápida do que a do sistema original, resultando num tempo de acomodação menor (ts2% = 4/(ζωn)). xx) Comentário Prof. José Juliano de Lima Jr. 12.4 Compensação por Atraso e Avanço de Fase 283 Figura 12.26: Lugar das raízes do sistema não compensado e compensado. Figura 12.27: Resposta a entrada rampa do sistema não compensado e compensado. Figura 12.28: Resposta a entrada degrau do sistema não compensado e compensado. Prof. José Juliano de Lima Jr. 284 Controle Usando o Lugar das Raizes e Por causa do cancelamento do zero do compensador com o polo do sistema a ordem do sistema compensado é 3; e Matematicamente este cancelamento é exato; mas na pratica isto nao acontece de- vido as aproximagoes envolvidas ao se obter o modelo matematico. 12.5 Compensacgao por Atraso e Avanco de Fase: y = (£ 12.5.1 passos No projeto de compensadores por atraso e avanco de fase, considera-se 0 caso y = 6 , na equagao (12.2). e /) A partir das especificagdes de desempenho fornecidas, determina-se a posicao desejada dos polos a malha fechada dominantes. e 2) Ocompensador por atraso e avanco de fase dado pela equagao (12.2) ¢ modificado para: T, 1)(T- 1 G.(s) = i, Ee is + Us +P) (4: + 1) (BT»s + 1) B +2 +2 s+— s+— G(s) = K, | —} | | —2 s+ = s+ a Ti BT e 3) Se a constante de erro estatico e velocidade K, for especificada, determina-se o seu valor pela equacao Ky = lim sG.(s)G(s) = lim sK.G(s) e 4) Calcula-se a contribuicgdao angular ¢ que necessita ser fornecida pela parte de avanco de fase do compensador para que os polos a malha fechada dominante fiquem posicionados de acordo com o desejado. e 5) Admitindo-se que adiante sera escolhido o valor T> suficientemente alto de modo Prof. José Juliano de Lima Jr. 12.5 Compensacgao por Atraso e Avanco de Fase: y = £ 285 que o médulo da parte de atraso de fase _ S — 1 T | w ' oe S —_ '" BT; com s = s; é¢ um dos polos dominantes. e 6) Escolhem-se os valores de T; e @ a partir do requisito i S] — K,.—2c(s,)| =1 Sy + o 1 Ty, e _1 S — 1 T, /_———~ = 6 Sy + P 1 T, e 7) Em seguida, usando-se o valor de 3, escolhe-se o valor de 75, tal que +2 +2 S] — S] — 2 }ate ~s<s—_2 <0 $s, + = s+> BT» BT» Para poder ser fisicamente realizdvel, o valor de 87>, a maior constante de tempo do compensador de atraso e avancgo de fase, nao podera ser muito grande. Projetar um compensador por atraso e avanco de fase de modo que o coeficiente de amortecimento dos pdlos dominantes a malha fechada seja igual a 0,5, a frequéncia natural igual a 5 rad/s e a constante de erro estatico de velocidade igual a 80 s~t. i) Sistema a ser compensado G(s) =>, Hs) =1 s) = ———., H(s) = s(s + 0,5) Prof. José Juliano de Lima Jr. 286 Controle Usando o Lugar das Raizes S2 4 Figura 12.29: Sistema de controle. it) Polos e zeros a malha aberta e zeros: nao existem zeros finitos e polos: s(s+0,5)=0 => p, =0; po = —0,5 iti) Malha fechada C(s) _ _ G(s) R(s) 1+G(s) 4 Cs) __ ery A R(s) 1+ a5 s(s+0,5)+4 s?+0,5s4+4 iv) Polos e zeros a malha fechada e zeros: nao existem zeros finitos e polos: s?+0,5s5+4=0 > pio = —0,25 + 71,9843 = 2e*I9718" v) frequéncia natural e fator de amortecimento —CwWn, ¢ Wn = 4/(—Cwn)? +02 tgd= —— = —— ON Og JIE senOd = ¢ Prof. José Juliano de Lima Jr. 12.5 Compensacgao por Atraso e Avanco de Fase: y = £ 287 Figura 12.30: a- Pédlos complexos; b- retas de coeficientes de amortecimento ¢. e frequéncias naturais de malha fechada - polos complexos Wn = \/(—0, 25)? + 1, 9843? = 2 rad/s e angulo de fase 0,25 0 = tg '}——~ = 6=7,18° S 7/9843 e fator de amortecimento ¢ = sen7,18° => ¢=0,125 vi) Escolha do poélo e zero do compensador Com w, = 5 rad/s, ¢ = 0,5, e s; = a+ bj, tem-se: a = Wy, sen 30° = 5 sen 30° > a=2,5 b = wy, cos 30° = 5 cos 30° => b= 2.5V3 Novo polo: $1 = —2,5 + 2,5V3j = 5e!!20° vii) Compensador por avango de fase Prof. José Juliano de Lima Jr. 288 Controle Usando o Lugar das Raizes 4 1 S — Ga = kK. A S+ P Ti viii) Determinacgao de Kk, Ky = him sG.(s)G(s) 1 1 lim K.—— ———+ ————- = 80 50 sp eg 4H 8(s + 9,5) T, BT, 1 . 1 T, Tr . 4K. 4K, >—- x — =80 = —=80 = K.= 10 B x 1 0,5 0,5 T, BT» iz) Angulo do sistema original considerando 0 novo polo Para s;, 0 angulo do sistema nao compensado, é: 4 O LG(s) |s=s. = “(5 40,5) |-=-2,542,5v3j = 125, 2 x) Deficiéncia angular L£G(8) |s—=s, + 2Ger(S) |s—s, = £180°(2k + 1) 125, 2° + £ZGei(s) |s=s, = 180° > 2Ga(s) |s=s, = 54,8° A F.T. a malha aberta do sistema compensado com o compensador de atraso de fase deve satisfazer: zi) Condigao de médulo Prof. José Juliano de Lima Jr. 12.5 Compensacgao por Atraso e Avanco de Fase: y = £ 289 |GaG(s)|= 1 1 S1 + T, AK. Blac 40,5)|_ 1\el ’ sy + T, 4 1 spt a7 T,| 8 PA x ——-| — = 1 5 =x 1,677 = —— x1,677=1 B | 4,77 PB 1, 6772 spt T, rii) Determinacgao do polo e zero do compensador. jo? ™ 54,8° 1,677x X 30° 0,0287x 2 368° | 004, co O Go B 1,3341x “ A Figura 12.31: Determinacao do polo e zero do compensador - Ogata. Da figura (12.31), tem-se: - Lei dos cossenos BA = (1,677x)? + 2? —2 x 1,677x x x x cos 54, 8° BA = 1,3627x - Lei dos senos Prof. José Juliano de Lima Jr. 290 Controle Usando o Lugar das Raízes BA sen 54, 8o = 1, 677x sen a = x sen b sen a = 1, 677x BA × sen 54, 8o = 1, 677x 1, 3627x × sen 54, 8o ⇒ a = 88, 36o sen b = x BA × sen 54, 8o = x 1, 3627x × sen 54, 8o ⇒ a = 36, 84o Do triângulo retângulo CBP cos b = n 1, 677x ⇒ n = 1, 3341x cos a = m x ⇒ m = 0, 0287x x2 = n2 + (2, 5 √ 3)2 = (0, 0287)2 + (2, 5 √ 3)2 ⇒ x = 4, 3319 PA = 4, 77; PB = 8; AO = 2, 38; BO = 8, 28; Fazendo PA = x; PB = 1, 677x; BA = 1, 3627x; m = 0, 0287x • zero: A = 2, 5 − m ⇒ A = 2, 5 − 0, 0287 × 4, 3319 = 2, 38 • pólo: B = A + BA ⇒ B = 2, 38 + 1, 3627 × 4, 3319 = 8, 28 Do gráfico da figura (12.31), tem-se: − 1 T1 = −2, 38 ⇒ T1 = 0, 42 − β T1 = −8, 28 ⇒ β = 8, 28 × T1 = 3, 48 Então a F.T. do compensador por avanço de fase, é: Gc1(s) = 10(s + 2, 38) (s + 8, 28) xiii) Escolha do pólo e zero do compensador por avanço de fase Prof. José Juliano de Lima Jr. 12.5 Compensacgao por Atraso e Avanco de Fase: y = £ 291 4 1 S — Goa(s) = s+ > BT» Escolhe-se T> suficientemente alto de modo a se ter: |Gea(8)|s=s:= 1 e —h< £G2(s)|s—s1< 0° Médulo 4 1 S — —@) =15n=10 s+ a BT, s=sl Fase LG .2(8)|s—s1= —0, 72° e |G.2(S)|s—s1= 0, 9930 A F.T. do compensador, é: s+0,1 Goo(s) = — 2) = 00085 ziv) F.T. do compensador por avanco e atraso de fase projetado ziv) F.T. do compensador por avanco e atraso de fase projetado (s + 2, 38) (s+ 0,1) G.(s) = Gal(s)G. = 10 x ———— x ———___—_ (8) = Ger(s)Geals) (s+ 8,28) ~ (s +0, 0285) Prof. José Juliano de Lima Jr. 292 Controle Usando o Lugar das Raízes Gc(s) = 10s2 + 24, 8s + 2, 38 s2 + 8, 308s + 0, 236 xv) F.T. a malha aberta do sistema compensado xv) F.T. a malha aberta do sistema compensado ˆG(s) = Gc(s)G(s) = 10 × (s + 2, 38) (s + 8, 34) × (s + 0, 1) (s + 0, 0285) × 4 s(s + 0, 5) ˆG(s) = 40s2 + 99, 2s + 9, 53 s4 + 8, 808s3 + 4, 39s2 + 0, 118s xvi) Lugar da raízes Figura 12.32: Lugar das raízes do sistema compensado. xvii) F.T. a malha fechada do sistema compensado xvii) F.T. a malha fechada do sistema compensado C(s) R(s) = ˆG(s) 1 + ˆG(s) = 40s2 + 99, 2s + 9, 52 s4 + 8, 808s3 + 44, 39s2 + 99, 32s + 9, 52 xviii) Pólos e zeros a malha fechada do sistema compensado • Zeros: z1 = −2, 380; z2 = −0, 1. • Pólos: p1,2 = −2, 4429 ± 4, 3444j; p2 = −3, 8224; p3 = −0, 1003. Prof. José Juliano de Lima Jr. 12.5 Compensação por Atraso e Avanço de Fase: γ = β 293 xix) Freq. natural e fator de amortecimento a malha fechada do sistema compensado ωn1 = 0, 1000 rad/s; ζ1 = 1 ωn2 = 3, 8224 rad/s; ζ2 = 1 ωn3 = 4, 9841 rad/s; ζ3 = 0, 4707 ωn4 = 4, 9841 rad/s; ζ3 = 0, 4707 • pólo dominante do sistema compensado: ωn = 4, 9841 rad/s e ζ = 0, 4707; • pólo dominante do sistema não compensadoωn = 2 rad/s e ζ = 0, 125; • a resposta transitória do sistema compensado é mais rápida do que a do sistema original, resultando num tempo de acomodação menor (ts2% = 4/(ζωn)). Figura 12.33: Lugar das raízes do sistema não compensado e compensado. Figura 12.34: Resposta a entrada rampa do sistema não compensado e compensado. xx) Comentário Prof. José Juliano de Lima Jr. 294 Controle Usando o Lugar das Raízes Figura 12.35: Resposta a entrada degrau do sistema não compensado e compensado. • Neste caso não ocorrem cancelamentos e o sistema compensado é de quarta ordem; • Como a contribuição angular da parte de atraso de fase do compensador é pequena, −0, 72o, os pólos a malha fechada dominantes, −2, 4429 ± 4, 3444j, ficaram locali- zados muito próximos à posição desejada, −2, 5 ± 4, 33j; • Como o pólo a malha fechada, −0, 1003, está muito próximo ao zero de malha fechada, −0, 1, eles praticamente se cancelam. • Assim o efeito do pólo a malha fechada −0, 1003 é muito pequeno; • O efeito do zero a malha fechada, −2, 3800, é o de introduzir um maior valor de ultrapassagem máxima na resposta ao degrau unitário que o do sistema sem esse zero. Prof. José Juliano de Lima Jr. 12.5 Compensação por Atraso e Avanço de Fase: γ = β 295 Prof. José Juliano de Lima Jr. 296 Controle Usando o Lugar das Raízes Prof. José Juliano de Lima Jr. Capítulo 13 Análise no Domínio da Frequência 13.1 Resposta Senoidal de Estruturas de Avanço ou Atraso de Fase • A resposta, em regime permanente, de um sistema linear e invariante no tempo a uma excitação senoidal é um sinal senoidal com uma defasagem que é uma função da frequência do sinal de entrada. • Se o sinal senoidal de saída de uma estrutura estiver adiantado (ou atrasado) em relação ao sinal senoidal de entrada, diz-se que a estrutura é de avanço (atraso) de fase. Figura 13.1: Sistema Linear (LTI). Seja o sinal de entrada x(t) = X sen ωt A transformada de Laplace da saída, é: Prof. José Juliano de Lima Jr. 298 AnAdlise no Dominio da Frequéncia Y(s) = G(s)X(s) Substituindo a transformada de Laplace da entrada, considerando condigoes iniciais nulas, vem: WX Y(s) = G(s) > (8) = G0) 5 Se Y(s) possuir apenas polos distintos, entao a b bn Y¥(s) =—*~— + —"*_4§—"_- 4... 4 S+tjW S8—jJW 8+ 81 S+ Sy com ae b;(i = 1,2,...,n) constantes e @ é o conjugado transposto de a. Aplicando a Transformada inversa de Laplace, resulta: y(t) = ae + Gel + bye +... + bye" 13.2 Resposta Senoidal de Estruturas de Avanco ou Atraso de Fase Fazendo s = jw, Transformada de Fourier, e considerando sistemas estdveis, isto é, t > co => y(t) possui um valor finito. y(t) =ae i" + Gel" (13.1) wX X G(—jw) a= G(s) sal tio = op Prof. José Juliano de Lima Jr. 13.2 Resposta Senoidal de Estruturas de Avanco ou Atraso de Fase 299 wX XG(jw) i G ———- —_— = T= Grate ia)] = AS como G(jw) é uma grandeza complexa pode ser escrita na forma G(jw) = |G(jw) 20% com: IG(Gw)| representa o médulo de G(jw) e . _1 Im{G(jw)} LG(jw) =o= te” : Re{G(jw)} e @ o Angulo de fase de G(jw). Analogamente obtém-se a expressao G(—jw) = |G(—jw)|e!? = |G(jw)|e? Observado que X|G(jw)le%? __ X|G(jw)|e”” = - << , 6 = —— 2) , 2) A resposta em regime permanente, equacao (13.1), pode ser escrita, como: el(wt+¢) + eI (wt+¢) y(t) = X|GGw)|- J = X|G(jw)|sen(wt + ¢) y(t) =Y sen(wt + ¢) Define-se entao a Funcao Transferéncia Senoidal, como: Prof. José Juliano de Lima Jr. 300 Anadlise no Dominio da Frequéncia Y (jw) GUjw) = —— We) =X (jw) e a relagao de amplitudes Y (jw) | G(jw)|= ee CG) = ee e a defasagem da sendide de saida em relagao a sendide de entrada LG(jw) = LLY (jw) — LX (jw) 13.2.1 Exemplo Sistema de la Ordem Seja o sistema com a funcao transferéncia K G(s) = —— (s) TS+1 Para um sinal de entrada senoidal do tipo x(t) = X senwt A saida em regime permanente y,(t) pode ser encontrada como se segue. Substituindo s por jw em G(s), tem-se: K G(jw) = ———— (Jw) jTw +1 A relacao de amplitudes entre o sinal de saida e entrada, é: K IG(jw)|=$ \/1+ (Tw) O angulo de fase @, é: 1 TW @ = LG(jw) = ZN(jw) — LD(jw) = 0— te” —— Prof. José Juliano de Lima Jr. 13.2 Resposta Senoidal de Estruturas de Avanco ou Atraso de Fase 301 o=-—te tw XK 4 Yp( jw) = —==——— sen(wt — tg Tw p(s) = FES sen ) Amplitude e Fase da Saida para Entrada Senoidal 1 0 0.8) |-20 ¢ '-40 g ~ oa '-60 e 0.2) WSS eect |-80 % 5 29, 15 20° Figura 13.2: Amplitude e fase da saida a uma entrada senoidal. 13.2.2 Exemplo Sistema de 2a Ordem Seja o sistema com a funcao transferéncia K G(s) = S75 Ss + 26WnS + Wr Para um sinal de entrada senoidal do tipo x(t) = X senwt A saida em regime permanente y,(t) pode ser encontrada como se segue. Substituindo s por jw em G(s), tem-se: Kk K GW) = =a = GP D —w? + Wwpwi7 +w2 (w2 — w?) + 2Cwpw) A relacao de amplitudes entre o sinal de saida e entrada, é: Prof. José Juliano de Lima Jr. 302 Anadlise no Dominio da Frequéncia K ICO) =§ F >a V (wn — w?)? + (2Cwnw) O angulo de fase @, é: ; ; . §1 2CWnw @ = LG(jw) = LN(jw) — ZD(jw) = 0 — tg oe Definindo Ww r=— Wn O modulo e o angulo de fase da funcgao transferéncia senoidal, ficam: Kk 1 |CGo) |= > BVT + Rerp O angulo de fase @, é: 2¢r ——te !— ° 8 T_,; A resposta em regime permanente da saida, é: XK 1 2 Yp(t) = 3 — («1 ~ te “) VO P+ CrP =r 13.3. Andalise no Dominio da Frequéncia e E a resposta do sistema em regime permanente submetido a um sinal de entrada senoidal; e Varia-se a frequéncia do sinal de entrada ao longo de uma faixa de interesse e estuda- se a resposta resultante; Prof. José Juliano de Lima Jr. 13.3 Análise no Domínio da Frequência 303 Figura 13.3: Amplitude da saída a uma entrada senoidal. Figura 13.4: Fase da saída a uma entrada senoidal. Prof. José Juliano de Lima Jr. 304 Análise no Domínio da Frequência • Ao se projetar um sistema de controle a malha fechada, ajusta-se a característica da resposta de frequência da função de transferência a malha aberta, usando-se critérios de projeto a fim de se obterem características de resposta transitória aceitáveis. Há três representações gráficas, comumente usadas, da função de transferência senoi- dal: • Diagrama de Bode ou Gráficos Logarítmicos; • Diagrama de Nyquist ou Gráfico Polar; • Diagrama de Nichols ou Diagrama de magnitude logarítmica versus ângulo de fase.. 13.4 Diagramas de Bode Um diagrama de Bode consiste em dois gráficos: • gráfico do logaritmo do módulo da função de transferência senoidal e • gráfico do ângulo de fase. Ambos construídos em função da frequência numa escala logarítmica. • A representação padrão do módulo logarítmico de G(jω) é dB que é 20 log|G(jω)|; • A principal vantagem de se usar gráficos logarítmicos é que a multiplicação dos módulos é convertida em uma adição; • Além disso, dispõe-se de um método simples, baseado em aproximações assintótica, para esboçar uma curva aproximada do logaritmo do módulo. Fatores básicos que mais ocorrem em uma função transferência arbitrária G(jω)H(jω), são: a. Ganho K; b. fatores integral e derivativo (jω)∓1; c. fatores de primeira ordem (1 + jωT)∓1 e Prof. José Juliano de Lima Jr. 13.4 Diagramas de Bode 305 d. fatores de segunda ordem [1 + 2¢(jw/wn) + (jw/wn)?])F*. 1) Ganho K ekK>1 => dB+4; ekK<1 => dB-; e a curva é horizontal de valor 20 log K dB; e o efeito da variagao do ganho K, na F.T., é de deslocar a curva do logaritmo do modulo para cima ou para baixo, de uma quantidade correspondente, nao afetando porém o angulo de fase. e quando um niimero aumenta por uma fator de 10 o valor correspondente em dB aumente de 20. Reta de conversao de valores numéricos em dB 20, - g 10 rn go {tl 8 19 pore E : a : 8 -20 bt -40 =2 -1 5 1 10 10 10 10 Valores Numéricos Figura 13.5: Reta de conversao de valores numéricos em dB. e 20log(K x 10") = 20 log kK + 20n e 20log kK = —20 loge 2) Fatores integral e derivativo (jw)*+ 1 oO 20 log |—]| = —20logwdB => o¢=-90 qu e Nos diagramas de Bode, as relagoes de frequéncia sao expressas em termos de oitavas ou décadas; e Uma oittava é o intervalo de frequéncia compreendido entre w, e 2w 1, com Ww, sendo um valor de frequéncia qualquer; e Uma década é 0 intervalo de frequéncia compreendido entre w; e 10w;, com w, sendo um valor de frequéncia qualquer; Prof. José Juliano de Lima Jr. 306 AnAdlise no Dominio da Frequéncia e Na escala logaritmica de um papel monolog, qualquer relagao de frequéncia pode ser representada pela mesma distancia horizontal; e Por exemplo, a distancia horizontal desde w = 1 até w = 10 é igual a distancia desde w=3 até w = 30; e —20logw dB é uma reta em um grafico com w em escala logaritmica; e Para se tracar esta reta, é necessario locar um ponto (0 dB, w = 1) sobre ela, uma vez que: —20log10w dB = —20logw—20 dB e A inclinagaéo da reta é —20 dB/década ou —6 dB/oitava. e 20 log|jw|= 20 logw dB e ¢ = 90° 1 . Lye , e 20 log orl = —n x 20 log|jw|= —20n logw dB, com inclinagéo —20n dB /década jw)” e¢@=—90° xn e 20 log |(jw)"| = n x 20log|jw|= 20nlogw dB, com inclinagao 20n dB/década e o=90°xn e Todas essas curvas passam pelo ponto (0 dB, w = 1) oie tae de aaa naa de Figura 13.6: Diagrama de Bode de: a) G(jw) = 1/jw; b) G(jw) = jw. 3) Fatores de primeira ordem (1 + jw)*! Prof. José Juliano de Lima Jr. 13.4 Diagramas de Bode 307 e O modulo em dB do fator de primeira ordem e 20 log al = —20 log \/1 + (wT)? dB e Para baixas frequéncias, tais que w < 1/T, o médulo em dB pode ser aproximado por —20 log \/1 + (wT)? ~ —20log 1 = 0 dB que é uma reta constante em 0 dB. e Para altas frequéncias, tais que w >> 1/T, o médulo em dB pode ser aproximado por —20 log V1+ wT)? ~ —20logwT' dB e Em w=1/T o modulo em dB é igual a 0 dB; e Em w = 10/T 0 modulo é 20 dB; e Portanto, o valor de —20logwT' decresce de 20 dB para cada década de w; e Para w > 1/T,acurva do médulo em dB é uma reta com inclinagaéo —20 dB/década (-6 dB/oitava) Da andlise anterior para o fator 1/(1 + jwT), tem-se: e a curva de resposta pode ser aproximada por duas retas assint6ticas. e uma reta em 0 dB para a faixa de frequéncia 0 < w < 1/T; e e uma outra reta com inclinagao de —20 dB/década (—6 dB/oitava) para a faixa de frequéncia 1/T < w < 0; e A frequéncia na qual as duas assintotas se interceptam ¢ denominada frequéncia de corte ou frequéncia de mudanc¢a de inclinagao e w=1/T éa frequéncia de corte. e o Angulo de fase exato @, é: é=—tg wT Prof. José Juliano de Lima Jr. 308 Anadlise no Dominio da Frequéncia 10 Ass{ntota Freqiiéncia de corte 0 on : dB San Assintota —10 P ; —20 0° ~90° 4 oe tool 2 5 10 2 20T 10T = 5T 2T T T T T T Figura 13.7: Curvas de médulo em dB com assintotas e de angulo de fase para 1/(1+jwT). e na frequéncia de corte T =—t -l7 _~_¢ -ly~— _45° ° sor g e quando w > co => ¢@ > —90°; e o Angulo de fase é anti-simétrico em relagao ao ponto de inflexao —45°. ® o erro maximo ocorre ma frequéncia de corte ¢ aproximadamente igual a —3 dB, ja que —20 log V1 + 1+ 20log1 = —10log2 = —3,01 dB e o erro na frequéncia uma oitava abaixo da frequéncia de corte, ou seja, w = oan é 1 5 —20log \/1+ + 20log1 = ~20 og 2 — —0,97 dB e o erro na frequéncia uma oitava acima da frequéncia de corte, ou seja, w = 27’, é V5 —20 log V1 + 2? + 20 log 2 = —20 log 7 —0,97 dB e Portanto o erro do médulo em dB, na frequéncia uma oitava abaixo ou acima da frequéncia de corte, ¢ de aproximadamente igual a —1 dB; e o erro do médulo em dB, na frequéncia uma década abaixo ou acima da frequéncia de corte, 6 de aproximadamente igual a —0,04 dB; Prof. José Juliano de Lima Jr. 13.4 Diagramas de Bode 309 Freqiiéncia de corte JES ae wap Ne 36 ae yb eee Jt 1 i I 203 5 10 107 ST 2T T T T T T Figura 13.8: Erro de médulo em dB na expressao assintota da curva de resposta em frequéncia de 1/(1 + jwT’). Uma vantagem do diagrama de Bode é que para fatores reciprocos, por exemplo, para o fator (1 + jwT’), as curvas do médulo em dB e do Angulo de fase necessitam apenas de troca de sinal. Uma vez que 20 log|l + jwT|= —201 ! O wT'|= —20 log |} 6 J . 1+ jwT L4(1+ jwT) = te bw =—-Z : wl) = wT = —L———_ J 6 14+ jwT a frequéncia de corte é a mesma em ambos os casos. » wneenaeeefnesgh < ; y Assintota sol pane “0 1 Od L n o Figura 13.9: Curvas de médulo em dB com assintotas e de Angulo de fase para (14+ jwT). Os angulos de fase de (1+ jwT)*", é: o=-— tg wT ou Prof. José Juliano de Lima Jr. 310 AnAdlise no Dominio da Frequéncia e +45,0° em W=F e +26,6° em w= or e 79,79 em w= or e +63,4° em w= 2 e 784,3° em w= 2 Para o caso no qual a fungao transferéncia envolve termos do tipo (1+ jwT)*”, pode ser feita uma construcao assintotica similar. e A frequéncia de corte ainda é¢ w = 1/7; e As assintotas sao retas; e A assintota de baixa frequéncia é uma reta horizontal em O dB; e A assintota nas altas frequéncias possui inclinagao de —20n dB/década (—6 dB/oitava) ou 20n dB/década (6 dB/oitava); e o erro envolvido nas expressdes assintdticas 6 n vezes o corresponde a (14+ jwT)*}; e o Angulo de fase é n vezes o Angulo de (1 + jwT)*! para cada valor de frequéncia. 4) Fatores Quadrdaticos [1 + 2¢(jw/wn) + (jw/wn)?]*' Os sistemas de controle muitas vezes possuem fatores quadraticos da forma 1 Ww w\? 142 (=) + (=) Wn Wn e se ¢ > 1, este fator quadratico pode ser expresso como o produto de dois fatores de primeira ordem com polos reais; e se0 <¢ < 1, este fator quadratico é 0 produto de dois fatores complexos conjugados. A curva de resposta em frequéncia assintdtica pode ser obtida como se segue, fazendo r = w/Wy, uma vez que: 20 log — = —20 log V/(1 — r?)? + (2¢r)? 1+ 2¢rj + (gr)? e Paraw < w, o médulo em dB resulta em —20 log 1 = 0 dB. A assintota nas baixas frequéncias é, portanto, uma reta horizontal em 0 dB; Prof. José Juliano de Lima Jr. 13.4 Diagramas de Bode 311 • Para ω ≫ ωn o módulo em dB se torna −20 log r2 = −40 log r dB A equação para a assíntota nas altas frequências é uma reta com inclinação de −40 dB/década uma vez que −40 log 10r = −40 − 40 log r • A assíntota de altas frequências intercepta a de baixa frequência em r = 1 ou ω = ωn, pois nesta frequência −40 log r = −40 log 1 = 0 dB • ωn é a frequência de corte do fator quadrático considerado; • As assíntotas são independentes de ζ; • o ângulo de fase do fator quadrático é: φ = ̸ 1 1 + 2ζrj + (jr)2 = − tg−1 2ζr 1 − r2 Figura 13.10: Curvas de módulo em dB com assíntotas e de ângulo de fase para o fator quadrático. As curvas de resposta em frequência para o fator Prof. José Juliano de Lima Jr. 312 AnAdlise no Dominio da Frequéncia 1+ 2¢rj + (jr)? podem ser simplesmente obtidas invertendo-se o sinal daquelas do médulo em dB e das curvas do angulo de fase do fator 1 1+ 2¢rj + (jr)? frequéncia de ressonancia w, e 0 valor do pico de ressonéncia M, O modulo de 1 Gyw) = ———————— (Jw) 1+2¢rj + (jr)? é CGu) (13.2) w )|= —— . ee T= PE GT Uma vez que o numerador de |G(jw)| ¢ constante, ocorrera um valor de pico de |G(jw)| quando g(r) = (1 —1r?)? + (2¢r)? é€ um minimo. Derivando g(r) em relacgao a r e igualando a 0, vem: d an) =0 + 2(1—r?)(-2r) +2(2¢r)2¢ = 0 r ou r(-l=1r?4+20)=0 S mye=tV-14 2¢? entao r=V1-2¢?? Prof. José Juliano de Lima Jr. 13.4 Diagramas de Bode 313 e 2 Ww, = wy (1 — 2 para << ve (13.3) e A frequéncia de ressonancia w, @€ menor do que a frequéncia natural amortecida Wq = Wnr./1 — C2, que é exibida na resposta transit6ria; e Para ¢ > va nao ha pico de ressonancia. O modulo do pico de ressonancia M,, pode ser determinado substituindo a equacao (13.3) na equagao (13.2). Para 0 < ¢ < va vem: M, = |G(Jw)|mox= |(ie)| ri JW) |max= JY) oF OFS ° ~J1-? Para ¢=0,707 => M,=1 a medida que ¢ tende a zero, M,., tende a infinito. 14 12 10 5 8 = 6 4 0 0,2 04. 06 08 1,0 c Figura 13.11: Curva M, versus zeta relativa ao sistema de 2a ordem. O Angulo de fase de G(jw) na frequéncia de ressonancia pode ser obtido substituindo r=V/1-—2¢? na equagao 1 2 ¢ = _——————. = - tg! _2¢r_ 14+ 2¢rj+ (jr)? 1-r? Prof. José Juliano de Lima Jr. 314 AnAdlise no Dominio da Frequéncia entao Vil 2¢7 ¢ LG(jw,) = — tg~' +——— = —90° + sen~! —=—— ¢ V1—C Procedimento Geral para a Construcao do Diagrama de Bode e Escreve-se a funcao transferéncia senoidal G(jw)H((jw)) sob a forma de produto dos fatores bdsicos anteriormente discutidos; e Identifica-se, entao, as frequéncias de corte associadas com esses fatores basicos; e Finalmente, se desenham as curvas assintoticas do médulo em dB, com inclinacdes apropriadas entre as frequéncias de corte; e A curva exata situada muito proxima a curva assint6tica pode ser obtida efetuando- se as correcdes apropriadas; e A curva do angulo de fase de G(jw) H((jw)) pode ser tragada adicionado-se as curvas dos angulos de fase dos fatores individuais; A facilidade de construgao das curvas de resposta em frequéncia para uma dada funcao transferéncia e a facilidade de modificacao da curva de resposta em frequéncia, conforme seja adicionada uma compensacao, constituem as principais razoes pelas quais 0 uso do diagrama de Bode é muito comum na pratica. Exemplo 13.1 Esbogar o diagrama de bode para a seguinte funcgao transferéncia 4 GiUjw) = ———— (jw) (jw + 2) Solucao Colocando as expressoes da funcao transferéncia em fatores conhecidos, forma norma- lizada. .\2 tw e (jwt2)= (2+ ju)5 = 2(1+ j$) logo 4 G(jw) = — soy (jw)2(1 + 7$)] Prof. José Juliano de Lima Jr. 13.4 Diagramas de Bode 315 Finalmente 2 GUw) = a (jw)(1 + 7%) Essa fungao é composta dos seguintes fatores: V4 w\-t 2; (jw) (1455) e 1)2 dB = 20log K = 20log2 = 6 6=0° e 2) (jw) dB =—20logw (w=0,1 > dB = 20);(w=1 > dB=0) inclinagao —20 dB/década @ = —90° 23) +58)" Ww. = 2 rad/s dB =0 com 0,1 <w < 2 rad/s inclinagao —20 dB/década @ = —2,9° p/w=0,1 @ = —45° p/w=2 @ > —90° p/ w > co ESN si Le ais Figura 13.12: Diagrama de Bode de G(jw). Esbogar o diagrama de bode para a seguinte funcao transferéncia 10(jw + 3) Gu) = >, or We) (jw) (jw + 2)[Gw)? + jw + 2] Prof. José Juliano de Lima Jr. 316 AnAdlise no Dominio da Frequéncia Solucao Colocando as expressoes da funcao transferéncia em fatores conhecidos, forma norma- lizada. _\3 e 10(jw +3) = 10(3 + jw)3 = 30(1 + 7$) .\2 ow e (jw+2)= (2+ ju)5 = 2(1+ j$) 2 . w o (ju)? + ju +2] = 2+ jut (ju)"I5 = 21 +99 + GY Obs: (jw)? W 9 WW V2 7 = EY Wn = V2 0 =F + C= logo 30(1 + 9¢ G(jw) = —_ te) =e (jw)2(1 + J$)2[1 + 9§ + 4] Finalmente 7,51+ 7% G(jw) = PU +) (jw) + JS)[L + 99 + SF] Essa fungao ¢ composta dos seguintes fatores: ie w\-! cw (jw)?]! 1 w (1 ~) 1 — 4 Ves 7,5, Gw), A+33), +I) > tigtS e 1) 7,5 - dB = 20log K = 20log7,5 = 17,5 -¢=0° © 2) (jw) -dB = —20logw (w=1 => dB=0) - @ = —20 dB/década. e 3) (1+ J%) -W. = 3 rad/s -dB =0 com 0,2 <w < 3 rad/s - @ = 20 dB/década Prof. José Juliano de Lima Jr. 13.4 Diagramas de Bode 317 e 4) (1494)! - W. = 2 rad/s -dB=0 com 0,2 <w < 2 rad/s - 6 = —20 dB/década _\2)7! e 5) [i++ (4) | - Ww, = V2 rad/s -dB=0 com 0,2 <w < V2 rad/s - @ = —40 dB/década 40 Diagrama de Bode - Médulo _ 40 Diagrama de Bode - Médulo __ HB ae 20] ok 164 op (a) Fator: (1) (b) Fator: (1) + (2) Figura 13.13: Diagram de Bode - Médulo 40 Diagrama de Bode - Médulo 40 Diagrama de Bode - Médulo B49 = Bash fey SE ~20 thea) -207 | ~C+108) -s0o [--16G 0) -30 tego” (a) Fator: (1) + (2) + (3) (b) Fator: (1) + (2) + (8) + (4) Figura 13.14: Diagram de Bode - Médulo e Sistema de fase minima: sao sistemas cuja F.T. nao possuam polos ou zeros no semiplano direito do plano s; e Sistema de fase nao minima: sao sistemas cuja F.T. possuam polos e/ou zeros no semiplano direito do plano s; Prof. José Juliano de Lima Jr. 318 Análise no Domínio da Frequência (a) Fator: (1) + (2) + (3) + (4) + (5) (b) Fator: |G(jω)|+exato: |G(jω)| Figura 13.15: Diagram de Bode - Módulo Figura 13.16: Diagrama de Bode Aproximado e Exato. • Para sistemas com as mesmas características de módulo, a gama de valores do ângulo de fase da F.T. de fase mínima é a menor dentre as de todos estes; • enquanto a gama de valores do ângulo de fase de qualquer F.T. de fase não mínima é superior a este mínimo. • Para um sistema de fase mínima, a F.T. pode ser determinada, univocamente, a partir da curva de módulo; • Para um sistema de fase não mínima, este não é o caso; • Ao se multiplicar qualquer F.T. por filtro passa-tudo, não se altera a curva de módulo, mas a curva de fase é modificada. (a) Fator: (1) (b) Fator: (1) + (2) Figura 13.17: Diagram de Bode - Fase Prof. José Juliano de Lima Jr. 13.4 Diagramas de Bode 319 (a) Fator: (1) + (2) + (3) (b) Fator: (1) + (2) + (3) + (4) Figura 13.18: Diagram de Bode - Fase (a) Fator: (1) + (2) + (3) + (4) + (5) (b) Fator: |G(jω)|+exato: |G(jω)| Figura 13.19: Diagram de Bode - Fase Considera-se, como por exemplo: G1(jω) = 1 + jωT 1 + jωT1 , G2(jω) = 1 − jωT 1 + jωT1 , 0 < T < T1 • As duas F.T. possuem a mesma característica de módulo; • características de ângulos diferentes; • o módulo do fator (1 − jωT)/(1 + jωT) é sempre unitário. • Para um sistema de fase mínima, o ângulo de fase em ω = ∞ se torna igual a −90o(p − q), com p e q são respectivamente, os graus dos polinômios do numerador e denominador da F.T.; • Para um sistema de fase não mínima, o ângulo de fase em ω = ∞ difere de −90o(p− q) • Em qualquer dos dois sistemas, a inclinação da curva de módulo em dB para ω = ∞ é de −20(p − q) dB/década; • É possível, portanto, detectar se o sistema é ou não de fase mínima examinando-se simultaneamente, a inclinação da assíntota nas altas frequências da curva de módulo em dB e o ângulo de fase em ω = ∞. Prof. José Juliano de Lima Jr. 320 Análise no Domínio da Frequência Figura 13.20: Diagrama de Bode Aproximado e Exato. Figura 13.21: Diagrama de Bode do sistema do considerado no exemplo. Figura 13.22: Diagrama de Bode do sistema do considerado no exemplo. Prof. José Juliano de Lima Jr. 13.4 Diagramas de Bode 321 Figura 13.23: Configuração de pólos e zeros de um sistema de fase mínima G1(s) e não mínima G2(s). Figura 13.24: Características do ângulo de fase de fase mínima G1(s) e não mínima G2(s). • Sistema de fase não mínima apresentam resposta lenta em virtude de se comporta- mento incorretos nos instantes iniciais da resposta; • Na maioria dos sistemas de controle práticos, devem ser evitados atrasos de fase excessivos; • Um exemplo de sistema de fase não mínima é o retardo de transporte. Retardo de Transporte Seja o retardo de transporte G(jω) = e−jωT O módulo é sempre igual a unidade uma vez que |G(jω)|= |cos ωT − j sen ωT|= 1 Portanto, o módulo em dB do retardo de transporte é igual a 0 dB. Prof. José Juliano de Lima Jr. 322 AnAdlise no Dominio da Frequéncia O angulo de fase é: LG(jw) = —wT rad = —57,3wT graus : Figura 13.25: Caracteristica do angulo de fase do retardo de transporte. exemplo Esbogar o diagrama de Bode relativo 4 seguinte F.T.: e Jel G({jw) = —— (Jw) 1+ jwT O modulo em dB, é: 20 log|G(jw) |= 20 log |e4*"] + 20 log —— 14+ jwT 0+ 201 | = Oo SU S17 + wT O Angulo de fase de G(jw), é: 6 = LG(jw) = Lee" + ,—— 14+ jwT @= —wlh — tg wT Prof. José Juliano de Lima Jr. 13.4 Diagramas de Bode 323 Figura 13.26: Diagramas de Bode - amplitude e fase, com L = 0, 5 e T = 1. Relação entre o Tipo do Sistema e a Curva de Módulo em dB • Considera-se um sistema com retroação unitárias; • As constantes de erro estático de posição, velocidade e aceleração descrevem o com- portamento em baixa frequência dos sistemas do tipo 0, tipo 1 e do tipo 2, respec- tivamente; • Para um dado sistema, somente umas das constantes de erro estático é finita e significativa; • Quanto maior a valor da constante de erro estático finito, maior será o ganho de malha à medida que ω tende a zero. • O tipo do sistema determina a inclinação da curva de módulo em dB nas baixas frequências. • Portanto, a informação relativa à existência e amplitude do erro em regime estaci- onário de um sistema de controle para uma dada entrada pode ser determinada a partir da observação da região de baixas frequências na curva do módulo em dB. Determinação da constante de erro estático de posição seja o sistema de controle com retroação unitária Figura 13.27: Sistema de controle com retroação unitária. Admita-se que aF.T. a malha aberta seja dada por Prof. José Juliano de Lima Jr. 324 Análise no Domínio da Frequência G(s) = K(Tas + 1)(Tbs + 1) . . . (Tms + 1) sN(T1s + 1)(T2s + 1) . . . (Tps + 1) ou G(jω) = K(Tajω + 1)(Tbjω + 1) . . . (Tmjω + 1) (jω)N(T1jω + 1)(T2jω + 1) . . . (Tpjω + 1) Figura 13.28: Curva de módulo em dB de um sistema do tipo 0. No sistema do tipo 0, o módulo de G(jω) nas baixas frequências é igual a Kp, ou Kp = lim ω→0 G(jω) Segue-se que a assíntota nas baixas frequências é uma reta horizontal em 20 log Kp em dB. Determinação da const. de erro estático de velocidade Considere-se o sistema de controle com retroação unitária, figura (13.27). A figura (13.29) mostra um exemplo de um sistema tipo 1. Figura 13.29: Curva de módulo em dB de um sistema do tipo 1. A interseção do segmento inicial de −20 dB/década (ou se prolongamento) com a reta ω = 1 tem valor 20 log Kv. Este resultado pode ser verificado da seguinte maneira: em um sistema tipo 1 Prof. José Juliano de Lima Jr. 13.4 Diagramas de Bode 325 Ky G(jw) = — jw Portanto Ky 20108] = = 20 log kK, JW w=1 A intersecao do segmento inicial de —20 dB/década (ou seu prolongamento) com a reta 0 dB possui uma frequéncia numericamente igual a K,. Para verificar este resultado, define-se a frequéncia nesta intersecao como sendo w 1, entao: —|=1 JW ou Ky, = W1 exemplo Considere-se 0 sistema do tipo 1 com retroacao unitaria cuja F.T. a malha aberta, é: K G(s) = ———— s(Js+F) Definindo a frequéncia de corte como wy» e a frequéncia de intersegao do segmento de —40 dB/década (ou seu prolongamento) com a reta 0 dB como sendo ws, entaéo F » K Wy = 7? Ws = 7 Uma vez que K Wy = Ky = FE segue-se que Prof. José Juliano de Lima Jr. 326 Análise no Domínio da Frequência ω1ω2 = ω2 3 ou ω1 ω3 = ω3 ω2 No diagrama de Bode log ω1 − log ω3 = log ω3 − log ω2 Portanto, o ponto ω3 é o ponto médio entre os pontos ω1 e ω2. O coeficiente de amortecimento ζ do sistema é, então: ζ = F 2 √ KJ = ω2 2ω3 Determinação da constante de erro estático de aceleração Considere-se o sistema da figura (13.27). A figura (13.30) mostra um exemplo de um sistema tipo 2. Figura 13.30: Curva de módulo em dB de um sistema do tipo 2. A interseção do segmento inicial de −40 dB/década (ou seu prolongamento) com a reta ω = 1 possui ordenada 20 log Ka. Uma vez que nas baixas frequências G(jω) = Ka (jω)2, para ω ≪ 1 segue-se que Prof. José Juliano de Lima Jr. 13.5 Grafico de Nyquist 327 Ka 20108] “| = 20 log Kg (jw) w=1 A frequéncia w, na intersegao do segmento inicial de —40 dB/década (ou seu prolonga- mento) com a reta 0 dB fornece a raiz quadrada de K,. Esta afirmacao pode ser verificad a partir do seguinte: Ka (jwa) que fornece We = VV Ka O grafico polar de uma F.T. senoidal G(jw) ¢ um grafico de |G(jw)| versus ZG(jw) em coordenadas polares, quando w = 0 - co. Le Re[Gjo)] Lh Fotjo) Re GUjo) Lv Im [Gyo] Figura 13.31: Grafico Polar. 13.5 Grafico de Nyquist e Uma vantagem do grafico polar é¢ que ele mostra as caracteristicas de resposta em frequéncia de um sistema em toda a faixa de frequéncia; e Uma desvantagem é que o grafico nao indica claramente as contribuigdes de cada um dos fatores individuais da funcgao transferéncia a malha aberta. Fatores integral e derivativo (jw)*1 Prof. José Juliano de Lima Jr. 328 Análise no Domínio da Frequência O gráfico polar de G(jω) = 1 jω = −j 1 ω = 1 ω ̸ −90o é o eixo imaginário negativo. Figura 13.32: Gráfico Polar de (jω)−1. O gráfico polar de G(jω) = jω = ω̸ 90o é o eixo imaginário positivo. Figura 13.33: Gráfico Polar de (jω). Fatores de primeira ordem (1 + jωT)∓1 Para F.T. senoidal G(jω) = 1 1 + jωT = 1 √1 + jωT ̸ − tg−1 ωT • Para ω = 0 ⇒ |G(jω)|= 1 e ̸ G(jω) = 0o • Para ω = 1/T ⇒ |G(jω)|= 1/ √ 2 e ̸ G(jω) = −45o • Para ω → ∞ ⇒ |G(jω)|→ 0 e ̸ G(jω) → −90o O gráfico polar descreve uma semicircunferência à medida que ω varia de zero a infinito. Para demonstrar que o gráfico polar é uma semicircunferência, considere-se, por defi- nição: Prof. José Juliano de Lima Jr. 13.5 Grafico de Nyquist 329 Im | Y 1+ of? wre ~~ 4] l or X / 0 X Y ™~ G(it) wT = 1 (a) (b) Figura 13.34: Grafico Polar de: a) (1 + jwT)~1 e b) G(jw) no plano X —Y. G(jw) =X + jY com X ! arte real de G(jw) = —— rte r W Tw? p J —wT Y= DoT parte imaginaria de G(jw) Obtém-se, entao, 1\? 11—u2?T?\’ —wT \? (1\? X--) +y?= fe TW +4 TWF \ _ fet 2 21+ w?T? 14+ w?T? 2 e portanto, no plano X — Y, G(jw) é uma circunferéncia com centro em X = 1/2 e Y = 0eraio 1/2; e A semicircunferéncia inferior corresponde a 0 < w < 00; e A semicircunferéncia superior corresponde a —oo < w < 0; O grafico polar de (1+ jwT), é: O grafico polar de (1+ jwT) possui uma aparéncia completamente diferente do grafico polar de (1+ jwT)7!. Fatores quadraticos [1 + 2¢(jw/wn) + (Jw/wn)?|FI As partes de baixa frequéncia e de alta frequéncia do grafico polar para a F.T senoidal com ¢ > 0 Prof. José Juliano de Lima Jr. 330 Anadlise no Dominio da Frequéncia Im * ! w=0 wx 0 1 Re Figura 13.35: Grafico Polar de (1+ jwT). . 1 GQjw) = —————3 +26 (735) + G55) sao dadas, respectivamente, por lim G(jw) =1Z20° e lim G(jw) = 0Z — 180° w—0 woo O grafico polar desta F.T. senoidal e tem inicio em 120°; e e termina em 02 — 180°; e o trecho de alta frequéncia de G(jw) é tangente ao eixo real negativo; e a forma exata do grafico polar depende de ¢; e a forma geral ¢ a mesma tanto para0<¢<lec>1; e para0<¢ <1, emw=wpy, tem-se G(jw) = 1/(j2¢) e ZG(jw) = —90°. e no grafico polar, o ponto de frequéncia cuja distancia a origem 6 maxima corresponde a frequéncia de ressonancia Ww,; e Para o caso subamortecido, 4 medida que ¢ aumenta bem além da unidade, o lugar geométrico de G(jw) se aproxima de uma semicircunferéncia Seja, a seguir, a F.T. senoidal Ww w\? G(jw) = 14+ 2¢ (=) + (=) Wn Wn, Prof. José Juliano de Lima Jr. 13.5 Gráfico de Nyquist 331 (a) Fator quadrático. (b) Pico e frequência de res- sonância ωr Figura 13.36: Diagrama Polar • trecho de baixas frequências da curva, é: lim ω→0 G(jω) = 1̸ 0o • trecho de alta frequências da curva, é: lim ω→∞ G(jω) = ∞̸ 180o Figura 13.37: Gráfico Polar de [1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)2], ζ > 0. Exemplo Considere-se a seguinte função de transferência de segunda ordem G(s) = 1 s(Ts + 1) Esboçar um gráfico polar desta função de transferência. A F.T. senoidal é escrita como Prof. José Juliano de Lima Jr. 332 Análise no Domínio da Frequência G(jω) = 1 jω(1 + jωT) = − T (1 + ω2T 2) − j 1 (1 + ω2T 2) a parte de baixas frequências, é: lim ω→0 G(jω) = −T − j∞ = ∞̸ − 90o a parte de altas frequências, é: lim ω→∞ G(jω) = 0 − j0 = 0̸ − 180o Figura 13.38: Gráfico Polar de [jω(1 + jωT)]−1. • O gráfico de G(jω) é assintótico à reta vertical passando pelo ponto (−T, 0); • Como a F.T. envolve uma integração (1/s), a forma geral do gráfico difere substan- cialmente da forma quadrática que não possuem um integrador. Retardo de Transporte O retardo de trasnporte G(jω) = e−jωT pode ser escrito G(jω) = 1̸ (cos ωT − j sen ωT) ou ̸ G(jω) = −ωT Prof. José Juliano de Lima Jr. 13.5 Gráfico de Nyquist 333 Figura 13.39: Gráfico Polar de e−jωT. Em baixas frequências, o retardo de transporte e−jωT e a dinâmica de primeira ordem (1 + jωT)−1 se comportam de forma similar. Figura 13.40: Gráficos Polares de e−jωT e (1 + jωT)−1. Os gráficos polares de e−jωT e (1 + jωT)−1 são tangentes entre si na frequência ω = 0. Para ω ≪ 1/T e−jωT ≈ 1 − jωT e 1 1 + jωT ≈ 1 − jωT obs: cos ωT ≈ 1 e sen ωT ≈ ωT. Para ω ≫ 1/T existe uma diferença essencial entre os gráficos, conforme figura (13.40). Exemplo Obter o gráfico polar da segunte função de transferência G(jω) = e−jωL 1 + jωT Uma vez que G(jω) pode ser escrito Prof. José Juliano de Lima Jr. 334 Anadlise no Dominio da Frequéncia . 1 Qj — p—jwL Je) = ar Logo . 1 1 G iu) _ e Jek or — GG eo" aor J1+ Ty? e LG(jw) = jenHwby__ + = -wlh — tg bw 1+ jwT Im 1 Re Figura 13.41: Graficos Polares de e~J#4(1 + jwT)7t. Formas Gerais de Graficos Polares Os graficos polares de uma F.T. da forma G(jw) = K(1+ jwT,)(1 + jwT,)...(1 + jwTin) JO) Gaa)N(1 + jwTi)(1 + jwTs)...(1 + jwTy) bi (ju) + bm—1(jw)™ 1 +... + do G(jw) = Dra foo)” + bm Gu)" + + bo An(Jw)” + An_1(jw)?"! +... +49 Para n >m. 1. Para N = 0 ou sistema tipo 0: e O ponto inicial do grafico polar (w = 0) é finto e esta sobre 0 eixo real positivo; e A tangente ao grafico polar (w = 0) ¢ perpendicular ao eixo; e O ponto final (w = oo), corresponde a origem, e a curva é tangente a um dos eixos. Prof. José Juliano de Lima Jr. 13.6 Gráfico de Nichols 335 2. Para N = 1 ou sistema tipo 1: • O termo jω no denominador contribui com −90o para o ângulo de fase total de G(jω), no intervalo 0 ≤ ω ≤ ∞; • Em ω = 0, o módulo de G(jω) é infinito, e o ângulo de fase resulta −90o; • Nas baixas frequências, o gráfico polar é assintótico a uma reta paralela ao eixo imaginário negativo; • Em ω = ∞ o módulo se torna nulo e a curva converge para a origem, sendo tangente a um dos eixos; 3. Para N = 1 ou sistema tipo 2: • O termo (jω)2 no denominador contribui com −180o para o ângulo de fase total de G(jω), no intervalo 0 ≤ ω ≤ ∞; • Em ω = 0, o módulo de G(jω) é infinito, e o ângulo de fase resulta −180o; • Nas baixas frequências, o gráfico polar é assintótico a uma reta paralela ao eixo imaginário negativo; • Em ω = ∞ o módulo se torna nulo e a curva é tangente a um dos eixos. Figura 13.42: Gráficos Polares de sistemas tipo 0, tipo 1 e tipo 2. As figuras (13.43) e (13.44) mostram os esboços de gráficos polares de várias F.T. 13.6 Gráfico de Nichols • É o gráfico do logaritmo do módulo versus a fase ou marge de fase de G(jω) para uma faixa de frequência de interesse. Prof. José Juliano de Lima Jr. 336 Análise no Domínio da Frequência Figura 13.43: Gráficos Polares 1a parte. Figura 13.44: Gráficos Polares 2a parte. Prof. José Juliano de Lima Jr. 13.6 Grafico de Nichols 337 e A margem de fase é a diferencga entre o angulo de fase real e —180°, isto é, @ — (—180°) = 180° + ¢; e combinas as duas curvas do diagrama de Bode em uma; e Uma variacao na constate de ganho de G(jw) simplesmente desloca a curva para cima (para ganhos crescente) e para baixo (para ganho decrescentes), porém a forma da curva permanece a mesma. As vantagens do grafico log-médulo versus fase sao as seguintes: e a estabilidade relativa do sistema a malha fechada pode ser determinada rapida- mente; e a compensacao pode ser realizada com facilidade. O grafico de Nichols para F.T. senoidais G(jw) e G(jw)~! sao anti-simétricos em relagao a origem desde de que ]G(jw)) AB |] WwW G(ju) ; e i— LG jw) G(jw) « nN 1 ° : ~ Re 8-3 E19 é 0° ” “go se 90° 0° 0.20, 050, On 20, LG (a) (b) (c) 2 Figura 13.45: Trés representacoes da resposta em frequéncia de [1+2¢ ( iz) + (i) mW, para ¢ > 0. a) Bode; b) Nyquist e c) Nichols. As figura (13.46), (13.47) e (13.48) mostram os diagrams de Nichols para F.T. simples. Prof. José Juliano de Lima Jr. 338 Análise no Domínio da Frequência Figura 13.46: Diagrama de módulo em dB versus fase de G(jω) = (jω)−1 e G(jω) = (1 + jωT)−1. Figura 13.47: Diagrama de módulo em dB versus fase de G(jω) = (1 + jωT) e G(jω) = e−jωL. Figura 13.48: Diagrama de módulo em dB versus fase de G(jω) = (jω)2+2ζωn(jω)+ω2 n ω2n e G(jω) = [jω(1 + jωT)]−1. Prof. José Juliano de Lima Jr. Capítulo 14 Controle no Domínio da Frequência 14.1 Introdução • No projeto de sistemas de controle , o desempenho em regime transitório é usual- mente o aspecto mais importante; • Na abordagem no domínio da frequência, o desempenho em regime transitório é es- pecificado de forma indireta, através de margem de fase, margem de ganho, magni- tude do pico de ressonância (fornece uma estimativa do amortecimento do sistema); da frequência de cruzamento de ganho, da frequência de ressonância, da banda pas- sante (estimativa da velocidade da resposta transitória) e das constantes de erro estático (fornecem a exatidão do sistema em regime permanente). • Após se ter projetado a malha aberta através do método de resposta de frequência, os pólos e zeros a malha fechada podem ser determinados; • As características da resposta transitória devem ser verificadas para ver se o sistema projetado satisfaz os requisitos no domínio do tempo. • Se não satisfizer, o compensador deve ser modificado e a análise repetida até que o resultado obtido seja satisfatório. • O projeto no domínio da frequência é simples e direto. • Há fundamentalmente duas abordagens de projeto no domínio da frequência: uma utiliza o diagrama polar e a outra os diagramas de Bode. • Ao se acrescentar um compensador, o diagrama polar não retém a forma original e, portanto, torna-se necessário construir um novo diagrama polar, o qual consome tempo e é, portanto, inconveniente. Prof. José Juliano de Lima Jr. 340 Controle no Domínio da Frequência • Por outro lado, os diagramas de Bode de um compensador podem ser simplesmente adicionados aos diagramas de Bode originais e, e consequência, o traçado dos dia- grama de Bode completos é uma tarefa simples. • Uma prática comum no uso dos diagramas de Bode consiste em se ajustar primei- ramente o ganho a malha aberta de modo que o requisito de exatidão, em regime permanente, seja alcançado. • Em seguida, traçam-se as curvas de magnitude e fase do sistema a malha aberta, com o valor do ganho ajustado. • Se as especificações de margem de fase e de ganho não forem satisfeitas, então determina-se um compensador adequado que modificará a forma da função transfe- rência a malha aberta. 14.2 Margens de Fase e Ganho • Margem de Fase: é o atraso de fase adicional na frequência de cruzamento do ganho, necessário para levar o sistema ao limiar de instabilidade. • A frequência de cruzamento do ganho é a frequência na qual |G(jω)|, o módulo da função de transferência a malha aberta, é unitário. • A margem de fase é 180o mais o ângulo de fase φ da função transferência a malha aberta na frequência de cruzamento do ganho, ou seja γ = 180o + φ • Margem de Ganho: é o recíproco do módulo |G(jω)| na frequência onde o ângulo de fase é −180o. • Definindo-se a frequência de cruzamento de fase ω1 como a frequência na qual o ângulo de fase da função de transferência a malha aberta é igual a −180o, resulta a margem de ganho Kg: Kg = 1 |G(jω1)| Kg dB = 20 log Kg = −20 log|G(jω1)| • Prof. José Juliano de Lima Jr. 14.2 Margens de Fase e Ganho 341 • Uma margem de ganho positiva em dB significa que o sistema é estável. • Uma margem de ganho negativa em dB significa que o sistema é instável. • Para um sistema de fase mínima estável, a margem de ganho indica de quanto o ganho pode ser aumentado antes de o sistema se tornar instável. • Para um sistema instável, a margem de ganho indica de quanto o ganho pode ser diminuído para o sistema se tornar estável. Figura 14.1: Diagrama de Bode de um sistema estável e instável. Figura 14.2: Diagrama de Polar de um sistema estável e instável. • As margens de fase e de ganho de um sistema de controle constituem uma medida da proximidade do gráfico polar em relação ao ponto −1 + j0. Portanto estas margens podem ser utilizadas como critérios de projeto. • Para desempenho satisfatório, a margem de fase de estar entre 30o e 60o, e a margem de ganho deve ser maior do que 6 dB. • Com estes valores, um sistema de fase mínima tem estabilidade garantida, mesmo se o ganho a malha aberta e as constantes de tempo dos componentes variem em uma grande extensão. Prof. José Juliano de Lima Jr. 342 Controle no Domínio da Frequência Figura 14.3: Diagrama de Nichols de um sistema estável e instável. • A exigência de que a margem de fase esteja entre 30o e 60o significa que, num diagrama de Bode, a inclinação da curva em dB na frequência de cruzamento do ganho deva ser mais gradual do que −40 dB/década. • Na maioria dos casos práticos, para se ter estabilidade é desejável uma inclinação de −20 dB/década na frequência de cruzamento do ganho. • Se esta inclinação for de −40 dB/década, o sistema pode ser estável ou instável. • Se a inclinação na frequência de cruzamento do ganho for de −60 dB/década ou mais íngreme, o sistema provavelmente é instável. 14.2.1 Exemplo Obter as margens de fase e de ganho do sistema para os casos onde K = 10 e K = 100. Figura 14.4: Sistema de controle. Diagramas de Bode para K = 10. Diagramas de Bode para K = 100. Comentários: • Para K = 10 o ganho do sistema pode ser aumentado de 8 dB antes da instabilidade. 20 log x = 8 ⇒ x = 10 8 20 = 2, 5 K = 10 × 2, 5 = 25 Prof. José Juliano de Lima Jr. 14.2 Margens de Fase e Ganho 343 Figura 14.5: Sistema de controle. Figura 14.6: Sistema de controle. Prof. José Juliano de Lima Jr. 344 Controle no Domínio da Frequência • O aumento de K = 10 para K = 100 corresponde a deslocar o eixo de 0 dB para baixo em 20 dB. • Portanto o sistema é estável para K = 10 e instável para K = 100 Figura 14.7: Lugar das raízes do sistema de controle. 14.3 Frequência de corte e banda passante A frequência ωb, na qual o módulo da resposta de frequência a malha fechada é 3 dB abaixo do seu valor na frequência zero, é denominada frequência de corte. Figura 14.8: Frequência de corte ωb e banda passante. A faixa de frequência 0 ≤ ω ≤ ωb é chamada de banda passante. • O sistema a malha fechada filtra os componentes de sinal cujas frequências são maiores do que a frequência de corte e transmite aqueles componentes de sinal com frequências inferiores à frequência de corte. • A banda passante indica quão bem o sistema será capaz de seguir um sinal senoidal de entrada. Prof. José Juliano de Lima Jr. 14.3 Frequência de corte e banda passante 345 • Para um dado valor de ωn o tempo de subida aumenta com o crescimento do coefi- ciente de amortecimento ζ. • A banda passante diminui com o aumento de ζ. • Portanto o tempo de crescimento e a banda passante são inversamente proporcionais entre si. A especificação da banda passante pode ser determinada pelos seguintes fatores: • A capacidade para reproduzir o sinal de entrada. • Uma banda passante grande corresponde a um pequeno tempo de subida ou resposta rápida. • As características de filtragem necessárias para atenuar o ruído de alta frequência. • Para que o sistema siga com exatidão sinais de entrada arbitrários, é necessário que o sistema possua uma grande banda passante. • Do ponto de vista do ruído, entretanto, a banda passante não deve ser demasiada- mente grande. • Sistemas com grande banda passante exige componentes de alto desempenho. • O custo dos componentes aumenta com a largura da banda passante. 14.3.1 Taxa de Corte Taxa de corte é a inclinação da curva de módulo em dB próxima à frequência de corte. • A taxa de corte indica a capacidade de um sistema distinguir um sinal de ruído. • Uma curva de resposta em frequência a malha fechada com uma característica de corte acentuada pode apresentar uma magnitude de pico de ressonância muito grande. • Isto implica ter margem de estabilidade relativamente pequena para o sistema. 14.3.2 Exemplo Considerem-se dois sistemas: Sistema I: C(s) R(s) = 1 s + 1 Sistema II: C(s) R(s) = 1 3s + 1 Prof. José Juliano de Lima Jr. 346 Controle no Domínio da Frequência Comparar as bandas passantes destes dois sistemas. Mostre que o sistema com a maior banda passante possui velocidade de resposta maior e pode seguir o sinal de entrada muito melhor do que aquele que possui uma banda passante menor. • Verifica-se que a banda passante do sistema I é 0 ≤ ω ≤ 1. • A banda passante do sistema II é 0 ≤ ω ≤ 0, 33. • O sistema I, cuja a banda passante é três vezes maior que a do sistema II possui uma velocidade de resposta mais rápida e pode seguir melhor o sinal de entrada. Figura 14.9: características dinâmica: a) resposta em frequência a malha fechada; b) resposta ao degrau unitário; c) resposta à rampa unitária. 14.4 Compensação por Avanço de Fase Função transferência Gc(s) = Kcα Ts + 1 αTs + 1 = Kc s + 1 T s + 1 αT com (0 < α < 1) OBS: • o valor mínimo de α é limitado pela construção física do compensador de avanço de fase; • α mínimo é em torno de 0, 05 e • isso significa que o valor máximo de avanço de fase é de aproximadamente 65o. Prof. José Juliano de Lima Jr. 14.4 Compensacao por Avanco de Fase 347 Pode-se demonstrar usado o diagrama polar para K, = 1, que: l-a sen dy, = —— ? l+a com: @,, valor maximo de avanco de fase. e que (ioe stow 2 em FO TT 8 OF 1 Wn = = TVa 10 : a . i = 0.1 i 10 10 100 L T Tr r r em rad/s Figura 14.10: Diagrama de Bode de um compensador por avanco de fase com a = 0, 1. Como se vé na figura (14.10), o compensador por avanco de fase é fundamentalmente um filtra passa-altos. Considere-se 0 sistema mostrado na figura (14.11) g Figura 14.11: Sistema de controle. Admita-se que as especificagoes de desempenho sejam dadas em termos de margem de fase, margem de ganho, constante de erro estatico de velocidade e outras. Prof. José Juliano de Lima Jr. 348 Controle no Domínio da Frequência O procedimento para se projetar um compensador por avanço de fase pode ser formu- lado como: 1. Admitir o seguinte compensador por avanço de fase Gc(s) = Kcα Ts + 1 αTs + 1 = Kc s + 1 T s + 1 αT com (0 < α < 1) Definir K = Kcα então Gc(s) = K Ts + 1 αTs + 1 A função transferência a malha aberta do sistema compensado, é: ˆG(s) = Gc(s)G(s) = K Ts + 1 αTs + 1G(s) = Ts + 1 αTs + 1KG(s) ˆG(s) = Ts + 1 αTs + 1G1(s) G1(s) = KG(s) Determinar o ganho K que satisfaça o requisito sobre a constante de erro estática dada. 2. Usando-se o ganho K assim determinado, traçar o diagrama de Bode de G1(jω), sistema com ganho ajustado mas não compensado. Avaliar a margem de fase. 3. Determinar o ângulo de avanço de fase φ necessário a ser acrescentado ao sistema. 4. Determinar o fator de atenuação α por meio da equação sen φm = 1 − α 1 + α ⇒ α = 1 − φm 1 + φm Prof. José Juliano de Lima Jr. 14.4 Compensação por Avanço de Fase 349 5. Determinar a frequência onde o módulo do sistema não-compensado G1(s) é igual a −20 log(1/√α). 6. Selecionar esta frequência como nova frequência de cruzamento de ganho. Esta frequência corresponde a ω = 1 T√α e o valor máximo de defasagem φm ocorre nesta frequência. 7. Determinar as frequências de corte do compensador por avanço de fase como: - zero do compensador. ω = 1 T - pólo do compensador. ω = 1 αT 8. Usando-se o valor de K e o α determinados, calcular a constante Kc a partir de Kc = K α 9. Verificar a margem de ganho para certificar se ela é satisfatória. Se não for, repetir o processo. 14.4.1 Compensação por Avanço de Fase - Exemplo Considere-se o sistema mostrado na figura (14.12) com função transferência em malha aberta G(s) = 4 s(s + 2) Deseja-se projetar um compensador de modo que Kv seja 20 s−1, a margem de fase seja pelo menos igual a 50o e a margem de ganho seja, no mínimo, igual a 10 dB. o compensador a ser empregado deve ser o de avanço de fase. Prof. José Juliano de Lima Jr. 350 Controle no Domínio da Frequência Figura 14.12: Sistema de controle. Gc(s) = Kcα Ts + 1 αTs + 1 = Kc s + 1 T s + 1 αT Assim o sistema compensado fica ˆG(s) = Kcα Ts + 1 αTs + 1 4 s(s + 2) Fazendo K = Kcα e multiplicado o ganho do compensador e a função transferência da planta, obtém-se G1(s). G1(s) = KG(s) = 4K s(s + 2) i. ajuste do ganho K de modo a atender as especificações de desempenho em regime estacionário. A constante de erro estático de velocidade do sistema é: Kv = lim s→0 sG(s) = lim s→0 4s s(s + 2) = 2 A constate de erro estático de velocidade especificada é 20 s−1, assim ˆKv = lim s→0 s ˆG(s) = lim s→0 Gc(s)G(s) = lim s→0 K Ts + 1 αTs + 1 × 2 então Prof. José Juliano de Lima Jr. 14.4 Compensação por Avanço de Fase 351 Kv = 2K = 20 ⇒ K = 10 ii. Diagrama de Bode. Constrói-se inicialmente o diagrama de Bode da função transferência G1(s) substituindo- se s por jω. G1(jω) = 40 jω(jω + 2) = 20 jω(1 + j ω 2 ) Os fatores para a construção do diagrama de Bode, são: • 20 • (jω)−1 • (1 + j ω 2 )−1 -270^o 40 0 -20 20 -40 0^o -90^o -180^o dB phi w, rad/s 0,1 0,2 0,4 0,6 1 2 4 6 8 10 20 40 60 100 26 46 -2,9 -11,3 -45 -84,3 -88,9 -92,9 -101,3 -135 -174,3 -178,9 G1(jw) <G1(jw) G(jw)=20 G(jw)=(jw)^-1 G(jw)=)(1+(jw/2)^-1 G1(jw)=)20/(jw)(1+jw/2) -270^o 40 0 -20 20 -40 0^o -90^o -180^o dB phi w, rad/s 0,1 0,2 0,4 0,6 1 2 4 6 8 10 20 40 60 100 26 46 -92,9 -101,3 -135 -174,3 -178,9 MF=17,6 wc=6,3 -6,2 dB wc=9,0 Gc(jw)/10 1,0 <Gc(jw) 9,7 30,0 37,9 30,2 7,9 G1(jw) <G1(jw) MF=12,5 Figura 14.13: Diagrama de Bode. Da figura (14.20), vem: • margem de fase : 17, 6o na frequência ωc = 6, 3 rad/s, que representa um sistema bastante oscilatório. • margem de ganho: +∞, pois a curva de fase encontra o ângulo de 180o no infinito. Prof. José Juliano de Lima Jr. 352 Controle no Dominio da Frequéncia Como a margem de fase minima especificada é¢ de 50° e o sistema possui 17,6° , entao necessita-se de 50° — 17,6° = 32,4° de avanco de fase adicional. A inclusao de um compensador por avango de fase modifica a curva de médulo do diagrama de bode de Gi(jw), deslocando a frequéncia de cruzamento de ganho, na qual |G;(jw)|= 1, para a direita. Quanto mais a direita menor é o Angulo de fase do sistema, ZG,(jw), assim deve-se acrescentar uma fase adicional em torno de 5°. Admite-se entao que ¢@m, valor maximo do avanco de fase requerido, seja de 38° (32, 4° + 5, 6°). Conhecendo-se 0 valor maximo da fase a ser acrescentada pelo compensador pode-se determinar o valor de a, fator de atenuagao. 1- m l= 38° o — La sendm _ Ta sen38" gp a = 0,24 1+ seng@, 1+ sen38? wi. determinagao dos polos e zeros Deve-se calcular a frequéncia w do compensador de avanco de fase conduz a um valor de dm. Entao: 1 Ww = —— TVa Substituindo-se esse valor de w na fungao transferéncia do compensador G,(s)/K e calculado-se 0 seu médulo, encontra-se o valor do ganho a ser acrescentado no diagrama de Bode, |G; (jw)|, a fim de se obter |G(jw)|. G.(jw)| | 1+jwT | | lt+ize} 1 K | |14jwal| — 1+ jazz Ja logo G.(j 1 1 1 Gj Geljw)}_ Ft tig gg => GelJ¥)) _ 6 9 ap K Ja /0,24 0,49 K Deslocando a curva de |G (jw)| de 6,2 dB (para cima), |Gi(jw)|= 6,2 dB, ou marcando -6,2 dB a partir de 0 dB até a curva de |Gi(jw)|, |Gi(jw)|= —6,2 dB, encontra-se a frequéncia w, de cruzamento que corresponde a 9 rad/s. Conhecendo-se a frequéncia de corte w, e o fator de atenuacao a determina-se 0 pdlo e o zero do compensador. Prof. José Juliano de Lima Jr. 14.4 Compensagao por Avanco de Fase 353 1 1 ct HE > je We ve Ta pa eevee 1 7 9x 4/0,24 = 4,41 1 re aT Ja 0,24 O compensador fica assim determinado, s+4,41 0,277s+1 G(s) = Kyo = Kae (8) = Koga 0 0bds 41 O valor de K, é determinado por: K 10 K,=— =— = 41 “a 0,24 a portanto s+4,41 0,277s+ 1 G.(s) = 41, 7——— = 10——_—_ (s) s+18,4 0,054s+1 Nota-se que s G. G. G(jw) = Gel) (5) = Gel) 1 oG(s) = G.(s)G(s) K 10 Prof. José Juliano de Lima Jr. 354 Controle no Domínio da Frequência Figura 14.14: Diagrama de Bode do sistema compensado. Figura 14.15: Sistema compensado. Figura 14.16: Curva de resposta ao degrau unitário dos sistemas compensado e não com- pensado. Prof. José Juliano de Lima Jr. 14.5 Compensação por Atraso de Fase 355 Figura 14.17: Curva de resposta à rampa unitária dos sistemas compensado e não com- pensado. 14.5 Compensação por Atraso de Fase Considera-se um compensador por atraso de fase Gc(s) = Kcβ Ts + 1 βTs + 1 = Kc s + 1 T s + 1 βT β > 1 O compensador tem um zero em s = −1/T e um pólo em s = −1/(βT), com pólo a direita do zero. Figura 14.18: Diagrama de Bode de um compensador por atraso de fase com β = 10. • Kc = 1 e β = 10; • frequências de corte em ω = 1/T e ω = 1/(βT) O procedimento para se projetar o compensador: 1)- Admitir o compensador por atraso de fase Prof. José Juliano de Lima Jr. 356 Controle no Domínio da Frequência Gc(s) = Kcβ Ts + 1 βTs + 1 = Kc s + 1 T s + 1 βT β > 1 Definir K = Kcβ Então a Função transferência a malha aberta do sistema compensado, ˆG(s), é: ˆG(s) = Gc(s)G(s) = K Ts + 1 βTs + 1G(s) = Ts + 1 βTs + 1KG(s) ˆG(s) = Ts + 1 βTs + 1G1(s) com G1(s) = KG(s) 2) Determinar o ganho K que satisfaça o requisito sobre a constante de erro estática dada Se o sistema não compensado G1(jω) não satisfizer as condições de margens de fase e de ganho, achar, então, o valor da frequência no qual o ângulo de fase da Função transferência a malha aberta seja igual a −180o mais a margem de fase requerida. OBS: • A margem de fase requerida é a margem de fase especificada mais 5o a 12o; • Esse acréscimo compensa o atraso de fase de compensador; • Escolher esta frequência como a nova frequência de cruzamento de ganho. 3)- Escolha do pólo e zero Para evitar efeitos prejudiciais de atraso de fase devido a compensação, o pólo e o zero do compensador por atraso de fase devem estar localizados substancialmente abaixo da nova frequência de cruzamento de ganho. OBS: Prof. José Juliano de Lima Jr. 14.5 Compensação por Atraso de Fase 357 • Escolher a frequência de corte ω = 1/T (zero do compensador) uma oitava ou uma década abaixo da nova frequência de cruzamento de ganho; • Se as constantes de tempo do compensador não se tornarem excessivamente grandes, a frequência de corte ω = 1/T pode ser escolhida uma década abaixo da nova frequência de cruzamento de ganho. 4)- Determinar a atenuação A atenuação necessária para trazer a curva de magnitude abaixo de 0 dB na nova frequência de cruzamento de ganho depende de β. |G1(jω)|= 2 − 20 log β • Observando-se que esta atenuação é −20 log β, determinar o valor de β; • Então a outra frequência de corte (pólo do compensador) e determinada a partir de ω = 1/(βT). 5) Determinação de Kc Usando-se o valor de K determinado na etapa 1 e o de β determinado na etapa 4, calcular a constante Kc,a partir de: Kc = K β 14.5.1 Compensação por Atraso de Fase - Exemplo Considere o sistema mostrado na figura. Figura 14.19: sistema de controle. A Função transferência em malha aberta do sistema, é: G(s) = 1 s(s + 1)(0, 5s + 1) Prof. José Juliano de Lima Jr. 358 Controle no Domínio da Frequência Deseja-se compensar o sistema de modo que a constante de erro estático de velocidade seja Kv = 5 s−1, a margem de fase seja de pelo menos 40o e a margem de ganho de, no mínimo, 10 dB. A Função transferência do compensador é: Gc(s) = Kcβ Ts + 1 βTs + 1 = Kc s + 1 T s + 1 βT β > 1 Seja K = Kcβ Defini-se, também G1(s) = KG(s) = K s(s + 1)(0, 5s + 1) O primeiro passo no projeto consiste em se ajustar o ganho K para satisfazer a cons- tante de erro estático de velocidade. ˆKv = lim s→0 sGc(s)G(s) = lim s→0 K Ts + 1 βTs + 1 K s(s + 1)(0, 5s + 1) = K K = 5 então a função transferência G1(jω), fica: G1(jω) = 5 jω(jω + 1)(1 + 0, 5jω) • a inclusão do compensador por atraso de fase altera a curva de fase do diagrama de Bode; • deve-se acrescentar uma folga de 5o a 12o à marge de fase especificada para com- pensar essa modificacação; • a frequência correspondente a uma margem de fase de 40o é 0, 7 rad/s do sistema não compensado G1(jω); Prof. José Juliano de Lima Jr. 14.5 Compensação por Atraso de Fase 359 Figura 14.20: Diagrama de Bode. Figura 14.21: Diagramas de Bode relativos ao sistema não compensado G1(jω), ao com- pensador Gc(jω) e ao sistema compensado Gc(jω)G(jω). Prof. José Juliano de Lima Jr. 360 Controle no Domínio da Frequência • a nova frequência de cruzamento de ganho do sistema compensado Gc(jω)G(jω) deve ser escolhida próximo desse valor. • escolher a frequência de corte ω = 1/T (zero do compensador) como sendo 0, 1 rad/s para se evitar constantes de tempos muito grandes; • a margem de fase requerida agora é de 52o; • o ângulo de fase a malha aberta do sistema não compensado G1(jω) é −128o nas proximidades de ω = 0, 5 rad/s; • escolhe-se, assim,a nova frequência de cruzamento de ganho como sendo ω = 0, 5 rad/s; • para trazer a curva de magnitude abaixo da linha de 0 dB, nesta nova frequência de cruzamento de ganho, o compensado deve fornecer a atenuação necessária, que é de −20 dB. −20 log β = −20 ⇒ β = 10 o pólo do compensador é determinado por 1 βT = 0, 01 rad/s portanto a F.T. do compensador é: Gc(s) = 10Kc 10s + 1 100s + 1 = Kc s + 1 10 s + 1 100 tem-se Kc = K β = 5 10 ⇒ Kc = 0, 5 A F.T. a malha aberta do sistema compensado é: ˆG(s) = Gc(s)G(s) = 5(10s + 1) s(100s + 1)(s + 1)(0, 5s + 1) Prof. José Juliano de Lima Jr. 14.6 Compensação por Atraso e Avanço de Fase 361 • a margem de fase do sistema compensado Gc(s)G(s) é de cerca de 40o, que é o valor requerido; • a margem de ganho é de cerca de 11 dB, que é bastante aceitável; • a constante de erro de velocidade é 5 s−1, como requerido; • portanto o sistema compensado satisfaz as especificações. Figura 14.22: Resposta ao degrau unitário do sistema compensado e não compensado. Figura 14.23: Resposta à rampa unitária do sistema compensado e não compensado. 14.6 Compensação por Atraso e Avanço de Fase Considere-se o compensador por atraso e avanço de fase: Prof. José Juliano de Lima Jr. 362 Controle no Dominio da Frequéncia s+24) (sti G(s) = x ta) +n) (s + q) (s + ai) cmy>lefG>ti O termo sty 1 (Tis+1 st+z y as +1 produz o efeito da estrutura de avanco de fase. O termo sta 8 (# + .) 7. Rm 1 4 stan BT, +1 produz o efeito da estrutura de atraso de fase. A frequéncia w, é a frequéncia para o qual o angulo de fase é zero. 1 WwW) = —— VIiT» 10 0 dB -10 —20 -30 90° 0° Fa —90)° 0,001 0.01 0,1 10 100 rT Ty Ty, T 7, T wem rad/s Figura 14.24: Diagrama de Bode do compensador por atraso e avanco de fase com K, = 1, y=6=10e 7, = 107). e A porcao de avanco de fase do compensador, que envolve 7), altera a curva de resposta de frequéncia acrescentando Angulo de fase e aumentando a marge de fase na frequéncia de cruzamento de ganho; Prof. José Juliano de Lima Jr. 14.6 Compensação por Atraso e Avanço de Fase 363 • A porção de atraso de fase, que envolve T2, fornece atenuação perto e acima da frequência de cruzamento de ganho, e desse modo, permite um aumento de ganho na faixa de baixas frequências para melhorar o desempenho em regime estacionário. 14.6.1 Compensação por Atraso e Avanço de Fase - Exemplo Considere-se o sistema com retroação unitária cuja F.T. a malha aberta é: G(s) = K s(s + 1)(s + 2) Deseja-se que a constante de erro estático de velocidade seja 10 s−1, a margem de fase seja de 50o e a margem de ganho seja de 10 dB ou mais. Admite-se que será usado um compensador por atraso e avanço de fase. Uma vez que o ganho K do processo a controlar é ajustável, admite-se que Kc = 1. Então lims→0 Gc(s) = 1 A partir da especificação da constante de erro estático de velocidade, obtém-se: ˆKv = lim s→0 sGc(s)G(s) = lim s→0 sGc(s) K s(s + 1)(s + 2) = K 2 = 10 logo K = 20 • A margem de fase do sistema não compensado G1(jω) é obtida como −32o que indica que o sistema é instável; • A partir da curva de ângulo de fase de G(jω), observa-se que ̸ G(jω) = −180o em ω = 1, 5 rad/s; • É conveniente escolher a nova frequência de cruzamento de ganho como 1, 5 rad/s; • Escolhe-se a frequência de corte da porção de atraso de fase ω = 1/T2 (zero do compensador) com um valor uma década abaixo da nova frequência de cruzamento de ganho, ou seja, ω = 0, 15 rad/s. Sabe-se que: Prof. José Juliano de Lima Jr. 364 Controle no Dominio da Frequéncia 60 - 40 rsa fm aL, dB ; ZA SY G.G \ 0 3 a i ' ne \ [po aoe, _ ao 20 |~ {on nnnngenne a a ot ee -40 | 90° es * ~90° Woot eeee “ ey ia - Gf tS | 180° F- GG PN Tec —270° ul i; i 0,01 0,02 0,04 0.1 02 0406 1 2 4 6 10 wemrad/s Figura 14.25: Diagramas de Bode relativos ao sistema nao compensado G (jw), ao com- pensador G.(jw) e ao sistema compensado G.(jw)G(jw). B-1 1+ sen dm m = —__ > => Sen. Pm = FI > P= TG, Para @ = 10 0 valor de ¢,, = 54, 9°. Como — 3 ha s B=0,015 WQ=— = = BT» 2 B 2 ’ A F.T. relativa ao atraso de fase do compensador torna-se: sta _ 5 Tst+1 | s+0,15 _ 4) (6,67s+1 stan ~— ' BTons +1 °° 5 +0,015 — 66,7s +1 a parte de avancgo de fase pode ser determinada usando-se w = 1,5. Na figura do diagrama de Bode tem-se 13 dB. Portando 0 compensador por atraso e avancgo de fase deve contribuir com —13 dB em w = 1,5 rad/s. e A partir deste ponto, (—13 dB, 1,5 rad/s) é possivel tragar um linha reta com in- clinagaéo de 20 dB/década; Prof. José Juliano de Lima Jr. 14.6 Compensagao por Atraso e Avanco de Fase 365 e A intersegao desta reta com a linha 0 dB e com a linha —20 dB determinam as frequéncias de corte; e Portanto as frequéncia de corte relativa ao avanco de fase sao w = 0,7 rad/sew =7 rad/s. Logo a porgao relativa ao avanco de fase é: sty 1Ts+1 . s+0,7_ 1 ( 1,435+1 st+z yost1 °° st+7 — 10 \0, 143s +1) O compensador G,(s) tem F.T., a saber: s+0,7 s+0,15 G,(s) — (2) (22. (s) ( s+7 ) (Sas) ou 1,435+ 1 6,67s + 1 G,(s)= (es jfseie (s) (; 143s + :) G 75+ *) O sistema compensador G,(s)G(s) tem F.T. em malha aberta, a saber: 0,7 0,15 G.(s)G(s) = (8 £0, 7(5+0,15) (s + 7)(s + 0,015)s(s + 1)(s + 2)20 ou G.(s) = 10(1, 43s + 1)(6, 67s + 1) “"—-s(0, 143s + 1)(66, 7s + 1)(s + 1)(0,5s + 1) e a margem de fase do sistema compensado é de 50°; e a margem de ganho so sistema compensado é de 16 dB; e ea constante de erro estatico de velocidade é 10 s7}. e portanto as especificacoes foram atendidas. Prof. José Juliano de Lima Jr. 366 Controle no Domínio da Frequência Figura 14.26: Resposta ao degrau unitário do sistema compensado. Figura 14.27: Resposta à rampa unitária do sistema compensado. Prof. José Juliano de Lima Jr. 14.6 Compensação por Atraso e Avanço de Fase 367 Figura 14.28: Curvas de resposta ao degrau e rampa unitários de sistemas compensados: a) não compensado; b) por avanço de fase; c) por atraso de fase e d) por atraso e avanço de fase. Prof. José Juliano de Lima Jr. 368 Controle no Domínio da Frequência Prof. José Juliano de Lima Jr. Apêndice A Projeto de Controle de um Sistema Pên- dulo Hélice Projetar um compensador PID para controlar um pêndulo suspenso acionado por uma hélice motorizada em sua extremidade livre de forma que o sistema fique posicionado a um ângulo θ da vertical 1. A.1 Problema proposto Figura A.1: Sistema Pêndulo e Hélice. A.2 Modelo matemático Fazendo o diagrama de corpo livre do sistema pêndulo e hélice, tem-se: Aplicando a 2a Lei de Newton, vem: 1http://fritzenlab.com.br/2016/11/sistema-pendulo-helice-experimentos-fisicos/ Prof. José Juliano de Lima Jr. 370 Projeto de Controle de um Sistema Péndulo Hélice atrito 0 Ct L/2 L 9(t) / mgsene(t) mgcos 6(t) F(t) mg M gseno(t 3 (1) Mgcos 0(t) Mg Figura A.2: Diagrama de corpo livre. . L . JoO(t) = —MgL sen O(t) — mg7 sen O(t) — c,0(t) + LF(t) Jo6(t) + 46(t) + (uv + ~) gL sen 0(t) = LF (t) Considerando @ um valor pequeno entao sen? ~ 6 e cos@ = 1 obtém-se a equacao linearizada. Logo Job (t) + 6(t) + (uv + ~) gL6(t) = LF (t) A.3 Momento de inércia em relacao ao ponto O Determinacao do momento de inércia em relagao ao ponto O. e Massa M na extremidade da haste, massa do propulsor. Jue = ML? Prof. José Juliano de Lima Jr. A.4 Funcao transferéncia 371 e Haste m mL? Jim = — 3 e Total L? Jo = Ine + Im = ML? + M Jo = (a) L? 3 Assim a equacao de movimento do sistema péndulo hélice, fica: 3M . (“*) L?6(0) + b(t) + (M+) gLA() = LF(H) = TE) A relacéo entre a tensdo v(t) aplicada no propulsor e o torque T(t) gerado é: T(t) = Knv(t) logo 3M ; a) L?0(t) + e8(t) + (M+) gLO(E) = Kynvi(t) Passando Laplace com condig6es iniciais nulas (6(0) = 6(0) = 0), tem-se: M (“*") L?s? +8 + (u + ~) at] QO(s) = K,,V(s) A.4 Funcao transferéncia A Funcao Transferéncia, fica: O(s) _ Km Vio) PIA $s Os Prof. José Juliano de Lima Jr. 372 Projeto de Controle de um Sistema Pêndulo Hélice A.5 Malha aberta A figura (A.3) apresenta a simulação do sistema pêndulo hélice em Malha Aberta, na forma de diagrama de blocos, sendo aplicado uma tensão de alimentação do propulso de 2,5 V, o que corresponde a um ângulo θ de 40o. Figura A.3: Malha aberta. Já a figura (A.4) apresenta a resposta no tempo do sistema simulado. Notamos que o tempo de estabilização é de 10 s. Figura A.4: Gráfico θ(t) versus t M. A. Prof. José Juliano de Lima Jr. A.6 Malha fechada 373 A.6 Malha fechada O diagrama de blocos apresentado na figura (A.5) simula a resposta do sistema em malha fechada, sendo que o valor de referência é igual a 40o. Figura A.5: Malha fechada A figura (A.6) apresenta o comportamento do sistema compensado, sem oscilações e com o tempo de estabilização de 2 s. Figura A.6: Gráfico θ(t) versus t - M.F. Prof. José Juliano de Lima Jr. 374 Projeto de Controle de um Sistema Pêndulo Hélice A.7 Componente utilizados Na construção do sistema foram utilizados os seguintes componentes: 1) Quadricóptero O motor utilizado é quadricóptero Crazyflie Nano 1.0. Figura A.7: Quadricóptero Crazyflie Nano 1.0. 2) Arduino Neste projeto foi utlizado um Arduino UNO (mas pode ser qualquer microcontrolador que tenha duas entradas analógicas e uma saída PWM). Figura A.8: Arduino UNO 3) Potenciômetro São dois potenciômetros, podendo ser logarítmico ou linear, tanto faz, de qualquer valor. 4) Fonte Prof. José Juliano de Lima Jr. A.7 Componente utilizados 375 Figura A.9: Potenciômetro de 10k ohm. Uma fonte de 3,3V/2A, para o motor, e uma fonte de 5V/1A, para o Arduino. Eu usei uma fonte 9V para o Arduino e um regulador de 3,3V para o motor. (a) Fonte de 9V para o Arduino. (b) Regulador de 3,3V para o motor. Figura A.10: Fonte e regulador. 5) Mosfet Um mosfet de qualquer modelo, mas que possa ser ativado com os 5V do Arduino. 6) Diagrama-esquema A figura (A.12) apresenta a vista superior do diagrama esquemático. Observe que o motor/hélice é alimentado em 3,3V, gerados por aquela placa vermelha, regulador de tensão, a partir dos 5V disponíveis para o Arduino. Prof. José Juliano de Lima Jr. 376 Projeto de Controle de um Sistema Pêndulo Hélice Figura A.11: Mosfet IRF3415. Figura A.12: Diagrama esquemático. Prof. José Juliano de Lima Jr. Apéndice B Programas aplicados a teoria B.1 Simulagao de um Sistema de Segunda Ordem com Condicoes Iniciais Seja o sistema de segunda ordem ak (t) + aya (t) + agx(t) = 0 (B.1) com condigoes iniciais x(0) = xo e &(0) = Zo. Passando a transformada de Laplace, vem: #(t) & s?X(s)— sx — Xo x(t) ~ sX(s)— 2X x(t) ~ X(s) Substituindo na equagao (B.1), vem: az (s’X(s) — s%q — %o) +a (sX(s) — 2) +a9X(s) = 0 (a2s° + ays + ao) X(s) — ag% — (ags+ai)x% = 0 Entao ag . a8 + ay X(s) = ———2 ___j,, + 2" "" Prof. José Juliano de Lima Jr. 378 Programas aplicados a teoria Para simular a resposta x(t), equação (B.2), no simulink do MatLab, ˙x0 e x0 são considerando como excitações do tipo impulso. A excitação impulso é construída no simulink usando uma função degrau (’step’) com os seguintes parâmetros: Para x0: • Step time: delay • Initial value: x0/delay • Final value: 0 Para ˙x0: • Step time: delay • Initial value: ˙x0/delay • Final value: 0 Segue a listagem do programa .m para realizar a simulação: %__________________________________________________________ % Simulação de um sistema de segunda ordem % usando diagrama de blocos e função transferência % com condições iniciais. % Nome do Programa:ft_dblocos_cond_iniciais_s_forca.m %__________________________________________________________ % Universidade Federal de Itajubá % Graduação em Engenharia Mecânica % EME905 - Controle de Sistemas Mecânicos % Professor: Prof. Dr. José Juliano de Lima Jr. %_______________________________________________________ % % Copyright (c) May, 2017 by José Juliano de Lima Jr. % % preparando o ambiente close all clear all clc % dados a2=1; Prof. José Juliano de Lima Jr. B.1 Simulação de um Sistema de Segunda Ordem com Condições Iniciais 379 a1=1; %a1=1 - subamortecido,... a1=2 - criticamente amortecido, a1=3 - superamortecido a0=1; delay=0.01; f=1; tfinal=10; % tempo de simulação % condicões iniciais x0=.2; xd0=.4; % comando para rodar o simulink % sem precisar abrí-lo simOut=sim(’ft_dbloco_ci_s_forca’,... ’SaveTime’,’on’,’TimeSaveName’,’tou’,... ’SaveOutput’,’on’,’OutputSaveName’,’x’); t=simOut.get(’tou’); x_resp=simOut.get(’x’); % usando função transferência % função transferência G1=tf([a2],[a2 a1 a0]); G2=tf([a2 a1],[a2 a1 a0]); % resposta [x1,t1]=impulse(xd0*G1,tfinal); [x2,t1]=impulse(x0*G2,tfinal); x=x1+x2; % gráficos das respostas plot(t,x_resp(:,1),’b-’,t,x_resp(:,2),’m-.’,t1,x,’r--’) title(’Resposta ao Impulso - Sistema c/ Condições Iniciais e Entrada Nula’) xlabel(’tempo s’) ylabel(’Deslocamento m’) legend(’Diagrama de Blocos’,’Função transferência’,’Função Impulse’) grid A figura (B.1) apresenta o diagrama de blocos construído no simulink. No bloco To Worspace selecionar Save format: Array para que a saida x seja um vetor Prof. José Juliano de Lima Jr. 380 Programas aplicados a teoria Figura B.1: Modelo no simunlink. e possa ser utilizada no comando plot. Rodando o programa na área de comando do matlab obtém-se a figura (B.2) que mostra a curva de resposta no tempo usando o diagrama de blocos, curva azul, e resposta no tempo usando função transferência, curva verde, com as condições inciais x0 e ˙x0 sendo excitações impulso. Observa-se uma sobreposição das curvas indicando concordância nas respostas. B.2 Simulação de um sistema de controle usando o Pre- ditor de Smith. O Preditor de Smith é uma estrutura de controle que minimizar as limitações causadas pelo atraso de transporte a uma estrutura de controle retroalimentada. %__________________________________________________________ % Simulação de um sistema de segunda ordem % com atraso de transporte sem e com o Predidor de Smith. % Nome do Programa:preditor_Smith.m %__________________________________________________________ % Universidade Federal de Itajubá % Graduação em Engenharia Mecânica % EME905 - Controle de Sistemas Mecânicos % Professor: Prof. Dr. José Juliano de Lima Jr. Prof. José Juliano de Lima Jr. B.2 Simulação de um sistema de controle usando o Preditor de Smith. 381 Figura B.2: Modelo no simunlink. %_______________________________________________________ % % Copyright (c) May, 2017 by José Juliano de Lima Jr. % % preparando o ambiente clear all close all clc td=0.3; % tempo de atraso Kp=3.415; % ganho proporcional Ti=0.907; % tempo integral ou reset Ki=Kp/Ti; % ganho integral t=5; % tempo de simulação % planta sem atraso a=conv([1 1],[0.1 1]); Gp1=tf(1,a); % planta com atraso Gp2=Gp1; Prof. José Juliano de Lima Jr. 382 Programas aplicados a teoria Gp2.inputd=td; % compensador PI Gc=tf([Kp Ki],[1 0]); % controle sem atraso Gf=feedback(Gc*Gp1,1); % com com atraso sem preditor Gfa=feedback(Gc*Gp2,1); % controle com atraso e preditor Gt=Gp1; Gt.inputd=td; H=Gp1-Gt; Gfap=feedback(Gc,H); Gfap=feedback(Gfap*Gp2,1); % resposta ao degrau unitário % R(s)=1/s [yf,t0]=step(Gf,t); [yfa,t1]=step(Gfa,t); [yfap,t2]=step(Gfap,t); % gráficos de resposta plot(t0,yf,’b-’,t1,yfa,’g-’,t2,yfap,’r-’) title(’Contraldor PI e o Preditor de Smith’) xlabel(’Tempo (s)’) ylabel(’c(t)’) legend(’PI sem atraso’,’PI com atraso’,’PI com atraso+PS’) A figura (B.3) apresenta a resposta em malha fechada, controlador PI, para uma variação de posição na referência R(s) tipo degrau unitário. B.3 Simulação de um Sistema de 1a Ordem com Atraso de Transporte Usando Aproximação de Padé O atraso de transporte é o tempo decorrente para que uma variação no sinal de entrada (excitação) seja efetivamente percebido pela variável de saída (resposta). Tem grande Prof. José Juliano de Lima Jr. B.3 Simulacgao de um Sistema de la Ordem com Atraso de Transporte Usando Aproximacao de Padé 383 Contraldor PI e o Preditor de Smith . —— Pl sem atraso ~~ Pl com atraso 1.8) —PI com atraso+PS 1.6 1.4 = 1 0.6) 0.4) / 0.2 % 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Tempo (s) Figura B.3: Malha fechada planta sem atraso, planta com atraso sem e com o Preditor de Smith. impacto na estabilidade de sistemas em malha fechada!. Ocorrem em: e sistemas térmicos e sistemas hidraulicos e sistemas pneumaticos e e na resposta de sensores. O Atraso de transporte em Laplace é modelado por Ga(s) =e *"4 (B.3) Existem inimeras formas de aproximar uma funcao dada f(x), por fungdes ’mais simples’ ou com propriedades mais interessantes, tais como’: e aproximacao polinomial n f(x) © pala) = Soe i=0 ‘Rech. C., Beltrame, R. C., Sinais e Sistemas, Transparéncia, Unidade 5, UFSM. ?Evaristro e Argimiro, EQE-358 - Métodos Numéricos em Engenharia Quimica. Prof. José Juliano de Lima Jr. 384 Programas aplicados a teoria e séries de poténcia f" (0) f" (xo) n f(x) & f(t0) + f’(@o)(@ — @o) + yr ( — 9)? +o + —_ e — Xo) e fragoes continuadas ay (x Fe) = bo + )+ u - Xx —————— ' ba(2)+ e funcgodes racionais ~ Pn(2) _ =o axa" f(x) = ~~ = er n(2) yj=0 Ajx A desvantagem de usar polinémios para a aproximagao é sua tendéncia a oscilacgoes. Este comportamento pode ser reduzido com o uso de funcgoes racionais, que sao razoes de polinémios. (XL ain" r(x) = Pa ) _ diz Qn(X) Fig 5X9 Por exemplo ty x x e = Fat oy tap be Usando a aproximagao de Padé que é uma razao de polindmios, tem-se: x/2 1425 0 + 23 fe. fp € _ tot pat Ba 2m (B.A) —a/2 x a? a3 na” . eR 1 Stay mate tet (“Uae Uma aproximagao de Padé de la Ordem é obtida fazendo n = 1 na equagao (B.4) ow 2+2 ~ 2-4 e uma aproximacgao de Padé de 2a Ordem fazendo n = 2 na equagao (B.4). ote 84 42 +2” ~ 8 — 4a + 2? Prof. José Juliano de Lima Jr. B.3 Simulação de um Sistema de 1a Ordem com Atraso de Transporte Usando Aproximação de Padé 385 Assim para o atraso de transporte a aproximação de Padé de 1a Ordem fica: e−Tds ≈ 2 − Tds 2 + Tds %__________________________________________________________ % Simulação de um sistema de primeira ordem com atraso de % transporte sem e com o uso da aproximação de Padé. % Construção do Lugar das Raízes usando aproximações de 1a e % 2a ordens de Padé. % Nome do Programa: pade_LR.m %__________________________________________________________ % Universidade Federal de Itajubá % Graduação em Engenharia Mecânica % EME905 - Controle de Sistemas Mecânicos % Professor: Prof. Dr. José Juliano de Lima Jr. %_______________________________________________________ % % Copyright (c) May, 2018 by José Juliano de Lima Jr. % % preparando o ambiente clear all close all clc td=2; % tempo de atraso t=20; % tempo de simulação % planta sem atraso G=tf([1],[10 1]); % planta com atraso Ga=G; Ga.inputd=td; % controle com atraso e preditor % Aproximação de Padé 1a ordem do atraso [N,D]=pade(td,1); Prof. José Juliano de Lima Jr. 386 Programas aplicados a teoria Gp1=tf(N,D); % Aproximação de Padé 2a ordem do atraso [N,D]=pade(td,2); Gp2=tf(N,D); % resposta ao degrau unitário % R(s)=1/s % sem atraso [y,t]=step(G,t); % com atraso [ya,ta]=step(Ga,t); % com aproximação de 1a ordem [yp1,tp1]=step(G*Gp1,t); % com aproximação de 2a ordem [yp2,tp2]=step(G*Gp2,t); % gráficos de resposta plot(t,y,’b-’,ta,ya,’g-’,tp1,yp1,’r-’,tp2,yp2,’k--’) title(’Resp. Sistema de 1a Ordem sem/com Aproximação de Padé’) xlabel(’Tempo (s)’) ylabel(’y(t)’) legend(’sem atraso’,’com atraso’,... ’com atraso: Padé de 1a ordem’,’com atraso: Padé de 2a ordem’) % Lugar das raizes figure % para a construção do lugar das raízes % deve usar a aproximação de Pade ao invés de Ga. subplot(3,1,1),rlocus(G) title(’Planta sem atraso’) subplot(3,1,2),rlocus(G*Gp1) title(’Planta com atraso - Pade 1a Ordem’) subplot(3,1,3),rlocus(G*Gp2) title(’Planta com atraso - Pade 2a Ordem’) Prof. José Juliano de Lima Jr. B.3 Simulação de um Sistema de 1a Ordem com Atraso de Transporte Usando Aproximação de Padé 387 Figura B.4: Resposta ao degrau unitário. Figura B.5: Lugar das raízes sem atraso e com atraso. Prof. José Juliano de Lima Jr. 388 Programas aplicados a teoria B.4 Simulação de um Sistema de 1a Ordem com Con- dições Iniciais Nulas sujeito ao Impulso ou Degrau Unitários Para determinar a resposta de um sistema de 1a ordem, usando ODE45, com excitação impulso unitário ou degrau unitário, deve-se primeiramente construir estes sinais. No programa forca.m apresentamos com fazer esta construção. function u=forca(t,delta,tipo) switch tipo % Impulso Unitário case 1 if t >= 0 & t < delta u=1/delta; else u=0; end % Degrau Unitário case 2 u=1; end Observa-se que a variável delta é a largura do impulso. Teoricamente quanto menor melhor. Neste caso fizemos delta=0.01 que já produz um resultado satisfatório. Tendo-se os sinais de entrada pode-se agora utilizar a função ODE45 para obter a resposta do sistema a esses sinais. Neste caso é necessário construir uma função que aqui chamamos de sistema_1o.m. function dz=sistema_1o(t,z) % zdot = a*z + b*u global a1 a0 delta tipo % função de excitação u=forca(t,delta,tipo); % Estados dz=0; Prof. José Juliano de Lima Jr. B.4 Simulação de um Sistema de 1a Ordem com Condições Iniciais Nulas sujeito ao Impulso ou Degrau Unitários 389 A=a0/a1; B=1/a1; dz=-A*z+B*u; end O programa principal ckf_ode45_Impulse.m chama a função ODE45 e a função sistema_1o.m, que por sua vez chama a forca.m, obtendo-se assim a resposta a uma excitação impulso unitário ou degrau unitário. Para verificar se o procedimento de cal- culo, aqui adotado está correto, usamos a função impulse e step do MatLab para comparar os resultados do programa ckf_ode45_Impulse.m. % __________________________________________________________________ % simulação de um sistema de 1a ordem na forma de espaço de estado % usando a função ode45 para uma excitação impulso unitário. % % {x}d=[A]{x}+[B]{u} % % [A] - matriz de estado: 2nx2n % [B] - matriz de entrada: 2nxp % {x} - estados (interno): 2nx1 % {x}o - condições inicias: 2nx1 % {u} - vetor de entrada: px1 % % n - número de gdl % p - número de entradas % q - número de saídas % __________________________________________________________________ % Universidade Federal de Itajubá % Graduação em Engenharia Mecânica % EME905 - Controle de Sistemas Mecânicos % Professor: Prof. Dr. José Juliano de Lima Jr. % __________________________________________________________________ % % Copyright (c) Mar, 2017 by José Juliano de Lima Jr. % % preparação do ambiente clear all close all clc Prof. José Juliano de Lima Jr. 390 Programas aplicados a teoria global a1 a0 delta tipo % tipo=1; função Impulso Unitário % tipo=2; função degrau Unitário tipo=1; if tipo==1 Nome=’Impulso’; else Nome=’Degrau’; end % dados: a1 xd(t) + a0 x(t)=b0 u(t) a1=1; % Ns/m a0=2; % N/m b0=1; % largura do impulso delta=0.01; % condições iniciais xo=0; % tempo de simulação ti=0; tfinal=5; t=ti:delta:tfinal; % ode45 [T,z]=ode45(@sistema_1o,[t],[xo]); % função transferência G=tf([b0],[a1 a0]); if tipo==1 [y,t]=impulse(G,tfinal); else [y,t]=step(G,tfinal); Prof. José Juliano de Lima Jr. B.5 Solução da Equação Não Linear e Linear do Tanque 391 end % gráficos plot(T,z,’b-’,t,y,’r--’) title(’Resposta do sistema’) xlabel(’tempo (s)’) ylabel(’x(m)’) legend(’x_{ode45}’,[’x_{’ Nome ’}’]) grid A figura (B.6) apresenta a resposta do sistema de 1a ordem ao impulso unitário via ODE45 e usando a função impulse do MatLab. Figura B.6: Resposta ao Impulso via ODE45 e via a função impulse do MatLab. Já figura (B.7) apresenta a resposta do sistema de 1a ordem ao degrau unitário deter- minada via ODE45 e usando a função step do MatLab. B.5 Solução da Equação Não Linear e Linear do Tanque Programa desenvolvido em MATLAB usando a função ODE45 para a solução não linear e função transferência para a solução linear das equações do tanque. % __________________________________________________________________ % Simulação da equação não linear do tanque na forma de espaço de Prof. José Juliano de Lima Jr. 392 Programas aplicados a teoria Figura B.7: Resposta ao Impulso via ODE45 e via a função step do MatLab. % estado usando a função ode45. % Simulação da equação linear do tanque usando função transferência. % % {x}d=[A]{x}+[B]{u} % % [A] - matriz de estado: 2nx2n % [B] - matriz de entrada: 2nxp % {x} - estados (interno): 2nx1 % {x}o - condições inicias: 2nx1 % {u} - vetor de entrada: px1 % % n - número de gdl % p - número de entradas % q - número de saídas % % nome dos programas % tanque_ode45.m % sistema_1o.m % __________________________________________________________________ % Universidade Federal de Itajubá % Graduação em Engenharia Mecânica % EME905 - Controle de Sistemas Mecânicos Prof. José Juliano de Lima Jr. B.5 Solução da Equação Não Linear e Linear do Tanque 393 % Professor: Prof. Dr. José Juliano de Lima Jr. % __________________________________________________________________ % % Copyright (c) Mar, 2019 by José Juliano de Lima Jr. % % preparação do ambiente clear all close all clc global k c % dados h0=2; % m - altura no instante t=0 k=0.5; % m^(5/2) c=1; % m2 - área do seção transversal do tanque % tempo de simulação ti=0; tfinal=120; t=linspace(ti,tfinal,100); % solução não linear [T,z]=ode45(@sistema_1o,t,[h0]); % modelo linearizado H=4; % altura de regime R=2*sqrt(H)/k; qi=0.05; % variação da vazão no instante t=80, 1,05 -1,0=0,05 m^3/s % variação do nível G=tf(qi*R,[R*c 1]); t1=linspace(0,40,20); % variação do tempo de 80 a 120= 0 a 40 s [h1,t1]=step(G,t1); qi=1; % variação da vazão no instante t=20, 1,0-0=1 m^3/s G=tf(qi*R,[R*c 1]); t2=linspace(0,100,50); [h2,t2]=step(G,t2); Prof. José Juliano de Lima Jr. 394 Programas aplicados a teoria % gráficos fname=’times’; % tipo letra nos gráficos fsize=14; % tamanho das letras no gráfico lwith=1.5; % espessura da linha plot(T,z,’b-’,t1+80,h1+H,’r--’,t2+20,h2+0,’g--’,’linewidth’,lwith) title(’Tanque: Nível de Líquido x Tempo’,’FontName’,fname,... ’fontsize’,fsize) xlabel(’t, s’,’FontName’,fname,’fontsize’,fsize) ylabel(’H, m’,’FontName’,fname,’fontsize’,fsize) ha=gca;set(ha,’linewidth’,lwith,’FontName’,fname,’FontSize’,... fsize,’Box’,’on’); legend({’H(t) - N\~ao Linear’,’H(t) - Linear, com $R=8 \, m^2$/s’,... ’H(t) - Linear, com $R=8 \, m^2$/s’},’interpreter’, ’latex’) grid O programa chama a função % __________________________________________________________________ % Function sistema_1o.m que calcula a vazão de entrada do tanque em % função do tempo e do tipo de função de entrada. % __________________________________________________________________ % Universidade Federal de Itajubá % Graduação em Engenharia Mecânica % EME905 - Controle de Sistemas Mecânicos % Professor: Prof. Dr. José Juliano de Lima Jr. % __________________________________________________________________ % % Copyright (c) Mar, 2019 by José Juliano de Lima Jr. % function dz=sistema_1o(t,z) global k c % zdot = a*z + b*u dz=0; % função de excitação Qi=vazao(t); Prof. José Juliano de Lima Jr. B.5 Solução da Equação Não Linear e Linear do Tanque 395 % Estados dz=(Qi-k*sqrt(z))/c; end function Q=vazao(t) if t<= 20 Q=0; end if t > 20 & t <= 80 Q=1; end if t > 80 Q=1.05; end end O gráfico apresenta a solução do problema proposto. 0 20 40 60 80 100 120 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Tanque: Nível de Líquido x Tempo Figura B.8: Altura do nível de líquido solução Não Linear e Linear. Prof. José Juliano de Lima Jr. 396 Programas aplicados a teoria Prof. José Juliano de Lima Jr. Apêndice C Programas dos exercícios resolvidos C.1 Exemplo 7-1, p. 339, Ogata, 3a ed. Compensação de sistemas de controle por avanço de fase Exemplo 7-1, página 339 do livro Engenharia de Controle Moderno, Ogata, 3a edição Ogata (1998). % Autor %____________________________________________________________ % Compensação de sistemas de controle por avanço de fase % OGATA, K. (200), Engenharia de Controle Moderno, 3a edição, % LTC, p 339. % Exemplo 7-1. %____________________________________________________________ % Universidade Federal de Itajubá % Instituto de Engenharia Mecânica % EME905 - Controle de Sistemas Mecânicos % Professor: Prof. Dr. José Juliano de Lima Jr. %____________________________________________________________ % % Copyright (c) Nov, 2022 by José Juliano de Lima Jr. % clearvars % espcificações de controle ts2=2 % s Mp=0.163 % ou Mp=16,3 % % função transferência a malha aberta Prof. José Juliano de Lima Jr. 398 Programas dos exercícios resolvidos s=tf(’s’) G=4/(s*(s+2)) H=1 % pólos e zeros a malha aberta disp(’Zeros e Pólos de malha aberta’) z=zero(G*H) p=pole(G*H) % lugar das raízes do sitema não compensado rlocus(G*H) axis([-2.5 0.5 -2 2]) % função transferência a malha fechada Gf=feedback(G,H) % frequências naturais e fator de amortecimento a malha fechada [wn,csi]=damp(Gf); disp(’freq. naturais’) wn disp(’fator de amortecimento’) csi % pólos e zeros a malha fechada disp(’Zeros e Pólos de malha fechada’) z=zero(Gf) p=pole(Gf) % desempenho do sistema (K=1) - polo dominante % tempo de estabilização 2% 4/(csi(1)*wn(1)) % s % pólo desejado - especif. de desempenho (ts2=2 s e f. Mp=16,3%) ts2=2 csi=-log(Mp)/sqrt(pi^2+log(Mp)^2) wn=4/(ts2*csi) % rad/s Prof. José Juliano de Lima Jr. C.1 Exemplo 7-1, p. 339, Ogata, 3a ed. 399 % polo dominante theta=asin(csi) alpha=theta+pi/2 s1=wn*exp(1j*alpha) % ângulo de GH no pólo desejado G_s1=4/(s1*(s1+2)) H_s1=1 angulo_GH_s1=angle(G_s1*H_s1); disp(’fase’) angulo_GH_s1*180/pi % deficiência angular disp(’deficiência ângular’) phi=pi-angulo_GH_s1 phi*180/pi % polo e zero do compensador beta=pi/2-theta beta*180/pi % polo N=(pi-beta+phi)/2 D=(pi-beta-phi)/2 p=-wn*sin(N)/sin(D) % zero z=-wn*sin(D)/sin(N) % módulo Gc_s1=(s1-z)/(s1-p) Gcomp_s1=Gc_s1*G_s1 disp(’ganho’) abs(Gcomp_s1) % ganho do compensador Kc=1/abs(Gcomp_s1) Prof. José Juliano de Lima Jr. 400 Programas dos exercícios resolvidos % compensador de avanço de fase Gc=Kc*(s-z)/(s-p) % refinado o compensador para diminuir o sobre sinal % mudando o zero %z=-2.5 %Gc=Kc*(s-z)/(s-p) % função transferência a malha aberta do sistema compensado Gcomp=Gc*G % lugar das raízes do sistema compensado rlocus(Gcomp*H) % função transferência a malha fechada do sistema compensado Gcompf=feedback(Gcomp,H) % frequências naturais e fator de amortecimento a malha fechada [wn,csi]=damp(Gcompf); disp(’freq. naturais do sistema compensado’) wn disp(’fator de amortecimento do sistema compensado’) csi % pólos e zeros a malha fechada disp(’Zeros e Pólos de malha fechada do sistema compensado’) z=zero(Gcompf) p=pole(Gcompf) % resposta ao degrau do sistema não compensado e compensado [x,t]=step(Gf); [x1,t1]=step(Gcompf,t); % sobresinal x_max=max(x) Mp1=(x_max-1)*100 Prof. José Juliano de Lima Jr. C.2 Exemplo 7-2, p. 346, Ogata, 3a ed. 401 x_max=max(x1) Mp2=(x_max-1)*100 % gráficos das respostas plot(t,x,’-bs’,t1,x1,’-ro’) title(’Resposta ao Degrau Unitário’) xlabel(’t (s)’) ylabel(’Sinais de Saída’) legend([’não compensado Mp=’ num2str(Mp1,3) ’ %’],[’compensado: Mp=’ num2str(Mp2,3) ’ %’]) grid % lugar das raízes do sistema não compensado e compensado figure rlocus(G*H,’b’,Gcomp*H,’r’) sgrid(csi,0) C.2 Exemplo 7-2, p. 346, Ogata, 3a ed. Compensação de sistemas de controle por atraso de fase Exemplo 7-2, página 346 do livro Engenharia de Controle Moderno, Ogata, 3a edição Ogata (1998). % Autor %____________________________________________________________ % Compensão de sistemas de controle por atraso de fase % OGATA, K. (200), Engenharia de Controle Moderno, 3a edição, % LTC, p 346. % Exemplo 7-2. %____________________________________________________________ % Universidade Federal de Itajubá % Instituto de Engenharia Mecânica % EME905 - Controle de Sistemas Mecânicos % Professor: Prof. Dr. José Juliano de Lima Jr. %____________________________________________________________ % % Copyright (c) Nov, 2022 by José Juliano de Lima Jr. % clearvars Prof. José Juliano de Lima Jr. 402 Programas dos exercícios resolvidos % estpecificações beta=10 % aumentar a conste de erro estático de velocidade em 10 veze % função transferência a malha aberta s=tf(’s’) G=1.06/(s*(s+1)*(s+2)) H=1 % polos e zeros a malha aberta disp(’Zeros e Pólos de malha aberta’) z=zero(G*H) p=pole(G*H) % lugar das raízes do sitema não compensado rlocus(G*H) % função transferência a malha fechada Gf=feedback(G,H) % frequências naturais e fator de amortecimento a malha fechada [wn,csi]=damp(Gf); disp(’freq. naturais’) wn disp(’fator de amortecimento’) csi % polos e zeros a malha fechada disp(’Zeros e Pólos de malha fechada’) z=zero(Gf) p=pole(Gf) % aumentar a constante de erro estático de velocidade em 10 vezes e % e manter o polo dominante % contribuição angular da compensação em torno de -5 graus. s1=p(2) % polo dominante Prof. José Juliano de Lima Jr. C.2 Exemplo 7-2, p. 346, Ogata, 3a ed. 403 % contribuição angular do compensador z=-0.05 % escolha do zrero do compensador p=z/beta G_s1=1.06/(s1*(s1+1)*(s1+2)) Gc_s1=(s1-z)/(s1-p) H_s1=1 angulo_Gc_s1=angle(Gc_s1); disp(’fase (graus)’) angulo_Gc_s1*180/pi % ok! está ente -5 e 0 graus % compensador de atraso de fase Gc=(s-z)/(s-p) % função transferência a malha aberta do sistema compensado Gcomp=Gc*G % lugar das raízes do sistema compensado rlocus(Gcomp*H) % ganho de malha aberta Kc=1/abs(Gc_s1*G_s1*H_s1) % função transferência a malha aberta do sistema compensado Gcomp=Gc*G % função transferência a malha fechada do sistema compensado Gcompf=feedback(Gcomp,H) % pólo e zero a malha fechada do sistema compensado disp(’zero do sistema a malha fechada compensado’) zero(Gcompf) disp(’pólos do sistema a malha fechada compensado’) pole(Gcompf) % frequências naturais e fator de amortecimento a malha fechada % do sistema compensado Prof. José Juliano de Lima Jr. 404 Programas dos exercícios resolvidos [wn,csi]=damp(Gcompf); disp(’freq. naturais - sistema compensado’) wn disp(’fator de amortecimento - sistema compensado’) csi % função rampa unitária tfinal=50; t=0:.1:tfinal; U=t; [x,t]=lsim(Gf,U,t); [x1,t1]=lsim(Gcompf,U,t); % resposta plot(t,x,’-b’,t1,x1,’-r’,t,U,’-k’) title(’Resposta a Rampa Unitária’) xlabel(’t (s)’) ylabel(’Sinais de Saída c1 e c1’) legend(’não compensado’, ’compensado’,’Location’,’West’) grid % resposta ao degrau do sistema não compensado e compensado [x,t]=step(Gf,tfinal); [x1,t1]=step(Gcompf,tfinal); plot(t,x,’-b’,t1,x1,’-r’) title(’Resposta ao Degrau Unitário’) xlabel(’t (s)’) ylabel(’Sinais de Saída c1 e c1’) legend(’não compensado’, ’compensado’) grid % lugar das raízes do sistema não compensado e compensado rlocus(G,’b’,Gcomp,’r’) sgrid(csi,0) Prof. José Juliano de Lima Jr. Referências Bibliográficas Aguirre, L. A. (2011). Simulação de tanque (elt009, elt035, elt016). Internet. Vídeos, disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=JUSfsLFt8tc>, acessado em: 28 de fevereiro 2019. Bennett, S. (1996). A Brief History of Automatic Control. IEEE Control Systems. Campbell, D. P. (1958). Process Dynamics. London: John Wiley and Sons, Inc. Coughanowa, D. R., & Koppel, L. B. (1978). Analise e Controle de Processos. Guanabara, 2nd ed. D’Azzo, J. J., & Houpis, C. H. (1984). Analise e Projeto de Sistemas de Controle Lineares. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 2nd ed. de Carvalho, J. L. M. (2000). Sistemas de Controle Automático. Rio de Janeiro: LTC. Dorf, R. C., & Bishop, H. R. (2011). Modern Control Systems. Prentice Hall, 12 th ed. Eckman, D. P. (1962). Automatic Process Control. New York: John Wiley and Sons, Inc., 2nd ed. Gonçalvez, M. G. (2003). Monitoramento e controle de processos. Internet. Notas de Aula do Senais-Petrobrás, disponível em: <http://www.fsa.br>, acessado em: 30 agosto 2010. Hemerly, E. M. (2000). Controle por Computadores de Sistemas Dinâmicos. São Paulo: Editora Edgard Blücher Ltda, 2a. ed. J. J. Distefano, A. R. S., & Willians, I. J. (1978). Sistemas de Retroação e Controle - Coleção Schaum. McGraw-Hill, 2nd ed. Kreyszig, E. (1993). Advanced Engineering Mathematics. John Willey and Sons, 7 th ed. Matias, J. (2002). Teoria de controle pid. Mecatrônica Atual, 3(3), 17–25. Matsumoto, É. Y. (2003). Simulink 5 - Fundamentos. São Paulo: Érica. Prof. José Juliano de Lima Jr. 406 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Nise, N. S. (2015). Control Systems Engineering. Prentice Hall, 7 th ed. Ogata, K. (1998). Engenharia de Controle Moderno. Rio de Janeiro: LTC, 3a. ed. Ogata, K. (2000). Engenharia de Controle Moderno. Rio de Janeiro: LTC, 3a. ed. Pinto, J. E. M. G. (2014). Aplicação Prática do Método de Sintonia de Controladores PID Utilizando o Método do Relé com Histerese. Dissertação de mestrado, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, RN, 116f. Santos, J. d. (2010). Diagrama de blocos. Internet. Notas de Aula, disponível em: <http://www.fsa.br>, acessado em: 30 agosto 2010. Prof. José Juliano de Lima Jr.