Transformadas de Laplace e Desenvolvimento de Frações Parciais

Modelagem e Controle de Sistemas Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Profª Drª Claudia Barros dos Santos Revisão Textual Profª Espª Kelciane da Rocha Campos Transformadas de Laplace e o Desenvolvimento de Frações Parciais Transformadas de Laplace Fornecer ao aluno ferramentas para que ele possa simplificar um sistema e em seguida esboçar qual é a resposta daquele sistema em uma variável usual como por exemplo o tempo Estudar e conhecer as transformadas de Laplace As funções de trans ferência nem sempre são simples como as funções da tabela de trans formadas de Laplace então o aluno deverá saber transformar uma fração em frações parciais Facilitar ainda mais a sua leitura e interpretação simplificadas para um sistema complexo Escrever a equação de transferência de um sistema real tanto no espaço de frequências como no espaço de estados OBJETIVO DE APRENDIZADO Transformadas de Laplace e o Desenvolvimento de Frações Parciais Orientações de estudo Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem aproveitado e haja maior aplicabilidade na sua formação acadêmica e atuação profissional siga algumas recomendações básicas Assim Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte da sua rotina Por exemplo você poderá determinar um dia e horário fixos como seu momento do estudo Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar lembrese de que uma alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo No material de cada Unidade há leituras indicadas e entre elas artigos científicos livros vídeos e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade Além disso você também encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar que ampliarão sua interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados Após o contato com o conteúdo proposto participe dos debates mediados em fóruns de discus são pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento além de propiciar o contato com seus colegas e tutores o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e de aprendizagem Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte Mantenha o foco Evite se distrair com as redes sociais Mantenha o foco Evite se distrair com as redes sociais Determine um horário fixo para estudar Aproveite as indicações de Material Complementar Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar lembrese de que uma Não se esqueça de se alimentar e de se manter hidratado Aproveite as Conserve seu material e local de estudos sempre organizados Procure manter contato com seus colegas e tutores para trocar ideias Isso amplia a aprendizagem Seja original Nunca plagie trabalhos Transformadas de Laplace Já encontramos nas Unidades de estudo anteriores alguma motivação para estudar as transformadas de Laplace Nem sempre os sistemas podem ser representados em funções do tempo como gostaríamos Na maioria das vezes os sistemas são baseados em dispositivos que trabalham com sinais de pulses e impulsos como frequência tensão comprimentos de onda corrente etc Uma boa parte dessas grandezas pode ser representada por uma variável complexa Uma variável complexa é dita variável complexa porque é um número que tem sua parte real como nós estamos acostumados e uma parte imaginária Podemos representar essa variável da seguinte maneira s σ jω Onde σ é a parte real ao passo que ω é a parte imaginária É muito útil para o estudo de sistemas que o aluno saiba e compreenda representar uma variável complexa graficamente Veja mais em httpsgooglvGULz8 Representação Geométrica de Variáveis Complexas e Definições Usuais Já utilizamos em Unidade anteriores a notação Gs para uma função complexa Podemos escrever que Gs Gx jGy Onde Gx e Gy são quantidades reais O cálculo do módulo de Gs é idêntico ao cálculo do módulo de um vetor Gx² Gy² e o ângulo entre eles é dado por tg¹θg Gy Gx Este ângulo deve ser medido no sentido antihorário a partir do eixo real x positivo Por último saiba que funções complexas têm o complexo conjugado dado por Gs Gx jGy Dizse que uma função imaginária é dita analítica em uma região se ela Gs e todas as suas derivadas existem nessa determinada região Vamos utilizar como exemplo uma função Gs no plano s Seja Gs 1 s 1 Então d ds Gs 1 s 1² Podemos observar que a função Gs dada como exemplo é analítica em todo plano s exceto s 1 Os pontos para os quais Gs existem são denominados pontos ordinários já os pontos Gs não existem são denominados pontos singulares Os polos da função complexa são os pontos singulares para os quais Gs tende a infinito Já os zeros da função complexa são os pontos singulares para os quais Gs se anula Vamos utilizar um novo exemplo para ilustrar os polos e zeros de uma função complexa Seja Gs Ks 2s 10 ss 1s 5s 15² A função do exemplo tem zeros em s 2 e s 10 assim como tem polos em s 1 s 5 e s 15 Observem que para o polo em s 15 dizemos que a função tem polo duplo ou de ordem 2 Outra observação sobre esse exemplo é que note o denominador caso seja realizada a propriedade distributiva nos primeiros termos teremos um s³ E ainda para valores elevados de s Gs tende a se anular Já vimos as características de uma função complexa agora vamos nos voltar para a análise das transformadas de Laplace Elas são especialmente úteis na análise de sistemas e sua estabilidade A transformada de Laplace de um sinal xt qualquer pode ser definida como Xs xtestdt Onde conforme vimos acima a variável s é uma variável complexa Podemos indicar a transformada de Laplace na forma de um operador como xtXs indica transformar uma função do tempo t em uma função de variável complexa s Em sinais de sistemas algumas funções são mais comumente encontradas como 1 A função exponencial do tipo xt 0 para t 0 Aeat para t 0 A transformada de Laplace para essa função será Xs LAeat Aeatestdt Xs Aₒ s α Onde s é variável complexa 2 A função degrau onde xt 0 para t 0 A para t 0 A transformada de Laplace para essa função será Xs ℒ xt 0 para t 0 A para t 0 ₀ A est dt Xs As Observe que a função degrau cuja altura A é unitária é chamada degrau unitário 3 A função rampa onde xt 0 para t 0 At para t 0 A transformada de Laplace para essa função será Xs ℒ xt 0 para t 0 At para t 0 ₀ At est dt Xs As² 1 A função senoidal onde xt 0 para t 0 Asenωt para t 0 Você Sabia As funções periódicas podem ser escritas como uma combinação de exponenciais Veja em Fórmula e notações de Euler no link httpsgoogleFWQBh Vamos escrever a função seno com a notação de Euler utilizando uma combinação de funções exponenciais onde senωt 12j ejωt ejωt A transformada de Laplace dessa função será Xs ℒ A12j ejωt ejωt A2j ₀ ejωt ejωt est dt Xs Aωs² ω² Outras funções podem surgir No entanto o que é mais comum na análise de sinais é que a função de transferência ou a função de um dispositivo qualquer seja interpretada como uma função de variável complexa Gs Neste caso o que é necessário fazer é utilizar o caminho inverso da Transformada de Laplace ou 1 1 ξ2 eξ0nξ2 t senωνn1 ξ2t2 φ φ tg11 ξ2ξ 0 ξ 1e 0 φ π2 ft 1 1 1 ξ2 eξ0nξ2 t senωt1 ξ2t2 φ φ tg11 ξ2ξ 0 ξ 1e 0 φ π2 Rs Es 1 Ts Cs 1 Ts Es Cs 1 1 Ts 1 Ts Rs Gs 1 Ts Exemplo 2 Vamos analisar a resposta ao sinal do tipo degrau para o mesmo sistema que estudamos no exemplo anterior Observe sua imagem assim como sua função de transferência de malha fechada Rs Es 1T s Cs Agora se a entrada é do tipo degrau teremos Rs 1s observe por meio da tabela de transformadas de Laplace Logo Cs 1Ts11s Qual é a saída em função do tempo Se você observar e procurar uma antitransformada de Laplace na tabela verá que nenhuma delas se adequa à equação acima Sendo assim é muito útil que o aluno conheça técnicas para transformar a função Cs em frações parciais Para tanto vamos observar os seguintes passos 1 Reescreva a função de acordo com a quantidade de fatores de fatoração existentes no denominador Para o nosso exemplo podemos utilizar 1Ts11s ATs1 Bs A partir de agora vamos encontrar o valor de A e B 2 Vamos calcular o valor de A e B nos pontos onde a fração não existe por exemplo Bs não deve existir quando s 0 visto que não existe divisão por zero Para o cálculo de A anule a fração que tem B e para o cálculo de B anule a fração que contém A 3 Reescreva a fração utilizando os valores encontrados para A e B Teremos Cs TTs1 1s Com apenas um ajuste vemos que as duas frações possuem a antitransformada de Laplace Na primeira fração vamos dividir numerador e denominador por T Cs 1s 1T 1s 4 Por fim vamos ler a antitransformada de Laplace na Tabela teremos ct L11s 1T 1s ct etT 1 Ou ainda ct 1 etT 5 Por fim vamos fazer um breve esboço da função ct Para tanto vamos construir uma tabela com alguns valores de T e verificar o resultado para ct Em seguida vamos plotar essa tabela em um gráfico t x ct t ct 0 0 0 T 0632121 2T 0864665 3T 0950213 4T 0981684 5T 0993262 Nota que o gráfico mostra alguns detalhes como a tendência da curva ao valor constante 1 Ou ainda para o valor de t T a função alcançou 632 de sua variação total A função alcançou 950 de sua variação total para t 3T e assim por diante Mais adiante o aluno verá que essa análise é importante na análise de estabilidade no projeto de um sistema Agora analise qual é a diferença da resposta ao impulso realizada no exemplo 1 como atividade de aprofundamento e a resposta ao degrau unitário realizada no exemplo 2 Elementos Físicos em Sistemas Reais Na Unidade II estudamos um sistema mecânico para falar da representação de um sistema no estado de espaços A representação de um sistema no espaço de estados é especialmente útil quando um sistema tem múltiplas entradas e múltiplas saídas É válido lembrar que um sistema pode ser mecânico elétrico óptico termodinâmico etc Agora vamos estudar elementos de controle mecânicos e elementos elétricos que aparecem comumente em sistemas Assim como os modelos de equação que melhor os representam seja no espaço de estados ou frequência Sistemas mecânicos de tradução e rotação Já vimos na Unidade II que para escrever a equação de um sistema mecânico é necessário recorrer à segunda Lei da dinâmica newtoniana Observe o sistema abaixo e seus principais componentes m Se aplicamos a dinâmica newtoniana a cada um dos elementos mola de constante k massa m e fluido de viscosidade B apresentados no sistema acima teremos a seguinte força resultante Ft md²xdt² Bdxdt kx Considerando as Transformadas de Laplace da equação acima com condições iniciais nulas temos Fs ms²Xs BsXs kXs E ainda poderão haver dispositivos mecânicos de rotação conforme mostra a imagem a seguir Agora vamos relacionar elementos físicos reais de um sistema à sua modelagem matemática ou seja vamos relacionar um sistema físico à sua função de transferência e à sua representação no espaço de estados Dados as equações que modelam o sistema podemos escrever a função de transferência de malha fechada do nosso circuito Antes vamos relembrar que um sistema dinâmico tem função de transferência de malha fechada escrita da seguinte maneira 5 Agora vamos realizar a operação distributiva para E₀ e em seguida retornar à variável tempo com a antitransformada de Laplace LCe₀ RCe₀ e₀ e₁ Para que a equação acima fique mais próxima da linguagem que utilizamos na Unidade II vamos dividir ambos os lados da equação por LC e teremos e₀ RL e₀ e₀LC e₁LC É válido que oa alunoa tenha em mãos o material da Unidade II visto que novamente vamos utilizar a linguagem mais próxima da que utilizamos naquela unidade Então sejam x₁ e₀ x₂ e₀ u e₁ y e₀ x₁ Na resolução temos x₁ x₂ x₂ e₀ uLC 1LC x₁ RL x₂ 6 Por fim observando as equações acima podemos escrever as matrizes da solução x₁ x₂ 1LC 1 x₁ 0 x₂ e y 1 0 x₁ x₂ Saiba mais em httpsgoogluHqiQB Para finalizar a Unidade III vamos obter um modelo no espaço de estados a partir de um diagrama de blocos Observe o sistema da imagem a Us b s x₁s ls s x₂s Ys Para obter um modelo no espaço de estados do sistema acima vamos seguir os seguintes passos 1 Vamos escrever as equações do sistema relativas aos sinais Ys X₁s e X₂s Então Ys X₁s Equação I X₁s 1s x₂s α Us X₁s Equação II X₂s bs Us X₁s Equação III 2 Observe como fizemos a transformada de Laplace na etapa 2 do exemplo anterior Vamos utilizar o mesmo processo aqui mas de maneira contrária vamos utilizar a antitransformada de Laplace para tanto vamos rearranjar as equações I II e III Preste atenção Ys X₁s Equação I X₁s 1s x₂s α Us X₁s sX₁s x₂s α Us X₁s Equação II X₂s Us X₁s sX₂s bUs bX₁s Equação III Utilizando a antitransformada de Laplace da equação I temos yt x₁t 3 Por fim podemos escrever as matrizes da solução observando as equações x₁ x₂ a 1 x₁ u b 0 x₂ y 1 0 x₁ x₂ Desta maneira finalizamos a Unidade III Material Complementar Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade Livros Cengage Learning STEWART J Cálculo São Paulo Cengage Learning 2003 ISBN 9788522106615 5 ed São Paulo 2003 p A53 Sinais e sistemas Oppenheim A Willsky A Sinais e sistemas 2ª ed São Paulo Pearson 2010 p 400 Física I mecânica Young H D Freedman R A Física I mecânica 14 ed v3 São Paulo AddisonWesley 2016 Física III eletromagnetismo Young H D Freedman R A Física III eletromagnetismo 14 ed v3 São Paulo AddisonWesley 2016 UNIDADE Transformadas de Laplace e o Desenvolvimento de Frações Parciais Referências OGATA K Engenharia de controle moderno 5 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2010 OPPENHEIM A Willsky A Sinais e sistemas 2ª ed São Paulo Pearson 2010 STEWART J Cálculo São Paulo Cengage Learning 2003 ISBN 97885221 06615 5 ed São Paulo 2003 YOUNG H D FREEDMAN R A Física I mecânica 14 ed v3 São Paulo AddisonWesley 2016 Física III eletromagnetismo 14 ed v3 São Paulo AddisonWesley 2016 26 wwwcruzeirodosulvirtualcombr Campus Liberdade Rua Galvão Bueno 868 CEP 01506000 São Paulo SP Brasil Tel 55 11 33853000 Cruzeiro do Sul Educacional