Introdução às Séries Temporais: Conceitos Fundamentais e Previsões

Séries Temporais Prof Marcelo Nuno Carneiro de Sousa Série Temporal Como trabalhar com séries temporais Achar a equação de um processo estocástico que descreva o comportamento da série Com base nessa equação fazer uma previsão do comportamento futuro Componentes de uma série temporal Tendência 𝑇𝑡 1 01 𝑡 Sazonalidade 𝑆𝑡 2 𝑠𝑒𝑛 𝜋 4 𝑡 Componente irregular 𝐼𝑡 08 𝐼𝑡1 09 𝜖𝑡 Séries Estacionárias Podemos definir o valor esperado de uma série temporal Por exemplo a série 𝑌𝑡 01 𝜀𝑡 E𝑌𝑡E01E𝜀𝑡 01 𝐼𝑡 08 𝑡 09 𝜖𝑡 E𝐼𝑡 08 𝑡 Autocovariância A autocovariância entre o termo de uma série temporal e o termo com defasagem j é definida como 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑐𝑜𝑣𝑗𝑡 𝐸 𝑌𝑡 𝜇𝑡 𝑌𝑡𝑗 𝜇𝑡𝑗 Podemos definir a autocorrelação como sendo 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑗𝑡 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑐𝑜𝑣𝑗𝑡 𝜎𝑌𝑡𝜎𝑌𝑡𝑗 Estacionariedade Uma série tem estacionariedade fraca se a média e a autocovariância não dependerem do tempo t Então se a série for fracamente estacionária E𝑌𝑡µ E𝑌𝑡 µ𝑌𝑡𝑗 µ𝛾𝑗 Uma série é ergódica se a média amostral até o instante T converge em probabilidade para µ quando T tende a infinito Ruído Branco Ruído branco é a série temporal 𝜖𝑡 𝑡 com 𝜖𝑡 tendo uma distribuição normal com média 0 e desviopadrão sendo descorrelacionados ao longo do tempo Temos que E𝜖𝑡 0 𝛾𝑗 E𝜖𝑡 𝜖𝑡𝑗 0 se i 𝑗 E𝜀𝑡 2 𝜎2 se ij Então o processo é estacionário Um ruído branco com nível é a equação da forma 𝑌𝑡 𝜇 𝜀𝑡 Séries MA Moving Average Uma série MA1 é aquela que está na forma 𝑦𝑡 𝜇 𝜃𝜀𝑡1 𝜀𝑡 Temos que E𝑦𝑡 E𝜇 𝜃𝜀𝑡1 𝜀𝑡 𝜇 E as autocovariâncias 𝐸 𝑦𝑡 𝜇 𝑦𝑡𝑗 𝜇 Se j 0 𝐸 𝑦𝑡 𝜇 𝑦𝑡 𝜇 𝐸 𝜃𝜀𝑡1 𝜀𝑡 𝜃𝜀𝑡1 𝜀𝑡 𝐸𝜃2 𝜀𝑡1 2 𝜀𝑡 2 1 𝜃2𝜎2 Se j1 𝐸 𝑦𝑡 𝜇 𝑦𝑡1 𝜇 𝐸 𝜃𝜀𝑡1 𝜀𝑡 𝜃𝜀𝑡2 𝜀𝑡1 𝐸 𝜃 𝜀𝑡1 2 𝜃𝜎2 Se j1 𝐸 𝑦𝑡 𝜇 𝑦𝑡𝑗 𝜇 0 Autocorrelações 𝛾0 1 𝛾1 𝜃𝜎2 1 𝜃2𝜎2 𝜃 1 𝜃2 𝑠𝑒 𝑗 1 𝛾𝑗 0 Médias Móveis ordem q 𝑦𝑡 𝜇 σ𝑗1 𝑞 𝜃𝑗𝜀𝑡𝑗 𝜀𝑡 Temos que 𝐸𝑦𝑡 𝐸𝜇 σ𝑗1 𝑞 𝜃𝑗𝜀𝑡𝑗 𝜀𝑡 𝜇 A variância fica 𝑣𝑎𝑟𝑦𝑡 𝐸 σ𝑗1 𝑞 𝜃𝑗𝜀𝑡𝑗 𝜀𝑡 σ𝑗1 𝑞 𝜃𝑗𝜀𝑡𝑗 𝜀𝑡 𝜎21 σ𝑗1 𝑞 𝜃𝑗 2 Autocovariâncias Se 0kq 𝐸 σ𝑗1 𝑞 𝜃𝑗𝜀𝑡𝑗 𝜀𝑡 σ𝑗1 𝑞 𝜃𝑗𝜀𝑡𝑗𝑘 𝜀𝑡𝑘 𝜎2𝜃𝑘 𝜃𝑘1 𝜃1 𝜃𝑞𝜃𝑞𝑘 Se kq 0 pois não há termos com ε em comum Processos Autorregressivos Modelo AR1 O modelo AR1 segue a seguinte equação 𝑌𝑡 𝑐 𝜙𝑌𝑡1 𝜀𝑡 Solução 𝑌𝑡 𝑐 𝜙𝑌𝑡1 𝜀𝑡 𝑐 𝜀𝑡 𝜙𝑌𝑡1 𝑐 𝜀𝑡 𝜙 𝑐 𝜀𝑡1 𝜙𝑌𝑡2 𝑐 𝜀𝑡 𝜙𝑐 𝜙𝜀𝑡1 𝑐 𝜀𝑡2 𝜙𝑌𝑡3 𝑐 𝜀𝑡𝜙𝑐 𝜀𝑡1 𝜙2𝑐 𝜀𝑡2 𝜙3𝑐 𝜀𝑡3 𝜙𝑁𝑐 𝜀𝑡𝑁 𝜙𝑌𝑡𝑁 Se 𝜙1 então lim 𝑁 𝜙𝑁𝑐 𝜀𝑡𝑁 𝜙𝑌𝑡𝑁 0 E a equação fica 𝑌𝑡 𝑐1 𝜙 𝜙2 𝜙3𝜀𝑡 𝜙 𝜀𝑡1 𝜙2 𝜀𝑡2 𝑐 1𝜙 𝜀𝑡 𝜙 𝜀𝑡1 𝜙2 𝜀𝑡2 Condição de Estacionariedade 𝜙1 Se 𝜙1 o processo não é estacionário Se 𝜙1 então 𝑌𝑡 𝑐 1𝜙 𝜀𝑡 𝜙 𝜀𝑡1 𝜙2 𝜀𝑡2 E𝑌𝑡E 𝑐 1𝜙E 𝜀𝑡 𝜙 𝜀𝑡1 𝜙2 𝜀𝑡2 𝑐 1𝜙 Variância 𝛾0 𝐸𝑌𝑡 𝜇2 𝐸𝜀𝑡 𝜙 𝜀𝑡1 𝜙2 𝜀𝑡22 1 𝜙2 𝜙4 𝜎2 Lembrando que a condição de estacionariedade é 𝜙1 𝛾0 𝜎2 1𝜙2 Autocovariâncias 𝛾1 𝐸𝑌𝑡 𝜇 𝑌𝑡1 𝜇E𝜀𝑡 𝜙 𝜀𝑡1 𝜙2 𝜀𝑡2 𝜀𝑡1 𝜙 𝜀𝑡2 𝜙2 𝜀𝑡2 𝜙𝜎2 1𝜙2 Podemos mostrar que 𝛾𝑗 𝜙𝑗𝜎2 1𝜙2 Outra forma de calcular a média incondicional 𝑌𝑡 𝑐 𝜙𝑌𝑡1 𝜀𝑡 Se é estacionário E𝑌𝑡E𝑌𝑡1 Então E𝑌𝑡Ec 𝜙 E𝑌𝑡1E𝜀𝑡E𝑌𝑡c 𝜙 E𝑌𝑡 E𝑌𝑡 1 𝜙c E𝑌𝑡 𝑐 1𝜙 Operador Defasagem O operador defasagem L é o operador que se aplicado a uma série temporal pega o termo atrasado em 1 Por exemplo L 𝑌𝑡 𝑌𝑡1 A potência j de L atrasa a série em j períodos Lj 𝑌𝑡 𝑌𝑡𝑗 Teorema Seja PL um polinômio em L A série PL 𝑌𝑡 𝑐 𝜀𝑡 será estacionária se as raízes da equação Pz0 estiverem fora do círculo unitário ou seja tiverem módulo 1 Exemplo 𝑌𝑡 𝑐 𝜙𝑌𝑡1 𝜀𝑡 𝑌𝑡 𝜙𝑌𝑡1 𝑐 𝜀𝑡 1 𝜙L 𝑌𝑡1 𝑐 𝜀𝑡 1 𝜙z0 z 1 𝜙 z1 se 𝜙1 Modelo AR2 𝑌𝑡 𝑐 𝜙1𝑌𝑡1 𝜙2𝑌𝑡2 𝜀𝑡 1 𝜙1L𝜙2L2 𝑌𝑡 𝑐 𝜀𝑡 A série será estacionária se as raízes de 1 𝜙1z𝜙2z2 0 estiverem fora do círculo unitário Se estiverem fora do círculo unitário podemos tiras a expectativa E𝑌𝑡 E c 𝜙1𝐸𝑌𝑡1 𝜙2𝐸𝑌𝑡2 𝐸𝜀𝑡 𝑐 1𝜙1𝜙2 Modelo ARp 𝑌𝑡 𝑐 𝜙1𝑌𝑡1 𝜙2𝑌𝑡2 𝜙𝑝𝑌𝑡𝑝 𝜀𝑡 Se o processo for estacionário mesma condição das raízes estarem fora do círculo unitário teremos E𝑌𝑡 𝑐 1𝜙1𝜙2𝜙𝑝