Desenho Básico: Categorias de Polígonos e suas Propriedades

DESENHO BÁSICO AULA 3 Profª Eliza Yukiko Sawada Timm 2 CONVERSA INICIAL Nesta aula vamos categorizar os polígonos quanto a regulares irregulares e estrelados conhecer as particularidades do triângulo da circunferência e das curvas cônicas CONTEXTUALIZANDO Este conteúdo irá auxiliar o aluno no desenvolvimento lógico das construções geométricas e da matemática Em inúmeros casos nos deparamos profissionalmente com questões de cálculo de área perímetro planejamento de embalagens mobiliário produtos sinalização entre vários outros projetos Pensar de forma lógica racional e organizada auxilia no processo criativo do designer TEMA 1 POLÍGONOS REGULARES Polígonos regulares são polígonos convexos que possuem todos os lados e ângulos iguais fechado por apenas um segmento de reta que não se cruzam e estão em um mesmo plano Portanto um polígono é regular somente quando for convexo tiver todos os lados com a mesma medida e seus ângulos forem congruentes Um polígono é convexo quando todos os pontos de um segmento reto estiverem em seu interior independentemente da localização Se um ponto do segmento estiver externo ao polígono ele é dito não convexo No exemplo a seguir podemos verificar que todas as formas são convexas pois todos os pontos da reta AB estão em seu interior Figura 1 Polígonos regulares convexos 3 Já no exemplo a seguir podemos verificar que nem todos os pontos A da reta AB estão no interior da figura portanto não é convexo Figura 2 Polígonos irregulares não convexos Todo polígono regular de um número qualquer de lados tem o mesmo número de arestas vértices e ângulos Figura 3 Características dos polígonos regulares É possível descobrir a medida dos ângulos internos de um polígono regular calculando a soma dos ângulos internos e depois dividindo o resultado pelo número de ângulos internos L é a medida de um ângulo interno n é o número de lados do polígono regular É possível também obter a medida do ângulo externo do polígono regular dividindo a soma dos ângulos externos do polígono pelo número de ângulos externos que ele possui 4 M é a medida de um ângulo externo n é o número de lados do polígono regular Quanto maior for o número de lados de um polígono regular mais ele parecerá com um círculo portanto podemos considerar o círculo como um polígono regular de infinitos lados TEMA 2 POLÍGONOS ESTRELADOS Um polígono é dito estrelado quando os seus ângulos são alternadamente salientes e reentrantes e seus lados pertencem a uma linha quebrada contínua e fechada Os polígonos estrelados podem ser classificados em regulares e irregulares O polígono estrelado é regular quando é o resultado da ligação de vértices de um polígono regular e gera um polígono formado pela sobreposição de outros dois Figura 4 Polígonos estrelados regulares E irregular quando os seus lados e ângulos são diferentes 5 Figura 5 Polígonos estrelados irregular TEMA 3 TRIÂNGULO 31 Triângulo equilátero É um triângulo que possui todos os lados congruentes ou seja possui todos os lados iguais assim como seus ângulos internos equiângulo são todos de 60º Figura 6 Este triângulo é um polígono regular Figura 6 Triângulo equilátero 32 Triângulo isósceles É um polígono que possui dois lados congruentes lados iguais O lado com a medida diferente é chamado de base do triângulo isósceles e o ângulo formado pelos dois lados iguais é chamado de ângulo do vértice Na Figura 7 os lados AB e AC têm lados iguais e formam o ângulo do vértice e o lado BC forma a base do triângulo 6 Figura 7 Triângulo isósceles 33 Triângulo escaleno Em um triângulo escaleno nenhum dos lados são congruentes assim como nenhum de seus ângulos internos Figura 8 Triângulo escaleno 34 Ângulos do triângulo Os ângulos do triângulo também definem três tipos distintos de triângulos que são o triângulo retângulo o obtusângulo e o acutângulo 341 Triângulo retângulo Possui um ângulo reto 90º o lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa e os demais lados são denominados catetos Figura 9 Os ângulos agudos do triângulo retângulo são complementares sua soma é igual a 90º Figura 9 Triângulo retângulo 7 342 Triângulo obtusângulo Este triângulo possui um ângulo obtuso maior que 90º e dois ângulos agudos menores que 90º Figura 10 Triângulo obtusângulo 343 Triângulo acutângulo Este triângulo tem os três ângulos agudos menores que 90º Figura 11 Triângulo acutângulo 35 Área do triângulo A área do triângulo pode ser calculada utilizando a seguinte fórmula h é a altura do triângulo e B a sua base A altura é um segmento de reta perpendicular a um lado do triângulo que passa pelo vértice oposto 36 Pontos linhas e círculos associados a um triângulo 361 Mediatriz É a reta perpendicular a um lado do triângulo que passa pelo seu ponto médio Traçando as três mediatrizes de um triângulo encontramos um único 8 ponto que é o circuncentro da circunferência circunscrita ao triângulo que passa pelos três vértices do triângulo Figura 12 Mediatriz do triângulo 362 Altura Como visto anteriormente altura é um segmento de reta perpendicular a um lado do triângulo que passa pelo vértice oposto Figura 13 Altura do triângulo A interseção das três alturas gera um ponto denominado ortocentro No triângulo acutângulo o ortocentro é interno ao triângulo Figura 14 no triângulo retângulo é o vértice do ângulo reto Figura 15 e no obtusângulo o ortocentro é externo ao triângulo Figura 16 Figura 14 Altura do triângulo acutângulo 9 Figura 15 Altura do triângulo retângulo Figura 16 Altura do triângulo obtusângulo 363 Mediana A mediana é o segmento de reta que une cada vértice ao ponto médio do lado oposto desse vértice Traçando as três medianas de um triângulo encontramos um único ponto chamado de baricentro ou centro de gravidade Figura 17 Mediana do triângulo 364 Bissetriz A bissetriz interna de um triângulo corresponde ao segmento de reta que parte de um vértice e o divide em duas partes iguais O ponto de interseção das bissetrizes gera um ponto denominado incentro Traçando um círculo tangente aos três lados do triângulo e com centro no encentro é chamado círculo inscrito 10 Figura 18 Bissetriz do triângulo TEMA 4 CIRCUNFERÊNCIA Circunferências são figuras geométricas planas perfeitamente redondas e são constituídas pelo conjunto de todos os pontos igualmente distantes do ponto central desse plano ou seja o ponto O centro da circunferência e todos os pontos da circunferência possuem a mesma distância de O Figura 19 Circunferência 41 Raio e diâmetro A distância de O a um ponto da circunferência é chamada de raio e é indicada pela letra r O raio é um segmento de reta que liga o centro da circunferência a qualquer ponto da sua extremidade O diâmetro é um segmento que passa pelo centro da circunferência e o divide em duas partes iguais O diâmetro D é duas vezes o valor do raio de uma circunferência 11 Figura 20 Raio e diâmetro 42 Área da circunferência A área de uma circunferência é calculada utilizando a seguinte fórmula Figura 21 Área da circunferência 43 Perímetro da circunferência O perímetro de uma figura plana corresponde à soma de todos os seus lados Na circunferência o perímetro é o comprimento total do seu contorno e está intimamente ligado ao raio quanto maior for o raio maior será a sua área e o seu perímetro O cálculo do perímetro é realizado utilizando a seguinte fórmula Figura 22 Perímetro da circunferência 12 44 Circunferência e círculo Apesar de muitas vezes utilizarmos circunferência e círculo como sinônimos eles são diferentes A circunferência é a curva que limita o círculo e círculo é a sua área interna Figura 23 Figura 23 Circunferência e círculo 45 Corda secante e tangente Corda é um segmento de reta que une dois pontos da circunferência sem passar pelo centro Secante é um segmento de reta que passa pela circunferência e a cruza em dois pontos sem passar pelo centro Tangente é um segmento de reta que passa pela circunferência e a toca em apenas um ponto chamado de ponto de tangência Figura 24 Corda secante e tangente Toda reta secante define uma corda em uma circunferência consequentemente as secantes e as cordas possuem as mesmas propriedades 13 Toda corda é perpendicular ao raio da circunferência no seu ponto médio e todo raio que passa pelo ponto médio de uma corda é perpendicular à mesma corda Figura 25 Secante 46 Posições relativas entre duas circunferências Podemos fazer a classificação quanto à quantidade de intersecções que as duas circunferências podem apresentar tangentes externas e externas secantes concêntricas ou não possuírem intersecção 461 Circunferências tangentes Duas circunferências são tangentes quando possuem apenas um ponto em comum Essa tangência pode ser externa ou interna A condição para a tangência interna é que a distância entre os dois centros seja igual à diferença entre os dois raios Figura 26 Circunferências tangentes externas doc distância entre os pontos O e C 14 Figura 27 Circunferências tangentes internas doc distância entre os pontos O e C 462 Circunferências externas São consideradas circunferências externas quando não tiverem pontos em comum A condição para que isso ocorra é que a distância entre os centros das circunferências seja maior que a soma dos raios Figura 28 Circunferências externas doc distância entre os pontos O e C 463 Circunferências secantes Duas circunferências são secantes quando possuem dois pontos em comum A condição para que isso ocorra é que a distância entre os centros das circunferências seja menor que a soma dos raios Diferente das circunferências tangentes quando tratamos de circunferências secantes não temos secantes internas e externas 15 Figura 29 Circunferências secantes doc distância entre os pontos O e C 464 Circunferências concêntricas Duas circunferências são concêntricas quando possuem o mesmo centro Neste caso a distância entre os centros é nula Figura 30 Circunferências concêntricas 465 Circunferências sem intersecção Circunferências sem pontos em comum cuja intersecção não existe ou as circunferências são externas ou uma é interna à outra Figura 31 Circunferências sem intersecção 16 TEMA 5 CURVAS CÔNICAS As curvas cônicas são as intersecções de um plano com um cone duplo Conforme a inclinação do plano a curva poderá ser uma elipse parábola ou hipérbole Quando o plano está paralelo à base a curva é uma circunferência o que é considerado um caso particular da elipse Se aumentarmos a inclinação do plano encontramos as outras curvas Figura 32 Curvas cônicas Não é de hoje o interesse das ciências exatas nas curvas cônicas Os gregos já a utilizavam na física ótica acústica engenharia e astronomia exercendo ainda hoje papel importante no desenvolvimento de novas tecnologias Na astronomia Kepler mostrou que os planetas do sistema solar descrevem órbitas elípticas as quais têm o Sol num dos focos Também os satélites artificiais percorrem órbitas elípticas Uma lanterna apontada para a parede emitirá um feixe de luz cônico isso porque a luz emitida forma um cone e a parede funciona como o plano 17 A superfície formada pela água em um copo é circular se este estiver alinhado horizontalmente e elíptico se estiver inclinado Lenz 2014 51 Elipse Quando um plano corta toda a geratriz de um cone gera uma curva chamada de elipse Nesse caso o plano não é paralelo à geratriz Figura 33 Elipse A elipse é um lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias d1d2 a dois pontos fixos F1 e F2 foco é um valor constante A soma das distâncias d1 e d2 é indicada por 2a ou seja 2ad1d2 e a distância entre os focos é chamada de 2c sendo que 2a é maior que 2c Figura 34 Elipse 52 Parábola Quando um plano corta um cone com uma inclinação paralela a uma de suas geratrizes a figura resultante é uma parábola 18 Saiba mais Geratriz é um segmento de reta que ao ser deslocado no espaço forma figuras geométricas dependendo da sua localização no espaço Figura 35 Parábola A parábola é o lugar geométrico dos pontos pertencentes a um plano que são equidistantes de uma reta denominada diretriz e de um ponto externo fixo denominado foco F é o foco d é a diretriz V é o vértice P 2f é o parâmetro FV Vd f VF é o eixo das simetrias Figura 36 Parábola 19 53 Hipérbole Quando um plano corta um cone paralelo ao seu eixo a figura resultante é uma hipérbole Figura 37 Hipérbole A hipérbole é o lugar geométrico dos pontos do plano em que a diferença das distâncias a dois pontos fixos denominados focos do plano é um valor constante Figura 38 Hipérbole TROCANDO IDEIAS Note que para realizar a construção de várias figuras desta aula é extremamente importante exercitar as construções geométricas Se você encontrar dificuldades para compreender ou até mesmo construir as atividades a seguir procure tirar as suas dúvidas com relação às construções geométricas básicas como mediatriz e bissetriz 20 NA PRÁTICA Exercite algumas atividades desta aula 1 Trace as três mediatrizes dos lados do triângulo a seguir e encontre o ponto O no interior do triângulo Com o auxílio do compasso trace uma circunferência circunscrita ao triângulo que irá passa pelos três vértices do triângulo 2 Trace as três medianas do triângulo e encontre um único ponto em seu interior do triângulo chamado de baricentro ou centro de gravidade 3 Trace as três bissetrizes internas do triângulo e encontre o incentro na intersecção dessas bissetrizes Com o auxílio do compasso trace o círculo inscrito tangente aos três lados do triângulo 21 FINALIZANDO Nesta aula conhecemos as características e o que define um polígono regular irregular estrelado o triângulo e a circunferência No geral não sabemos que eles são tão subdivididos em categorias particulares No entanto essas particularidades são utilizadas em vários projetos de design engenharias arquitetura e várias outras áreas Os conceitos de curvas cônicas ainda podem parecer vagos mas nas próximas aulas quando falarmos de concordância perspectiva e projeções elas ficarão mais claras 22 REFERÊNCIAS LENZ M O estudo das cônicas a partir da construção geométrica Dissertação Mestrado em Matemática Universidade Estadual Paulista Instituto de Geociências e Ciências Exatas Rio Claro 2014