Distribuição de Probabilidade Discreta e Contínua: Aula 13

28042022 1 Probabilidade e Estatística Prof Dr Antonio Rafael Bôsso Conteúdo 3 Distribuição de Probabilidade Discreta e Contínua Aula 13 Momento Síncrono Quando o conjunto universo é finito ou enumerável dizemos que a variável aleatória é discreta Seja xi a variável aleatória discreta contida no conjunto universo U x1 x2 xn então a probabilidade de xi é dada por i i P X P X X 1 Probabilidade da Variável Aleatória Discreta O somatório de todas as probabilidades individuais vale n i i1 P X 1 n i i1 P X 100 11 Distribuição de Probabilidade Discreta Binomial Requisitos O Experimento é repetido por um número fixo de tentativas sendo uma independente de todas as outras há somente dois resultados sucesso p ou fracasso q A probabilidade de um sucesso Pp é a mesma em cada tentativa A variável aleatória x conta o número de tentativas com sucesso x n x n P x p q x n x x n P x p 1 p x Ilustração Três dados lançados simultaneamente Objetivo sair o nº 4 11 Distribuição de Probabilidade Discreta Binomial p sucesso q 1 p fracasso n número de vezes que uma tentativa é repetida x a variável aleatória representa a contagem do número de sucessos em n tentativas x n x n P x p q x n x x n P x p 1 p x Onde n n x x n x Exemplo 1 Um dado é lançado três vezes seguidas e independentes Considere que a variável aleatória seja a quantidade de quatros que saem nos lançamentos construir uma distribuição de probabilidade 11 Distribuição de Probabilidade Discreta Binomial n repetição x quantidade de quatro i xi Px 1 0 2 1 3 2 4 3 P x 1 p sucesso q fracasso 1 p 6 p q 1 n 3 x 0123 5 q 6 p p p p U qqq qq q q qq q q q p p p pp ppp 28042022 2 Para x 0 11 Distribuição de Probabilidade Discreta Binomial x n x n P x p q x i xi Px 1 0 125216 2 1 3 2 4 3 1 p 6 n 3 5 q 6 0 3 0 30 1 5 P 0 C 6 6 3 3 5 P 0 1 1 6 125 P 0 216 Para x 1 11 Distribuição de Probabilidade Discreta Binomial x n x n P x p q x i xi Px 1 0 125216 2 1 75216 3 2 4 3 1 p 6 n 3 5 q 6 1 3 1 31 1 5 P 1 C 6 6 2 2 1 5 P 1 3 6 6 75 P 1 216 Para x 2 11 Distribuição de Probabilidade Discreta Binomial x n x n P x p q x i xi Px 1 0 125216 2 1 75216 3 2 15216 4 3 1 p 6 n 3 5 q 6 2 3 2 32 1 5 P 2 C 6 6 2 1 5 P 2 3 6 6 15 P 2 216 Para x 3 11 Distribuição de Probabilidade Discreta Binomial x n x n P x p q x i xi Px 1 0 125216 2 1 75216 3 2 15216 4 3 1216 1 p 6 n 3 5 q 6 3 3 3 33 1 5 P 3 C 6 6 3 1 P 3 1 1 6 1 P 3 216 P x 1 O que significa Combinação na probabilidade Binomial 11 Distribuição de Probabilidade Discreta Binomial i xi Cnx Px 1 0 C30 1 125216 2 1 C31 3 75216 3 2 C32 3 15216 4 3 C32 1 1216 P x 1 n 8 n U 2 2 2 3 n U 2 n U 8 p p p p U qqq qq q q qq q q q p p p pp ppp n 3 12 125216 2572 572 1216 0 110 15 310 25 12 35 710 0 1 2 3 i xi Cnx Px 1 0 C30 1 125216 2 1 C31 3 75216 3 2 C32 3 15216 4 3 C32 1 1216 11 Distribuição de Probabilidade Discreta Binomial 28042022 3 Vamos resolver no Excel 13 Exemplo 2 Considere o lançamento simultâneo de quatro moedas Sabese que o evento é o número de caras obtido em cada lançamento do experimento com base nisso construir uma tabela e um gráfico em coluna sobre os possíveis resultados 1 Distribuição de Probabilidade Discreta Binomial Requisitos O Experimento é repetido por um número fixo de tentativas sendo uma independente de todas as outras há somente dois resultados sucesso p ou fracasso q A probabilidade de um sucesso Pp é a mesma em cada tentativa A variável aleatória x conta o número de tentativas com sucesso 11 Distribuição de Probabilidade Discreta Binomial n repetição x quantidade de quatro i xi Px 1 0 2 1 3 2 4 3 5 4 P x 1 p sucesso q fracasso 1 p 2 p q 1 n 4 x 01234 1 q 2 4 n U 2 2 2 2 n U 2 16 Exemplo 2 Considere o lançamento simultâneo de quatro moedas Sabese que o evento é o número de caras obtido em cada lançamento do experimento com base nisso construir uma tabela e um gráfico em coluna sobre os possíveis resultados ppqq pq p suces pq pqq so qfracas p qppq qpqp so U qqqq pqqq qpqq qqpq qqqp qqpp pppq ppqp pqpp qppp p ppp Para x 0 x n x n P x p q x 1 p 2 n 4 1 q 2 x n x 0 4 0 40 n P x p q x 1 1 P x C 2 2 1 P 0 1 1 16 Para x 1 x n x n P x p q x 1 p 2 n 4 1 q 2 x n x 1 4 1 41 n P x p q x 1 1 P 1 C 2 2 1 1 2 P 0 4 2 8 16 Para x 2 x n x n P x p q x 1 p 2 n 4 1 q 2 x n x 2 4 2 42 n P x p q x 1 1 P 2 C 2 2 1 1 6 P 2 6 4 4 16 28042022 4 Para x 3 x n x n P x p q x 1 p 2 n 4 1 q 2 x n x 3 4 3 43 n P x p q x 1 1 P 3 C 2 2 1 1 4 P 3 4 8 2 16 Para x 4 x n x n P x p q x 1 p 2 n 4 1 q 2 x n x 4 4 4 44 n P x p q x 1 1 P 4 C 2 2 1 1 P 4 1 16 1 16 Vamos resolver no Excel 21 o experimento consiste na contagem do número de vezes x que um evento ocorre em um determinado intervalo O intervalo pode ser de tempo área ou volume a probabilidade de que o evento ocorra é a mesma para cada intervalo o número de ocorrências em um intervalo independe do número de ocorrências em outros intervalos x e P x x 2 Distribuição Discreta Poisson Requisitos Ilustração A média de ligação que uma empresa recebe em 8 minutos é 10 chamadas Qual a probabilidade de receber 15 chamadas em 8 minutos 23 Usuários de computador ligados à Internet Clientes chegando ao caixa de um supermercado Acidentes com automóveis em uma determinada estrada Erros de digitação por um certo período de tempo Etc 2 Distribuição Discreta Poisson Aplicações Em muitas situações nos deparamos com a situação em que o número de ensaios é grande n e p é pequeno p0 no cálculo da função binomial o que nos leva a algumas dificuldades pois como podemos analisar para n muito grande e p pequeno fica relativamente difícil calcularmos a probabilidade de k sucessos a partir do modelo binomial isto é utilizando a função de probabilidade x e P x x 2 Distribuição Discreta Poisson Demonstração x n x n P x p q x 28042022 5 2 Distribuição Discreta Poisson Demonstração x n x n P x p q x Observamos que podemos reescrever a expressão acima da seguinte forma k n k k k n P x n n n n k p 1 p k n k k n k k np n np P x k 1 k n k n n Considerando λ np temos n k k k n n 1 n 2 n k 1 n k P x k 1 k n k n n 2 Distribuição Discreta Poisson Demonstração n k k k n n 1 n 2 n k 1 n k P x k 1 k n k n n n k k k n n 1 n 2 n k 1 P x k 1 n k n Se k 4 temos k n k n n 1 n 2 n 3 P x k 1 n n n n k n k n k n 1 n 2 n 3 n P x k 1 n n n n k n 2 Distribuição Discreta Poisson Demonstração n k k n 1 n 2 n k 1 n P x k 1 n n n n k n n k k n 1 n 2 n 3 n P x k 1 n n n n k n n k k 1 2 k 1 P x k 1 1 1 1 n n n k n Se considerarmos o limite quando n n 1 2 k 1 lim 1 1 1 1 n n n 2 Distribuição Discreta Poisson Demonstração n k k P x k 1 k n Se considerarmos o limite quando n n k n n n lim 1 lim 1 n n n nlim 1 e n k e P x k k x e P x x 6 3 e 6 P 3 3 Exemplo 3 A experiência indica que um número médio de 6 clientes por hora param para colocar gasolina numa bomba Qual é a probabilidade de 3 clientes pararem em qualquer hora 2 Distribuição Discreta Poisson x e P x x 6 clientesh P 3 00892 P 0 x 3 P x 3 1 Exemplo 4 A experiência passada indica que um número médio de 6 clientes por hora param para colocar gasolina numa bomba Qual é a probabilidade de mais de 3 clientes pararem em qualquer hora 2 Distribuição Discreta Poisson 6 0 6 1 6 2 6 3 e 6 e 6 e 6 e 6 P x 3 1 0 1 2 3 P x 3 1 00025 00149 00446 00892 P x 3 08488 P x 3 1 01512 x e P x x 0 1 2 3 6 6 6 6 6 P x 3 1 e 0 1 2 3 P x 3 1 P 0 P 1 P 2 P 3 28042022 6 Exemplo 5 Numa empresa a média de chamadas de telefones por hora é 4 Determine a probabilidade de se receber no máximo 3 chamadas em uma hora P x 3 P 0 P 1 P 2 P 3 2 Distribuição Discreta Poisson 4 0 4 1 4 2 4 3 e 4 e 4 e 4 e 4 P x 3 0 1 2 3 P x 3 00183 00733 01465 01954 P x 3 04335 0 1 2 3 4 4 4 4 4 P x 3 e 0 1 2 3 x e P x x Vamos resolver no Excel 32 2 Probabilidade da Variável Aleatória Contínua Quando o conjunto universo é infinito ou está no intervalo a x b dizemos que a variável é contínua P xi f x dx 1 Todas as vezes que tivermos trabalhando com variável contínua a probabilidade de um valor discreto exato será nulo logo temos P 0 X 1 P 0 X 1 P 0 X 1 P 0 X 1 a i a P x f x dx 0 b i a P x f x dx 21 Distribuição Prob Contínua Normal ou de Gauss Estatura Massa corporal Resistência a compressão ou a tração de material 1 x x 2 2 1 y x e 2 Transformação da variável x na variável z i i x x Z s Geralmente as normas técnicas de variáveis contínuas x na NBR segue uma distribuição normal de acordo Nµ σ2 Para realização de uma análise da probabilidade de x acontecer é preciso transformar a variável x que tem uma distribuição de acordo com Nµ σ2 em uma variável z padronizada que se distribui de acordo N0 1 ou seja com média 0 e variância 1 Exemplo 6 Os dados a seguir representam a altura em metros de estudantes do curso de Engenharia Civil do IFTO no semestre 202201 Dados verdadeiros Calcular a probabilidade de escolher da população uma pessoa que tem altura maior que 170 m i xi m 1 157 2 165 3 185 4 191 5 162 6 167 7 188 8 164 9 176 10 172 11 175 12 165 13 165 14 182 15 173 16 174 17 178 18 162 Média 172 Var 0009 s 0097 36 21 Distribuição Prob Contínua Normal ou de Gauss httpswwwinfufscbrandrezibettiprobabilidadenormalhtml 1 x x 2 2 1 y x e 2 28042022 7 37 21 Distribuição Prob Contínua Normal ou de Gauss httpswwwinfufscbrandrezibettiprobabilidadenormalhtml 1 x x 2 2 1 y x e 2 38 21 Distribuição Prob Contínua Normal ou de Gauss httpswwwinfufscbrandrezibettiprobabilidadenormalhtml 1 x x 2 2 1 y x e 2 39 21 Distribuição Prob Contínua Normal ou de Gauss httpswwwinfufscbrandrezibettiprobabilidadenormalhtml 1 x x 2 2 1 y x e 2 40 httpswwwinfufscbrandrezibettiprobabilidadenormalhtml 21 Distribuição Prob Contínua Normal ou de Gauss i i x x Z s 41 21 Distribuição Prob Contínua Normal ou de Gauss 1 x x 2 2 1 y x e 2 42 28042022 8 Exemplo 7 Os dados a seguir foram retirados da monografia do autor Alexandre Jorge Rocha Menezes intitulado Estudo Comparativo entre capeamento de corpo de prova de concreto com Enxofre uso de Neoprene e Retificação de topo para ensaio de resistência à compressão axial Através do Excel faça o que se pede a Escrever a função Normal para o Enxofre b Construir o gráfico da Probabilidade Normal para o Enxofre 20 MPa Enxofre Retifica Neoprene 248 215 244 251 248 213 259 213 228 259 216 225 224 237 222 241 211 213 239 222 241 246 214 248 238 208 211 234 233 213 23 217 225 224 243 243 248 213 221 252 21 221 255 224 237 246 213 229 227 221 232 242 223 246 243 225 219 233 239 214 44 1 x x 2 2 1 y x e 2 20 MPa Enxofre 248 251 259 259 224 241 239 246 238 234 23 224 248 252 255 246 227 242 243 233 média 2420 var 117 s 108 cv 447 1 x 2420 2 2 108 1 y x e 108 2 Para o Enxofre 242 x N 0 117 00000 00500 01000 01500 02000 02500 03000 03500 04000 22 225 23 235 24 245 25 255 26 265 DISTNORMNxmédiasfalso Exemplo 8 Os dados a seguir foram retirados do trabalho denominado de Análise da resistência mecânica à tração e à compressão de argamassas reforçadas com fibras sintéticas de nylon cujos autores são SILVA A C R et al IBRACON 2018 O quadro representa a Resistência à tração na flexão em MPa de quatro traço em que cada tratamento foram moldados seis corpos de provas sendo T0 Traço padrão sem adição de fibra de nylon T1 Traço com 05 de adição de fibra de nylon T2 Traço com 10 de adição de fibra de nylon T3 Traço com 15 de adição de fibra de nylon Resistência a tração na flexão de argamassa Traços CPs T0 T1 T2 T3 1 18 35 36 35 2 21 35 36 35 3 24 36 37 36 4 24 37 37 36 5 24 37 41 37 6 31 39 43 38 Média MPa 237 365 383 362 Desvio Padrão Amostral MPa 043 015 029 012 CV 1826 416 768 323 Considerando que a amostra represente a população de argamassa em estudo e que a variável RESISTÊNCIA A TRAÇÃO NA FLEXÃO de argamassa se distribua de forma normal calcular a probabilidade de escolher da população uma argamassa em que a resistência a tração na flexão seja menor que 26 MPa no traço padrão T0 Considerar duas casas decimais 47 1 x x 2 2 1 y x e 2 Para o Traço T0 x 237 MPa s 043 MPa i i x x z s i 26 237 z 043 P x 26 iz 053 x 237 26 0 053 Z P x 26 050 P 237 x 26 P Z 053 050 P 0 Z 053 x N 23701849 Z N 01 48 iz 053 P 237 x 26 P 0 Z 053 02019 iz 05 003 Vertical Horizontal 28042022 9 49 02019 x 237 26 0 053 Z P x 26 050 P 237 x 26 050 P x 26 050 02019 P x 26 07019 Exemplo 9 Seja uma variável aleatória o comprimento de pregos produzidos por uma certa máquina Supondo que essa variável tenha distribuição Normal com média 2 cm e desvio padrão 004 cm Qual a probabilidade de um prego ter um comprimento entre 198 e 205 cm x 2 205 x N 200016 198 P 198 x 205 51 1 1 x x z s x 2 cm s 004 cm P 198 x 205 1 198 2 z 004 1z 050 2 2 x x z s 2 205 2 z 004 1z 125 x 2 205 x N 200016 198 050 0 125 Z Z N 01 P 2 Z 125 52 Z1 050 P 0 Z 05 P 050 Z 0 01915 Z1 05 000 Vertical Horizontal 53 2z 125 P 0 Z 125 03944 iz 12 005 Vertical Horizontal 54 01915 03944 x 2 205 198 050 0 125 P 198 x 205 P 198 x 2 P 2 x 205 P 198 x 205 P 050 Z 0 P 0 Z 125 P 198 x 205 01915 03944 P 198 x 205 05859 x N 200016 Z N 01 Z 28042022 10 Livros para pesquisa 1 MONTGOMERY Douglas Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros 2ª ed Rio de Janeiro LTC 2003 2 LOPES Paulo Afonso Probabilidades e estatística Rio de Janeiro Reichmann Affonso Editores 2001 3 SPIEGEL Murray R Estatística São Paulo McGraw Hill 1971 55