Distribuições Binominais: Conceitos e Cálculos

Probabilidade e Estatística fls 158 Distribuições Binominais Metas desta Aula Como determinar se um experimento probabilístico é binomial Como obter as probabilidades binomiais usando a fórmula de probabilidade binomial uma tabela de probabilidade binomial e a tecnologia Como construir uma distribuição binomial e seu gráfico Como descobrir a média a variância e o desvio padrão de uma distribuição binomial de probabilidade 1 Experimentos Binomiais Há muitos experimentos probabilísticos para os quais a conclusão de cada tentativa pode ser reduzida a dois resultados sucesso ou fracasso Quando um jogador de basquete tenta um lance livre por exemplo das duas uma ou ele faz a cesta ou não Experimentos probabilísticos como esse são chamados de binomiais Definição Um experimento probabilístico é uma experiência probabilística que precisa preencher os seguintes requisitos 1 O experimento é repetido por um número fixo de tentativas sendo uma independente de todas as outras 2 Há somente dois resultados possíveis de interesse em cada tentativa Os resultados podem ser classificados como um sucesso S ou um fracasso F 3 A probabilidade de um sucesso PS é a mesma em cada tentativa 4 A variável aleatória x conta o número de tentativas com sucesso Probabilidade e Estatística fls 159 A seguinte notação é usada para experimentos binomiais Eis um exemplo simples de experimento binomial Escolha uma carta de um baralho comum Verifique se seu naipe é paus ou não e recoloquea no baralho Repita a experiência cinco vezes Assim n 5 Os resultados para cada tentativa podem ser classificados em duas categorias S tirar uma carta de paus F tirar uma carta de outro naipe As probabilidades de sucesso e fracasso são A variável aleatória x representa o número de vezes que uma carta de paus foi tirada em cinco tentativas Portanto os valores possíveis da variável aleatória são 0 1 2 3 4 e 5 Por exemplo se x 2 então exatamente duas das cinco cartas são de paus enquanto as outras três são de outro naipe Observe que x é uma variável aleatória discreta pois seus valores possíveis são enumeráveis Exemplo 1 Experimentos binomiais Determine se o experimento a seguir é binomial ou não Se for especifique os valores de n p e q e enumere os valores possíveis da variável aleatória x Se não for justifique sua resposta Probabilidade e Estatística fls 160 1 Um determinado procedimento cirúrgico tem 85 de chance de sucesso Um médico realiza o procedimento em oito pacientes A variável aleatória representa o número de cirurgias bemsucedidas 2 Uma caixa contém bolas de gude sendo cinco vermelhas nove azuis e seis verdes Você seleciona ao acaso três bolas da caixa sem reposição A variável aleatória representa o número de bolas vermelhas Solução 1 O experimento é binomial pois satisfaz às quatro condições da definição No experimento cada intervenção cirúrgica representa uma tentativa Há oito cirurgias e cada uma é independente das outras Existem somente dois resultados possíveis para cada cirurgia sucesso ou fracasso Além disso a probabilidade de sucesso de cada cirurgia é de 085 Finalmente a variável aleatória x representa o número de cirurgias de sucesso n 8 p 085 q 1 085 015 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 2 O experimento não é binomial pois não satisfaz a todas as condições da definição Na experiência cada escolha da bola representa uma tentativa e escolher uma bola vermelha é um sucesso Ao selecionar a primeira bola a probabilidade de sucesso é 520 Porém como a bola não é recolocada a probabilidade de sucesso deixa de ser 520 Assim as tentativas não são independentes e a probabilidade de um sucesso não é a mesma para cada tentativa Probabilidade e Estatística fls 161 Exercício 1 Determine se o experimento a seguir é binomial Se for especifique os valores de n p e q e enumere os valores possíveis da variável aleatória x Se não for justifique sua resposta Você responde a um teste de múltipla escolha que consiste em dez questões Cada uma tem quatro respostas possíveis mas somente uma é correta Para completar o teste você escolhe aleatoriamente a resposta de cada questão A variável aleatória representa o número de respostas corretas a Identifique uma tentativa do experimento e o que é um sucesso b Determine se o experimento satisfaz às quatro condições da definição do experimento binomial c Chegue a uma conclusão e identifique n p e q e os valores possíveis de x 2 Probabilidades Binomiais Existem diversos meios de calcular a probabilidade de x sucessos em n tentativas em um experimento binomial Uma delas é a fórmula da probabilidade binomial Probabilidade e Estatística fls 162 Exemplo 2 Obtendo probabilidades binomiais Um dado de seis faces é jogado três vezes Obtenha a probabilidade de sair exatamente um 6 Solução Uma maneira de responder a essa questão é fazer um diagrama de árvore e usar a Regra da Multiplicação Há três resultados que dão exatamente 6 Cada um tem a probabilidade de 25216 Assim a probabilidade de obter exatamente um 6 é 3 25216 0347 Outra maneira de responder a essa questão é usar a fórmula da probabilidade binomial Nesse experimento binomial conseguir um 6 é um sucesso enquanto obter qualquer outro número é um fracasso Os valores de n p q e x são n 3 p 16 q 56 e x 1 A probabilidade de obter exatamente um 6 é Probabilidade e Estatística fls 163 Exercício 2 Uma carta é tirada de um baralho e em seguida é recolocada Se esse experimento for repetido cinco vezes qual será a probabilidade de três cartas de paus serem selecionadas a Identifique uma tentativa um sucesso e um fracasso b Identifique n p q e x c Use a fórmula da probabilidade binomial Exemplo 3 Construindo uma distribuição binomial Durante uma sondagem pesquisadores pediram à trabalhadores dos Estados Unidos que nomeassem suas fontes esperadas de renda na aposentadoria O resultado está exposto no gráfico Sete trabalhadores que participaram da pesquisa foram selecionados ao acaso e indagados se esperava contar com a seguridade social como fonte de renda na aposentadoria Crie uma distribuição binomial de probabilidade para o número de trabalhadores que responderam sim Solução A partir do gráfico podese ver que 28 dos trabalhadores norteamericanos esperam contar com a seguridade social para rendimento na aposentadoria Portanto p 028 e q 072 Sendo n 7 os valores possíveis de x são 0 1 2 3 4 5 6 e 7 Probabilidade e Estatística fls 164 Veja na tabela que todas as probabilidades estão entre 0 e 1 e que a soma das probabilidades é 1 Exercício 3 Sete trabalhadores que participaram de uma pesquisa foram selecionados ao acaso e questionados se esperava contar com uma pensão como rendimento na aposentadoria Crie uma distribuição binomial para o número de candidatos à aposentadoria que responderam sim a Identifique uma tentativa um sucesso e um fracasso b Identifique n p q e os valores possíveis de x c Use a fórmula da probabilidade binomial para cada valor de x d Organize seus resultados em uma tabela Exemplo 4 Obtendo uma probabilidade binomial usando uma tabela Metade dos trabalhadores adultos gasta menos de 20 minutos no percurso entre a casa e o trabalho Se selecionarmos ao acaso seis trabalhadores adultos qual será a Probabilidade e Estatística fls 165 probabilidade de exatamente três deles gastarem menos de 20 minutos nesse percurso Use uma tabela para obter a probabilidade Fonte Matriz AmeriPoll Solução Uma parte da Tabela de Distribuição Binomial é reproduzida a seguir Usando a distribuição para n 6 e p 05 podese obter a probabilidade de x 3 conforme mostrado pelas áreas destacadas na tabela Assim a probabilidade de que exatamente três dos seis trabalhadores gastem menos de 20 minutos cada vez que vão de casa para o trabalho é de 0312 Exercício 4 Vinte e cinco por cento de todos os pequenos negócios no Brasil têm um site Se selecionarmos dez deles ao acaso qual será a probabilidade de exatamente quatro terem uma página na Internet Use a tabela para obter a probabilidade Fonte Yankelovich Partners for IBM US Chamber of Commerce a Identifique uma tentativa um sucesso e um fracasso Probabilidade e Estatística fls 166 b Identifique n p e x c Use a Tabela de Distribuição Binomial para obter a probabilidade binomial Uma maneira ainda mais eficaz de obter as probabilidades binomiais é usar uma calculadora ou um computador Podemse obter por exemplo probabilidades binomiais usandose o Minitab o Excel e Calculadoras Estatísticas Exemplo 5 Utilizando tecnologia para obter uma probabilidade binomial Os resultados de um levantamento recente indicam que 58 das famílias no Brasil possuem uma grelha a gás Se selecionarmos cem famílias ao acaso qual será a probabilidade de que exatamente 65 delas possuam uma grelha a gás Utilize uma calculadora ou um computador para obter a probabilidade Fonte Leo Shapiro Research for Weber GrillWatch Solução Conforme exposto você pode ver que a probabilidade de que exatamente 65 famílias possuam uma grelha a gás é de cerca de 003 ou 3 Probabilidade e Estatística fls 167 Exercício 5 Os resultados de um levantamento recente indicam que 71 dos brasileiros usam mais de um molho para temperar seus cachorrosquentes Se selecionarmos ao acaso 250 pessoas no Brasil qual será a probabilidade de que exatamente 178 delas usem mais de um molho Use uma calculadora ou um computador para obter a probabilidade Fonte ICR Survey ResearchGroup of Hebrew Internacional a Identifique n p e x b Calcule a probabilidade binomial c Interprete os resultados Exemplo 6 Obtendo probabilidades binomiais Uma pesquisa indica que 41 das mulheres do Brasil consideram a leitura sua atividade favorita de lazer Você seleciona ao acaso quatro mulheres e pergunta a elas se a leitura é sua atividade favorita de lazer Obtenha a probabilidade de que 1 exatamente duas delas respondam sim 2 pelo menos duas delas respondam sim e 3 menos do que duas respondam sim Fonte Louis Harris Associates Solução 1 Aplicando n 4 p 041 q 059 e x 2 a probabilidade de que exatamente duas mulheres respondam sim é 2 Para obter a probabilidade de que pelo menos duas mulheres respondam sim podemse somar P2 P3 e P4 Probabilidade e Estatística fls 168 Assim a probabilidade de que pelo menos duas respondam sim é 3 Para obter a probabilidade de que menos do que duas mulheres respondam sim você precisa obter a soma de P0 e P1 Assim a probabilidade de que menos do que duas respondam sim é Exercício 6 Uma sondagem indica que 21 dos homens do Brasil consideram a pescaria sua atividade favorita de lazer Você seleciona ao acaso cinco brasileiros e pergunta a eles se pescar é sua atividade favorita de lazer Obtenha a probabilidade de 1 exatamente dois deles responderem sim 2 pelo menos dois deles responderem sim 3 menos do que dois deles responderem sim Fonte Louis Harris Associates a Determine os valores apropriados de x para cada situação b Obtenha a probabilidade binomial para cada valor de x Então se necessário obtenha a soma c Interprete os resultados Probabilidade e Estatística fls 169 3 Gráficos das Distribuições Binomiais Você aprendeu a elaborar um gráfico de distribuições discretas de probabilidade Como uma distribuição binomial é uma distribuição discreta de probabilidade pode se usar o mesmo processo Exemplo 7 Elaborando o gráfico de uma distribuição binomial Sessenta e cinco por cento das famílias do Brasil assinam serviços de TV a cabo Selecionamse ao acaso seis famílias e perguntase a elas se assinam TV a cabo Construa uma distribuição de probabilidade para a variável aleatória x Faça então o gráfico da distribuição Fonte Polk Solução Para construir a distribuição binomial obtenha a probabilidade de cada valor de x Usando n 6 p 065 e q 035 podese obter o seguinte Probabilidade e Estatística fls 170 Uma vez que cada probabilidade é uma frequência relativa você pode fazer o gráfico da distribuição por meio da aplicação de um histograma de frequência relativa Exercício 7 Quarenta e um por cento das famílias brasileiras possuem computador Você seleciona ao acaso seis famílias e pergunta se elas possuem computador Construa uma distribuição de probabilidade para a variável aleatória x Faça então o gráfico da distribuição Fonte Electronic Industries Association a Obtenha a probabilidade binomial para cada um dos valores da variável aleatória x b Organize os valores de x e suas probabilidades correspondentes em uma distribuição binomial c Use um histograma de frequência relativa para fazer um gráfico da distribuição binomial Assinantes de TV a cabo 0000 0050 0100 0150 0200 0250 0300 0350 0 1 2 3 4 5 6 Famílias Px Probabilidade e Estatística fls 171 Observe no Exemplo 7 que o histograma é assimétrico à esquerda O gráfico de uma distribuição binomial com p 05 é assimétrico à esquerda Se p 05 ele é assimétrico à direita O gráfico de uma distribuição normal com p 05 é simétrico 4 Média Variância e Desvio Padrão Embora seja possível aplicar as fórmulas aprendidas na aula anterior para calcular a média a variância e o desvio padrão de uma distribuição de probabilidade as propriedades de uma distribuição binomial possibilitam o uso de fórmulas mais simples Parâmetros populacionais de uma distribuição binomial Exemplo 8 Obtendo a média a variância e o desvio padrão Em Ribeirão Pires SP cerca de 57 dos dias do ano são nublados Obtenha a média a variância e o desvio padrão para o número de dias nublados durante o mês de junho O que você pode concluir Fonte National Climatic Data Center Solução Há 30 dias em junho Usando n 30 p 057 e q 043 você pode obter a média a variância e o desvio padrão conforme exposto a seguir Probabilidade e Estatística fls 172 Assim é possível concluir que em média há 171 dias nebulosos durante o mês de junho O desvio padrão é de 271 dias Exercício 7 Em Campos do Jordão SP 38 dos dias são ensolarados Obtenha a média a variância e o desvio padrão para o número de dias ensolarados durante o mês de maio O que você pode concluir Fonte National Climatic Data Center a Identifique um sucesso e os valores de n p e q b Obtenha o produto de n e p para calcular a média c Obtenha o produto de n p e q para calcular a variância d Extraia a raiz quadrada da variância para obter o desvio padrão e O que você pode concluir