Notas de Aula: Econometria II - Equações Simultâneas

Notas de aula para o curso de Econometria II Nota 8 equações simultâneas Thiago Fonseca Morello fonsecamorelloufabcedubr sala 301 Bloco Delta SBC 1 Introdução Os dados disponíveis para análise econométrica nada mais do que valores assumidos por algumas variáveis correspondem ao que a teoria econômica neoclássica denomina por condições de equilíbrio Ou seja tratase de resultados de decisões ie racionais e otimizadoras segundo a abordagem teórica mencionada tomadas pelos agentes econômicos sejam eles consumidores empresas trabalhadores do setor privado funcionários públicos etc O que se aplica a conjuntos de dados que captam variáveis claramente relacionadas com decisões como é o caso d os levantamentos de dados socioeconômicos na escala de domicílios Pesquisa de Orçamentos Familiares IBGE ou empresas Pesquisa Industrial Anual IBGE N o primeiro caso por exemplo tê m se as quantidades consumidas de uma série de produtos as quais são resultados de decisões de consumo no segundo caso há as quantidades produzidas de uma série de produtos estas sendo resultados de decisões de produção O princípio de dados enquanto condições de equilíbrio também se aplica a unidades geralmente não tratadas pela teoria como agentes econômicos Tratase de dados na escala de municípios unidades da federação e até mesmo países como por exemplo níveis de consumo investimento poupança importações e exportações indicadores de criminalidade pobreza e desigualdade social Os valores assumidos por todas essas variáveis são todos produto s de múltiplas decisões humanas apesar de tais valores estarem disponíveis em conjuntos de dados em que as unidades não são seres humanos ou empresas As decisões humanas são tomadas em função de decisões humanas este é o fundamento dos modelos de equações simultâneas Eles procuram retratar casos de retroalimentação feedback em que uma decisão A afeta uma decisão B esta última por sua vez também afeta ndo a decisão A Por exemplo segundo a teoria do equilíbrio geral este o principal construto do arcabouço teórico neoclássico cada consumidor decide quanto consumir dos bens disponíveis em função dos preços fixados pelo mercado Estes preços porém são determinados como resultado da compatibilização em cada um dos mercados d e duas relações i a relação entre preço e quantidade que satisfaz todas as firmas produtoras curva de oferta de mercado e ii a relação entre preço e quantidade demandada curva de demanda de mercado que satisfaz tod os os consumidores Deste modo os consumidores ao decidirem quanto adquirir com base nos preços observados acabam por determinar por meio de sua participação nos mercados os próprios preços os quais também são determinados pelas decisões das firmas 2 Intuição para estimação por MVI Em geral a análise econométrica procura recuperar as regras de tomada de decisão empregadas pelos agentes a partir de dados que não captam tais regras mas apenas os resultados delas ie as decisões efetivamente tomadas Por exemplo ao procurar estimar a curva de demanda para um determinado mercado digamos o mercado brasileiro de sementes de uma variedade altamente produtiva de canadeaçúcar um analista dispõe de dados coletados em diversos mercados locais para as seguintes variáveis i preço ii quantidade transacionada iii uma medida que capta os preços de insumos enfrentados pelos produtores de semente um índice de custo de produção e iv a capacidade instalada de produção de canadeaçúcar dos compradores de sementes Um gráfico de dispersão para as duas primeiras variáveis assumiria a forma a seguir Cada ponto no gráfico representa um mercado local e portanto um agregado de múltiplas decisões de compra de sementes e múltiplas decisões de venda Assumindo que os mercados são independentes ie isolados entre si o preço e a quantidade observada em cada mercado de acordo com a teoria emergem da compatibilização das curvas de oferta e demanda por sementes Representandose o preço por p e a quantidade por q e denotandose com o sobrescrito D o lado da demanda e com o sobrescrito O o lado da oferta temse para o i ésimo mercado as seguintes curvas de oferta e de demanda q D i α 1 p i β 1 z 1i u i q O i α 2 p i β 2 z 2i e i Em que z 1i capacidade instalada de produção de canadeaçúcar z 2i índice de custo de produção de sementes e u i e e i são termos de perturbação Conforme já mencionado não são observados q D i e q O i uma vez que a primeira variável capta a relação entre preço e quantidade ótima do ponto de vista dos produtores de sementes e a segunda a relação ótima para os compradores Já o s dados observados correspondem às transações efetivamente fechadas e não às regras de decisão com base nas quais os agentes as fecham ie correspondem às condições de equilíbrio em cada mercado local A condição de equilíbrio sugerida pela teoria econômica para mercados em que prevalece a concorrência perfeita e não há intervenção governamental pode ser formulada da seguinte maneira q O i q D i q i ie a quantidade produzida é equivalente à quantidade demandada De fato a representação rigorosa do modelo de equilíbrio de mercado incorpora três equações q D i α 1 p i β 1 z 1i u i q O i α 2 p i β 2 z 2i e i q D i q O i q i Incorporandose a condição de equilíbrio obtémse a forma sintética a seguir q i α 1 p i β 1 z 1i u i q i α 2 p i β 2 z 2i e i Temse ai um sistema de equações simultâneas uma vez que ele determina sim ultaneamente quantidades e preços em cada mercado local De fato tratase de um sistema de equações lineares padrão como qualquer outro estudado no curso de álgebra linear Cabe introduzir alguma nomenclatura Cada uma das equações é denominada por equação estrutural uma vez que é sugerida pela teoria retratando pois o compo rtamento de agentes econômicos O sistema composto por equações estruturais é denominado por sistema na forma estrutural As variáveis preço e quantidade são endógenas no sentido particular de terem seus valores determinados pelo modelo Friso que aqui o termo endógeno não é empregado com o significado de violação da hipótese de exogeneidade do MCRL ou seja não se trata do conceito econométrico de endogeneidade mas sim do conceito empregado em álgebra linear As variáveis z 1i e z 2i são denominadas exógenas pois seus valores não são determinados pelo modelo são tomados como dados pelos agentes O interesse do analista no exemplo particular não envolve o sistema completo mas apenas a primeira equação demanda É possível ignorar a segunda equação oferta e estimar apenas a primeira equação com base nos dados disponíveis A resposta é não por dois motivos Em primeiro lugar há uma questão teórica A teoria esboçada acima deixa claro que o que acabará sendo estimado não é a curva de demanda mas sim uma relação entre preço de equilíbrio e quantidade de equilíbrio Ou seja não será estimada uma equação que retrata o comportamento dos compradores de semente mas sim uma equação que descreve as transações fechadas nos diversos mercados locais e pois capta uma amálgama do comportamento dos compradores e dos vendedores Em segundo lugar há uma questão econométrica O estimador de MQO para qualquer uma das duas equações consideradas isoladamente é viesado e inconsistente uma vez que o preço está em ambas as equações correlacionado com o termo de perturbação Para isso ver isso para a primeira equação basta perceber que i u i determina q i e ii resolvendo o sistema o que significa escrever as variáveis endógenas em função das exógenas e das perturbações temse que as perturbações determinam os valores de equilíbrio de p i e q i A endogeneidade no sentido econométrico do preço tem como fundamento o fato de que tanto a quantidade como o preço têm seus valores determinad os simultaneamente Há entre elas uma causação bilateral Uma das principais utilidades do modelo de equações simultâneas está em deixar isso claro ressaltando que a simultaneidade é neste caso o fundamento da endogeneidade Existe alguma maneira de recuperar a curva de demanda dos dados disponíveis a partir de uma estimação consistente A resposta é afirmativa se for considerada uma estratégia de variáveis instrumentais para contornar a endogeneidade da variável explicativa preço Recordando o método de variáveis instrumentais MVI este propõe que seja obtida uma variável que atenda a três critérios i seja correlacionada com a vari ável endógena o preço ii não seja correlacionada com o termo de perturbação da equação de interesse a primeira de demanda e iii esteja excluída da equação de interesse ou seja não explique diretamente a variável dependente da equação de interesse O modelo de equações simultâneas é útil também para facilitar a identificação de uma variável que atenda a estas três condições No caso particular z 2 i a variável exógena no sentido da álgebra linear d a segunda equação é uma candidata a VI tratase do índice de custo de produção de sementes Ela claramente atende a iii e a solução do sistema indica que ela também atende a i Uma vez que se trata de uma medida que segundo a teoria pertence ao lado da oferta no mercado em questão não há um canal claro pelo qual ela possa estar correlacionada com variáveis não observadas e que explicam diretamente a quantidade demandada A priori pode ser difícil de entender da perspectiva d a teoria econômica porque um componente da curva de oferta pode ser empregado para recuperar a curva de demanda dos dados Há uma explicação intuitiva ainda que não rigorosa na verdade essencialmente metafórica a qual é apresentada no box a seguir Box 1 Intuição teórica para a variável instrumental em um sistema de oferta e demanda Quando pensamos no modelo te ó rico de oferta e demanda para um mercado o que nos vem a mente é a figura abaixo em que há apenas um par quantidade preço poss í vel no caso o de equil í brio figura abaixo Por é m o que observamos nos dados que retratam diversas transa çõ es segundo a teoria são diversos pares pre ç o e quantidade ou seja diversos pontos de equil í brio correspondentes no exemplo espec í fico a diversos mercados locais gráfico a seguir Estes diversos pares quantidade preço não necessariamente se apresentam de maneira a que haja uma correla çã o negativa entre eles O analista interessado em estimar uma curva de demanda não consegue enxergar tal curva ao olhar para um gr á fico de dispers ã o como o exibido Mas m ú ltiplos equil í brios de mercado não são inconsistentes com a teoria de fato valores distintos das vari á veis não retratadas nos gr á ficos mas que afetam oferta e demanda correspondem a equilíbrios distintos Retomando o exemplo utilizado no texto as variáveis não retratadas nos gráficos são as denominadas por exógenas ie o í ndice de custo de produ çã o de sementes de canadeaçúcar z 2 e a capacidade instalada de produ çã o de canadea çúcar z 1 Um dado valor de z 2 representado por z 2 0 corresponde a um equilíbrio E 1 distinto do equilíbrio compatível com z 2 1 z 2 0 E 2 O mesmo vale para valores distintos da variável exógena da curva de demanda z 1 Uma maneira portanto de estimar a curva de demanda que está por tr á s dos dados que captam diversos equil í brio s correspondentes a diversos mercados locais no caso do exemplo é utilizando a informa çã o contida nas vari á veis ex ó genas que afetam a oferta no caso z 2 o í ndice de custo de produ çã o de sementes Esta vari á vel teoricamente desempenha o papel de deslocador a shifter da curva de oferta desenhada no plano q x p De modo que assumindo que a curva de demanda se mantém inalterada em experimentos mentais em que o valor de z 2 é alterado os equilíbrios obtidos podem ser utilizados como referências para traçar a curva de demanda 3 Identificação 3 1 O problema de identificação Nem sempre é possível obter um estimador para os parâmetros populacionais de uma equação estrutural Cabe detalhar Um estimador consiste na contrapartida amostral de uma função de momentos populacionais que contém apenas variáveis observáveis X e Y Esta função é escolhida com base em um critério tal como a minimização do erro de aproximação linear MQO e seu valor populacional reiterando é equivalente ao valor do vetor de parâmetros populacionais A questão quanto à factibilidade da obtenção de uma função com tais características é denominada por problema de identificação dos parâmetros populacionais Ou seja sempre que for possível expressar um parâmetro populacional exclusivamente em função de variáveis observáveis o parâmetro é dito identificado caso contrário é dito não identificado É esclarecedor retomar dois dos estimadores vistos anteriormente O estimador de MQO se caracteriza por tomar por base a função E XX 1 EXY esta equivalente a β o vetor de parâmetros populacionais o qual é pois identificado uma vez que X e Y são conjuntos de variáveis observadas O EVI por sua vez toma por base a função E ZX 1 EZY β a qual também permite identificar β Infelizmente para modelos de equações simultâneas n em sempre é possível obter uma função de variáveis observadas ie variáveis endógenas e exógenas cujo valor seja equivalente ao do vetor de parâmetros estruturais Ou alternativamente nem sempre é possível estimar todos os parâmetros Há portanto um problema de identificação o qual apenas tem solução em condições particulares O fundamento do problema está em que os sistemas de equações simultâneas representam relações comportamentais que explicam como os agentes tomam decisões mas porém este processo de tomada de decisão é raramente observado O que se observa são as decisões em si ou resultados delas o que se entende por condições de equilíbrio Estas contêm apenas parte da informação referente às relações comportamentais Cabe apresentar uma maneira intuitiva de compreender o problema de identificação inerente aos modelos de equações simultâneas No exemplo da seção anterior o sistema é q i α 1 p i β 1 z 1i u i q i α 2 p i β 2 z 2i e i Recorrendo à álgebra é possível obter a solução deste sistema ie expressar cada uma das variáveis endógenas p e q em função das variáveis exógenas e das perturbações O primeiro passo está em perceber que se a variável dependente das duas equações é equivalente o lado direito de ambas também deve coincidir Com base nisso se obtém p α 1 p i β 1 z 1i u i α 2 p i β 2 z 2i e i p i α 1 α 2 1 β 2 z 2i β 1 z 1i e i u i Ou sinteticamente p i A 0 z 2i A 1 z 1i v i a A 0 β 2 α 1 α 2 1 A 1 β 1 α 1 α 2 1 v i α 1 α 2 1 e i u i Utilizando a primeira equação se obtém q q i α 1 α 1 α 2 1 β 2 z 2i β 1 z 1i e i u i β 1 z 1i u i Coletando termos comuns q i α 1 α 1 α 2 1 β 2 z 2i α 1 α 1 α 2 1 β 1 z 1i α 1 α 1 α 2 1 e i u i β 1 z 1i u i q i α 1 α 1 α 2 1 β 2 z 2i β 1 1 α 1 α 1 α 2 1 z 1i α 1 α 1 α 2 1 e i 1 α 1 α 1 α 2 1 u i Ou de maneira mais resumida q i B 0 z 2i B 1 z 1i ε i b Em que B 0 α 1 α 1 α 2 1 β 2 B 1 β 1 1 α 1 α 1 α 2 1 ε i α 1 α 1 α 2 1 e i 1 α 1 α 1 α 2 1 u i Acabase pois com duas equaçõessolução p i A 0 z 2i A 1 z 1i v i a q i B 0 z 2i B 1 z 1i ε i b As equações a e b são denominadas formas reduzidas Elas podem ser estimadas separadamente por MQO e o estimador será não viesado e consistente em ambos os casos uma vez que todas as variáveis explicativas são nãocorrelacionadas com o termo de erro são exógenas Mas porém nenhuma das duas tem qualquer interpretação com base na teoria econômica elas apenas descrevem como o equilíbrio de mercado é afetado pelas variáveis exógenas Seria possível utilizar as estimativas de MQO para os parâmetros das equações a e b para construir estimativas para os parâmetros das equações estruturais Este é o problema de identificação dos parâmetros estruturais A resposta é dada pela contagem i das equações que relacionam os parâmetros da forma reduzida com os parâmetros da forma estrutural e ii dos parâmetros da forma estrutural Enquanto i i é o número de incógnitas i se refere ao número de equações No sistema em questão há quatro parâmetros na forma estrutural e quatro na forma reduzida de modo que a recuperação é plenamente possível As equações estruturais são portanto identificadas Porém caso uma das exógenas fosse não observada z 1i por exemplo não constando pois na equação estrutural o sistema não seria identificado Ou seja neste caso o sistema seria q i α 1 p i u i q i α 2 p i β 2 z 2i e i E a forma reduzida seria genericamente p i C 0 z 2i v i a q i D 0 z 2i ε i b Não é preciso conhecer as relações precisas entre os parâmetros da forma reduzida C 0 e D 0 para perceber que há um menor número de equações duas conectandoos com os parâmetros da forma estrutural do que há parâmetros na forma estrutural três De fato com apenas dois parâmetros na forma reduzida não é possível recuperar os três parâmetros da forma estrutural Os exercícios realizados apenas têm por objetivo deixar mais claro como o problema de identificação se coloca para equações simultâneas Em aplicações práticas o número de variáveis explicativas e mais raramente o número de equações do sistema tende a ser grande o bastante para que uma verificação algébrica da identificação se mostre impraticável É preciso recorrer a critérios mais gerais os quais são discutidos na próxima subseção 3 2 Condições para a identificação ordem e posto Para esclarecer as condições discutidas adotase um seguinte sistema de três equações simultâneas cuja forma geral é y 1i α 10 α 12 y 2 i α 13 y 3 i z 1i δ 1 u 1i y 2 i α 20 α 21 y 1 i α 23 y 3 i z 2 i δ 2 u 2 i y 3 i α 30 α 31 y 1 i α 32 y 2 i z 3 i δ 2 u 3 i O vetor de variáveis exógenas de cada equação z gi em que g representa g ésima equação será definido a seguir em cada exemplo específico A primeira condição para a identificação a condição de ordem é necessária mas não suficiente para garantir que uma dada equação g seja identificada Isso é a verificação da condição de ordem não implica que a identificação é possível mas porém a não verificação da condição de ordem implica que a identificação não é possível Ela pode ser enunciada da seguinte maneira Definição Condição de ordem A identificação de uma equação g pressupõe que o número de exógenas excluídas de g seja pelo menos igual ao número de endógenas incluídas como explicativas em g No exemplo abaixo há apenas uma equação que atende à condição de ordem g 1 y 1i α 10 α 12 y 2 i α 13 y 3 i u 1i y 2 i α 20 α 21 y 1 i α 23 y 3 i δ 22 z 2 i δ 23 z 3 i u 2 i y 3 i α 30 α 31 y 1 i α 32 y 2 i δ 32 z 2 i δ 33 z 3 i u 3 i Há duas exógenas excluídas da primeira equação exatamente o número de endógenas dela Da segunda e da terceira equações não há nenhuma exógena excluída mesmo sendo que há duas endógenas em cada uma A condição de posto é necessária e suficiente para a identificação o que significa que a verificação dela garante a identificação A definição formal de tal condição parte de uma representação geral do sistema de equações simultâneas em que é utilizada uma notação matricial sintética o bastante para que seja difícil de compreender o que efetivamente ela representa É possível apresentar uma definição intuitiva e informal para a condição de posto Definição informal condição de posto A identificação de uma equação g está garantida se para cada uma das variáveis endógenas incluídas como explicativas em g est á disponível pelo menos uma variável instrumental específica Desta maneira a condição de posto é mais restritiva do que a condição de ordem uma vez que exige não apenas as existam tantas exógenas excluídas de uma dada equação quanto existem endógenas nela incluídas mas também que as primeiras possam ser utilizadas como variáveis instrumentais para as segundas E mais ainda exige que para cada variável endógena exista pelo menos uma variável instrumental específica Ou seja deve haver um número de instrumentos linearmente independentes equivalente ao número de variáveis endógenas de maneira que todas as variáveis endógenas possam ser exogeneizadas a partir de um instrumento específico Retomando o exemplo anterior temos que apesar de a primeira equação atender a condição de ordem ela não atende a condição de posto Mesmo existindo dois instrumentos para cada uma das endógenas que a compõem z 2 e z 3 estas variáveis são as duas instrumentos para y 2 e também para y 3 Basta olhar para as duas últimas equações abaixo z 2 e z 3 são ambas correlacionadas com y 2 e com y 3 não são correlacionadas com u 1i e estão excluídas da primeira equação Não há instrumento distinto para nenhuma endógena A equação 1 portanto não é identificada y 1i α 10 α 12 y 2 i α 13 y 3 i u 1i y 2 i α 20 α 21 y 1 i α 23 y 3 i δ 22 z 2 i δ 23 z 3 i u 2 i y 3 i α 30 α 31 y 1 i α 32 y 2 i δ 32 z 2 i δ 33 z 3 i u 3 i Cabe esclarecer que o termo variável instrumental está sendo empregado para referirse não apenas a uma única variável exógena mas também a uma combinação linear de variáveis exógenas O que remete ao estimador de mínimos quadrados de dois estágios MQ2E cujo princípio está em empregar todas as variáveis exógenas disponíveis Este princípio sempre é adotado No sistema acima as duas variáveis instrumentais para y 2 por exemplo z 2 e z 3 serão combinadas linearmente para gerar uma variável instrumental composta Esta combinação é o instrumento efetivamente empregado É por isso que se diz que não há instrumentos distintos para y 2 e y 3 uma vez que para ambos o instrumento disponível é uma combinação linear de z 2 e z 3 Vejamos agora se a condição de posto é satisfeita quando pequenas modificações são introduzidas no sistema S e cada uma das exógenas aparecesse em apenas um a das duas últimas equações como no exemplo a seguir então teríamos a verificação da condição de posto e o sistema seria identificado y 1i α 10 α 12 y 2 i α 13 y 3 i u 1i y 2 i α 20 α 21 y 1 i α 23 y 3 i δ 22 z 2 i u 2 i y 3 i α 30 α 31 y 1 i α 32 y 2 i δ 3 3 z 3 i u 3 i A razão para isso está em que o instrumento disponível para y 2 z 2 é distinto do instrumento disponível para y 3 no caso z 3 A modificação introduzida a qual permitiu a identificação da condição de posto consiste em duas restrições de exclusão a primeira excluindo a exógena z 3 da segunda equação e a segunda excluindo a exógena z 2 da terceira equação No exemplo a seguir a primeira equação também é identificada uma vez que existe uma variável instrumental adicional para y 3 z 4 i y 1i α 10 α 12 y 2 i α 13 y 3 i u 1i y 2 i α 20 α 21 y 1 i α 23 y 3 i δ 22 z 2 i δ 23 z 3 i u 2 i y 3 i α 30 α 31 y 1 i α 32 y 2 i δ 32 z 2 i δ 33 z 3 i δ 34 z 4 i u 3 i Também neste caso foram empregadas restrições de exclusão as quais excluem z 4 das duas primeiras equações 4 Estimação Apenas equações identificadas ie que satisfazem a condição de posto podem ser estimadas O método de estimação é o MQ2E empregado tal como para modelos com apenas uma equação Quando há mais de uma equação identificada as equações podem ser estimadas separadamente e o MQ2E será consistente como de praxe O método alternativo de estimar as equações reduzidas por MQO e recuperar os coeficientes das equações estruturais identificadas uma vez que apenas os coeficientes destas equações podem ser recuperados denominado por mínimos quadrados indiretos MQI é também consistente Contudo de uma perspectiva de otimização da informação disponível a estimação de equações isoladas não parece a melhor opção Isso pois assim procedendo é perdido de vista o fato de que as equações pertencem a um sistema e isso redunda efetivamente no desperdício de informação Esta informação porém é relevante apenas quando os termos de perturbação de equações distintas são correlacionados É o que ocorre por exemplo quando variáveis explicativas relevantes para mais de uma equação podem ser não observáveis sendo omitidas de mais de uma equação Neste caso a estimação equação por equação por MQ2E ou por MQI portanto apesar de consistente é não eficiente ie as variâncias dos estimadores não atingem o menor valor possível tendendo de fato a serem maiores do que no caso em que toda a informação disponível é utilizada A inferência pois tende a ser equivocada reportando como não significativos coeficientes cujo valor populacional é não nulo Há métodos eficientes que permitem estimar o sistema completo simultaneamente como é o caso por exemplo do método de mínimos quadrados de três estágios MQ3I Caso não haja correlação entre os termos de perturbação de equações distintas a estimação equação por equação com MQ2E ou MQI é equivalente à es timação do sistema como um todo e pois eficiente 5 Caso especial 1 regressões aparentemente não relacionadas seemingly unrelated regressions SUR O sistema abaixo é aparentemente livre da autocorrelação entre explicativas e os termos de erro que as acompanham em cada uma das equações Y 1 𝛼 0 X 1 𝛼 1 u 1 1 Y 2 β 0 X 2 β 1 u 2 2 Y 3 𝛾 0 X 3 𝛾 1 u 3 3 Y 4 𝛿 0 X 4 𝛿 1 u 4 4 De fato não há nenhuma conexão aparente entre as equações Porém os termos de erro podem ser correlacionados Neste caso a estimação de MQO equação por equação é consistente porém não eficiente Apenas com mínimos quadrados generalizados é possível obter estimadores eficientes para os parâmetros No caso em que os regressores são os mesmos em todas as equações a estimação por mínimos quadrados generalizados MQG é equivalente à estimação por MQO 6 Caso especial 2 modelo puramente recursivo No caso abaixo apesar de as equações estarem claramente conectadas isso se dá de maneira a excluir a possibilidade de correlação entre variáveis explicativas e termos de erro Y 1 𝛼 0 X 1 𝛼 1 u 1 1 Y 2 β 0 β 1 Y 1 X 1 β 2 u 2 2 Y 3 𝛾 0 𝛾 1 Y 2 X 1 𝛾 2 u 3 3 Y 4 𝛿 0 𝛿 1 Y 3 X 1 𝛿 2 u 4 4 Este é o único caso de um sistema de equações aparentemente relacionadas em que a estimação por MQO equação por equação resulta em estimadores consistentes e eficientes A última propriedade dependendo da hipótese de que os termos de erro pertencentes a equações distintas são não correlacionados 1 Ver Varian Microeconomia capítulo s 31 a 3 3 da sétima edição em Português Cabe esclarecer que o fato de que z 2i é correlacionada com a quantidade demandada esta a variável dependente da equação de demanda não viola os critérios de exogeneidade e de exclusão de uma VI De fato uma VI válida sempre será correlacionada com a variável dependente da equação principal Y ou q no caso Basta ter em conta que a VI válida verifica a condição de correlação com a variável endógena que explica Y Mas e este é o detalhe crucial uma VI apenas pode estar correlacionada com Y por meio do canal que a conecta com a variável endógena Qualquer outra razão para a existência de correlação entre Y e a VI resulta em violação d o critério de exogeneidade se a correlação entre Y e a VI é causada pela correlação da VI com um fator omitido da equação principal ou do critério de exclusão se a VI explica diretamente Y Ou seja da correlação da VI com Y não decorre que a VI seja inválida No exemplo estudado a alteração do valor de z 2 i causaria um deslocamento da curva de oferta e isso por meio da condição de equilíbrio de mercado e pois indiretamente alteraria o valor da quantidade de equilíbrio e portanto da quantidade demandada Mas este efeito é indireto ele não deve ser interpretado como se z 2i explicasse a variável dependente da equação de demanda inclusive porque está é a quantidade demandada e não a quantidade de equilíbrio E isso pois não há razões claras pelas quais o índice de custo enfrentado pelos produtores z 2i explique diretamente a quantidade demandada a restrição de exclusão é atendida Esta é função de características dos compradores Pelo menos motivo não há razões claras pelas quais z 2i seja correlacionada com fatores omitidos que explicam a quantidade demandada a exogeneidade é atendida Mesmo que se apresentassem seria incorreto afirmar que a relação negativa capta de fato uma curva de demanda O que ela capta é a relação entre preço de equilíbrio e quantidade de equilíbrio É assumido que o interesse do analista está em estimar a curva de demanda para o mercado doméstico como um todo ie para o agregado dos mercados locais e não em estimar as curvas de demanda de cada mercado local De fato seria impossível estimar a curva de demanda para cada mercado com base em uma estrutura de dados transversal na qual se enquadra a informação disponível esta uma hipótese do exemplo E isso pois se observa apenas a quantidade total transacionada e o preço em cada mercado em um único instante de tempo