Lista de Exercícios sobre Vigas Hiperestáticas

ENG1206 Lista 1 Resistência dos Materiais Vigas hiperestáticas 1 Lista 1 Vigas Hiperestáticas Apoios Elásticos Base Elástica Empoçamento Obs Leia com atenção pois alguns exercícios estão total ou parcialmente resolvidos e também há material teórico Utilize os arquivos com a teoria já enviados Obs Equação diferencial geral considerando efeitos de base elástica carga axial e empoçamento a ser particularizada em cada questão EIwiv kw Pw cw q efeito de temperatura 2 1 T T T w h T M EI w w 1 Utilize a equação diferencial de 4ª ordem para obter o deslocamento wx ao longo de uma viga engastada e apoiada para com isto calcular as reações de apoio e traçar os diagramas de momento fletor e força cortante indique os valores máximos nos casos de carga a b c q EI L A B x R R M A A B q EI L A B x R R M A A B EI A B x R R M A A B L2 L2 P a c b Resp a RA 5qL8 MA qL28momento fletor máximo negativo RB 3qL8 momento fletor máximo positivo 9qL2128 b RA 2qL5 MA qL215 RB qL10 mom fletor máx pos qL2336 c RA 11P16 MA 3PL16 RB 5P16 mom fletor máx pos 5PL32 Obs 1 nos casos a b e c utilize também a solução com uso de valores conhecidos previamente tomando RB como incógnita hiperestática Os resultados de interesse para o deslocamento δ na extremidade da viga são a 4 8 qL EI b 4 30 qL EI c 3 5 48 PL EI d 3 3 FL EI q EI L A B q EI L A B EI A B L2 L2 P a c b EI L A B d F Obs 2 no caso c a solução fica complicada no caso da eq diferencial pois o carregamento não é contínuo Você pode usar c1 funções para deslocamento transversal diferentes wesq e wdir nos trechos à esquerda e à direita da carga notando que as condições nas extremidades são 1 0 2 0 3 0 4 0 No ponto central temos 5 6 7 8 esq esq dir dir B B A A esq dir esq dir esq dir esq dir esq dir esq dir w w w w w w w w M M w w V P V EIw P EIw Vemos que há necessidade de resolver um sistema de 8 eqs a 8 incógnitas pois wesq e wdir são polinômios cúbicos completos 4 constantes a determinar cada um obtidos da solução de 0 iv EIw c2 funções generalizadas neste caso observe a solução abaixo c3 métodos de energia isto será visto mais tarde Solução do item c2 alternativa esta e questão 2 não serão cobradas em provas ENG1206 Lista 1 Resistência dos Materiais Vigas hiperestáticas 2 Empregamos funções generalizadas considerando no desenvolvimento uma carga concentrada a uma distância a do apoio da esquerda A equação diferencial correspondente é EIwiv P x a Executando integrações sucessivas obtemos a função wx contendo em wp as funções generalizadas e em wh o polinômio cúbico que inclui as constantes de integração As funções δxa tal que δ 0 para x a e δ para x a sendo ainda 1 x a dx e Hxa tal que H 0 para x a e H 1 para x a recebem nomes especiais respectivamente função Delta de Dirac e função Heaviside ou degrau unitário 2 2 2 2 3 2 2 3 3 2 2 2 2 2 6 2 2 6 6 2 iv p EIw q x q x P x a q x dx P x a dx P H x a x a Pdx H x a P x a H x a P x a dx H x a P ax H x a x a x ax a x a P ax dxH x a P H x a P x ax w EI 2 3 3 2 2 3 3 2 1 2 3 4 3 4 3 2 2 3 3 2 1 2 1 2 2 3 1 2 3 2 6 6 2 2 6 0 0 0 0 0 0 6 2 2 6 0 6 2 0 1 6 4 12 p h a x a H x a P x ax a x a w w w H x a C x C x C x C EI w w C C P L aL a L a w L C L C L EI P w L L a C L C EI P a a C EI L L 2 3 2 2 3 1 2 2 1 max 1 3 2 4 4 11 3 2 96 32 3 11 11 5 0 0 2 0 0 6 16 16 16 16 3 11 5 0 0 16 16 16 2 6 2 2 A A B PL a a a C EI L L L P PL a L C EI C EI PL P P P M EIw EIC V EIw C V L P PL P P M M R V R L M M L EIC EIC 2 5 32 PL 3 Utilizar a equação diferencial para obter o deslocamento wx ao longo da viga abaixo Traçar aproximadamente os diagramas de momento fletor e força cortante indicando os valores máximos e calcular as reações de apoio nas direções mostradas na figura q EI L A x R M A A RB B Solução ENG1206 Lista 1 Resistência dos Materiais Vigas hiperestáticas 3 Equação diferencial EIwiv q x Condições de contorno 1 0 0 2 0 0 3 0 4 0 w w w L w L Solução geral da eq diferencial 4 2 3 1 2 3 4 24 qx w x C C x C x C x EI Obtenção das constantes 1 2 4 2 2 3 3 4 3 4 2 3 4 1 0 2 0 3 0 4 2 6 0 24 2 5 16 48 C C qL qL C L C L C C L EI EI qL qL C EI C EI Momento fletor 2 2 5 8 8 2 qL qLx qx M x EIw x Força cortante 5 8 qL V x EIw x qx Reações 2 5 3 0 0 8 8 8 A A B qL qL qL R V M M R V L Valor positivo máximo ocorre quando a derivada de M no caso a força cortante V se anula logo max 5 8 x L e o momento máximo é 2 max 5 8 9 128 M M qL qL Os diagramas aproximados solicitados estão abaixo 4 Obtenha o diagrama de momentos fletores e forças cortantes na viga AB abaixo conectada rigidamente a vigas transversais conforme figura usando a equação diferencial da viga e respectivas condições de contorno note que a viga AB flete em seu plano e está apoiada elasticamente nas extremidades as vigas transversais equivalem a molas translacionais e rotacionais 5qL8 3qL8 qL28 5L8 9qL2128 ENG1206 Lista 1 Resistência dos Materiais Vigas hiperestáticas 4 q EI L EI GJEI4 L2 A B Constantes de rigidez de vigas em balanço 1 3 2 3 para deslocamento transversal para rotação em torção EI k D GJ k D D EI GJ Solução Condições de contorno 3 3 3 0 0 2 4 0 0 2 3 2 4 2 A A B B EI V w EIw L EI M w EIw L EI V w L EIw L L EI M w L EIw L L Solução geral da eq diferencial 4 2 3 1 2 3 4 24 qx w x C C x C x C x EI Sistema de equações já em forma matricial 3 1 4 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3 2 4 2 24 0 0 6 0 0 1 0 2 0 2 24 24 24 24 24 24 24 24 6 1 4 12 1 2 3 2 24 24 0 2 6 2 2 2 L C C L qL qL C L EI EI L L L L L L L C qL qL L L L EI EI L L L L As constantes resultam ENG1206 Lista 1 Resistência dos Materiais Vigas hiperestáticas 5 Os gráficos dos deslocamentos w momentos fletores M e forças cortantes V estão abaixo em valores adimensionais 5 Sabendo que o deslocamento no centro de uma viga biapoiada de comprimento L é 4 5 2 384 q qL w L EI sob ação de carga distribuída constante q e 3 2 48 p PL w L EI sob ação de uma carga concentrada no centro e admitindo que o apoio central da viga AB é elástico devido a uma viga transversal de mesmo comprimento L e mesmo EI calcule as reações de apoio e represente aproximadamente os diagramas de cortante e momento na viga AB obtenha valores máximos positivo e negativo Obs Não use a eq diferencial q EI L2 L2 R q L3 L3 L2 L2 EI k A B A B C Solução Liberando o deslocamento δ da base da mola de rigidez equivalente à da viga transversal vem 3 4 3 48 2 3 5 384 48 EI L qL RL R EI EI Igualando esse deslocamento a zero obtemos 27 56 qL R Diagrama de força cortante A reação em cada apoio é 27 56 2 29 112 A B R R qL qL qL As forças cortantes logo à esquerda e à direita da mola são 29 112 2 27 112 27 112 27 112 esq dir V qL qL qL V qL R qL L4 q 48 EI L3 q 30 EI L2 q 120 EI L q 12 EI 02 04 06 08 0 001 002 003 004 w EI q L4 x L 0 02 04 06 08 005 0 005 01 015 M q L 2 x L 0 02 04 06 08 06 04 02 0 02 04 06 V q L x xL ENG1206 Lista 1 Resistência dos Materiais Vigas hiperestáticas 6 Diagrama de momento fletor O momento no centro da viga AB é 2 2 29 2 2 112 2 2 224 qL L q L qL M L Isto basta para um desenho aproximado O valor máximo positivo é o mesmo nos dois vãos pela simetria Ocorre no ponto a em que a força cortante se anula Temos 29 112 29 2 56 112 112 L a L a E o momento correspondente é 2 2 2 2 2 2 29 29 29 29 1 29 112 000335 112 2 112 112 2 2 112 L q qL q a qL L qL M a a qL 6 Uma viga engastada e apoiada está sujeita a um gradiente de temperatura tal que a temperatura é T2 na face inferior e T1 na face superior Obtenha as expressões da linha elástica e dos esforços ao longo da viga L EI T1 T2 7 Utilize a equação diferencial para obter o deslocamento wx ao longo da viga abaixo nos casos de carga a carga transversal q e b diferença de temperatura nas faces Trace aproximadamente os diagramas de momento fletor e força cortante em cada caso indicando os valores máximos positivo e negativo e calcule as reações de apoio nas direções mostradas na figura V 29qL112 29qL112 27qL112 27qL112 M qL2224 ENG1206 Lista 1 Resistência dos Materiais Vigas hiperestáticas 7 q EI L A x R M A B RB B EI L A x R M A B RB B T1 T2 h a b T1 T2 Obs embora aceitável inverter o eixo x para obter a solução devese tomar cuidado com os sinais Abaixo solução mantendo o eixo como proposto a Solução Equação diferencial EIwiv q x Condições de contorno 1 0 0 2 0 0 3 0 4 0 w w w L w L Solução geral da eq diferencial 4 2 3 1 2 3 4 24 qx w x C C x C x C x EI Obtenção das constantes 1 3 4 3 3 2 2 4 2 4 3 2 4 1 0 2 0 3 0 4 3 0 24 6 48 16 C C qL qL C L C L C C L EI EI qL qL C EI C EI Deslocamento transversal 4 3 3 24 48 16 qx qL qL w x x x EI EI EI Momento fletor 2 3 8 2 qLx qx M x EIw x Força cortante 3 8 qL V x EIw x qx Reações 2 3 5 0 8 8 8 A B B qL qL qL R V M M L R V L Valor positivo máximo ocorre quando a derivada de M no caso a força cortante V se anula logo max 3 8 x L e o momento máximo é 2 max 3 8 9 128 M M qL qL Os diagramas aproximados solicitados estão abaixo ENG1206 Lista 1 Resistência dos Materiais Vigas hiperestáticas 8 b Solução Equação diferencial 0 iv EIw Condições de contorno preste atenção na condição 2 2 1 1 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 4 0 T T T w M EI w w w h w L w L Solução geral da eq diferencial 2 3 1 2 3 4 w x C C x C x C x Obtenção das constantes 2 1 1 3 2 3 2 2 3 4 2 3 4 2 1 2 1 2 4 1 0 2 2 3 0 4 2 3 0 4 4 T T C C h C L C L C L C C L C L T T T T C L C h hL Deslocamento transversal 2 3 2 1 2 1 2 1 4 2 4 T T L T T T T w x x x x h h hL Momento fletor 2 1 2 1 3 2 T T EI T T x M x EI w x h h L Força cortante 2 1 3 2 EI T T V x EIw x h L Reações 2 1 2 1 2 1 3 3 3 0 2 2 2 A B B EI T T EI T T EI T T R V M M L R V L h L h h L A reação em A é negativa para baixo para T2 T1 Valor negativo máximo do momento ocorre no apoio da direita para T2 T1 Diagramas abaixo V constante RA Mx RA x RAL 3qL8 5qL8 qL28 3L8 9qL2128 ENG1206 Lista 1 Resistência dos Materiais Vigas hiperestáticas 9 8 Obtenha o valor de EI necessário para que uma viga biapoiada sujeita a uma força concentrada proporcional ao deslocamento oriunda de algum efeito de empoçamento permaneça estável Resposta 3 48 EI pL Note a dimensão da constante p neste caso L EI carga proporcional ao deslocamento pwL2 P L2 Deslocamento no centro de uma viga biapoiada sujeita a uma carga concentrada no centro 3 48 PL EI Temos que P é pwL2 Logo 3 3 3 1 0 48 48 48 p L pL pL EI EI EI 9 Obtenha o valor de EI necessário para que a viga biapoiada abaixo sujeita a uma carga proporcional ao deslocamento permaneça estável L EI carga proporcional ao deslocamento qx cwx qx Solução A equação diferencial se reduz a 0 EIwiv cw A viga é biapoiada logo uma função seno que se anula nas extremidades é a solução neste caso dispensamos a obtenção da solução completa n x w x Asen L Substituindo essa expressão na equação diferencial vem 4 4 4 4 4 4 4 4 4 0 0 Valor crítico maior 1 necessário n n x n x n L EI Asen cAsen EI c EI c L L L L n n ENG1206 Lista 1 Resistência dos Materiais Vigas hiperestáticas 10 Verificação caso usássemos o procedimento padrão de solução obteríamos com a substituição x w Ae a equação característica que resolvida fornece a solução completa 4 4 1234 4 1 2 3 4 0 0 cos x x x x EI Ae cAe EI c i i c onde EI w C e C e C sen x C x 1 2 x w Ae A 1 2 3 4 1 2 3 4 4 3 4 3 3 4 1 2 4 3 3 3 Fórmula de Euler e cos sin 1 cos sin 1 cos sin cos sin x x i x i x a bi a x x x x w Ae A e A e A e e b i b w Ae A e A x i x A x i x C A A C A A w Ae A e C x C i x C C i As condições de contorno são 0 0 0 w w w L w L Resolvendo verificamos que 4 4 4 1 2 4 3 4 4 4 4 0 0 necessário c L L C C C e C sen L L n L n EI c EI c EI n n O valor mais crítico de EI vale para n 1 notar que é o maior Naturalmente na prática seria adotado necessário EI EI onde γ é um fator de segurança 1 comumente variando de 15 a 2 10 Detalhe os passos necessários para obter o valor de EI em que a viga abaixo sujeita a uma carga proporcional ao deslocamento se torna instável Desenvolver solução transformar com uso da fórmula de Euler obter matriz etc Não precisa fazer as contas L EI carga proporcional ao deslocamento qx cwx qx Solução Temos de resolver a equação característica 4 4 12 34 0 onde c EI c i EI Isto provê a solução abaixo onde usamos a fórmula de Euler para passar de uma solução exponencial complexa para uma solução contendo termos exponenciais e trigonométricos 1 2 3 4 sen cos x x wh C e C e C x C x As condições de contorno são 0 0 0 w w w L w L Logo obtemos o seguinte sistema de equações singular cuja solução não nula só é possível se o determinante da matriz formada pelos coeficientes é nulo ENG1206 Lista 1 Resistência dos Materiais Vigas hiperestáticas 11 1 2 3 4 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 onde sen cos 0 cos sen 0 k k k k C C k L C e e k k C e e k k Obs a segunda linha foi dividida por α Desenvolvendo o determinante vem 4 2 cos 2 cos 4 1 cosh cos k k Det e k e k k k Os valores de k que fazem Det 0 são possíveis soluções Devemos utilizar o valor de k que dá o maior valor de EI necessário para segurança contra empoçamento ou seja o menor valor de k Isto resulta em k 473 valor não necessário na prova Logo 4 4734 EI cL Comparando com o caso de uma viga biapoiada em que 4 4 cL EI vem EImínimo biengastada 0195 EImínimo biapoiada 11 Uma viga biapoiada tem comprimento L material com módulo de elasticidade E e seção com momento de inércia I Ela está confinada por uma base elástica de constante k e sujeita a um carregamento variável de forma senoidal 0 q x q sen x L Obtenha o deslocamento e os esforços ao longo da viga bem como as reações de apoio e compare os valores máximos com aqueles obtidos para a viga sem o confinamento provido pela base elástica quando 4 4 EI k L EI L k qx 0 4 0 0 4 4 4 sin sin sin sin iv x x EIw kw q x q w A L L q x x EI k A q A L L L EI k L 12 Um painel recebe cargas atuantes em vigas transversais que interagem com uma viga longitudinal AB Sabendo que o deslocamento no centro de uma viga biapoiada de comprimento D é 4 5 2 384 q qD w D EI sob ação de carga distribuída constante q e 3 2 48 p PD w D EI sob ação de uma carga concentrada no centro obtenha os termos q1 e k na equação diferencial que rege o comportamento da viga AB como viga em base elástica 1 EIwiv q kw Observe que isto requer o cálculo da força de interação R entre as vigas transversais e a viga AB admitindo que essa força atua de forma distribuída na viga AB com aL ENG1206 Lista 1 Resistência dos Materiais Vigas hiperestáticas 12 aL20 L3 q A B L Ra EI2 EI x R O deslocamento no meio das vigas transversais é 4 3 5 3 3 384 2 48 2 q L R L EI EI Logo a força de interação entre as vigas transversais e a longitudinal é 3 3 5 3 48 2 5 648 8 3 24 q L EI qL EI R L L Portanto a força distribuída sobre a viga AB é 3 4 5 648 25 12960 24 20 20 6 AB qL EI q EI q R a L L L L Chamando de w o deslocamento ao longo da viga AB e observando que ele coincide com o que chamamos inicialmente de δ vemos que a equação diferencial da viga fica sendo 1 4 4 25 12960 25 12960 6 6 iv q EI q EI EIw w q k L L 13 Utilize a equação diferencial para obter o deslocamento wx ao longo da viga abaixo nos casos de carga a carga transversal q e b diferença de temperatura nas faces Trace aproximadamente os diagramas de momento fletor e força cortante em cada caso indicando os valores máximos positivo e negativo e calcule as reações de apoio nas direções mostradas na figura Note que a viga está restringida a rotação em A e B e restringida a rotação e translação em B ENG1206 Lista 1 Resistência dos Materiais Vigas hiperestáticas 13 q EI L A x MB RB B EI L A x MB RB B T1 T2 h a b T1 T2 MA MA a Solução Equação diferencial EIwiv q x Condições de contorno 1 0 0 rotaçãonula 2 0 0 cortante nulo 3 0desl nulo 4 0rotaçãonula w w w L w L Solução geral da eq diferencial 4 2 3 1 2 3 4 24 qx w x C C x C x C x EI Obtenção das constantes 2 4 4 3 2 1 3 3 4 2 1 3 1 0 2 0 3 0 4 2 0 24 6 24 12 C C qL qL C C L C L EI EI qL qL C EI C EI Deslocamento transversal 4 4 2 2 24 24 12 qx qL qL w x x EI EI EI Momento fletor 2 2 6 2 qL qx M x EIw x Força cortante V x EIw x qx Reações 2 2 0 6 3 A B B qL qL M M M M L R V L qL Valor positivo máximo ocorre quando a derivada de M no caso a força cortante V se anula logo max 0 x e o momento máximo é 2 max 0 6 M M qL Os diagramas aproximados solicitados estão abaixo ENG1206 Lista 1 Resistência dos Materiais Vigas hiperestáticas 14 b Solução Equação diferencial 0 iv EIw Condições de contorno preste atenção na condição 2 1 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 4 0 T w V EI w w w w L w L Solução geral da eq diferencial 2 3 1 2 3 4 w x C C x C x C x Obtenção das constantes 1 4 2 3 2 1 2 3 4 2 3 4 1 2 3 4 1 0 2 0 3 0 4 2 3 0 0 C C C C L C L C L C C L C L C C C C Deslocamento transversal w x 0 Momento fletor 2 1 2 1 T T EI T T M x EI w x h h Força cortante 0 V x EIw x Reações 2 1 2 1 0 0 A B B EI T T EI T T M M M M L R V L h h Notar que os momentos reativos são positivos ie coincidem com as orientações dadas no problema em A anti horário e em B horário para T2 T1 V 0 M constante negativo para T2T1 0 qL qL23 qL26 Momento Cortante ENG1206 Lista 1 Resistência dos Materiais Vigas hiperestáticas 15 14 A viga AB é biapoiada nas extremidades e também se apoia em vigas transversais que têm rigidez desprezível à torção Ela está sob uma carga distribuída sin o x q x q L Sabese que o deslocamento no centro de uma viga biapoiada de comprimento D é 3 2 48 p PD w D EI sob ação de uma carga concentrada no centro Pedese a obtenha k na equação diferencial EIwiv q kw que rege o comportamento da viga AB como viga em base elástica admitindo que as reações das vigas transversais atuam de forma distribuída na viga AB com aL b Obtenha o deslocamento e esforços na viga AB resolvendo a equação diferencial aL20 L3 q A B L EI2 EI x R qx Solução Item a cada viga transversal tem rigidez 3 3 48 2 648 3 EI EI K L L A rigidez distribuída equivalente é 3 4 648 12960 20 EI L EI k K a L L Item b como a equação diferencial é 0 iv x EIw kw q x q sen L vemos que a função senoidal x w Csen L atende à equação e às condições de contorno w e w nulos nos apoios Ao substituirmos na equação obtemos 4 0 0 0 4 4 4 4 4 4 12960 12960 q q q L C EI EI EI k EI L L L O momento fletor ao longo da viga sendo dado por M x EIw resulta 2 2 0 4 12960 q L x M x sen L A força cortante é dM V x dx o que fornece 3 0 4 12960 cos q L x V x L ENG1206 Lista 1 Resistência dos Materiais Vigas hiperestáticas 16 15 Obter o valor de hL em que a viga abaixo de seção retangular bxh sujeita a uma carga P proporcional ao deslocamento se torna instável por efeito de empoçamento L EI carga proporcional ao deslocamento P pwL Solução O deslocamento na extremidade para uma carga P é 3 3 PL w L EI Como P pw L temos a equação 3 3 3 3 3 3 3 4 4 1 0 3 3 12 pw L L pw L L pw L L pL w L w L EI Ebh Ebh E bh Portanto a condição crítica será 3 3 4 1 0 pL Ebh do que obtemos 3 4 crítico h p L Eb 16 Utilize a equação diferencial para obter o deslocamento wx ao longo da viga abaixo e com isto calcular as reações de apoio como indicadas na figura Observe que em x L há uma mola translacional e a rotação está impedida A viga está sujeita a um carregamento distribuído constante q e a temperaturas T1 na face superior e T2 na face inferior q EI L A x R M A A k EIL3 B RB MB Solução Como o problema é linear podemos resolver para cada condição de carga separadamente e somar os resultados Atuando apenas a carga transversal temos a equação diferencial EIwiv q x Condições de contorno 1 0 0 2 0 0 3 0rotaçãonula 4 força cortante w w w L kw L EIw L Solução geral da eq diferencial 4 2 3 1 2 3 4 24 qx w x C C x C x C x EI Obtenção das constantes ENG1206 Lista 1 Resistência dos Materiais Vigas hiperestáticas 17 1 2 3 4 2 2 3 2 3 4 1 2 3 4 4 3 2 3 4 1 0 2 0 3 2 3 0 4 6 6 24 49 25 312 156 C C qL EI qL C C L C L C C L C L C L qL EIC EI EI L qL qL C EI C EI Deslocamento transversal 4 2 2 3 49 25 24 312 156 qx qL x qL w x x EI EI EI Momento fletor 2 2 49 25 2 156 26 qx qL qLx M x EIw x Força cortante 25 26 V x EIw x qx qL Reações 2 2 49 23 25 0 156 156 26 26 A B A B qL qL qL qL M q M M q M L R q V L R V L Atuando apenas a diferença de temperatura temos a equação diferencial 0 iv EIw Condições de contorno mesmas do caso anterior 1 0 0 2 0 0 3 0rotaçãonula 4 força cortante w w w L kw L EIw L Solução geral da eq diferencial 2 3 1 2 3 4 w x C C x C x C x Obtenção das constantes resultam todas nulas pois q 0 Deslocamento transversal w x 0 Momento fletor 2 1 2 1 T T EI T T M x EI w x h h Força cortante 0 V x EIw x Reações 2 1 2 1 0 0 A B A B EI T T EI T T M T M M T M L R T R T h h Como observado no início as reações totais são a soma dos valores qT 17 Obtenha o valor de EI necessário para que a viga biapoiada abaixo sujeita a uma carga proporcional ao deslocamento permaneça estável L EI carga proporcional ao deslocamento qx cwx qx Solução A equação diferencial se reduz a 0 EIwiv cw ENG1206 Lista 1 Resistência dos Materiais Vigas hiperestáticas 18 A viga é biapoiada logo uma função seno que se anula nas extremidades é a solução neste caso dispensamos a obtenção da solução completa x w x Asen L Substituindo essa expressão na equação diferencial vem 4 4 4 4 4 4 0 0 necessário x x L EI Asen cAsen EI c EI c L L L L Verificação caso usássemos o procedimento padrão de solução obteríamos com a substituição x w Ae a equação característica que resolvida fornece a solução completa 4 4 1234 4 1 2 3 4 0 0 cos x x x x EI Ae cAe EI c i i c onde EI w C e C e C sen x C x As condições de contorno são 0 0 0 w w w L w L Resolvendo verificamos que 4 4 4 1 2 4 3 4 4 4 4 0 0 necessário c L L C C C e C sen L L n L n EI c EI c EI n n O valor mais crítico de EI vale para n 1 notar que é o maior Naturalmente na prática seria adotado necessário EI EI onde γ é um fator de segurança 1 comumente variando de 15 a 2 18 Uma viga apoiada na extremidade esquerda tem comprimento L material com módulo de elasticidade E e seção com momento de inércia I Ela está confinada por uma base elástica de constante k EIL4 e sujeita a um carregamento distribuído constante q e uma força axial P Explique em detalhe mas sem fazer as contas como equacionar e obter a solução para a o deslocamento w e esforços M e V ao longo da viga e b o comprimento de flambagem da viga q L EI P k x P Solução em forma descritiva variações são aceitáveis a Neste caso a eq diferencial é EIwiv kw Pw q Uma solução particular claramente é p q w k Admitindo uma solução da eq homogênea na forma x w Ae obtemos a equação característica 4 2 0 EI k P Isto fornece 2 1234 4 2 P P EIk EI A solução correspondente é 3 1 2 4 1 2 3 4 x x x x wh Ae A e A e A e Com o auxílio da fórmula de Euler cos a bi a e e b isenb a solução pode ser reescrita em forma real combinando funções exponenciais e trigonométricas As quatro constantes envolvidas serão obtidas através das ENG1206 Lista 1 Resistência dos Materiais Vigas hiperestáticas 19 condições de contorno aplicadas à função p h w w w Os esforços serão dados pelas expressões M EIw V EIw Pw As condições de contorno serão as seguintes observar com cuidado os sinais de acordo com a convenção usual para momentos fletores e forças cortantes 1 0 0 0 2 0 0 3 0 4 0 M EIw w M L EIw L V L EIw L Pw L O sistema pode ser reescrito em forma matricial 0 M C onde M é uma matriz 4x4 e C um vetor 4x1 contendo as constantes Concluise que todas as constantes serão nulas enquanto a carga axial permanecer inferior à crítica É interessante observar que a solução particular isoladamente não gera esforços b A condição crítica é encontrada quando det M 0 Esta é uma equação não linear transcendental que permite encontrar o valor de cr P As constantes definem o modo de flambagem de magnitude indeterminada Sabendo que a carga crítica de uma viga biapoiada equivalente seria 2 2 cr fl EI P L onde Lfl é o comprimento de flambagem vemos que fl cr EI L P Expressões úteis EIwiv kw Pw cw q efeito de temperatura 2 1 T T T w h T M EI w w tensão em flexão max max M z I 19 Detalhe os passos necessários para obter o valor de EI em que a viga abaixo sujeita a uma carga proporcional ao deslocamento se torna instável Desenvolver solução transformar com uso da fórmula de Euler obter matriz etc Não precisa fazer as contas L EI carga proporcional ao deslocamento qx cwx qx 1 20 Uma viga biapoiada tem comprimento L material com módulo de elasticidade E e seção com momento de inércia I Ela está confinada por uma base elástica de constante 4 4 EI k L e sujeita a um carregamento de empoçamento na forma q x c w x Obtenha o valor mínimo de EI para evitar a situação crítica de empoçamento EI L k qx ENG1206 Lista 1 Resistência dos Materiais Vigas hiperestáticas 20 Abaixo estão questões da P1 de 20192 apenas as ligadas aos tópicos desta lista Nome completoGabarito Graus das questões 1 2 3 45 Grau Total Expressões úteis EIwiv kw Pw cw q efeito de temperatura 2 1 T T T w h T M EI w w tensão em flexão max max M z I 2 2 cr fl EI P L 3 12 I bh 1 20 Utilize a equação diferencial para obter o deslocamento wx ao longo da viga abaixo nos casos de carga a carga transversal q e b diferença de temperatura nas faces Trace aproximadamente os diagramas de momento fletor e força cortante em cada caso indicando os valores máximos positivo e negativo e calcule as reações de apoio nas direções mostradas na figura Note que a viga está restringida a rotação em A e B e restringida a rotação e translação em B q EI L A x MB RB B EI L A x MB RB B T1 T2 h a b T1 T2 MA MA a Solução Equação diferencial EIwiv q x Condições de contorno 1 0 0 rotaçãonula 2 0 0 cortante nulo 3 0desl nulo 4 0rotaçãonula w w w L w L Solução geral da eq diferencial 4 2 3 1 2 3 4 24 qx w x C C x C x C x EI Obtenção das constantes 2 4 4 3 2 1 3 3 4 2 1 3 1 0 2 0 3 0 4 2 0 24 6 24 12 C C qL qL C C L C L EI EI qL qL C EI C EI Deslocamento transversal 4 4 2 2 24 24 12 qx qL qL w x x EI EI EI Momento fletor 2 2 6 2 qL qx M x EIw x Força cortante V x EIw x qx Reações 2 2 0 6 3 A B B qL qL M M M M L R V L qL Valor positivo máximo ocorre quando a derivada de M no caso a força cortante V se anula logo max 0 x e o momento máximo é 2 max 0 6 M M qL Os diagramas aproximados solicitados estão abaixo ENG1206 Lista 1 Resistência dos Materiais Vigas hiperestáticas 21 b Solução Equação diferencial 0 iv EIw Condições de contorno preste atenção na condição 2 1 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 4 0 T w V EI w w w w L w L Solução geral da eq diferencial 2 3 1 2 3 4 w x C C x C x C x Obtenção das constantes 1 4 2 3 2 1 2 3 4 2 3 4 1 2 3 4 1 0 2 0 3 0 4 2 3 0 0 C C C C L C L C L C C L C L C C C C Deslocamento transversal w x 0 Momento fletor 2 1 2 1 T T EI T T M x EI w x h h Força cortante 0 V x EIw x Reações 2 1 2 1 0 0 A B B EI T T EI T T M M M M L R V L h h Notar que os momentos reativos são positivos ie coincidem com as orientações dadas no problema em A anti horário e em B horário para T2 T1 V 0 M constante negativo para T2T1 0 qL qL23 qL26 Momento Cortante ENG1206 Lista 1 Resistência dos Materiais Vigas hiperestáticas 22 2 20 Detalhe os passos necessários para obter a razão entre altura h e vão L em que a viga abaixo de seção retangular bxh sujeita a uma carga proporcional ao deslocamento se torna instável Desenvolver solução justificar o uso da fórmula de Euler obter matriz etc Não precisa fazer as contas L EI carga proporcional ao deslocamento qx cwx qx ea bi ea cosb i senb 4 c L4 EI Solução Geral Temos uma equação diferencial linear homogênea a coeficientes constantes EIwiv cw 0 no caso de EI e k constante Para a solução geral da homogênea consideramos que ela tem a forma e λx o que leva à eq característica na forma EIλ4 c 0 cujas quatro raízes são apresentadas abaixo A solução geral será a combinação de 4 funções na forma abaixo Os expoentes β são complexos mas a solução pode ser recombinada usando a identidade de Euler para ficarmos com funções exponenciais e trigonométricas reais apresentadas no vetor de 4 funções fx Identidade de Euler onde introduzimos a quantidade adimensional Como as condições de apoio correspondem a w0w0wLwL0 devemos escrever 4 equações de forma a determinar as constantes ci nesse caso 4 c EI 1 1 i i wh g x 1 c1 g x 2 c2 g x 3 c3 g x 4 c4 g x g x 1 g x 2 g x 3 g x 4 e x e x sin x cos x ENG1206 Lista 1 Resistência dos Materiais Vigas hiperestáticas 23 Esse sistema de equações pode ser escrito como Tc 0 onde T é uma matriz 4x4 e c um vetor 4x1 as constantes a determinar Para que haja uma solução não nula a matriz T deve ser singular ou seja seu determinante deve ser nulo Variando o valor de β obtemos o valor crítico que anula o determinante Isto pode ser visualizado no gráfico abaixo Encontrado o valor de β crítico podemos então obter o EI correspondente ele deverá portanto ser maior que este valor para impedir o empoçamento 4 min 4 crit cL EI Com isto vemos que 4 3 3 4 4 12 12 crit crit cL h cL bh L E bE 37 378 386 394 402 41 2 04 12 28 44 6 T 1018