Coleta e Análise de Dados em Estatística

ESTATÍSTICA Juliane Silveira Freire da Silva Então para que possamos coletar dados numéricos de uma amostra pre cisamos antes de tudo coletar essa amostra de forma correta de acordo com os objetivos da pesquisa Se uma pesquisa busca retratar apenas o momento e aquelas pessoas que fizeram parte da amostra será indiferente se coletarmos a amostra de forma probabilística ou não probabilística Porém se quisermos extrapolar os dados coletados na amostra para os dados da população precisamos obrigatoriamente coletar a amostra de forma probabilística Somente desta maneira podese assegurar o erro e a confiança que se pode cometer com essa extrapolação Claro que toda a vez que coletamos dados referentes de uma amostra teremos dados numéricos como médias proporções e variabilidade que serão o resumo da amostra coletada São esses resumos numéricos que trataremos neste capítulo O objetivo mais comum de coletarmos uma amostra é calcularmos esses resumos nu méricos para podermos extrapolar para a população como um todo inferindo que os dados da população tenham aproximadamente os mesmos resultados da amostra Quando coletamos dados referentes a uma população e calculamos seus resumos numéricos temos os parâmetros populacionais ou apenas parâmetros Podemos exemplificar o parâmetro da média populacional que é representado por μ o parâmetro do desvio padrão populacional que é representado por 𝜎 e a proporção populacional representada por π Quando coletamos dados referentes a uma amostra oriunda de uma popula ção e calculamos os resumos numéricos dela teremos os estimadores também chamados de estatísticas Podemos exemplificar o estimador da média que é representado por x o estimador do desvio padrão representado por s e o estimador para a proporção representado por p Na Figura 1 a seguir há uma representação de população e amostra Observe que os parâmetros são normalmente representados por letras gregas e os estimadores por letras do alfabeto latino Os parâmetros são os valores corretos não havendo o que contestar afinal eles foram coletados diretamente da população Já os valores dos estimadores variarão de uma amostra para outra pois existe uma variabilidade nos dados coletados de uma mostra para amostra Propriedades dos estimadores 2 Figura 1 Representação de população e amostra População Amostragem Amostra Estimadores Inferência Parâmetros Como existe essa variabilidade entre as possíveis amostras que a priori precisam ser amostras probabilísticas existirão estimadores que represen tarão melhor os dados do que outros como os que podem apresentar um viés quando comparados com o parâmetro populacional Há parâmetros que podem ser tendenciosos ao serem comparados com o parâmetro populacional e estimadores que são eficientes se comparados ao parâmetro populacional Podemos também ter estimadores pontuais ou intervalares Os pontuais são a própria medida numérica obtida na amostra O estimador intervalar como o nome sugere fornece um intervalo que conterá o verdadeiro valor populacional com uma probabilidade fixada Quando estamos extrapolando os valores obtidos em uma amostra para toda a população de onde essa foi extraída estamos entrando na área de estatística inferencial Podemos ter vários parâmetros populacionais para estimarmos com base em uma amostra Então generalizaremos um parâmetro qualquer da população como sendo o de interesse representado por θ e a estimativa amostral desse parâmetro de interesse representada por θ O sinal de acento circunflexo representa o estimador Então o parâmetro de interesse θ pode representar os parâmetros μ 𝜎 π média populacional desvio padrão populacional proporção populacional assim como o estimador θ do parâmetro pode representar os estimadores x s p média amostral desvio padrão amostral proporção amostral 3 Propriedades dos estimadores A estatística tem duas grandes divisões A estatística descritiva e a inferencial Quando coletamos uma amostra primeiramente obtemos a análise descritiva desses dados Dependendo de como os dados amostrais foram coletados podemos realizar infe rências para a população como um todo chamamos isso de estatística inferencial Estimador não enviesado Quando calculamos uma estimativa de um parâmetro populacional comete mos um erro na estimativa pontual Pois se coletamos amostras aleatórias teremos amostras diferentes e aleatórias que fornecerão valores diferentes do valor do parâmetro chamamos isso de erro amostral Para a média por exemplo temos Erro amostral x μ Segundo Doane e Seward 2014 geralmente o parâmetro que estimamos é desconhecido e portanto não podemos calcular o erro amostral O que sabemos é que a média da amostra x é uma variável aleatória que em média estima corretamente μ porque as medidas amostrais que superestimam μ tendem a ser compensadas por aquelas que o subestimam O erro amostral é calculado com base em uma estimativa pontual e um parâmetro populacional de interesse Outro conceito importante para as definições a seguir é o conceito de valor esperado ou expectância ou esperança matemática de uma variável No caso de uma variável contínua essa esperança é calculada como sendo a integral da função distribuição de probabilidade FDP da variável x No caso de uma variável discreta é calculada com o somatório das probabilidades EX xfxdx para uma variável quantitativa contínua EX i 1 xiPX xi para uma variável quantitativa discreta n Dizemos que um estimador é não enviesado ou não viesado ou não ten dencioso sem viés quando esse estimador tem o seu valor esperado igual ao do parâmetro de interesse que se pretende estimar Propriedades dos estimadores 4 Eθ θ Observe que em uma amostra pode haver um erro amostral pontual mas um estimador não enviesado é aquele que tem o seu valor esperado igual ao parâmetro populacional estimado O estimador não enviesado não superesti mará ou subestimar em média o parâmetro Em contrapartida um estimador enviesado é aquele que erra em média o valor do parâmetro A diferença entre o valor esperado do estimador e o parâmetro é o que chamamos de viés Viés Eθ θ Segundo Doane e Seward 2014 o erro amostral é aleatório enquanto o vício é sistemático Algumas amostras podem aparentar estarem mais próximas do centro do alvo do que outras mas ao menos um estimador não viciado evita o erro sistemático Você não pode observar o vício em uma amostra porque não conhece o verdadeiro parâmetro populacional mas o vício pode ser estudado matematicamente ou por experimentos simulados A Figura 2 ilustra a diferença entre um estimador viciado e um não viciado Figura 2 Ilustração de vício comparando um atirador com um alvo Fonte Doane e Seward 2014 p 294 Estimador não viciado Estimador viciado 5 Propriedades dos estimadores Temos como exemplos de estimadores não enviesados a média amostral representada por x bem como a proporção amostra representada por p μ Xi N média populacional x Xi n média amostral ϖ proporção populacional X N p x n proporção amostral Como exemplos de estimadores enviesados temos a variância amostral representada por s2 e o desvio padrão amostral representado por s σ2 Xi μ2 N variância populacional s2 xi x2 n 1 variância padrão amostral σ desvio padrão populacional xi μ2 N s desvio padrão amostral xi x2 n 1 onde xi cada um dos n elementos da amostral Xi cada um dos N elementos da populacional n tamanho da amostra N tamanho da população Propriedades dos estimadores 6 Estimadores eficientes e consistentes A definição de um estimador eficiente consiste em determinar qual dos esti madores tem a menor variabilidade Na comparação entre estimadores obtidos dentro de uma mesma população com médias iguais ou valores esperados para a média iguais o mais eficiente será aquele que tiver a menor variância VARθ1 VARθ2 Quanto menor for a variância da distribuição amostral da estimativa mais eficiente será o estimador Dizse então que θ1 é um estimador mais eficiente do que θ2 Utilizamos o estimador não viciado de variância mínima Segundo Doane 2014 embora um estimador não viciado de variância mínima nem sempre exista para todo o parâmetro de todo o tipo de distribuição os estatísticos provaram que para uma distribuição normal x e s2 são estimadores de vari ância mínima de μ e 𝜎² respectivamente O mesmo se aplica para a proporção A Figura 3 a seguir ilustra um estimador mais eficiente e um menos eficiente Figura 3 Ilustração de eficiência comparando um atirador com um alvo Fonte Doane e Seward 2014 p 294 Estimador mais efciente Estimador menos efciente 7 Propriedades dos estimadores Observe na figura que ambos estimadores são não enviesados porém o da esquerda é mais eficiente pois apresenta uma variabilidade menor do que o alvo da direita Podemos ainda calcular o erro quadrático médio de um estimador distin guindo assim a qualidade dos diferentes estimadores que podem ser obtidos de uma mesma população EQMθ Eθ θ2 Sobre o conceito de consistência de um estimador representado na Figura 4 dizemos que quanto maior for o tamanho da amostra mais consistente será o estimador Ou seja quando temos n existe uma tendência de que o valor esperado do estimador seja igual ao do parâmetro populacional Eθ θ Assim sendo conforme o tamanho da amostra aumenta o estimador para a média amostral x aproximase do parâmetro da média populacional μ E a estimativa para a proporção p aproximase do parâmetro populacional π conforme o tamanho da amostra aumenta Figura 4 Ilustração de consistência Fonte Doane e Seward 2014 p 295 n 5 n 20 n 80 Propriedades dos estimadores 8 Observe que na representação das distribuições da Figura 4 quanto maior for o tamanho da amostra mais consistente será o estimador Os pressupostos de estimadores consistentes eficientes e não viciados são muito importantes para estimativas intervalares testes de hipóteses e estatística inferencial como um todo Vimos neste capítulo a teoria para estimadores pontuais da qual po demos estimar intervalos de confiança que contenham o verdadeiro valor do parâmetro de acordo com a probabilidade da distribuição que os dados populacionais seguem DOANE D P SEWARD L E Estatística aplicada à administração e economia 4 ed Porto Alegre AMGH Bookman 2014 840 p Leituras recomendadas BECKER J L Estatística básica transformando dados em informação Porto Alegre Bookman 2015 504 p Métodos de Pesquisa SPIEGEL M R STEPHENS L J Estatística 4 ed Porto Alegre Bookman 2009 600 p Coleção Schaum Referência 9 Propriedades dos estimadores