Fundamentos e Metodologias de Matemática: Estatística e Probabilidade

FUNDAMENTOS E METODOLGIAS DE MATEMÁTICA Ana Laura Bertelli Grams Estatística e probabilidade Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto você deve apresentar os seguintes aprendizados Descrever os conceitos de probabilidade e estatística Identificar sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos pre sentes em situaçõesproblema da vida cotidiana Utilizar conceitos representações e índices estatísticos para descrever fenômenos Introdução Índice de criminalidade expectativa de vida nível de aceitação de alguma figura pública e quantidade de chuva esperada são alguns assuntos que se utilizam da estatística para transmitir com eficácia e consistência suas mensagens Que a sociedade está rodeada de informações e dados estatísticos é fácil perceber basta acessarmos um site de notícias ligarmos o rádio ou mesmo lermos alguma pesquisa científica que se baseou em algum fato No entanto precisamos saber como utilizar esses dados e informações da melhor maneira sem nos deixarmos levar pelo sensa cionalismo que algumas vezes está intrínseco neles Neste capítulo você terá acesso aos conceitos que envolvem a esta tística sua interpretação e análise buscando subsídios para decifrar os dados e auxiliar na tomada de decisão Além disso este texto se dedica à discussão de estratégias para ensinar probabilidade e estatística no Ensino Fundamental conforme orienta a Base Nacional Comum Curricular Tratamento da informação Os conceitos básicos sobre análise de dados também são chamados de trata mento da informação que deve fazer parte do rol de conteúdos ao longo dos anos escolares desde a Educação Infantil até o Ensino Médio pois desde cedo os estudantes aprendem a colecionar organizar e classifi car objetos e procedimentos como esses os preparam para coleta organização e interpre tação de dados Mas afinal o que são dados Recorremos a dados quando queremos entender o todo a partir de suas partes quando queremos analisar os perfis dos consumidores para melhor agradálos ao estudar melhores estratégias nos esportes e analisar o adversário quais suas principais jogadas quais seus pontos fracos na otimização do transporte coletivo buscando saber qual a quantidade de passageiros por linha ou qual o horário de maior fluxo de passageiros entre outros casos mais e menos complexos Dados são informações fatos ou números objetivos a partir de uma coleta e sintetizados com o auxílio de tabelas gráficos valores descritivos com a finalidade de interpretar um fenômeno São a matériaprima dos estudos estatísticos Os dados podem ser apresentados e analisados de diferentes maneiras Ao escolher os gráficos e as tabelas você estará representando as informa ções com imagens visuais porém as medidas são passos fundamentais para quantificar os seus atributos ou seja descrevêlos As medidas mais utilizadas principalmente nos Ensinos Fundamental e Médio são diferenças entre os maiores e menores dados quais valores estão no centro de um conjunto de dados e o quanto os valores se distanciam a partir um valor de referência estas são chamadas respectivamente de amplitude média e dispersão Os números que fazem toda essa descrição dos dados são estatísticas A capacidade de ler e interpretar os dados apresentados de maneira organizada é um objetivo ao se ensinar estatística Toledo e Toledo 2010 avaliam pesquisas sobre a percepção dos estudantes na coleta e análise de dados e apresentam três níveis progressivos de compre ensão resumidos no Quadro 1 Estatística e probabilidade 2 1º nível de compreensão 2º nível de compreensão 3º nível de compreensão No primeiro contato dos estudantes com esta linguagem a compreensão deve se restringir à leitura e à decodificação dos dados além de desenvolver habilidades para construção de tabelas e gráficos com dados coletados por eles mesmos Este nível deve contribuir para desenvolver a capacidade argumentativa Nesta etapa é possível estabelecer relações a partir da leitura e da comparação dos dados identificando variáveis e escolhendo a melhor maneira de representálas O estudante neste nível de compreensão tem a capacidade de discernimento sobre previsões embasadas na análise dos dados e destreza para reduzir um conjunto de dados às medidas de representação destes como a média por exemplo Quadro 1 Níveis progressivos de compreensão Após a coleta e a apresentação dos dados de maneira organizada surge a necessidade de analisálos e por fim utilizálos para a tomada de decisão Para tomar melhores decisões fazse necessária a avaliação das possibilidades de acontecimentos aleatórios para qual se utiliza dos conceitos de probabilidade Quando algo acontecerá com certeza atribuímos ao acontecimento 100 de probabilidade ao passo que quando temos a certeza de que ele é impossível de ocorrer atribuímos 0 de probabilidade Entre estes temos os casos que não temos certeza de que acontecerão ou não acontecerão se é mais provável que aconteça sua probabilidade se aproxima mais de 100 do que de 0 se é mais provável que não aconteça sua probabilidade se aproxima mais de 0 do que de 100 O que nos remete a concluir que se um acontecimento tem 50 de probabilidade então ocorrer ou não tem de fato a mesma chance ACZEL 2007 A Figura 1 a seguir apresenta uma interpretação da probabilidade e as possibilidades ao longo de uma quantidade contínua entre o impossível e o certo a partir das chances de se obter a cor azul nas roletas 3 Estatística e probabilidade Figura 1 Interpretação da probabilidade ou linha das chances Fonte Adaptada de Van de Walle 2009 As noções sobre probabilidade estão cada vez mais presentes no nosso cotidiano e essas situações devem ser aproveitadas na escola de modo que os estudantes aprendam a fundamentar melhor suas decisões Van de Walle 2009 sugere de maneira muito adequada que o ensino da probabilidade se inicie no desenvolvimento do conceito de chance como uma quantidade contínua a fim de mostrar à criança que alguns eventos são mais ou menos prováveis que outros como por exemplo se dois times de futebol estão em campo e o time A está vencendo o time B faltando menos de um quarto do tempo de jogo a chance de o time A ganhar o jogo não é certa mas é muito provável Exercícios semelhantes a esse exemplo os quais sugerem que se classi fiquem eventos em certos impossíveis ou possíveis são apropriados para a compreensão inicial dos conceitos de probabilidade Além dos conceitos abordados até aqui é importante ressaltar que o estudo da probabilidade é composto por diversas leis e definições que variam de acordo com cada situação seja a ocorrência de um entre dois eventos ou a probabilidade de que um evento ocorra desde que outro evento também ocorra probabilidade condicional entre outros casos Sobretudo para avaliar a medida quantitativa da possibilidade de determinado acontecimento ou seja obter a probabilidade é necessário contar as possibilidades de um evento e dividir o resultado pelo número total de possibilidades Estatística e probabilidade 4 Sempre que surge uma situação com resultados de possibilidades iguais como em um dado perfeitamente simétrico no qual há seis possibilidades igualmente prováveis a probabilidade de qualquer resultado é a proporção entre o número total de resultados correspondentes ao evento e o número total de resultados seis no caso do dado ACZEL 2007 Por exemplo ao lançarmos um dado qual a probabilidade de obtermos um número par ao lançarmos o dado seis são os resultados possíveis São eles 1 2 3 4 5 ou 6 dentre estes temos três que satisfazem nosso evento de ser par 2 4 e 6 sendo assim dividimos Temos que a probabilidade de obtermos um número par no lançamento de um dado é Situaçõesproblema da vida cotidiana Ao ensinar matemática devese proporcionar aos estudantes a oportunidade de construir seu conhecimento a partir de situações problematizadas utilizando as experiências sobre o tema abordado Nesse contexto a Base Nacional Curricular Comum BNCC articula as competências gerais com a área da matemática exigindo como uma das competências específi cas da área as observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presen tes nas práticas sociais e culturais de modo a investigar organizar representar e comunicar informações relevantes para interpretálas e avaliálas crítica e eticamente produzindo argumentos convincentes BRASIL 2017 p 267 5 Estatística e probabilidade Graças ao crescimento da cultura digital estamos rodeados por dados e a imprensa escrita ou televisionada utilizase cada vez mais de gráficos e tabelas para a divulgação das informações Os benefícios da inclusão da estatística no currículo escolar são categóricos quando se busca evitar que os leitores sejam ludibriados ou desconsiderem aspectos importantes para a interpretação de informações do cotidiano Apresentaremos aqui alguns casos revelados pela autora americana Rumsey 2010 em seu livro Estatística para leigos que se utilizam de estatística para expor diversas situações diferentes e principalmente convencer o leitor de fatos ocorridos seja para uma preocupação excessiva com o estado da saúde pública ou com o objetivo de consumir um produto novo O objetivo da expo sição desses casos é buscar identificar problemas e exageros nas estatísticas a fim de aplicálas do modo correto Conferir as contas A primeira coisa a fazer ao buscar efetivar a estatística é conferir seus nú meros Em todas as pesquisas ou resultados delas os grupos apresentados com percentuais devem sempre somar 100 Veja por exemplo o resultado de uma pesquisa sobre os brinquedos mais vendidos para crianças de 3 a 7 anos A notícia informava que 29 dos pais das crianças nessa faixa etária compravam apenas jogos educativos para seus fi lhos 42 compravam os brinquedos dos comerciais de canais de desenho animado e 20 adquiriam apenas os brinquedos que as próprias crianças escolhiam na loja Ao conferir a soma temos 29 42 20 91 O que aconteceu com os 9 A estatística não confere Por isso o resultado de pesquisas assim não são válidos Saber o tamanho da amostra Muitas pesquisas de opiniões são lançadas e seus resultados apresentados sem alguns dados importantes como por exemplo o número total de entrevistados Veja um exemplo de um comercial de creme dental 9 em cada 10 dentistas recomendam branquinha para seus pacientes Nesse caso para garantir a confiabilidade da estatística o leitor precisa se perguntar quantos dentistas de fato foram entrevistados Imagine que somente 10 dentistas responderam ao questionamento sobre o tal creme dental Dessa forma num universo enorme de dentistas no mundo 9 recomendações não seria algo assim tão atraente para o consumidor Todavia se a pesquisa de opinião Estatística e probabilidade 6 foi aplicada para 10000 dentistas conforme o resultado apresentado 9000 dentistas estão recomendando o produto e assim é mais provável que você possa confiar nele Ou seja em notícias ou comerciais como estes você não terá uma perspectiva da confiabilidade das informações se os dados citados não estiverem apresentados Distorcendo a verdade com exageros sutis ou não Analisemos uma manchete divulgada em um jornal escrito a qual envolve estatística mas que possui grandes lacunas entre a realidade e a mensagem que ela transmite Tempo de consulta com pacientes evita processos por imperícia médica Essa manchete foi publicada após um estudo que avaliou 1265 consultas e 59 médicos de prontosocorro e concluiu que os médicos que não foram processados por erro médico gastaram 18 minutos em média com cada consulta ao passo que os processos abertos eram com médicos que dedicaram 16 minutos por paciente A notícia induz o leitor a concluir que para não ser processado o que o médico precisa é passar mais tempo com seus pacientes e assim tudo estará resolvido E ainda bastam dois minutos para fazer toda a diferença Vamos explorar algumas hipóteses pode ser que o médico que não foi pro cessado possua menos pacientes e por isso gastou mais tempo em cada consulta e se os médicos processados estivessem realizando procedimentos de maior risco ou simplesmente os médicos que não foram processados sejam médicos melhores que ouvem e perguntam mais e consequentemente gastam mais tempo em suas consultas Há muitos outros pressupostos que podem estar envolvidos mas que a manchete geralmente enorme não lhe conta Por isso ao utilizarse de esta tística para se informar procure sempre por lacunas entre a manchete e o que o estudo realmente demonstra Omissão ou desconhecimento dos dados Algumas dicas de como conferir se a junção dos números percentuais soma 100 são necessárias na leitura e na interpretação da estatística mas não são sufi cientes É preciso estar atento e questionar como os dados foram manipulados antes da sua apresentação 7 Estatística e probabilidade Consideremos o seguinte caso sobre a criminalidade em um país ao mostrar em uma tabela o número de crimes anuais do país de 1987 a 1997 algumas interpretações totalmente divergentes podem ser feitas mesmo com todos os cálculos efetuados de maneira correta Isso ocorre devido à maneira como a informação é medida podendo afirmar que a criminalidade aumentou e tam bém diminuiu Sabemos que isso é impossível de acontecer então avaliemos o caso por trás dos cálculos Suponha que em 1987 o número estimado de crimes foi igual a 13508700 que em 1993 o número era de 14144800 e ainda em 1997 passou a ser 13175100 Aparentemente a criminalidade aumentou durante os 6 anos iniciais Mas se avançarmos com os demais dados em 1997 o total de crimes foi menor que em 1993 afirmando que a criminalidade está diminuindo Ou seja dependendo do interesse de quem está informando é possível utilizarse dos dados acima para interpretar diferentes perspectivas do mesmo fato E ainda provavelmente mais importante essas informações podem não ser suficientes para esclarecimento e representação real do fato pois além do número absoluto de crimes algo também pode ter aumentado entre 1987 e 1993 a população do país dado que desempenha um papel importante na estatística da criminalidade pois se espera que esta aumente quando o número de pessoas que vivem no mesmo país aumenta Sendo assim é preciso recorrer para a taxa de criminalidade representada pela razão entre o número de crimes e o total da população Ou seja se em 1987 o número de habitantes era de 24340000 e em 1993 passou para 257908000 a taxa de criminalidade passa de 555 em 1987 para 548 em 1993 distorcendo a primeira hipótese de aumento da criminalidade quando analisado somente o número de crimes Ao se deparar com resultados numéricos de um evento perguntese qual o tipo de estatística que foi utilizado se está tratando de números absolutos ou de taxas e se a medida é justa para o caso ou algo está sendo desconsiderado Estatística e probabilidade 8 Representação dos dados Agora que estudamos um pouco sobre os conceitos envolvidos no tratamento da informação e sobre situações que envolvem estatística e como ela deve ser evitada abordaremos maneiras de representar os dados e como abordar esse tema em sala de aula A visualização dos dados gráficos e tabelas Apresentar situações reais envolve decidir como organizar os dados da melhor maneira possível Nem sempre um gráfi co ou um tipo específi co de gráfi co é a melhor maneira para representar algumas informações principalmente quando a quantidade de dados é demasiadamente grande o que poderia possibilitar um agrupamento de dados que facilite sua interpretação Contudo ao abordar esse conteúdo em sala de aula os alunos devem se envolver na decisão de como representar os dados e mesmo as crianças com poucas experiências com os diversos métodos possíveis podem ser orientadas a fazer tentativas diferentes a partir de sugestões do professor e na sequência optar qual delas melhor atinge seu objetivo de apresentar os dados O ensino da construção de gráficos não deve estar focado na técnica do desenho pois mais tarde podese utilizar a tecnologia para detalhes da construção É preciso oportunizar e garantir que os alunos aprendam a co municar uma mensagem sobre seus dados pois isso é mais valioso do que a técnica ou o enfeite do gráfico Os gráficos de linhas Os gráfi cos em linhas ou curvas são descritos em um espaço de dois eixos ortogonais são eixos coordenados e são utilizados principalmente por dados que tenham ordem numérica e são mais úteis quando estão ordenados ao longo de uma escala contínua Para sua construção é preciso corresponder um elemento do eixo hori zontal com outro dado no eixo vertical utilizando um segmento de reta para conectar os pontos Por exemplo na Figura 2 podemos observar um gráfico de linhas que indica a variação da temperatura durante um dia exibindo que à meianoite a temperatura foi de 10C 9 Estatística e probabilidade Figura 2 Gráfico de linha Fonte Van de Walle 2009 p 495 Um fato importante para ser discutido com os estudantes é que nesse tipo de gráfico todo ponto na linha deve ter um valor por isso ele não é indicado para a representação de dados discretos ou dados qualitativos Os gráficos de barras ou colunas A representação dos dados por gráfi cos de barras ou colunas também pode utilizarse da correspondência entre dois eixos perpendiculares mas em vez de conectar os pontos por segmentos de linhas fazse uma ilustração com retângulos ou fi guras de objetos ou o próprio objeto e neste último caso nenhuma escala numérica precisa ser aplicada ver Figura 3 Estatística e probabilidade 10 Figura 3 Gráficos de barras e colunas Fonte Van de Walle 2009 p 493 Os exemplos da Figura 3 sugerem construções lúdicas para iniciar o trabalho com gráficos de modo que os alunos compreendam as principais caracterís ticas dos dados por meio da comunicação visual e percebam que esse tipo de representação é mais rápido para interpretar os dados descritos em um texto O que diferencia os gráficos de barras e colunas é a orientação pois as barras são horizontais e as colunas verticais Os gráficos de setores Os gráfi cos de setores também conhecidos como gráfi cos de pizza apresen tam seus dados por meio de um círculo e geralmente mediante percentuais ver Figura 4 Sendo assim o cálculo e o conceito de porcentagens são pré requisitos para sua construção Entretanto sua interpretação pode ser baseada no tamanho dos setores Um benefício de gráfi cos desse tipo é a facilidade para praticar comparações entre as informações e introduzir o conceito de fração já que o gráfi co sempre terá a referência do todo com o preenchimento inteiro do círculo e suas partes as fatias do círculo 11 Estatística e probabilidade Figura 4 Gráfico de setores Fonte Van de Walle 2009 p 496 Estatística descritiva A abordagem da estatística descritiva em sala de aula pode se dar desde muito cedo sem a necessidade de utilizar a nomenclatura das medidas muito menos os procedimentos que as defi nem numericamente Todavia apresentar os conceitos de média amplitude e dispersão com materiais manipuláveis é válido para aumentar a afi nidade das crianças com a estatística As ideias para defi nir as medidas descritivas precisam ser informais partindo de uma proposta do professor e de sugestões dos alunos Uma maneira para apresentar a média sem definições numéricas é utilizando peças de encaixe como Lego A ideia é apresentar algumas barras com diferentes quantidades de peças encaixadas umas sobre as outras e então solicitar aos alunos que busquem uma solução para que as barras fiquem com a mesma quantidade de peças sem que o número de barras seja alterado Estatística e probabilidade 12 A atividade proposta envolve uma abordagem para a média como um conceito nivelador uma atribuição para os elementos se eles forem nivela dos Um fator importante em atividades como essa é criar um contexto para a proposta transformando as barras em quantidade de alunos por turma preços de lanches notas em atividades entre outros Para o cálculo exato da média após trabalhar o conceito com materiais concretos basta fazer duas contas simples adicionar todos os números do conjunto e dividir a soma pelo total de números do conjunto Por exemplo se um estudante possui as seguintes notas em atividades de matemática 97 70 85 e 68 a média de suas notas é obtida da seguinte maneira ACZEL A D Quais são suas chances Rio de Janeiro BestSeller 2007 BRASIL Ministério da Educação Base Nacional Comum Curricular Brasília MEC 2017 RUMSEY D Estatística para leigos Rio de Janeiro Alta Books 2010 TOLEDO M TOLEDO M Teoria e Prática de Matemática como dois e dois São Paulo FTD 2010 VAN DE WALLE J A Matemática no ensino fundamental formação de professores e aplicação em sala de aula 6 ed Porto Alegre Artmed 2009 Leituras recomendadas CAMPOS C R WODEWOTZKI M L L JACOBINI O R Educação estatística teoria e prática em ambientes de modelagem matemática Belo Horizonte Autêntica 2011 WHEELAN C Estatística o que é para que serve como funciona Rio de Janeiro Zahar 2016 13 Estatística e probabilidade