Análise e Projeto de Sistemas de Controle pelo Método do Lugar das Raízes

Princıpios basicos Tracado do lugar das raızes Caracterısticas de resposta Projeto de compensadores Controle de Sistemas Dinˆamicos Modulo 4 Analise e Projeto de Sistemas de Controle pelo Metodo do Lugar das Raızes Fabrıcio Hoff Dupont Universidade Comunitaria da Regiao de Chapeco Unochapeco Curso de Engenharia Mecˆanica II Semestre 2022 Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Princıpios basicos Tracado do lugar das raızes Caracterısticas de resposta Projeto de compensadores Sumario do Modulo 1 Princıpios basicos O metodo do Lugar Geometrico das Raızes 2 Tracado do lugar das raızes 3 Caracterısticas de resposta Em termos da posicao dos polos 4 Projeto de compensadores Abordagem de projeto Compensacao por avanco de fase Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Princıpios basicos Tracado do lugar das raızes Caracterısticas de resposta Projeto de compensadores O metodo do Lugar Geometrico das Raızes Princıpios Basicos Consiste em um grafico construıdo a partir do conhecimento dos polos e zeros do sistema em malha aberta Permite visualizar de que forma os polos variam quando o ganho do sistema e alterado Inicialmente desenvolvido para ser usado com regua e transferidor Atualmente e disponıvel em varios pacotes computacionais Permite o projeto de controladores mais complexos sem a necessidade de solucao de equacoes diferenciais Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Principios basicos O método do Lugar Geométrico das Raizes O Método do Lugar Geométrico das Raizes LGR Considere o sistema em malha fechada Rs x Ys e A funcao de transferéncia em malha fechada é s Gs a Rs 1 GsAs Os polos da equacdo caracteristica estado localizados em 1 GsHs 0 2 Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a z NAS Principios basicos O método do Lugar Geométrico das Raizes O Método do Lugar Geométrico das Raizes LGR OLGR é 0 conjunto de curvas no plano complexo s onde podem estar os polos da malha fechada e Em termos de uma fundo complexa podese escrever os polos da equacdo caracteristica como GsHs 1 0 3 e Essa expressao leva a duas condides e Condicado de médulo GsHs 1 4 e Condicao de fase GsHs 180 7360 r 012 5 miltiplo impar de 180 6 Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont Principios basicos O método do Lugar Geométrico das Raizes O Método do Lugar Geométrico das Raizes LGR e Escrevendo a funcao de transferéncia em termos de seus polos e zeros ke 21s 22 8 GsHs ee i8 22 8 7m 7 8 piS po 8 Dn Embora o ganho k seja assumido positivo esta nado é uma condicao necessaria e A condiao do médulo pode ser escrita como ks zs z28 2m GsHs S oe 8 s pil 8 pa 8 Pr O ganho associado a qualquer ponto do plano s é dado por po8 yp Pills pal s Pol 9 s 215 za S 2m Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont Princıpios basicos Tracado do lugar das raızes Caracterısticas de resposta Projeto de compensadores O metodo do Lugar Geometrico das Raızes O Metodo do Lugar Geometrico das Raızes LGR A condicao de fase para k 0 pode ser escrita como GsHs s z1 s z2 s zm s p1 s p2 s pn multiplo ımpar de 180 10 A condicao de fase e a condicao geometrica que permite determinar se um dado ponto pertence ou nao ao LGR A fase de um numero complexo s p e convencionada como Re Im p s θ Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Principios basicos O método do Lugar Geométrico das Raizes O Método do Lugar Geométrico das Raizes LGR Exemplo 1 Desejase determinar o lugar das raizes sobre 0 eixo real do sistema em malha fechada com realimentado unitaria Hs 1 ilustrado pelo diagrama de blocos abaixo Ks1 Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a DAG Princıpios basicos Tracado do lugar das raızes Caracterısticas de resposta Projeto de compensadores O metodo do Lugar Geometrico das Raızes O Metodo do Lugar Geometrico das Raızes LGR Do Exemplo 1 podese concluir Se o numero de polos ou zero reais a direita do ponto de teste for ımpar entao o segmento que contem o ponto de teste pertence ao lugar das raızes O lugar das raızes comeca num polo e termina num zero formando segmentos alternados ao longo do eixo real Quando a quantidade de polos for maior que a de zeros o lugar das raızes termina no infinito O sentido das flechas do lugar das raızes indicao sentido dos valores crescentes do ganho k Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Princıpios basicos Tracado do lugar das raızes Caracterısticas de resposta Projeto de compensadores Numero de Ramos Marcar os polos e zeros da funcao de transferˆencia da malha aberta GsHs com os sımbolos Polo Zero O numero de ramos e igual ao numero de n polos Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Princıpios basicos Tracado do lugar das raızes Caracterısticas de resposta Projeto de compensadores Simetria O polinˆomio do denominador da funcao de transferˆencia tem coeficientes reais As raızes podem ser apenas reais ou complexas conjugadas O lugar das raızes e simetrico em relacao ao eixo real do plano complexo Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Princıpios basicos Tracado do lugar das raızes Caracterısticas de resposta Projeto de compensadores Lugar das Raızes sobre o Eixo Real Pares de poloszeros nao afetam a condicao de fase sobre o eixo real A soma dos ˆangulos de cada polo complexo com relacao ao ponto de teste s e θ1 θ2 360 11 Re Im s θ1 θ2 p1 p2 Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Princıpios basicos Tracado do lugar das raızes Caracterısticas de resposta Projeto de compensadores Lugar das Raızes sobre o Eixo Real Com relacao aos polos e zeros reais da malha aberta podese afirmar Cada zero ou polo real contribui com uma fase de 180 se estiver a direita de um ponto de teste s Cada zero ou polo real nao afeta a condicao de fase se estiver a esquerda de um ponto de teste s Um ponto de teste s sobre o eixo real pertence ao lugar das raızes se o numero total de polos e zeros a direita deste ponto for ımpar Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Princıpios basicos Tracado do lugar das raızes Caracterısticas de resposta Projeto de compensadores Pontos de Inıcio e Termino O LGR consiste nos lugares de todos os polos da malha fechada para 0 k O ponto de partida corresponde a k 0 O ponto de chegada ou termino corresponde a k A partir da equacao caracterıstica 1 GsHs 0 temse sp1sp2 spnksz1sz2 szm 0 12 Para k 0 s p1s p2 s pn 0 13 Portanto o lugar das raızes comeca nos n polos de malha aberta Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Sree Teta Pero Pontos de Inicio e Término e Da condiao do médulo Gs Hs 1 temse ks za s za 82ml 14 s pis pa8 Pn s 21 8 2a8 2m 1 15 s py S pos pn e Para k co s 28 za s 2m 0 16 Portanto o lugar das raizes termina nos m zeros de malha aberta Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a DAG Princıpios basicos Tracado do lugar das raızes Caracterısticas de resposta Projeto de compensadores Assıntotas O numero de ramos e igual ao numero de n polos Em geral n m fazendo com que m ramos terminem nos zeros e n m terminem no infinito seguindo assıntotas A regra das assıntotas deve ser aplicada apenas para n m pois o numero de assıntotas e n m Da condicao de fase 180 r360 r 0 1 2 17 Para um ponto s suficientemente afastado os ˆangulos podem ser aproximados por um ˆangulo α qualquer mα nα 180 r360 18 α 180 r360 m n r 0 1 2 19 Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Princıpios basicos Tracado do lugar das raızes Caracterısticas de resposta Projeto de compensadores Assıntotas Tambem pode ser escrito como α1 180 n m α2 3 180 n m α3 5 180 n m αnm 2n 2m 1 180 n m 20 As raızes cruzam o eixo real no ponto Sc soma dos polos da MA soma dos zeros da MA n m 21 Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Princıpios basicos Tracado do lugar das raızes Caracterısticas de resposta Projeto de compensadores Pontos de Partida e Chegada Sobre o Eixo Real Se existirem dois polos de malha aberta adjacentes sobre o eixo real e se o segmento entre eles fizer parte do lugar das raızes havera pelo menos um ponto de partida neste segmento Se existirem dois zeros de malha aberta adjacentes e se o segmento entre eles fizer parte do lugar das raızes havera pelo menos um ponto de chegada neste segmento Isso tambem e valido quando um dos zeros esta no infinito Os pontos de partida e chegada sobre o eixo real sao tambem chamados de pontos de ramificacao Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Sree Teta Pero Pontos de Partida e Chegada Sobre o Eixo Real Para a equacdo caracteristica 1 GsHs 0 com kN GsHs ao e Ds 0 22 e Podese reescrevela como Ds D kNs 0 k 23 5 N5 ro 23 Os pontos de partida ou chegada sobre o eixo real podem ser calculados a partir das raizes de DsNs DsN dk ig dk DONDENS 9 4 ds ds Ns Se uma raiz de 24 nao pertencer ao lugar das raizes do eixo real essa raiz ndo é um ponto de partida nem de chegada Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont Princıpios basicos Tracado do lugar das raızes Caracterısticas de resposta Projeto de compensadores ˆAngulo de Partida de um Polo Complexo ou de Chegada em um Zero Complexo Permite determinar a direcao dos ramos do LGR nas proximidades dos polos e zeros complexos conjugados Da condicao de fase o ˆangulo de partida de um polo complexo p1 pode ser determinado como s p1 s z1 s z2 s zm s p2 s pn multiplo ımpar de 180 25 Da mesma forma o ˆangulo de chegada em um zero complexo z1 pode ser determinado como s z1 s z2 s zm s p1 s p2 s pn multiplo ımpar de 180 26 Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Sree Teta Pero Tracado do Lugar das Raizes Exemplo 2 Esboce o lugar das raizes do sistema de controle representado abaixo k Y RO s 10 Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a DAG Sree Teta Pero Tracado do Lugar das Raizes Exemplo 3 Desenhe o lugar das raizes e determine a faixa de valores do ganho k do controlador de modo que o sistema em malha fechada da figura abaixo seja estavel s2 Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a DNA Sree Teta Pero Tracado do Lugar das Raizes Exemplo 4 Desenhe o lugar das raizes e determine a faixa de valores do ganho k de modo que o sistema em malha fechada abaixo seja estavel k Sa Y Rls e ss2 8s 20 7 s Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a z NAS Princıpios basicos Tracado do lugar das raızes Caracterısticas de resposta Projeto de compensadores Em termos da posicao dos polos Resposta Temporal vs Posicao dos Polos Polos complexos conjugados no semiplano esquerdo Sistema subamortecido 0 ξ 1 t ξωn ωd ωd ωn σ jω Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Princıpios basicos Tracado do lugar das raızes Caracterısticas de resposta Projeto de compensadores Em termos da posicao dos polos Resposta Temporal vs Posicao dos Polos Polos reais repetidos sobre o eixo real Sistema criticamente amortecido ξ 1 t s12 σ jω Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Princıpios basicos Tracado do lugar das raızes Caracterısticas de resposta Projeto de compensadores Em termos da posicao dos polos Resposta Temporal vs Posicao dos Polos Polos reais simples sobre o eixo real Sistema superamortecido ξ 1 t s2 s1 σ jω Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Princıpios basicos Tracado do lugar das raızes Caracterısticas de resposta Projeto de compensadores Em termos da posicao dos polos Resposta Temporal vs Posicao dos Polos Polos complexos conjugados sobre o eixo imaginario Sistema oscilatorio ξ 0 e marginalmente estavel t ωd ωd σ jω Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Princıpios basicos Tracado do lugar das raızes Caracterısticas de resposta Projeto de compensadores Em termos da posicao dos polos Resposta Temporal vs Posicao dos Polos Polos reais simples sobre o semiplano direito do eixo real Sistema instavel t s2 s1 σ jω Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Princıpios basicos Tracado do lugar das raızes Caracterısticas de resposta Projeto de compensadores Em termos da posicao dos polos Resposta Temporal vs Posicao dos Polos Polos complexos conjugados no semiplano direito Sistema instavel t ξωn ωd ωd ωn σ jω Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Abordagem de projeto etn ge nicon aes Projeto de compensadores Abordagem de Projeto Projetar um controlador é modificar a resposta de um sistema de modo que sua Saida atenda a determinadas especificacdes e Controladores sdo formados por funcdes de transferéncia que adicionam polos e zeros Referéncia Erro Saida ante ere ay e Trés requisitos comumente desejados e Estabilidade e Erro estaciondario pequeno ou nulo e Desempenho consistindo em sobressinais baixos e tempos de resposta pequenos Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a DAG Princıpios basicos Tracado do lugar das raızes Caracterısticas de resposta Projeto de compensadores Abordagem de projeto Compensacao por avanco de fase Abordagem de Projeto Fluxograma de desenvolvimento tıpico de controladores Inıcio Especificacoes Projeto do controlador Analise Especificacoes atendidas Implementacao Fim Novo projeto do controlador Sim Nao Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Abordagem de projeto yn Salton fo Me NEOs Me Projeto de compensadores Compensacao por Avanco de Fase e Melhora a resposta transitdéria reduzindo o sobressinal e o tempo de resposta O bloco tipico possui a funcdo de transferéncia S Ze Cs kK Ze 27 K2E cp 27 Para qualquer ponto s com Re 0 e Im 0 0 compensador Cs adiciona fase na malha aberta Cs 0 Im es Re Pe Ze Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a z NAS Abordagem de projeto yn Salton fo Me NEOs Me Projeto de compensadores Compensacao por Avanco de Fase Exemplo 5 Um servomecanismo composto por um motor de corrente continua possui a funcado de transferéncia Os 5 Os 28 Eas ss 1 sendo que Os e Es representam as transformadas de Laplace da posicao angular do eixo e da tensao de armadura respectivamente Projete um compensador Cs de modo que o coeficiente de amortecimento dos polos de malha fechada seja 05 M 16 eo tempo de acomodacao seja t 2s Eas 5 Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont