Conceitos Fundamentais em Controle de Sistemas Dinâmicos

Definicoes basicas Sistemas de controle Funcoes Transformada de Laplace Controle de Sistemas Dinˆamicos Modulo 1 Conceitos Fundamentais Fabrıcio Hoff Dupont Universidade Comunitaria da Regiao de Chapeco Unochapeco Curso de Engenharia Mecˆanica II Semestre 2022 Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Definicoes basicas Sistemas de controle Funcoes Transformada de Laplace Sumario do Modulo 1 Definicoes basicas 2 Sistemas de controle Controle em malha aberta Controle em malha fechada Malha aberta vs malha fechada Classificacao dos sistemas de controle 3 Funcoes Funcoes complexas Funcoes analıticas Teorema de Euler Funcoes de sinais uteis 4 Transformada de Laplace Conceitos e transformacoes Teoremas e propriedades Solucao de equacoes diferenciais Funcoes de transferˆencia Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Definicoes basicas Sistemas de controle Funcoes Transformada de Laplace Definicoes Basicas Variavel Controlada grandeza ou condicao que e medida e controlada Sinal de Controle grandeza ou condicao modificada pelo controlador Planta pode ser parte de um equipamento ou um conjunto de componentes com o objetivo realizar determinada operacao Processo toda a operacao a ser controlada que se desenvolve ao longo do tempo Sistema combinacao de componentes que agem em conjunto para atingir determinado objetivo Disturbios sinal que tende a afetar adversamente a variavel de saıda de um sistema podendo ser interno ou externo Controle com realimentacao operacao que na presenca de disturbios tende a diminuir a diferenca entre a saıda do sistema e alguma entrada de referˆencia Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Definicoes basicas Sistemas de controle Funcoes Transformada de Laplace Controle em malha aberta Controle em malha fechada Malha aberta vs malha fechada Classificacao dos sistemas de controle Controle em Malha Aberta No controle em malha aberta o sinal de saıda nao exerce nenhuma acao de controle no sistema Entrada Atuador Planta Saıda A entrada de referˆencia corresponde a uma condicao fixa de operacao pois nao ha uma comparacao entre a saıda e a entrada de referˆencia Na pratica esses sistemas sao indicados em casos nos quais nao ha variacao da planta e nenhum disturbio externo ou interno Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Controle em malha aberta YE me Meola ge oF yee ME EM Conte Malha aberta vs malha fechada Classificagao dos sistemas de controle Controle em Malha Fechada Também chamado de controle realimentado e A saida do sistema é medida e comparada com a referéncia gerando um sinal de erro que é entdo enviado ao controladoratuador noe Erro Referéncia Atuador Planta Saida e Permite manter a saida em um valor desejado ou dentro de uma faixa de erro preestabelecida O controle em malha fechada pode ser ainda manual controlado por um operador ou automatico controlado por dispositivos circuitos ou similares Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont Definicoes basicas Sistemas de controle Funcoes Transformada de Laplace Controle em malha aberta Controle em malha fechada Malha aberta vs malha fechada Classificacao dos sistemas de controle Malha Aberta vs Malha Fechada Vantagens do sistema de controle em malha aberta Construcao simples e facil manutencao Mais baratos Nao apresentam problemas de estabilidade Adequados em casos com dificuldade de medicao do sinal de saıda Desvantagens do sistema de controle em malha aberta Disturbios mudancas de calibracao e variacoes diversas causam erros e a saıda pode apresentar diferencas em relacao ao desejado Requer regulagem periodica para que a saıda se mantenha dentro de padroes desejados Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Definicoes basicas Sistemas de controle Funcoes Transformada de Laplace Controle em malha aberta Controle em malha fechada Malha aberta vs malha fechada Classificacao dos sistemas de controle Classificacao dos Sistemas de Controle Sistemas de controle podem ser classificados de diversas formas quanto a sua natureza Linear ou nao linear Invariante no tempo ou variante no tempo Contınuo ou discreto Uma entradauma saıda ou multiplas entradasmultiplas saıdas Classico ou moderno Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Definicoes basicas Sistemas de controle Funcoes Transformada de Laplace Controle em malha aberta Controle em malha fechada Malha aberta vs malha fechada Classificacao dos sistemas de controle Linear ou Nao Linear Praticamente todos os sistemas fısicos sao nao lineares podem responder de forma diferente saıda para uma mesma excitacao entrada em funcao do ponto de operacao atual Contudo quando os modulos dos sinais de entrada forem limitados a uma certa faixa de valores o sistema pode ser aproximado por uma representacao linear Sistemas lineares sao aqueles que atendem as propriedades a seguir que juntas definem a propriedade da superposicao Propriedade aditiva Se x1 y1 e x2 Y2 entao para todo x1 e x2 x1 x2 y1 y2 1 Propriedade da homogeneidade ou escalamento Se x y entao para todo x kx ky 2 Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Definicoes basicas Sistemas de controle Funcoes Transformada de Laplace Controle em malha aberta Controle em malha fechada Malha aberta vs malha fechada Classificacao dos sistemas de controle Invariante no Tempo ou Variante no Tempo Sistemas invariantes no tempo Seus parˆametros nao variam com o tempo Ira responder sempre da mesma forma independente do instante de tempo em que sera analisado Se o sistema for linear e comumente abreviado por LIT Linear Invariante no Tempo ou LTI Linear Time Invariant Sistemas variantes no tempo Um ou mais parˆametros sofrem variacoes com o tempo A resposta depende do instante de tempo analisado Muitos sistemas fısicos reais sofrem alteracao com o tempo seja por variacao da temperatura envelhecimento de componentes variacao de massa entre outros parˆametros Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Definicoes basicas Sistemas de controle Funcoes Transformada de Laplace Controle em malha aberta Controle em malha fechada Malha aberta vs malha fechada Classificacao dos sistemas de controle Contınuo ou Discreto Sistemas contınuos as variaveis do sistema sao conhecidas em todo e qualquer instante de tempo Sistemas discretos o valor de pelo menos uma variavel do sistema so e conhecido em alguns instantes de tempo Em muitos sistemas discretos o valor das variaveis e geralmente conhecido em intervalos de tempo periodicos associados a um perıodo de amostragem Com o avanco da eletrˆonica e do processamento digital de sinais grande parte dos sistemas de controle atuais sao implementados em sistemas discretos Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Definicoes basicas Sistemas de controle Funcoes Transformada de Laplace Controle em malha aberta Controle em malha fechada Malha aberta vs malha fechada Classificacao dos sistemas de controle SISO ou MIMO Sistemas de uma entrada e uma saıda SISO SingleInput SingleOutput apresentam uma unica variavel de entrada sinal de controle e uma unica variavel de saıda sinal controlado A teoria de controle classica baseiase fortemente neste tipo de sistema Sistemas de multiplas entradas e multiplas saıdas MIMO MultipleInput MultipleOutput possuem duas ou mais variaveis de entrada e duas ou mais variaveis de saıda Essa classificacao tambem pode ser estendida para sistemas de uma entrada e multiplas saıdas SIMO e de multiplas entradas e uma saıda MISO Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Definicoes basicas Sistemas de controle Funcoes Transformada de Laplace Controle em malha aberta Controle em malha fechada Malha aberta vs malha fechada Classificacao dos sistemas de controle Classico ou Moderno A teoria de controle classico baseiase fundamentalmente nos conceitos de funcao de transferˆencia O projeto e todo conduzido no plano s ou tambem chamado no domınio da frequˆencia Aplicavel somente a sistemas SISO LTI A teoria de controle moderno por sua vez baseiase na abordagem do espaco de estado Emprega equacoes diferenciais para analisar e projetar o sistema no domınio do tempo Suporta sistemas MIMO e variantes no tempo Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Fungdes complexas Lara reoloeeTae Viel rama Seen eat eta LUT KeCoome MTT MOLI A Variaveis Complexas e E um numero complexo com parte real e imaginaria A varidvel complexa s é geralmente expressa em coordenadas retangulares o Res sojw sendo ts 3 w Ims e Mas também pode ser representada em coordenadas polares CvVoru sC sendo Le 4 dtg o Que por sua vez pode ser expressa na forma exponencial sCe 5 Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont Fungdes complexas Lara reoloeeTae Viel rama Seen eat eta LUT KeCoome MTT MOLI A Variaveis Complexas e Devese observar o fato de que as calculadoras nao fazem distindo do quadrante no qual o ponto se encontra e Tome como exemplo a determinaao do angulo de s 2 j 1 1 6tg te t 6 e A calculadora ira produzir o mesmo resultado paras 2 7 e S 2 7 embora correspondam a valores completamente diferentes Isso se deve ao fato de que a referéncia de 0 é sempre o eixo real mas nao necessariamente a parte positiva do eixo e Assim valores no 22 e no 32 quadrante devem ser somados de 180 Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont Fungdes complexas Lara reoloeeTae Viel rama Seen est et LUT KeCoome MTT MOLI A Variaveis Complexas e Para evitar confusdes recomendase 0 esboco do ponto a ser calculado Im Im 1 6 180 tg 9 2 2 g Re Re 2 6g NG 6ét 1 I tg 5 Taa 1 1 tet Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a DAG Definicoes basicas Sistemas de controle Funcoes Transformada de Laplace Funcoes complexas Funcoes analıticas Teorema de Euler Funcoes de sinais uteis Funcoes Complexas E uma funcao de s com parte real e imaginaria Pode ser expressa como fs fx jfy 7 com fx e fy reais O conjugado da funcao complexa fx e fs fx jfy 8 Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Definicoes basicas Sistemas de controle Funcoes Transformada de Laplace Funcoes complexas Funcoes analıticas Teorema de Euler Funcoes de sinais uteis Variaveis e Funcoes Complexas Variaveis complexas Re Im jω s σ Funcoes complexas Re Im fy fx fs θ Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Definicoes basicas Sistemas de controle Funcoes Transformada de Laplace Funcoes complexas Funcoes analıticas Teorema de Euler Funcoes de sinais uteis Funcoes Analıticas Uma funcao e analıtica quando ela e suas derivadas sao definidas para um dado valor de s Quando fs ou suas derivadas tendem ao infinito para algum s a funcao e dita nao analıtica naquele ponto Dada a funcao fs 1 s 1 9 Sua derivada em relacao a s e dfs ds 1 s 12 10 Ou seja tanto fs quanto sua derivada sao definidas para todos os pontos do plano s exceto para s 1 A funcao e analıtica para todo o plano s exceto no ponto s 1 Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Definicoes basicas Sistemas de controle Funcoes Transformada de Laplace Funcoes complexas Funcoes analıticas Teorema de Euler Funcoes de sinais uteis Funcoes Analıticas Pontos ordinarios sao aqueles nos quais fs e analıtica Pontos singulares sao aqueles em que fs nao e analıtica Os pontos singulares sao tambem chamados de polos da funcao Zeros da funcao sao os pontos em que fs 0 Se fs tende ao infinito quando s p e se a funcao fss pn com n 1 2 3 e um valor nao nulo para s p entao s p e um polo de ordem n n 1 polo simples n 2 polo de segunda ordem n 3 polo de terceira ordem Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Definicoes basicas Sistemas de controle Funcoes Transformada de Laplace Funcoes complexas Funcoes analıticas Teorema de Euler Funcoes de sinais uteis Funcoes Analıticas Por exemplo fs Ks 2s 10 ss 1s 5s 152 11 Esta funcao tem zeros em s 2 s s 10 polos simples em s 0 s 1 e s 5 e um polo de segunda ordem em s 15 Caso s fs K s3 fs 0 12 Assim se forem considerados pontos no infinito fs passa a ter 5 zeros sendo um de terceira ordem em s Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Definicoes basicas Sistemas de controle Funcoes Transformada de Laplace Funcoes complexas Funcoes analıticas Teorema de Euler Funcoes de sinais uteis Teorema de Euler O teorema de Euler e definido por ejθ cos θ j sen θ 13 Assim funcoes seno e cosseno podem ser expressas por meio de funcoes exponenciais ejθ e o conjugado complexo de ejθ uma vez que ejθ cos θ j sen θ Por meio do teorema de Euler as seguintes expressoes podem ser definidas cos θ ejθ ejθ 2 14 sen θ ejθ ejθ j2 15 Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont aMteer eect ery Lara reoloeeTae Viel ata terel Boel M ail ig LUT KeCoome MTT MOLI Teorema de Euler A func3o e apresenta um comportamento interessante quando observada graficamente eI R i Im ed ejye 1 aan 7 aS 0 ve Re ei i 3 TT Lf Y 1 Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a DNA aMteer eect ery Lara reoloeeTae Viel rama Seen eat eta II tetooe ETM i Jaa Funcao Degrau Unitario ut Grande parte das andlises envolvem sinais causais t 0 e Podem ser descritos em funao funao degrau unitario 1 t0 ut 16 0 t0 Ex a func3o e possui duraco infinita iniciando em t oo e pode ser convertida em um sinal causal descrita como e ut zi t xt xt ut 1 1 1 enat e ut t t t Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont Definicoes basicas Sistemas de controle Funcoes Transformada de Laplace Funcoes complexas Funcoes analıticas Teorema de Euler Funcoes de sinais uteis Funcao Degrau Unitario ut Pode ser empregada para construir outras funcoes matematicas Ex pulso retangular xt ut 2 ut 4 17 2 4 1 1 t xt 2 4 1 1 t xt Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Definicoes basicas Sistemas de controle Funcoes Transformada de Laplace Funcoes complexas Funcoes analıticas Teorema de Euler Funcoes de sinais uteis Funcao Degrau Unitario ut Exemplo 1 Descreva o sinal da figura abaixo 1 3 4 t xt Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont aMteer eect ery Lara reoloeeTae Viel rama Seen est et II tetooe ETM Fungo E Ae uncao Exponenclial e Definida por e em que s é geralmente um valor complexo sojw 18 e Entao eS el Het et elt 0 coswt j senwt 19 e Para o conjugado s a jw ef f elt Je 97 eJ coswt jsenwt 20 E 1 e coswt 5 c e 21 Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a DNA Definicoes basicas Sistemas de controle Funcoes Transformada de Laplace Funcoes complexas Funcoes analıticas Teorema de Euler Funcoes de sinais uteis Funcao Exponencial est s e chamada de frequˆencia complexa e generaliza a funcao ejωt como est A funcao est engloba uma grande classe de funcoes 1 Uma constante k k e0t com s 0 2 Uma exponencial monotˆonica eσt com ω 0 e s σ 3 Uma senoide cosωt com σ 0 e s jω 4 Uma senoide variando exponencialmente eσt cosωt com s σ jω Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Definicoes basicas Sistemas de controle Funcoes Transformada de Laplace Funcoes complexas Funcoes analıticas Teorema de Euler Funcoes de sinais uteis Funcao Exponencial est Sinais de frequˆencia complexa s σ jω σ ω 0 σ 0 σ 0 t eσt σ 0 t σ 0 t σ 0 t Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Definicoes basicas Sistemas de controle Funcoes Transformada de Laplace Funcoes complexas Funcoes analıticas Teorema de Euler Funcoes de sinais uteis Funcao Exponencial est Plano de frequˆencia complexa representacao da frequˆencia complexa s Eixo horizontal representa a parte real σ Eixo vertical representa a parte imaginaria ω ω indica a frequˆencia de oscilacao σ frequˆencia neperiana informa a taxa de crescimento ou decrescimento decaimento da amplitude Sinais com ω 0 a frequˆencia de oscilacao e zero sinais monotonicamente crescentes ou decrescentes Sinais com σ 0 sao senoides com amplitude constante Caso σ 0 e ω 0 temse sinais CC e0t 1 Para σ 0 e ω 0 temse sinais senoidais crescentes ou decrescentes caso σ 0 ou σ 0 respectivamente Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Definicoes basicas Sistemas de controle Funcoes Transformada de Laplace Conceitos e transformacoes Teoremas e propriedades Solucao de equacoes diferenciais Funcoes de transferˆencia Conceitos Preliminares Transformada de Laplace e uma ferramenta matematica que permite transformar equacoes diferenciais em equacoes algebricas Operacoes complexas no domınio do tempo como integracao diferenciacao e manipulacao de funcoes trigonometricas sao substituıdas por operacoes algebricas basicas no domınio da frequˆencia Apos a resolucao no domınio s a resposta no domınio do tempo pode ser obtida a partir da transformacao inversa A transformada de Laplace caracteriza completamente a resposta exponencial de uma funcao linear invariante no tempo Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont elon MMe Tog Lool Teoremas e propriedades etoc oa Cente Transformada de Laplace Fung6es de transferéncia Conceitos Preliminares e Definicdes e xt funao linear e invariante no tempo com xt 0 para t 0 s varidvel complexa e operador transformada de laplace e Xs transformada de Laplace de xt Recordar que se as fungdes xt 21 t x2t possuem transformada de Laplace pelo teorema da superposiao temse Aat AL 2t 22 L z1t x2t L x1 t 2 z2t 23 Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont elon MMe Tog Lool Teoremas e propriedades etoc oa Cente Transformada de Laplace Lat ntecol Re eee Transformada de Laplace e Para um sinal xt a transformada de Laplace é definida por CO Xs nt en di 24 Cco O sinal xt é dito ser a transformada inversa de Laplace de Xs 1 cjoo xt Xse ds 25 277 cjoo c é uma constante escolhida para garantir a convergéncia da integral As equacées 24 e 25 formam o par da transformada de Laplace Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont elon MMe Tog Lool ee ENR teeta Ese fol Weer tolls eRe teot omen ica e Transformada de Laplace Fung6es de transferéncia Transformada de Laplace Sinais fisicos reais existem apenas a partir de um certo instante t co e apenas apos a ocorréncia de algum estimulo e Assumindo que a excitacdo de entrada aconteca em 0 sinais que existam apenas para t 0 sdo chamados sinais causais e Restringindo a transformada de Laplace a este tipo de sistema temse a transformada de Laplace unilateral co Lxt Xs at en dt 26 o O limite 0 serve para incluir a origem e capturar qualquer descontinuidade de xt em t 0 Serve também para considerar as condicdes iniciais Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont elon MMe Tog Lool ee ENR teeta Ese fol Weer tolls eRe teot omen ica e Transformada de Laplace Fung6es de transferéncia Transformada de Algumas Funcoes Comuns Funcao exponencial No dominio do tempo No dominio da frequéncia A Xs at 0 para t 0 sta Ae parat0 Forma de onda A t Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a z NAS elon MMe Tog Lool ee ENR teeta Ese fol Weer tolls eRe teot omen ica e Transformada de Laplace Fung6es de transferéncia Transformada de Algumas Funcoes Comuns Funcao degrau No dominio do tempo No dominio da frequéncia A 0 parat 0 Xs at A parat0 Forma de onda A t Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont elon MMe Tog Lool ee ENR teeta Ese fol Weer tolls eRe teot omen ica e Transformada de Laplace LAU lie Me Mae cieey Transformada de Algumas Funcoes Comuns Funcao rampa No dominio do tempo No dominio da frequéncia A t 0 parat 0 Xs 52 x At parat0 e Forma de onda ee I I I 1 1 1 I t 1 Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont elon MMe Tog Lool Teoremas e propriedades etoc oa Cente Transformada de Laplace Fung6es de transferéncia Transformada de Algumas Funcoes Comuns Funcao senoidal No dominio do tempo No dominio da frequéncia Aw 0 para t 0 Xs 35 xt ore Asenwt parat0 Forma de onda A t A Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a z NAS elon MMe Tog Lool ee ENR teeta Ese fol Weer tolls eRe teot omen ica e Transformada de Laplace Fung6es de transferéncia Transformada de Algumas Funcoes Comuns Funcao cossenoidal No dominio do tempo No dominio da frequéncia As Xs 3G at 0 parat 0 s2 4 we Acoswt parat 0 Forma de onda A t A Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a z NAS Definicoes basicas Sistemas de controle Funcoes Transformada de Laplace Conceitos e transformacoes Teoremas e propriedades Solucao de equacoes diferenciais Funcoes de transferˆencia Transformada Inversa Supondo que Xs tenha a forma geral Xs Ns Ds 27 Ns sao os zeros de Xs Xs 0 Ds sao os polos de Xs Xs Podese decompor em fracoes parciais para subdividir Xs em termos simples cuja transformada de Laplace e encontrada em tabelas Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont elon MMe Tog Lool Teoremas e propriedades etoc oa Cente Transformada de Laplace Fung6es de transferéncia Polos Simples e Se Xs tiver apenas polos simples entao Ds se torna um produto de fatores N 8 Xs eC 28 s pis p2 8 Pn Seo grau de Ns for menor que Ds empregase a expansdo de fragdes parciais para decompor Xs ky 1 kn Xs 29 s Sttpi spe2 SDPn 29 ky ko ky sAo os residuos de Xs e O Método de Heaviside pode ser empregado para determinar os residuos fazendo ki s piFs 30 Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont Definicoes basicas Sistemas de controle Funcoes Transformada de Laplace Conceitos e transformacoes Teoremas e propriedades Solucao de equacoes diferenciais Funcoes de transferˆencia Polos Simples Tambem podese utilizar o metodo algebrico no qual multiplicase ambos os lados da igualdade pelo denominador da funcao Ds Ns Ds k1 s p1 k2 s p2 kn s pn 31 Exemplo 2 Determine a transformada de Laplace inversa para Fs s2 12 s s 2 s 3 32 empregando o metodo de Heaviside e o metodo algebrico Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Definicoes basicas Sistemas de controle Funcoes Transformada de Laplace Conceitos e transformacoes Teoremas e propriedades Solucao de equacoes diferenciais Funcoes de transferˆencia Polos Repetidos Se Xs tiver n polos repetidos em s p podese representar Xs como Xs kn s pn kn1 s pn1 k2 s p2 k1 s p X1s 33 A expansao em fracoes parciais pode ser significativamente simplificada se empregado o metodo algebrico Exemplo 3 Determine a transformada de Laplace inversa para Fs 10s2 4 ss 1s 22 34 Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Definicoes basicas Sistemas de controle Funcoes Transformada de Laplace Conceitos e transformacoes Teoremas e propriedades Solucao de equacoes diferenciais Funcoes de transferˆencia Polos Complexos Quando simples empregase o metodo dos polos simples reais Quando repetidos empregase o metodo dos polos repetidos reais Raızes complexas sempre aparecem em pares conjugados e os coeficientes associados ao par tambem sao conjugados Somente metade dos pares precisa ser avaliado Sugerese o uso do metodo algebrico e o metodo de completar quadrados para determinar a transformada inversa Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Definicoes basicas Sistemas de controle Funcoes Transformada de Laplace Conceitos e transformacoes Teoremas e propriedades Solucao de equacoes diferenciais Funcoes de transferˆencia Metodo de Completar Quadrados Expressa cada par de polos complexos em Ds como um quadrado completo Dada a funcao Xs A1s A2 s2 as b X1s 35 Completando o quadrado s2 as b s2 2αs α2 β2 s α2 β2 36 E substituindo tambem A1s A2 A1 s α B1β 37 Temse entao Xs A1 s α s α2 β2 B1β s α2 β2 X1s 38 Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont elon MMe Tog Lool Teoremas e propriedades etoc oa Cente Transformada de Laplace Fung6es de transferéncia Método de Completar Quadrados e A partir da tabela de transformadas at A e cos Bt Bye sen 8t ut rit 39 Podendo ser reescrita como Acos wt Bsen wt C cos wt 6 40 e Sendo B CA24 B 6tg 1 3 41 Exemplo 4 Determine a transformada inversa para 20 Xs 42 s s 3 s 85 25 42 Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont Definicoes basicas Sistemas de controle Funcoes Transformada de Laplace Conceitos e transformacoes Teoremas e propriedades Solucao de equacoes diferenciais Funcoes de transferˆencia Teoremas e Propriedades A transformada de Laplace possui algumas propriedades que por vezes podem ser empregadas para simplificar a analise e resolucao Deslocamento no tempo Deslocamento na frequˆencia Diferenciacao no tempo Diferenciacao na frequˆencia Integracao Os teoremas tambem permitem obter informacoes importantes acerca do comportamento em regime permanente Teorema do valor inicial Teorema do valor final Os mais relevantes para o estudo de sistemas de controle sao apresentados a seguir Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Definicoes basicas Sistemas de controle Funcoes Transformada de Laplace Conceitos e transformacoes Teoremas e propriedades Solucao de equacoes diferenciais Funcoes de transferˆencia Deslocamento no tempo A propriedade de deslocamento define que para um sinal xtut Xs 43 para t0 0 x t t0 u t t0 Xs est0 44 Exemplo 5 Determine a transformada de Laplace de xt para o sinal abaixo 1 2 3 4 1 1 t xt 1 2 3 4 1 1 t x1t 1 2 3 4 1 1 t x2t Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Sol eli ne MoM eT od Leola Teoremas e propriedades etoc oa Create Transformada de Laplace Fung6es de transferéncia Diferenciacao no Tempo e Dado que Xs é a transformada de Laplace de xt a transformada de Laplace de sua derivada é dx dx Lut e dt 45 suo f S 45 e Ou simplesmente Llat sXs 07 46 e A transformada de Laplace da segunda derivada de ft é uma aplicacao repetida resultando em Lia t sXs sa0 07 47 e Para a nésima derivada temse da on n1 on29 0n1 q L qe 8 Xssa0 8 a0 8 a 0 48 Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont Sol eli ne MoM eT od Leola Teoremas e propriedades etoc oa Create Transformada de Laplace Fung6es de transferéncia Integracao e Se Xs for a transformada de Laplace de xt a transformada de Laplace de sua integral sera 1 L at dt ss 49 0 o Exemplo se ft ut Fs 1se c reyae c4 2 50 x x 0 ss 8 Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a DAG Sol eli ne MoM eT od Leola Teoremas e propriedades etoc oa Create Transformada de Laplace Fung6es de transferéncia Teorema do Valor Inicial Permite encontrar o valor inicial de s0 de st diretamente a partir de sua transformada de Laplace Xs e A partir da propriedade da diferenciacao dx dx sXs 20 e dt 51 0 058 fF 51 e Fazendo s ov 0 integrador desaparece em razdo do fator exponencial de amortecimento e a equaao tornase lim sXs x0 0 52 SOO Uma vez que x0 é independente de s podese escrever x0 lim sXs 53 SOO Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont Sol eli ne MoM eT od Leola Teoremas e propriedades etoc oa Create Transformada de Laplace Fung6es de transferéncia Teorema do Valor Final e Novamente a partir da propriedade da diferenciacao dx dx sXs 20 e dt 54 e 0F S 54 e Fazendo s 0 temse limsXs 207 de ot at dx 0c 20 55 s0 0 dt 0 e De onde se tem a definicao xoo lim sXs 56 co lim sXs 56 e O teorema do valor final ndo tem sentido para sistemas instaveis ou marginalmente estaveis Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont Definicoes basicas Sistemas de controle Funcoes Transformada de Laplace Conceitos e transformacoes Teoremas e propriedades Solucao de equacoes diferenciais Funcoes de transferˆencia Teorema do Valor Final e Inicial Exemplo 6 Determine os valores iniciais e finais para os pares de transformada abaixo xt e2t cos 10t ut Xs s 2 s 22 102 57 xt e2t sen5tut Xs 5 s 22 52 58 xt sentut Xs 1 s2 1 59 Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Definicoes basicas Sistemas de controle Funcoes Transformada de Laplace Conceitos e transformacoes Teoremas e propriedades Solucao de equacoes diferenciais Funcoes de transferˆencia Solucao de Equacoes Diferenciais Nos metodos tradicionais de solucao de equacoes diferenciais devese determinar as constantes de integracao por meio das condicoes iniciais Na transformada de Laplace as condicoes iniciais sao automaticamente incluıdas Dada uma equacao diferencial para obter sua transformada de Laplace aplicase a propriedade da diferenciacao no tempo Com condicoes iniciais nulas basta substituir os termos derivativos por s como d dt s d2 dt2 s2 e assim sucessivamente Comumente utilizase a convencao do ponto sobre a variavel para representar sua derivada em relacao ao tempo x dx dt Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Definicoes basicas Sistemas de controle Funcoes Transformada de Laplace Conceitos e transformacoes Teoremas e propriedades Solucao de equacoes diferenciais Funcoes de transferˆencia Solucao de Equacoes Diferenciais Dada uma equacao diferencial linear e invariante no tempo o processo de solucao segue as seguintes etapas 1 Determinase a transformada de Laplace de cada termo individual transformando uma equacao diferencial em uma equacao algebrica empregando a propriedade da diferenciacao 2 Manipulase a expressao algebrica resultante substituindo as condicoes iniciais e isolandose a variavel dependente 3 Determinada essa expressao aplicase a transformada inversa e obtemse a solucao da equacao diferencial Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Definicoes basicas Sistemas de controle Funcoes Transformada de Laplace Conceitos e transformacoes Teoremas e propriedades Solucao de equacoes diferenciais Funcoes de transferˆencia Solucao de Equacoes Diferenciais Exemplo 7 Determine a solucao para xt da equacao diferencial xt 3 xt 2xt 0 60 sendo x0 a e x0 b Exemplo 8 Dado que x0 2 e x0 4 resolva xt 5 xt 6xt 10 et ut 61 Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Sol eli ne MoM eT od Leola Teoremas e propriedades etoc oa Cente Transformada de Laplace LM reco T cE nN an Ls Funcoes de Transferéncia Sao a base da teoria de controle classico Relaciona a transformada de Laplace da saida fundo resposta e a transformada de Laplace da entrada fundo excitaao considerando nulas todas as condic6es iniciais entrada Funcdo de transferéncia Gs lentracal 62 sai a condiées iniciais nulas Relaciona apenas uma saida a uma entrada sistema SISO e A fungao de transferéncia 6 uma propriedade do sistema Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont Definicoes basicas Sistemas de controle Funcoes Transformada de Laplace Conceitos e transformacoes Teoremas e propriedades Solucao de equacoes diferenciais Funcoes de transferˆencia Funcoes de Transferˆencia Podese representar um sistema dinˆamico em termos de expressoes algebricas no domınio da frequˆencia Nao fornece nem necessita informacoes acerca da construcao fısica do sistema Sistemas fısicos significativamente distintos podem possuir a mesma funcao de transferˆencia Conhecendo a funcao de transferˆencia sua resposta pode ser determinada para diferentes sinais de entrada A funcao de transferˆencia pode ser obtida experimentalmente aplicando sinais conhecidos a entrada e avaliando sua resposta Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Sol eli ne MoM eT od Leola Teoremas e propriedades etoc oa Cente Transformada de Laplace LM reco T cE Funcoes de Transferéncia Considere a equacao diferencial dyt dtyt dyt ag ay An1 anyt 0 Gyn 1 Gynt n1 dt anyt d xt d1txt dxt bop b1 bm1 bm xt 63 0 dt Oy dtm1 m1 dt Om e Com n m xt a entrada e yt a saida e Aplicando a transformada de Laplace temse a0s as An18 an Ys 05 b87 1 4amist bm Xs 64 Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a DAG Definicoes basicas Sistemas de controle Funcoes Transformada de Laplace Conceitos e transformacoes Teoremas e propriedades Solucao de equacoes diferenciais Funcoes de transferˆencia Funcoes de Transferˆencia A relacao da saıda com a entrada na forma de funcao de transferˆencia resulta em Gs Y s Xs b0sm b1sm1 am1s bm a0sn a1sn1 an1s an 65 Definida como uma funcao de transferˆencia de um sistema de ordem n Sua representacao entrada e saıda pode ser feita como Xs Gs Y s Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont olen Mee Lely Seneca Caen Geert he enets Transformada de Laplace LM reco T cE Funcoes de Transferéncia Formas de Representacao Em funcao das frequéncias forma padrdo c Wy Hs K324 66 8 Wp Em funcao das constantes de tempo com T 1w Ts 1 Hs x lst 67 Tps 1 Zeropologanho zpk Hs Kop t 2 sendo Kank KX 68 s wp Wp As formas padrao evidenciam o ganho CC w 0 Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a z NAS Definicoes basicas Sistemas de controle Funcoes Transformada de Laplace Conceitos e transformacoes Teoremas e propriedades Solucao de equacoes diferenciais Funcoes de transferˆencia Funcoes de Transferˆencia Formas de Representacao Exemplo 9 Dada a funcao de transferˆencia Hs 50s 500 s2 25s 100 69 que descreve o comportamento de um determinado sistema apresente a representacao na forma padrao em funcao das frequˆencias das constantes de tempo e no formato zeropologanho Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont