Modelagem de Sistemas Dinâmicos: Teoria e Aplicações

Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Controle de Sistemas Dinˆamicos Modulo 2 Modelagem Matematica Fabrıcio Hoff Dupont Universidade Comunitaria da Regiao de Chapeco Unochapeco Curso de Engenharia Mecˆanica II Semestre 2022 Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Sumario do Modulo 1 Modelagem de sistemas mecˆanicos Sistemas de translacao Sistemas de rotacao 2 Modelagem de sistemas eletricos Elementos de circuitos eletricos Regras auxiliares Sistemas eletromecˆanicos Motor CC 3 Linearizacao de modelos nao lineares 4 Representacao de sistemas Diagramas de blocos Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Sistemas de translacao Sistemas de rotacao Modelagem de Sistemas Dinˆamicos Sistema estatico a saıda atual depende somente da entrada atual Sistema dinˆamico a saıda depende da entrada atual e do historico das entradas anteriores Em um sistema dinˆamico a saıda varia se ela nao estiver em um ponto de equilıbrio mesmo com uma entrada nula resposta natural O modelo matematico de um sistema dinˆamico e um conjunto de equacoes que descrevem seu comportamento Ao modelar qualquer sistema devese fazer um compromisso entre simplicidade e precisao O objetivo geral e buscar um modelo adequado para o problema e em geral os resultados serao validos apenas para a condicao em que o sistema e modelado Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Sistemas de translacao Sistemas de rotacao Modelagem de Sistemas Dinˆamicos Se o efeito de alguma variavel sobre a resposta do sistema for pequeno e possıvel simplificar o modelo e ainda assim manter boa correlacao com a resposta real Em geral os sistemas fısicos sao nao lineares o que requer um tratamento mais complexo Aproximacoes e tecnicas de linearizacao sao frequentemente empregadas tornando o modelo valido apenas para uma certa regiaocondicao de operacao A obtencao dos modelos e baseada nas leis que regem determinado sistema Sistemas mecˆanicos leis de Newton Sistemas eletricos leis de Kirchoff Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Sistemas de translacao Sistemas de rotacao Modelagem de Sistemas Dinˆamicos Modelos dinˆamicos sao comumente escritos em termos de uma ou mais equacoes diferenciais Modelagens diretamente no domınio da frequˆencia empregando a transformada de Laplace tambem sao possıveis e geralmente simplificam o processo Os sistemas a seguir serao assumidos como invariantes no tempo logo a dependˆencia temporal das expressoes sera omitida para simplificar a notacao Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecanicos Sistemas de translacao Sistemas de rotaao Sistemas de Translacdo A segunda lei de Newton aplicada aos sistemas de translacao define Fma 1 e Sendo e F soma vetorial de todas as foras aplicadas em um corpo em N m a massa do corpo em kg a a aceleracdo vetorial do corpo com relacao a um referencial inercial em ms Lembrando que a aceleraao pode ser escrita em fundo da velocidade v ou da posiao x a0 2 va 3 Podese reescrever 1 como s FPmi 4 Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Sistemas de translacao Sistemas de rotacao Elemento de Inercia Massa Assumese que a massa e rıgida o que implica em nao haver deslocamento da parte direita em relacao a esquerda m x F Da segunda lei de Newton temse F ma m dv dt m d2x dt2 5 Sendo a a aceleracao v a velocidade e x o deslocamento Assumindo que o sistema e invariante no tempo podese escrever F ma mv mx 6 Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Sistemas de translacao Sistemas de rotacao Elemento de Rigidez Mola Armazena energia por causa da deformacao ou a mudanca de forma A lei de Hooke estabelece que a forca necessaria para estender ou comprimir uma mola e proporcional ao seu deslocamento x k F A forca necessaria para produzir o deslocamento x e F kx 7 Sendo k a constante de elasticidade da mola Nm Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Sistemas de translacao Sistemas de rotacao Elemento de Rigidez Mola Quando ambas as extremidades puderem ser deformadas sua simbologia generica pode ser representada como x1 x2 k F A deformacao e diretamente proporcional ao deslocamento relativo entre as extremidades F k x2 x1 8 Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Sistemas de translacao Sistemas de rotacao Elemento de Atrito Amortecedor Dissipa energia em razao de seu movimento O amortecedor e um cilindro com fluido em seu interior e possui um pistao e uma haste A velocidade absoluta do pistaohaste e x2 e a do cilindro x1 x1 x2 Fluido viscoso F A forca do amortecedor depende da velocidade relativa entre o pistaohaste e o cilindro Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Sistemas de translacao Sistemas de rotacao Elemento de Atrito Amortecedor Sua simbologia generica pode ser representada como x1 x2 b F Assumindo uma relacao linear entre a forca resistiva e o movimento relativo podese definir F b x2 x1 b v2 v1 9 Sendo b a constante de amortecimento N sm v1 e v2 a velocidade relativa aos deslocamentos x1 e x2 respectivamente Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Sistemas de translacao Sistemas de rotacao Transformador Mecˆanico Alavanca Transformam entradas de movimento ou forca Em sistemas de translacao sao realizados atraves de alavancas Alavancas ideais sao rıgidas nao possuem nem inercia nem atrito e nao armazenam ou dissipam energia F1 F2 L1 L2 θ Os deslocamentos verticais sao L1 sen θ e L2 sen θ Para ˆangulos pequenos de rotacao sen θ θ Os deslocamentos podem ser reescritos como L1θ e L2θ Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Sistemas de translacao Sistemas de rotacao Transformador Mecˆanico Alavanca Como a alavanca nao tem inercia os momentos devem ser iguais F1L1 cos θ F2L2 cos θ 10 Para ˆangulos pequenos podese aproximar cos θ 1 resultando em F1L1 F2L2 11 Se F1 e a forca de entrada a forca de saıda e F2 F1L1L2 F2 F1n 12 Sendo n a relacao de transformacao dada por n L1 L2 13 Assim se L1 L2 F2 F1 Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Sistemas de translacao Sistemas de rotacao Modelagem Dinˆamica de Sistemas de Translacao O modelo matematico de sistemas mecˆanicos de translacao pode ser obtido a partir dos seguintes passos 1 Desenhe um diagrama de corpo livre DCL para cada elemento de inercia com setas representando as forcas externas atuando em cada massa 2 Utilize a terceira lei de Newton para mostrar as forcas de reacao iguais e opostas nos elementos de inercia interconectados 3 Escreva as equacoes para cada forca usando a lei do elemento apropriada e as convencoes positivas para as variaveis de deslocamento 4 Aplique a segunda lei de Newton para cada elemento inercia para obter o modelo matematico do sistema completo Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Sistemas de translacao Sistemas de rotacao Modelagem Dinˆamica de Sistemas de Translacao Exemplo 1 Um sistema atuador por solenoide de alta velocidade e valvula e ilustrado abaixo Desenvolva o modelo matematico desse sistema mecˆanico Considere todos os elementos como ideais Entrada eletrica Posicao inicial Bobina Entreferro Fonte de pressao Dreno Mola de retorno Fluxo de fluido Valvula carretel Haste de conexao Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Sistemas de translacao Sistemas de rotacao Modelagem Dinˆamica de Sistemas de Translacao A descricao esquematica do sistema atuador solenoidevalvula do Exemplo 1 pode ser feita como ilustrado abaixo m k b Forca eletromagnetica Fem x Armadura valvula Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Sistemas de translacao Sistemas de rotacao Modelagem Dinˆamica de Sistemas de Translacao Exemplo 2 Escreva as equacoes dinˆamicas diferenciais e obtenha a funcao de transferˆencia de um automovel assumindo que cada roda tenha um movimento unidimensional vertical e suporte um quarto da massa do carro Um sistema que consiste em uma das quatro suspensoes nas rodas e normalmente referido como modelo de um quarto de carro Suponha que o modelo corresponda a um carro com massa de 1580 kg incluindo as quatro rodas que tˆem uma massa de 20 kg cada Apos ensaios determinouse que ks 130 kNm kw 1000 kNm e b 98 kN sm Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Sistemas de translacao Sistemas de rotacao Modelagem Dinˆamica de Sistemas de Translacao Modelo de um quarto do carro referente ao Exemplo 2 Superfıcie da estrada Referencial inercial r m1 m2 kw ks b x y vcarro Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Sistemas de translacao Sistemas de rotacao Sistemas de Rotacao A segunda lei de Newton aplicada aos sistemas de rotacao define M Jα 14 Sendo M a soma de todos os momentos externos sobre o centro de massa do corpo em N m J momento de inercia da massa do corpo em seu centro de massa em kg m2 α aceleracao angular do corpo em rads2 Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Sistemas de translacao Sistemas de rotacao Elementos de Inercia Momento de Inercia J T θ Modelada como T Jα J dω dt J d2θ dt2 15 Ou tambem T J θ 16 Sendo ω a velocidade angular em rads e θ o deslocamento angular posicao do eixo Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Sistemas de translacao Sistemas de rotacao Elemento de Rigidez Mola Sistemas mecˆanicos que apresentam uma relacao entre um torque aplicado e o deslocamento possuem rigidez Um eixo submetido a torcao com uma das extremidades fixadas e a outra livre pode ser modelada como T kθ 17 Sendo k a constante de rigidez torcional ou constante de elasticidade N mrad θ T k Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Sistemas de translacao Sistemas de rotacao Elemento de Rigidez Mola Quando ambas as extremidades eo eixo estao livres para girar temse k T θ2 θ1 O torque depende do deslocamento angular relativo θ2 θ1 O elemento de rigidez mola pode ser modelado como T k θ2 θ1 18 Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecanicos Seems Mae ctecte Sistemas de rotaado Elemento de Atrito Amortecedor Amortecedores torcionais oferecem torque de amortecimento proporcional a velocidade relativa 02 6 b 4 62 Tr e Pode ser modelado como Tb 4 6x 19 Sendo 6 0 coeficiente de atrito viscoso rotacional N msrad Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a DAG Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Sistemas de translacao Sistemas de rotacao Transformador Mecˆanico Engrenagens Conjuntos de engrenagens podem ser utilizados para aumentar a velocidade angular ou torque do eixo de entrada para o eixo da saıda Engrenagens ideais possuem inercia zero dentes que se encaixam perfeitamente e toda a energia e transmitida do eixo de entrada para a saıda ω2 T2 Eixo de saıda ω1 T1 Eixo de entrada Engrenagem 1 com raio r1 e N1 dentes Engrenagem 2 com raio r2 e N2 dentes Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Sistemas de translacao Sistemas de rotacao Transformador Mecˆanico Engrenagens Como os dentes se encaixam perfeitamente a razao dos raios e igual a razao do numero de dentes r2 r1 N2 N1 n 20 Sendo n a chamada relacao de transmissao Sabendo que a velocidade no ponto de contato e a mesma r1ω1 r2ω2 ω1 ω2 r2 r1 n 21 Se n 1 o raio de entrada e menor e a velocidade de saıda e menor que a de entrada e o conjunto de engrenagem e um redutor de velocidade Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Sistemas de translacao Sistemas de rotacao Modelagem Dinˆamica de Sistemas de Rotacao Como o sistema e conservativo a energia e transmitida sem perdas A razao entre os torques de entrada e saıda e dada por T1 T2 ω2 ω1 22 Quando a engrenagem e redutora de velocidade o torque de saıda e maior que o de entrada Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Sistemas de translacao Sistemas de rotacao Modelagem Dinˆamica de Sistemas de Rotacao O modelo matematico de sistemas mecˆanicos de rotacao pode ser obtido de forma muito similar aos sistemas de translacao 1 Desenhe um diagrama de corpo livre DCL para cada elemento de inercia com setas representando os torques externos atuando em cada momento de inercia 2 Utilize a terceira lei de Newton para mostrar os torques de reacao iguais e opostos 3 Escreva as equacoes para cada forca usando a lei do elemento apropriada e as convencoes positivas para as variaveis de deslocamento angular 4 Aplique a segunda lei de Newton para cada elemento inercia para obter o modelo matematico do sistema completo Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Sistemas de translacao Sistemas de rotacao Modelagem Dinˆamica de Sistemas de Rotacao Exemplo 3 Obtenha o modelo dinˆamico para o sistema mecˆanico rotacional ilustrado abaixo Determine a funcao de transferˆencia ωsTs bem como a expressao da velocidade angular para um degrau unitario de torque b J ω T Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Sistemas de translacao Sistemas de rotacao Modelagem Dinˆamica de Sistemas de Rotacao Exemplo 4 O sistema abaixo e um exemplo de relogios de pˆendulo O momento de inercia do pˆendulo e representado por J a friccao entre o pˆendulo e o ar e representada por b e a elasticidade e representada por k Determine a funcao de transferˆencia θsTs k J θ T b Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Elementos de circuitos eletricos Regras auxiliares Sistemas eletromecˆanicos Motor CC Modelagem de Sistemas Eletricos Baseiase na aplicacao das leis de Kirchhoff para circuitos eletricos Lei de Kirchoff das Correntes LKC define que a soma algebrica das correntes que entram ou saem de um no e zero ou que a soma das correntes que entram em um no e igual a soma das correntes que saem deste no Lei de Kirchhoff das Tensoes LKT define que a soma algebrica das tensoes ao redor de um caminho fechado de um circuito eletrico e zero ou que a soma das quedas de tensao e igual a soma das elevacoes de tensao em um caminho fechado Por sua vez baseiamse na lei de Ohm a qual define que a tensao V e diretamente proporcional ao produto da corrente I que atravessa um determinado elemento de resistividade R ou impedˆancia Z V IR IZ 23 Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Elementos de circuitos eletricos Regras auxiliares Sistemas eletromecˆanicos Motor CC Resistores Representacao de circuito R vt it A relacao tensaocorrente e dada por vt Rit 24 Aplicando a transformada de Laplace V s RIs 25 Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Elementos de circuitos eletricos Regras auxiliares Sistemas eletromecˆanicos Motor CC Indutores Representacao do circuito L vt it A relacao tensaocorrente e dada por vt L dit dt 26 Aplicando a transformada de Laplace e desprezando as condicoes iniciais V s LIss 27 Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Elementos de circuitos elétricos WV CE Cum ES ceeas etter ICs eee eg Sistemas eletromecdnicos Motor CC Capacitores e Representacao do circuito C ut j vt A relacdo tensdocorrente é dada por dvt it C ot fiw dt Cvt 28 Aplicando a transformada de Laplace e desprezando as condides iniciais 1 Is CVss Vs Gels 29 Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a z NAS Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Elementos de circuitos eletricos Regras auxiliares Sistemas eletromecˆanicos Motor CC Modelagem de Sistemas Eletricos Exemplo 5 Considerando o circuito abaixo determine a funcao de transferˆencia VosVis L R C vit vot I1t Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Elementos de circuitos eletricos Regras auxiliares Sistemas eletromecˆanicos Motor CC Modelagem de Sistemas Eletricos Ao inves de se utilizar o elemento eletrico podese empregar o conceito de impedˆancia complexa Elemento Impedˆancia caracterıstica Z R R L sL C 1 sC A manipulacao dos elementos e analoga a um circuito puramente resistivo Podese empregar as regras e teoremas basicos para a determinacao das funcoes de transferˆencia Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Elementos de circuitos eletricos Regras auxiliares Sistemas eletromecˆanicos Motor CC Regras Auxiliares Impedˆancias em Serie Representacao eletrica I Z1 Z2 Zn Zeq A corrente I e a mesma em todos os componentes A impedˆancia equivalente e dada pela soma das impedˆancias no caminho da corrente Zeq Z1 Z2 Zn 30 Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Elementos de circuitos eletricos Regras auxiliares Sistemas eletromecˆanicos Motor CC Regras Auxiliares Impedˆancias em Paralelo Representacao eletrica Zn Z1 Z2 V Zeq A tensao V e a mesma em todos os componentes A impedˆancia equivalente e dada pelo inverso da soma dos inversos 1 Zeq 1 Z1 1 Z1 1 Zn 31 Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Elementos de circuitos eletricos Regras auxiliares Sistemas eletromecˆanicos Motor CC Regras Auxiliares Divisor de Tensao Circuito VT I Z1 V1 Z2 V2 A corrente I e a mesma nos componentes A tensao em cada componente e V1 Z1 Z1 Z2 VT V2 Z2 Z1 Z2 VT 32 Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Elementos de circuitos eletricos Regras auxiliares Sistemas eletromecˆanicos Motor CC Regras Auxiliares Divisor de Corrente Circuito VT IT Z2 I2 Z1 I1 A tensao V s e a mesma sobre os componentes A corrente em cada componente e I1 Z2 Z1 Z2 IT I2 Z1 Z1 Z2 IT 33 Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Elementos de circuitos eletricos Regras auxiliares Sistemas eletromecˆanicos Motor CC Modelagem de Sistemas Eletricos Exemplo 6 Determine a funcao de transferˆencia V2sV1s para o circuito abaixo R1 R2 C v1t v2t Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Elementos de circuitos eletricos Regras auxiliares Sistemas eletromecˆanicos Motor CC Modelagem de Sistemas Eletricos Exemplo 7 Determine a funcao de transferˆencia V2sV1s para o circuito abaixo R1 L R2 C v1t v2t Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Elementos de circuitos eletricos Regras auxiliares Sistemas eletromecˆanicos Motor CC Modelagem de Sistemas Eletricos Exemplo 8 Determine a funcao de transferˆencia vovi para o circuito abaixo vi R1 R2 vo C1 C2 Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Elementos de circuitos eletricos Regras auxiliares Sistemas eletromecˆanicos Motor CC Sistemas Eletromecˆanicos Utilizam a interacao entre uma corrente eletrica e um campo magnetico de modo a estabelecer uma forca mecˆanica As interacoes correntecampo magnetico sao descritas pelas leis de Faraday da inducao e a lei de Lorenz Relacoes basicas entre corrente e magnetismo 1 Uma corrente estabelece um campo magnetico 2 Um fio condutor com corrente em um campo magnetico possui uma forca exercida sobre ele 3 Um fio se movendo relativamente a um campo magnetico tera uma tensao induzida entre suas extremidades Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Elementos de circuitos eletricos Regras auxiliares Sistemas eletromecˆanicos Motor CC Sistemas Eletromecˆanicos Primeira relacao Um fio condutor percorrido por uma corrente eletrica estabelece um campo magnetico Campo magnetico B Corrente I A lei de BiotSavart descreve o campo magnetico B sendo que as linhas de campo seguem a regra da mao direita Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Elementos de circuitos eletricos Regras auxiliares Sistemas eletromecˆanicos Motor CC Sistemas Eletromecˆanicos Segunda relacao Um fio condutor quando percorrido por uma corrente eletrica e submetido a um campo magnetico externo sofre a acao de uma forca S N Forca F Corrente Iℓ Campo magnetico B A forca induzida segue a regra da mao direita Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Elementos de circuitos eletricos Regras auxiliares Sistemas eletromecˆanicos Motor CC Sistemas Eletromecˆanicos A forca induzida sobre o fio e dada pelo produto vetorial F Iℓ B 34 Sendo ℓ um vetor na direcao ao longo do fio e modulo igual ao comprimento desse fio A forca F e perpendicular aos vetores B e ℓ Se o fio estacionario e perpendicular ao campo magnetico o modulo da forca e F BℓI 35 Sendo ℓ o comprimento do fio no campo e B e a densidade de fluxo magnetico dado em Wbm2 ou T Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Elementos de circuitos eletricos Regras auxiliares Sistemas eletromecˆanicos Motor CC Sistemas Eletromecˆanicos Terceira relacao Um fio condutor em movimento submetido a um campo magnetico sofrera uma inducao de tensao entre suas extremidades S N Velocidade u Campo magnetico B vc Forca contraeletromotriz Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Elementos de circuitos elétricos Modelagem de sistemas elétricos eee Cera eyo Sistemas eletromecdnicos Motor CC nr Sistemas Eletromecdanicos e A tensdo induzida no fio é dada por Ue a x B 2 36 e Sendo it o vetor velocidade do fio e u x B estabelece o sentido da polaridade positiva da tensdo induzida ou o sentido da corrente causada pela tensdo induzida e A interacao entre velocidade e campo magnético induz uma tensao Ue Cuja polaridade se opGe ao vetor de corrente que originalmente estabeleceu a forca induzida F Por essa razdo a tensdo induzida uv 6 comumente chamada de forca contraeletromotriz fcem Seo fio é perpendicular ao campo magnético podese empregar Ue Blu 37 Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Elementos de circuitos eletricos Regras auxiliares Sistemas eletromecˆanicos Motor CC Motor CC Converte energia eletrica em mecˆanica Estator e armadura de um motor CC simples com ımas permanentes N S Estator ima Eixo do rotor Campo magnetico B Armadura Rotor com enrolamentos θ ˆAngulo do rotor O estator pode ser formado por um eletroıma produzido por enrolamentos de campo em torno de um nucleo de ferro conectado a uma fonte auxiliar de tensao Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Elementos de circuitos eletricos Regras auxiliares Sistemas eletromecˆanicos Motor CC Motor CC Sem perda de generalidade assuma que o eletroıma da parte superior transporta corrente no sentido entrando na tela e o inferior no sentido saindo da tela As linhas de campo magnetico permanecem perpendiculares aos enrolamentos da armadura O produto vetorial resulta em uma forca induzida que e tangencial a superfıcie do rotor e no sentido indicado por θ O torque total e o produto da soma das forcas induzidas em cada fio e o braco de alavanca raio do rotor Tm Fr BℓIr 38 Sendo r o raio do rotor e ℓ o comprimento total dos enrolamentos imersos no campo magnetico radial Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Elementos de circuitos eletricos Regras auxiliares Sistemas eletromecˆanicos Motor CC Motor CC Se o fluxo magnetico e constante os termos Bℓr podem ser concentrados na constante de torque do motor Km Bℓr 39 Que permite reescrever Tm KmI 40 Um torque positivo produz um movimento rotacional positivo fazendo com que os enrolamentos da armadura se movam em relacao ao campo magnetico O movimento resulta na tensao contraeletromotriz que se opoe a corrente de armadura A tensao induzida e vc Bℓu Bℓr θ 41 Sendo θ a velocidade angular do rotor Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Elementos de circuitos eletricos Regras auxiliares Sistemas eletromecˆanicos Motor CC Motor CC Se o campo magnetico e constante os termos Bℓr podem ser novamente concentrados na constante de contrafem ou constante de forca contraeletromotriz Kc Bℓr 42 Que e igual a Km e permite escrever vc Kc θ 43 Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Elementos de circuitos eletricos Regras auxiliares Sistemas eletromecˆanicos Motor CC Motor CC Diagrama esquematico de um motor CC representando os circuitos de armadura e campo alem da parte mecˆanica va La Ra vc Ia Circuito da armadura Lf vf Rf Circuito de campo J ω Tm Atrito viscoso b Rotor ˆAngulo do rotor θ Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Elementos de circuitos eletricos Regras auxiliares Sistemas eletromecˆanicos Motor CC Motor CC Aplicando a lei de Kirchhoff para as tensoes vL vR vc va 0 44 Substituindo vL La Ia 45 vR RaIa 46 vc Kc θ 47 Permite obter a equacao da parte eletrica do motor CC La Ia RaIa Kc θ va 48 Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Elementos de circuitos elétricos Modelagem de sistemas elétricos eee eee reer SSM ieee cle Ta eer Motor CC Motor CC e Diagrama de corpo livre para o rotor da armadura de um motor CC Torque motor Tm Kmla oN o Torque de atrito C bé Torque de carga To e Aplicando a segunda lei de Newton S oT Kmla To 06 JO 49 Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a DNA Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Elementos de circuitos eletricos Regras auxiliares Sistemas eletromecˆanicos Motor CC Motor CC O modelo completo do motor CC consiste no sistema eletrico e mecˆanico La Ia RaIa va Kb θ 50 J θ b θ KmIa TC 51 O lado direito de 50 demonstra que uma velocidade positiva cria uma tensao induzida negativa reduzindo a tensao lıquida no circuito O lado direito de 51 demonstra que uma corrente positiva produz um torque mecˆanico positivo e acelera o rotor Podese substituir a posicao do rotor por sua velocidade ω θ reduzindo a ordem do modelo La Ia RaIa va Kbω 52 J ω bω KmIa TC 53 Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Linearizacao de Modelos Nao Lineares Quase todos os sistemas fısicos reais apresentam algum tipo de nao linearidade resultando em uma funcao diferencial nao linear do tipo x f x u 54 Contudo nao ha uma teoria geral unificada para o tratamento de sistemas nao lineares e comumente devem ser empregados metodos numericos para sua solucao Existem uma serie de tecnicas e ferramentas matematicas para a solucao de sistemas lineares Um grande numero de tecnicas de controle sao definidas e bem conhecidas para a manipulacao de sistemas lineares controle classico Para a aplicacao destas tecnicas os sistemas devem ser modelados por equacoes diferenciais lineares e invariantes no tempo Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Linearizacao de Modelos Nao Lineares Linearizacao e um metodo para aproximar uma equacao ou modelo nao linear em linear no entorno de um ponto nominal Tipicamente baseiase na expansao em serie de Taylor em torno de um ponto de operacao ou referˆencia Nao linearidades comumente encontradas sao as funcoes trigonometricas exponenciais ou de potˆencia π π 2 θ π 2 π 1 fθ 1 Ponto nominal Funcao nao linear Funcao linearizada θ fθ Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Linearizacao de Modelos Nao Lineares Passos 1 passo Ponto de operacao Escolha um ponto de operacao nominal em torno do qual o sistema sera linearizado Pode ser uma condicao especificada por um problema ou um ponto de equilıbrio regime permanente do modelo nao linear Sera empregada a notacao x variaveis de estado nominais u entradas nominais Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Linearizacao de Modelos Nao Lineares Passos 2 passo Introducao de pequenas perturbacoes Empregando a convencao x x x para perturbacoes desvios no estado nominal x u u u para perturbacoes na entrada nominal u Redefinese as equacoes do modelo nao linear em termos das variaveis nominais e de perturbacao com relacao aos valores nominais Fazse x x x e u u u no modelo nao linear resultando em x x f x x u u 55 Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Linearizagao de modelos n4o lineares Linearizacao de Modelos Nao Lineares Passos 3 passo Expansado em séries de Taylor e Expanda as equacdes do modelo nao linear em uma série de Taylor em torno de eu Loe Of 1 f Of 1 f T2 f u a 5 5 Ut 57 UtD Ba US PC oe a aa Gul FO uz x UU 56 No equilibrio z f 7 u e esses termos se cancelam e Assumindo quez Zeu U podese desprezar os termos de ordem maior ou igual a 2 e Assim restam apenas os termos de primeira ordem e 0 sistema passa a ser representado por O oO t of E of u 57 Oz Ou Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont Linearizagao de modelos n4o lineares Linearizacao de Modelos Nao Lineares Note que 57 descreve apenas o comportamento do sistema para pequenas perturbades no entorno do ponto de equilibrio Por outro lado 7 f 7 uz descreve o comportamento do sistema até atingir a condicao de equilibrio Se for desejado estimar o comportamento completo do sistema devese empregar 55 e é Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont Linearizagao de modelos n4o lineares Linearizacao de Modelos Nao Lineares Exemplo 9 Determine o modelo de pequenos sinais para o péndulo ilustrado abaixo sabendo que a equacao diferencial que descreve o movimento é dada por 1 d0t sen At 58 a 00 58 Sendo a J comprimento do péndulo m massa do péndulo S e f forca que atua no péndulo g aceleracao da gravidade Fmg Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Diagramas de blocos Diagramas de Blocos Representa graficamente as funcoes desempenhadas pelos componentes e o fluxo de sinais dentro de um sistema Descreve o relacionamento entre os diversos componentes Seu elemento principal e o bloco funcional ou simplesmente Bloco Representa a operacao matematica aplicada ao sinal de entrada As setas representam a direcao unilateral de fluxo dos sinais Xs Gs Y s Funcao de transferˆencia Y s XsGs Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Diagramas de blocos RepresentacSo de sistemas Diagramas de Blocos e Pontos de soma definem como os sinais s40 somados ou subtraidos e Devese observar que os sinais devem ter as mesmas dimensoes e unidades a ab b Pontos de ramificacao sao pontos nos quais um sinal flui em direcdes diferentes Ys Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a DAG Diagramas de blocos Ce eeen eet sneer Diagrama de Blocos em Malha Fechada A saida é realimentada a um somador formando claramente um laco fechado e Frequentemente é necessdrio converter a variavel de saida para a mesma unidade do sinal de entrada Xs 0 que é realizado pelo bloco Hs e Na maioria das vezes esse bloco representa um sensor da variavel Ys cuja safda Bs possui a mesma grandeza da entrada Es Xs 5 Gs s Bs Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Diagramas de blocos Diagrama de Blocos em Malha Fechada Definicoes associadas a funcoes de transferˆencia em malha fechada Funcao de transferˆencia de malha aberta FTMA Bs Es GsHs 59 Funcao de transferˆencia direta FTD Y s Es Gs 60 Funcao de transferˆencia de malha fechada FTMF Y s Xs Gs 1 GsHs FTD 1 FTMF 61 Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Diagramas de blocos Algebra de Blocos Os elementos basicos de diagramas de blocos e consequentemente suas funcoes de transferˆencia podem ser facilmente manipulados As operacoes basicas consistem em Combinacao de blocos em serie e paralelo Movimentacao do ponto de soma Movimentacao do ponto de ramificacao Eliminacao de realimentacao Essas operacoes sao apenas possıveis gracas a linearidade dos sistemas Permitem simplificar diagramas de blocos mais complexos auxiliando posteriormente na analise e projeto de sistemas de controle No diagrama a seguir a dependˆencia em s e omitida por simplicidade e deve ser subentendida Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Diagramas de blocos Algebra de Blocos Combinacao de blocos em cascata Diagrama original A G1 G2 Y AG1 AG1G2 Diagrama equivalente A G1G2 Y AG1G2 Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Diagramas de blocos Algebra de Blocos Movimentacao de blocos em cascata Diagrama original A G1 G2 Y AG1 AG1G2 Diagrama equivalente A G2 G1 Y AG2 AG1G2 Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Diagramas de blocos RepresentacSo de sistemas sf Algebra de Blocos Movimentacao de pontos de soma e Diagrama original AB ABC A Y B C e Diagrama equivalente AC ACB A Y 4 C B Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a DNA Diagramas de blocos RepresentacSo de sistemas sf Algebra de Blocos Movimentacao de ponto de soma para frente de um bloco e Diagrama original AG AGB A G Y Lo e Diagrama equivalente B AW G AGB A G Y B Gi 1 B G Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a DNA Diagramas de blocos RepresentacSo de sistemas sf Algebra de Blocos Movimentacao de ponto de soma para depois de um bloco e Diagrama original AB ABG A G Y e Diagrama equivalente AG A BG A G Y BG B G Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a DNA Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Diagramas de blocos Algebra de Blocos Movimentacao de um ponto de ramificacao a direita de um bloco Diagrama original A A G Y AG Diagrama equivalente A A G Y 1 G AG Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Diagramas de blocos Algebra de Blocos Movimentacao de ponto de ramificacao a esquerda de um bloco Diagrama original A G Y Y AG Diagrama equivalente A G Y Y G AG AG Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Diagramas de blocos Ree en nen V4 Algebra de Blocos Eliminacao de realimentaao e Diagrama original A G Y e Diagrama equivalente A G Y 1GH Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a DNA Diagramas de blocos RepresentacSo de sistemas sf Algebra de Blocos Combinacao de blocos em paralelo e Diagrama original AGi AGi G2 A Gy Y AG e Diagrama equivalente AGi G2 A Gi Ge Y Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a DNA Diagramas de blocos RepresentacSo de sistemas a Algebra de Blocos Combinacao e deslocamento de blocos em paralelo Diagrama original AG AG Ga A Gy Y AG2 e Diagrama equivalente AG AGi G2 A Gy Y G2 AG2 Gi Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a DNA Diagramas de blocos RepresentacSo de sistemas sf Algebra de Blocos Deslocamento de pontos de soma e Diagrama original ABC A Y Bc B 4 Cc e Diagrama equivalente AB ABC A Y B C Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a DNA Modelagem de sistemas mecˆanicos Modelagem de sistemas eletricos Linearizacao de modelos nao lineares Representacao de sistemas Diagramas de blocos Algebra de Blocos O procedimento de simplificacao de diagramas de blocos deve seguir os seguinte passos 1 Deslocar pontos de soma e juncao 2 Permutar pontos de soma 3 Reduzir lacos de realimentacao Observe que a relacao entradasaıda ou seja sua funcao de transferˆencia devera sempre permanecer inalterada Controle de Sistemas Dinˆamicos Prof Dr Fabrıcio Hoff Dupont Diagramas de blocos een eon Gsncnte a Algebra de Blocos Exemplo 10 Determine a funcdo de transferéncia YsRs para sistema abaixo 4 1 R Y Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a DNA Diagramas de blocos Ce eeen eet sneer sf Algebra de Blocos Exemplo 11 Encontre a fundo de transferéncia para o sistema ilustrado abaixo Controle de Sistemas Dindmicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a DNA Diagramas de blocos Ce eeen eet sneer sf Algebra de Blocos e Em sistemas MIMO a linearidade permite analisar e obter fundes de transferéncia SISO Para isso devese equacionar a funcdo de transferéncia da saida pela entrada desejada fazendo com que as demais entradas sejam nulas Para um sistema com entradas Rj2n Saidas Y12m podese obter n x m funcées de transferéncia Yi Y2 Yin 0 0 eee 0 Ry Ron Ry Ron Ry Ro2n Yi Y2 Ym Ro 9 Re OR 0 21R1R3n 21R1R3n 21R1R3n Yi Y2 Yin Rn OR O OR O nm Ryn1 nm Ryn1 nm Ryn1 Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont Diagramas de blocos Ce eeen eet sneer sf Algebra de Blocos Exemplo 12 Obtenha as funcGes de transferéncia Y1R1 YoRe YiR2 e Y2Ri para o sistema abaixo a Controle de Sistemas Dinamicos Prof Dr Fabricio Hoff Dupont a NAO