Lista 1 - Módulo 3 - Cálculo 1 2020 1

Lista de Exercícios de Cálculo 1 Módulo 3 - Primeira Lista - 01/2020 1. Usando a integração por partes calcule as integrais abaixo. (a) ˆ (x − 1) sin(πx)dx (b) ˆ ln 3√xdx (c) ˆ arctan(4t)dt (d) ˆ p5 ln pdp (e) ˆ s2sds (f) ˆ e−θ cos(2θ)dθ (g) ˆ z3ezdz (h) ˆ x tan2 xdx (i) ˆ xe2x (1 + 2x)2 dx (j) ˆ √ 3 1 arctan(1/x)dx 2. Faça uma substituição e em seguida integre por partes. (a) ˆ cos √xdx (b) ˆ √π √ π/2 θ3 cos(θ2)dθ (c) ˆ π 0 ecos t sin(2t)dt (d) ˆ sin(ln x)dx 3. Mostre que para potências pares do seno vale ˆ π/2 0 sin2n xdx = 1 · 3 · 5 · · · · · (2n − 1) 2 · 4 · 6 · · · · · 2n π 2 . 4. Usando o método da substituição trigonométrica calcule as integrais abaixo. 1 d. (a) /—a (16 — x?)3/2 d. (b) |= x2 au? — 25 (c) [evo — «dx dx © | ap x7da © [wipe d. (f) lS Vu? —4r +8 dx (s) lS (1 _ r?)/2 (h) [eo ‘i [ 2Qdt i ae iia Vt + 4tvt 5. Usando o método das fracgoes parciais calcule as integrais abaixo. xr+4 ————d. (a) | wea “ dt b ee 0) | aos 2x+1 +d (c) le * dx d ne (d) lowes 8a? + 8a +2 —.——d (e) / (402412 ~ s*+81 f |e tf) s(s? +9)? 25 +2 ——————~d (s) / (s? + 1)(s — 1)8 ° Qe — Qa? +1 4.2 —1 (i) [oy yety 4 . x (j) /eae 6. Calcule 0 comprimento das seguintes curvas. (a) y= a+"! para x € [1,2] (b) y= ($)' + ghy para x € [1,4] (c) y= 42? — 4 Ina para x € [1, 2e| (d) y = Incosz para x € [0, 7/4] 2 (e) y=1—e™ para x € (0, 2] 7. Determine o volume da regiao gerada pela rotagao das fungoes dadas em torno do eixo especificado. (a) y=1-—<27, x € [-1,1] em torno do eixo x (b) y=sina, x € [0,7] em torno do eixo x (c) c=y—y’, y € [0,1] em torno do eixo y (d) a regiao entre y = 42? e y= 5 — 2? em torno do eixo « (e) a regiao entre as curvas y? = 2 e x = 2y em torno do eixo y 8. A curva y = f(x) que tem a seguinte propriedade: "a reta tangente ao ponto (x, y) sobre a curva tem inclinagao dy _ —Y ” dx 4/ 1 — y? é conhecida como tactriz. Considere no grafico a regiao R abaixo do grafico de y no intervalo 0 < x < a. Calcule, em termos da constante c = f(a), o volume V do sélido obtido pela revolucao dessa regiao R em torno do eixo 2. y 1 c y=f@) a 2 * 9. Calcule as integrais improprias. (0) fe" aatayede (b) Jo° e~® cos xdax (c) fer tan dx (a) f° Bede oo dx (e) Ir aaa 10. A transformada de Laplace de uma fungao f(t) é a fungao Lf] na varidvel s definida pela integral impr6pria ciflts) = fe" pteat, 0 (a) Mostre que se f(t) = sin(at), entao L[ f(s) = =fas; (b) Calcule g(t) = e%, para s >a. 11. EXERCICIOS EXTRAS: Encontre a primitiva das seguintes integrais trigonométricas. (a) f cos3(x)dx (b) f sin? (a) cos?(x)dax (c) fsin®(a) cos*(ax)dx (d) [cos*(x)dx (e) f tg? (x) sec(a)dx (f) f tg?(a) sect (ax)da Gabarito https: //www-wolframalpha.com 3