Trabalho - Termodinâmica 2022 2

1.- O que é a Termodinâmica? 2.- Revise o conceito de temperatura, revise as escalas de T. 3.- O que diz a lei zero da termodinâmica? 4.- Dilatação térmica, linear e Volumétrica? Relembre o laboratório de dilatação e associe as equações usadas? 5.- o que é calor? Descreva a relação entre ambiente, sistema e o sinal que o calor assume, significando calor absorvido, cedido ou sem troca de calor? 6.- Capacidade Térmica para medir calor? Entenda a formula. Calor específico? 7.- Calor de transformação, descreva eles? 8.-Qual é a relação entre trabalho mecânico e calor? Suponha um gás confinado a um cilindro com um embolo móvel e que possibilite calcular o trabalho que pode ser realizado sobre o gás ou pelo gás. 9.- Quantos possíveis caminhos existem para realizar um processo termodinâmico? 10. Primeira lei de termodinâmica. 11. Principais processos termodinâmicos, descreva eles. 12.- Descreva os três mecanismos principais de transferência de calor. Gases Ideais 1.- Relembre a equação do gás ideal, dizendo quais são as características que um gás deve ter para ser tratado como ideal. 2.- Calcule a integral que permite calcular o trabalho para um gás ideal. 3.- Na teoria cinética dos gases, podemos imaginar um gás num volume V, supondo as massas da partícula de um gás igual a m, imagine o movimento a velocidade constante dentro desta caixa de volume V. Que acontece com o momento linear de uma partícula? E De varias partículas? Calcule a velocidade média das partículas? 4.- Calcule a energia cinética média das partículas do gás. 5.- Nos gases porque existem calor especifico a volume constante? Ou a Pressão constante? Forneça as expressões e explique. 6.- Descreva a expansão adiabática. 1.- O que é a Termodinâmica? A Termodinâmica compreende a área da física que volta-se ao estudo das relações entre calor, trabalho, temperatura e energia. Aqui, seu objetivo é a descrição dos estados de siste- mas físicos onde quantidades macroscópicas como calor e temperatura são relevantes para a compreensão do sistema. 2.- Revise o conceito de temperatura, revise as escalas de T. O conceito de temperatura pode ser posto de diferentes formas. Entretanto, todas essas pos- síveis definições conceituais são equivalentes. Em particular, podemos conceituar a temperatura T de um sistema termodinâmico como sendo a medida da energia cinética média das partículas que compõem o sistema. Ademais, podemos associar as temperaturas diferentes escalas termométricas. Em especial, há três escalas de temperatura que podemos considerar: as escalas Kelvin, Celsius e Fahrenheit. Basicamente, podemos relacionar os principais pontos dessas escalas na tabela abaixo. Escala Célsius Kelvin Fahrenheit Ponto de fusão da água 0◦C 273◦K 32◦F Ponto de ebulição da água 100◦C 373◦K 212◦F Espaçamentos 100 100 180 Tabela 1: Pontos de fusão, ebulição e espaçamentos das principais escalas termométricas. Ademais, podemos relacionar as temperaturas Tx, onde x = C, K ou F de cada escala, da seguinte forma: 100 − TC 100 − 0 = 373 − TK 373 − 273 = 212 − TF 212 − 32 Em particular, para as escalas Celsius e Kelvin temos o seguinte: 100 − TC 100 = 373 − TK 100 =⇒ 100 − TC = 373 − TK (1) =⇒ TK = TC + 273 (2) e para a variação dessas escalas temos também que 100 − TC 100 − 0 = 373 − TK 373 − 273 =⇒ ∆TC 100 = ∆TK 100 =⇒ ∆TC = ∆TK (3) que advêm do fato de ambas serem construídas de forma centigrada. Por fim, associa-se as temperaturas da escala Celsius e Fahrenheit da seguinte forma 100 − TC 100 = 212 − TF 180 =⇒ 1.8(100 − TC) = 212 − TF =⇒ TF = 32 + 1.8TC 1 3.- O que diz a lei zero da termodinâmica? A lei zero da termodinâmica é a lei que estabelece a noção de equilíbrio térmico e relaciona esse estado termodinâmico com a temperatura. Basicamente, podemos enunciar a lei zero como sendo a seguinte: "Dois corpos estão em equilíbrio termodinâmico se, e somente se, possuem a mesma temperatura". 4.- Dilatação térmica, linear e Volumétrica? Relembre o labo- ratório de dilatação e associe as equações usadas? A dilatação térmica consiste num processo em que os constituintes de um determinado corpo expandem após serem submetidos a uma variação de temperatura positiva, o que gera uma absorção de calor. Entretanto, a dilatação térmica pode ser associada de diferentes formas aos corpos o que ocorre em relação a dimensão dos corpos. Dessa forma, somos levados a considerar três processos de dilatação, os quais são: • A dilatação linear. Ocorre em corpos que possuam apenas uma dimensão. Aqui, a expan- são ocorre apenas nessa dimensão • A dilatação superficial. Ocorre em corpos que possuam duas dimensões. Aqui, a expan- são ocorre nas duas dimensões que compõem o corpo resultando, assim, numa expansão em área. • A dilatação volumétrica. Ocorre em corpos tridimensionais e em fluidos (líquidos e ga- ses). Aqui, a expansão ocorre nas três dimensões do corpo o que resultada numa expansão em todo seu volume. Respectivamente, podemos associar as dilatações linear, superficial e volumétrica as seguintes variações.      ∆l = lf − l0 ∆A = Af − A0 ∆V = Vf − V0 (4) onde l denota uma grandeza de uma única dimensão, A denota a medida de grandeza superficial e V a medida de dimensão volumétrica. Além de que, o índice 0 denotam a respectiva medida no início do processo (antes da dilatação) e o índice f denota a respectiva medida no fim do processo (após a dilatação). Ademais, um ponto que devemos levar em consideração nos processos termodinâmicos de dilatação térmica é com respeito ao corpo que está sendo dilatado. De fato, cada corpo irá dilatar-se de forma única, e isso se dá em razão da dilatação térmica ser uma manifestação macroscópica do distanciamento microscópico dos átomos. Nesse sentido, cada tipo de material possui um fator que modifica a sua forma de dilatação, de fato, esses fatores são os chamados de coeficientes de dilatação que dependem da composição química do material. Ademais, esses coeficientes também são associados a dimensionalidade da dilatação e estes são os seguintes      α → Coeficiente de dilatação linear β = 2α → Coeficiente de dilatação superficial γ = 3α → Coeficiente de dilatação volumétrico (5) 2 Tendo em mãos os coeficientes de dilatação térmica, podemos então evocar as expressões que associam, de fato, as novas grandezas após o processo de dilatação. Com efeito, as variações nas dimensões e os medições finais das grandezas são as seguintes      ∆l = αl0∆T =⇒ lf = l0 + αl0∆T ∆A = βA0∆T =⇒ Af = A0 + βA0∆T ∆V = γV0∆T =⇒ Vf = V0 + γV0∆T (6) em geral, todas são proporcionais ao termo G0α∆T, onde G0 é a medida positiva linear, su- perficial ou volumétrica. Ademais, vemos ainda que esse fator é positivo o que implica que as medidas após a dilatação serão maiores que as iniciais. 5.- o que é calor? Descreva a relação entre ambiente, sistema e o sinal que o calor assume, significando calor absorvido, cedido ou sem troca de calor? Antes de explicarmos o que, de fato, é o calor vamos considerar e explicar os conceitos de ambiente e sistema. Primeiramente, afirmamos que o ambiente é uma região do espaço, a qual, dentro dela, há uma subregião a qual chamamos de sistema físico que é a porção do ambiente a qual estamos interessados em estudar. De maneira menos formal, pense que uma casa é o ambiente e um quarto dentro dessa casa é um sistema. Dito isso, podemos então entender melhor o que é o calor. O calor, simbolizado pela letra Q, é a energia transferida de um sistema para o ambiente ou do ambiente para um sistema por causa de uma diferença de temperatura. Ademais, temos ainda que o calor é medido, no sistema internacional de unidades, em joules (J) uma vez que essa grandeza também é uma medida de energia. De posse disso, podemos começar a descrever as relações entre calor, ambiente e sistema. Tendo em vista que o calor é uma energia em trânsito e, considerando Ts e Ta como as tempe- raturas do sistema e do ambiente, podemos explicar noções importantes para a termodinâmica como a de calor absorvido, cedido e sem troca de calor. Antes de nos atermos a essas noções, vamos já relembrar importantes considerações termodinâmicas. • Conforme a Termodinâmica, sabemos que o fluxo de Calor ocorre sempre do meio de maior temperatura para o de menor temperatura. • Ademais, sabemos ainda que os corpos, que trocam temperatura, tendem a atingir o equi- líbrio. Onde o corpo de menor temperatura atinge uma temperatura Tf maior que a tem- peratura inicial, enquanto que o corpo de maior temperatura atinge a mesma temperatura Tf entretanto essa é menor que sua temperatura inicial. De posse disso, vamos avaliar a o fluxo de calor para os casos em que temos calor absorvido e/ou cedido. • Suponhamos que o calor Q flui do sistema para o ambiente, temos que a temperatura do sistema Ts > Ta. Uma vez que o calor sempre flui em direção aos corpos de menor temperatura, nesse caso podemos considerar as próprias partículas de ar que compõem 3 o ambiente. Quando isso ocorre, dizemos que o ambiente absorveu energia, visto que o calor absorvido foi dada por Q = mc∆T = mc(Tf − Ta) > 0 o qual é positivo, o qual fora convencionado pelo autor do livro texto, como sendo o calor absorvido. Por outro lado, dizemos que o sistema perdeu energia, assim, ele cedeu calor ao ambiente. De fato, olhando a quantidade de calor Q para o sistema teremos que : Q = mc∆T = mc(Tf − Ts) < 0 e o sinal de Q é negativo, o qual fora convencionado pelo autor do livro texto, como sendo o calor cedido. Note que, se trocarmos a suposição inicial, isto é, supormos que Q flui do ambiente ao sistema o desenvolvimento é análogo e o que teremos é a seguinte discussão. • Suponhamos que o calor Q flui do ambiente para o sistema, temos que a temperatura do sistema Ts < Ta. Uma vez que o calor sempre flui em direção aos corpos de menor temperatura, nesse caso podemos considerar as próprias partículas de ar que compõem o ambiente. Quando isso ocorre, dizemos que o sistema absorveu energia, visto que o calor absorvido foi dada por Q = mc∆T = mc(Tf − Ts) > 0 o qual é positivo, o qual fora convencionado pelo autor do livro texto, como sendo o calor absorvido. Por outro lado, dizemos que o ambiente perdeu energia, assim, ele cedeu calor ao ambiente. De fato, olhando a quantidade de calor Q para o sistema teremos que : Q = mc∆T = mc(Tf − Ta) < 0 e o sinal de Q é negativo, o qual fora convencionado pelo autor do livro texto, como sendo o calor cedido. Por fim, temos o caso em que não há troca de calor. Nesse caso, temos algumas possibilidades, com efeito. • Primeiramente, se considerarmos que o ambiente e o sistema estão na mesma tempera- tura, isto é, Ts = Ta. Sob essa hipótese, não há diferença de temperatura. Dessa forma, não há fluxo de calor entre o ambiente e o sistema. • A segunda possibilidade, ocorre quando o sistema está circundado por paredes adiabá- ticas. Com efeito, paredes adiabáticas impedem que haja fluxo de calor entre a região interna e externa. Consequentemente, a existência de fluxo de calor depende, necessariamente, da existência de um gradiente de temperatura (diferença de temperaturas). Então, nessas condições temos que Q = 0 visto que não há transito de energia. Assim, fica explicitado as relações entre ambiente, sistema e afins. 4 6.- Capacidade Térmica para medir calor? Entenda a for- mula. Calor especifico? A capacidade térmica de um corpo C é definida por C = mc onde c é o calor específico e m a massa do corpo. De posse disso, vamos entender essas expressões. Com efeito, comecemos pelo calor específico c. Essa grandeza física, no SI tem unidades J/(kg · K), onde J é a anergia, K é a temperatura em Kelvin e Kg é a a massa. Ademais, fisicamente essa constante carrega a seguinte informação física: "O calor específico c de um corpo é a quantidade de energia, em forma de calor, que é necessária para elevar 1 unidade de sua massa em 1 grau Kelvin." Logo, fica claro que esse calor está associado a variação de temperatura de um corpo. Toda- via, sua definição nos permite então entender a expressão e a conceituação física da capacidade térmica C do corpo. De fato, visto que essa quantidade física é o produto de c pela massa m do corpo, então, temos que a capacidade térmica C do corpo é na verdade uma medida que associa a variação de temperatura total do corpo e não apenas em uma única unidade e massa como o calor específico. Nesse sentido, a capacidade térmica C é a quantidade de energia, em forma de calor, necessária para elevar a massa total do corpo em 1 grau Kelvin. Ademais, com essa expressão podemos até mesmo obter uma nova relação para o a quanti- dade de calor Q de um corpo que tem sua temperatura variada, com efeito, esta é Q = mc∆T = (mc)∆T = C∆T ou seja, podemos de fato, usar a capacidade térmica C para calcular o calor Q do mesmo, bastando para isso usar a seguinte expressão Q = C∆T. 7.- Calor de transformação, descreva eles? O calor de transformação é associado a mudanças/transformações de fases de um corpo e não a variação da temperatura do corpo. Ademais, denotamos o calor de transformação por L e esse valor é uma constante que possui unidades dadas em kJ/kg de acordo com o S.I. Ademais, podemos ter diferentes calores de transformação L. De fato, isso decorre do fato de que um corpo pode transicionar para diferentes fases (sólido, líquido ou gasoso). Em particular, para o caso da água teremos os seguintes valores Calor de transformação Fusão Lf Vaporização Lv Água 330kj/kg 330kJ/kg onde o calor Lf é o a quantidade de calor, por unidade de massa, que um corpo tem que receber para fundir-se, isto é, ir da fase sólida para a fase líquida. Analogamente Lf é o a quantidade de calor, por unidade de massa, que um corpo tem que receber para evaporar-se, isto é, ir da fase líquida para a fase gasosa/vapor. Com isso, uma conceituação adequada para L seria de que o calor de transformação é a quantidade de calor, por unidade de massa, para que haja a transição de fase. 5 Além disso, podemos calcular a quantidade Q de calor envolvida nesse processo através de Q = mL. 8.-Qual é a relação entre trabalho mecânico e calor? suponha um gás confinado a um cilindro com um embolo móvel e que possibilite calcular o trabalho que pode ser realizado sobre o gás ou pelo gás. Para o cálculo do trabalho (realizado sobre o gás ou pelo gás) basta fazermos o seguinte cálculo. W = \int_{V_{0}}^{V_{f}} PdV onde V_{0} é o volume inicial e V_{f} é o volume final do gás. Ademais, é possível estabelecer uma relação entre o trabalho mecânico e o calor do sistema. Com efeito, considerando um cilindro com um embolo móvel temos que esse sistema é isolado e logo segue da primeira lei da termodinâmica que dE = 0 \implies dQ = dW. Entretanto, nós temos ainda que o ato de pressionar o êmbolo ocasiona um trabalho mecânico sobre o sistema dada ação de uma força F numa região superficial A do cilindro (tampa do êmbolo). Logo, teremos que o trabalho mecânico será dW = Fdl = (PA)dl = P(Adl) = PdV \implies W = \int_{V_{0}}^{V_{f}} PdV onde dl é o elemento infinitesimal de ação da força e P é a pressão que vem da fórmula da pressão P = \frac{F}{A}. Assim, segue que a relação entre trabalho mecânico e calor, para esse caso, é W = Q \int_{V_{0}}^{V_{f}} PdV 9.- Quantos possíveis caminhos existem para realizar um processo termodinâmico? Há três caminhos possíveis. Sendo esses dados por processos termodinâmicos que são os seguintes. • 1°. O gás parte do estado inicial até o estado final por meio de uma curva isotérmica. Ou seja, não há variação na temperatura do sistema. • 2° O gás parte do estado inicial até o estado final fazendo, nessa ordem, um processo isobárico (pressão constante) e outro isovolumétrico (volume constante) até o estado final. • 3° O gás parte do estado inicial até o estado final fazendo, nessa ordem, um processo isovolumétrico (volume constante). e outro processo isobárico (pressão constante) até o estado final. 10. Primeira lei de termodinâmica. A primeira Lei da Termodinâmica é uma formulação análoga ao princípio da conservação da energia presente na mecânica clássica. Com efeito, ela relaciona a variável de estado da energia com as quantidades termodinâmicas macroscópicas do trabalho e do calor, por meio da seguinte relação dE = dQ − dW para o caso das grandezas serem dadas infinitesimalmente. Para o caso das grandezas serem postas de forma não infinitesimal a expressão fica, simplesmente, dada por E = Q − W. Nesse caso, obtemos então uma forte física advinda dessas expressões. Com efeito, po- demos então dizer que a energia interna E de um sistema tende a aumentar, se acrescentamos energia na forma de calor Q, e diminuir se removemos energia por meio de trabalho W realizado pelo sistema. Ademais, veja que se tomarmos uma formulação em termos de diferenças para a primeira lei da termodinâmica, teremos que ∆E = ∆Q − W Ademais, a energia interna E pode e deve ser tradada como uma energia potencial, análogo ao que tínhamos em mecânica. Entretanto, veja que como estamos trabalhando sob o regime de que não há mudanças e alterações nas energias cinéticas totais do sistema, temos então que a conservação da energia mecânica nos dá que ∆E = ∆K = 0, e assim, a primeira lei, de fato, corrobora com a conservação da energia. Além disso, veja que a primeira lei da termodinâmica ainda estende os sistemas físicos para qual atua. Pois, ao passo que engloba as energias vindas do calor e do trabalho, ela estende as noções da mecânica clássica que trabalham sob a hipótese de um sistema isolado (sem troca de calor) para sistemas que podem trocar calor Q. 11. Principais processos termodinâmicos, descreva eles. Os principais processos termodinâmicos são os seguintes • Processo Adiabático: Ocorre sem transferência de calor entre o sistema e o ambiente. Logo, temos que Q = 0, o que nos dá que dQ = 0 e a primeira lei da termodinâmica fica da seguinte forma dE = dQ − dW =⇒ dE = −dW • Isovolumétrico: Ocorre quando o sistema está a volume constante, ou seja, o volume não muda ao longo do processo. Um exemplo é um recipiente fechado com um fluido que é aquecido, seu volume não muda, mas as outras quantidades termodinâmicas sim, a citar: temperatura. Quando o volume é constante, o sistema não realiza trabalho, visto que dW = pdV = p · 0 = p e logo, a primeira lei da termodinâmica fica dada por dE = dQ − dW = dQ =⇒ dE = dQ 7 • Processos cíclicos: É aqueles em que após certas trocas de calores o sistema termodinâ- mico volta ao seu estado inicial. Logo, temos que, em um ciclo completo, o corpo não mudou sua energia interna e então teremos que dE = 0 =⇒ dQ = dW =⇒ Q = W. • Expansões livres: São processos nos quais não há troca de calor com o ambiente e nenhum trabalho é realizado. Consequentemente, na expansão livre não há variação da energia interna e temos que ∆E = 0 e Q = 0 e W = 0. 12.- Descreva os três mecanismos principais de transferência de calor. Os três mecanismos/processos de transferência de calor são os seguintes: • Irradiação. O processo consistem na transferência de calor por meio de radiação (ondas eletromagnéticas). • Condução. O processo consiste na transferência de calor de um ponto a outro através de um meio, onde, o calor é conduzido através das partículas que compõem o meio. • Convecção. O processo de convecção emprega a transferência de calor de uma região a outra através da diferença de temperaturas entre dois fluidos. 8 1.- Relembre a equação do gás ideal, dizendo quais são as ca- racterísticas que um gás deve ter para ser tratado como ideal. A equação para os gases ideais pode ser posta da seguinte forma PV = NRT. (7) Ademais, a energia interna U de um gás ideal é U = 3 2NRT. (8) Não obstante, dizemos que um gás é ideal se algumas hipóteses são satisfeitas. Com efeito, essas são. • Os observáveis macroscópicos: Pressão P, Volume V e Temperatura T são tais que sa- tisfazem PV = NRT (9) com N sendo o número de mols do gás e R é a constante dos gases ideais tal que R = 8.31J/(mol · K). • As partículas que compõem o gás ideal são consideradas pontuais e não interagentes. Ou seja, o sistema não possui nenhuma interação entre seus constituintes. • O movimento das partículas do gás é considerado totalmente aleatório. • Os choques das partículas que constituem o gás ideal é perfeitamente elástico, assim, os choques conservam energia. 2.- Calcule a integral que permite calcular o trabalho para um gás ideal. O trabalho de um gás ideal é dada por: dW = pdV No entanto, no contexto dos gases ideais temos da equação de estado dos gases ideias que PV = NRT =⇒ P = NRT V (10) Consequentemente, o trabalho infinitesimal do gás ideal fica dada por dW = NRT V dV (11) Então, integrando a expressão anterior de um trabalho inicial W0 até um trabalho arbitrário W e de um volume inicial V0 até um volume arbitrário V e, sabendo que N,R e T não dependem do volume do gás tendo em vista a hipótese do gás ser ideal teremos que 9 \int_{W_{0}}^{W} dW' = \int_{V_{0}}^{V} \frac{NRT}{V'} dV' \implies W - W_{0} = NRT \int_{V_{0}}^{V} \frac{1}{V'} dV' \implies W - W_{0} = NRT \int_{V_{0}}^{V} \frac{1}{V'} dV' \implies W - W_{0} = NRT \left[\ln(V')\right]_{V_{0}}^{V} \implies W - W_{0} = NRT(\ln(V) - \ln(V_{0})) \implies W - W_{0} = NRT\ln\left(\frac{V}{V_{0}}\right). Considerando W_{0} = 0, obtemos que W = NRT \ln\left(\frac{V}{V_{0}}\right) que é a fórmula trabalho para o gás ideal num processo isotérmico conforme apresentado no livro do Halliday. Ademais, no caso em que o processo é isovolumétrico (volume constante), teremos que dW = pdV = 0 \implies \int_{W_{0}}^{W} dW = 0 \implies W = W = \text{constante}. 3.- Na teoria cinética dos gases, podemos imaginar um gás num volume V, supondo as massas da partícula de um gás igual a m, imagine o movimento a velocidade constante dentro desta caixa de volume V 3-1. Que acontece com o momento linear de uma partícula? E De varias partículas? 3-2. Calcule a velocidade média das partículas? 4.- Calcule a energia cinética média das partículas do gás. 5.- Nos gases porque existem calor específico a volume constante? Ou a Pressão constante? Forneça as expressões e explique. 6.- Descreva a expansão adiabática. Num processo adiabático, não temos troca de calor no sistema. Entretanto, mesmo assim, um gás ideal pode expandir-se adiabaticamente. De fato, consideremos E a energia de um gás ideal, então, a primeira lei da termodinâmica nos dá, para o gás ideal os seguinte dE = dQ - dW onde Q é a quantidade de calor envolvida no processo e W o trabalho. Entretanto, o processo é adiabático, logo as trocas de calores são nulas, ou seja, dQ = 0 e assim, temos que dE = −dW. (13) Por outro lado, sabemos que a energia E e o trabalho W do gás podem ser dados da seguinte forma: dE = NcV dT (14) dW = PdV (15) onde N é o número de constituintes do gás, cV é o calor específico a volume constante (ou seja é uma constante do gás). Além disso, P é a pressão do gás e V o volume. Com isso em mãos, segue que dE = −dW =⇒ NcV dT = −pdV =⇒ NdT = − P cV dV (16) Por outro lado, por estamos trabalhando com gases ideais, temos ainda o conhecimento da equação dos gases ideais que é a seguinte PV = NRT (17) cujo forma diferencial associada é V dP + PdV = NRdT, (18) ademais, tendo em vista que os calores específicos a pressão e volume constante são tais que cP = cV + R podemos isolar R como sendo R = cP − cV e logo obteremos que V dP + PdV = N(cP − cV )dT =⇒ dT = V dP + PdV N(cP − cV ) . (19) Com isso, temos uma expressão para a forma diferencial dT. Logo, obtemos as seguintes equações NdT = − P cV dV (20) dT = V dP + PdV N(cP − cV ) . (21) daí, relacionando-as, por dT, teremos que V dP + PdV (cP − cV ) = − P cV dV. (22) (23) Com isso temos o seguinte desenvolvimento, V dP + PdV (cP − cV ) = − P cV dV =⇒ cV (V dP + PdV ) = −P(cP − cV )dV =⇒ cV V dP + cvPdV = −PcPdV + PcV dV =⇒ cV V dP = −PcPdV =⇒ dP P = −cP cV dV V 11 Daí, integrando, a última igualdade, de uma pressão inicial P_0 até uma pressão arbitrária P e um volume inicial V_0 até um volume arbitrário V teremos \int_{P_0}^{P} \frac{dP'}{P'} = - \frac{c_P}{c_V} \int_{V_0}^{V} \frac{dV'}{V'} ln(P) - ln(P_0) = - \frac{c_P}{c_V} (ln(V) - ln(V_0)) definindo \gamma = \frac{c_P}{c_V} e k = ln(P_0) + \gamma ln(V_0) teremos que ln(P) = - \gamma ln(V) + k \implies ln(P) + \gamma ln(V) = k \implies ln(P) + ln(V^\gamma) = k \implies ln(P \cdot V^\gamma) = k \implies P V^\gamma = e^k \equiv K \implies P V^\gamma K e logo, temos a expressão para uma expansão adiabática, que é dada por P V^\gamma K onde K é uma constante. E assim, obtemos o desejado.