Análise de Treliças Planas: Deslocamentos, Rigidez e Matrizes

1 2 1TRELIÇA PLANA É uma estrutura plana reticulada cujas barras apresentam todas as suas extremidades rotuladas e as cargas são aplicadas apenas em seus nós O esforço interno que atua em qualquer seção de uma barra é o esforço normal Fig 1 exemplo de uma treliça plana 2DESLOCAMENTOS NODAIS A treliça plana apresenta dois deslocamentos de translação u na direção x e v na direção y 3COORDENADAS LOCAIS Fig 3 coordenadas locais para uma barra de treliça 4COEFICIENTE DE RIGIDEZ PARA BARRAS DE TRELIÇAS Fig 4 coeficiente de rigidez para barras de treliças Supõese como mostra a figura uma barra rotulada recebendo na extremidade esquerda uma força F Na extremidade direita surgirá uma força igual e contrária havendo uma redução de comprimento que de acordo com a Lei de Hooke vale EA FL Como tem valor conhecido igual a um e L EA F resulta que L F EA Portanto o coeficiente de rigidez para uma barra de treliça é L EA 3 5MATRIZ DE RIGIDEZ PARA UMA BARRA EM COORDENADAS LOCAIS Fig 5 eixos para uma barra Aplicandose deslocamentos unitários 1 nas direções das coordenadas têmse Caso a A barra apresenta rigidez na direção das coordenadas 1 e 3 Caso b Caso c A barra apresenta rigidez na direção das coordenadas 1 e 3 Caso d Fig 51 Dedução da Matriz de Rigidez 4 Ordenandose os coeficientes de rigidez sob forma matricial na direção das coordenadas local obtémse a matriz 4 3 2 1 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 L EA L EA L EA L EA Sbl 6CÁLCULO DO COMPRIMENTO E DOS SENOS E COSSENOS DIRETORES DAS BARRAS Os senos cosenos e o comprimento das barras são obtidos através da trigonometria Fig 6 senos e cosenos diretores de uma barra 2 2 sen cos i j i j i j i j y y x x L L y y cy L x x cx 7MATRIZ DE ROTAÇÃO A matriz de rotação mostrada a seguir foi deduzida no item 810 cx cy cy cx cx cy cy cx R 0 0 0 0 0 0 0 0 sen cos cy cx equação 70 Equação 5 Equações 6 5 8MATRIZ DE RIGIDEZ EM COORDENADAS GLOBAIS Para barras de treliças planas a matriz de rigidez em coordenadas globais é escrita da seguinte forma 2 2 2 2 2 2 2 2 T Sbg R Sbl R cx cxcy cx cxcy cxcy cy cxcy cy EA Sbg L cx cxcy cx cxcy cxcy cy cxcy cy equação 80 Fig 8 relação entre coordenada global e local 9VETOR DAS CARGAS As cargas aplicadas nos nós obedecem às coordenadas globais e compõem o vetor YN XN Y X Y X F F F F F F F 2 2 1 1 equação 90 10CÁLCULO DOS DESLOCAMENTOS Conhecidas as cargas e formada a matriz de rigidez da estrutura utilizando o princípio da superposição dos efeitos obtêmse os deslocamentos incógnitas através da inversão da matriz de rigidez Fg S D D S Fg 1 00 00 portanto equações 100 6 11CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO Uma vez conhecidos os deslocamentos utilizase novamente a equação de rigidez agora para a submatriz e ações externas na direção das coordenadas que têm deslocamentos bloqueados e determinandose assim as reações nos apoios D S RA 10 equação 110 12DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOES INTERNOS Os esforços internos são determinados através da equação de rigidez aplicadas às barras em coordenadas locais Sbl R Db Ei equação 120 13EXEMPLO Determinar os deslocamentos nodais as reações de apoio e os esforços nas barras da treliça indicada na figura Barra nói nój xi xj yi yj L cx cx2 cy cy2 cxcy k 1 1 2 L 0 0 L3 2L 12 14 3 2 34 3 4 EA 2L 2 1 3 L 0 0 0 L 1 1 0 0 0 EA L 3 1 4 L 0 0 L3 3 2L 3 3 2 34 1 2 14 3 4 3 2 EA L Figura 131 exemplo exemplo Figura 132 coordenadas globais 7 Matriz de rigidez para as barras 4 3 2 1 3 4 3 4 3 4 4 3 3 4 1 4 3 4 4 1 3 4 3 4 3 4 4 3 3 4 1 4 3 4 4 1 2 4 3 2 1 1 L EA Sbg 2 1 2 5 6 1 0 1 0 1 0 0 0 0 2 1 0 1 0 5 0 0 0 0 6 EA Sbg L 3 1 2 7 8 3 4 3 4 3 4 3 4 1 3 4 1 4 3 4 1 4 2 3 7 2 3 4 3 4 3 4 3 4 8 3 4 1 4 3 4 1 4 EA Sbg L Matriz de rigidez global 0 0 0 0 0 0 3 8 8 3 3 8 3 8 3 0 0 0 1 3 8 8 3 3 8 8 1 3 8 0 3 8 3 8 0 8 3 3 8 0 3 8 8 1 3 3 8 1 1 1 8 8 v u L EA S x 8 7 6 5 4 3 2 1 Cálculo dos deslocamentos D S F 00 8 0 0 0 0 0 0 3 3 3 3 3 0 0 0 8 3 3 3 1 3 3 3 3 3 3 3 3 9 8 0 1 1 4 4 3 3 2 2 v u L EA RV RH RV RH RV RH P F S D 1 00 1 1 473 127 0 127 14196 80 u L v P EA 1 01550 1 1733 u PL v EA Cálculo das reações D S RA 10 1 1 4 4 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 0 0 0 8 3 3 3 1 8 v u L EA RV RH RV RH RV RH 0 316 0 55 0 0 15 68 0 39 0 4 4 3 3 2 2 P RV RH RV RH RV RH 9 Cálculo dos esforços Ei Sbl R Db j j i i v u v u cx cy cy cx cx cy cy cx L EA E E E E 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 4 3 2 1 A treliça apresenta somente esforços normais portanto E2 e E4 não existirão Como o esforço normal é constante na barra E1E3 Assim a equação anterior pode ser reduzida a i j i i v u v u cy cx cy cx L EA Ei Barra 1 1 1 01550 1733 05 087 05 087 0 2 0 079 EA PL E L EA E P Barra 2 2 2 01550 1733 1 0 1 0 0 0 01547 EA PL E L EA E P Barra 3 3 3 01550 1733 087 05 087 05 2 0 3 0 063 EA PL E L EA E P Interpretação dos resultados Devido às simplificações apresentadas anteriormente os resultados são obtidos naturalmente O sinal negativo significa compressão e o positivo tração nas barras