Análise Matricial de Estruturas: Método da Rigidez

Análise Matricial de Estruturas 1 1 MÉTODO DA RIGIDEZ OU DOS DESLOCAMENTOS 11 Bases do Método Denominase coeficiente de rigidez a ação mecânica associada à configuração deformada 1 Para simplificar a dedução teórica as barras serão substituídas por molas pois este é o mais simples dos sistemas elásticos 12 Dedução da Matriz de Rigidez 121 Sistemas com duas coordenadas Considerese uma mola presa nas duas extremidades com coeficiente de rigidez K caso a Ao aplicarse um deslocamento u1 ao sistema surgirão as forças F1 e F2 Portanto u1 u1 u2 0 F1 Ku1 F2 Ku1F1 caso b Ao aplicarse um deslocamento u2 temse Portanto u1 0 u2 u2 F2 Ku2 F1 F2 Ku2 caso c Aplicandose simultaneamente os deslocamentos u1 e u2 temse Portanto u1u1 u2u2 F1Ku1 Ku2 F2 Ku1 Ku2 Figura 721b Dedução da matriz de rigidez figura 721a sistema com duas coordenadas Análise Matricial de Estruturas 2 Escrevendo as equações sob forma matricial chegase a 2 1 2 1 u u K K K K F F Esta equação é denominada Equação de Rigidez que relaciona forças com o deslocamentos F S onde F é o vetor das forças S é a matriz de rigidez é o vetor de deslocamentos 122 Sistemas com três coordenadas 123 Matriz de Rigidez Global Utilização do Princípio da Superposição dos Efeitos Seja o sistema elástico utilizado no item anterior Montase uma matriz de rigidez para cada mola numerandose as linhas e colunas de acordo com as suas coordenadas correspondentes 2 1 1 2 1 1 1 1 1 K K K K Sb 3 2 2 2 2 2 2 K K K K Sb 2 3 A partir das matrizes de rigidez para as duas molas utilizando o Princípio da Superposição dos Efeitos ob témse a matriz de rigidez da estrutura ou matriz de rigidez global 3 2 1 0 0 1 2 3 2 2 2 2 1 1 1 1 K K K K K K K K S global 124 Propriedades da Matriz de Rigidez Simetria devido ao teorema de Maxwell A soma dos elementos de qualquer linha ou coluna é zero quando se tratar de forças condição de equilíbrio Equação 721a Equação 721b Figura 723 conjunto de duas molas Análise Matricial de Estruturas 3 É uma matriz não singular isto é o determinante é diferente de zero Dependendo da numeração dos nós pode apresentarse como uma matriz em banda A diagonal principal é predominante e positiva 125 Sistemas com elementos perpendiculares Considerese o sistema constituído de duas molas perpendiculares entre si que agora apresentam desloca mentos e forças em direções diferentes Adotase para a mola as seguintes coordenadas para este sistema de coordenadas a matriz de rigidez será 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 1 1 1 1 1 K K K K Sb Para a mola adotase as seguintes coordenadas Consequentemente a matriz de rigidez será Utilizando o Princípio da Superposição dos Efeitos montase a matriz de rigidez global 6 5 4 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 4 5 6 2 2 2 2 2 K K K K Sb Figura 725 conjunto de molas perpendiculares Análise Matricial de Estruturas 4 6 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 2 2 2 2 1 1 1 1 K K K K K K K K Sg 13 Relação entre coordenada global e local No item 43 através de transformação linear chegouse a seguinte equação j j i i yj xj yi xi Y X Y X F F F F cos sen 0 0 sen cos 0 0 0 0 cos sen 0 0 sen cos Para as forças a equação será Fl R Fg onde Fl são as forças em coordenadas locais Fg são as forças em coordenadas globais e R é a matriz de rotação Esta matriz é uma matriz ortogonal portanto a sua inversa é igual a sua transposta Para os deslocamentos podese escrever j j i i j j i i vg ug vg ug lv l u lv l u cos sen 0 0 sen cos 0 0 0 0 cos sen 0 0 sen cos g R l A equação da rigidez em coordenadas locais pode ser escrita como Sbl l Fl onde Sbl R R T é a matriz de rigidez para uma barra em coordenadas globais 131 Matriz de rigidez para uma mola em coordenadas locais 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 k Sbl Importante Equação 73a Equação 73b Equação 73c Equação 73d Análise Matricial de Estruturas 5 Importante 132 Matriz de rigidez para uma mola em coordenadas globais Sbl R R Sbg T 2 2 2 cos sen 0 0 1 0 1 0 cos sen 0 0 sen cos 0 0 0 0 0 0 sen cos 0 0 0 0 cos sen 1 0 1 0 0 0 cos sen 0 0 sen cos 0 0 0 0 0 0 sen cos cos cos sen cos cos sen cos sen sen cos sen Sbg k Sbg k 2 2 2 2 2 sen cos cos sen cos sen cos cos sen sen cos sen sen Figura 732 Coordenadas Globais Equações 732 Análise Matricial de Estruturas 6 133 Utilização da matriz de rotação Considerando o sistema apresentado na figura 725 Utilizandose a matriz para uma mola em coordenadas globais deduzida no item 732 temse 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos sen cos cos sen cos sen sen cos sen sen cos cos sen cos sen cos cos sen sen cos sen sen Sbg k Para a mola 0º Portanto 1 1 1 2 3 4 1 0 1 0 1 0 0 0 0 2 1 0 1 0 3 0 0 0 0 4 Sbg k Para a mola 90º Portanto 2 2 3 4 5 6 0 0 0 0 3 0 1 0 1 4 0 0 0 0 5 0 1 0 1 6 Sbg k Utilizandose o Princípio da Superposição dos Efeitos temse Figura 733 Conjunto de Molas Perpendiculares Equação 733 a Equação 733 b Análise Matricial de Estruturas 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 2 2 2 2 1 1 1 1 k k k k k k k k S global 14 Sentidos e orientação dos ângulos para as barras Convém observar que para os cossenos diretores serão consideradas positivas as orientações dos ângulos no sentido antihorário conforme o posicionamento do nó inicial i e do final j para a barra caso a sen 0 cos caso b sen 0 cos caso c sen 0 cos caso d sen 0 cos Figura 74 Sentidos e Orientações para as barras Equação 733 c Análise Matricial de Estruturas 8 15 Sistematização para resolução de estruturas Através do exemplo à seguir será mostrada a aplicação da técnica matricial para a resolução de estruturas Considerese o sistema de molas para o qual se pretende determinar os deslocamentos nodais as reações de apoio e os esforços internos Inicialmente serão atribuídas aos sistemas as coordenadas indicadas abaixo Em seguida será elaborado um quadro que irá conter dados sobre as molas Mola K kgfcm Nó inicial Nó final cx cy cx2 cy2 cxcy 1 20 1 2 0º 1 0 1 0 0 2 10 1 3 135º 0707 0707 05 05 05 3 10 1 4 210º 087 05 075 025 044 Utilizandose a matriz Sbg montase a seguir a matriz de rigidez para cada mola em coordenadas globais 4 3 2 1 0 0 0 0 0 20 0 20 0 0 0 0 0 20 0 20 1 Sbg 1 2 3 4 Figura 75 a sistema de molas Figura 75 b Sistema de Coordenadas Tabela 75 Dados do Exemplo Equação 75 a Análise Matricial de Estruturas 9 6 5 2 1 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 2 Sbg 1 2 5 6 8 7 2 1 52 44 52 44 44 57 44 57 52 44 52 44 44 57 44 57 3 Sbg 1 2 7 8 A partir das matrizes de rigidez de cada mola montase a matriz de rigidez global obedecendo a numeração das coordenadas globais 1 2 3 4 5 6 7 8 325 06 20 0 5 5 75 44 06 75 0 0 5 5 44 25 20 0 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 0 0 5 5 0 0 5 5 0 0 5 5 0 0 75 44 0 0 0 0 75 44 44 25 0 0 0 0 global S 1 2 3 4 5 6 7 44 25 8 A matriz de rigidez S parcionada como indicado será dividida em quatro submatrizes 11 10 01 00 S S S S S onde S00 é a submatriz correspondente às rigidezes nas direções das coordenadas cujos deslocamentos es tão livres 01 10 S S e são as submatrizes correspondentes às rigidezes nas direções das restrições dos apoios derivadas dos valores unitários dos deslocamentos correspondentes aos graus de liberdade S11 é a submatriz correspondente às rigidezes nas direções das coordenadas cujos deslocamentos são blo queados As submatrizes 11 01 S S e conforme mostradas serão multiplicadas por zero deslocamentos bloqueados portanto não precisarão ser montadas Equação 75 b Equação 75 c Equação 75 d Equação 75 e Análise Matricial de Estruturas 10 151 Equação da rigidez Substituindo os dados na equação da rigidez resulta em 0 0 0 0 0 0 52 44 44 57 5 5 5 5 0 0 0 20 57 60 60 5 32 1 1 4 4 3 3 2 2 1 1 v u RV RH RV RH RV RH F F Y X 152 Cálculo dos deslocamentos Separando a submatriz e o vetor que estão relacionados com os deslocamentos livres temse 1 1 75 325 06 150 06 75 u v Invertendose a matriz de rigidez obtêmse os deslocamentos da estrutura 1 1 1 325 06 75 06 75 150 u v 84 19 94 1 1 1 cm v u Portanto para a obtenção dos deslocamentos podese escrever a equação D S F 00 153 Cálculo das reações Obtidos os deslocamentos retornase à equação da rigidez e obtêmse as reações incógnitas 84 19 94 1 52 44 44 57 5 5 5 5 0 0 0 20 4 4 3 3 2 2 RV RH RV RH RV RH Equação 751 Equação 752 Equação 753 Análise Matricial de Estruturas 11 06 41 75 72 9 108 9 108 0 8 38 4 4 3 3 2 2 RV RH RV RH RV RH Para a obtenção das reações de apoio podese escrever a equação D S RA 10 154 Cálculo dos Esforços Internos Os esforços internos como são relativos às barras deverão ser determinados obedecendo as coorde nadas locais Ei Sbl Db Como os deslocamentos estão nas direções das coordenadas globais estes serão rotacionados devendo estar na direção dos eixos das barras Portanto a equação será escrita como Ei Sbl R Db 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 i i j j u E k k cx cy v E cy cx u E k k cx cy v E cy cx Para a mola temse 0 38 8 0 8 38 0 0 84 19 94 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 20 0 20 0 0 0 0 0 20 0 20 4 3 2 1 kgf E E E E Para a mola temse 1 2 3 4 10 0 10 0 0707 0707 0 0 194 15398 0 0 0 0 0707 0707 0 0 1984 0 10 0 10 0 0 0 0707 0707 0 15398 0 0 0 0 0 0 0707 0707 0 0 E E kgf E E Para a mola temse 0 8232 0 32 82 0 0 84 19 94 1 0 87 50 0 0 50 0 87 0 0 0 0 0 87 50 0 0 50 87 0 0 0 0 0 0 10 0 10 0 0 0 0 0 10 0 10 4 3 2 1 kgf E E E E Os resultados acima obedecem ao sistema de coordenadas locais adotado Atribuindose aos resultados os seus reais sentidos podese dizer que Equação 754 Análise Matricial de Estruturas 12 a mola está sendo comprimida a mola está sendo tracionada a mola esta sendo comprimida