Teoria das Estruturas II: Processos e Métodos de Cálculo Estrutural

SISTEMAS ESTRUTURAIS II TEORIA DAS ESTRUTURAS II Prof José Dimas Rietra Professor da Escola de Minas da Universidade Federal de Ouro Preto Escola de Engenharia Kennedy FACEB Universidade de Itaúna Faculdade Promove Centro Universitário Unihorizontes 2020 TÓPICOS CONVERSANDO SOBRE ENGENHARIA HARDY CROSS Processo de Cross Vigas Continuas Pórticos Tabelas Exercícios Resolvidos Exercícios Propostos MUROS DE ARRIMO Verificação da Estabilidade Exercícios Resolvidos Exercícios Propostos MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS Vigas Continuas Pórticos Tabelas Exercícios Resolvidos Exercícios Propostos Hardy Cross Nascido em 1885 nos Estados Unidos Virgínia era professor de Estruturas na University of Illinois e da Universidade de Yale criou o processo que tem seu nome que simplifica os cálculos estruturais consistindo no equilíbrio dos momentos fletores em vigas e pórticos Tal método mais tarde foi adaptado para o cálculo da vazão em tubulações sob pressão em redes de distribuição e nos sistemas de abastecimento de água O cálculo proposto pelo processo pode ser levado a qualquer grau exigido de precisão por aproximações sucessivas evitando o imenso trabalho de resolver equações simultâneas que contêm tantas variáveis quanto juntas rígidas numa armação Morreu em Virginia Beach e recebeu a Medalha de Ouro da Institution of Structural Engineers na Inglaterra entre várias honrarias Processo de Cross Introdução Prezadosas até agora estudamos vigas aplicando as três equações universais do equilíbrio Hi 0 Vi 0 e Mi 0 bem como aqueles conceitos de força normal cortante e momento fletor 2 Estruturas Hiperestáticas Continuamos a ter momentos nulos nas extremidades A e C Quando carregamos esta viga com qualquer carga ela se deformará como se apresenta abaixo O apoio B será empurrado para cima aparecendo momentos fletores a esquerda e a direita de B Para calcular estes momentos empregamos vários processos e métodos Comecemos com o Processo de Cross idealizado por Hardy Cross em 1930 e introduzido no Brasil pelo Professor Cândido Holanda de Lima ex professor da Kennedy em 1941 O Processo de Cross destinase a resolver estruturas hiperestáticas vigas contínuas e pórticos por meio de aproximações sucessivas e de fácil execução pois envolve apenas as quatro operações fundamentais adição subtração multiplicação e divisão Vamos considerar alguns conceitos necessários no desenvolvimento do processo Coeficiente de Rigidez Seja a barra monoengastada AB abaixo Há uma sequencia de cálculo vamos a ela Cálculo do Coeficiente de Rigidez Trecho AB Barra Monoesgastada Trecho BC Barra Monoesgastada Somatório destes coeficientes posicionado debaixo do apoio B Cálculo do Coeficiente de Distribuição d Para a viga contínua abaixo resolvêla por Cross traçando também os diagramas Vamos supor que tenhamos um nó ligado as barras AB AC e AD submetido a um momento M que o desequilibra No equilíbrio MAB MAC MAD M 0 Assim devemos aplicar ao nó A um momento M proporcionalmente a rigidez de cada barra para voltar ao equilíbrio Assim dBA dBC frac075EI150EI 050 Cálculo de overlineM Somase a esquerda e a direita os momentos de engastamento perfeito Cálculo de V0 Reação de Apoio Cargas Fibras superiores tracionadasMomento Fletor Negativo Traçado Conclusão Fibras Inferiores Tracionadas Momento Fletor Positivo Traçado Analisando os momentos XB obtidos pelo Cross XB 300 tm ΣRV RA RB RC 284 KN Momentos de Engastamento Perfeito Cálculo dos Momentos Máximos Na Convenção de Grinter teremos Equilíbrio Cálculo de V0 O apoio B é considerado engastamento perfeito Cálculo dos K Observe que os vãos têm rigidez à flexão 12 EI e 05 EI Note que o vão AB por ter maior rigidez à flexão tem maior d Algumas respostas MT 1641 KNm à esquerda de B Xc 479 KNm V 734 KN à direita de B MmaxBC 375 KNm Se o projeto é mal contratado com preço baixo está arriscado a sair ruim O detalhamento de armadura deve prever que o armador brasileiro não é um relojeiro suíço 24 Exercícios Propostos Resolver os exercícios que se seguem pelo Processo de Cross traçando também os diagramas 1 MAB MBA pℓ² 12 MAB pℓ² 8 K sum K d MeP MeP MTR overlineM d cdot overlineM X V0D V0P V0R V0T Delta V V R MAB MBA Pℓ 8 MAB Pab 2ℓ²ℓ b Algumas respostas M e T 404 KNm em C XA 326 KNm RB 1162 KN Mmax AB 224 KNm b distância da carga P ao apoio móvel Algumas respostas d M 241 tm à esquerda de B RC 563 t XB 1063 tm à direita de B Mmax BC 878 tm 29 Atividades Nº 01 1 Você sabe que o DMF é a radiografia de uma estrutura pós carregamento Para a viga contínua abaixo assinale a opção correta do seu DMF A B C MAB MBA 21 x 6² 12 63 KNm MBC 38 x 7² 8 2328 KNm O DMF acima é de uma viga contínua de dois vãos Podemos afirmar a As armaduras longitudinais devem combater os momentos Mmax b Podese calcular os momentos fletores máximos nos vãos AB e BC pelas áreas do DFC c Onde há momentos máximos as forças cortantes também são máximas MAB MBA 18 x 6 8 135 KNm d As cargas atuantes nos vãos AB e BC são distribuídas predominantemente e As armaduras de combate aos momentos negativos XA e XB são denominadas cavale tes Assinale a alternativa mais apropriada 1 A B e C 2 A B C e E 3 A B D e E 4 B C D e E 5 C D e E 3 Para a viga contínua acima podese afirmar a Os momentos fletores nos apoios são negativos na maioria das vezes b Os momentos fletores nos vãos na maioria das vezes são positivos c Nas proximidades dos apoios as forças cortantes são maiores 32 d Quando a força cortante é máxima o momento fletor também é máximo e Para resolver a viga contínua acima empregamos apenas as equações universais do equilíbrio Assinale a alternativa mais apropriada 1 A B e C 2 B C D e E 3 C D e E 4 D e E 5 Todas 4 Calcular os momentos nos apoios X da viga acima pelo processo de Cross MBC 24 x 3 x 3 x 4 2 x 7² 323 KNm 33 5 Considere os dois tipos de trincas estruturais representadas nas vigas A e B abaixo frequentes em construções realizadas sem a devida orientação técnica malgrado o saber construtivo popular Explique porque ocorreram estas trincas estruturais nas vigas A e B Se você desconfiar que algo no projeto pode dar errado vai dar errado mesmo Projeto simples e projeto simplificado são coisas bem diferentes M 765 2651 1886 KNm 34 Aplicação Numérica Viga de Dois Vãos com Balanços 1 Resolver a viga contínua com balanços pelo Processo de Cross traçando também os diagramas O Desequilíbrio 35 Considerações Balanço é apenas um apêndice da viga e como tal ele pode ser substituído por uma força e um momento Desta forma os apoios de balanço como os apoios A e C são considerados apoios extremos assim somente o apoio B será engastamento perfeito 1886 KNm x 079 1490 KNm Cálculo dos Momentos dos Balanços XA 2 x 1 1 x 05 250 XC 3 x 15 450 Balanço acompanha a Convenção de Grinter Os balanças contribuem com a metade de seus valores na obtenção do momento XBR com mesmo sinal 37 2 Resolver a viga contínua com balanço pelo Processo de Cross traçando também os diagramas x 021 396 KNm 1886 KNm Momento de Engastamento no vão BC MeP TABELA MeAB Pab²ℓ² MeBA Pa²bℓ² 39 Resolução de Vigas de Três Vãos Resolver as vigas contínuas abaixo relacionadas pelo Processo de Cross traçando também os diagramas 1 X 594 1312 1312 1478 1478 0 V 0 p 625 625 975 975 605 605 V 0 P 250 250 323 277 220 220 V 0 T 875 875 1298 1252 825 825 Δ V 0 144 144 026 026 269 269 V 731 1019 1272 1278 1094 556 R 731 2291 2372 556 casa decimal zere pois estamos trabalhando com duas casas decimais desde início dos nossos exercícios Para obtermos os momentos nos apoios X somamos desde M e T um debaixo do outro até a segunda casa decimal zerada em ambos os apoios B e C X 0 250 914 1589 800 800 V 0 p 250 250 900 900 800 800 V 0 P 120 080 200 200 125 125 V 0 T 370 330 1100 1100 925 925 Δ V 0 183 183 113 113 199 199 V 187 513 987 1213 1124 726 R 187 1500 2337 726 43 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Para as vigas contínuas a seguir resolvêlas pelo Processo de Cross traçando também os diagramas 1 V₀P V₀R ΔV₀ 47 APLICAÇÃO NUMÉRICA VIGA DE TRÊS VÃOS COM BALANÇO Resolver as vigas abaixo 1 V 48 Engenheiros com 1 2 anos de formado devem ser fiscalizados com atenção Como diz Adélia Prado Ainda não ganharam indecisão A pressa passa a merda fica Muitos engenheiros de obra não têm qualquer noção sobre a estrutura que estão edificando R DFC K 05 EI 100 EI 160 EI DMF MOMENTOS NOS BALANÇOS 51 EXERCÍCIO PROPOSTO Resolver a viga contínua com balanço pelo Processo de Cross traçando também os diagramas ALGUMAS RESPOSTAS xD 341 tm XC 866 KNm a esquerda 53 SIMPLIFICAÇÃO NOS CASOS DE SIMETRIA Sempre que houver uma viga simétrica com carregamento simétrico a resolução da mesma pode ser simplificada Há dois casos a considerar 1 O eixo de simetria corta um apoio Número ímpar de apoios Resolvese metade da viga engastando o apoio por onde passa o eixo de simetria no caso do apoio C Exemplo RA 548 t MmaxCD 229 tm XC 558 KNm O eixo de simetria corta um vão Número par de apoios RB 696 KN MÁXIMAS DA ENGENHARIA 57 Projetar estrutura ficou muito mais fácil depois que aprendi a falar Não sei não quero e não faço ATIVIDADES Nº 02 1 A figura acima retrata um DMF de uma viga contínua Podese afirmar a Os momentos máximos positivos podem ser calculados pelas áreas do DFC respectivo b Os esforços de compressão são combatidos pelo concreto c As armaduras de combate aos momentos negativos são denominadas cavaletes d Pelo DMF observamos que as cargas distribuídas estão presentes em todos os vãos e Os momentos máximos positivos são combatidos por armaduras transversais MmaxBC 201 KNm Solução 58 Assinale a alternativa mais apropriada 1 A B e C 2 A B e D 3 B C e D 4 A D e E 5 C D e E 2 Na viga contínua abaixo resolvida pelo Processo de Cross foi considerada a simetria existente Como comportarão os diagramas de cortantes e fletores a direita do eixo de simetria Marque a opção correta a DFC REPETIDO DMF REPETIDO b DFC INVERTIDO DMF INVERTIDO c DFC INVERTIDO DMF REPETIDO d NOA Nenhuma das Opções Anteriores 3 Os momentos fletores nos nós B e C da estrutura abaixo são respectivamente a XB 125 tm Xc 12 tm 61 Assinale a alternativa correta 1 A B e C 2 A B C e D 3 B C D e E 4 A C e E 5 C D e E 5 Os momentos máximos nos vãos AB e BC da viga contínua acima são d XB 125 tm Xc 12 tm 62 a 1325 KNm 1065 KNm b 1236 KNm 785 KNm c 872 KNm 1027 KNm d 1236 KNm 625 KNm e 526 KNm 1236 KNm PÓRTICOS Conceituação Denominase PÓRTICO a estrutura composta de várias barras ligadas entre si formando uma linha poligonal fechada ou aberta 63 Classificação Os PÓRTICOS podem ser classificados em dois tipos Pórticos Indeslocáveis Aqueles cujos nós não sofrem deslocamentos devidos à flexão das barras pois seus apoios impedem estes deslocamentos Identificamos o Pórtico Indeslocável transformando todos os seus nós inclusive nós de apoios em articulações e obtendo assim uma Estrutura Isostática Pórticos Deslocáveis Aqueles que possuem alguns nós que sofrem deslocamentos devido a flexão das barras pois os apoios reais externos a estrutura não impedem os deslocamentos Identificamos o Pórtico Deslocável transformando todos os seus nós inclusive os nós de apoios em articulações e obtendo uma Estrutura Hipoestática 64 Convém observar que a classificação da estrutura como Deslocável é uma característica da própria estrutura e independe do tipo de carregamento aplicado Assim por exemplo se o pórtico é deslocável esta condição deve ser considerada para qualquer tipo de carregamento Aplicações Numéricas Resolver os pórticos a seguir pelo Processo de Cross traçando também os diagramas MBC fracPab2ell2 frac6 imes 2 imes 3252 432 tm 67 e Forças Cortantes Observar que os sentidos obtidos dos momentos no Cross foram contrariados no cálculo das forças cortantes 68 f DFC g DMF A haste barra BD foi aberta a esquerda KBA frac4EI4 100 EI quad KBC frac4EI6 067 EI MBC MCB fracpell212 fracPell8 frac2 imes 6212 frac8 imes 68 1200 tm 71 f DFC Os momentos tem seus sentidos contrariados no cálculo das forças cortantes Abertura à esquerda 72 g DMF Contrarie o sentido Coeficiente de Rigidez K d K ΣK MeAB MeBA Pℓ 8 34 8 15 KNm x023 017 KNm x031 023 KNm x046 035 KNm 075 KNm 011 KNm x027 002 KNm x032 004 KNm x041 005 KNm 011 KNm 075 KNm 77 f DFC 78 g Hastes Abertas BE è Esquerda CF è Direita 41 t 3 m 28 tm KBA 4EI6 067 EI KBC 4EI7 057 EI KBE 4EI45 089 EI ΣKB 213 EI KCB KBC 057 EI KCD 3EI35 086 EI KCF 3EI45 067 EI ΣKC 210 EI dBA KBAΣKB 067 EI213 EI 031 dBC KBCΣKB 057 EI213 EI 027 dBE KBEΣKB 089 EI213 EI 042 dCB KCBΣKC 057 EI210 EI 027 dCD KCDΣKC 086 EI210 EI 041 dCF KGFΣKC 067 EI210 EI 032 MeAB MeBA 28x212 41x68 840 308 1148 tm MeBC MeCB 28x7²12 1143 tm MeCD 28x35²8 429 tm MeBE MeEB MeCF 0 MB 1148 1143 0 005 tm MB 002 tm 83 f DFC g DMF KBC 043 El dBD 039 84 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 Para o pórtico abaixo calcular os momentos nos nós empregando o Processo de Cross Ou fc28 10 MPa 40 a 50 do volume deste concreto Pedras de mão Rachão Diâmetro máximo 30 cm Estas pedras devem ser convenientemente assentadas e limpas destituídas de material orgânico pois elas serão envolvidas por uma camada de concreto com espessura mínima de 15 cm servindo de material ligante PROJETO DE UM MURO DE ARRIMO Ao se projetar um muro devese atentar para duas fases Escolha das dimensões do muro experiência ou fórmulas empíricas Verificação da estabilidade do muro EMPUXO DAS TERRAS Chamamos empuxo a resultante das terras sobre o muro O empuxo pode ser Ativo O principal atuando contra a estabilidade do muro Passivo Reação do muro a ação das terras 89 FÓRMULAS EMPÍRICAS MUROS DE GRAVIDADE PERFIS MAIS COMUNS DIMENSÕES DO MURO a Perfil Retangular econômico para pequenas alturas Muro de Arrimo de Gravidade Escoramento de vala Murros de tijolos b 04h Murros de pedra ou concreto ciclópio b 03h b Perfil Escalonado Muros de Pedra c Perfis Trapezoidais b₀ 014h Concreto Ciclópio b b₀ h 3 Concreto Ciclópio ou Pedra b h 3 t h 6 d t FÓRMULA GERAL DO EMPUXO E γ t h² 2 K γ t Peso específico da terra K Coeficiente de empuxo ou Coeficiente de Coulomb Valores de K a Parâmetro interno liso vertical e terrapleno inclinado K cos²φ cosλ cosλ senφλsenφ² b Parâmetro interno liso inclinado do lado da terra e terrapleno horizontal K cos²θφ cosθ cosθ senθ² e Parâmetro interno liso vertical e terrapleno horizontal EMPUXO EM TERRAPLENLOS ALAGADOS Quando o terrapleno suportado pelo muro é alagado o empuxo total pode ser obtido somandose o empuxo da terra e da água desde que consideremos o peso específico virtual terrapleno alagado A água reduz o peso específico das terras γt e o ângulo de talude natural das terras φ γt γt 1 n 100 γa γt Peso específico virtual alagado γt Peso específico aparente seco n Índice de vazios do solo γa Peso específico da água SUBPRESSÃO Quando no muro há terras de um lado e água de outro SOBRECARGA EM MUROS DETERMINAÇÃO DO EMPUXO TERRAPLENO SEM SOBRECARGA EMPUXO E γt h² 2 K tm DIREÇÃO α δ θ COMPONENTES Eh E cosα Ev E senα PONTO DE APLICAÇÃO y h 3 PRESSÃO NA BASE P K γt h tm² c Parâmetro interno liso inclinado do lado da terra e terrapleno com inclinação λ φ TERRAPLENo COM SOBRECARGA ALTURA EQUIVALENTE DE TERRA À SOBRECARGA h q γt sen β sen β λ ALTURA TOTAL H h h EMPUXO E 12 KγtH² h² tm DIREÇÃO α δ θ COMPONENTES Eh E cosα Ev E senα PRESSÕES Ps K γt h tm² Pi K γt H tm² PONTO DE APLICAÇÃO y h 3 2PsPi PsPi 99 DRENAGEM EM UM MURO DE ARRIMO Na construção de um muro de arrimo a fim de evitar o acúmulo de águas pluviais infiltradas do lado da terra é de boa técnica prever um sistema de drenagem dessas águas Normalmente se utilizam drenos subhorizontais e um filtro com areia e brita A drenagem do maciço contido pelo muro de arrimo é sempre uma medida favorável à sua estabilidade porque reduz o valor do empuxo Ela deverá ser realizada não somente para o caso de terrenos que apresentam lençol freático mas também para terrenos que possam receber água de infiltração pela superfície A drenagem é executada com materiais granulares dispostos segundo ordem crescente do diâmetro dos grãos isto é os mais finos em contato com o solo conforme mostra o detalhe 1A da figura 1 Se o solo contido for granular a camada drenante pode ser composta por brita separada do solo por geotêxtil apropriado conforme detalhe 1B da figura 1 Quanto ao número de barbacações é comum se adotar um espaçamento em torno de 15 metros tanto na horizontal quanto na vertical Uma regra prática para determinação da área de drenagem dos barbacações apresentada por Talbot é dada pela seguinte equação Ad 001 Am Onde Ad Área total da seção dos barbacações Am Área do muro a ser drenada Quando não se puder empregar barbacações em função da utilização da área protegida pelo muro podese lançar mão de tubos de drenagem ou canaletas que desaguem em caixas de passagem ligadas a rede pública 109 è Todos os pesos situados acima da seção AB devem ser considerados incluindo o peso da terra Vamos redividir o muro em vários retângulos para facilitar o cálculo dos pesos próprios Observar que estes pesos estão aplicados nos centros de gravidade dos retângulos Desta forma Peso próprio x Distância ao ponto B Peso próprio Volume x Peso específico 114 DIMENSÕES EM METROS SOL a TOMBAMENTO Observe que não há carga peso de terra sobre a seção AB Redividindo o perfil trapezoidal ficará mais fácil calcular os pesos próprios 125 3 Porque a drenagem é importante na construção de um muro de arrimo 4 Em obras de terra como na construção dos muros de arrimo explique porque o índice de acidentes do trabalho é tão alto 5 Na maioria das obras um elemento estrutural se destaca Referimos ao muro de arrimo cuja função principal é dar estabilidade a um talude Para o muro de arrimo abaixo apresentamos várias afirmativas exceto a O empuxo das terras e as condições do solo são fatores determinantes no seu dimensionamento b O peso próprio do material constituinte do muro atua favoravelmente na estabilidade ao tombamento c Em terrenos alagados o empuxo total vale a soma dos empuxos da terra e da água 126 d Os muros de arrimo de gravidade devem ser reforçados com armadura e No dimensionamento de um muro podemos lançar mão de fórmulas empíricas 6 Um dos movimentos possíveis para o muro de arrimo é o tombamento Para o muro de arrimo abaixo o momento de tombamento na seção AB é igual a a 61 tm b 1098 tm c 1350 tm d 100 tm e 84 tm 131 DRENAGEM Tubos de PVC diâmetro 75mm ou 100mm atravessando o muro dispostos nos espaçamentos de cada 200m no sentido horizontal e a cada 100m ao longo da altura Do lado da terra esses tubos deverão ser tampados com tela de náilon ou latão malha 18 3mm para evitar a fuga do material filtrante composto de pedra britada dmax 25mm e pedrisco adequadamente colocado SEÇÃO ELEVAÇÃO 132 MÁXIMAS DA ENGENHARIA Projetar estrutura ficou muito mais fácil depois que aprendemos a falar Não sei Não quero e Não faço Seu cliente não é quem te paga mas sim a estrutura que você projeta Papel aceita qualquer coisa Na dúvida desenhe em escala MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS O método dos deslocamentos é um método de resolução de estruturas que conta com o auxílio do cálculo matricial como ferramenta principal Vejamos alguns conceitos necessários para uma melhor compreensão do método DEFORMAÇÃO E DESLOCAMENTOS Seja a viga biapoiada abaixo solicitada pela carga P Quando aplicamos a carga P seu eixo inicialmente retilíneo passa a curvilíneo 136 Desta forma podese estabelecer o Princípio da Superposição dos Efeitos Os efeitos produzidos por várias causas podem ser obtidos combinando os efeitos devidos às causas individuais GRAU DE INDETERMINAÇÃO CINEMÁTICA Chamamos Grau de Indeterminação Cinemática GIC de uma estrutura o número de graus de liberdade dos apoios vigas ou nós pórticos à rotação e à translação EXEMPLOS Translação Horizontal APOIO A GIC 2 Rotação APOIO B Nenhum Deslocamento 137 Translação Horizontal APOIO A Rotação NÓS B e C Rotações APOIOS D E F Nenhum Deslocamento GIC 4 EQUAÇÃO DE AÇÃO E DESLOCAMENTO Seja a mola linearmente elástica abaixo sujeita a ação A A ação A comprime a mola produzindo um deslocamento D 149 g DIAGRAMAS INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS 155 g DIAGRAMAS INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS 197 f DIAGRAMAS INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS 198 OBS Barra descarregada Biengastada O DMF corta o eixo 203 TABELAS FORMULÁRIO PARA O MÉTODO DE CROSS 206 FORMULÁRIO MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS VIGAS MONOENGASTADAS VIGAS BIENGASTADAS MOMENTOS E REAÇÕES DESLOCAMENTOS UNITÁRIOS 207 SINCEROS AGRADECIMENTOS AOS KENNEDYANOS UBIRAJARA ALVIM CAMARGOS por sua palestra ERROS EM ENGENHARIA de onde foram retirados vários itens MIGUEL NAJAR DE MORAES por seu DISCURSO DE FORMATURA de onde foram retirados vários itens EULÁLIA MARIA TOMAZ DE LIMA pela edição da apostila Ao ENGENHEIRO DE ESTRUTURAS ANTÔNIO CARLOS REIS LARANJEIRAS de onde foram retiradas as MÁXIMAS DA ENGENHARIA do seu 179 LIÇÕES QUE APRENDI COMO PROJETISTA DE ESTRUTURAS MUITO OBRIGADO