Exercícios - Física 3 2023 1

Questão 1: Um fio longo e retilíneo tem diâmetro de 2 mm e carrega uma corrente de 2 A uniformemente distribuída sobre a seção circular transversal do fio. Utilize a lei de Ampère e demonstre uma expressão para o campo magnético como função da distância ao eixo central do fio, tanto dentro como fora do fio. Faça um gráfico da função obtida. Questão 2 : Um fio dobrado como um loop semicircular de raio R está no plano xy. Ele carrega uma corrente I do ponto a ao ponto b, como mostrado na figura ao lado. Nesta região, há um campo magnético uniforme B ~ = B ~k que é perpendicular ao plano do loop. Encontre a força magnética agindo sobre a seção semicircular do fio. Questão 3: Um longo fio retilíneo carrega uma corrente de 1,7 A na direção +z e localiza se na linha x = −2 cm, y = 0. Um segundo fio carrega a mesma corrente e está ao longo da linha x = +2 cm, y = 0, como mostrado na figura abaixo. (a) Encontre o campo magnético como função de y ao longo do eixo y. (b) Encontre o campo magnético na origem assumindo que a direção da corrente é invertida no fio que está em x = +2 cm, y = 0. Questão 4: Um campo magnético uniforme faz um ângulo de 30◦com o eixo de uma bobina circular que tem 300 voltas e raio igual a 4 cm. A intensidade do campo magnético aumenta de acordo com a função B(t) = 4 × 10−3 + (1 × 10−3)t3, com B(t) dado em Tesla. A direção e sentido do campo permanecem fixos. (a) Determine a intensidade da fem induzida na bobina como função do tempo. (b) Se a resistência da bobina é 200 Ω, faça um gráfico da corrente induzida na bobina como função do tempo no intervalo 0 s ≤ t ≤ 10 s. MILLENNIUM FALCON SPEEDER BIKE X-WING STARFIGHTER TIE FIGHTER AT-AT THE RAZOR CREST STAR DESTROYER QUESTÃO 1: Enunciado: Um fio longo e retilíneo tem diâmetro de 2 mm e carrega uma corrente de 2 A uniformemente distribuída sobre a seção circular transversal do fio. Utilize a lei de Ampère e demonstre uma expressão para o campo magnético como função da distância ao eixo central do fio, tanto dentro como fora do fio. Faça um gráfico da função obtida. Solução: 1. Dentro do condutor: Pela regra da mão direita, temos que o campo B será tangente à circunferência que circunda o eixo de sentido de corrente. Nosso percurso de integração será a circunferência de raio 𝑟 centralizada no fio e situada no plano. Logo, o módulo da integral da Lei de Ampére será, 𝐵 = 2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑟. Em sequência, precisamos determinar a corrente englobada pela circunferência. Para isso, utilizaremos a densidade de corrente: 𝐼𝑖𝑛𝑡 = 𝐽 ∗ 𝐴𝑖𝑛𝑡 = 𝐽𝜋𝑟² No fio de raio R temos uma corrente I. Assim, o módulo de densidade de corrente será: 𝐽 ∗ 𝐴 = 𝐽𝜋𝑅2 = 𝐼 → 𝐽 = 𝐼 𝜋𝑅2 Ou seja, 𝐵 = 2𝜋𝑟 = 𝜇0𝐼𝑖𝑛𝑡 = 𝜇0𝐽𝜋𝑟2 = 𝜇01 𝜋𝑅2 ∗ 𝜋𝑟2 = 𝜇0 ∗ 𝐼𝑟2 𝑅2 𝑩 = 𝝁𝟎𝑰𝒓 𝟐𝝅𝑹𝟐 (𝒓 < 𝑹) Assim, 𝐵 = 2 ∗ 𝜇0 ∗ 𝑟 2 ∗ 𝜋 ∗ 0,0012 𝐵 = 2 ∗ 𝜇0 ∗ 𝑟 2 ∗ 𝜋 ∗ 12 𝑩 = 𝝁𝟎 ∗ 𝒓 𝝅 2. Fora do condutor Pela regra da mão direita, temos que o campo B será tangente à circunferência que circunda o eixo de sentido de corrente. Nosso percurso de integração será a circunferência de raio 𝑟 centralizada no fio e situada no plano. Logo, o módulo da integral da Lei de Ampére será, 𝐵 = 2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑟. Nesse caso, a circunferência engloba toda a corrente, logo: 𝐼𝑖𝑛𝑡 = 𝐼 Assim, 𝐵 = 2𝜋𝑟 = 𝜇0𝐼 𝑩 = 𝝁𝟎𝑰 𝟐𝝅𝒓 (𝒓 > 𝑹) Ou seja, 𝐵 = 𝜇0 ∗ 2 2𝜋𝑟 𝑩 = 𝝁𝟎 𝝅𝒓 QUESTÃO 2: Enunciado: Um fio dobrado como um loop semicircular de raio R está no plano xy. Ele carrega uma corrente I do ponto a ao ponto b, como mostrado na figura ao lado. Nesta região, há um campo magnético uniforme B ~ = B ~ k que é perpendicular ao plano do loop. Encontre a força magnética agindo sobre a seção semicircular do fio. Solução: Tem-se: Portanto, 𝑑𝐹⃗ = 𝐼𝑑𝑙⃗ 𝑋 𝐵⃗⃗ 𝑑𝑙⃗ = 𝑑𝑙 sin 𝜃𝑖̂ + 𝑑𝑙 cos 𝜃𝑗̂ Se, 𝑑𝑙 = 𝑅𝑑𝜃 Temos, 𝑑𝐹⃗ = 𝐼(−𝑅 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑑𝜃 𝑖̂ + 𝑅 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑑𝜃 𝑗̂) 𝑋 𝐵⃗⃗𝑘̂ 𝑑𝐹⃗ = 𝐼 𝑅 𝐵 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑑𝜃 𝑗̂ + 𝐼 𝑅 𝐵 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑑𝜃 𝑖̂ Assim, 𝐹⃗ = ∫ 𝑑𝐹⃗ = 𝐼𝑅𝐵î ∫ cos𝜃 𝑑𝜃 + 𝐼 𝑅 𝐵𝑗̂ ∫ sin 𝜃 𝑑𝜃 𝜋 0 𝜋 0 𝐹⃗ = 𝐼𝑅𝐵î (0) + 𝐼𝑅𝐵𝑗̂(2) 𝑭⃗⃗⃗ = 𝟐𝑰𝑹𝑩𝒋̂ QUESTÃO 3: Enunciado: Um longo fio retilíneo carrega uma corrente de 1,7 A na direção +z e localiza se na linha x = −2 cm, y = 0. Um segundo fio carrega a mesma corrente e está ao longo da linha x = +2 cm, y = 0, como mostrado na figura abaixo. (a) Encontre o campo magnético como função de y ao longo do eixo y. (b) Encontre o campo magnético na origem assumindo que a direção da corrente é invertida no fio que está em x = +2 cm, y = 0. Solução: a) Sabendo que, 𝐵𝐿 = 𝐵𝑅 = 𝜇0 4𝜋 ∗ 2 ∗ 𝐼 𝑅 𝐵𝐿 = 𝐵𝑅 = (10−7𝑇 ∗ 𝑚 𝐴) ∗ 2 ∗ (1,7 𝐴) √(22 + 𝑦2) 𝐵𝐿 = 𝐵𝑅 = 3,4 ∗ 10−7 √(22 + 𝑦2) Logo, 𝑩⃗⃗⃗ = −𝟐 ∗ [𝟑, 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 √(𝟐𝟐 + 𝒚𝟐) ] ∗ 𝐜𝐨𝐬 ( 𝟐 √(𝟐𝟐 + 𝒚𝟐) ) 𝒊̂ b) Para (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (+2,0, −𝑧), tem-se: −𝐵⃗⃗ = −2 ∗ [ 3,4 ∗ 10−7 √(22 + 02) ] ∗ cos ( 2 √(22 + 02) ) 𝑖̂ 𝑩⃗⃗⃗ = 𝟑, 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟕𝒊̂ QUESTÃO 4: Enunciado: Um campo magnético uniforme faz um ângulo de 30 ◦com o eixo de uma bobina circular que tem 300 voltas e raio igual a 4 cm. A intensidade do campo magnético aumenta de acordo com a função B(t) = 4 ∗ 10−3 + 10−3 ∗ t3, com B(t) dado em Tesla. A direção e sentido do campo permanecem fixos. (a) Determine a intensidade da fem induzida na bobina como função do tempo. (b) Se a resistência da bobina é 200 Ω, faça um gráfico da corrente induzida na bobina como função do tempo no intervalo 0 s ≤ t ≤ 10 s. Solução: a) Pela Lei de Faraday, temos que a 𝑓𝑒𝑚 induzida é dada por: 𝜀𝑖𝑛𝑑 = − 𝑑𝜙𝐵 𝑑𝑡 Logo, |𝜀𝑖𝑛𝑑| = 𝑁 ∗ 𝑑𝐵 𝑑𝑡 ∗ 𝐴 ∗ cos (30°) |𝜀𝑖𝑛𝑑| = 300 ∗ 𝑑 𝑑𝑡 (4 ∗ 10−3 + 10−3 ∗ t3) ∗ (𝜋 ∗ 0,042) ∗ cos(30°) |𝜀𝑖𝑛𝑑| = (1,306) ∗ (3 ∗ 10−3 ∗ t2) |𝜺𝒊𝒏𝒅| ≅ 𝟑, 𝟗𝟏𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 ∗ 𝐭𝟐[𝑽] b) Para a corrente seguiremos a Lei de Ohm. Assim, 𝑖 = 𝜀𝑖𝑛𝑑 𝑅 𝑖 = 3,918 ∗ 10−3 ∗ t2 200 𝑖 = (1,958 ∗ 10−5) ∗ 𝑡² b) Para o gráfico da Corrente induzida x Tempo, tem-se: Tempo Iind 0 0 1 1,96E-05 2 7,83E-05 3 0,000176 4 0,000313 5 0,00049 6 0,000705 7 0,000959 8 0,001253 9 0,001586 10 0,001958 Logo, 0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025 0 2 4 6 8 10 12 Corrente [A] Tempo [s] Corrente Induzida x Tempo