Slide - Teoria das Falhas - 2024-1

© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 1 1 - 1 Teorias de Falhas Componente Curricular : ENG 301 – Resistências dos Materiais II-A Carga Horária: 60 horas Capítulo 10: Teorias de Falhas Falhas © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 3 Teoria de Falha • Quando um engenheiro enfrenta a situação de analisar e dimensionar uma estrutura utilizando um material específico, torna-se importante estabelecer um limite superior para o estado de tensão que defina a falha do material. • Se o material for dúctil, geralmente, a falha será especificada pelo início do escoamento, ao passo que se for frágil, isso ocorrerá pela ruptura. • Esses modos de falha são definidos, imediatamente, se o elemento estrutural estiver sujeito a um estado de tensão uniaxial, como no caso de tração simples. • Se o elemento estrutural estiver sujeito a tensão biaxial ou triaxial (tensão multiaxial), será mais difícil definir um critério para a falha. © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 4 Teoria de Falha • Portanto, será abordado quatro teorias, frequentemente, utilizadas na prática da engenharia para prever a falha de um material sujeito a um estado de tensão multiaxial. • Essas teorias, e outras como elas, também são usadas para determinar as tensões admissíveis informadas em muitas especificações e normas técnicas. • Porém, não existe nenhuma teoria de falha única que possa ser aplicada a um material específico todas às vezes. • Isto ocorre porque um material pode comportar-se como dúctil ou frágil, dependendo da temperatura, taxa de carregamento, ambiente químico, do processo de fabricação ou moldagem. © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 5 Teoria de Falha • Para esse cálculo, pode-se usar os fundamentos da resistência dos materiais. • Ou, em situações complexas, determinar as máximas componentes da tensão por análise matemática baseada na teoria da elasticidade ou por uma técnica experimental adequada. • Quando se usa uma determinada teoria de falha, em primeiro lugar, é necessário calcular as componentes da tensão normal e de cisalhamento em pontos do elemento estrutural, onde essas tensões são máximas (estado de tensão). • Seja qual for o caso, uma vez definido o estado de tensão, as tensões máximas nesses pontos críticos serão determinadas para cada uma das teorias de falha a serem apresentadas a seguir, através do conhecimento das tensões principais. Materiais Ducteis Nesistencia Teoria da tensao de cisalhamento maxima J 7° edicdo ¢ A causa mais comum do escoamento de um material ductil, como o F aco, € o deslizamento que ocorre ao longo dos planos de contato ) s at dos cristais orientados aleatoriamente e que formam o material. | | ¢ Esse deslizamento deve-se a tensao de cisalhamento. / X N Zz Sa : ¢ Por exemplo, se submetermos um corpo de prova com o formato de ~ uma tira fina com alto polimento ao ensaio de tracgao simples, pode ser verificado como essa tensao provoca 0 escoamento do material. I ¢ As bordas dos planos de deslizamento que aparecem na superficie | F da tira sio denominadas linhas de LUDER. * Essas linhas indicam, claramente, os planos de deslizamento na tira, que ocorrem a aproximadamente 45° em relac&o ao plano perpendicular (secao transversal) ou ao eixo da tira. slide 6 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. ° ° vy e a 2 f ea : : . : Materiais Ducteis Bet %y, |(%x—%.. 2| Recicténcia 01,2 7 rc 7 Txy dos MQACSMAIS Teoria da tensao de cisalhamento maxima he TP’ edicdo 4 ¢ Vamos considerar uma barra carregada por uma forca de tracao {" oe (2). Selectonando um elemento infinitesimal desse corpo de prova (CP), que foi ensaiado a tracao simples, e considerando , tox que alcancou a tensao de escoamento (0,) (Figura-a). ¢ A tensd4o de cisalhamento maxima pode ser _ %e a Oméd = 2! | Axial tension determinada tracando-se o circulo de Mohr , ia (a) (Figura-b) para o estado de tensao ilustrado na fa 20 = 20, = 0 Vv (O Ty) Vv (0 ) 0) H (9,; 7 Ty) H (d.5 0) O 26, H O ° Os resultados indicam que: 265 = 90 Oy + Oy J ri Sa Oy — 6. et |(A5%) J Fs b tan 26, = 20 (0, — Oy) r () (0, — Oy) slide 7 os 2Txy © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Materiais Ducteis pte amakarirni oa OI 4 le Teoria da tensdo de cisalhamento maxima 7 edigdo 4 ° ries y! Oe x! ¢ Essa tensao de cisalhamento maxima age em “ Se EE Vy Oo Taye ~ 4 planos que est&o a 45° (figura-c) em telacao aos yn 2 planos de tensao principal do estado de tensao yo > e , ; ; € S 6, = 45° original (figura-a — slide anterior). ~ J ¢ Esses planos coincidem com a diregao das linhas = (c) F de Luder mostradas no corpo de prova, indicando que, de fato, a falha ocorre por cisalhamento. 45ef\ . Ne ¢ Dessa forma, usando essa ideia de que os materiais ducteis SONNE [ iider’s lines on SS mild steel strip falham por cisalhamento, Henri Tresca prop6s, em 1868, a | teoria da tensao de cisalhamento maxima, ou critério de escoamento de Tresca. | P slide 8 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Materiais Diucteis 4 k Teoria da tensdo de cisalhamento maxima 7 edigao ¢ Essa teoria pode ser usada para prever a tensao de falha de um material ductil sujeito a qualquer tipo de carga. ° O Critério de Tresca afirma que 0 escoamento do material comeca quando a tensao de cisalhamento maxima absoluta no material, atinge a tensao de cisalhamento que provoca 0 escoamento desse mesmo material quando sujeito a tensao uniaxial. ¢ Portanto, para evitar falha, o critério de Tresca exige que tensao de cisalhamento maxima absoluta no material seja menor ou igual a metade da tensao de escoamento, onde a tensao de escoamento é determinada por um ensaio de tracgao simples. Oe | 'max,abs = 2 slide 9 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Materiais Ducteis at) Cc ( ws e Teoria da tens4o de cisalhamento maxima 7 edigao ¢ Para aplicar a teoria, expressa-se a tensao de cisalhamento maxima absoluta em ~ .- ee ~ Omax —~ O9min termos das tensOes principais por meio da equac¢ao: max Abs => ¢ A teoria da tensao de cisalhamento maxima patra o estado plano de tensao pode ser expressa pelas duas tens6es principais, dadas pelas seguintes equacoes: \o7y | < om a ° ° “ ~?¢,,0, tem Os MesMOs sinals la>| <a. - = c lo, — o>| So. } Fp 9%, t€m sinais opostos < e & slide 10 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Materiais Ducteis Recickencin ; : ; ae dos MACSrials Teoria da tensao de cisalhamento maxima T° edicdo ¢ As equacdes podem ser expressas por um grafico, denominado Superficie de Falha de Tresca. ° Fica claro que, se qualquer ponto do material estiver sujeito ao estado plano de tens4o e suas tens6es principais no plano forem representadas por uma coordenada (0, 02) marcadas no contorno ou dentro da area hexagonal da superficie, o material nao escoara no ponto analisado, podendo dizer que nao ocorrera a falha, mas qualquer valor acima o material O02 falhara... +0¢ lo,| < OC A . ; a © 7? 9,,0, tem Os MesMoOs sinals lo>| <o. - a = © oo —¢ +O¢ lo, — o9| So, 1 0,0, tem sinais opostos slide 11 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Teoria de Falha JAHOLSTINIM dos MACSMQAIS Materiais Ducteis 7° edicdo Teoria da energia de distorg4o maxima i ° E visto no livro de Resisténcia dos Materiais na secao 3.5 (livro do ~~ , Hibbeler) o assunto sobre Energia de deformacao, em que uma | estrutura, quando deformada por um carregamento axial, a | 7 eek tende a armazenar energia internamente em todo seu volume. : — * Em um erafico forga-deslocamento (/-x ), P a Energia de deformagao €é dada pot: P=kx ; x4 ia U= | Pdx es 0 RES a ¢ Para o material em regime elastico ee a linear (Lei de HOOKB), tem-se: O ra x ¢ Unidade da energia de deformacao N.m = J (Joule), ou multiplos kj, My. slide 12 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Teoria de Falhas Volsteliti dos MQAQCE6MIAQIS Materiais Ducteis 7° edicdo Teoria da enetgia de distorg4o maxima * A energia de deformacao U por unidade de volume do material ¢ denominada e e ~ Co densidade de energia de deformagao (wu), dada por: ) ~~ “8 fe | _ La | u- | Ox OE x a ~~) 0 E, Ej — € 0 ¢ E, se o material estiver sujeito a uma tensao uniaxial, o, Gn ke. . . ~ . O. a densidade de energia de deformacao, considerando ~1 a lei de Hooke ¢ definida por: 1 ! ——__________——__ slide 13 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Materiais Ducteis 4 a ge OS oo . . . ~ a TF’ edicdo Teoria da enetgia de distorg4o maxima S ° possivel formular um critério de falha com base nas distorgdes causadas pela Energia de deformagao. ¢ Entretanto, precisa-se determinar a densidade de energia de deformacao (uw) em um elemento de volume de material sujeito as trés tensdes principais, 0,, 02 e€ 03, denominado Estado Triaxial de TensG6es. * Cada tensao principal contribui com uma porcao da densidade de energia de deformagao total (wu), de modo que: u = 701€1 + =~ O27E2 + 7 3&3 slide 14 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Materiais Ducteis Se 00s eS ( ; a 7 edicgdo Teoria da energia de distorg¢a4o maxima : X47 1 ut a! | | ~ UuU=T7Od1E ZO2E ~O3€ ———— * Como o material comportar-se de maneira linear elastica, a “aa lei de Hooke é aplicavel. x : ™~ Oo! , - _ J O72 ¢ Assim, considerando as equagdes de deformacdes (estado de | deformacao ou Lei de Hooke Generalizada) e substituindo na equa¢ao da densidade de energia de deformagao, u, obtém-se a densidade de energia de deformagao para estado de tensao triaxial, dado por: 1 1 1 é. ==, -v(o, +0.) ? Ey =—/s, -v(o, +0.) ? E. =—lc. -v(o, +o,)| 1 2 2 2 u = — lo + 07 + 03 — 2v(01,02 + 0193 + 0302)] slide 15 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Materiais Ducteis i aiag lalla! Nast dos i | A K_}i. Teoria da energia de distorg¢4o maxima a 7° edicdo ¢ Essa densidade de energia de deformagao (uw) pode x 03 set considerada como a soma de duas partes: ils. e roe “~— 7 - _ we Y uma que representa a energia necessaria para \ _ provocar uma mudanga de volume no elemento x sem mudar a forma do elemento; O71 y o> Ye outra que representa a energia necessaria para | distorcer 0 elemento. Cus } O———————e—eeeeererererererererererrrr rl . KK, y —— >. 71 . 0 a “5 ce > 4” ¢ Especificamente, a energia armazenada no elemento como el | | | ee ! | | | resultado da mudanga em seu volume €é causada pela ! | ! | nN | | > ‘ x Gs FAS Fave | PN aplicacao da tensao média, dada por: 1 ! avg 0, +02+ 03 ONE = 6....2 = slide 16 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. 03 A>, oa ——— = ~CSIST6CNCIC e e Tv e — 7 i 7 > — ' a ed os » aed | ~ sl Materiais Ducteis es non om Beg est om om _ dos MACSMAIS Teoria da energia de distorg¢4o maxima | 7° edicdo O7; . | 0? Fave ¢ Essas tensdes médias provocam deformacdes | = i 0 9 o8 Q ° , < cn ; = >s, ptincipais iguais no material (mudanga de volume). Sa | xs | - ~ . Nae * “A porcao remanescente da tensao provoca a energia de | 1 | | | e ~ ! I distorc¢ao. one Bo ¢ Substituindo esses valores de tensdes remanescentes (tensao Se Sal a | e . : yd de cisalhamento maxima) e utilizando a Omeq na equacgao da densidade de energia de deformagao (u) e manipulando ie aS. matematicamente, obtém-se a energia de distorgao por — 4 SS > . > ~ I : K > waa" unidade de volume (u,), dada pot: i ey | | a Aa I 1+¥v | ze | — 2 2 2 | ui, = [(o4 — 02)° + (G2 — 63)° + (63 — 04)*| } = 6E | < / we ! a J u = 5-0} + 0} + 03 — 2v(0402 + 0103 + 0307)] SS aa 0, +02+ 03 slide 17 a ed — © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. 03 Materiais Ducteis ae | a 4 ae ~ ii |) OS 7) Lei FCS Teoria da energia de distorg¢4o maxima Z x. 7 edicdo O71 5 = = O2 1l+v | —_— 2 2 2 wg = CE [(o1 — 02)° + (02 — 03)° + (03 — 04)*] ¢ Para o ensaio de tracao uniaxial, 0; = Oe e 02 = 03 = 0, a energia de distorcao por unidade de volume devido ao escoamento, u4/., ¢ dada por: — 1+v o * Como a teoria da energia de distorgao maxima exige que, Ug S Ugce), entao, para o caso de tens@o triaxial, tem-se: 5 7 7 5 (01 — 02)” + (02 — 03)° + (03 — 04)" < Zoe ° ssa teoria € denominada como a teoria da energia de distorgao maxima, ou critério de von Mises. ¢ No caso de estado plano de tensao ou tensao biaxial, 03 = 0, entao, a equacao é dada por: 0, —0,0,+05<0% slide 18 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Materiais Ducteis : it aad fale OOS oA 3 . . . ~ ye sore TF’ edicdo Teoria da energia de distor¢a4o maxima ou Critéiro de S von Mises Ce ean Lor o> ~ roe +0¢ ¢ Essa equacao representa uma curva eliptica, que pode ser representada por um superficie em um erafico Oz VETSUS O74. Ve e, +O0¢ ¢ Assim, se um ponto no material sofrer uma ~ ~ , —O tensao, tal que a coordenada da tensado é e marcada no contorno ou dentro da area sombreada, se diz que o material nao falhara. slide 19 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Teoria de Falhas Aacictancic ll cect WH gel r; | =| e e 7 e m wom fn ome 1 Materiais Ducteis dos Materials = 7° edigdo OBSERVACOES: oO, : Pure shear * Comparacoes entre os dois critérios de falha 72) | sao mostradas no grafico das superficies. ll | ¢ Observa-se que ambas as teorias tém os oe J SZ Dc. O71 mesmos resultados quando: | yA nm & : ~ —— 7 . : yf Y \ v3 3 Y as tensdes principais sao iguais ———: V3 V3 a e= (mesmos_ sinais), isto é, dadas pelas a) equacoes: ¥Y e quando uma das tens6es principais for lo,| <a. . i, lon| < © »>¢,,0, tem OSs MesMOS sinals igual a zero ¢ a outta tiver valor O¢. O2! ~ Oe r, —- o>! <o } O,,.0, tém sinais opostos 0; — 010, +03 < 02 01 — O21 <0, } %v% slide 20 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Teoria de Falhas Sn ntathants Ss SISLG!l I! = Materiais Ducteis dos Materials ~ 7 edigdo OBSERVACOES: ; O72 | | ¢ Por outro lado, se o material for submetido a . 9 ee cisalhamento puro (7), entao, as teorias demonstram th | diferenca na previsao da falha. 6, VY SS Ly A) —_ ~ ; \ 0, * As coordenadas da tensao desses pontos sobre as curvas | NTS .- . | ao foram determinadas considerando o elemento sob 7. | WV —| ‘salh (— %,- %e,) — Ge Ge Ge cisalhamento puro. ( 7 5 ) ¢ Pelo circulo de Mohr associado para esse estado de tensao, obtém-se as tensdes principais: lor — ol <0) fem (y_—————____7 LS Ct Oo ¢ Aplicando as equacdes da teoria da tensao de nT cisalhamento maxima (Tresca) e a teoria da ; ~ , A (1,0) energia de distorg¢4o maxima (von Mises) tem-se ~ 2 2 ; | os valores das tens6es: bi - 0102+05< a2 . oo slide 21 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Teoria de Falhas Aacictancic | a) A ec ° ° 7 C ma am [ln na i — Materiais Ducteis dos Materials T° edicdo OBSERVACOES: O2 Pure shear "e | -— _( a ,¢) ¢ Experimentalmente, ensaios de _ tor¢gao _ para jh, | desenvolver condigdes de cisalhamento puro em -o, VY | * —<—$<————da r . . . om 0, um CP ductil, mostraram que a teoria de distorgao | YL. e | maxima (critério de von Mises) dao resultados : | y aE) —| ° : ° = (= Oe, - Je) —%e / Oe Oe mais precisos do que a teoria da tensao de | (=-=) cisalhamento maxima (critério de Tresca). ° Pode-se dizer, entao, que o critério de Tresca é mais conservadot. slide 22 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Exemplo 1 - ) 4 O eixo macico ilustrado na figura tem raio de 0,5 cm é c Y. TF edigao feito de ago com tensao de escoamento de a, = 360 MPa. Zo: Determine se as cargas provocam a falha do eixo de tee S ee “--77 i —_ acordo com a teoria da tensdo de cisalhamento maxima ~~ | aa a“ (Iresca) e a teoria da energia de distorg¢ao maxima 5 ont ») ae (von Mises). 0.5 as 3,25 KN-cm Solucao: —15000 N N o, = 4 | _ ee yO = = -191,0—_,, = ~191,0 MPa A Iyly — 12, Iyly — 12, (5S mm) mm T, =3,25kNcm DCL T, =3,25kNcm a ee N=15kN N=15kN _ kk _ 3,25 x 103N x 10' mm ty = 165,5——= = 165,5 MPa Uxy Po ty = — 5 mm) y mm? Jo Z (5mm)* 2 slide 23 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Exemplo 1 5 ee eee R Resisténcia Solugao: 0, = -—191,0MPa_ Tyy = 165,5 MPa dos MQ cCerials DCL T° edicdo T, =3,25kNm T, =3,25kNm os oe N=15KkN N=15KN = we ( C - FS Tensé Lo . IS kN ens6es principais podem ser obtidas pelas } ee < 3.25 KN:cm equacoes de transformacao de tensao, 05em~ > (a) Ox + Oy Ox — Oy\? O12=—> + (== + T xy" ——_ 165.5 MPa ; | 191 MPa —191+0 —191-0 012 = —_ ——— } + (165,5)2 ' 2 2 + ay < 012 = —95,5 + 191,1 + Try ay o, = 95,6 MPa 0, = —286,6 MPa toy a eee x Slide 24 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Exemplo 1 Resistencia Solucao: 0, = 95,6 MPa O> = —286,6 MPa dos materiais “* Visto que as tensdes principais tem 7 edigdo sinais opostos, a equacao a_ set 195.6 — (—286.6)|= 360 utlilizada para o Critério de Tresca é: 382.2 > 360 Assim, a falha por cisalhamento do material ocorrera de acordo com essa teoria. “* Usando a teoria da energia de distorg¢ao maxima ou Critério de von Mises o> Superficie de Tresca 2 2 2 y Z (01 — 02)" + (02 — 03)° + (03 — 04)* < 20% Pure shear 0. — ( Je ,0e) 03 0 Superficie de von Mises (oy? — 0\07 stp oy) Se oe —Oe , ———— 9 10% &\2 K\(—IRE 26 K)21.2 (2612 & : [(95.6)* — (95.6)(—286,6) + (—286.6)*|= (360) Oe Oe 118.677.9= 129.600 (a-F) {= Oe - Ge,) Og ( Oe ~) Usando esta teoria, nao ocorrera falha. 2 2 slide 25 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Exemplo 2 - bn it A secao transversal de um tubo de aco tem diametro interno de Oos OLE 60 mm e didametro externo de 80 mm. Se estiver sujeito a um 7 edicgdo momento de torgao de 8 kKNm e a um momento fletor de 3,5 » kNm, determine se essas cargas provocam falha no material de Ag acotdo com a teoria da energia de distorgAo maxima (critério 1 x = 8kNm (— de von Mises), considerando o estado de tensao no ponto A. A M, 3 skNm Le resist€ncia ao escoamento para o aco a tracao € a, = 250 MPa. xe Utilize o circulo de Mohr para solucao. Solugio: | _N | Mo + aa - a + a , | Dees “ * A LL, — [yz LL, — [yz Jo aon M, 3.500 Nm - 0,04 Ox aaa ~~~ Froo4*-(0034] _—_ 4 101,9 MPa Ty 8.000 Nm - 0,04 a | { aan a Txz = 710,04) — (0,03)"] — (0,03) = 116,4 MPa 1164MPa slide 26 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Exemplo 2 — Solugao: t” _ Baciethacriy V(—101,9; 116,4) H(0; —116, 4) or dos g : ——$————> T° edicdo (a) tensOes normais principais: 101,9 MPa A toy 62=O0A =OC+CA 02=OmeatR ae 116,4 MPa <——— 62 =50,9+127,1 |o2 = —178,0 MPa res OC = Omeg = ® [06 =o meg = —50,9 MPa -101,9 2 <_—__” H I Oméd NO R= JCD2+DV2 R=,V5124+116,42 |R=127,1MPa ! : | ! —116,4 CD=OD-OC CD=0,- 6,2; =51 ! ! A ! ! B 01 = OB = CB-0C =R- Ome D; © o o, = 127,1-50,9 O, = 76,1 MPa ! ! critério de von Mises ! wy ! (76, 1)? — (76, 1) - (-178, 0) + (—178, 0)? < 250? Ve —_ 51.021,01 < 62.500 — ok! nao ocorrera a falha. T slide 27 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Exemplo 3 iGSISCENCIA Devido ao carregamento aplicado, o elemento oo 7 edigao localizado em um ponto sobre a estrutura esta sujeito P, ao estado plano de tensao mostrado na _ figura. Utilizando o circulo de Mohr, determine se a falha P2 deste material ocorrera considerando o critério de Tresca para a resisténcia ao escoamento igual a 150 kPa. Represente o estado de tens6es principais. 7 — + Try Coordenadas do citculo de Mohr y + 0x V(Ox; Txy) V(—20; —40) H(Oy;—Txy) H(0;40) + Z L 20 kPa O,+oay -—20+0 ato ——— Oo Z ed a méd 2 2 C (-10; 0) oe slide 28 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. \ Exemplo 3 ~ 1G } | ( ) *1 : 0Oos 4 V(—20; —40 H(0;40 _ : = ( ) r 1 62 x 7° edicgdo tensdes normais principais: (2 [ ) 0,2 —_ ee eee eee -------p> x <———__— 02 =~OA=0C+CA =Oméiat R OL oN 1 20 kPa = i OC = Oméq = —10 kPa ! O71 —20 ———» 40kPa |< R = /CD2 + DV? | ve CD = OD —0C = 20-10 =10kPa i\R R= 102+402 R=41,23kPa 40} | \Omea 24y2 \' o,=10+4+ 41,23 |o, = —51,23 kPa A ! (\ C B 0,,0, 01=0B =CB-—CO 6, =R—O med ! ! o, = 41,23-10 [o, =31,23kPa ! ; a I 1 I DV 40 - \ 7 tan 2652 =p 10 20,2 = 75,96 a“ 4. Oo T, Slide 29 On2 — 37,98 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Exemplo 3 fecictencic OOos LG i Verificacao da falha através das TensGes Principais 7 edicgdo 0, = 31,23 kPa o, = —51,23 kPa lo | <0, * ; . os - | : J ,,9, tem OS MesMOs sinals lo! < oO. - lo, — o>| <a, } 9,0, tem sinais opostos lo, —o2| So, [31,23 —(—51,23)|< 150 82,46kPa < 150 kPa Ok! nao ocorrera a falha. slide 30 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Exemplo 3 Oni = 91 = 31,23 kPa] Qecichtencic Verificagao por tensao de cisalhamento dos MaAtCGTIOIS maxima absoluta. 20,2 = 75,96° | Omin =|03 = —51,23 MPa | fa edicdo ~~ Omax — Imin imix = Oint 2 Smin O74 = 07 = 03 i TmaxAbs = > Tmaxabs = C1J = R = 41,23 kPa V +o, TmaxAbs — 3h ee - a Tmaxabs = 41,23 kPa . 20,abs = 202 + 90° 20T ans = 75,96° + 90° O Z20-Abs = 165,96° x’ Orbs = 82,98" Af CN Vc \s O A 03} C3 VN O71 T. med 207abs' MaxAbs * Tmax Abs yp’ ye Tméed_ fT _t fs, x yo Omé J = méd T Oméd = —10 kPa = J Omax 1 Omin : 2 31,23 + (—51,23) Oméd TmaxAbs Oméd = > = —10 kPa Slide 31 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Oe cette Bee 2a8 oe Exemplo 3 “~6SISCENCIA dos Materials T° edicdo Verificagao da falha através da Tensao de Cisalhamento Maxima Absoluta TmaxAbs = 41,23 kPa 150 ; 41,23 kPa < > = 75 kPa Ok! nao ocorrera a falha. Slide 32 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 33 Pág. 395 - Prob. 10.65; 10.66; 10.67; 10.68; 10.71; 10.73 Resolver os seguintes exercícios do Capítulo 10 – Transformação da deformação do livro texto (Resistência dos Materiais, 7a ed. - R. C. Hibbeler): Pág. 396 - Prob. 10.74; 10.86; 10.87; 10.93. 10.7 – Teorias de Falhas Teoria de Falhas - ae e e wv e - (2 = 1c 7 fi a f ff Materiais Frageis ISSISTE . ¢ Sabe-se que os materiais frageis, como ferro fundido cinzento, tendem a dos MQOClSMQIS falhar tepentinamente por ruptura, sem nenhum escoamento aparente 7 edigdo — uando submetidos a tra¢ao. DP quando submetidos 4 tra¢ -—0,06 -—0,05 -—0,04 -0,03 —0,02(-0,01 Al/ c . , A . 70.01 ¢ Portanto, os materiais frageis, tem ruptura brusca. Dessa forma, sao Nes adotados alguns critérios para evitar esses tipos de colapsos. Um desses J ~ + —60 -,: . ; ~ rs va critérios de falha baseia-se na Teoria da Tensao Normal Maxima. | 80 oe — 100 Teoria da Tensao Normal Maxima ou Maxima Tensao Normal c —_ ° a . ar P 0 Diagrama o—€ para ferro fundido ¢ Para um ensaio de tragao simples em materiais frageis, a ruptura ocorre quando a tensao normal atinge o limite de resisténcia g,. t { ¢ Além disso, em um ensaio de torgao, a ruptura fragil ocorre i devido a tensao normal maxima de tragao, sendo que o y . | plano de ruptura para um elemento é de 45° em relacao a0 ¢ 1=T AG plano de cisalhamento puro. SS ¢ Portanto, a superficie de ruptura é helicoidal. 02 =-—T Jas ' a slide 34 all, - — © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Materiais Frageis doe Moteri Teoria da Tensao Normal Maxima T° edicgao ¢ Testes experimentais mostraram que durante a torgao yr -. ; ~ . | To a tesisténcia do material nao € muito afetada pela 9 : ) NS presenga da tensao principal de compressao, que _ 0, =T A 45° esta em um Angulo reto (90°) em relacao a tensdo t ptincipal de tracao. Oo, =—T * Por consequéncia, a tensao de tragao necessaria para romper um corpo de prova durante um ensaio de torgao ¢€, aproximadamente, a mesma necessaria para romper um corpo de prova sob tensao de tragao simples. * Por causa disso, a teoria da tensao normal maxima afirma que um material fragil falhara, quando a tensao principal maxima 0, no material atingir um valor limite igual ao limite de resist€ncia 4 tensao normal de ruptura, 0,, que o material pode suportar quando submetido a tragao simples. slide 35 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Materiais Frageis doe Moteri Teoria da Tensao Normal Maxima T° edicgdo ¢ Seo material estiver sujeito ao estado plano de tens4o, exige-se que: al <i Ls io ¢ Essas equagoes sao ilustradas em um grafico 04 x 02. |o2| So, ¢ Portanto, quando um ponto no material estiver fora da area sombreada, diz-se que o material sofreu ruptura. ¢ ssa teoria é atribuida a Willian Rankine, que a propos em meados do século XIX, denominada também de i Critério de Falha de Rankine. yl =a; Gr; * Constatou-se, por meios experimentais, que a teoria esta de acordo com o comportamento de materiais a: frageis, cujos diagramas tensao-deformac¢ao sao ; . — Teoria da tensao normal maxima semelhantes sob tragao e sob compressao. slide 36 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 37 Materiais Frágeis Critério de Falha de Mohr • Em alguns materiais frágeis, as propriedades sob tração e sob compressão são distintas. • Quando isso ocorre, pode-se usar um critério baseado na utilização do círculo de Mohr para prever a falha do material. • Esse método foi desenvolvido por Otto Mohr e, também é denominado Critério de falha de Mohr (ou Mohr-Coulomb). tração compressão • Para aplicá-lo, em primeiro lugar, é preciso realizar três ensaios no material. • Um ensaio de tração uniaxial e um ensaio de compressão uniaxial, são usados para determinar, respectivamente, o limite de resistência às tensões de ruptura à tração σr(t) e à compressão σr(c). • Além disso, é realizado um ensaio de torção para determinar o limite de resistência à tensão de cisalhamento à ruptura (τr) do material. Materiais Frageis 4 ~aAkori, Critério de Falha de Mohr 7° edicdo ¢ Em seguida, € construido o circulo de Mohr para cada uma dessas condigdes de tensao. ° Ocirculo A representa as condigdes de tensao normal de ruptura a tragao. ° O circulo B representa a condigao de tensao normal de ruptura 4 compress4o. B -|—|Failure envelope Y= (Ps E o circulo C dicko d oy © : o circulo representa a condi¢ao de KY ° ° vO \ VS me) ~ e C= tensao de cisalhamento pura na ruptura. t r ¢ Esses trés circulos estao contidos em um envelope de falha indicado pela curva em vermelho extrapolada, desenhada na a tangente a todos os trés circulos. slide 38 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Materiais Frageis ie AK ori, 7° edicdo Critério de Falha de Mohr * Se uma condicao de um estado de tensao no plano em um ponto for representado por um circulo que estiver contido no <[ Failure envelope ° ; We interior ou for tangente em um ponto X \ + Co do envelope, é dito que o material nao 9r(c) LY Ces Or(t) A Lo , ce falhara. Ty * Todavia, se o citculo estendet-se para fora de seu contorno, entao, se diz que ocorrera T falha. slide 39 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. ‘e C, cic a e m= if if Materiais Frageis annrktarnic dos MQCE6MIQIS Critério de Falha de Mohr 7° edicdo ¢ Também pode-se tepresentar esse critério em um gtafico de tensdes principais 04 e€ Oz, que —F representa a superficie de falha de Mohr (ou y | i]| yy, l / Mohr-Coulomb). J (Go) ° Nesse caso, ocorrera a falha quando o valor (/ a absoluto de qualquer uma das_ tensdes Mohr’s failure criterion rincipais atingir um valor maior do que 4s p Pp S$ q a = ~ ~ ~ Oo; oO, t tensGes de tra¢ao a, e compressao 7, S. ° Ou, em geral, se o estado de tensao em um 7 ; l oO; ponto for definido pela coordenada da tensao S Oy Oe 4 (01, G2) marcada fora da area sombreada, =a a falhara. Figura 2.7 — Critério de Mohr — caso bidimensional slide 40 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. 2 (?. . ' A ° Materiais Frageis ye dos materials 5.3 o os Critérios de Falhas 4 7° edicdo O2 =a, GC; oc; Orct =O, Critério de Rankine. o| 0» Teoria da tensao normal maxima Oy (c) Or(t) Superficie de Fatha Otracao Otracao O71 Tp (c) ; j > Mohr-Coulamb Mohr’s failure criterion J ~~ 1 G2 _ 91 4 02 J+ Mohr Modificado ~~ —O- | ££ aa z oO! : y <= Te ee | \ z =O; Oo, oO, - 7 Area segura 4 Ocompressdo Ocompressiao 0? Figura 2.7 — Critério de Mohr — caso bidimensional slide 41 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. slide 42 Materiais Frágeis OBSERVAÇÕES • Qualquer um desses dois critérios pode ser usado na prática para prever a falha de um material frágil. • Todavia, deve-se utilizar esses critérios com cautela. • Uma ruptura por tração ocorre muito repentinamente e, em geral, seu início depende de concentrações de tensões desenvolvidas em imperfeições microscópicas do material como inclusões ou vazios, entalhes na superfície e pequenas trincas. • Como cada uma dessas irregularidades varia de um corpo de prova para outro, torna- se difícil especificar a falha com base em um único ensaio. • Por outro lado, trincas e outras irregularidades tendem a se fechar quando o corpo de prova é comprimido e, portanto, não formam pontos de falha que surgiriam quando se submete o corpo de prova à tração. DE ey Oe eer Exemplo 4 iSSISCENCIA ; , or dos MQACSTiaQls O eixo macico ilustrado na figura esta sujeito a um torque T = : 4 ~ - edigao, = 400 Nm 400 Nm. Determine o menor raio de modo que nao falhe de / acotdo com o critério de falha de Rankine. O limite de 7 =400Nm ) resistencia de um corpo de prova determinado por um ensaio a ay = - , oy ay tragao € O,74) = 150 MPa. " ! lo} | < OY ¥ Z x - ° ~ xy —Tmax a Solugao: |o>| <0, 7 eS 400-r ! _ Ty Tx SS —— Tyy = 7? y mr* 254,65 01 = Txy = Tmax O,,0, oxy if 02 = —Tyy = —T — xy — max H (9,; - Ty) 254,65 H (G - z,,) t lo,| So, = < 150 x 10° ——>_ ” Txy Cmax —_—, *” V (G5 Tay) Ty r >0,01193 m = 11,93 mm V (0; z,.) xy, Txy {——___ << —— slide 43 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Exemplo 5 nesistencia dos MQOCSMAISs 7° edicdo A viga ilustrada esta sujeita ao carregamento distribuido w = 120 KN/m. Utilizando o circulo de Mohr, determine se a viga falhara considerando o critério de Mohr, onde os limites de resistencias dos CP’s determinados por ensaios a tragao e compressao obtiveram , respectivamente, as tensdes de ttagao a, = 20 MPa e compressao go, = 80 MPa. Considere o estado de tensao no ponto P, que se encontra na “ = 6) wn4 parte superior da alma. [ = 67,4(10~°) m’*. y w = 120 kN/m Solugao: ar xX omer a: , ! B O equilibrio da viga na secao selecionada é dado 0.3m am 36 KN por: DCL 0.15 m 15mm Ay | ¥ | — vp = 04 x = M =30.6kN-m 200mm | «-\ 3 aI | 10 mm Mp = 30,6 kNm fis V =8&kN NA-Eixo Neutro | |- + 15mm 175mm slide 44 120 KN say © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Exemplo 5 Resistencia dos MQCSNals Solucdo: Vp=84kN Mp =30,6 kNm I, = 67,4x 1078 mt T° edicgdo N |M,I, + M,l,, M,ly, + M,I w = 120 kN/m Oy = — + | 2 - | A SS Peete | 1 1 | | A aa sa lala er Z C No ponto P, el on om | M, 30,6 x 10° 04 AED 15> mm ay Ox = TY 67 ax 10-8 EG ——— Z ; P 200 mm | + N====—A VQ _ 84[(0,1075)(0,175)(0,015)] _ 35.7 MPa | —||—10 mm It 67,4(10°° 0,01) , NA-Eixo Neutto | | 359M 15mm 175 mm «—_—_ 35.2 MPa BEEN . 0.15 m Portanto, o estado de tensao 45.4 MPa | ra] nesse ponto Pé dado por: tay : i ly M = 30.6kN-m O plano Vertical tem a coordenada dada pot: i fi : | V =84kNn 3m V(Gx3 Try) VC 45,4, — 35,2). 120 KN 7 slide 45 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. SA MP V (— 45,4, -— 35,2) © (—22,7;0 45. a a. ( ° 2) ( ) 7° edicdo tensdes normais principais: > O,+0, —45,4+0 02 = OA =0C+CA =Oméia t+ R Omed =— 5 = 9S 42, 7 MPa OC = Oméq = 22,7 MPa “aga | <—— R=4CD2 + DV2 R CD = OD — OC = 45,4 — 22,7 = 22,7 MPa Oméd R= /22,74 + 35,22, R=41,9MPa A C B o> = 22,7+41,9 [o2 =-—64,6MPa ? o— R Ox Oy °1=0B =CB-CO ! ! ! 01 = R—- Oméd ! 02 | O14 ! 0, = 41,9 -22,7 0, =— 19,2 MPa NL 2” Ty Slide 46 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Exemplo 5 ASsIStENcia Solugao: Representacao do envelope de falha dos MQCSMAIS * Ocirculo A que representa as condicgdes de tensao ruptura a tracao, é 7 edigao dado por: [ 0, =o; = 20 MPa - O que representa a condi¢gao de , € dado por: D PaO] [og = WOM Sle \ ° O citculo C que representa bo,» \ 01 = Ort) a condicao de tensao de . RAY 19,2 04,02 cisalhamento a ruptura, ¢ IN Z> dado por ae Envelope de falha. Dessa forma, * O circulo D que tfepresenta as tensdes principais 4, ocorre a falha calculadas, é dado por: [o, = 19,2 MPal| 0, = —64,6 MPa do material. slide 47 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. 'e Gg 228) Exemplo 5 MesiIsStencia mMNarkerinic ~ dos Mate! Ci Solucao: 72 : 7° edigdo Outra forma de verificar a falha: Or(t) 0, = 19,2 MPa|| o, = —64,6 MPa 71 Or(c) Or(t) , Ocorte a falha ¢ Nesse caso, ocorrera a falha quando as 7 do material. ~ - . Or(c) coordenadas das tens6es principais 04 WWohe’s failure eeitevion e€ O02, lancadas na superficie de falha de Or _O_, o> oO, oO oO; Mohr, atingir valores maiores do que os SS -O, ° . . A . \ ~ 8 limites de resistencia, a tragao a, = 20 oi : ~ _ = O_O _ MPa e a compressao g,/,.. = 80 MPa. Ls, Fae slide 48 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Exemplo 6 , Cli A viga com secao Z ilustrada na figura € submetida er y TF edigdo ao momento fletor M, = 20 kNm. Pede-se D, ee determinar se a secao ira falhar utilizando o Critério dA o 300 mm de Rankine para o estado de tensao no ponto D, wm y oS sendo a tensao de ruptura a tracao de 50 MPa. Z “S1C M, 7 - 100 mm 1) Os eixos sao centrais? SIM Dy ON -y . i aw L) Os eixo ze yn4o sao de simetria, mas o ponto Cé 1 dA’ 300 mm um centro de simetria, por essa taz4o posso dizer 100 nun; a. . ~ , ' | 400mm +¢— que o centroide da secao transversal se localiza -————+ 100 mm nesse ponto. Logo, se diz que s40 eixos centrais. Qy = | zZdA Q, = | y dA Z= y = 0 Qy = Q, =0 =" Um elemento de area é simétrico em relagado a um centro C, se para cada elemento de superficie dA de coordenadas ze yy existir um elemento dA’ de igual area, com mesmas cootdenadas —ze —y, sendo que a distancia resultante passe pelo centro C. slide 49 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Exemplo 6 1€ Cl 2) Os eixos sio principais de inércia? NAO 7° edicdo LI Como os eixo Ze y nao sao de simetria, o produto de inércia L,, # 0, podendo dizer que y nao sao principais. 300 mm L) Significando que é uma secg&o assimétrica ~ ; Z C M, — em relacgao aos eixos ye Z. 100 mm L] Tem duas maneiras de resolver esse exemplo: 1 300 mm 100 mm _| | " Solucao 1: adotar os eixos centrais ze ye utilizar a ! ! 400 mm L3 -—_—* 100 mm equacao geral de tensoes, dada por: N M,1I, + M,I M, ly, + M,I O,=—+ 2 eee Ty ,” A | Ly-, a slide 50 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Exemplo 6 1e Cl =" Solucao 2: Fazer uma rotacao dos eixos centrais ze ye 7° edicdo determinar os eixos principais z’e y’, de tal forma que £,,,,= 0, podendo usar a equac&o da tensdo pata eixos centrais y' , » ptincipais, dada por: N My, M,, ——|_— ee [= 7 Aly Iz! 300 mm OQ Equacao para determinacao da diregao dos Z C ee : rer 100 mm e1xOs principals: Om maa ley ! ! tan 20, = —7—— Z i | ly 300 mm | 2 i 100 mm_s| | O) Equacao para determinacao dos momentos de ey ee 100 mm inércia principais: QO Ou utilizar o citculo de Mohr para : ~ ee I, + ly I, — ly , obtengcao dos momentos de inércia | Imax,min = a + > + (zy) principais e direcao principal. slide 51 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Exemplo 6 iG Cl LI Adotando a Solugio 1: 7° edicdo y _ N MyI, + Mzlyz _ Mylyz + Mzly 1 a. %- Atl, pe |* ppm | : oye Saat 300 mm N=0 V1 r - My, = 0 2 Ct 100 mm M, = —20 kNm = —20 x 10°Nmm a ¥3 ! ! 300 mm My lyz Mzly i = |—_| Zz -— | 1 ! 3 » fa - = ° i —72,|” oo mp aes. 400 mm +— -—_————* 100 mm L=1,+ Ay" 100 x 3002 , [4 = 7 (100 x 300) x 200 I,4 = 14,25 x 108 mm?* [= Ig, + 12 + 133 3 Ly = oO KOO fin = 0,5 x 10% mm? I, =29 x 108mm* 12 100 x 3002 Ig = 35 — + (100 x 300) x (—200)2 [Jz3 = 14,25 x 10°mm* slide 52 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Exemplo 6 1G | UL Solucao 1: _ Mrlyz Pe a oe 7 Ox IS —[2, Z LI —[2, y 7 edicdo y by =a t ya ty =p? “4 300 mm L, = 56 x 108mm? * 2 Cl - 100 mm 300 x 1003 — | ly, = ——-—— + (300 x 100) x 250 i be 4 Z ly, = 19,00 x 10®mm*4 — Sb) ein 3 100 mm_| 3 7, — 100x600" {7 = 18,00 x 108mm? —t os ye 12 i} 400mm + + -—_——* 100 mm 300 x 100? | ee (300 x 100) x (-250)2_ | Lz3 = 19,00 x 10°mm* Slide 53 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Exemplo 6 6. = Mzlyz —_ Mzly y iC 1 ( * ILL, -E, Ll, — 12, dos 2 = — 7° edicdo lay =lpy FAZV| Ney = Ney + Ley + Leys y s Tey, = 0 + (100 X 300) x 250 x 200 _- 2 1 I, i= 15 x 10®mm* Z4 300 mm ‘. 1 Iyy2 = 0 + (600 x 100) x 0x0 * 2 cM 100 mm Iey3 = 0+ (100 x 300) x (—250) x (—200) z 300 mm 3 Iny3 = 15 x 10°mm* 100 mm _| | ' ' 400mm ¢— *———————————*+ 100 mm Ly =15 x10°+0+15 x10® | 1, = 30 x 108mm* "= A equacio do plano de tensées é dada por: | = —82,87 x 107*z + 154,70 x 107*y ‘a (—20 x 10°) x (30 x 10°) (—20 x 10°) xX (56 X 10°) Ox = (29 x 108) x (56 x 108) — (30 x 108) 4 (29 x 108) x (56 x 108) — (30 x 108)? y Slide 54 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Exemplo 6 ISSISTENCIC y oos MOLE UL Solucao 1: ‘ Somgao © SS SSS aaa a digao es A A E 4 : EN > o, =0 equacao do EN é€ dada por x 300-am 0, = —82,87 x 10-4z + 154,70 x10-4y| EN * if Ci | 100 0 = —82,87 x 10742 + 154, 70 x 10-* yey jw 82,87 x 10-* PS — cee a | vey =(0,535 a YEN ~75470x10-47 E | Se 100 mm _: | ! ! 400 mm +4 ~ . , —__* 100 mm A equacao do Eixo Neutro (EN) é uma eq. de reta que passa pela origem, sendo inclinada em relacao = Flexao Obliqua Simples (FOS aos e1xos centrais Ze Yy. " Orientacdo do EN é dada por: tana=a tana=0,5357) a= tan~*(0,5357) a = 28,18° Angulo positivo: rotacionar do sentido do eixo z positivo pata o Panes sentido do eixo y positivo (sentido horario). Exemplo 6 , | LI Solugdo 1: = Diagrama de tensdes normais maximas: Se TF edigdo * QOutra forma de tracar o EN: En = 0,9357Z Ponto A > Z=0 > yen = 0 a = 28,18° | PontoB > z = 300mm > yey = 160,71mm re se, y ¢ Tensdes Normais: | 0, = —82,87 x 107*z + 154,70 x 10-ty a DD ore A ns Tiss == Ma, Ponto D ~ z= 200mm > y = 350mm Z Pose ne 300 mm > |Orméax = 3, 76 MPa Tea, y C pet... Ponto E > z = —200mm > y = —350mm . Z£ . a A --$- Me >|0~mix = —3,76 MPa ! ! mad 0 mm /..- 3,76 MPa 100 mm | = b> 400 mm oo o >—_* 100 min... </ —3,76MPa ~~... Ponto F — z = —300mm > y = 50mm “> oy = 3,26 MPa Slide 56 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Exemplo 6 ZSISTCENCIA Ox(max) = 3,76 MPa r edicdo 0, +a Ox — Oy\? T ~ e e e . O71 2 — 2 aig + oe + Tx 2 ensoes normals principals: , 2 2 y 2 o, = 3,/6 MPa 3,76+0 | |((,76) — 0 na d 01.9 = ———__ + ae 29 2 = Essa equagao mostra que a soma das tensdes normais de um elemento em Ox, + Oy, = Ox + Oy = 01 + Op ~ . ~ estado plano de tens6es, independe da orientagao do elemento. = Ou a tensdo normal € um invariante (algo que nao se altera ao aplicar um conjunto de transformacoes). ° Critério de Falha de Rankine: lo | < OO; . . |o,| < o, = 50 MPa Dessa forma, nao ocortera a falha do |o>| < OU; material. slide 57 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Exemplo 7 ie NCIC 200 N/m ( I IS | 4, p hf | , 7 edicdo i ley, voce (| , 200 mm sm | comm © POttico suporta a carga distribuida de 200 N/m. Utilizando eg o circulo de Mohr, determine se o material falhara om zv* considerando o critério de von Mises, analisando o ponto D. E Vj 60° 4 —— . i a] — 50mm A resisténcia ao escoamento é igual a 60 kPa 200 N/m 1.5m | ; | | A eomm Primeiramente, temos que determinar 0 --7--- a C estado de tensao no ponto D. 2,5 m C 1°) Reacées de apoio: C, “ DF.=0 Ay +, =0 +m YF =0 Ay + Cy — 200-2,5=0 C, = 250 N 2,5 Me = 0 Ay + 2,9 + 200 + 2,5 >> ~ Ax 4 = 0 A, = = 250N BA yMest=0 Ay-4=0 | A,=0 | Y25 A, | A, Slide 58 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. y Exemplo 7 | Resistencia z 150Nm E i ey > Irn N [Myl, + aa Oe + se Ts a | | Ox = >t | 2 FI dS 7° edicdo | x A | [ly — Ii, [ly - Ii, 75 mm S 50 N 2 /m y VO DCL 200 N/m aT ey Tp z BBSSKS | Mp f ©] 3/ 75 mm 3 3,52 kPa D 75 mm | x 2 V, _ y som i 56,.2kPa ase0 nin 250) N ae Cy, = 250 N 3,52 kPa mn E | ) oe | ay — 0 250 =r 200 ° 1,5 + Vp = 0 Vo — 50 N Y) 30 mm rot = Z 1,5 on 100 mm 3 YMp =0 250-1,5 —200- 1,5-—-—Mp= 0 || lola gut Ly = = —_— x0) — "72 Ox(pD) = ~ 66,67 x10%mme 2 mm) |Ox(p) = 5,62 x 10°* MPa = 56,2 KPa Txy(D) = Fe **”) ~ 66,67 x 10°mm*-100 mm’ oes Qn = 468.750 mm? slide 59 Qp cn Ay Qp = (100 ° 75) (100 ~~ 75/2) © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Exemplo 7 “y | \e CIC 3,52 kPa : + Try Ao: ; Solucdo: - oe — x 56,2 kPa l 56,2 kPa . 7 edicdo V (56,2, — 3,52). 3,52 kPa direcao principal: O centro do circulo de Mohr é dado pela coordenada: tan 26... = VD — 3,52 Pp! CD —— 28,1 C(Omeai0) C(28, 150) 2051 =—7,14°| | O51 = —3,57° feos _ a - 281kPa 20, - Positivo (Sentido anti-horario) tensdes normais principais : 56,2 tt 01= 0B =0C+CB =Omsa +R 6, = 28,14 28,3 'V OC = Oméd — 28, 1 kPa 01 = 56, 4 kPa A | fon 3,52 \ O ! D |B 0,0 R= /CD2+DV2 = 28,12+3,522 R=28,3 kPa ! ! ! xy iN Oméd 2) R CD = OD —OC = 56,2 — 28,1 = 28,1 MPa ! NU 7% : 02 o | _— —_ <«—______1 _, ; 02 = OA =CA-—OC =R- Ongeg = 28,3 — 28,1 ! T yy slide 60 o, = —0,2 kPa © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados. a tk So amie Exemplo 7 iesistencic dos MQCEMQIS critério de von Mises Or ee Ee Ce 7° edicdo 0, = 56,4kPa oO, = —0,2 kPz 200 N/m t B & ‘ i © 30° {$< 75 male] (| , 200 mm (56, 4)2 — (56,4) - (—0, 2) + (—0, 2)? < 60” / | 100 mm 3192,28 < 3600 — ok! | 4m Usando esta teoria, nao ocorrera falha do VWI 60° re + Ey — 50 material para o ponto D analisado. + 30 mm | ft —_ 1.5m 100 mm 14 A Slide 61 © 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.