P2 - Resistência dos Materiais 2 - 2024-1

Trabalho 2 - Linha Elástica e Méto... Questão 2 Ainda não respondida Vale 1,1 ponto(s). A viga mostrada a seguir tem os seguintes parâmetros dimensionais: Comprimento total da viga: L = 6,85 m; relação α entre o comprimento do trecho AB e o comprimento total: α = 0,454. Os carregamentos são: Carga concentrada: P = 10,5 kN; carga distribuída de variação linear ("triangular"): t = 5,1 kN/m (valor que o carregamento "triangular" assume no ponto B). Considerando as equações relacionadas à inclinação EIv' , e ao deslocamento na direção y EIv, referentes ao sistema de coordenadas indicado, com origem em A, determine o valor da primeira constante de integração, C1, em kNm², com duas casas decimais, selecionando também esta unidade, mesmo sendo a única opção de unidade. (*)Obs.: A constante C1 é a constante de integração que aparece como termo livre na equação relacionada à inclinação (equação de EIv' ), e que multiplica a coordenada x (ou seja, x¹), na equação relacionada ao deslocamento v (equação de EIv ). Resposta: Resposta Trabalho 2 - Linha Elástica e Méto... Questão 3 Ainda não respondida Vale 1,1 ponto(s). A viga mostrada a seguir tem os seguintes parâmetros dimensionais: Comprimento total da viga: L = 7,8 m; relação α entre o comprimento do trecho AB e o comprimento total: α = 0,383. Os carregamentos são: Momento (binário) localizado: M = 28,8 kNm; carga distribuída de variação linear ("triangular"): t = 5,1 kN/m (valor em módulo que o carregamento "triangular" assume no ponto B). Determine o valor de EIv' (ou seja, EIθ) no ponto C, em kNm², com duas casas decimais, selecionando também esta unidade, mesmo sendo a única opção de unidade. (*)Obs.: Isso equivale a determinar o numerador N na expressão que fornece a inclinação, v', como v'ₓ=L=Nl/(El), para a extremidade C da viga. Resposta: kNm2 Trabalho 2 - Linha Elástica e Méto... Questão 4 Ainda não respondida Vale 1,1 ponto(s). A estrutura mostrada a seguir é composta por 03 tirantes tubulares de comprimentos iguais, e com suportes B, C, e D equidistantes. A linha de ação do carregamento P, cujo valor é P= 73,7 kN, é vertical e passa pelo centro O do círculo que abrange os 03 suportes. A distância vertical AO, do ponto A de aplicação do carregamento, ao centro O do círculo, é de h= 4,79 m. A relação entre o raio do círculo (distância horizontal OB, por exemplo), e a altura h, é α= 1,288. A seção transversal dos tirantes tem diâmetro externo de Φ= 42,4 mm, e espessura de parede de t= 1,9 mm. Determine, utilizando o método da Energia de Deformação, o deslocamento vertical do ponto A, ou seja, determine δA, em milímetros (mm), com 03 casas decimais, selecionando também a unidade (mm), mesmo sendo a única opção de unidade. Utilize vírgula para separação entre parte inteira e parte decimal. Resposta: Resposta mm Trabalho 2 - Linha Elástica e Mét... Questão 5 Ainda não respondida Vale 1,1 ponto(s). A viga ABC mostrada a seguir é de alumínio. Os parâmetros do comprimento são: a = 1,98 m, e b = 1,48 m. O carregamento distribuído e a carga concentrada são, respectivamente: q = 3,26 kN/m, e P = 10,4 kN. A seção transversal tem largura w = 42,8 mm, e altura h = 113 mm. Determine a parcela do deslocamento no ponto B (na direção de P) decorrente apenas da contribuição do trecho AB. Ou seja, determine (δB) AB M , parcela do deslocamento vertical no ponto B, contribuição do trecho AB por flexão. Se essa parcela do deslocamento ocorrer no mesmo sentido da força P, a resposta deve ser positiva. Dê a resposta em mm (milímetros), com duas casas decimais, selecionando também essa unidade, mesmo que seja a única opção de unidade oferecida. Utilize vírgula para separar a parte inteira da parte decimal. Resposta: Resposta mm Questão 6 Ainda não respondida Vale 1,1 ponto(s). A barra poligonal (trecho BC perpendicular ao trecho AB) mostrada a seguir tem os seguintes parâmetros dimensionais: Comprimento do trecho AB: L = 2,07 m; relação entre o comprimento do Questão 2: Esquema estrutural: Reações de apoio: 𝑅𝐴 = 10,5 ∙ 3,74 + 5,10 ∙ 3,74 2 ∙ 2,493 6,85 = 9,20𝑘𝑁 𝑅𝐵 = 10,5 + 5,10 ∙ 3,74 2 − 9,20 = 10,83𝑘𝑁 Equações dos esforços: 𝐴𝐵 𝐵𝐶 0 ≤ 𝑥 ≤ 3,11𝑚 3,11𝑚 ≤ 𝑥 ≤ 6,85𝑚 𝑞(𝑥) = 0 𝑞(𝑥) = −1,3636𝑥 + 9,3409 𝑉1(𝑥) = 9,20 𝑉2(𝑥) = 0,6818𝑥2 − 9,3409𝑥 + 21,1634 𝑀1(𝑥) = 9,20𝑥 𝑀2(𝑥) = 0,22727𝑥3 − 4,6705𝑥2 + 21,1634𝑥 + 1,1333 Linhas Elásticas: 𝐸𝐼𝑦′′ = −𝑀(𝑥) 𝐸𝐼𝑦1 ′′ = −9,20𝑥 𝐸𝐼𝑦2 ′′ = −0,22727𝑥3 + 4,6705𝑥2 − 21,1634𝑥 − 1,1333 𝐸𝐼𝑦1 ′ = −4,60𝑥2 + 𝐶1 𝐸𝐼𝑦2 ′ = −0,05682𝑥4 + 1,5568𝑥3 − 10,5817𝑥2 − 1,1333𝑥 + 𝐶2 𝐸𝐼𝑦1 = −1,533𝑥3 + 𝐶1𝑥 + 𝐶3 𝐸𝐼𝑦2 = −0,011364𝑥5 + 0,38921𝑥4 − 3,5272𝑥3 − 0,5667𝑥2 + 𝐶2𝑥 + 𝐶4 Condições de contorno: 𝑥 = 0 → 𝑦1 = 0 𝑥 = 6,85𝑚 → 𝑦2 = 0 𝑥 = 3,11𝑚 → 𝑦1 ′ = 𝑦2 ′ 𝑥 = 3,11𝑚 → 𝑦1 = 𝑦2 Aplicando: 0 = −1,533 ∙ 03 + 𝐶1 ∙ 0 + 𝐶3 0 = −0,011364 ∙ 6,855 + 0,38921 ∙ 6,854 − 3,5272 ∙ 6,853 − 0,5667 ∙ 6,852 + 𝐶2 ∙ 6,85 + 𝐶4 −4,60 ∙ 3,112 + 𝐶1 = −0,05682 ∙ 3,114 + 1,5568 ∙ 3,113 − 10,5817 ∙ 3,112 − 1,1333 ∙ 3,11 + 𝐶2 −1,533 ∙ 3,113 + 𝐶1 ∙ 3,11 + 𝐶3 = −0,011364 ∙ 3,115 + 0,38921 ∙ 3,114 − 3,5272 ∙ 3,113 − 0,5667 ∙ 3,112 + 𝐶2 ∙ 3,11 + 𝐶4 Resolvendo as constantes: 𝐶1 = 50,38145 𝐶2 = 70,24815 𝐶3 = 0 𝐶4 = −29,15084 Resposta: 𝐶1 = 50,38 Questão 3: Esquema estrutural: Reações de apoio: 𝑅𝐴 = 28,80 − 5,10 ∙ 4,81 2 ∙ 3,2067 7,80 = −1,35𝑘𝑁 𝑅𝐵 = − 5,10 ∙ 4,81 2 + 1,35 = −10,92𝑘𝑁 Equações dos esforços: 𝐴𝐵 𝐵𝐶 0 ≤ 𝑥 ≤ 2,99𝑚 2,99𝑚 ≤ 𝑥 ≤ 7,80𝑚 𝑞(𝑥) = 0 𝑞(𝑥) = 1,0603𝑥 − 8,2703 𝑉1(𝑥) = −1,35 𝑉2(𝑥) = −0,53015𝑥2 + 8,2703𝑥 − 21,334 𝑀1(𝑥) = −1,35𝑥 𝑀2(𝑥) = −0,17672𝑥3 + 4,1352𝑥2 − 21,334𝑥 − 1,3175 Linhas Elásticas: 𝐸𝐼𝑦′′ = −𝑀(𝑥) 𝐸𝐼𝑦1 ′′ = 1,35𝑥 𝐸𝐼𝑦2 ′′ = 0,17672𝑥3 − 4,1352𝑥2 + 21,334𝑥 + 1,3175 𝐸𝐼𝑦1 ′ = 0,675𝑥2 + 𝐶1 𝐸𝐼𝑦2 ′ = 0,04418𝑥4 − 1,3784𝑥3 + 10,667𝑥2 + 1,3175𝑥 + 𝐶2 𝐸𝐼𝑦1 = 0,225𝑥3 + 𝐶1𝑥 + 𝐶3 𝐸𝐼𝑦2 = 0,008836𝑥5 − 0,3446𝑥4 + 3,556𝑥3 + 0,65875𝑥2 + 𝐶2𝑥 + 𝐶4 Condições de contorno: 𝑥 = 0 → 𝑦1 = 0 𝑥 = 7,80𝑚 → 𝑦2 = 0 𝑥 = 2,99𝑚 → 𝑦1 ′ = 𝑦2 ′ 𝑥 = 2,99𝑚 → 𝑦1 = 𝑦2 Aplicando: 0 = 0,225 ∙ 03 + 𝐶1 ∙ 0 + 𝐶3 0 = 0,008836 ∙ 7,805 − 0,3446 ∙ 7,804 + 3,556 ∙ 7,803 + 0,65875 ∙ 7,802 + 𝐶2 ∙ 7,80 + 𝐶4 0,675 ∙ 2,992 + 𝐶1 = 0,04418 ∙ 2,994 − 1,3784 ∙ 2,993 + 10,667 ∙ 2,992 + 1,3175 ∙ 2,99 + 𝐶2 0,225 ∙ 2,993 + 𝐶1 ∙ 2,99 + 𝐶3 = 0,008836 ∙ 2,995 − 0,3446 ∙ 2,994 + 3,556 ∙ 2,993 + 0,65875 ∙ 2,992 + 𝐶2 ∙ 2,99 + 𝐶4 Resolvendo as constantes: 𝐶1 = −44,7794 𝐶2 = −104,7334 𝐶3 = 0 𝐶4 = 109,7633 Aplicando na declividade de C: 𝑥 = 7,80𝑚 𝐸𝐼𝜃𝐶 = 0,04418𝑥4 − 1,3784𝑥3 + 10,667𝑥2 + 1,3175𝑥 − 104,7334 𝐸𝐼𝜃𝐶 = 0,04418 ∙ 7,804 − 1,3784 ∙ 7,803 + 10,667 ∙ 7,802 + 1,3175 ∙ 7,80 − 104,7334 Resposta: 𝐸𝐼𝜃𝐶 = 63,93 Questão 4: Esforço interno em cada barra: 𝑁 ∙ ℎ √ℎ2 + (𝛼ℎ)2 − 𝑃 3 = 0 𝑁 ∙ 1 √12 + 𝛼2 = 𝑃 3 𝑁 ∙ 1 √12 + 1,2882 = 73,7 3 𝑁 = 40,059𝑘𝑁 Propriedades das barras: 𝐿 = 4790 ∙ √12 + 1,2882 = 7810,70𝑚𝑚 𝐴 = 𝜋 ∙ (42,42 − 38,62) 4 = 241,7455𝑚𝑚2 𝐸 = 70𝐺𝑃𝑎 Alongamento de cada barra: 𝛿 = 𝑁𝐿 𝐸𝐴 = 40,059 ∙ 7810,70 70 ∙ 241,7455 = 18,4898𝑚𝑚 Deslocamento vertical de A: 𝛿𝐴 = 18,4898 ∙ 1 √12 + 1,2882 = 11,339𝑚𝑚 Questão 5: Esquema estrutural real: Reações de apoio: 𝑅𝐴 = 3,26 ∙ 3,46 ∙ 1,73 + 10,40 ∙ 1,48 3,46 = 10,09𝑘𝑁 𝑅𝐵 = 3,26 ∙ 3,46 + 10,40 − 10,09 = 11,59𝑘𝑁 Equações dos esforços: 𝐴𝐵 𝐵𝐶 0 ≤ 𝑥 ≤ 1,98𝑚 1,98𝑚 ≤ 𝑥 ≤ 3,46𝑚 𝑞(𝑥) = 3,26 𝑞(𝑥) = 3,26 𝑉1(𝑥) = −3,26𝑥 + 10,09 𝑉2(𝑥) = −3,26𝑥 − 0,3104 𝑀1(𝑥) = −1,63𝑥2 + 10,09𝑥 𝑀2(𝑥) = −1,63𝑥2 − 0,3104𝑥 + 20,588 Esquema estrutural virtual: Reações de apoio: 𝑅𝐴 = 1 ∙ 1,48 3,46 = 0,4277𝑘𝑁 𝑅𝐵 = 1 − 0,4277 = 0,5723𝑘𝑁 Equações dos esforços: 𝐴𝐵 𝐵𝐶 0 ≤ 𝑥 ≤ 1,98𝑚 1,98𝑚 ≤ 𝑥 ≤ 3,46𝑚 𝑚1(𝑥) = 0,4277𝑥 𝑚2(𝑥) = −0,5723𝑥 + 2 Deslocamento em B, devido a parcela de AB: Rigidez da viga: 𝐸𝐼 = 70 ∙ 106 ∙ 0,0428 ∙ 0,1133 12 = 360,2433𝑘𝑁𝑚2 PTV: 𝛿𝐵,𝐴𝐵 = ∫ 𝑚𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝛿𝐵,𝐴𝐵 = 1 360,2433 ∙ ∫ (0,4277𝑥)(−1,63𝑥2 + 10,09𝑥)𝑑𝑥 1,98 0 𝛿𝐵,𝐴𝐵 = 1 360,2433 ∙ [4277𝑥3(4036 − 489𝑥) 12000000 ] 0 1,98 = 1 360,2433 ∙ 8,48746 = 0,02356 Resposta: 𝛿𝐵,𝐴𝐵 = 23,56𝑚𝑚 Questão 6: Rigidez da viga: 𝐸𝐼 = 70 ∙ 106 ∙ 𝜋 ∙ (0,1344 − 0,12124) 64 = 366,4216𝑘𝑁𝑚2 𝐺𝐽 = 26 ∙ 106 ∙ 𝜋 ∙ (0,1344 − 0,12124) 32 = 272,1989𝑘𝑁𝑚2 Reações de apoio: 𝑅𝐴 = 2,92 ∙ 2,07 + 2,92 ∙ 1,2234 − 𝐶 = 9,6166 − 𝐶 [𝑘𝑁] 𝑀𝐴 = −2,92 ∙ 2,07 ∙ 1,035 − 2,92 ∙ 1,2234 ∙ 2,07 + 𝐶 ∙ 2,07 = −13,6507 + 2,07𝐶 [𝑘𝑁𝑚] 𝑇𝐴 = 2,92 ∙ 1,2234 ∙ 0,6117 − 𝐶 ∙ 1,2234 = 2,1852 − 1,2234𝐶 [𝑘𝑁𝑚] Equações dos esforços: 𝐴𝐵 𝐵𝐶 0 ≤ 𝑥 ≤ 2,07𝑚 0 ≤ 𝑥 ≤ 1,2234𝑚 𝑞(𝑥) = 2,92 𝑞(𝑥) = 2,92 𝑉(𝑥) = −2,92𝑥 + 9,6166 − 𝐶 𝑉(𝑥) = −2,92𝑥 + 3,5722 − 𝐶 𝑀(𝑥) = −1,46𝑥2 + 9,6166𝑥 − 𝐶𝑥 − 13,6507 + 2,07𝐶 𝑀(𝑥) = −1,46𝑥2 + 3,5722𝑥 − 𝐶𝑥 − 2,185 + 1,2234𝐶 𝑇(𝑥) = 2,1852 − 1,2234𝐶 𝑇(𝑥) = 0 𝜕𝑀 𝜕𝐶 (𝑥) = −𝑥 + 2,07 𝜕𝑀 𝜕𝐶 (𝑥) = −𝑥 + 1,2234 𝜕𝑇 𝜕𝐶 (𝑥) = −1,2234 𝜕𝑇 𝜕𝐶 (𝑥) = 0 Teorema de Castigliano: 𝛿𝐶 = ∫ 𝑀 𝐸𝐼 𝜕𝑀 𝜕𝐶 𝑑𝑥 + ∫ 𝑇 𝐺𝐽 𝜕𝑇 𝜕𝐶 𝑑𝑥 = 0 1 366,4216 ∙ [∫ (−1,46𝑥2 + 9,6166𝑥 − 𝐶𝑥 − 13,6507 + 2,07𝐶)(−𝑥 + 2,07)𝑑𝑥 2,07 0 + ∫ (−1,46𝑥2 + 3,5722𝑥 − 𝐶𝑥 − 2,185 + 1,2234𝐶)(−𝑥 + 1,2234)𝑑𝑥 1,2234 0 ] + + 1 272,1989 ∙ [∫ (2,1852 − 1,2234𝐶)(−1,2234)𝑑𝑥 2,07 0 ] = 0 1 366,4216 ∙ [2,95658𝐶 − 17,26366 + 0,610357𝐶 − 0,81754] + 1 272,1989 ∙ [3,09818𝐶 − 5,53388] = 0 0,02111656𝐶 − 0,0696756 = 0 Resposta: 𝐶 = 3,300𝑘𝑁 Questão 7: Esquema estrutural real: Reações de apoio: 𝑅𝐶 = 7,81 ∙ 2,38 = 18,59𝑘𝑁 𝑀𝐶 = −7,81 ∙ 2,38 ∙ 2,97 = −55,21𝑘𝑁𝑚 Equações dos esforços: 𝐴𝐵 𝐵𝐶 0 ≤ 𝑥 ≤ 2,38𝑚 2,38𝑚 ≤ 𝑥 ≤ 4,16𝑚 𝑞(𝑥) = 7,81 𝑞(𝑥) = 0 𝑉1(𝑥) = −7,81𝑥 𝑉2(𝑥) = −18,59 𝑀1(𝑥) = −3,905𝑥2 𝑀2(𝑥) = −18,59𝑥 + 22,12 Esquema estrutural virtual: Reações de apoio: 𝑅𝐶 = 0𝑘𝑁 𝑀𝐶 = −1,00𝑘𝑁𝑚 Equações dos esforços: 𝐴𝐵 𝐵𝐶 0 ≤ 𝑥 ≤ 2,38𝑚 2,38𝑚 ≤ 𝑥 ≤ 4,16𝑚 𝑚1(𝑥) = −1 𝑚2(𝑥) = −1 Rotação em A: PTV: 𝜃𝐴 = ∫ 𝑚𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝑥 𝜃𝐴 = 1 𝐸𝐼 ∙ [∫ (−3,905𝑥2)(−1)𝑑𝑥 2,38 0 + ∫ (−18,59𝑥 + 22,12)(−1)𝑑𝑥 4,16 2,38 ] 𝜃𝐴 = 1 𝐸𝐼 ∙ [17,54812 + 68,83135] Resposta: 𝐸𝐼𝜃𝐴 = 86,379