Slide - Métodos de Energia - 2024-1

1 - 1 Métodos de Energia PTV/ MCU Componente Curricular : ENG 301 – Resistências dos Materiais II-A Carga Horária: 60 horas 1 - 2  Os conceitos relativos a deslocamentos virtuais e trabalho virtual são usualmente introduzidos durante o estudo da Estática, quando são usados para resolver problemas sobre equilíbrio estático.  A palavra virtual significa que as quantidades são imaginárias e que não existem no sentido real ou físico.  Logo, deslocamento virtual é imaginário e arbitrariamente imposto sobre o sistema estrutural.  Portanto, o trabalho realizado por forças reais durante um deslocamento virtual é chamado de Trabalho Virtual. 1 - 3  Quando sobre uma partícula atua um conjunto de forças em equilíbrio estático, pode-se dar a ela um deslocamento virtual, que consiste na translação da partícula em qualquer direção.  Durante esse deslocamento virtual, o trabalho virtual realizado pelas forças deve ser nulo, porque as forças estão em equilíbrio.  Esta afirmação, aparentemente simples, chamamos de Princípio dos Deslocamentos Virtuais (PDV). diagrama espacial x y  O PDV também é aplicado a corpos rígidos, mantidos em equilíbrio por um conjunto de cargas, que pode incluir forças concentradas, momentos e cargas distribuídas. 1 - 4  Usualmente, deve-se restringir o deslocamento virtual, fazendo-o muito pequeno (pequenas deformações), de maneira que as linhas de ação das forças não sejam alteradas.  Então, considerando uma estrutura deformável em equilíbrio sob carregamentos generalizados.  Em análise de estrutura, deve-se estender o PDV aos casos de estruturas deformáveis.  Para isto, deve-se levar em consideração o trabalho virtual das forças externas e internas (tensões resultantes ou esforços solicitantes).  Seccionando essa viga em um determinado ponto e considerando um elemento de comprimento dx, tem-se em uma face desse elemento os esforços solicitantes: N, V, M e T.  Enquanto na outra face, a uma distância dx tem-se: N+dN, V+dV, M+dM e T+dT. 1 - 5  Admitindo-se que a estrutura é submetida a uma deformação virtual que consiste em uma pequena mudança na sua forma fletida.  Estes deslocamentos reais têm grandezas definidas, determinadas pela natureza das cargas e da estrutura.  Esta deformação virtual é imposta a estrutura de alguma maneira não especificada e será completamente independente do fato da estrutura já ter sido submetida a deslocamentos reais, causadas por cargas exercidas sobre ela.  A deformação virtual, entretanto, representa uma deformação adicional imposta à estrutura.  A única restrição na deformação virtual é que a mudança virtual na forma deve ser compatível com as condições de contorno (ou apoio) e deve manter a continuidade entre os elementos da estrutura (meio do contínuo). e v e e 11.2 Principio do Trabalho Virtual - PTV LJ Durante a deformac¢Ao virtual, cada elemento (dx) da KY ath} . ce A | estrutura sera deslocado para uma nova _ posic¢gao, 7A U N dx acarretando a deformacao da propria estrutura. M V M+dM L} Consequentemente, as forcas exercidas num elemento (dx) . T+dT ~ ; << (+, > (tensoes resultantes e cargas externas) realizarao um T * | - N+4dN diferencial de trabalho virtual. dx JV LI Esse diferencial do trabalho virtual total é dado por dW, que pode ser subdividido em: " dW, - trabalho causado pelo deslocamento do elemento como corpo rigido (translagao e rotac¢ao); " dW,,- trabalho associado a deformacao do elemento. UW Assim: [dWe = dW O logo: [aW, =aW, +aW, LI o trabalho virtual total é igual ao trabalho virtual realizado L] Como o elemento esta em equilibrio estatico, o trabalho pot forcas durante — a realizado pelas forgas externas e internas durante o deformacao virtual do deslocamento do corpo rigido deve ser nulo (dW, = 0). elemento. rs e v e e 11.2 Principio do Trabalho Virtual - PTY LI Somando-se (integrando) os termos do trabalho virtual Kv ath} EN po para todos os elementos da estrutura, tem-se: K g N dx ie LEWC C LtUra 2” M+dM T + dT L) A integral do primeiro membro da equacao é o trabalho >S : . N+dN virtual total, agindo nas faces de todos os elementos, dos (ax \V + av quais o elemento dx é tipico. LI Pode-se notar que os lados de cada elemento (dx) estarao em contato diteto com os elementos adjacentes (equilibrio dos elementos). LI Portanto, o trabalho virtual das tensdes resultantes (ou forcas internas) exercidas sobre um elemento cancelara, exatamente, o trabalho virtual das tens6es resultantes, iguais e opostas exercidas sobre os elementos adjacentes. UI O unico trabalho virtual remanescente é o das forgas externas atuantes nos contornos externos dos elementos. LI Pode-se concluir que esta quantidade é conhecida como trabalho externo (W.,,). 1-7 e v e e 11.2 Principio do Trabalho Virtual - PTY UO) A integral do segundo membro cortresponde ao trabalho fF Y tty virtual associado a deformagaéo do elemento. K Ly U N dx LI Este trabalho inclui os efeitos de todas as forgas que atuam no elemento, tensdes resultantes (ou forcas internas) e forgas rd are * T + aT externas. — Gx i) — | N+dN LI Entretanto, quando um elemento se deforma, somente as dx |VtaV tensdes resultantes (ou forgas internas) realizam aleum trabalho. LI Portanto, esse segundo membro da equacao representa somente o trabalho virtual das tensGes resultantes. W oxt W int LI Este trabalho virtual é igual ao realizado pelas tensdes resultantes quando os elementos nos quais elas atuam sao deformados virtualmente. LI A quantidade total deste trabalho virtual obtido pelo somatério de todos os elementos é chamada de trabalho interno (W,,)). a: e v e e 11.2 Principio do Trabalho Virtual - PTY LI Dessa forma, obtém-se que: wy Y tty Le | ~ Ly A L} Essa equacao representa o Principio do Trabalho Virtual * dx “ (PTV) e pode ser definida da seguinte forma: M V M+dM " quando uma estrutura deformavel, em equilibrio, sob a ac40 quge — i=) ieee T ( : , = N+dN de um sistema de cargas, ¢ dada uma pequena deformacao —v+av virtual, o trabalho realizado pelas forgas externas € igual ao trabalho virtual realizado pelas forgas internas. LI) Observacées: ¢ A deformacao virtual ou o deslocamento virtual, deve ser compativel com os apoios da estrutura e manter sua continuidade(condic6es de contorno e continuidade devem ser atendidas). ¢ A mudanga virtual na forma pode ser arbitrariamente imposta a estrutura e nao deve ser confundida com as deformagées causadas por cargas reais. * Como as propriedades do material utilizado na estrutura nao entraram na formulacao mostrada, o PTV aplica-se a todas as estruturas, ainda que, o material se comporte linearmente ou nao, elastica ou inelasticamente. =z e v e e 11.2 Principio do Trabalho Virtual - PTY L] Entao, o trabalho externo, W.,,, € o realizado pelas forgas externas que atuam na estrutura durante o deslocamento virtual. y¥ Y aH, _ L] Como essas cargas generalizadas (P) atuam com seus we de es valores integrais quando o deslocamento virtual (4) é imposto, tem-se que: LI O trabalho interno, W,,,, € o realizado pelas tensdes resultantes M YD M+dM T+dT exetcidas no elemento que depende da deformagao desse “= Cet} (ibe) dual N+4dN elemento durante o deslocamento virtual. dx NTF LI As deformacées virtuais de um elemento dx podem ser dadas por: = rN de : . (-(¢\ A = dj — deformac4o por \ ! . ~ ~ , ==} cisalhamento (translacao ok » d@— deformagao “4 a ome | 7 _ - | dx | Le ds lateral - distor¢ao); eH \ por flexao (rotacao j . oo . " dp — deformacdo por relativa); = dé — deformacao axial ? $ P | dx | torgao (rotacao relativa); alonga ou encurtar); eat e v e e 11.2 Principio do Trabalho Virtual - PTY UI O trabalho interno, W,,,, resulta em: Wnt = | (N + dN)d6 + | (M + dM)d0 + | (V + dv)da + | (T + dT) do - ae yr’ ett L] Essa expressAo0 pode ser simplificada, desprezando-se o Poet S dx “ produto de dois diferenciais (dNd6), em compatacgao com o produto do termo finito e do diferencial (Nd6), assim tem-se: M V M+dM = i T+dT << (<~ i=) ae T Wine = | was + | mao + | vda+ | Tdo | - va ayy oN Op Op Op Op x =" Sendo que, N, M4, Ve Tsao as tensdes resultantes ou esforcos solicitantes reais na estrutura, causadas pot cargas reais. = edd, d@, dA ec d@ sao as deformacées ficticias associadas ao deslocamento virtual da estrutura. ae 1 - 12  O PTV pode ser usado na dedução do Método da Carga Unitária (MCU), que é de extrema importância para calcular deslocamentos generalizados (translações e rotações) em qualquer tipo de estrutura.  Esse método, teoricamente, pode ser usado tanto para estruturas estaticamente determinadas (isostática) quanto para estruturas estaticamente indeterminadas (hiperestáticas).  No MCU é necessário considerar dois sistemas de carregamento:  O primeiro sistema ou Fase L (Loading) consiste na estrutura submetida a cargas reais, mudanças de temperatura, recalques e outras causas responsáveis pela produção de deslocamentos.  O MCU, por ser deduzido do PTV, é às vezes chamado de Método do Trabalho Virtual ou Método da Carga Substituta ou Método Maxwell-Mohr.  O segundo sistema ou Fase U (Unitária) consiste na mesma estrutura submetida somente há uma carga unitária (carga fictícia ou substituta), para calcular o deslocamento generalizado ∆, causada por forças reais.  A carga unitária deverá ser aplicada onde se quer calcular o deslocamento. P = 1 Fase L Fase U A e Vv e 11.3 Método da Carga Unitaria LY Quando a carga unitaria atua na estrutura, ela produz reagdes nos apoios e esforgos solicitantes (V,,, /,,, V;,, 77) nos elementos que, combinadas com a carga unitaria e as reacdes, formam um sistema de forgas em equilibrio. LI De acordo com o PTV, ao impor uma pequena deformagao virtual, tem-se: LY O MCU cortelaciona-se com o PTV na medida em que é preciso escolher adequadamente a deformacao virtual. L] Neste caso, tomam-se as deformacgdes reais da estrutura causada pela Fase L, como deformag6es virtuais a serem impostas sobre a Fase U. LY O W,,, que ocorre durante essa deformagaAo virtual, é realizado pela carga unitaria, pois esta é a unica carga externa atuando na estrutura na Fase U. UL Portanto, tem-se: Weve = 1 XA " onde A representa o deslocamento generalizado desejado da estrutura causado por cargas reais. Te A e Vv e 11.3 Método da Carga Unitaria UO W,,, € realizado pelos esforgos solicitantes (V,,, /,,, V,,, 7;,), quando os elementos da estrutura sao deformados virtualmente. LI Entretanto, as deformagG6es vittuais sao escolhidas para serem as mesmas das deformagées reais (dd, dO, dA e dp) que ocorrem na estrutura que suporta as cargas reais: LJ Portanto, tem-se: W int =| Nudd + | M,,d6 +{ yaa + | T,,dg LI Como W,,, = W,,,,, obtém-se a equacao fundamental do MCU, dada por: Wext = 1 XA=Wint a={ Nyd6 + | M,a0 + | yda+ | T,,dp est est est est " onde A representa os deslocamentos generalizados (translagao, rotagao e deslocamentos relativos) a serem calculados; " Os esforcos solicitantes (V,,, @/,,, V;,, Ty - unidades de forca ou momento por unidade de carga unitaria), representam a forga axial, o momento fletor, a forga cortante e o momento de torcao causados pela carga unitaria correspondente ao deslocamento A; = dé, d0, di ¢ d@ tepresentam deformacées causadas pelas cargas generalizadas reais. ar Ty e Ty e 11.3 Método da Carga Unitaria L} A equagao fundamental do MCU é€ bastante geral, nao estando sujeita a nenhuma restricao relativa ao comportamento linear do material ou da estrutura, ou seja, nao é necessario que oO ptincipio da superposicao seja valido. =| Nyd6 + | M,a0 + | yda+ | T,dp est est est est LI A situacao mais comum, no entanto, ocorre quando o material segue a Lei de Hooke e a estrutura tem comportamento linear elastico. LI Neste caso, é possivel obter expressGes para as deformacées dd, dO, dd ec dp causadas pelas cargas reais, dada por: N,dx M,dx nV, dx T,dx dé =——_ | |d@ =——_ dA = —._ dp =—— A A G L} Onde N,, M,, V;, T; tepresentam os esforgos solicitantes (tensdes resultantes) na estrutura causadas por cargas reais (Fase L). Dessa forma, a equacao do MCU passa a ser: LI Essa equac¢ao pode ser usada na determinacgao do deslocamento, A, em qualquer ponto da estrutura, quando o material é linearmente elastico e o principio da superposicao for valido. eae vy e Vv e 11.3 Método da Carga Unitaria LI O procedimento de calculo do deslocamento pelo MCU pode ser sintetizado da seguinte maneira: i. Determina-se os esforcos solicitantes N,, M,, V; e ‘ M T;, na estrutura, causadas pelas cargas reais (Fase L); Thy Y ii. Aplica-se na estrutura uma carga unitaria correspondente P | / ao deslocamento, A, que deve ser determinado (Fase U); / / VA BI e ° e creme iii. Determina-se os esforcos solicitantes V,,, /,,, V;, e T;, causadas pela carga unitaria (Fase U); ee | iv. Combina-se os esforcos solicitantes da Fase L e Fase U | -4 integrando para cada elemento da estrutura utilizando a equagao fundamental do MCU, e logo apds, soma-se os termos de todos os elementos para obter o A. A B coe mts tare Lette [nae 1-16 11.4 PTV / MCU - Exemplo de aplicacao 1 Calcular o deslocamento vertical do ponto B da estrutura, desprezando-se o efeito devido a forca cortante. EI = 2 x 10° kNm? (constante) 25 kN/m 50 GN 4 ie 5 i ~ ic =? ™ \ 3m | _ f MoM, 1-17 11.4 PTV / MCU - Exemplo de aplicacao 1 SOLUCAO: A; = | MuML 25 kNim 50 kN oop El A —— eB lA FASE L — Estrutura com carregamento real on — salted Ma =262,5 kN.m {}—_____3m __v y \ 25 kN/m 50 kN x=0 M,,B) = 0 A B My peay = —50x — 12,5x* | x =3 Mya) = —262,5kNm \ 3m 4 x | Adotou-se a convengao classica de NV. =125 KN momentos fletores, considerando o M M A — ( [o\) momento que produz tragao na fibra inferior (face de _ referéncia) como momento fletor positivo. Diagrama de momento fletc M L 1-18 11.4 PTV / MCU - Exemplo de aplicacao 1 A M M 25 kN/m 50 kN 0 EI r as ° [ae FASE U - Calculo dos esforcgos solicitantes virtuais: f{—____2m __4 Aplicando-se a estrutura uma forga unitaria virtual correspondente ao deslocamento procurado (4,): “ ([@\)™ an M __4 x=0 Muy) =9 ' OBA) © * x=3 Mya) =-3kNm A s " Observar que a carga vertical unitaria foi oo x aplicada patra baixo conforme sentido fan P P . positivo assumido pata a flecha em B e | _ que a convengao de sinais de //,, é a mesma utilizada na Fase L. Diagrama de momento fietor M U 1-19 11.4 PTV / MCU - Exemplo de aplicacao 1 SOLUCAO: — 50 kN i - Ta 5 MyM, — [de = — ™~ ° Ap EI ax ~~ \ 3m 4 3 (-—1x) x (-—50x — 12,5x?) =) oe Ap= 3,516 x 107° Ap I ax 105 dx B m | O sinal positivo de 4, indica que o deslocamento tem o mesmo sentido da carga unitaria, isto é, para baixo. Se a carga unitaria tivesse sido arbitrada para cima, 4, resultaria com sinal negativo o que indicaria, também, o sentido correto para baixo da flecha. 0) 11,4 PTV / MCU - Exemplo de aplicacao 2 Calcular a rotagao do ponto B da estrutura, desprezando-se o efeito devida a forca cottante. EI = 2 x 10° kNm? (constante) x SOLUCAO: 25 kKN/m 50 kN MyM A i B , El — ~~ As=? N68 FASE L -— Estrutura com \ 3m { carregamento real M = = 262.5 M ([@\) Micpay = —50x — 12,5x? x=0 Mie) = 9 | > x= 3 Mj ,a) = —262,5 kNm Diagrama de momento fietor [V/ L 1-21 11,4 PTV / MCU - Exemplo de aplicacao 2 SOLUCGAO: FASE U - Calculo dos esforgos solicitantes virtuais: Como o deslocamento procurado é a rotagao em B, a carga unitaria correspondente a ser adotada € um momento unitario em B. Ma=1 f 1 Adotat-se-4 0 momento unitario CN no sentido horario: fp = x \ 3m 4 M ( [@\ My (pa) =-] feo Nota-se que na Fase U a convengao de 1 | - sinais de momento fletor usada foi a Diagrama de — My, mesma do exemplo anterior. 1-22 11,4 PTV / MCU - Exemplo de aplicacao 2 SOLUCAO: 25 kNim 50 kN Op =| ay — As=? N )0s \ 3m 4 3 2 (—1) X (—50x — 12,5x°*) = 3 Op = I a xe108 6, = 1,688 x 10° ’rad +) Como foi arbitrado o sentido horario para a carga unitaria e 0, obtido fol positivo, isto significa que a rotagao em B é horaria, ou seja, o sentido de 6, concorda com o sentido do momento unitario. 1 - 23 L ay °e -ye 2 11.3 Método da Carga Unitaria ya — «8 Pode-se também utilizar tabelas de integrais de produto de L duas funcgoes, ou seja, combinar os diagramas dos esforgos 4+ V—4ab + 2 f= + V—4ab + solicitantes dos casos envolvidos. TABELA 1: I = | #(s)e(s)es 2L Pt eee le OU O: (eo TO: | CSU J | Ce eee tore | pe 1 1 140+ 28) gioy TOTTI] » Leda 258 Le ; tle(aneB) +n(ae26) 2r 5 é g 1 1+§-§2 OTIS Ao cB Le cl(2-G)a+ (1+€)8] {——— cy pode | ge | te [tee quad CUT Bk ; : 1 3 ~IY ' s , _ tia? 21 @2+08+8?) 18 ys TEs 3 3 er 11.4 PTV / MCU - Exemplo de aplicacao 3 Calcular o deslocamento vertical do ponto C da viga abaixo, desprezando-se as influéncias das deformac6es 20 kKN/m devidas a forc¢a cortante. | | | | | | | | | | | = EI =2,0x 10 kNm? DA ic BA 145m | 3.5m ! 1°) Reagdes de apoio: M ( [o\) M DF. = 0 20 kN/m S 5 F yMi =0 Fry X5—20x5x>=0 Ax f)A ic ! BA Fpy = 50 kN 1,5 m | 25m 2°) Diagrama Momento Fletor. Fay | x | Fp, I x 'M, = 0 M, =0' Trecho AB}. 0<x<5m Myapy = 50x - 20.%.5 M Ui ! T y A x=0 Mia =0 M1 (4B) = 50x — 10x? if LZ Mnax = 62,5 x=5 Map =9 Mmax = = 62,5 kNm 1-25 11.4 PTV / MCU - Exemplo de aplicacao 3 1°) Reagdes de apoio: Ss, P=1 DE. = 0 | ° F YR,=0 Fayt+Fpy-1=0 Fay = 0,7 KN Ax LDA 1c BA | 15m | 3,5 m | DMZ =0 FeyXS-1x15=0 [Fey =O3kN 44 | Fy," ' l 1 I 2°) Diagrama Momento Fletor. M | M a=0 ! Mp = 0: (A) “= Trecho AC). 0<x<1,5m M, = 0 . Mc = 1,05 Muvac) — ore Trecho CB: 1,5 <x<5m Myce) = 0,7x — 1(x — 1,5) Mp = 0 MyM, LI Aplicando-se a equacao fundamental deslocamento A do MCU, tem-se: |Ac= ET ax 45 (0,7x) x (50x — 10x? > (0,7x — 1(x — 1,5)) x (50x — 10x? a= [Om ys [* OTER NE = 158) ay 0 2 x 10° 15 2x10 O sinal positivo indica que o deslocamento tem o mesmo sentido ao Ac= 6,617 x 10" "m arbitrado para a carga unitaria, isto é, para batxo. ee 11,4 PTV / MCU - Exemplo de aplicacao 4 Determine o deslocamento vertical da articulacao (nd) C da trelica de aco mosttada na Figura. A area de sec4o transversal de cada elemento é A = 400 mm e E= 200 GPa. _D C oop LA 2v2 FASE L — Estrutura com carregamento real / | Calculo das forgas normais que atuam A a | 2 ' /— 2m ——+—_2m em cada barra da trelicga utilizando o 100 KN método dos nos ou método das secoes. Barra N, AB —100 BC 141.4 AC —141,4 CD 200 4 1 - 28 Solução: Cálculo das forças normais em cada barra, devido a carga unitária aplicada onde se quer calcular o deslocamento, utilizando o método dos nós ou ou método das seções. FASE U - Cálculo dos esforços solicitantes virtuais: NU Barra 2 2 2 @ 2 @ 2 @ 11,4 PTV / MCU - Exemplo de aplicacao 4 =) c Solugao: oe QR | Arranjando os dados em uma tabela, tem-se: ZN: AEE | * . —2m—-++—_2m B 100 kN Barra Ny IN, L NipN,L AB 0 —100 4 0 BC 0 141.4 2,828 0 AC —1,414 —141,4 2,828 565.7 CD 1 200 2 400 > 965,7 KN? +m Acry)= | —— dx rest EA \ 965,7 kN2+m wa) mom ©» ~ [400(10~°) m2] 200(10°) KN/m2 coy n° barras EA IJparra Ac, = 0.01207 m = 12,1 mm 1 - 29 11,4 PTV / MCU - Exemplo de aplicacao 5 Calcular o deslocamento horizontal do no D do portico abaixo, desprezando-se as influéncias das deformagGes axiais e da forga cortante. EJ = 2,0 x 10° kNm? (constante). 50 KN B Cc SOLUCAO: 3m MyM A ca a D V, | 5m Vp SH=0 -H,+50=0 BI=0 Vy+Vp =0 YMi=0 Vy x5—-50xX3=0 1 - 30 1 - 31 FASE L – Estrutura com carregamento real VD=30 kN VA=30 kN M+ 11,4 PTV / MCU - Exemplo de aplicacao 5 50 kN ~ M,M > : 3m FASE L — Estrutura com carregamento real A m) ey \——=™ __\ om (BN) 6 Me x=0 Mia =9 I ; Mi (aB) = 50x Ha = 50 KN A fe xX] Dp! x= 3 Majg = 150kNm <+——_ to V,=30 kN] | V5=30 kN x= 0 M,,B) = 150 kNm M1 (Bc) = 150 — 30x 150 x=5 Mic) =9 150 M, Mi (pc) =0 (M) ay 11,4 PTV / MCU - Exemplo de aplicacao 5 FASE U — Estrutura com carregamento unitario Tf c ] | X 3m Deslocamento — procurado: == Ay = > ny | . “ ye . . os \ B M+ C, horizontal <> forca unitaria horizontal I I em D (arbitrada para a esquerda) I I wo th text ol 0g BH eo ~m-t0 <_< —— << 1_—> YV= 0 VzatVp = 0 DMZ =0 Vp x5=0 7-Lel+ rILel\ “( [@\)” 1-33 11,4 PTV / MCU - Exemplo de aplicacao 5 . M M 50 kN SOLUGAO: |Ajcp) = | —— dx ~ & . , El 3m D PASE U — Estrutura com carregamento unitario - ; — x "+ Deslocamento procurado: Aj,p) horizontal <> forca unitaria nS P M+ | horizontal em D (arbitrada para a esquerda) I I : ' 3 SH=0 -Hy-1=0 I x x I ae Dg SV =0 Y4+Vy=0 1_—- veo! wero, EMA=0 Ypxs=c x=0 Mya =9 3 M M Muyvap) = —1x x=3 My) = -3 kNm 3 3 My (ec) = —-3kNm x=0 Mu) = 9 M Myvpc) = —-1x U x= 3 Myc) =-3 kNm ee 11.4 PTV / MCU - Exemplo de aplicacao 5 ) Xx \ x SOLUCAO: 90 KN B Cc B C MyM, A = ——— dx h(D) EI IN [x f D A f a D ‘ —_ —— << Observar que foi adotada uma coordenada x acompanhando o eixo de cada barra, com os respectivos sentidos indicados no inicio da solugaéo para formular as expressdes de momento fletor na Fase Le na Fase U. Mi cap) = 50x Micec) = 150 — 30x Mivpc) = 9 Mycas) = —-1x My (ec) =—3kNm Myvpc) = —-1x 3 (—1x) x (50x) °(—3) x (150 — 30x) 3(—1x) x (0) Ay m= | Ya AN OA STAT AY h() l 2x105 +] 2x10 +| 2x05“ An(p)= —7,875 X 1073m O sinal negativo de Aj/p) indica que o deslocamento tem o sentido contrario da carga unitaria, isto ¢, para direita. eee 11.4 PTV / MCU - Exemplo de aplicacao 6 Determine o deslocamento vertical do né C do portico abaixo, desprezando-se as influéncias das deformagGes axiais e da forca cortante. ET = 4,0 x 10° kNm/? (constante). Indique o sentido correto do deslocamento. 2 kN/m LN Para a mesma estrutura determine a rotacao do | hOB ‘C no C do portico desprezando-se as 2m ! | influéncias das deformag6es axiais e da forga cortante, indique o sentido correto da rotacao. - ee Loe tar} [a Le MyM A pa =| “tax OMT Ls est El 1 - 36 11.4 PTV / MCU - Exemplo de aplicacao 6 4kNm 1 Fase (L) ToT aun “gs 1.1 Barra CB:0 Sx S2m = I m ; — \ 4 kN pee sO oNby = -4 kw x 1 x —___ I 4kN r{L_@ |\v cee ie vi=0 4m | M+ I x=2m VE =4KN as \\ , | 2 2 x=0 M =0 VLSS? Db u( [@\)« My = 2 c Yor 4kn | |;B 2 x=2m ML =-4kNm l ! 1.2 Barra BA: 0 Sx 54m xv M+ ee ! xy ois = -4 kw l l ! VION vk, =-4 kw 4kN | — NA —, _ Li 12 kNm lh u( [@\ )™ ML, =—4+4x x=0 Mzg=—4kNm x=4m M'=12kNm aw 11.4 PTV / MCU - Exemplo de aplicacao 6 2 Fase (U) — Deslocamento vertical em C 2 wy [* KN 2.1 Barra CB: 0 <x S2m ray HG t,=0 —— “ VIO vd, = 1 kw x=0 Me=0 1kN u( [@\ )» MY, =—1x + _5 " , 21m > | x=Z2m Mp=—-2kNm ‘B | P=1kN 1.2 Barra BA: 0 Sx 54m \T Bom If ——— x 1 M+ - x I xX ! s-@-wv oNY, = -1 kw ! ! 4m M+ riL@] \v Vea =0 A nN zune u( [@\ )™ MY,=-2kNm ES: 11.4 PTV / MCU - Exemplo de aplicacao 6 2 Fase (U) — Rotacgao em C 1kNm 1kNm 2.1 Barra CB:0 <x <2m ft . = ey hs 0 ri @ | Jv ve, =0 M um M¥,= —1kNm 1 km > (f@\) ° _ ‘B ly SiO | 1 1.2 Barra BA: 0 <x <4m x 1 I xt fae s-HGER-y vi-0 aml ff I M+ : EGE v4, =0 3 J ; —_ “( B\)™ MY, _ benim SLLALS SSS 1-39 11.4 PTV / MCU - Exemplo de aplicacao 6 pa = { ~¥ta 3.1 Equacao MCU (flecha em C) 7 EI” Mt, = —x? Mi, =—-44+4x Mcp = -x MY,=—-2kNm * (=x). (—x*) *(—2).(-4 + 4x) Syc) = —7,0 x 1073 6 =| dx + | —_—..—— dx vc) ~ m “MO J, 4x 108 >» 4x 108 Sycc) = 7,0 X 107-3 (1) 3.2 Equacao do MCU (rotagao em C) Mi, =—x2 Mb,=—-4+4x M¥%,=-1kNm Mg, =-1kNm 4 (-1). (-x?) *(-1).(-—4 + 4x) = ——__—___— a —_— — 1 —3 6. I ax 103 ax+ | ax 103 dx @, 3,33 x 10° °rad 6. = 3,33 x 10-3rad (%) 1 - 40 11.4 PTV / MCU - Exemplo de aplicacao 7 Determine o deslocamento horizontal do né C do portico abaixo, desprezando- se as influéncias das deformacoes axiais e da forga cortante pelo MCU, sendo ET constante. Indique dire¢ao correta do deslocamento. 3kN 1,8 kNm ( | C: BL |. ! 1,8 m ! 1,5 m 4kN cs [ote | mts | gee] nee 1,5 m A VIMY Ls 3 Exemplo de aplicacao 8 Determine o deslocamento vertical do ponto F da viga ilustrada na figura, situado a 1,5 m do apoio A, considerando a influéncia da deformacao por flexao utilizando o MCU. Indique o sentido correto do deslocamento vertical desse ponto EF. Dados: ET = 20400 kNm/’; 40 kN 40 kN | | MyM; gy D AJ\. EF B® c Las m 3,0 6} — ~ Ove) = —0,0331 m dyce) = 0,0331 m(7) 1-42 1 - 43  Resolver os seguintes exercícios do capítulo 14 do livro texto (Resistência dos Materiais, 7a ed. - R. C. Hibbeler):  Método da Carga Unitária - MCU Pág. 556 e 557 - Prob. 14.103, 14.110; 14.114; 14.115. Pág. 555 - Prob. 14.87; 14.88; 14.89; 14.93; 14.94. 11.3 Método da Carga Unitaria — Efeito Térmico L} Quando um elemento de barra de comprimento dx e de altura A esta sujeita somente a uma variagao de temperatura uniforme (constante ao longo da altura), o acréscimo dessa temperatura faz com o que, o deslocamento dessa barra seja dada por: s= | B®) WEP aaron Th [dS = aia C est I ! h - aa - CG " N,,— esforcos solicitantes devido a forca unitaria; Tr a " «—coeficiente de dilatacao térmica (°C); 1 -' x " AT cg — vatiacao de temperatura no CG da secao transversal (°C); AT cc= ——— CG 5 L] Para trelicas a variagao de temperatura é uniforme, assim o deslocamento A é dado por: eer wv e v e e v e 11.3 Método da Carga Unitaria — Efeito Térmico L} O comportamento sera diferente, caso a temperatura nao seja constante em toda altura da barra. x |]. { h L) Por exemplo, seja uma viga simplesmente apoiada, 5 x L we dx inicialmente reta, cuja a temperatura uniforme TJ; sofre | —— | vatiacao de T;, na superficie superior,e T,nainferior, — y | L} Admitindo-se que a variacao de temperatura entre as duas superficies seja linear. L) A temperatura média no CG da secao transversal, é dada por: AT... = Ty, +12 ce= > LY Qualquer diferenca entre esta temperatura média ec a temperatura inicial J), acarretara vatiacao no comprimento da viga (ocorrera deslocamento). UL) A diferenca AT = T,-—T;,entre as temperaturas das superficies inferior e superior da viga acatretara uma curvatura do eixo da viga, o que significa a ocorréncia de deslocamentos transversais. 1-45 11.3 Método da Carga Unitaria — Efeito Térmico LU) Para estudar tais deformacdes, considere um A Th elemento de comprimento dx. ‘ T, Ke x LI Admitindo-se JT, > 7;, os lados do elemento girarao : ~ , um em relacao ao outro, num angulo dé. y | Ty a(T, _— Tp )dx LI As variacdes de comprimento desse elemento \ a I «dd na parte inferior e superior é dada por: h MN (AON AT cc CG I 1 \ L] Esse angulo d@ relaciona-se as mudancas na Ty) to‘ Tz — To)d dimens4o pela equacao a seguit: dy a(T, ~ To)dx tan dd = a(T, —_— Ty )dx - a(T, — Tp )dx T, —Tp)dx — a(T, —To)d LI Considerando-se pequenas deformacdes tand8d=d0 = d@ = oy Te NT 1 - 46 11.3 Método da Carga Unitaria — Efeito Térmico L} Para o MCU o deslocamento A é dado por: A= | M,,d@ a(T> _ AT;) T; : = M,, ————— dx [mS 1 . Ur * a = M,,— esforcos solicitantes devido a for¢a unitaria; L | " «—coeficiente de dilatacao térmica (°C); » | " T2 — variacao de temperatura na face inferior das barras (°C); ty " T, — variacao de temperatura na face superior das barras (°C); , ——----- CG " f—altura da secao transversal; T> ds, 1-47 11.4 PTV / MCU - Exemplo de aplicacao 8 Na treliga abaixo calcular o deslocamento vertical do né C provocado por um aumento uniforme de temperatura igual a 40 °C nas barras 1 e 2. A @ B ® Cc a = 10° / °C po 05m ® © D 0.5m = © SOLUCAO: ee 15m 1,5m rr A = | N,, aATcg dx = ». [Nu@ATcgL]parral | Av(c)= ». (M@AT SL oarra est i—n°2 de ha , i=n2 de ba 0 ATcg= AT; ié 0 nimero de barras a tlic FASE L — Estrutura com carregamento devido a temperatura real aAT,= 107° -40° =4 x 1074 aAT,= 107°. 40° = 4x 1074 1 - 48 11.4 PTV / MCU - Exemplo de aplicacao 8 i=n° de barra 05m FASE U —Estrutura com catregamento unitatio 5 ° 0.5m | 1 r 15m 15m =3,0) A B | | HA 30) ® @ Va=0 @ © D Nua) =9 Nua) = 0 7 E _ _ He = 3,03 © Nuys) = —3,163 KN Nyce) = —3,163 kN t Ve = 1,0 Ay(c)= X(N, a AT;L) Aycy= (3): (4x 10-*)- (1,5) + (38)-(4x 1074) - (4,5) eet) 11,4 PTV / MCU - Exemplo de aplicacao 9 Para a mesma trelica, calcular o deslocamento vertical do né C provocado por um aumento no comprimento da barra 6 de 1 cm, ocorrido em funcao de um erro de fabricacao. SOLUCAO: LA @ B @ C 0; 0; 05m a =| Ny, — dx = at PL est . bi 2 G ‘hi O © D ‘ 5. : 6 05m od mL P 15m 15m -—. —_Tt— 6;=+0,01 m FASE L - Estrutura com carregamento devido ao deslocamento real. bj 6; O27 63 64 O 6 0,01 L L, L5 L3 Ly Le Le Le en 11,4 PTV / MCU - Exemplo de aplicacao 9 SOLUCAO: 6i a @ © Ay(c)= » a a 0.6m i=n° de barra L ® © FASE U —Estrutura com catregamento unitatio 5 ° 0.5m 1 Pe 1.5m | 1.5m | Hx = 3,0) A ® e @ ' <= ]|>o A c Va=0 @ © D Nua) =9 Nua) = 0 3 E _ _ He = 3,03 © Nuys) = —3,163 KN Nyce) = —3,163 kN t Ve = 1,0 Oj 06 Ayc)=2Nus Li) — Av@)= Nu Te) Ay(c)= (—3,163 ) - (0,01) l i!