Lista 1 - Funções Vetoriais e Curvas Espaciais 2023-1

Departamento de Matematica e Matematica Aplicada - UFLA GMM106 - Calculo II LISTA DE EXERCICIOS 1 - FUNGOES VETORIAIS Fungoes vetoriais e curvas espaciais 1. Determine o dominio da fungao vetorial (a) r(t) =Intit+ — jtetk (b) r(t) = (V4 —P, e**, In(t + 1) 2. Encontre o limite i t—1 tant (a) lim (t, cos t, 2) (c) lim (vevait jo an k) tol t?—1 t ; L—cost 93 ai . +. t-l, 4 (b) Hin (=O (d) jim e€ i+ 77 Jt tan tk 3. Esboce o grafico da curva cuja equacao vetorial é dada. Indique com setas a direcaéo na qual o parametro t cresce. (a) r(t) = (t?, t, 2) (b) r(t) = (t, -t, 2t) (c) r(t) = (sint, t, cost) 4. Utilize um computador (Geogebra) para tracar a curva da equacao vetorial dada. Escolha o dominio do parametro e ponto de vista de forma a revelar a verdadeira natureza da curva. (a) r(t) = (#,0 — t,t) (b) r(t) = (vi, 0, 2) 5. Se dois objetos viajam pelo espacgo ao longo de duas curvas diferentes, 6 sempre importante saber se eles vao colidir. As curvas podem se interceptar, mas precisamos saber se os objetos estarao na mesmo posicao no mesmo instante. Suponha que as trajetdérias de duas particulas sejam dadas pelas seguintes funcoes vetoriais r1(t) = (t?,7t—12,t7) re(t) = (4t — 3,17, 5t — 6) para t > 0. As particulas colidem? Derivadas e integrais de fungdes vetoriais 6. Para os exercicios a seguir: I Esboce o grafico da curva plana com a equacao vetorial dada. Il Determinar r’(t). III Esboce o vetor posigao r(t) e o vetor tangente r’(t) para o valor dado de t. 1 (a) r(t)=(®8,2) t=1 (b) x(t) =elite%j, t=0 7. Determine a derivada da fungao vetorial (a) r(t) = (t,t?, t°) (c) r(t) =i+tantj+sectk . t-l, _ (b) r(t) = (? —4, 6-4, V6 —1) (d) r(t) = te“i+ —— j+tan tk 8. Determine o vetor tangente unitdrio T(t) no ponto com o valor do parametro t dado. (a) r(t)=(vt,t—t,tan't), t=1 (c) r(t) = e*costit+e*sintj+e*k t= 1/2 (b) r(t) =ti+2sintj+3costk t=7/6 (d) r(t) = (2t,3t?,4t?), t=1 9. Determine as equacoes paramétricas para a reta tangente a curva com as equacoes paramétricas, dadas no ponto especificado. (a) cv=t, y=t?, z=; (1,1,1) (b) r=1+2t, y=14+t—-#, z=1-t4+e—-?#; (1,1,1) (c) e=sinat, y= Vt, z=coszt; (0,1,—1) 10. Calcule a integral. (a) fo (tit+t? j+tk) dt (b) f? (+ #2) i—4t4 j— (#2 —1) kj dt (c) J; (cos 2t i+ sin 2t j+tsint k) dt Comprimento de arco e curvatura 11. Determine 0 comprimento da curva dada. (a) r(t) = (2t,3sint,3cott), a<t<b (b) r(t) = (e’,e’sint,e’cost), O<t< 27 (c) r=2t, y=P.z=t?, 0<t<1 es ae IT) 12. Determine os vetores tangente e normal unitdrios T(t) e N(t). Utilize a formula «(t) = ri] r para encontrar a curvatura. (a) r(t) = (sin 4t, 3t, cos 4t) (b) r(t) = (6t, 3v/2¢?, 2t°) (c) x(t) = (v2t, ete) Movimento no espago: velocidade e aceleragdo 2 13. Determine a velocidade, a aceleragao e a velocidade escalar da particula com funcao posicao r(t) = (vi -t). Esboce a trajetoria da particula e desenhe os vetores velocidade e aceleracao para t = 1. 14. Determine as componentes tangencial e normal do vetor aceleragéo. (Nao sera cobrado na avaliacao) (a) r(t) = (#? +4) i+ (2t — 3) j (b) r(t) = (t — sint) i+ (t — cost) j (c) r(t)=#i+e?jt+tk 3