Questões - Analogia de Mohr-green - 2023-2

PROBLEMA – Utilizando a analogia de Mohr-Green, para a viga apresentada na Fig. 1 pede-se determinar: A) A rotação, θ, no apoio A (6 casas decimais finais e unidade); B) O valor do deslocamento vertical, δ, no centro do vão (3 casas decimais finais e unidade). C) Ilustrar, ao longo da solução, todos os diagramas envolvidos, inclusive valores. DADOS: P=(2500 + 6.N) daN; Mo= 50000,0 daN. cm; q=12 daN/cm; l= (580+4.N) cm; E=8,0x10⁵ daN/cm². N é o último dígito do aluno. Figura 1 – Viga submetida à flexão, para o cálculo dos deslocamentos. A) Rotação θA: _______________ B) Deslocamento δ(1/2): _______________ RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 181 Solicitações Normais e Tangenciais; Estudo da Flexão TEXTO EM REVISÃO. © LUIZ EDUARDO T. FERREIRA. DIREITOS AUTORAIS RESERVADOS. Lei n. 9.610/98 - 15/10/2023 9.B. DESLOCAMENTOS EM VIGAS: PROCESSO DO MOMENTO ESTÁTICO DA ÁREA O processo dos momentos estáticos das áreas, ou “analogia de Mohr-Green”, baseia-se na aplicabilidade da hipótese de Navier na flexão, ignorando-se, portanto, os deslocamentos oriundos do cisalhamento. Esse método infere que o ângulo θ de giro da elástica em um dado intervalo de interesse, AB, é dado pela integral do momento fletor, M, no referido intervalo, dividida pelo produto de rigidez à flexão, E.Iz. Assim: 𝜃 = ∫ 𝑀 𝐸𝐼𝑧 𝐵1 𝐴1 𝑑𝑥 = 1 𝐸𝐼𝑧 ∫ 𝑀𝑑𝑥 𝐵1 𝐴1 (B9.1) na qual M.dx é a área do elemento infinitesimal definido no diagrama de momentos fletores, conforme indicado na Figura B9.1. Em outras palavras, o ângulo θ formado pelas tangentes à linha elástica em dois pontos, A e B, é igual à área do diagrama de momentos fletores no trecho (AB), dividida pelo produto E.Iz. Figura B9.1 – Viga bi-apoiada: diagrama de momentos fletores e região de interesse. O anteriormente enunciado é conhecido como primeiro teorema dos momentos estáticos da área (em que pese o não envolvimento, na formulação, de momentos estáticos da área do diagrama de momentos fletores!). O método infere, ainda, que o deslocamento vertical, δ, é dado pela integral do momento estático da área do diagrama de momento fletor (relativamente ao eixo x, longitudinal), dividida pelo produto de rigidez, E.Iz. Portanto, o braço desse momento é a distância desde o CG da área considerada, até o ponto de interesse. Em outras palavras, o deslocamento vertical, δ, no ponto B, relativamente à tangente à elástica no ponto A, é igual ao momento estático da área do diagrama, entre A e B, dividida pelo produto E.Iz. Essa inferência é conhecida como segundo teorema dos momentos estáticos da área. Com isso, tem-se: 𝛿 = 1 𝐸𝐼𝑧 ∫ 𝑥̅𝑀𝑑𝑥 𝐵1 𝐴1 (B9.2) RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 182 Solicitações Normais e Tangenciais; Estudo da Flexão TEXTO EM REVISÃO. © LUIZ EDUARDO T. FERREIRA. DIREITOS AUTORAIS RESERVADOS. Lei n. 9.610/98 - 15/10/2023 Os princípios do método passam a ser genericamente explicados. Sejam dois pontos, A e B, situados sobre a elástica. A1 e B1 são as projeções desses pontos sobre o diagrama de momentos fletores. Ainda, os pontos M e N representam duas posições adjacentes sobre a elástica, separadas de uma distância elementar dx, conforme ilustra a Figura B9.2. Figura B9.2 – Representação de trechos elementares da elástica e do diagrama de momentos. Tomando-se o pequeno triângulo formado pelo raio de curvatura, r, e o segmento MN de extensão ds e abertura angular dθ (após a deflexão) e considerando-se que ds é uma distância elementar, torna-se possível aproximar que: 𝑑𝑠 ≅ 𝑑𝑥 ≅ 𝑟 𝑡𝑔 𝑑𝜃 ≅ 𝑟𝑑𝜃 (B9.3) Portanto: 𝑑𝜃 = 1 𝑟 𝑑𝑥 (B9.4) Da relação momento-curvatura, tem-se que: 1 𝑟 = 𝑀 𝐸𝐼𝑧 (B9.5) Substituindo a Equação 9.5 na 9.4 decorre que: 𝑑𝜃 = 𝑀 𝐸𝐼𝑧 𝑑𝑥 (B9.6) a qual integrada no intervalo de interesse conduz a: 𝜃 = 1 𝐸𝐼𝑧 ∫ 𝑀𝑑𝑥 𝐵1 𝐴1 (B9.7) Como referido, a integral de M.dx no intervalo definido, conduz à área do diagrama de momentos fletores, AMF, no próprio intervalo. Com isso: 𝜃 = 𝐴𝑀𝐹 𝐸𝐼𝑧 (B9.8) RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 183 Solicitações Normais e Tangenciais; Estudo da Flexão TEXTO EM REVISÃO. © LUIZ EDUARDO T. FERREIRA. DIREITOS AUTORAIS RESERVADOS. Lei n. 9.610/98 - 15/10/2023 resultando da Equação 9.2 que: 𝛿 = 𝑥 ̅𝐴𝑀𝐹 𝐸𝐼𝑧 𝑜𝑢: (B9.9) 𝛿 = 𝑥 ̅𝜃 (B9.10) Como se depreenderá, a utilização desse processo é extremamente simples e prática, se comparada àquele da integração da equação diferencial da linha elástica. EXEMPLO EB9.1- Determinar as equações do giro θ e o deslocamento δ na extremidade da viga em balanço apresentada na Figura EB9.1. Figura EB9.1 – Viga em balanço submetida à um momento puro: elástica e diagrama de M. SOLUÇÃO • Determinação da rotação θ: 𝜃 = 1 𝐸𝐼𝑧 ∫ 𝑀𝑑𝑥 = 𝐴𝑀𝐹 𝐸𝐼𝑧 Momento fletor e área do diagrama: 𝑀𝑀𝑍 = −𝑀𝑧 → 𝐴𝑀𝐹(𝑀𝑧) = −𝑀𝑧𝑙 Deslocamento angular no ponto A: 𝜃 = 𝐴𝑀𝐹(𝑀𝑧) 𝐸𝐼𝑧 𝜃 = −𝑀𝑧𝑙 𝐸𝐼𝑧 • Determinação do deslocamento (ou deflexão) vertical, δ: 𝛿 = 1 𝐸𝐼𝑧 ∫ 𝑥̅𝑀𝑑𝑥 = 𝑥 ̅𝜃 Braços dos momentos estáticos: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 184 Solicitações Normais e Tangenciais; Estudo da Flexão TEXTO EM REVISÃO. © LUIZ EDUARDO T. FERREIRA. DIREITOS AUTORAIS RESERVADOS. Lei n. 9.610/98 - 15/10/2023 𝑥̅𝑀𝑧 = 1 2 . 𝑙 • Deslocamento vertical no ponto A: 𝛿 = 𝑥̅𝑀𝑧𝜃𝑀𝑧 𝛿 = [( 1 2 . 𝑙) ( −𝑀𝑧𝑙 𝐸𝐼𝑧 )] 𝛿 = −𝑀𝑧𝑙2 2𝐸𝐼𝑧 EXEMPLO EB9.2- Determinar as equações do giro θ e o deslocamento δ na extremidade da viga engastada apresentada na Figura EB9.2. Figura EB9.2 – Viga engastada submetida à uma força concentrada: elástica e diagrama de M. SOLUÇÃO • Determinação da rotação 𝜃 = 1 𝐸𝐼𝑧 ∫ 𝑀𝑑𝑥 = 𝐴𝑀𝐹 𝐸𝐼𝑧 Momento fletor e área do diagrama: 𝑀 = −𝑃. 𝑙 → 𝐴𝑀𝐹 = 𝑀.𝑙 2 = (−𝑃.𝑙).𝑙 2 = −𝑃𝑙2 2 Deslocamento angular: 𝜃 = 𝐴𝑀𝐹 𝐸𝐼𝑧 = −𝑃𝑙2 2𝐸𝐼𝑧 • Determinação do deslocamento (ou deflexão) vertical 𝛿 = 1 𝐸𝐼𝑧 ∫ 𝑥̅𝑀𝑑𝑥 = 𝑥 ̅𝜃 𝑛𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑙 𝑥̅ = 2 3 . 𝑙 𝑒 𝜃 = −𝑃𝑙2 2𝐸𝐼𝑧 e o deslocamento vertical no ponto A resulta: 𝛿 = ( 2 3 . 𝑙) ( −𝑃𝑙2 2𝐸𝐼𝑧) = −𝑃𝑙3 3𝐸𝐼𝑧 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 185 Solicitações Normais e Tangenciais; Estudo da Flexão TEXTO EM REVISÃO. © LUIZ EDUARDO T. FERREIRA. DIREITOS AUTORAIS RESERVADOS. Lei n. 9.610/98 - 15/10/2023 EXEMPLO EB9.3- Determinar as equações do giro θ no apoio A e o deslocamento δ no centro do vão da viga bi-apoiada apresentada na Figura EB9.3. Figura EB9.3 – Viga bi-apoiada com carregamento uniforme. SOLUÇÃO • Determinação da rotação 𝜃 = 1 𝐸𝐼𝑧 ∫ 𝑀𝑑𝑥 = 𝐴𝑀𝐹 𝐸𝐼𝑧 Momento fletor e área do diagrama: 𝑀 = 𝑞𝑙2 8 → 𝐴𝑀𝐹 = 2 3 𝑏ℎ = 2 3 ( 𝑙 2) 𝑞𝑙2 8 = 𝑞𝑙3 24 Deslocamento angular: 𝜃 = 𝐴𝑀𝐹 𝐸𝐼𝑧 = 𝑞𝑙3 24𝐸𝐼𝑧 • Determinação do deslocamento (ou deflexão) vertical no centro do vão 𝛿 = 1 𝐸𝐼𝑧 ∫ 𝑥̅𝑀𝑑𝑥 = 𝑥 ̅𝜃 Braço do momento estático: 𝑥̅ = 5 8 . 𝑙 2 = 5𝑙 16 𝛿 = ( 5𝑙 16) ( 𝑞𝑙3 24𝐸𝐼𝑧) = 5𝑞𝑙4 384𝐸𝐼𝑧 (𝑏𝑖 − 𝑎𝑝𝑜𝑖𝑎𝑑𝑜: 𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜!) 9.1 B. PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS O princípio da superposição de efeitos é largamente utilizado na elasticidade linear e, de alguma maneira esse princípio mostra-se bastante intuitivo. Para externar a ideia de superposição, toma-se um pequeno problema. Suponha-se um sólido arbitrário, solicitado por um conjunto também arbitrário de forças externas, P1, P2 e P3, conforme ilustrado na Figura B9.3. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 186 Solicitações Normais e Tangenciais; Estudo da Flexão TEXTO EM REVISÃO. © LUIZ EDUARDO T. FERREIRA. DIREITOS AUTORAIS RESERVADOS. Lei n. 9.610/98 - 15/10/2023 Figura B9.3 – Sólido arbitrário solicitado por um conjunto de forças, Pi. Nesse caso, o princípio da superposição infere que o deslocamento total, δT, resultante da aplicação do conjunto de forças, Pi, é dado pela soma dos deslocamentos decorrentes da aplicação de cada uma das forças, individualmente. Esse raciocínio vale, igualmente, para o giro θ. Assim: 𝛿𝑇 = 𝛿1 + 𝛿2 + 𝛿3 (B9.11) Em alguns exemplos que seguem, esse princípio é utilizado para a solução de componentes solicitados por múltiplas cargas. EXEMPLO EB9.4- Determinar as equações do giro θ e o deslocamento δ na extremidade da viga engastada, apresentada na Figura EB9.4. Figura EB9.4 – Viga engastada submetida a carregamento uniforme: elástica e diagrama de M. SOLUÇÃO: • Determinação da rotação 𝜃 = 1 𝐸𝐼𝑧 ∫ 𝑀𝑑𝑥 = 𝐴𝑀𝐹 𝐸𝐼𝑧 Momento fletor e área do diagrama: 𝑀 = (𝑞. 𝑙). 𝑙 2 = 𝑞𝑙2 2 → 𝐴𝑀𝐹 = 1 3 ( −𝑞𝑙2 2 ) 𝑙 = −𝑞𝑙3 6 Deslocamento angular: 𝜃 = 𝐴𝑀𝐹 𝐸𝐼𝑧 = −𝑞𝑙3 6𝐸𝐼𝑧 • Determinação do deslocamento (ou deflexão) vertical RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 187 Solicitações Normais e Tangenciais; Estudo da Flexão TEXTO EM REVISÃO. © LUIZ EDUARDO T. FERREIRA. DIREITOS AUTORAIS RESERVADOS. Lei n. 9.610/98 - 15/10/2023 𝛿 = 1 𝐸𝐼𝑧 ∫ 𝑥̅𝑀𝑑𝑥 = 𝑥 ̅𝜃 Braço do momento estático: 𝑥̅ = 3 4 . 𝑙 • Deslocamento vertical no ponto A 𝛿 = ( 3 4 . 𝑙) ( −𝑞𝑙3 6𝐸𝐼𝑧) = −𝑞𝑙4 8𝐸𝐼𝑧 EXEMPLO EB9.5- Determinar as equações do giro θ e o deslocamento δ na extremidade da viga em balanço apresentada na Figura EB9.5. Figura EB9.5 – Viga engastada: carga concentrada P e momento puro, Mz. SOLUÇÃO Nesse caso, as soluções são desenvolvidas por superposição de efeitos: • Determinação da rotação 𝜃 = 1 𝐸𝐼𝑧 ∫ 𝑀𝑑𝑥 = 𝐴𝑀𝐹 𝐸𝐼𝑧 Momentos fletores e áreas dos diagramas: 𝑀𝑃 = −𝑃. 𝑙 → 𝐴𝑀𝐹(𝑝) = 𝑀.𝑙 2 = (−𝑃.𝑙).𝑙 2 = −𝑃𝑙2 2 𝑀𝑀𝑍 = −𝑀𝑧 → 𝐴𝑀𝐹(𝑀𝑧) = −𝑀𝑧𝑙 Deslocamento angular no ponto A, por superposição: 𝜃 = 𝐴𝑀𝐹(𝑃) 𝐸𝐼𝑧 + 𝐴𝑀𝐹(𝑀𝑧) 𝐸𝐼𝑧 = −𝑃𝑙2 2𝐸𝐼𝑧 + −𝑀𝑧𝑙 𝐸𝐼𝑧 = −𝑙 𝐸𝐼𝑧 ( 𝑃𝑙 2 + 𝑀𝑧) • Determinação do deslocamento (ou deflexão) vertical 𝛿 = 1 𝐸𝐼𝑧 ∫ 𝑥̅𝑀𝑑𝑥 = 𝑥 ̅𝜃 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 188 Solicitações Normais e Tangenciais; Estudo da Flexão TEXTO EM REVISÃO. © LUIZ EDUARDO T. FERREIRA. DIREITOS AUTORAIS RESERVADOS. Lei n. 9.610/98 - 15/10/2023 Braços dos momentos estáticos: 𝑥̅𝑃 = 2 3 . 𝑙; 𝑥̅𝑀𝑧 = 1 2 . 𝑙 • Deslocamento vertical no ponto A 𝛿 = 𝑥̅𝑃𝜃𝑝 + 𝑥̅𝑀𝑧𝜃𝑀𝑧 𝛿 = [( 2 3 . 𝑙) ( −𝑃𝑙2 2𝐸𝐼𝑧) + ( 1 2 . 𝑙) ( −𝑀𝑧𝑙 𝐸𝐼𝑧 )] = −1 𝐸𝐼𝑧 ( 𝑃𝑙3 3 + 𝑀𝑧𝑙2 2 ) 9.2B. FORMAS COMUNS DOS DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES De maneira muito geral, os diagramas de momentos fletores envolvem formas de graus superiores (parábolas quadráticas, cúbicas, etc.), assim como formas triangulares que usualmente resultam da consideração de cargas concentradas que atuam ao longo do vão do componente. Alguns parâmetros referentes às formas parabólicas de diferentes graus, assim como aquelas de triângulos de interesse, são apresentados na Figura B9.4 e na Tabela B9.1. Figura B9.3 – Propriedades de áreas e CGs – formas parabólicas e triangular. Tabela B9.1 – Propriedades de áreas e C.G. de formas parabólicas Grau Área-A 𝒙̅ Área Comp.- A* l-𝑥̅ 1 ½ (l.h) 1/3.l ½ (l.h) 2/3.l 2 1/3 (l.h) ¼.l 2/3 (l.h) ¾.l 3 ¼ (l.h) 1/5.l ¾ (l.h) 4/5.l EXEMPLO EB9.6. Para a viga engastada apresentada na Figura EB9.6.1, pede-se determinar os valores do giro θ e do deslocamento vertical δ no ponto A, utilizando a analogia de Mohr-Green. Pede-se, também, a parcela de deslocamento devida à força cortante, V, (teoria de Timoshenko, e o deslocamento total. Dados: E= 300000,00 daN/cm2; ν = 0,20. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 189 Solicitações Normais e Tangenciais; Estudo da Flexão TEXTO EM REVISÃO. © LUIZ EDUARDO T. FERREIRA. DIREITOS AUTORAIS RESERVADOS. Lei n. 9.610/98 - 15/10/2023 Figura EB9.6.1 – Viga engastada: carregamento uniforme e força concentrada no extremo. SOLUÇÃO • Momentos Fletores: Os momentos fletores que solicitam a seção transversal são os que seguem: Momento devido à carga concentrada P: 𝑀𝑃 = −𝑃. 𝑙 = −200,0. 500,0 = −1,0𝑥105 𝑑𝑎𝑁. 𝑐𝑚 Momento devido à carga distribuída, q: 𝑀𝑞 = −𝑞.𝑙2 2 = −20,0. 500,02 2 = −2,5𝑥106 𝑑𝑎𝑁. 𝑐𝑚 Os diagramas de momentos fletores são mostrados na Figura B9.6.2. Figura B9.6.2 – Diagramas de momentos fletores para as cargas P e q. • Áreas dos diagramas: 𝐴𝑝 = −500,0. 1,0𝑥105 2 = −2,5𝑥107 𝑑𝑎𝑁. 𝑐𝑚2 𝐴𝑞 = 2 3 (−500,0. 2,5𝑥106) = −833 333 333,3333 𝑑𝑎𝑁. 𝑐𝑚2 • Momento de Inércia da seção, Iz: 𝐼𝑧 = 25,0. 45,03 12 − 10,0. 17,53 12 = 116146,00 𝑐𝑚4 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 190 Solicitações Normais e Tangenciais; Estudo da Flexão TEXTO EM REVISÃO. © LUIZ EDUARDO T. FERREIRA. DIREITOS AUTORAIS RESERVADOS. Lei n. 9.610/98 - 15/10/2023 • Cálculo do giro, θ: 𝜃 = 𝜃𝑃 + 𝜃𝑞 𝜃𝑃 = 𝐴𝑝 𝐸𝐼𝑧 = −2,5𝑥107 3,0𝑥105 . 116146,00 = −7,175𝑥10−4 𝑟𝑑 𝜃𝑞 = 𝐴𝑞 𝐸𝐼𝑧 = −833 333 333,3333 3,0𝑥105 . 116146,00 = −0,023916 𝑟𝑑 𝜃 = −0,024628 𝑟𝑑 (≅ −1,4110800) • Cálculo do deslocamento vertical, δ: 𝛿 = 𝛿𝑃 + 𝛿𝑞 = 𝜃𝑃𝑥̅𝑃+𝜃𝑞𝑥̅𝑞 𝑥̅𝑃 = 2 3 500,0 𝑐𝑚; 𝑥̅𝑞 = 3 4 500,00 𝑐𝑚 δ = − (7,175x10−4. 2 3 500,0) − (0,023916. 3 4 500,00) = −9,208 cm • Cálculo do deslocamento adicional devido ao cisalhamento, δV: 𝛿𝑉 = 𝛼 𝐴𝐺 𝑀 = 𝛼 𝐴𝐺 (𝑀𝑃 + 𝑀𝑞) Módulo de cisalhamento e área da seção: 𝐺 = 𝐸 2(1+𝜐) = 3,0𝑥105 (1+0,20) = 1,25𝑥105 𝑑𝑎𝑁/𝑐𝑚2 𝐴 = 550,00 𝑐𝑚2 Constante de cisalhamento: 𝛼 = 1,672197 (𝑣𝑖𝑑𝑒 𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 𝐸6.4 ) 𝛿𝑉 = 1,672197 550,0.1,25𝑥105 (−1,0𝑥105 − 2,5𝑥106) 𝛿𝑉 = −0,063 𝑐𝑚 (𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑇𝑖𝑚𝑜𝑠ℎ𝑒𝑛𝑘𝑜) Observe-se que, no caso, a parcela de deslocamento devida ao cisalhamento é pequena. Isso se deve ao fato de que, a relação entre a altura da viga e o vão livre, é igualmente pequena. Com a diminuição do vão ou o aumento da altura da viga, δV crescerá. • Cálculo do deslocamento vertical total, δt: 𝛿𝑡 = 𝛿 + 𝛿𝑉 = −9,208 − 0,063 → 𝛿𝑡 = −9,271 𝑐𝑚 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 191 Solicitações Normais e Tangenciais; Estudo da Flexão TEXTO EM REVISÃO. © LUIZ EDUARDO T. FERREIRA. DIREITOS AUTORAIS RESERVADOS. Lei n. 9.610/98 - 15/10/2023 EXEMPLO EB9.7. Para a mesma viga apresentada na Figura EB9.7.1e com os valores de h=22,000 cm e G= 115 384, 61538 daN/cm2, pede-se determinar, por meio da analogia de Mohr-Green (superposição), o valor do deslocamento vertical, δm, na posição de momento máximo; Figura EB9.7.1– Viga submetida à um carregamento linearmente distribuído e a um carregamento uniforme, no balanço. SOLUÇÃO Adotando a mesma estratégia utilizada anteriormente, somente o vão principal será considerado. Para tanto, o sistema equivalente ilustrado na Figura EB9.7.2 é utilizado: Figura EB9.7.2- Sistema estaticamente equivalente. • Resolução numérica: Mohr-Green Observe que a superposição subentende o tratamento individual dos diagramas de momentos fletores, para cada um dos esforços de interesse, na posição x, de momento máximo (já determinada na questão anterior) e a soma posterior dos efeitos de cada um dos esforços (superposição). Entretanto, a questão em pauta envolve quantidades com variações cúbicas, sugerindo que o tratamento do diagrama de momentos fletores, como um todo, facilite a resolução do problema. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 192 Solicitações Normais e Tangenciais; Estudo da Flexão TEXTO EM REVISÃO. © LUIZ EDUARDO T. FERREIRA. DIREITOS AUTORAIS RESERVADOS. Lei n. 9.610/98 - 15/10/2023 Salienta-se, entretanto, que casos mais complexos a exemplo do atual, torna-se preferível a solução dos deslocamentos por meio da integração da equação diferencial da linha elástica. • Linhas de estado Os diagramas de forças cortantes e de momentos fletores são exibidos na Figura EB9.7.3 Figura EB9.7.3 – Linhas de Estado (Diagramas de esforços solicitantes). Curiosidade: a posição de momento nulo é obtida da maneira que segue: (−𝑀0 + 𝑀0 𝑙 𝑥) + ( 𝑞𝑙 6 𝑥 − 𝑞𝑥3 6𝑙 ) = 0 → 𝑥 = 75,115 cm • Área e CG do diagrama: A área do diagrama de momentos pode ser obtida por meio da integração da equação dos momentos. Trabalhando pela direita do momento máximo, portanto, no intervalo compreendido entre 312,623 cm e 500,0 cm: 𝐴𝑚 = ∫ (−𝑀0 + 𝑀0 𝑙 𝑥) + ( 𝑞𝑙 6 𝑥 − 𝑞𝑥3 6𝑙 ) 500,000 312,62331 𝑑𝑥 𝐴𝑚 = 4,3697739430156x107 𝑑𝑎𝑁. 𝑐𝑚2 • Rotação θ θ = 1 𝐸𝐼𝑧 ∫ 𝑀𝑑𝑥 = 4,3697739430156x107 3,0𝑥105 14732,4035 = 0,009887 𝑟𝑑 A abscissa do CG é obtida por meio da equação geral dos centros de gravidade: 𝑥̅ = ∫ 𝑥2 𝑥. 𝑀 𝑑𝑥 𝑥1 ∫ 𝑥2 𝑀 𝑑𝑥 𝑥1 = 𝐼1 𝐼2 (𝑎𝑛á𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑎: 𝑥̅ = ∑ 𝑥𝑖̅ .𝐴𝑖 ∑ 𝐴𝑖 ) 𝐼1 = ∫ 𝑀0 ( 𝑥 𝑙 − 1) +. 𝑞𝑥 6 (𝑙 − 𝑥2 𝑙 500,000 312,62331 ) 𝑑𝑥 = 4,3697739430156𝑥107𝑑𝑎𝑁. 𝑐𝑚2 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 193 Solicitações Normais e Tangenciais; Estudo da Flexão TEXTO EM REVISÃO. © LUIZ EDUARDO T. FERREIRA. DIREITOS AUTORAIS RESERVADOS. Lei n. 9.610/98 - 15/10/2023 𝐼2 = ∫ 𝑥[𝑀0 ( 𝑥 𝑙 − 1) +. 𝑞𝑥 6 (𝑙 − 𝑥2 𝑙 ) 𝑑𝑥 = 500,000 312,62331 1,668133573168948𝑥1010 𝑑𝑎𝑁. 𝑐𝑚3 𝑥̅(𝑑𝑜 𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜 𝐴) = 4,3697739430156𝑥107 1,668133573168948𝑥1010 = 381,744 𝑐𝑚 𝑥̅ = 𝑙 − 𝑥̅(𝑑𝑜 𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜 𝐴) = 500,0 − 381,744 = 118,256 𝑐𝑚 • Deslocamento vertical, δ 𝛿 = θ. 𝑥̅ = 0,009887 . 118,256 = 1,169197 ≅ 1,169 𝑐𝑚 .