Lista - Análise de Tensões e Transformações - 2023-1

GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações – EP – Lista de exercícios 10. εx = 200x10⁻⁶ εy = -300x10⁻⁶ γxy = 400x10⁻⁶ θ = 30° Σméd = \( \frac{εx+εy}{2} \) = \( \frac{200x10⁻⁶ + (-300x10⁻⁶)}{2} \) Σméd = -50x10⁻⁶ (centro do círculo) Σméd = -50x10⁻⁶ R = \( \sqrt{ \left( \frac{200-(-300)}{2} \right)^2 + \left( \frac{400}{2} \right)^2} \) = 320,16(10⁻⁶) φ = tg⁻¹ \( \frac{-200}{-250} \) = +38,66° α = 2θ - φ = 2.30°- (+38,66°) = 21,34° ε'x = \( \left[ -50 + 320,16.cos(21,34°) \right] \).10⁻⁶ = 248x10⁻⁶ ε'y = \( \left[ -50 - 320,16.cos(21,34°) \right] \).10⁻⁶ = -348,2x10⁻⁶ γ'xy = 2.\( \left[ 320,16sen(21,34°) \right] \).10⁻⁶ = -233x10⁻⁶ 11. εx = 150x10⁻⁶; εy = 200x10⁻⁶; γxy = -700x10⁻⁶ θ = 60° Σméd = \( \frac{εx + εy}{2} \) = \( \frac{150 + 200}{2} \).10⁻⁶ = 175x10⁻⁶ R = \( \sqrt{ \left( \frac{150 - 200}{2} \right)^2 + \left( \frac{-700}{2} \right)^2} \) = 350,89x10⁻⁶ φ = tg⁻¹ \( \frac{350}{25} \) = 85,9° α = 2θ - φ = 120° - 85,9° = 34,1° ε'x = \( \left[ 175 - 350,89.cos(34,1°) \right] \).10⁻⁶ = -115,56x10⁻⁶ ε'y = \( \left[ 175 + (350.cos(34,1°) \right] \).10⁻⁶ = 465x10⁻⁶ γ'xy = 2.350,89.sen 34,1°.10⁻⁶ = 393x10⁻⁶ 12. εx = 150x10⁻⁶, εy = 200x10⁻⁶ e γxy = -700x10⁻⁶ θ = 30° Σméd = \( \frac{150 + 200}{2} \).10⁻⁶ = 175x10⁻⁶ R = \( \sqrt{ \left( \frac{150 - 200}{2} \right)^2 + \left( \frac{-700}{2} \right)^2} \) = 350,89x10⁻⁶ φ = tg⁻¹ \( \frac{350}{25} \) = 85,9° α = 2θ - φ = 2(-30) - 85,9° = -145,9° ε'x = \( \left[ 175 - 350,89.cos(-145,9°) \right] \).10⁻⁶ = 465,56x10⁻⁶ ε'y = \( \left[ 175 + 350,89.cos(-145,9°) \right] \).10⁻⁶ = -115,56x10⁻⁶ γ'xy = 2.\( \left[ 350,89.sen(-145,9°) \right] \).10⁻⁶ = -393,4x10⁻⁶ GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações – EP – Lista de exercícios EXERCÍCIO 4 As cargas internas em uma seção da viga são mostradas. Determine as tensões principais no plano no ponto B. Calcule também a tensão de cisalhamento máxima no plano neste ponto. Resposta: s1 = 16.6 MPa s2 = 0 MPa tmáx,plano = 8.3 MPa GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações – EP – Lista de exercícios EXERCÍCIO 5 As cargas internas em uma seção da viga são mostradas. Determine as tensões principais no plano no ponto C. Calcule também a tensão de cisalhamento máxima no plano neste ponto. Resposta: s1 = 14.2 MPa s2 = -8.02 MPa tmáx,plano = 11.1 MPa GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações – EP – Lista de exercícios EXERCÍCIO 6 A viga tem seção transversal retangular e está sujeita às cargas mostradas. Determine as tensões principais no ponto A e no ponto B, que estão localizados logo à esquerda da carga de 20 kN. Mostre os resultados nos elementos localizados nesses pontos. Resposta: ponto A s1 = 0 MPa; s2 = -30.5 MPa; ponto B s1 = 0.541 MPa; s2 = -1.04 MPa; qp1 = -54.2º; qp2 = 35.8º GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações – EP – Lista de exercícios EXERCÍCIO 7 A viga de seção tubular está sujeita à força de 26 kN aplicada no centro de sua largura, 75 mm de cada lado. Determine as tensões principais no ponto A e mostre os resultados em um elemento localizado nesse ponto. Resposta: s1 = 111 MPa; s2 = 0 MPa; GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações – EP – Lista de exercícios EXERCÍCIO 8 A viga de seção tubular está sujeita à força de 26 kN aplicada no centro de sua largura, 75 mm de cada lado. Determine as tensões principais no ponto B e mostre os resultados em um elemento localizado nesse ponto. Resposta: s1 = 2.4 MPa; s2 = -6.68 MPa; qp1 = -59.1º; qp2 = 30.9º GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações – EP – Lista de exercícios EXERCÍCIO 9 O eixo tem diâmetro d e está sujeito às cargas mostradas. Determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima no plano no ponto A. Os mancais suportam apenas reações verticais. Resposta: 1 2 2 max, 2 4 2 ; 0 2 2 ; plano PL F d d PL F d d                  s s  t  GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações – EP – Lista de exercícios EXERCÍCIO 10 O estado de deformação no ponto do braço tem componentes de ex = 200x10-6, ey = -300x10-6 e gxy = 400x10-6. Use o círculo de Mohr para determinar as deformações equivalentes no plano em um elemento orientado em um ângulo de 30º no sentido anti-horário a partir da posição original. Esboce o elemento deformado devido a essas deformações dentro do plano x–y. Resposta: ex’ = 248x10-6 ey’ = -348x10-6 gx’y’ = -233x10-6 GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações – EP – Lista de exercícios EXERCÍCIO 11 O estado de deformação em um ponto do suporte tem componentes de ex = 150x10-6, ey = 200x10-6 e gxy = -700x10-6. Use o círculo de Mohr para o EPD e determine as deformações equivalentes no plano em um elemento orientado em um ângulo de q = 60° no sentido anti-horário a partir da posição original. Esboce o elemento deformado dentro do plano x–y devido a essas deformações. Resposta: ex’ = -116x10-6 ey’ = 466x10-6 gx’y’ = 393x10-6 GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações – EP – Lista de exercícios EXERCÍCIO 12 O estado de deformação em um ponto do suporte tem componentes de ex = 150x10-6, ey = 200x10-6 e gxy = -700x10-6. Use o círculo de Mohr para o EPD e determine as deformações equivalentes no plano em um elemento orientado em um ângulo de q = 30° no sentido horário a partir da posição original. Esboce o elemento deformado dentro do plano x–y devido a essas deformações. Resposta: ex’ = 466x10-6 ey’ = -116x10-6 gx’y’ = -393x10-6 GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações – EP – Lista de exercícios EXERCÍCIO 13 O estado de deformação no ponto da barra tem componentes de ex = 180x10-6, ey = -120x10-6 e gxy = -100x10-6. Use o círculo de Mohr para determinar (a) as deformações principais no plano e (b) a deformação de cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média. Em cada caso, especifique a orientação do elemento e mostre como as deformações deformam o elemento dentro do plano x–y. Resposta: (a) e1 = 188x10-6, e2 = -128x10-6, qp1 = -9.22º (b) gmáx no plano = 316x10-6, emed = 30x10-6, qc = 35.8º GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações – EP – Lista de exercícios EXERCÍCIO 14 O estado de deformação na lança do guindaste tem componentes de ex = 250x10-6, ey = 300x10-6 e gxy = -180x10-6. Use o círculo de Mohr para determinar (a) as deformações principais no plano e (b) a deformação de cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média. Em cada caso, especifique a orientação do elemento e mostre como as deformações deformam o elemento dentro do plano x–y. Resposta: (a) e1 = 368x10-6, e2 = 182x10-6, qp1 = -52.8º (b) gmáx no plano = 187x10-6, emed = 275x10-6, qc = -7.76º GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações – EP – Lista de exercícios EXERCÍCIO 15 Resposta: (a) e1 = 380x10-6, e2 = -330x10-6 A roseta de deformação é montada na superfície de um vaso de pressão. As seguintes leituras são obtidas para cada extensômetro: ea = -200x10-6, eb = 300x10-6 e ec = 250x10-6. Determine as deformações principais no plano. GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações – EP – Lista de exercícios EXERCÍCIO 16 Resposta: (a) e1 = 517x10-6, e2 = -402x10-6 A roseta de deformação é montada na superfície de um vaso de pressão. As seguintes leituras são obtidas para cada extensômetro: ea = 475x10-6, eb = 250x10-6 e ec = -360x10-6. Determine as deformações principais no plano. GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações – EP – Lista de exercícios EXERCÍCIO 17 A roseta de deformação é montada na superfície do suporte. As seguintes leituras são obtidas para cada extensômetro: ea = -780x10-6, eb = 400x10-6 e ec = 500x10-6. Determine (a) as deformações principais e (b) a deformação de cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média associada. Em cada caso, mostre o elemento deformado devido a essas deformações. Resposta: (a) e1 = 862x10-6, e2 = -782x10-6, qp1 = 88.0º (horário) (b) gmáx no plano = -1644x10-6, emed = 40x10-6, qc = 43º (horário) 1. 60 MPa 80 MPa 40 MPa 50° 𝜎x = -80 MPa 𝜎y = 60 MPa 𝜏xy= -40 MPa 𝜃 = 50° 𝜎x' = \frac{-80 + 60}{2} + \frac{(-80 - 60)}{2} \cos(100°) + (-40)\sin(100°) = -10 + 12,16 - 39,39 = -37,23 MPa 𝜏x'y' = -\frac{(-80 - 60)}{2} \sin(100°) + (-40)\cos(100°) = 68,94 + 6,95 𝜏x'y' = 75,9 MPa 2. 𝜎x = 125 MPa 𝜎y = -75 MPa 𝜏xy = -50 MPa 𝜎med = \frac{𝜎x + 𝜎y}{2} = \frac{125 + (-75)}{2} = 25 MPa 𝑅 = \sqrt{\left(\frac{𝜎x - 𝜎y}{2}\right)^2 + 𝜏xy^2} = \sqrt{\left(\frac{125 + 75}{2}\right)^2 + (-50)^2} = 111,8 MPa a) 𝜎1 = 𝜎med + 𝑅 = 25 + 111,8 = 136,8MPa 𝜎2 = 𝜎med - 𝑅 = 25 - 111,8 = -86,8 MPa 𝜎med = 25 MPa b) 𝜏máx = 𝑅 𝜏máx = 111,8 MPa ≅ 112 MPa 𝜎med = 25 MPa c) tg 2𝜃p = \frac{2𝜏xy}{𝜎x - 𝜎y} = \frac{2(-50)}{125 - (-75)} = -0,5 → 2𝜃p = -26,6° 𝜃p1 = -13,3° 𝜓p2 = -13,3° + 90° = 76,7° 𝜃c = 𝜃p2 - 45° = 76,7° - 45° = 31,7° 3. M_z = -10 kN.m M_y = -500 N.m F = -80 kN I_z = 2 \left(\frac{100 . 20^3}{12} + 200 . 10^2 \right) + \frac{20 . 200^3}{12} = 6,1867 x 10^{-5} m^4 I_y = 2.\frac{20 . 10^3}{12} + \frac{200 . 20^3}{12} = 3,4667 x 10^{-6} m^4 A = [2 . 100 . 20 + 20 . 200] = 8 x 10^{-3} m^2 𝜎_A = \frac{(-10 x 10^3) . 0,120}{6,1867 x 10^{-5}} + \frac{(-500). 0,050}{3,4667 x 10^{-6}} = -26,6 MPa 𝜎_N = \frac{F}{A} = -\frac{80 x 10^3}{8 x 10^{-3}} = -10 MPa \therefore 𝜎_x = -26,6 - 10 = -36,6 MPa 𝜎_y = 0 𝜏_xy = 0 𝜎_med = \frac{𝜎_x + 𝜎_med}{2} = \frac{-36,6 + 0}{2} = -18,3 MPa 𝑅 = \sqrt{\left(\frac{𝜎_x - 𝜎_y}{2}\right)^2 + 𝜏_{xy}^2} = \sqrt{\left(\frac{-36,6 - 0}{2}\right)^2 + 0^2} = 18,3 MPa 𝜎_1 = 𝜎_med + 𝑅 = -18,3 + 18,3 𝜎_1 = 0,0 𝜎_2 = 𝜎_med - 𝑅 = -18,3 - 18,3 𝜎_2 = -36,6 MPa 𝜏_{máx} = 𝑅 = 18,3 MPa 7. A B. 10,075 m 3 m θ = tg^-1(5/12) = 22,62° M = 26.sen 22,62°.(3) - 26.cos 22,62°.(0,075) = 28,2 kN.m F = 26.cos 22,62° ≈ 24 kN I = (150.150^3/12) - (130.130^3/12) = 18,3867 x 10^-6 m^4 A = 150.150 - 130.130 = 0,0056 m^2 σN = (-24 x 10^3) / 0,0056 = -4,29 MPa σA = (28,2 x 10^3.0,075) / 18,3867 x 10^-6 = 115,03 MPa σx = -4,29 + 115,03 ≡ 111 MPa σmed = (σx + σy) / 2 = (111 + 0) / 2 = 55,5 MPa R = √((111/2)^2 + 0^2) = 55,5 MPa σ1 = σmed + R = 55,5 + 55,5 = 111 MPa σ2 = σmed - R = 55,5 - 55,5 = 0,0 111 MPa 8. NOTA: MESMA ESTRUTURA DO EXERCÍCIO 7 Θmáx = γ . A I = 18,3867 x 10^-6 m^4 A = 0,0056 m^2 F = 24 kN ; V = 26.sen 22,62° = 10 kN M = 28,2 kN.m τ = VQ / It = 10 x 10^3 x 147,05 x 10^-6 / 18,3867 x 10^-6.0,020 = 4 MPa σN = -24 x 10^3 / 0,0056 = -4,3 MPa σx = -4,3 MPa ; τxy = 4 MPa σmed = (-4,3 + 0) / 2 = -2,15 MPa R = √((-4,3 / 2)^2 + 4^2) = 4,54 MPa σ1 = -2,15 + 4,54 = 2,4 MPa σ2 = -2,15 - 4,54 = -6,69 MPa tg 2θ = 2.(4) / -4,3 → 2θ = -61,74° φp1 = -30,87° and φp2 = 59,1° 9. D=d V = P/2 ; M = P.L / 2 / 2 = PL / 4 I = π.d^4 / 64 ; A = π.d^2 / 4 σ = M.y / I = (P.L / 4 . d / 2) / (π.d^4 / 64) = 8PL / πd^3 σN = -F / (0,25πd^2) = -4F / πd^2 σx = 8PL / πd^3 - 4F / πd^2 = 4 / πd^2 (2PL / d - F) σmed = (σx + σy) / 2 = 4 / πd^2 (2PL / d - F) / 2 R = √((σx - σy) / 2)^2 + τxy^2 = 2 / πd^2 (2PL / d - F) σ1 = 4 / πd^2 (2PL / d - F) σ2 = 0 τmáx = R = 2 / πd^2 (2PL / d - F) Ex = 180x10^{-6}; Ey = -120x10^{-6}; \gamma_{xy} = -100x10^{-6} E_{med} = \frac{Ex + Ey}{2} = \left(\frac{180 - 120}{2}\right)x 10^{-6} = 30x10^{-6} R = \sqrt{\left(\frac{180 + 120}{2}\right)^2 + \left(\frac{-100}{2}\right)^2} = 158,11x10^{-6} a) \E_1 = OC + CB = (30 + 158,11)\cdot 10^{-6} = 188,11x10^{-6} \E_2 = OC - CB = (30 - 158,11)\cdot10^{-6} = -128,11x10^{-6} 2\theta_p = \tan^{-1}\left(\frac{50}{158,11}\right) = -17,53^\circ \therefore \theta_{p1} \approx -90^\circ b) \tau_{max} = 2\cdot R = 2\cdot158,11x10^{-6} = 316,22x10^{-6} \theta_c = \theta_p - 45^\circ = 9 - 45 = -36^\circ \boxed{E_{med}=30 x10^{-6}} Ex = 250x10^{-6}; Ey = 300x10^{-6}; \gamma_{xy} = -180x10^{-6} E_{med} = \left(\frac{250+300}{2}\right) x 10^{-6} = 275x10^{-6} R = \sqrt{\left(\frac{250-300}{2}\right)^2 + \left(\frac{-180}{2}\right)^2} = 93,41 x 10^{-6} 1/2 (10^{-6}) a) \E_1 = OC + OB = 275 + 93,41 = 368,41x10^{-6} \E_2 = OC - AC = 275 - 93,41 = 184,6 x 10^{-6} \theta_{p1} = -52,8^{\circ} b) \gamma_{max} = 2.93.41x10^{-6} = 187x10^{-6} E_{med} = 275 x 10^{-6} \theta_C = -77,6^{\circ} \varepsilon_a = -200x10^{-6} \varepsilon_b = 300x10^{-6} \varepsilon_c = 250x10 \varepsilon_a = Ex.\cos^2\theta_a + Ey.\sin^2\theta_a + \gamma_{xy}.\sin\theta_a.\cos\theta_a -200x10^{-6} = Ex.\cos(135)^2 + Ey.\sin(135)^2 + \gamma_{xy}.\sin(135)\cos(135) -200x10^{-6} = 0,5 Ex + 0,5 Ey - 0,5 \gamma_{xy} \therefore 0,5 Ex + 0,5 Ey - 0,5 \gamma_{xy} = -200x10^{-6} \, \,(1) \varepsilon_b = Ex.\cos^2\theta_b + Ey.\sin^2\theta_b + \gamma_{xy}.\sin\theta_b.\cos\theta_b 300x10^{-6} = Ex.\cos^2(90) + Ey.\sin^2(90) + \gamma_{xy}.\sin(90).\cos(90) 300x10^{-6} = Ey \therefore Ey = 300x10^{-6} \,\,(2) \varepsilon_c = Ex.\cos^2\theta_c + Ey.\sin^2\theta_c + \gamma_{xy}.\sin\theta_c.\cos\theta_c 250x10^{-6} = Ex.\cos^2(45^\circ) + Ey.\sin^2(45^\circ) + \gamma_{xy}.\sin 45^\circ \cos 45^\circ 250x10^{-6} = 0,5 Ex + 150x10^{-6} + 0,5 \gamma_{xy} \therefore 0,5 Ex + 0,5 \gamma_{xy} = 100x10^{-6} Ex = 200x10^{-6} - \gamma_{xy} \,\,(3) (2), (3) \text{ in } (1) 0.5.\left(200x10^{-6} - \gamma_{xy}\right) + 150x10^{-6} - 0.15/\gamma_{xy} = -200x10^{-6} -\gamma_{xy} = -450x10^{-6} \therefore \gamma_{xy} = 450x10^{-6} Ex = 200x10^{-6} - 450x10^{-6} \therefore Ex = -250x10^{-6}\ Ey = 300x10^{-6} \gamma_{xy} = 450x10^{-6} Emed = \frac{Ex + Ey - \left(\frac{-250+300}{2}\right)}{10^{-6}} = 25x10^{-6} R = \sqrt{\left(\frac{-250-300}{2}\right)^2 + \left(\frac{450}{2}\right)^2} = 355,3x10^{-6} E1 = Emcd + R = (25 + 355,3)x10^{-6} \Rightarrow E1 = 380,3x10^{-6} E2 = Emcd - R = (25 - 355,3)x10^{-6} \Rightarrow E2 = -330,3x10^{-6} 16. Ea = 475x10^{-6} Eb = 250x10^{-6} Ec = -360x10^{-6} Ea = Ex\cos^2\theta_a + Ey\sin^2\theta_a + \gamma_{xy}\sin\theta_a\cos\theta_a 475x10^{-6} = Ex\cos^2(0) + Ey\sin^2(\theta) + \gamma_{xy}\sin0\cos0 475x10^{-6} = Ex \Rightarrow Ex = 475x10^{-6} \ (1) Eb = Ex\cos^2\theta_b + Ey\sin^2\theta_b + \gamma_{xy}\sin\theta_b\cos\theta_b 250x10^{-6} = 475x10^{-6}\cos^2(1) + Ey\sin^2(-450) + \gamma_{xy}\sin(-450)\cos(-450) 250x10^{-6} = 237,5x10^{-6} + 0,15Ey - 0,15\gamma_{xy} 0,5Ey - 0,5\gamma_{xy} = 12,5x10^{-6} \ (2) Ec = Ex\cos^2\theta_c + Ey\sin^2\theta_c + \gamma_{xy}\sin\theta_c\cos\theta_c -360x10^{-6} = 475x10^{-6}\cos^2(-90) + Ex\sin^2(-90) + \gamma_{xy}\sin(-90)\cos(-90) -360x10^{-6} = Ey \Rightarrow Ey = -360x10^{-6} \ (3) 0,5\gamma_{xy} = 0,15Ey - 12,5x10^{-6} \gamma_{xy} = \frac{0,15(-360x10^{-6}) - 12,5x10^{-6}}{0,15} = -385x10^{-6} \therefore Ex = 475x10^{-6} \newline Ey = -360x10^{-6} \newline \gamma_{xy} = -385x10^{-6} Emed = \left(\frac{475-360}{2}\right)\cdot10^{-6} = 57,5x10^{-6} R = \sqrt{\left(\frac{475+360}{2}\right)^2 + \left(\frac{-385}{2}\right)^2} = 459,7x10^{-6} E1 = (57,5 + 459,7)x10^{-6} \Rightarrow E1 = 517,2x10^{-6} \ \text{Resp.} E2 = (57,5 - 459,7)x10^{-6} \Rightarrow E2 = -402,2x10^{-6} \ \text{Resp.} 17. Ea = -780x10^{-6} Eb = 400x10^{-6} Ec = 500x10^{-6} Para \theta_a = 0^\circ, \theta_b = 60^\circ e \theta_c = 120^\circ \ temos: Ex = Ea = -780x10^{-6} \ (1) Ey = \frac{1}{3}(2,400 + 2,500 + 780)\cdot10^{-6} = 860x10^{-6} \ (2) \gamma_{xy} = \frac{2}{\sqrt{3}}(400-500)\cdot10^{-6} = -115,47x10^{-6} Ex = -780x10^{-6} Ey = 860x10^{-6} \gamma_{xy} = -115,47x10^{-6} Emed = \left(-\frac{780+860}{2}\right)\cdot10^{-6} = 40x10^{-6} R = \sqrt{\left(\frac{-780-860}{2}\right)^2 + \left(-\frac{115,47}{2}\right)^2} = 822,03x10^{-6} (a) E1 = (40 + 822,03)x10^{-6} = 862,03x10^{-6} E2 = (40 - 822,03)x10^{-6} = -782,03x10^{-6} (b) \gamma_{xy} = -2R = -2(822,03)x10^{-6} = -1644,06x10^{-6} \overset{\subset}{Emed} = \left(-\frac{780+860}{2}\right)\cdot10^{-6} = 40x10^{-6} (x', y', R graph)