Slide - Análise de Tensões e Transformações - 2023-1

GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações - EP Até o momento, diversos problemas relacionados às tensões e deformações foram estudados separadamente. Por exemplo: a tensão normal gerada pelas forças normais e/ou momentos fletores; as tensões cisalhantes decorrentes de forças cortantes e momentos torçores. A análise de tensões e deformações é fundamental para entender o que ocorre em um elemento submetido concomitantemente a vários tipos de esforços (N, V, M e MT) e, em um mesmo ponto, existam tensões normais e cisalhantes. GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações - EP Análise de tensões e deformações A questão é: Será que podemos fazer uma simples comparação entre a tensão solicitante e a tensão admissível para a avaliação da segurança? Tensões normais podem gerar aumento/diminuição nas tensões cisalhantes? Tensões cisalhantes podem gerar aumento/diminuição nas tensões normais? z x y Note que em um estado geral de carregamento, um elemento infinitesimal interno à estrutura apresenta tensões em todas as faces GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações - EP Por quê alguns elementos falham com linhas de ruptura inclinadas? GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações - EP ESTADO PLANO Em alguns problemas de engenharia, um estado bidimensional, simplificado, pode ser usado para o estudo das tensões máximas que ocorrem em um elemento estrutural GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações - EP ESTADO PLANO Em alguns problemas de engenharia, um estado bidimensional, simplificado, pode ser usado para o estudo das tensões máximas que ocorrem em um elemento estrutural A fuselagem de um avião, por exemplo, tem espessura muito pequena em comparação com as outras dimensões Elementos de aço submetidos a cargas no plano da alma GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações - EP ESTADO PLANO Nestes casos, o estado tridimensional pode ser substituído por uma condição bidimensional Vale relembrar que txy = tyx; txz = tzx ; tzy = tyz (teorema de Cauchy) O desenho do estado plano de tensões pode ser feito de forma 2D GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações - EP ESTADO PLANO Note que a análise do estado de tensão nos eixos x e y não acrescenta nada às análises anteriormente realizadas (tensões normais - s - para N e M; tensões cisalhantes - t - para V e Mt). Assim, busca-se encontrar uma posição rotacionada do elemento infinitesimal onde existirão tensões máximas e mínimas. Note que ao avaliar as resultantes de tensão, pode-se encontrar direções diferentes para uma eventual tensão de tração/compressão máximas, assim como alterações no valor das tensões de cisalhamento GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações - EP ESTADO PLANO Avaliaremos o efeito de tensões inclinadas em um elemento infinitesimal com secção com inclinação q Secção Secção Se a área no plano de secção for DA, tem-se as áreas resultantes DA cos q e DA sen q nas laterais do elemento GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações - EP ESTADO PLANO Para a determinação do equilíbrio do elemento, tem-se os somatórios de forças em cada um dos eixos: Multiplicando-se as tensões pelas respectivas áreas onde as mesmas atuam, chega-se às forças atuantes GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações - EP ESTADO PLANO Determinando sx’ e tx’y’: O somatório de forças em x’, determina: ' 0 Fx            ' 0 x x xy xy y A Acos cos Acos sen Asen cos Asen sen D  D  D  D  D  s s q q t q q t q q s q q 2 2 ' 2 x x xy y A Acos Asen cos Asen D  D  D  D s s q t q q s q 2 2 ' 2 x x y xy cos sen sen cos    s s q s q t q q Dividindo os dois lados da equação por DA: GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações - EP ESTADO PLANO Determinando sx’ e tx’y’: Agora, o somatório de forças em y’, define: ' 0 Fy            ' ' 0 x y x xy xy y A Acos sen Acos cos Asen sen Asen cos D  D  D  D  D  t s q q t q q t q q s q q ' ' 2 2 x y x xy xy y A Asen cos Acos Asen Asen cos D   D  D  D  D t s q q t q t q s q q Dividindo os dois lados da equação por DA:     2 2 ' ' x y y x xy sen cos cos sen     t s s q q t q q GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações - EP ESTADO PLANO Sendo as identidades trigonométricas:     2 ' ' 2 x y y x xy sen cos cos  sen    t s q q q s t q 2 2 ' 2 x x y xy cos sen sen cos    q s s q s q t q 2 2 ' 2 x x y xy se c e s s n n o    s t q q s s q   ' ' 2 2 y x x y xycos    s s t t q 2 2 2 cos2 2 cos se sen sen cos n    q q q q q q Chega-se as seguintes equações: 2 2 1 2 2 1 2 2 sen cos cos cos     q q q q ' 1 2 1 2 2 2 2 x x y xy cos cos sen                  q q s s s t q ' 2 2 2 2 x y x y x xy cos sen            s s s s s q t q Sendo as novas identidades trigonométricas: GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações - EP ESTADO PLANO (MAXIMIZAÇÃO E MINIMIZAÇÃO DE TENSÕES – ANÁLISE MATEMÁTICA) Em função de um determinado ângulo q é possível avaliar uma condição em que as tensões sejam maximizadas ou minimizadas. Este processo pode ser tanto baseado no cálculo diferencial ou por avaliação geométrica (a ser entendida nas próximas contas). Por exemplo, para maximizar sx’ faz-se: ' 2 2 2 2 x y x y x xy cos sen            s s s s s q t q ' 2 2 2 2 0 2 x y x xy d sen cos d            s s s q t q q 2 2 2 2 2 x y xycos sen         s s t q q A derivada primeira de uma função igualada a zero indica que o ponto encontrado é um ponto de máximo ou de mínimo 2 2 2 2 2 xy x y sen  cos        t q s s q   2 2 2 2 xy x y sen tg  cos   t q q q s s Note que estas duas raízes são defasadas de 180º (ou p) GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações - EP Com isso, o ângulo que maximiza ou minimiza as tensões é:   2 2 xy x y arctg           t q s s A solução tem duas raízes denominadas qp1 e qp2 Sendo: e cateto oposto tg  cateto adjacente   2 2 xy x y tg   t q s s 1 1 2 2 p p  q q p ESTADO PLANO (MAXIMIZAÇÃO E MINIMIZAÇÃO DE TENSÕES – ANÁLISE MATEMÁTICA) xy t s Veja que também é possível calcular a hipotenusa R dos triângulos formados xy t xy t   2 x y s  s   2 x y  s  s 1 2 p q 2 2 p q R R 2 2 2 x y xy R          s s t O eixo t foi convenientemente desenhado com sentido positivo para baixo GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações - EP Assim, sen 2q e cos 2q podem ser obtidos: xy t s Veja que também é possível calcular a hipotenusa R dos triângulos formados xy t xy t   2 x y s  s   2 x y  s  s 1 2 p q 2 2 p q R R 2 2 2 2 xy xy x y xy sen R           t t q s s t     2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy cos R             s s s s q s s t 2 2 2 x y xy R          s s t ESTADO PLANO (MAXIMIZAÇÃO E MINIMIZAÇÃO DE TENSÕES – ANÁLISE MATEMÁTICA) GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações - EP Substituindo sen 2q e cos 2q na equações de sx’:   ' 2 2 2 2 2 x y x y x y xy x xy sen cos R R             q q s s s s s s t s t 2 2 ' 1 2 2 x y x y xy x R R            s s s s t s 2 2 2 ' 1 2 2 x y x y x xy R R                        s s s s s t 2 2 ' 2 2 med x y x y x xy max R             s s s s s s t s Analogamente para sy’: 2 2 ' min 2 2 med x y x y y xy R             s s s s s s t s ESTADO PLANO (MAXIMIZAÇÃO E MINIMIZAÇÃO DE TENSÕES – ANÁLISE MATEMÁTICA) 2 x y s  s Relembrando... txy 2qp1 2qp1  p Note que um sistema de eixos pode ser colocado na figura txy s GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações - EP ESTADO PLANO (MAXIMIZAÇÃO E MINIMIZAÇÃO DE TENSÕES – ANÁLISE GRÁFICA)   2 2 xy x y arctg           t q s s 1 1 2 2 p p  q q p Note que para qualquer ângulo pode-se definir um estado de tensão diferente, mantendo-se o R. Assim, cria-se o chamado círculo de Mohr 2 x y s  s Relembrando... txy 2qp1 2qp1  p txy s GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações - EP ESTADO PLANO (MAXIMIZAÇÃO E MINIMIZAÇÃO DE TENSÕES – ANÁLISE GRÁFICA)   2 2 xy x y arctg           t q s s 1 1 2 2 p p  q q p Sabendo que a distância horizontal entre o ponto azul e o eixo vertical que passa pelo centro do círculo é (sx - sy)/2, pode-se concluir que: I. A “distância” entre os pontos azuis é (sx - sy) x y s  s 2 x y s  s Relembrando... txy 2qp1 2qp1  p txy s GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações - EP ESTADO PLANO (MAXIMIZAÇÃO E MINIMIZAÇÃO DE TENSÕES – ANÁLISE GRÁFICA)   2 2 xy x y arctg           t q s s 1 1 2 2 p p  q q p x y s  s sx Sabendo que a distância horizontal entre o ponto azul e o eixo vertical que passa pelo centro do círculo é (sx - sy)/2, pode-se concluir que: I. A “distância” entre os pontos azuis é (sx - sy) II. A “distância” do ponto azul à direita ao eixo txy vertical é sx 2 x y s  s Relembrando... txy 2qp1 2qp1  p txy s GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações - EP ESTADO PLANO (MAXIMIZAÇÃO E MINIMIZAÇÃO DE TENSÕES – ANÁLISE GRÁFICA)   2 2 xy x y arctg           t q s s 1 1 2 2 p p  q q p x y s  s sx Sabendo que a distância horizontal entre o ponto azul e o eixo vertical que passa pelo centro do círculo é (sx - sy)/2, pode-se concluir que: I. A “distância” entre os pontos azuis é (sx - sy) II. A “distância” do ponto azul à direita ao eixo txy vertical é sx III. A “distância” do ponto azul à direita ao eixo txy vertical é sy sy 2 x y s  s Relembrando... txy 2qp1 2qp1  p txy s GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações - EP ESTADO PLANO (MAXIMIZAÇÃO E MINIMIZAÇÃO DE TENSÕES – ANÁLISE GRÁFICA)   2 2 xy x y arctg           t q s s 1 1 2 2 p p  q q p x y s  s sx sy Sabendo que a distância horizontal entre o ponto azul e o eixo vertical que passa pelo centro do círculo é (sx - sy)/2, pode-se concluir que: I. A “distância” entre os pontos azuis é (sx - sy) II. A “distância” do ponto azul à direita ao eixo txy vertical é sx III. A “distância” do ponto azul à direita ao eixo txy vertical é sy IV. O centro do círculo pode ser calculado 2 x y s  s 2 x y s  s Relembrando... txy 2qp1 2qp1  p txy s GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações - EP ESTADO PLANO (MAXIMIZAÇÃO E MINIMIZAÇÃO DE TENSÕES – ANÁLISE GRÁFICA)   2 2 xy x y arctg           t q s s 1 1 2 2 p p  q q p x y s  s sx sy 2 x y s  s Conhecendo o raio do círculo, pode-se calcular os pontos de máximo e mínimo para as tensões smáx smin 2 2 2 x y xy R          s s t 2 x y s  s txy 2qp1 2qp1  p txy s GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações - EP ESTADO PLANO (MAXIMIZAÇÃO E MINIMIZAÇÃO DE TENSÕES – ANÁLISE GRÁFICA) x y s  s sx sy 2 x y s  s smáx smin 2 2 ' 2 2 med x y x y x xy max R             s s s s s s t s 2 2 ' min 2 2 med x y x y y xy R             s s s s s s t s xy  0 t 2 2 max 2 x y xy R          s s t t ' ' x y med   s s s Para desenhar o círculo de Mohr: 1.) Plotar a coordenada: sx, txy 2.) Plotar a coordenada: sy, -txy 3.) Ligar os pontos passando por smed 2 x y s  s txy 2qp1 txy s GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Aula 3: Análise de tensões e deformações - EP ROTAÇÃO DE UM ELEMENTO PELO CÍRCULO DE MOHR x y s  s sx sy 2 x y s  s smáx smin y s x s xy t x y x y s 'x 'y s qp1 GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II EXEMPLO 1 Um elemento cilíndrico, submetido exclusivamente à torção, tem o seguinte estado de tensão. Determine a inclinação das tensões principais máxima e mínima no elemento xy t x y Aula 3: Análise de tensões e deformações - EP GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II EXEMPLO 2 MPa MPa Em razão das cargas aplicadas, o elemento no ponto A no eixo maciço na Fig. está sujeito ao estado de tensão mostrado. Determine as tensões principais que atuam neste ponto. Aula 3: Análise de tensões e deformações - EP GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II EXEMPLO 3 O eixo maciço está sujeito a um torque, a um momento fletor e a uma força de cisalhamento como mostrado. Determine as tensões principais que agem nos pontos A e B. Aula 3: Análise de tensões e deformações - EP GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II EXEMPLO 4 Uma viga simplesmente apoiada está submetida ao carregamento uniformemente distribuído de 10 kN/m. Determine o estado de tensão principais nos pontos A, B e C mostrados na figura abaixo. Aula 3: Análise de tensões e deformações - EP 10 kN/m 10 cm 30 cm Seção transversal 5 m 1.25 m 2.5 m LN 10 cm 10 cm Ponto B Ponto C Ponto A GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II EXEMPLO 4 Aula 3: Análise de tensões e deformações - EP GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II ESTADO PLANO PARA DEFORMAÇÕES Aula 3: Análise de tensões e deformações - EP Analogamente às deduções feitas para a análise plana de tensões, pode-se fazer o mesmo para as deformações: 2 2 ' 2 x x y xy cos sen sen cos    s s q s q t q q     2 2 ' ' x y y x xy sen cos cos sen     t s s q q t q q 2 2 'x x y xy cos sen sen cos      q  q  q q     ' ' 2 2 2 2 x y xy y x sen cos cos sen         q q q q GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II ESTADO PLANO PARA DEFORMAÇÕES Aula 3: Análise de tensões e deformações - EP Assim, as deformações principais seguem a mesma tendência: 2 2 1 2 2 med x y x y xy R            s s s s s s t 2 2 2 2 2 med x y x y xy R            s s s s s s t xy  0 t 2 2 1 2 2 2 med x y x y xy R                   0 2 xy   2 2 2 2 2 2 med x y x y xy R                   ANÁLISE DE TENSÕES ANÁLISE DE DEFORMAÇÕES 2 xy  2 xy  GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II ESTADO PLANO PARA DEFORMAÇÕES Aula 3: Análise de tensões e deformações - EP 2 x   y  2qp1  x   y  x y 2 x   y  máx min Para desenhar o círculo de Mohr: 1.) Plotar a coordenada: x, xy/2 2.) Plotar a coordenada: y, -xy/2 3.) Ligar os pontos passando por med 2 2 2 2 x y xy R                   As regras para o desenho do círculo de Mohr para EPT (estado plano de tensões) são válidas também para a representação do EPD (estado plano de deformações). A única ressalva está no eixo vertical, anteriormente denominado txy, agora é tratado como xy/2. Assim, o cálculo de deformações principais (1, 2) pode ser feito exatamente como visto para o EPT, partindo da coordenada do ponto de deformação média, acrescido ou subtraído do raio do círculo. Círculo de Mohr para EPD Tais extensômetros são medidores de deformação normal, exclusivamente. Assim, para se obter a deformação por cisalhamento, os extensômetros são dispostos com inclinação entre eles de modo a permitir a definição de xy. GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II ROSETAS DE DEFORMAÇÃO Aula 3: Análise de tensões e deformações - EP Rosetas de deformação são conjuntos de três extensômetros de resistência elétrica (também chamados de strain gauges) convenientemente dispostos para a medição de deformações em corpos de prova, ou até mesmo em elementos estruturais em serviço. Exemplo de strain gauge Exemplo de roseta de deformação GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II ROSETAS DE DEFORMAÇÃO Aula 3: Análise de tensões e deformações - EP 2 2 'x x y xy cos sen sen cos      q  q  q q                         2 2 2 2 2 2 a x a y a xy a a b x b y b xy b b c x c y c xy c c cos sen sen cos cos sen sen cos cos sen sen cos            q  q  q q   q  q  q q   q  q  q q Considerando a equação de deformação para uma inclinação genérica q, indicando a direção x’: pode-se então montar um sistema com 3 equações (a, b, c) e três incógnitas (x, y, xy). Com este sistema, encontram-se as deformações atuantes e posteriormente aplica-se o círculo de Mohr para a obtenção das deformações principais Roseta com os três extensômetros aleatoriamente dispostos GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II EXEMPLO 5 Aula 3: Análise de tensões e deformações - EP O estado plano de deformação em um ponto tem as componentes x = -300x10-6, y = -100x10-6, xy = 100x10-6. Determine o estado de deformação em um elemento orientado a 20º no sentido horário a partir da posição original do elemento. GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II EXEMPLO 6 Aula 3: Análise de tensões e deformações - EP O estado plano de deformação no ponto A é medido pela roseta de deformação mostrada na Figura. As leituras dos extensômetros foram a = 60x10-6, b = 135x10-6 e c = 264x10-6. Determine as deformações principais no plano no ponto em análise e as direções nas quais elas agem. GNE292 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS UTILIZADAS NESTE CONTEÚDO Nash, W.A.; Potter, M.C. Resistência dos materiais. 5. ed. Porto Alegre, RS: Bookman, 2014. Hibbeler, R.C. Resistência dos materiais. 10 ed. Pearson, 2018. Beer, F.P.; Johnston, E.R.; Dewolf, J.T. Resistência dos materiais. 3. ed. São Paulo, SP: Pearson, 2008. Ferreira, L.E.T. Análise de tensões e critérios de escoamento e de ruptura. Notas de aula, 2022. Aula 3: Análise de tensões e deformações - EP