Lista - Semana 12 - Equações Diferenciais C - 2022-2

Solitons e caos séo apenas dois dos muitos exemplos em que computadores e, especialmente, computacaéo grafica, trouxeram um novo impeto ao estudo de sistemas de equagdes diferenciais nao lineares. Foram descobertos outros fendmenos inesperados (Secao 9.8), tais como atratores estranhos (David Ruelle, belga, 1935-) e fractais (Benoit Mandelbrot, polonés, 1924-2010), que estéo sendo intensamente estudados e vém gerando novas e importantes ideias em diversas aplicacgées diferentes. Embora seja um assunto antigo sobre o qual muito se sabe, o estudo das equacées diferenciais no século XXI permanece sendo uma fonte fértil de problemas fascinantes e importantes ainda nao resolvidos. Problemas Em cada um dos Problemas 1 a 4, determine a ordem da equacdo diferencial dada e diga se ela é linear ou nao linear. d’y ay 1. P——+t—+2y= sent at at dy iy é Vé , é , 2. (Ity*)—~4+t—+y=e' dt? dt : d*y 1 dey d*y dy y=l dt* dt? dt? dt d*y 4. —>+sen (t+ y)=sent dt Em cada um dos Problemas 5 a 10, verifique que cada funcdo dada é solucdo da equacdo diferencial. 5. y"-y=0; y,(t)=e', 9,(t)=cosht 6. y"+2y'-3y=0; y (=e, (fhe 7. ty’ — y= ts y=3t+ t g. yn tay 43y =f; yi) =t/3, y,(t)=e" + ¢/3 20 i —? —7 9 ty +5ty+4y=0, t>0; y(f)=t°, y(t)=t “Int i 2 ceo 2 e 10. y'—2ty=1; y=e | e ds+e ea) Em cada um dos Problemas 11 a 13, determine os valores de r para os quais a equacdo diferencial dada tem uma solucdo da forma y =e". ll. y +2y=0 12. y'+y'—6y=0 13. y" _ 3y" 4 2y' =() Nos Problemas 14 e 15, determine os valores de r para os quais a equacdo diferencial dada tem uma solucdo da forma y =f para t > 0. 2 8 i 14. t°y +4ty +2y=0 15. t?y"—4ty’+4y=0 Em cada um dos Problemas 16 a 18, determine a ordem da equacdo diferencial e diga se ela é linear ou ndo linear. Derivadas parciais sao denotadas por indices. 16. u,,. +u y 1h, = 0 17. Uyeyy TAU yyy TU yyy = 0 —_— —_— 18. uw, +uu, =1+4u,, Em cada um dos Problemas 19 a 21, verifique que cada fungdo dada é uma solucdo da equacdo diferencial parcial dada. 19, Uy THy, =0; u(x) = cos xcosh y, 2 2 Hy (X,¥) = In(x" + y*) 4 _iis 20. av uy, =U,; uy,(x,t)=e * senx, _ nly u,(x,t}=e" oli sen.Ax, A uma constante real . 2 . 21. au, =Uy; Uy(x,t)=sen(Ax)sen( Aart), u,(x,f)=sen(x—at), \ uma constante real 22. Siga os passos indicados aqui para deduzir a equacgao de movimento de um péndulo, Eq. (12) no texto. Suponha que a barra do péndulo é rigida e sem peso, que a massa € pontual e que nao existe atrito ou resisténcia em nenhum ponto do sistema. a. Suponha que a massa esta em uma posi¢ao deslocada arbitraria, indicada pelo 4ngulo 6. Desenhe um diagrama mostrando as forgas que agem sobre a massa. b. Aplique a lei do movimento de Newton na direg4o tangencial ao arco circular sobre o qual a massa se move. Entao, a forca de tensdo sobre a barra nao aparece na equacao. Observe que € necessario encontrar a componente da forga gravitacional na direcao tangencial. Note também que a aceleracdo linear, em oposicao a aceleragaéo angular, é Ld’ Oldt’, em que L é 0 comprimento da barra. c. Simplifique o resultado obtido no item b para obter a Eq. (12) do texto. 23. Outra maneira de deduzir a equacado do péndulo (12) baseia-se no principio de conservacéo de energia. a. Mostre que a energia cinética T do péndulo em movimento é ‘40 42 1 T=—mL? =r . 2 dt | b. Mostre que a energia potencial V do péndulo relativa a posigao de repouso é V =meL(1—cosé). c. Pelo principio de conservag¢ao de energia, a energia total EF = T + V é constante. Calcule dE/dt, iguale a zero e mostre que a equacao resultante pode ser reduzida a Eq. (12). 24. Uma terceira deducao da equacao do péndulo depende do principio do momento angular: a taxa de variagao do momento angular em torno de qualquer ponto é igual ao momento externo total em torno do mesmo ponto. a. Mostre que o momento angular M em torno do ponto de suporte é dado por M = mL7d0/dt. b. Iguale dM/dt ao momento da forca gravitacional e mostre que a equacao resultante pode ser reduzida a Eq. (12). Note que os momentos positivos sao no sentido trigonométrico (anti-horario). 2 3 4 6 1 5 Referências Programas de computador para equações diferenciais mudam muito rápido para que se possam dar boas referências em um livro como este. Uma busca pelo Google sobre Maple, Mathematica, Sage ou MATLAB é uma boa maneira de começar se você precisa de informações sobre um desses sistemas de álgebra computacional e numérico. Existem muitos livros instrutivos sobre sistemas de álgebra computacional, como os seguintes: Cheung, C.-K., Keough, G. E., Gross, R. H. and Landraitis, C. Getting Started with Mathematica. 3. ed. New York: Wiley, 2009. Meade, D. B., May, M., Cheung, C.-K. and Keough, G. E. Getting Started with Maple. 3. ed. New York: Wiley, 2009. Para ler mais sobre a história da Matemática, procure livros como os listados a seguir: Boyer, C. B. and Merzbach, U. C. A History of Mathematics. 2. ed. New York: Wiley, 1989. Kline, M. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (3 volumes). New York: Oxford University Press, 1990. Um apêndice histórico útil sobre o desenvolvimento inicial das equações diferenciais aparece em Ince, E. L. Ordinary Differential Equations. London: Longmans, Green, 1927; New York: Dover, 1956. Fontes enciclopédicas de informação sobre vidas e feitos de matemáticos do passado são Gillespie, C. C. (ed.). Dictionary of Scientific Biography (15 volumes). New York: Scribner’s, 1971. Koertge, N. (ed.). New Dictionary of Scientific Biography (8 volumes). New York: Scribner’s, 2007. Koertge, N. (ed.). Complete Dictionary of Scientific Biography. New York: Scribner’s, 2007 [e-book ]. Muita informação histórica pode ser encontrada na internet. Um site excelente é o MacTutor History of Mathematics, disponível em http://www-history.mcs.st- and.ac.uk/history/, de O’Connor. J. J. e Robertson, E. F., do Departamento de Matemática e Estatística da University of St. Andrews, na Escócia. ____________________ Um modelo melhor para o crescimento populacional é discutido na Seção 2.5. Veja Lyle N. Long e Howard Weiss. “The Velocity Dependence of Aerodynamic Drag: A Primer for Mathematicians”, American Mathematical Monthly, 106(2), p. 127-135, 1999. Se a = 0, então a solução da Eq. (3) não é dada pela Eq. (17). Deixamos a cargo do estudante encontrar a solução geral nesse caso. Um sistema de álgebra computacional pode fazer isso; muitas calculadoras também já vêm com rotinas para resolver tais equações. Essa equação resulta das leis de Kirchhoff, que são discutidas na Seção 3.7. “Report on waves”, em Proceedings of the Fourteenth Meeting of the British Association for the Advancement of Science, p. 311- 390, 1845, e quadros 47-57. Disponível em: http://www.macs.hw.ac.uk/~chris/Scott-Russell/SR44.pdf. Nota 1: algumas vezes, uma equação da forma (2), tem uma solução constante y = y0. Em geral, tal solução é fácil de encontrar porque, se f (x, y0) = 0 para algum valor de y0 e para todo x, então a função constante y = y0 será solução da equação diferencial (2). Por exemplo, a equação tem a solução constante y = 3. Outras soluções dessa equação podem ser obtidas separando as variáveis e integrando. Nota 2: a investigação de uma equação diferencial não linear de primeira ordem pode ser facilitada, algumas vezes, considerando-se ambas x e y como funções de uma terceira variável t, ou seja, Se a equação diferencial for então, comparando os numeradores e denominadores nas Eqs. (26) e (27), obtemos o sistema À primeira vista pode parecer estranho que um problema possa ser simplificado substituindo-se uma única equação por duas, mas, de fato, o sistema (28) pode ser mais simples de analisar do que a Eq. (27). O Capítulo 9 trata de sistemas não lineares da forma (28). Nota 3: não foi difícil, no Exemplo 2, resolver explicitamente para y em função de x. No entanto, essa situação é excepcional e, muitas vezes, é melhor deixar a solução em forma implícita, como nos Exemplos 1 e 3. Assim, nos problemas a seguir e em outras seções nas quais aparecem equações não lineares, as palavras “resolva a equação diferencial a seguir” significam encontrar a solução explícita se for conveniente, mas, caso contrário, encontrar uma equação que defina a solução implicitamente. Problemas Em cada um dos Problemas 1 a 8, resolva a equação diferencial dada. a. c. Em cada um dos Problemas 9 a 16: Encontre a solução do problema de valor inicial dado em forma explícita. b. Desenhe o gráfico da solução. Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução está definida. Alguns dos resultados pedidos nos Problemas 17 a 22 podem ser obtidos resolvendo-se a equação dada analiticamente ou gerando-se gráficos de aproximações numéricas das soluções. Tente formar uma opinião sobre as vantagens e desvantagens de cada abordagem. 17. Resolva o problema de valor inicial e determine o intervalo de validade da solução. a. b. a. b. c. 23. Sugestão: para encontrar o intervalo de validade, procure pontos nos quais a curva integral tem uma tangente vertical. 18. Resolva o problema de valor inicial e determine o intervalo de validade da solução. Sugestão: para encontrar o intervalo de validade, procure pontos nos quais a curva integral tem uma tangente vertical. 19. Resolva o problema de valor inicial e determine onde a solução atinge seu valor mínimo. 20. Resolva o problema de valor inicial e determine onde a solução atinge seu valor máximo. 21. Considere o problema de valor inicial Determine o comportamento da solução em função do valor inicial y0 quando t aumenta. Suponha que y0 = 0,5. Encontre o instante T no qual a solução atinge, pela primeira vez, o valor 3,98. 22. Considere o problema de valor inicial Determine o comportamento da solução quando t → ∞. Se y0 = 2, encontre o instante T no qual a solução atinge, pela primeira vez, o valor 3,99. Encontre o intervalo de valores iniciais para os quais a solução fica no intervalo 3,99 < y < 4,01 no instante t = 2. Resolva a equação 24. a. b. c. d. e. f. em que a, b, c e d são constantes. Separe as variáveis para resolver a equação diferencial em que a, b, r e Q0 são constantes. Determine o comportamento da solução quando t → ∞. Equações Homogêneas. Se a função à direita do sinal de igualdade na equação dy/dx = f(x, y) puder ser expressa como uma função só de y/x, então a equação é dita homogênea.1 Tais equações sempre podem ser transformadas em equações separáveis por uma mudança da variável dependente. O Problema 25 ilustra como resolver equações homogêneas de primeira ordem. 25. Considere a equação Mostre que a Eq. (29) pode ser escrita na forma logo, a Eq. (29) é homogênea. Introduza uma nova variável dependente v de modo que v = y/x, ou y = xv(x). Expresse dy/dx em função de x, v e dv/dx. Substitua y e dy/dx na Eq. (30) pelas expressões no item (b) envolvendo v e dv/dx. Mostre que a equação diferencial resultante é ou Note que a Eq. (31) é separável. Resolva a Eq. (3) obtendo v implicitamente em função de x. Encontre a solução da Eq. (29) substituindo v por y/x na solução encontrada no item (d). Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais para a Eq. (29). Lembre-se de que a expressão à direita do sinal de igualdade na Eq. (29) depende, de fato, apenas da razão y/x. Isso significa que as curvas integrais têm a mesma inclinação em todos os pontos pertencentes a uma mesma reta contendo a origem, embora essa inclinação varie de uma reta para outra. Portanto, o campo de direções e as curvas integrais são simétricos em relação à origem. Essa propriedade de simetria é evidente em seus gráficos? O método esboçado no Problema 25 pode ser usado em qualquer equação homogênea. Ou seja, a substituição y = xv(x) transforma uma equação homogênea em uma equação separável. Esta última equação pode ser resolvida por integração direta, e depois a substituição de v por y/x fornece a solução da equação original. Em cada um dos Problemas 26 a 31: a. b. 2.3 Mostre que a equação dada é homogênea. Resolva a equação diferencial. c. Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais. Elas são simétricas em relação à origem? Modelagem com Equações de Primeira Ordem Equações diferenciais são de interesse para, principalmente, não matemáticos por causa da possibilidade de serem usadas para investigar uma variedade de problemas nas ciências físicas, biológicas e sociais. Uma razão para isso é que modelos matemáticos e suas soluções levam a equações que relacionam as variáveis e os parâmetros no problema. Essas equações permitem, muitas vezes, fazer previsões sobre como os processos naturais se comportarão em diversas circunstâncias. Muitas vezes, é fácil permitir a variação dos parâmetros no modelo matemático em um amplo intervalo, enquanto isso poderia levar muito tempo ou ser muito caro, se não impossível, em um ambiente experimental. De qualquer modo, ambas, a modelagem matemática e a experimentação ou observação, são criticamente importantes e têm papéis um tanto complementares nas investigações científicas. Modelos matemáticos são validados comparando-se suas previsões com resultados experimentais. Por outro lado, análises matemáticas podem não só sugerir as direções mais promissoras para exploração experimental, como indicar, com boa precisão, que dados experimentais serão mais úteis. Nas Seções 1.1 e 1.2, formulamos e investigamos alguns modelos matemáticos simples. Vamos começar recordando e expandindo algumas das conclusões a que chegamos naquelas seções. Independentemente do campo específico de aplicação, existem três passos identificáveis que estão sempre presentes na modelagem matemática. Passo 1: Construção do Modelo. Neste passo, você traduz a situação física em expressões matemáticas, frequentemente usando os passos listados no final da Seção 1.1. Talvez o ponto mais crítico nesse estágio seja enunciar claramente o(s) princípio(s) físico(s) que, acredita-se, governa(m) o processo. Por exemplo, foi observado em algumas circunstâncias que o calor passa de um corpo mais quente para um mais frio a uma taxa proporcional à diferença de temperaturas, que objetos se movem de acordo com a lei do movimento de Newton e que populações isoladas de insetos crescem a uma taxa proporcional à população atual. Cada uma dessas afirmações envolve uma taxa de variação (derivada) e, em consequência, quando expressas matematicamente, levam a uma equação diferencial. A equação diferencial é um modelo matemático do processo. É importante compreender que as equações matemáticas são, quase sempre, apenas uma descrição aproximada do processo real. Por exemplo, corpos movimentando-se a velocidades próximas à velocidade da luz não são governados pelas leis de Newton, as populações de insetos não crescem indefinidamente como enunciado em razão de limitações de