Lista - Semana 34 - Equações Diferenciais C - 2022-2

Nota 1: algumas vezes, uma equação da forma (2), tem uma solução constante y = y0. Em geral, tal solução é fácil de encontrar porque, se f (x, y0) = 0 para algum valor de y0 e para todo x, então a função constante y = y0 será solução da equação diferencial (2). Por exemplo, a equação tem a solução constante y = 3. Outras soluções dessa equação podem ser obtidas separando as variáveis e integrando. Nota 2: a investigação de uma equação diferencial não linear de primeira ordem pode ser facilitada, algumas vezes, considerando-se ambas x e y como funções de uma terceira variável t, ou seja, Se a equação diferencial for então, comparando os numeradores e denominadores nas Eqs. (26) e (27), obtemos o sistema À primeira vista pode parecer estranho que um problema possa ser simplificado substituindo-se uma única equação por duas, mas, de fato, o sistema (28) pode ser mais simples de analisar do que a Eq. (27). O Capítulo 9 trata de sistemas não lineares da forma (28). Nota 3: não foi difícil, no Exemplo 2, resolver explicitamente para y em função de x. No entanto, essa situação é excepcional e, muitas vezes, é melhor deixar a solução em forma implícita, como nos Exemplos 1 e 3. Assim, nos problemas a seguir e em outras seções nas quais aparecem equações não lineares, as palavras “resolva a equação diferencial a seguir” significam encontrar a solução explícita se for conveniente, mas, caso contrário, encontrar uma equação que defina a solução implicitamente. Problemas Em cada um dos Problemas 1 a 8, resolva a equação diferencial dada. Seção 2.2 a. c. Em cada um dos Problemas 9 a 16: Encontre a solução do problema de valor inicial dado em forma explícita. b. Desenhe o gráfico da solução. Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução está definida. Alguns dos resultados pedidos nos Problemas 17 a 22 podem ser obtidos resolvendo-se a equação dada analiticamente ou gerando-se gráficos de aproximações numéricas das soluções. Tente formar uma opinião sobre as vantagens e desvantagens de cada abordagem. 17. Resolva o problema de valor inicial e determine o intervalo de validade da solução. a. b. a. b. c. 23. Sugestão: para encontrar o intervalo de validade, procure pontos nos quais a curva integral tem uma tangente vertical. 18. Resolva o problema de valor inicial e determine o intervalo de validade da solução. Sugestão: para encontrar o intervalo de validade, procure pontos nos quais a curva integral tem uma tangente vertical. 19. Resolva o problema de valor inicial e determine onde a solução atinge seu valor mínimo. 20. Resolva o problema de valor inicial e determine onde a solução atinge seu valor máximo. 21. Considere o problema de valor inicial Determine o comportamento da solução em função do valor inicial y0 quando t aumenta. Suponha que y0 = 0,5. Encontre o instante T no qual a solução atinge, pela primeira vez, o valor 3,98. 22. Considere o problema de valor inicial Determine o comportamento da solução quando t → ∞. Se y0 = 2, encontre o instante T no qual a solução atinge, pela primeira vez, o valor 3,99. Encontre o intervalo de valores iniciais para os quais a solução fica no intervalo 3,99 < y < 4,01 no instante t = 2. Resolva a equação 24. a. b. c. d. e. f. em que a, b, c e d são constantes. Separe as variáveis para resolver a equação diferencial em que a, b, r e Q0 são constantes. Determine o comportamento da solução quando t → ∞. Equações Homogêneas. Se a função à direita do sinal de igualdade na equação dy/dx = f(x, y) puder ser expressa como uma função só de y/x, então a equação é dita homogênea.1 Tais equações sempre podem ser transformadas em equações separáveis por uma mudança da variável dependente. O Problema 25 ilustra como resolver equações homogêneas de primeira ordem. 25. Considere a equação Mostre que a Eq. (29) pode ser escrita na forma logo, a Eq. (29) é homogênea. Introduza uma nova variável dependente v de modo que v = y/x, ou y = xv(x). Expresse dy/dx em função de x, v e dv/dx. Substitua y e dy/dx na Eq. (30) pelas expressões no item (b) envolvendo v e dv/dx. Mostre que a equação diferencial resultante é ou Note que a Eq. (31) é separável. Resolva a Eq. (3) obtendo v implicitamente em função de x. Encontre a solução da Eq. (29) substituindo v por y/x na solução encontrada no item (d). Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais para a Eq. (29). Lembre-se de que a expressão à direita do sinal de igualdade na Eq. (29) depende, de fato, apenas da razão y/x. Isso significa que as curvas integrais têm a mesma inclinação em todos os pontos pertencentes a uma mesma reta contendo a origem, embora essa inclinação varie de uma reta para outra. Portanto, o campo de direções e as curvas integrais são simétricos em relação à origem. Essa propriedade de simetria é evidente em seus gráficos? O método esboçado no Problema 25 pode ser usado em qualquer equação homogênea. Ou seja, a substituição y = xv(x) transforma uma equação homogênea em uma equação separável. Esta última equação pode ser resolvida por integração direta, e depois a substituição de v por y/x fornece a solução da equação original. Em cada um dos Problemas 26 a 31: a. b. 2.3 Mostre que a equação dada é homogênea. Resolva a equação diferencial. c. Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais. Elas são simétricas em relação à origem? Modelagem com Equações de Primeira Ordem Equações diferenciais são de interesse para, principalmente, não matemáticos por causa da possibilidade de serem usadas para investigar uma variedade de problemas nas ciências físicas, biológicas e sociais. Uma razão para isso é que modelos matemáticos e suas soluções levam a equações que relacionam as variáveis e os parâmetros no problema. Essas equações permitem, muitas vezes, fazer previsões sobre como os processos naturais se comportarão em diversas circunstâncias. Muitas vezes, é fácil permitir a variação dos parâmetros no modelo matemático em um amplo intervalo, enquanto isso poderia levar muito tempo ou ser muito caro, se não impossível, em um ambiente experimental. De qualquer modo, ambas, a modelagem matemática e a experimentação ou observação, são criticamente importantes e têm papéis um tanto complementares nas investigações científicas. Modelos matemáticos são validados comparando-se suas previsões com resultados experimentais. Por outro lado, análises matemáticas podem não só sugerir as direções mais promissoras para exploração experimental, como indicar, com boa precisão, que dados experimentais serão mais úteis. Nas Seções 1.1 e 1.2, formulamos e investigamos alguns modelos matemáticos simples. Vamos começar recordando e expandindo algumas das conclusões a que chegamos naquelas seções. Independentemente do campo específico de aplicação, existem três passos identificáveis que estão sempre presentes na modelagem matemática. Passo 1: Construção do Modelo. Neste passo, você traduz a situação física em expressões matemáticas, frequentemente usando os passos listados no final da Seção 1.1. Talvez o ponto mais crítico nesse estágio seja enunciar claramente o(s) princípio(s) físico(s) que, acredita-se, governa(m) o processo. Por exemplo, foi observado em algumas circunstâncias que o calor passa de um corpo mais quente para um mais frio a uma taxa proporcional à diferença de temperaturas, que objetos se movem de acordo com a lei do movimento de Newton e que populações isoladas de insetos crescem a uma taxa proporcional à população atual. Cada uma dessas afirmações envolve uma taxa de variação (derivada) e, em consequência, quando expressas matematicamente, levam a uma equação diferencial. A equação diferencial é um modelo matemático do processo. É importante compreender que as equações matemáticas são, quase sempre, apenas uma descrição aproximada do processo real. Por exemplo, corpos movimentando-se a velocidades próximas à velocidade da luz não são governados pelas leis de Newton, as populações de insetos não crescem indefinidamente como enunciado em razão de limitações de 1. 2. 3. Sumário. A equação linear y′ + p(t)y = g(t) tem diversas propriedades boas que podem ser resumidas nas afirmações a seguir: Supondo que os coeficientes são contínuos, existe uma solução geral, contendo uma constante arbitrária, que inclui todas as soluções da equação diferencial. Uma solução particular que satisfaz uma condição inicial dada pode ser encontrada escolhendo-se o valor apropriado para a constante arbitrária. Existe uma expressão para a solução, a saber, Eq. (7) ou (8). Além disso, embora envolva duas integrações, a expressão fornece uma solução explícita para a solução y = ϕ(t), em vez de uma equação que define ϕ implicitamente. Os possíveis pontos de descontinuidade, ou singularidades, da solução podem ser identificados (sem resolver o problema) simplesmente encontrando os pontos de descontinuidade dos coeficientes. Assim, se os coeficientes forem contínuos para todo t, a solução também existirá e será diferenciável para todo t. Nenhuma dessas afirmações é verdadeira, em geral, para equações não lineares. Embora uma equação não linear possa ter uma solução envolvendo uma constante arbitrária, também podem existir outras soluções. Não existe fórmula geral para soluções de equações não lineares. Se você for capaz de integrar uma equação não linear, provavelmente irá obter uma equação definindo soluções implicitamente, em vez de explicitamente. Finalmente, as singularidades das soluções de equações não lineares só podem ser encontradas, em geral, resolvendo a equação e examinando a solução. É provável que as singularidades dependam tanto da condição inicial quanto da equação diferencial. Problemas Em cada um dos Problemas 1 a 4, determine (sem resolver o problema) um intervalo no qual a solução do problema de valor inicial dado certamente existe. Em cada um dos Problemas 5 a 8, diga onde, no plano ty, as hipóteses do Teorema 2.4.2 são satisfeitas. Em cada um dos Problemas 9 a 12, resolva o problema de valor inicial dado e determine como o intervalo no qual a solução existe depende do valor inicial y0. Seção 2.4 Em cada um dos Problemas 13 a 16, desenhe um campo de diregdes e desenhe (ou esboce) gréficos de diversas solugdes da equacdo diferencial dada. Descreva como as solucdes parecem se comportar quando t aumenta e como seus comportamentos dependem do valor inicial yy quando t = 0. 13. y= ty3—y) 14. y'= y(3—-ty) 15. y =—-y(3—-ty) 16, y'=t-1-y 17. Considere 0 problema de valor inicial y’ = "7, y(0) = 0, do Exemplo 3 no texto. a. _Existe uma solucgao que contém o ponto (1, 1)? Em caso afirmativo, encontre-a. b. Existe uma solucgao que contém o ponto (2, 1)? Em caso afirmativo, encontre-a. c. Considere todas as solucgées possiveis do problema de valor inicial dado. Determine 0 conjunto de valores que essas solug6es tém em f= 2. 18. a. Verifique se ambas as funcées y,() = 1 — te y>(t) = -17/4 sao solucées do problema de valor inicial , —t+,ft?+4y 0)—-1 y=, 92) =-1. 2 Em que intervalos essas solucées sao validas? b. Explique por que a existéncia de duas solugées para o problema dado nao contradiz a unicidade no Teorema 2.4.2. €. Mostre que y = ct + c*,em que c é uma constante arbitraria, satisfaz a equacao diferencial no item (a) para t >—2c. Se c =-—1, a condic4o inicial também é satisfeita, e obtemos a solucéo y = y,(t). Mostre que nao existe escolha de c que fornece a segunda solucao y = y>(Z). 19. a. Mostre que ¢(f) = e~’ é uma solucao de y’—2y = 0 e que y = c(t) também 6é solucdo dessa equacao para qualquer valor da constante c. b. Mostre que ¢(f) = 1/t é uma solucio de y’ + y = 0 para t > 0, mas que y = c@(t) nao é solugao dessa equacao, a menos que c = 0 ou c = 1. Note que a equacao do item (b) é nao linear, enquanto a do item (a) é linear. 20. Mostre que, se y = g(t) for uma solugao de y’ + p(f)y = 0, entao y = c(t) também sera solugao para qualquer valor da constante c. 21. Sejay=y,(f) uma solugao de y + plt)y=0, (27) e seja y = y,(t) uma solugao de i! 2 y + plt)y=glt). (28) Mostre que y = y; (4) + y2(4) também é solucao da Eq. (28). 22. a. Mostre que a solugao (7) da equacao linear geral (1) pode ser escrita na forma y=oy (t)+ yy(t)s (29) em que c é uma constante arbitraria. b. Mostre que y,; é uma solucao da equacao diferencial y' + p(thy =0, (30) correspondente a g(t) = 0. c. Mostre que y> é solugdo da equacao linear completa (1). Veremos mais tarde (por exemplo, na Secao 3.5) que solucgées de equacées lineares de ordem mais alta tém um padrao semelhante ao da Eq. (29). Equacoes de Bernoulli. Algumas vezes, é possivel resolver uma equa¢do nao linear fazendo uma mudanca da varidvel dependente que a transforma em uma equac¢do linear. 0 exemplo mais importante de tal equagdo é da forma fy a ya ft y+ pt)y=a(t)y, e é chamada de equacao de Bernoulli, em honra a Jakob Bernoulli. Os Problemas 23 a 25 tratam de equac¢ées deste tipo. 23. a. Resolva a equacao de Bernoulli quando n = 0 e quando n = 1. b. Mostre que, sen 40 en # 1, entdo a substituicdo v = yin reduz a equacao de Bernoulli a uma equacao linear. Esse método de solugao foi encontrado por Leibniz em 1696. Em cada um dos Problemas 24 e 25, é dada uma equacdo de Bernoulli. Em cada caso, resolva-a usando a substituicao mencionada no Problema 23b. 24. y'=ry—ly’,r>0ek> 0. Esta equacio é importante em dindmica populacional e é discutida em detalhes na Seco 2.5. 25. y'=ey—oy", e>0e0> 0. Esta equacao aparece no estudo da estabilidade de fluxo de fluidos. Coeficientes Descontinuos. As vezes, ocorrem equacdes diferenciais lineares com uma ou ambas as funcGes p e g tendo descontinuidades do tipo salto. Se tp for tal ponto de descontinuidade, sera necessdrio resolver a equacdo separadamente para f < fy e para f > ty. Depois, juntam-se as duas solugdes de modo que y seja continua em fy; isso é feito por uma escolha apropriada das constantes arbitrdrias. Os dois problemas a seguir ilustram essa situagdo. Note que, em cada caso, é impossivel tornar y’ continua em t. 26. Resolva o problema de valor inicial i! y +2y=a(t), 9(0)=0, em que (t) l, O«f=1, gti)= 0, f>1. 27. Resolva o problema de valor inicial 2.5 em que Equações Diferenciais Autônomas e Dinâmica Populacional Uma classe importante de equações de primeira ordem são aquelas nas quais a variável independente não aparece explicitamente. Tais equações são ditas autônomas e têm a forma Vamos discutir essas equações no contexto de crescimento ou declínio populacional de uma espécie dada, um assunto importante em campos que vão da medicina à ecologia e à economia global. Algumas outras aplicações são mencionadas em alguns dos problemas. Lembre-se de que consideramos, nas Seções 1.1 e 1.2, o caso especial da Eq. (1) no qual f(y) = ay + b. A Eq. (1) é separável, de modo que podemos aplicar a discussão da Seção 2.2, mas o objetivo principal desta seção é mostrar como métodos geométricos podem ser usados para obter informação qualitativa importante sobre as soluções diretamente da equação diferencial, sem resolvê-la. Os conceitos de estabilidade e instabilidade de soluções de equações diferenciais são fundamentais nesse esforço. Essas ideias foram introduzidas informalmente no Capítulo 1, mas sem usar essa terminologia. Vamos discuti-las mais aqui e examiná-las em maior profundidade e em um contexto geral no Capítulo 9. Crescimento Exponencial. Seja y = ϕ(t) a população de determinada espécie no instante t. A hipótese mais simples em relação à variação da população é que a taxa de variação de y é proporcional10 ao valor atual de y; ou seja, em que a constante de proporcionalidade r é chamada de taxa de crescimento ou declínio, dependendo se r é positiva ou negativa. Vamos supor aqui que a população está crescendo, de modo que r > 0. Resolvendo a Eq. (2) sujeita à condição inicial11 obtemos Assim, o modelo matemático que consiste no problema de valor inicial (2), (3) com r > 0 prevê que a população vai crescer exponencialmente todo o tempo, como mostra a Figura 2.5.1 para diversos valores de y0. Sob condições ideais, observou-se que a Eq. (4) é razoavelmente precisa para muitas populações, pelo menos por períodos limitados de tempo. Entretanto, é claro que tais condições ideais não podem continuar indefinidamente; eventualmente, limitações de espaço, suprimento de comida ou de outros recursos reduzirá a taxa de crescimento e terminará com o crescimento exponencial ilimitado. Logo, existe um fator integrante / que 6 uma funcdo 56 de x e satisfaz a equacdo diferencial du —=— (29) dx x Portanto (veja o Problema 7 na Secdo 2.2), u(x) =x. (30) Multiplicando a Eq. (19) por esse fator integrante, obtemos (3x°y+xy*)+ (0 +x"y)y' =0. (31) A Eq. (31) € exata, ja que é a — (3x7 y+ xy") = 3x? + 2xy =—(x? + xy). ay Ox Entdo, existe uma funcdo w(x, y) tal que v(x) = 3x7 y+ xy’, vy y)= x +x7y, (32) Integrando a primeira das Eqs. (32) em relacdo ax, obtemos 3, , 1.3.3 u(x, vy= xy 13% yo thy). Substituindo essa expressdo para w(x, y) na segunda das Eqs. (32), encontramos xe txyth'(yyax+x’y, de modo que h'{y) = 0 e A(y) é uma constante. Assim, as solucdes da Eq. (31) e, portanto, da Eq. (19) sao dadas implicitamente por 3 Ll 2.2 xy Pax yy Se, (33) 2 Solug6es explicitas também podem ser encontradas prontamente, ja que a Eq. (33) é quadratica em y. Vocé pode verificar também que um segundo fator integrante para a Eq. (19) é 1 ux, y) =———— xy(2x+ y) e que a mesma solucdo é obtida, embora com mais dificuldade, se esse fator integrante for usado (veja o Problema 22). Problemas Determine se cada uma das equacdes nos Problemas 1 a 8 é exata. Se for, encontre a solucdo. 13. 14. 17. Em cada um dos Problemas 9 e 10, resolva o problema de valor inicial dado e determine, pelo menos aproximadamente, em que intervalo a solução é válida. Em cada um dos Problemas 11 e 12, encontre o valor de b para o qual a equação dada é exata e depois a resolva usando esse valor de b. Suponha que a Eq. (6) satisfaz as condições do Teorema 2.6.1 em um retângulo R e é, portanto, exata. Mostre que uma função ψ(x, y) possível é em que (x0, y0) é um ponto em R. Mostre que qualquer equação separável também é exata. Em cada um dos Problemas 15 e 16, mostre que a equação dada não é exata, mas torna-se exata quando multiplicada pelo fator integrante dado. Depois resolva a equação. Mostre que, se (Nx – My)/M = Q, em que Q é uma função só de y, então a equação diferencial 22. 2.7 tem um fator integrante da forma Em cada um dos Problemas 18 a 21, encontre um fator integrante e resolva a equação dada. Resolva a equação diferencial usando o fator integrante μ(x, y) = (xy(2x + y))–1. Verifique que a solução é a mesma que a obtida no Exemplo 4 com um fator integrante diferente. Aproximações Numéricas: o Método de Euler Lembre-se de dois fatos importantes sobre o problema de valor inicial de primeira ordem Primeiro, se f e ∂f/∂y forem contínuas, então o problema de valor inicial (1) terá uma única solução y = ϕ(t) em algum intervalo contendo o ponto inicial t = t0. Segundo, não é possível, em geral, encontrar a solução ϕ por manipulações simbólicas da equação diferencial. Até agora, consideramos as principais exceções a esta última afirmação: equações diferenciais que são lineares, separáveis ou exatas, ou que podem ser transformadas em um desses tipos. Apesar disso, ainda é verdade que soluções da grande maioria de problemas de valor inicial de primeira ordem não podem ser encontradas por métodos analíticos como os considerados na primeira parte deste capítulo. É importante, portanto, ser capaz de abordar o problema de outras maneiras. Como já vimos, uma dessas maneiras consiste em desenhar o campo de direções para a equação diferencial (o que não envolve resolver a equação) e depois visualizar o comportamento das soluções a partir do campo de direções. Este método tem a vantagem de ser um processo relativamente simples, mesmo para equações diferenciais complicadas. No entanto, não serve para cálculos quantitativos ou comparações, o que é, muitas vezes, uma deficiência crítica. Por exemplo, a Figura 2.7.1 mostra um campo de direções para a equação diferencial Do campo de direções você pode visualizar o comportamento de soluções no retângulo ilustrado na figura. Nesse retângulo, uma solução começando em um ponto no eixo dos y inicialmente aumenta com t, mas logo atinge um valor máximo e começa a diminuir quando t continua aumentando.