P3 - Equações Diferenciais C 2021-2

UFMG/ICEx/MAT — BH 17/02/2022 Prova 3 de Equacoes Diferenciais C Turma TB2 Respostas sem justificativas nao serao consideradas. Entregar no Microsoft Teams até as 10h do dia 18/02/2022. ‘rons | fe) |e | a Assinaturas sd Assinatura: — . _ . +1, se-1<x<0; 1. Considerar a funcao f: R — R definida por f(x) = e tal que f(x +2) = f(x) paratodo xeR. x, se0<x<l1; (a) (7 pontos) Determinar a expansao da func¢ao f(x) em série de Fourier. Indicar a opg¢ao correta: L sifiay = 3-3 YS cos(nnx) ~~ ¥° * sen(nax) i. x)=---—+ ) —cos(nmx)-— ) —sen(nax 4 no ne? nm Arn 3 228 1 1w2e i ii. S[f](x) =—--—=3 7 Cos(2nax) — — — sen(2nmx LAG) 4 wn Xu (2n)? ( ) On ( ) 3 2 1 121 iii. S[f](x) = --—=; ——.,, cos|(2n — 1)nx) - — —sen(nax LAG) 4 ne Xu (2n-1)? ( nx) tn (nx) iv. S[f](x) oy : ((2n-1)rx) ty , ((2n-1)rx) iv. x)=--+ ) =~ cos((2n-1I)ax)-—-— ) ——sen((2n-1)nx 4 7 * (2n-1)? mfx 2n-1 (a) —— (b) (2 pontos) Usar a série de Fourier da funcao f para calcular a soma da série numérica too (-1)” 1 o1i1éi1éi1é6di1 > — =4+--54+2-54+5-—4+°°. 2n-1 13 5 79 Il (b) —— 2. (8pontos) Resolver o problema de valor inicial para a equacao da onda em uma corda infinita, 0? u(x, t) 2 0? u(x, t) EDP —,7— _ - a —,— =), —0o<X< +00, 0<t; Or? Ox? CI u(x,0) = f(x) = arctan(x), -—00o< X< +00; a CI Ur(X,0) = 80) = 5» -o<x< +00. Mostrar que a solucao consiste de apenas uma onda viajante. Para que lado viaja essa onda? Sugestao: Usar a formula de d’Alembert para a solucdo da equag¢ao da onda. 2. 3. (8 pontos) Resolver o problema de valor de fronteira para a equacgdo de Laplace em uma placa quadrada, 0* u(x, 07 u(x, EDP Ou y) | OUGY) _ 9 0<x<T, O<y<T7; Ox? dy? CF u(0, y) = 90, O<yY<T; CF u(t, y) =0, O<yY<T; CF u(x,0) = f(x) =2sen(x), O0<x<qT; CF u(x,7) =0, O<x<n. Sugestao: Usar a solucao formal do problema de valor de fronteira, +00 u(x, y) = > bn sen(nx)senh(n(y —7)). n=1 3, Turma TB2—9h25 Prova 3 EDC (MAT040) Página 2 de 2 Prova 3 de Equações Diferenciais C EDC (MAT040) Turma TB2 4. (9 pontos) Resolver o problema de valor inicial e de fronteira para a equação da difusão que modela a temperatura dos pontos de uma barra com isolamento imperfeito, EDP ∂u(x,t) ∂t − ∂2u(x,t) ∂x2 +u(x,t) = 0, 0 < x < π, 0 < t; CF u(0,t) = 0, 0 ⩽ t; CF u(π,t) = 0, 0 ⩽ t; CI u(x,0) = f (x) = sen(2x), 0 ⩽ x ⩽ π. Sugestões: (1) Procurar solução na forma u(x,t) = exp(−t)w(x,t) e determinar a função w(x,t) ou então ... (2) Procurar solução na forma u(x,t) = X (x)T (t) e usar o método de separação de variáveis, também denominado método de expansão em autofunções. 4. Turma TB2—9h25 Prova 3 EDC (MAT040)