Resumo - Integrais Múltiplas 2023-1

Integrais Múltiplas 1 🪣 Integrais Múltiplas Introdução Integrais múltiplas são ferramentas matemáticas utilizadas para calcular a área de regiões em um espaço de mais de duas dimensões. Diferente das integrais simples, que calculam a área sob uma curva em um plano unidimensional, as integrais múltiplas calculam o volume ou área sob uma superfície em duas ou mais dimensões. Existem diferentes tipos de integrais múltiplas, como a integral dupla e a integral tripla. A integral dupla é usada para calcular a área de uma superfície em um plano bidimensional, enquanto a integral tripla é usada para calcular o volume de um espaço em um espaço tridimensional. Em resumo, as integrais múltiplas são ferramentas poderosas para calcular áreas e volumes em espaços de mais de duas dimensões. Elas são aplicáveis em diferentes Introdução Volumes e Integrais Duplas Integrais Iteradas Integrais Duplas sobre Regiões Gerais Região do Tipo I - Integrais Duplas Região do Tipo II - Integrais Duplas Propriedades das Integrais Duplas Integrais Duplas em Coordenadas Polares Área de Superfície Integrais Triplas Integral Tripla sobre uma Região Limitada Geral Região do Tipo I - Integrais Triplas Região do Tipo II - Integrais Triplas Região do Tipo III - Integrais Triplas Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas Coordenadas Cilíndricas Cálculo de Integrais Triplas com Coordenadas Cilíndricas Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas Coordenadas Esféricas Cálculo de Integrais Triplas com Coordenadas Esféricas Mudança de Variáveis em Integrais Múltiplas Integrais Múltiplas 2 áreas do conhecimento e têm grande relevância para o avanço da ciência e da tecnologia. Volumes e Integrais Duplas Considerando uma função de duas variáveis definida em um retângulo fechado, onde . O gráfico de é a superfície com equação . Seja o sólido que está acima da região e abaixo do gráfico de . O volume de é obtido ao aproximamos a soma de vários outros retângulos de volume conhecido: f f(x,y) ≤ 0 R = [a,b] × [c,d] = {(x,y) ∈ R ∣a ≤≤ 2 b,c ≤ y ≤ d} f z = f(x,y) S R f S V ≈ f(x ,y )ΔA i=1 ∑ m j=1 ∑ n ij ∗ ij ∗ Integrais Múltiplas 3 Tendendo o número de retângulos ao infinito, obtemos a soma dupla de Riemann: Assim o Volume Total do solido é definido a partir da integral dupla de sobre o retângulo , caso esse limite existir: Se , então o volume do sólido que está acima do retângulo e abaixo da superfície é Integrais Iteradas Suponha que seja uma função de duas variáveis que é integrável no retângulo . Usaremos a notação significando que é mantido fixo e é integrada em relação a de até . Esse procedimento é chamado de integração parcial em relação a . Como é um número que depende do valor de , ele define uma função de : Se agora integramos a função com relação à variável de até , obtemos: A integral do lado direito é chamada de integral iterada. Assim, significa que primeiro integramos com relação a de a e depois em relação a de até . Desta forma, a integral iterada: V = f(x ,y )ΔA m,n→∞ lim i=1 ∑ m j=1 ∑ n ij ∗ ij ∗ V S f R f(x,y)dA = ∬ R f(x ,y )ΔA m,n→∞ lim i=1 ∑ m j1 ∑ n ij ij f(x,y) ≥ 0 V R z = f(x,y) V = f(x,y)dA ∬ R − Onde: dA = dxdy f R = [a,b] × [c,d] f(x,y)dy ∫c d x f(x,y) y y = c y = d y f(x,y)dy ∫c d x x A(x) = f(x,y)dy ∫ c d A x x = a x = b f(x,y)dydx = ∫ a b ∫ c d f(x,y)dydx ∫ a b ∫ c d y c d x a b d b d b Integrais Múltiplas 4 significa que primeiro integramos com relação a (fixando ) de a em seguida integramos a função de resultante com relação a de a . 🔎 Teorema de Fubini Se for contínua no retângulo , então De modo mais geral, esse resultado vale se supusermos que seja limitada em , tenha descontinuidade apenas em um número finito de curvas suaves e que a integral iterada exista. No caso especial em que pode ser fatorado como o produto de uma função só de por uma função só de , a integral dupla de pode ser escrita de forma particularmente simples. Para sermos específicos, suponha que e . Então pelo Teorema de Fubini, a integral dupla de pode ser escrita como o produto de duas integrais unidimensionais: Integrais Duplas sobre Regiões Gerais f(x,y)dxdy = ∫ c d ∫ a b f(x,y)dxdy ∫ c d ∫ a b x y x = a x = b y y y = c y = d f R = {(x,y)∣a ≤ x ≤ b,c ≤ y ≤ d} f(x,y)dA = ∬ R f(x,y)dxdy = ∫ c d ∫ a b f(x,y)dydx ∫ a b ∫ c d f R f Demonstração do Teorema de Fubini f(x,y) x y f f(x,y) = g(x)h(y) R = [a,b] × [c,d] f g(x)h(y)dA = ∬ R g(x)dx h(y)dy onde: R = ∫ a b ∫ c d [a,b] × [c,d] Integrais Múltiplas 5 Região do Tipo I - Integrais Duplas Uma região plana é dita do Tipo I se for a região entre o gráfico de duas funções contínuas de , ou seja, onde e são contínuas em . Para calcularmos quando é do Tipo I, escolhemos um retângulo que contenha . Então pelo Teorema de Fubini temos: 🔎 Se é contínua em uma região do tipo I tal que então, Região do Tipo II - Integrais Duplas Considerando também as regiões planas do Tipo II, que podem ser expressas como onde e são contínuas. D x D = {(x,y)∣a ≤ x ≤ b,g (x) ≤ 1 y ≤ g (x)} 2 g1 g2 [a,b] Algumas regiões do Tipo I ∬D f(x,y)dA D R − [a,b] × [c,d] D f D D = {(x,y)∣a ≤ x ≤ b,g (x) ≤ 1 y ≤ g (x)} 2 f(x,y)dA = ∬ D f(x,y)dydx ∫ a b ∫ g (x) 1 g (x) 2 D = {(x,y)∣c ≤ y ≤ d,h (y) ≤ 1 x ≤ h (y)} 2 h1 h2 Integrais Múltiplas 6 Utilizando o mesmo método anterior podemos mostrar que: 🔎 Dado uma região do tipo II, temos: Propriedades das Integrais Duplas 1. 2. onde é uma constante 3. Se para todo em , então D f(x,y)dA = ∬ D f(x,y)dxdy ∫ c d ∫ h (y) 1 h (y) 2 [f(x,y) + ∬ D g(x,y)]dA = f(x,y)dA + ∬ D g(x,y)dA ∬ D cf(x,y)dA = ∬ D c f(x,y)dA ∬ D c f(x,y) ≤ g(x,y) (x,y) R f(x,y)dA ≥ ∬ D g(x,y)dA ∬ D Integrais Múltiplas 7 4. Se onde e não se sobrepõem exceto talvez nas fronteiras, então Esta propriedade pode ser usada para calcular integrais duplas sobre regiões que não sejam nem do Tipo I e nem do Tipo II. 5. Se integrarmos a função constate sobre uma região , obteremos a área de : D = D ∪ 1 D2 D1 D2 f(x,y)dA = ∬ D f(x,y)dA + ∬ D1 f(x,y)dA ∬ D2 D f(x,y) = 1 D D 1 dA = ∬ D A(D) Integrais Múltiplas 8 6. Se para todo em , então Integrais Duplas em Coordenadas Polares Suponhamos que queiramos calcular a integral duplas , onde é uma das regiões mostradas abaixo. Em qualquer dos casos, a descrição de é complicada em coordenadas retangulares, mas a descrição de fica mais fácil utilizando-se coordenadas polares As coordenadas polares de um ponto estão relacionadas com as coordenadas retangulares pelas equações: As regiões representadas a cima são casos especiais de um retângulo polar. Cilindro de base D e altura 1 m ≤ f(x,y) ≤ M (x,y) D mA(D) ≤ f(x,y)dA ≤ ∬ D MA(D) ∬R f(x,y)dA R R R (r,θ) (x,y) r = x + y ; x = r cosθ ; y = r sin θ 2 2 2 Integrais Múltiplas 9 Para calcularmos a integral dupla , onde é um retângulo polar, dividimos o intervalo em subintervalos de larguras iguais e dividimos o intervalo em subintervalos de larguras iguais. Então, os círculos e os raios dividem o retângulo polar nos retângulos polares menores , mostrados abaixo: Se convertemos as coordenadas retangulares para coordenadas polares em uma integral dupla escrevendo e , usando os limites de integração adequados para e e substituindo por . Cuidado para não esquecer o fator de correção no lado direito. Neste caso podemos pensar nos retângulos polares “infinitesimais” como retângulos convencionais com dimensões e, portanto, como “área” . 🔎 Mudança para Coordenadas Polares em uma Integral Dupla Se é contínua no retângulo polar dado por , , onde , então R = {(r,θ)∣a ≤ r ≤ b,α ≤ θ ≤ β} ∬R f(x,y)dA R [a,b] m [r i−1,r ] i [α,β] n [θ j−1,θ ] j r = ri θ = θj R Rij x = r cosθ y = r sin θ r θ dA r dr dθ r r dr dθ dA = r dr dθ f R 0 ≤ a ≤ r ≤ b α ≤ θ ≤ β 0 ≤ β − α ≤ 2π f(x,y)dA = ∬ R f(r cosθ,r sin θ)rdrdθ ∫ α β ∫ a b Integrais Múltiplas 10 Área de Superfície Seja a superfície com a equação , onde tem derivadas parciais contínuas. Para simplificar a dedução da fórmula da área de superfície, supomos que e o domínio de é um retângulo. Dividimos em pequenos retângulos com área . Se é o canto de mais próximo da origem, seja o ponto em diretamente acima dele. O plano tangente a em é uma aproximação a próximo de . Então, a área da parte deste plano tangente que fica diretamente acima de é uma aproximação à área da parte de que fica diretamente acima de . Portanto a soma é uma aproximação à área total e essa aproximação melhora conforme o número de retângulos aumenta. S z = f(x,y) f f(x,y) ≥ 0 D f D Rij ΔA = ΔxΔy (x ,y ) i j Rij P (x ,y )f(x ,y ) ij i j i j S S Pij S Pij ΔTij Rij ΔSij S Rij ΣΣΔTij S Integrais Múltiplas 11 🔎 A área da superfície com equação , onde e são contínuas, é Se usarmos a notação alternativa para derivadas parcial, podemos reescrever da seguinte maneira: Integrais Triplas Suponhamos que é uma função definida em uma caixa retangular: O primeiro passo é dividir em subcaixas. Fazemos isso dividindo os intervalos , e em infinitos subintervalos de comprimentos iguais , e . Assim, os planos que passam pelas extremidades desses subintervalos, paralelos aos planos coordenados, também subdividem a caixa em infinitas subcaixas iguais. Assim formamos uma integral integra tripla para uma caixa de volume . z = f(x,y),(x,y) ∈ D fx fy A(S) = dA ∬ D [f (x,y)] + [f (x,y) + 1] x 2 y A(S) = dA ∬ D 1 + ( ) + ( ) δx δz 2 δx δz 2 f B = {(x,y,z)∣a ≤ x ≤ b,c ≤ y ≤ d,r ≤ z ≤ s} B [a,b] [c,d] [r,s] dx dy dz B B Integrais Múltiplas 12 🔎 Definição - Teorema de Fubini para as Integrais Triplas Se é contínua em uma caixa retangular , então a integral tripla de na caixa é: O método prático para calcular uma integral tripla consiste em expressá-la como uma integral iterada. Esta integral indica que primeiro integramos em relação a (mantendo e fixados), em seguida integramos em relação a (mantendo fixado) e em relação a . Existem cinco outras ordens possíveis de integração, todas fornecendo o mesmo resultado. Integral Tripla sobre uma Região Limitada Geral Envolveremos por uma caixa do tipo dado pela equação . Em seguida, definiremos uma função de modo que ela coincida com em e seja nos pontos de fora de . Por definição: f B = [a,b] × [c,d] × [r,s] f B f(x,y,z)dV = ∭ B f(x,y,z)dx dy dz ∫ r s ∫ c d ∫ a b x y z y z z E B f F f E 0 B E f(x,y,z)dV = ∭ E F(x,y,z)dV ∭ B Uma região sólida do Tipo I Integrais Múltiplas 13 Essa integral existe se for contínua e se o limite de for “razoavelmente liso”. Região do Tipo I - Integrais Triplas Uma região sólida é dita do Tipo I se estiver contida entre os gráficos de duas funções contínuas de e , ou seja onde é a projeção de sobre o plano . Observe que o limite superior do sólido é a superfície de equação , enquanto o limite inferior é a superfície . 🔎 Dado uma região sólida do Tipo I e uma região plana também do Tipo I, temos: Se por outro lado, é uma região plana do Tipo II f E E x y E = {(x,y,z)∣(x,y) ∈ D,u (x,y) ≤ 1 z ≤ u (x,y)} 2 Uma região sólida de Tipo I com uma projeção de Tipo I D E xy E z = u (x,y) 2 z = u (x,y) 1 E D f(x,y,z)dV = ∭ E f(x,y,z)dz dy dx ∫ a b ∫ g (x) 1 g (x) 2 ∫ u (x,y) 1 u (x,y) 2 D E = {(x,y,z)∣c ≤ y ≤ d,h (y) ≤ 1 x ≤ h (y),u (x,y) ≤ 2 1 z ≤ u (x,y)} 2 Integrais Múltiplas 14 Temos: 🔎 Dado uma região sólida do Tipo I e uma região plana do Tipo II, temos: Região do Tipo II - Integrais Triplas Uma região sólida é do Tipo II se for da forma Uma região sólida de Tipo I com uma projeção de Tipo II E D f(x,y,z)dV = ∬ E f(x,y,z)dz dx dy ∫ c d ∫ h (y) 1 h (y) 2 ∫ u (x,y) 1 u (x,y) 2 E = {(x,y,z)∣(y,z) ∈ D,u (y,z) ≤ 1 x ≤ u (y,z)} 2 Integrais Múltiplas 15 onde é a projeção de sobre o plano . A superfície de trás é e a superfície da frente é . Assim, temos 🔎 Dado uma região sólida do Tipo II , temos: Região do Tipo III - Integrais Triplas Uma região do Tipo III é da forma Uma Região do Tipo II D E yz x = u (y,z) 1 x = u (y,z) 2 E f(x,y,z)dV = ∭ E ( f(x,y,z)dx )dA ∬ D ∫ u (y,z) 1 u (y,z) 2 E = {(x,y,z)∣(x,z) ∈ D,u (x,z) ≤ 1 y ≤ u (x,z)} 2 Integrais Múltiplas 16 onde é a projeção de sobre o plano , é a superfície da esquerda e é a superfície da direita. Para esse tipo de região, temos: 🔎 Dado uma região sólida do Tipo III , temos: ⚠ Dica! A maior dificuldade no cálculo de uma integral tripla é escrever uma expressão para a região de integração. Lembre-se de que os limites de integração da integral de dentro contêm no máximo duas variáveis, os limites de integração da integral do meio contêm no máximo uma variável e os limites de integração de fora precisam ser constantes. Uma Região do Tipo III D E xz y = u (x,z) 1 y = u (x,z) 2 E f(x,y,z)dV = ∭ E ( f(x,y,z)dy )dA ∬ D ∫ u (x,z) 1 u (x,z) 2 Integrais Múltiplas 17 Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas Coordenadas Cilíndricas No sistema de coordenadas cilíndricas, um ponto no espaço tridimensional é representado pela tripla ordenada , onde e são as coordenadas polares da projeção de no plano e é a distância orientada do plano a . Para convertemos de coordenadas cilíndricas para retangulares, usamos as equações enquanto que para converter de coordenadas retangulares para cilíndricas, usamos Cálculo de Integrais Triplas com Coordenadas Cilíndricas Suponha que seja uma região do Tipo I, cuja projeção no plano tenha uma representação conveniente em coordenadas polares. Em particular, suponha que seja contínua e P (r,θ,z) r θ P xy z xy P As coordenadas cilíndricas de um ponto P x = r cosθ y = r sin θ z = z r = x + y tg θ = z = z 2 2 2 x y E D xy f Integrais Múltiplas 18 onde é dado em coordenadas polares por Assim temos, Está é a fórmula para a integração tripla em coordenadas cilíndricas. Ela nos diz que convertemos uma integral tripla em coordenadas retangulares para coordenadas cilíndricas escrevendo , e deixando como está, utilizando os limites apropriados de integração para e , e trocando por . É recomendável a utilização dessa fórmula quando for uma região sólida cuja descrição é mais simples em coordenadas cilíndricas e, especialmente, quando a função envolver a expressão . Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas E = {(x,y,z)∣(x,y) ∈ D,u (x,y) ≤ 1 z ≤ u (x,y)} 2 D D = {(r,θ)∣α ≤ θ ≤ β,h (θ) ≤ 1 r ≤ h (θ)} 2 f(x,y,z)dV = f(r cosθ,r sin θ,z)r dz dr dθ ∭ E ∫ α β ∫ h (θ) 1 h (θ) 2 ∫ u (r cos θ,r sin θ) 1 u (r cos θ,r sin θ) 2 x = r cosθ y = r sin θ z z,r θ dV r dz dr dθ E f(x,y,z) x + 2 y2 Integrais Múltiplas 19 Coordenadas Esféricas As coordenadas esféricas de um ponto no espaço, onde é a distância da origem a , é o mesmo ângulo que as coordenadas cilíndricas e é o ângulo entre o eixo positivo e o segmento de reta . Observe que O sistema de coordenadas esféricas é especialmente útil em problemas nos quais exista simetria em torno de um ponto e a origem esteja colocada neste ponto. Por exemplo, a esfera com centro na origem e raio tem a equação simples . O gráfico da equação é um semiplano vertical e a equação representa um semicone com eixo como seu eixo (ρ,θ,ϕ) P ρ = ∣OP∣ P θ ϕ z OP ρ ≥ 0 0 ≤ ϕ ≤ π As coordenadas esféricas de um ponto P c ρ = c θ = c ϕ = c z Integrais Múltiplas 20 A relação entre coordenadas esféricas e retangulares é definida por: Além disso, usamos a fórmula da distância para converter de coordenadas retangulares para coordenadas esféricas. Cálculo de Integrais Triplas com Coordenadas Esféricas Neste sistema de coordenadas, o correspondente à caixa retangular é uma cunha esférica x = ρ sin ϕcosθ y = ρ sin ϕcosθ z = ρ cosϕ ρ = x + y + z 2 2 2 2 E = {(ρ,θ,ϕ)∣a ≤ ρ ≤ b,α ≤ θ ≤ β,c ≤ ϕ ≤ d} Integrais Múltiplas 21 onde , e . Apesar de termos definido as integrais triplas dividindo sólidos em pequenas caixas, podemos chegar no mesmo resultado dividindo o sólido em pequenas cunhas esféricas. Consequentemente, chegamos à seguinte fórmula para a integração tripla em coordenadas esféricas. 🔎 onde é uma cunha esférica dada por Mudança de Variáveis em Integrais Múltiplas A mudança de variáveis é uma técnica poderosa para simplificar o cálculo de integrais múltiplas. Ela é particularmente útil quando a região de integração tem uma forma complicada ou quando a função a ser integrada é difícil de ser expressa analiticamente. α ≥ 0 β − α ≤ 2π d − e ≤ π f(x,y,z)dV ∭E = f(ρ sin ϕcosθ,ρ sin ϕsin θ,ρ cosϕ)ρ sin ϕdρ dθ dϕ ∫ c d ∫ α β ∫ a b 2 E E = {(ρ,θ,ϕ)∣a ≤ ρ ≤ b,α ≤ θ ≤ β,c ≤ ϕ ≤ d} Integrais Múltiplas 22 A ideia básica é fazer uma substituição de variáveis que transforme a integral em uma forma mais simples. Em geral, consideramos uma transformação , o que significa que e têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas. Uma transformação é de fato somente uma função cujo domínio e imagem são ambos subconjuntos de . Se , então o ponto é denominado imagem do ponto . Se não existem dois pontos com a mesma imagem, é injetora. transforma em uma região no plano denominada imagem de , constituída das imagens de todos os pontos de . Para a integral dupla , a mudança de variáveis é feita por uma transformação que leva a região de integração em uma nova região , dada por . Se é uma transformação invertível e diferenciável, então a integral dupla pode ser escrita como: onde é o determinante do Jacobiano da transformação . 🔎 Definição O Jacobiano de transformação dada por e é T C1 g h T R2 T(u ,v ) = 1 1 (x ,y ) 1 1 (x ,y ) 1 1 (u ,v ) 1 1 T T S R xy S S f(x,y)dA ∬R T R S S = T(R) T f(x,y)dA = ∬ R f(T(u,v)) dudv ∬ S ∣ ∣ ∂(u,v) ∂(x,y) ∣ ∣ ∣ ∣ ∂(u,v) ∂(x,y) ∣ ∣ T T x = g(u,v) y = h(u,v) δ(u,v) = δ(x,y) = ∣ ∣ δu δx δu δy δv δx δv δy ∣ ∣ − δu δx δv δy δv δx δu δy Integrais Múltiplas 23 🔎 Mudança de Variáveis em uma Integral Dupla Suponha que seja uma transformação cujo jacobiano seja não nulo e leve uma região do plano para uma região do plano . Suponha que seja contínua sobre e que e sejam regiões planas do tipo I ou II. Suponha ainda que seja injetora, exceto possivelmente nos pontos de fronteira . Então, Existe uma fórmula de mudança de variáveis semelhante para as integrais triplas. Para a integral tripla , a mudança de variáveis é feita por uma transformação que leva a região de integração em uma nova região , dada por . Seja a transformação que leva uma região no espaço para uma região no espaço por meio das equações O jacobiano de é o seguinte determinante : Se é uma transformação invertível e diferenciável, então a integral tripla pode ser escrita como: T C1 S uv R xy f R R S T S f(x,y)dA = ∬ R f(x(u,v),y(u,v)) du dv ∬ ∣ ∣ δ(u,v) δ(x,y) ∣ ∣ f(x,y,z)dV ∭E T E D D = T(E) T S uvw R xyz x = g(u,v,w) y = h(u,v,w) z = k(u,v,w) T 3 × 3 δ(u,v,w) = δ(x,y,z) ∣ ∣ δu δx δu δy δu δz δv δx δv δy δv δz δw δx δw δy δw δz ∣ ∣ T f(x,y,z)dV = ∭ E f(T(u,v,w)) dudvdw ∭ D ∣ ∣ ∂(u,v,w) ∂(x,y,z) ∣ ∣ ∣ ∣ Integrais Múltiplas 24 onde é o determinante do Jacobiano da transformação . A mudança de variáveis em integrais múltiplas é uma técnica geral que pode ser aplicada em uma ampla variedade de situações. Ela é particularmente útil em problemas envolvendo regiões em coordenadas polares, cilíndricas e esféricas, onde as transformações correspondentes são relativamente simples. ∣ ∣ ∂(u,v,w) ∂(x,y,z) ∣ ∣ T