Trabalho 1 - Cálculo 3 - 2024-1

Calcule \int\int_R x^2y^3 dA onde R é a região do primeiro quadrante delimitada pela curva y = \frac{1}{x} e pelas retas y = 1 e y = 2 Escolha uma opção: ○ \frac{2}{3} ○ \frac{1}{5} ○ \frac{1}{3} ○ 1 ○ 3 A integral iterada \int_0^{\sqrt{\ln 3}} \int_{2x}^{2\sqrt{\ln 3}} e^{y^2} dy dx vale Escolha uma opção: ○ \ln 3 ○ 81 ○ 20 ○ 1 ○ 8 Seja V_S o volume do sólido S no semi-espaço z \geq 0 delimitado pelo cilindro y = x^2, pelo cilindro y = 2 - x^2 e pelo plano x + y + z = 4. Então V_S vale Escolha uma opção: ○ 6 ○ 1 ○ 12 ○ \frac{1}{2} ○ 8 Calcule ∬_R \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} dA onde R é a região do plano no interior da cardioide x^2+y^2 = \sqrt{x^2+y^2}+y e no exterior do círculo x^2+y^2=1. Sugestão: use coordenadas polares Escolha uma opção: ○ 2 ○ \frac{\pi}{2} ○ 1 ○ \frac{\pi}{3} ○ \frac{1}{2} Calcule ∫_0^2 ∫_0^x ∫_0^{y-x} (2y-x) dzdydx Escolha uma opção: ○ \frac{5}{3} ○ \frac{2}{3} ○ -1 ○ \frac{1}{2} ○ \frac{4}{3} Calcule ∭_E \frac{z}{x^2+y^2} dV onde E é a região de \mathbb{R}^3 interna ao cilindro x^2+y^2=4, externa ao cilindro x^2+y^2=1, limitada acima pelo semicône z=3\sqrt{x^2+y^2} e abaixo pelo paraboloide z=x^2+y^2. Escolha uma opção: ○ \frac{27\pi}{4} ○ \frac{81\pi}{4} ○ 10\pi ○ \frac{31\pi}{4} ○ \frac{39\pi}{4} Calcule ∭_E (1/(x^2+y^2+z^2)^(2/3)) dV onde E = {(x, y, z) ∈ ℝ^3 : z ≥ √((x^2+y^2)/3), x^2 + y^2 + z^2 ≤ 1}. Escolha uma opção: O 6π/5 O 3π/5 O 2π/3 O 4π/3 O 3π/7 Calcule ∫_{-√3}^{√3} ∫_{-√(3-x^2)}^0 ∫_(1/√(x^2+y^2))^√(4-x^2-y^2) z^3 dzdydx Escolha uma opção: O 4π/3 O 7π/2 O 5π/2 O 2π/3 O 3π/2 1) Temos 1 ≤ y ≤ 2 0 ≤ x ≤ 1/y Logo, ∬_R x^2 y^3 dA = ∫_1^2 ∫_0^(1/y) x^2 y^3 dx dy = 1/3 ∫_1^2 (1/y^3) y^3 dy ∬_R x^2 y^3 dA = 1/3 ∫_1^2 dy = 1/3 // 2) I = ∫_0^(√(ln3)) ∫_2^(√(ln3)) e^{y^2} dy dx Temos a região (Invertendo a ordem, temos) 0 <= x <= y/2 e 0 <= y <= 2\sqrt{\ln3} I = \int_{0}^{2\sqrt{\ln3}} \int_{0}^{y/2} e^{x^2} \, dx \, dy = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\sqrt{\ln3}} y e^{y^2} \, dy . Logo, I = \frac{1}{2} \int_{0}^{4\ln3} \frac{e^u}{2} \, du I = \frac{1}{4} \left( e^{4\ln3} - 1 \right) I = \frac{1}{4} [81 - 1] = 20 3) Temos 0 <= z <= 4 - x - y x^2 <= y <= 2 - x^2 -1 <= x <= 1 Dai, V_s = \int_{-1}^{1} \int_{x^2}^{2-x^2} (4 - x - y) \, dy \, dx. Temos: V_s = \int_{-1}^{1} \left[ 4(2-x^2-x^2) - x (2-x^2-x^2) - \frac{[(2-x^2)^2 - x^4]}{2} \right] \, dx V_s = \int_{-1}^{1} \left[ 8 - 8x^2 - 2x + 2x^3 - \frac{(2-x^2)^2}{2} + \frac{x^4}{2} \right] \, dx As potências ímpares se anulam pois temos a integral num intervalo simétrico. Logo, V_s = 16 - \frac{16}{3} - \frac{43}{15} + \frac{1}{5} = 8 4) Em coordenadas polares, x = r\cos\theta y = r\sin\theta x^2+y^2 = r^2 dA = r \, dr \, d\theta Logo, x^2+y^2 = \sqrt{x^2+y^2+y} \quad \Rightarrow \quad r^2 = r + r\sin\theta r = 1 + \sin\theta {x^2+y^2=1} \quad \Rightarrow \quad r = 1 Logo, 1 <= r <= 1+\sin\theta 0 <= \theta <= \pi e a integral é: I = \int_{\theta = 0}^{\pi} \int_{r = 1}^{1+\sin\theta} \frac{rdrd\theta}{r} = \int_{0}^{\pi} \sin\theta \, d\theta = 2 I = \frac{6\pi}{5} \left[-\cos\theta\right]_{0}^{\pi/3} = \frac{6\pi}{5} \left[-\frac{1}{2} + 1\right] = \frac{3\pi}{5} 8) \sqrt{3} -\sqrt{3} 0 \leq r \leq \sqrt{3} \pi \leq \Theta \leq 2\pi Logo, em coordenadas cilíndricas: I = \int_{\pi}^{2\pi} \int_{0}^{\sqrt{3}} \int_{\sqrt{4-r^2}}^{r} z^3 \, r \, dz \, dr \, d\theta I = \frac{1}{4} \int_{\pi}^{2\pi} \left[ (1-r^2)^2 \, r - \frac{r^5}{9} \right] \, dr \, d\theta I = \frac{\pi}{4} \int_{0}^{\sqrt{3}} \left[ (1-r^2)^2 \, r - \frac{r^5}{9} \right] \, dr I = \frac{5\pi}{2}