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Engenharia de Computação ·
Cálculo 2
· 2022/1
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1. Determine se cada uma das séries abaixo converge ou diverge. Caso seja convergente determine sua soma a) \(\sum_{n=0}^{\infty} \cos(\pi n)\). b) \(\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{5}{2 ^n}+\frac{1}{3 ^n}\right)\). 2. Use o teste da integral para identificar se cada uma das séries abaixo converge ou diverge. a) \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^3}\). b) \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^2+1}\). 3. Use o teste da comparação para identificar se cada uma das séries abaixo converge ou diverge. a) \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n\sqrt{n}}\). b) \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n}+2}{2n^2+n+1}\). 4. Use o teste das séries alternadas para mostrar que as séries abaixo convergem. Aproxime a soma da série com a precisão de quatro casas decimais. a) \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n!}\). b) \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}n^2}{10^n}\). 5. Determine se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. a) \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{100}100^n}{n!}\). b) \(\sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}\). 1) a) \(\sum_{n=0}^{\infty} \cos(\pi n)\) Pelo teste da divergência, temos: \(\lim_{n \to \infty} \cos(\pi n) =\text Não existe.\) Como pelo teste da divergência, vimos que o limite não existe. Assim, \(\sum_{n=0}^{\infty} \cos(\pi n)\) é \underline{Divergente}.\ b) \(\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{5}{2 ^n}+\frac{1}{3 ^n}\right)\) Sabemos que \(\sum a_n + b_n = \sum a_n + \sum b_n\ , \ Assim\ \sum \frac{5}{2 ^n}+\frac{1}{3 ^n} = \sum \frac{5}{2 ^n}+\sum\frac{1}{3 ^n}\) Aplicando o teste da série geométrica, fazemos: \(\sum\frac{5}{2 ^n} \Rightarrow r = \frac{1}{2}\ ; \ a_o =\left(\frac{1}{2^o}\right) = 1\ 5 \sum \frac{1}{2 ^n} = \frac{a_o}{1-r} = \frac{1}{1-1/2} = 2 . 5 = \underline{10}\) \sum \frac{1}{3 ^n}\) \Rightarrow r = \frac{1}{3}\ ; \ a_o =\left(\frac{1}{3^o}\right) = 1 \sum \frac{1}{3 ^n} = \frac{a_o}{1-r} = \frac{1}{1-1/3} = \frac{3}{2}\ Como as séries converge então a soma das duas série é Convergente , logo \sum \left(\frac{5}{2 ^n}+\frac{1}{3 ^n}\right)\) é \underline{convergente}.\ - e temos: \sum \left(\frac{5}{2 ^n}+\frac{1}{3 ^n}\right)\) = 10 + \frac{3}{2} = \frac{23}{2}\ 2) a) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^3}\) Aplicando o teste da integral \int_1^{\infty} \frac{dx}{(2x+1)^3} = \text{fazendo a substituição:}\ u=2x+1 \frac{du}{2} = dx\ = \frac{1}{2}\lim_{t\to\infty}\int_3^t\ u^{-3}du = \frac{1}{2}\lim_{t\to\infty}\left[\frac{u^{-2}}{2}\right]_3^t = -\frac{1}{4}\left(0-\frac{1}{9}\right) = 1/36 < 1\ logo , a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^3}\) é \underline{convergente}. 2) b) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2+1} \quad \text{Aplicando o teste da integral:} \int_{1}^{\infty} \frac{x}{x^2+1} \, dx \quad \text{fazendo a substituição:} \quad u=x^2+1 \, du=2x \, dx \quad \Rightarrow \, \frac{du}{2}=x \, dx = \int_{1}^{\infty} \frac{du}{2u} =\frac{1}{2} \int_{2}^{\infty} \frac{du}{u} = \frac{1}{2} \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{2}^{t} \frac{du}{u} =\frac{1}{2} \lim_{t \rightarrow \infty} \left[ \ln(u) \right]_{2}^{t} = \frac{1}{2} \lim_{t \rightarrow \infty} \left[ \ln(x+1) \right]_{2}^{t} = \frac{1}{2} \lim_{t \rightarrow \infty} \left( \ln(t^2+1) - \ln(z^2+1) \right) = \infty \text{logo} \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2+1} \quad \text{Divergente.} 3) a) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n\sqrt{n}} \quad \text{Aplicando o teste da comparação:} \text{seja:} \quad \frac{n+1}{n\sqrt{n}} > \frac{1}{n} \quad \text{e é a série harmônica} \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \quad \text{é} \text{divergente, então pelo teste da comparação:} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n\sqrt{n}} \quad \text{é Divergente.} 3) b) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+2}}{2n^2+n+1} \text{seja:} \quad a_n = \frac{\sqrt{n+2}}{2n^2+n+1} \quad \text{e} \quad b_n = \frac{1}{n^2} \text{Temos que} \quad a_n \leq b_n, \quad \text{ou seja,} \quad \frac{\sqrt{n+2}}{2n^2+n+1} \leq \frac{1}{n^2}. \text{Como a série} \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \quad \text{é convergente, pois} \quad p=2 \quad \text{do tipo p-série.} \text{logo, pelo teste da comparação:} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+2}}{2n^2+n+1} \quad \text{converge.} 4) a) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n!} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \text{Usando} \quad b_n = \frac{1}{n!} \text{Pelo teste das série alternada, temos:} \ast \quad \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{6} - \frac{1}{24} \cdots (I) \ast \quad \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n!} = 0 \quad (II) 4) a) \text{Podemos ver que em (I) a série é decrescente e em} \text{(II) o limite é zero. Logo a série converge absolutamente.} \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} = \frac{1}{2} = 0,5 b) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} \cdot n^2}{10^n} \quad \text{Aplicando teste da série alternada.} \ast \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} \cdot n^2}{10^n} = \frac{1}{10} - \frac{1}{25} + \frac{9}{1000} - \frac{1}{625} + \frac{1}{4000} \cdots \quad (I) \ast \quad \lim_{n \rightarrow \infty} b_n, \quad \text{onde} \quad b_n = \frac{n^2}{10^n} \quad (II) \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^2}{10^n} = 0 \text{Como a série (I) é decrescente e em II é zero.} \text{Então a série converge absolutamente.} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} \cdot n^2}{10^n} = 0,0676 5) a) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{100} \cdot 100^n}{n!} Aplicando o teste da Razão \newline a_{n+1} = \frac{(n+1)^{100} \cdot 100^{n+1}}{(n+1)!} \quad e \quad \newline a_n = \frac{n^{100} \cdot 100^n}{n!} \newline \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+1)^{100} \cdot 100^{n+1}}{(n+1)!} \middle/ \frac{n^{100} \cdot 100^n}{n!} \right| \newline \lim_{n \to \infty} 100 \cdot \left| \frac{(n+1)^{100}}{(n+1) n^{100}} \right| = 100 \cdot \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+1)^{99}}{n^{100}} \right| = 100 \cdot \frac{1}{\infty} = 0 \newline Como \ o \ valor \ \lim < 1, \ então: \newline \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{100} \cdot 100^n}{n!}: \underline{Convergente} \newline Digitalizado com CamScanner 5) b) \sum_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n^2} Aplicando o teste da Raiz. \newline \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2/n} \newline = \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \quad \newline > 1 \newline Assim, \sum_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n^2} \underline{Diverge} \newline Digitalizado com CamScanner
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1. Determine se cada uma das séries abaixo converge ou diverge. Caso seja convergente determine sua soma a) \(\sum_{n=0}^{\infty} \cos(\pi n)\). b) \(\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{5}{2 ^n}+\frac{1}{3 ^n}\right)\). 2. Use o teste da integral para identificar se cada uma das séries abaixo converge ou diverge. a) \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^3}\). b) \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^2+1}\). 3. Use o teste da comparação para identificar se cada uma das séries abaixo converge ou diverge. a) \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n\sqrt{n}}\). b) \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n}+2}{2n^2+n+1}\). 4. Use o teste das séries alternadas para mostrar que as séries abaixo convergem. Aproxime a soma da série com a precisão de quatro casas decimais. a) \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n!}\). b) \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}n^2}{10^n}\). 5. Determine se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. a) \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{100}100^n}{n!}\). b) \(\sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}\). 1) a) \(\sum_{n=0}^{\infty} \cos(\pi n)\) Pelo teste da divergência, temos: \(\lim_{n \to \infty} \cos(\pi n) =\text Não existe.\) Como pelo teste da divergência, vimos que o limite não existe. Assim, \(\sum_{n=0}^{\infty} \cos(\pi n)\) é \underline{Divergente}.\ b) \(\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{5}{2 ^n}+\frac{1}{3 ^n}\right)\) Sabemos que \(\sum a_n + b_n = \sum a_n + \sum b_n\ , \ Assim\ \sum \frac{5}{2 ^n}+\frac{1}{3 ^n} = \sum \frac{5}{2 ^n}+\sum\frac{1}{3 ^n}\) Aplicando o teste da série geométrica, fazemos: \(\sum\frac{5}{2 ^n} \Rightarrow r = \frac{1}{2}\ ; \ a_o =\left(\frac{1}{2^o}\right) = 1\ 5 \sum \frac{1}{2 ^n} = \frac{a_o}{1-r} = \frac{1}{1-1/2} = 2 . 5 = \underline{10}\) \sum \frac{1}{3 ^n}\) \Rightarrow r = \frac{1}{3}\ ; \ a_o =\left(\frac{1}{3^o}\right) = 1 \sum \frac{1}{3 ^n} = \frac{a_o}{1-r} = \frac{1}{1-1/3} = \frac{3}{2}\ Como as séries converge então a soma das duas série é Convergente , logo \sum \left(\frac{5}{2 ^n}+\frac{1}{3 ^n}\right)\) é \underline{convergente}.\ - e temos: \sum \left(\frac{5}{2 ^n}+\frac{1}{3 ^n}\right)\) = 10 + \frac{3}{2} = \frac{23}{2}\ 2) a) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^3}\) Aplicando o teste da integral \int_1^{\infty} \frac{dx}{(2x+1)^3} = \text{fazendo a substituição:}\ u=2x+1 \frac{du}{2} = dx\ = \frac{1}{2}\lim_{t\to\infty}\int_3^t\ u^{-3}du = \frac{1}{2}\lim_{t\to\infty}\left[\frac{u^{-2}}{2}\right]_3^t = -\frac{1}{4}\left(0-\frac{1}{9}\right) = 1/36 < 1\ logo , a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^3}\) é \underline{convergente}. 2) b) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2+1} \quad \text{Aplicando o teste da integral:} \int_{1}^{\infty} \frac{x}{x^2+1} \, dx \quad \text{fazendo a substituição:} \quad u=x^2+1 \, du=2x \, dx \quad \Rightarrow \, \frac{du}{2}=x \, dx = \int_{1}^{\infty} \frac{du}{2u} =\frac{1}{2} \int_{2}^{\infty} \frac{du}{u} = \frac{1}{2} \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{2}^{t} \frac{du}{u} =\frac{1}{2} \lim_{t \rightarrow \infty} \left[ \ln(u) \right]_{2}^{t} = \frac{1}{2} \lim_{t \rightarrow \infty} \left[ \ln(x+1) \right]_{2}^{t} = \frac{1}{2} \lim_{t \rightarrow \infty} \left( \ln(t^2+1) - \ln(z^2+1) \right) = \infty \text{logo} \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2+1} \quad \text{Divergente.} 3) a) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n\sqrt{n}} \quad \text{Aplicando o teste da comparação:} \text{seja:} \quad \frac{n+1}{n\sqrt{n}} > \frac{1}{n} \quad \text{e é a série harmônica} \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \quad \text{é} \text{divergente, então pelo teste da comparação:} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n\sqrt{n}} \quad \text{é Divergente.} 3) b) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+2}}{2n^2+n+1} \text{seja:} \quad a_n = \frac{\sqrt{n+2}}{2n^2+n+1} \quad \text{e} \quad b_n = \frac{1}{n^2} \text{Temos que} \quad a_n \leq b_n, \quad \text{ou seja,} \quad \frac{\sqrt{n+2}}{2n^2+n+1} \leq \frac{1}{n^2}. \text{Como a série} \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \quad \text{é convergente, pois} \quad p=2 \quad \text{do tipo p-série.} \text{logo, pelo teste da comparação:} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+2}}{2n^2+n+1} \quad \text{converge.} 4) a) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n!} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \text{Usando} \quad b_n = \frac{1}{n!} \text{Pelo teste das série alternada, temos:} \ast \quad \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{6} - \frac{1}{24} \cdots (I) \ast \quad \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n!} = 0 \quad (II) 4) a) \text{Podemos ver que em (I) a série é decrescente e em} \text{(II) o limite é zero. Logo a série converge absolutamente.} \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} = \frac{1}{2} = 0,5 b) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} \cdot n^2}{10^n} \quad \text{Aplicando teste da série alternada.} \ast \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} \cdot n^2}{10^n} = \frac{1}{10} - \frac{1}{25} + \frac{9}{1000} - \frac{1}{625} + \frac{1}{4000} \cdots \quad (I) \ast \quad \lim_{n \rightarrow \infty} b_n, \quad \text{onde} \quad b_n = \frac{n^2}{10^n} \quad (II) \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^2}{10^n} = 0 \text{Como a série (I) é decrescente e em II é zero.} \text{Então a série converge absolutamente.} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} \cdot n^2}{10^n} = 0,0676 5) a) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{100} \cdot 100^n}{n!} Aplicando o teste da Razão \newline a_{n+1} = \frac{(n+1)^{100} \cdot 100^{n+1}}{(n+1)!} \quad e \quad \newline a_n = \frac{n^{100} \cdot 100^n}{n!} \newline \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+1)^{100} \cdot 100^{n+1}}{(n+1)!} \middle/ \frac{n^{100} \cdot 100^n}{n!} \right| \newline \lim_{n \to \infty} 100 \cdot \left| \frac{(n+1)^{100}}{(n+1) n^{100}} \right| = 100 \cdot \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+1)^{99}}{n^{100}} \right| = 100 \cdot \frac{1}{\infty} = 0 \newline Como \ o \ valor \ \lim < 1, \ então: \newline \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{100} \cdot 100^n}{n!}: \underline{Convergente} \newline Digitalizado com CamScanner 5) b) \sum_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n^2} Aplicando o teste da Raiz. \newline \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2/n} \newline = \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \quad \newline > 1 \newline Assim, \sum_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n^2} \underline{Diverge} \newline Digitalizado com CamScanner