Atividade 2-2022 2

Questão 1 Temos a seguinte equação para a velocidade V r uc1 r R 13 Logo a velocidade média é calculada por V 1 AV r dA Expressando a integral em coordenadas pelares temos V 1 π R 2 0 2 π 0 R V r rdrdθ V 1 π R 2 0 2 π 0 R uc1 r R 13 rdrdθ Logo temos V uc π R 2 0 2 π 0 R 1 r R 13 rdrdθ V uc π R 2 2π 0 R 1 r R 13 rdr V 2uc R 2 0 R 1 r R 13 rdr Para resolver a integral seja x1 r R r1x R drRdx Assim a integral fica V 2uc R 2 1 0 x 1 3 1x R R d x V 2uc R 2 1 0 x 1 3x 4 3R 2 dx V 2uc 0 1 x 1 3x 4 3dx V 2uc 3 4 x 4 33 7 x 7 3 0 1 V 2uc 3 4 3 7 V 6uc 1 4 1 7 V 6uc 74 28 V 6uc 3 28 V 3uc 3 14 Logo temos V uc 9 14 Questão 2 Fazendo o balanço de energia entre entrada e saída do bocal temos he V e 2 2 hs V s 2 2 Aqui as entalpias são obtidas a partir da tabela de ar como gás ideal he104604 kJ kg Logo temos hshe V e 2V s 2 2 hs104604 40 2500 2 21000 kJ kg hs92184 kJ kg Com esta valor de entalpia conseguimos interpolar o seguinte valor de temperatura a partir da tabela Ts890 K Questão 3 Aqui temos o seguinte perfil de velocidades u r umax1 r 2 R 2 Note que pela conservação da massa devemos ter QUAu r dA Logo a velocidade U é calculada por U 1 Au r dA Expressando a integral em coordenadas pelares temos U 1 π R 2 0 2 π 0 R u r rdrdθ U 1 π R 2 0 2 π 0 R umax1 r 2 R 2rdrdθ Logo temos U umax π R 2 0 2 π 0 R r r 3 R 2drdθ U umax π R 2 2π 0 R r r 3 R 2dr U2umax R 2 r 2 2 r 4 4 R 2 0 R U2umax R 2 R 2 2 R 4 4 R 2 U2umax R 2 R 2 2 R 2 4 U2umax 1 1 2 1 4 Uumax 1 11 2 Uumax 2 Aqui desconsiderando a presença do atrito a queda de pressão no tubo pode ser calculada por P1ρ U 2 2 P2 ρ 2 1 Au 2 r dA Logo temos PP1P2 ρ 2 1 Au 2 r dAρ U 2 2 P ρ 2 1 Au 2 r dAU 2 P ρ 2 1 π R 2 0 2 π 0 R u 2 r rdrdθU 2 P ρ 2 1 π R 2 0 2 π 0 R umax 2 1 r 2 R 2 2 rdrdθU 2 P ρ 2 umax 2 π R 2 0 2 π 0 R 12 r 2 R 2 r 4 R 4rdrdθU 2 P ρ 2 umax 2 π R 2 2π 0 R r2 r 3 R 2 r 5 R 4drU 2 P ρ 22 2U 2 R 2 r 2 2 2 r 4 4 R 2 r 6 6 R 4 0 R U 2 P ρ 2 8U 2 R 2 R 2 2 2 R 4 4 R 2 R 6 6 R 4U 2 P ρ 28U 2 1 21 2 1 6U 2 P ρ 2 U 28 1 61 P ρ 2 U 2 4 3 1 P ρU 2 6 Questão 4 Para este escoamento temos u3 y 22 x 2 y v2 x y 23 x 2 Para verificar a incompressibilidade calculamos u x v y 3 y 22 x 2 y x 2 x y 23 x 2 y 2 x 2 y x 2 x y 2 y 2 y x 2 x 2 x y 2 y 2 y 2 x 2 x 2 y 4 x y4 x y 0 Logo o escoamento é de fato incompressível Seja ψ a função de corrente Assim devemos ter ψ y u3 y 22 x 2 y ψ x v2 x y 23 x 2 Integrando ambas equações obtemos ψ y 3x 2 y 2f x ψx 2 y 2x 3g y Por comparação das equações temos f x x 3 e g y y 3 Logo a função corrente fica ψ y 3x 2 y 2x 3 Questão 5 A aceleração é dada pela seguinte equação au V x v V y w V z V t Logo temos ax 2t x 2t ixyt 2 jt yz k x xyt 2 x 2t ixyt 2 jt yz k y t yz x 2t ixyt 2 jt yz k z x 2t ixyt 2 jt yz k t Calculando obtemos a aceleração ax 2t x 2 ixy j0 k x xyt 2 0 ixy j yz k y t yz 0 i0 j yz k z t it 2 jt k t ax 2t 2 x i y j0 k xyt 20 ix jz k t yz 0 i0 j y k 1 i2t j1 k a2 x x 2t i y x 2t j0 k0 ix xyt 2 jz xyt 2 k0 i0 j y t yz k 1 i2t j1 k a2 x x 2t 1 i y x 2t x xyt 22t jz xyt 2 y t yz 1 k a2 x 32 xt1 ix 2 y ytx 2 yx t 22t jxyzt 2 z y t y 2 z1 k a2 x 32 xt1 i2 x 2 y ytx t 22t jxyzt 2 z yt y 2 z1 k Logo para o ponto x y z t 2112 temos a 21122 x 32 xt1 i2 x 2 y ytx t 22t jxyzt 2 z yt y 2 z1 k a 211222 32221 i22 2222 222 j22 2211 k a 21121681 i8284 j24 k a 21127 i18 j6 k Logo a intensidade é dada por a 21127 218 26 2 2022 Um perfil de velocidade adequado para descrever o escoamento turbulento em tubos é dado pela expressão 𝑣 𝑢𝑐𝑅𝑟𝑅13 𝑖 onde 𝑢𝑐 é a velocidade na linha de centro do tubo 𝑟 é a coordenada radial 𝑅 é o raio do tubo e 𝑖 o vetor unitário alinhado com a linha de centro do tubo Determine a razão entre a velocidade média 𝑣 e a velocidade no centro 𝑢𝑐 Seja o campo de velocidades no plano xyz de um escoamento em regime transiente é dado por 𝑣 𝑥2𝑡𝑗 𝑥𝑦 𝑡2𝑗 𝑡𝑦𝑧𝑘 Logo determine uma expressão para a aceleração deste escoamento Calcule a intensidade da aceleração no ponto 𝑥𝑦𝑧 211 no instante de tempo 𝑡 2 s