Atividade 7-2022 2

Mecânica dos Fluidos Semestre 20221 Professor Marcus V S Rodrigues UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO UFMA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA CCET CURSO CIÊNCIA E TECNOLOGIA 7ª ATIVIDADE ASSÍNCRONA 20072022 Observações a A atividade deverá ser respondida e enviada como um único arquivo PDF até as 12h00min meiodia da sextafeira dia 22 de julho de 2022 b As respostas deverão ser respondidas a mão e não digitadas por meio de algum editor de texto c A atividade respondida deverá ser enviada para o endereço eletrônico rodriguesmarcusufmabr d Não será aceito qualquer outro formato que não seja o PDF e Também não serão aceitas atividades entregues fora do prazo estipulado em a ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA 01 A potência P fornecida por uma bomba centrífuga é uma função da vazão volumétrica Q do diâmetro do rotor D da velocidade de rotação Ω da massa específica ρ e da viscosidade dinâmica μ do fluido Isto é P f Q D Ω ρ μ Reescreva isso na forma de uma relação funcional Sugestão Use Ω ρ e D como variáveis repetitivas que não formam um grupo Π EM 461 Prof Eugênio Rosa Capítulo 7 Aula 15 Análise Dimensional Teorema P Buckinghan No livro texto veremos as seções 72 a 76 do capítulo 7 A seção 71 será vista no curso II EM 461 Prof Eugênio Rosa Aplicação Análise Dimensional e Semelhança Os problemas reais são solucionados extraindose informações de dados experimentais simulações numéricas e modelos analíticos Isto ocorre de forma iterativa entre os modelos físicos e os dados experimentais Análise Dimensional permite determinar de modo simples e direto os parâmetros adimensionais que definem o problema a partir de um número mínimo de testes experimentais ou numéricos Conceito introduzido nesta aula número adimensionais Conceito utilizado nesta aula consistência dimensional aula1 EM 461 Prof Eugênio Rosa F18 Boeing F1 Ferrari 9899 Efeito do vento em construções Protótipo x Modelo Quando a realização de um teste experimental em um protótipo em tamanho real é muito dispendiosa podese pela semelhança realizar testes em um modelo de laboratório com um custo menor e inferir seus resultados para o protótipo EM 461 Prof Eugênio Rosa Medidas e Dimensões Na natureza há coisas que são contadas e outras que são medidas Por exemplo contamos n de moléculas mols e número de revoluções Elas são adimensionais Aquilo que medimos tipicamente possui dimensão Distância L metro Tempo T segundo Massa M kilograma Temperatura Kelvin EM 461 Prof Eugênio Rosa Definições dos padrões medidas e medidas compostas A aula 1 apresentou os padrões de massa comprimento e tempo As medidas foram definidas na aula 1 como t T m M t l L m l sendo por exemplo l a medida l um multiplo ou submúltiplo do padrão L no caso o metro O mesmo se aplica para massa e tempo As medidas compostas vem da combinação das grandezas M L e T Por exemplo a velocidade 1 v L T v Bridgman físico propõe que qualquer quantidade física x pode ser expressa como um produto das dimensões primárias que ela envolve M L T C as duas últimas referemse a temperatura e carga elétrica e d c b a C M T x L x A equação acima é conhecida como equação de Bridgman EM 461 Prof Eugênio Rosa Dimensões de algumas grandezas físicas K tensãotaxa def Potência Pot M L2 T3 EM 461 Prof Eugênio Rosa Natureza da análise dimensional Exemplo Arrasto numa esfera Arrasto depende de 4 parâmetros diâ esfera D velocidade V densidade viscosidade EM 461 Prof Eugênio Rosa Determinação da força de arrasto numa esfera Através de uma série com 10 medidas experimetais determine como força de arrasto numa esfera varia em função dos parâmetros Diâmetro da esfera Velocidade da esfera Densidade do fluido Viscosidade do fluido A combinação entre as quatro variáveis independents resultará em 10x10x10x10 or 104 testes Se este fosse a único modo de conhecer a influência das variáveis D V e na força de arrasto em esferas seria muito limitado Mas existe uma outra maneira de se fazer isto EM 461 Prof Eugênio Rosa Natureza da análise dimensional arrasto numa esfera Por meio da análise dimensional é possível agrupar a força de arrasto e as variáveis independents em dois grupos adimensionais Há somente uma variável adimensional independente VD e outra variável adimensional dependente F V2D2 Isto torna fácil montar um experimento para determiner a dependência de uma variável contra outra Também facilita a apresentação de resultados na forma de gráficos EM 461 Prof Eugênio Rosa Natureza da análise dimensional arrasto numa esfera EM 461 Prof Eugênio Rosa Teorema dos P de Buckingham Qualquer relação física entre variáveis dimensionais pode ser formulada como uma relação entre variáveis adimensionais O Teorema dos P diz quantas variáveis adimensionais são requeridas para um dado conjunto de variáveis dimensionais do problema Antes de introduzir o teorema dos P vamos definir a matriz dimensional do problema EM 461 Prof Eugênio Rosa 1 Matriz Dimensional do Problema Ela é formada listando os expoentes abcd etc das dimensões primárias M L e T de cada variável Para o problema do arrasto na esfera sólida temos D U F M 0 1 1 0 1 L 1 1 3 1 1 T 0 1 0 1 2 O propósito da matriz dimensional é checar a independência linear das variáveis dimensionais em termos das dimensões primárias escolhidas M L T Isto é feito determinandose o rank da matriz O rank é o determinante de todas possíveis submatrizes quadradas começandose pela maior até encontrar uma cujo determinante é não nulo EM 461 Prof Eugênio Rosa 2 Rank r da Matriz Dimensional Se o determinante de todas possíveis submatrizes 3x3 for nulo então verificase o determinante de todas possíveis submatrizes 2x2 A ordem da submatriz cujo determinante for nãonulo define o rank da matriz Exemplo do arrasto na esfera sólida o rank é r 3 D U F M 0 1 1 0 1 L 1 1 3 1 1 T 0 1 0 1 2 D U F M 0 1 1 0 1 L 1 1 3 1 1 T 0 1 0 1 2 ou Basta achar um determinante 3x3 não nulo que garante que o rank da matriz é 3 EM 461 Prof Eugênio Rosa 3 Teorema dos Ps 1914 Num problema onde um parâmetro físico dimensional é dependente de outros n1 parâmetros físicos dimensionais e independentes a dependência funcional pode ser expressa por meio de variáveis adimensionais Ps numa forma mais simples que contêm somente n r variáveis r é o rank Note que o número de variáveis independentes do problema reduz de n1 para nr n 4 3 2 1 f q q q q q n r 4 3 2 1 f P P P P P EM 461 Prof Eugênio Rosa 4 Formando os Ps Os parâmetros Ps são formados escolhendose uma base de repetição A base contém r variáveis dimensionais do total de n que contenha entre elas as r dimensões Cada grupo P é a combinação da base com cada uma das outras n r variáveis a b c d 1 1 2 3 4 base a b c d 2 1 2 3 5 base a b c d n r 1 2 3 n base q q q q exemplo para r 3 q q q q q q q q P P P As potências a b c d devem ser escolhidas de forma que cada P seja um adimensional EM 461 Prof Eugênio Rosa 4 Formando a base O número de variáveis da base é igual ao rank r usualmente ele coincide com o número de dimensões do problema As r variáveis da base não podem ser linearmente dependentes de forma que a submatriz dos seus expoentes dimensionais tenha determinante não nulo Evitar variáveis que possam serem derivadas da outra por uma produto de potências Combinação entre comprimento L velocidade LT1 e aceleração LT2 é linearmente dependente Podese combinálas de forma que o resultado seja adimensional Combinação entre comprimento L densidade ML3 e velocidade LT1 é linearmente independente e pode formar uma base porque qualquer que seja o produto entre elas nunca será adimensional EM 461 Prof Eugênio Rosa Exemplo 1 força de arrasto numa esfera sólida Passo 1 Liste todos as variáveis dimensionais que definem o problema No exemplo da esfera as variáveis são F V D e n 5 n é o número de variáveis independentes Passo 2 Selecione um conjunto de dimensões primárias por exemplo MLT ou FLT No exemplo da esfera escolhas MLT EM 461 Prof Eugênio Rosa Examplo 1 continuação Passo 3 Monte a matriz dimensional Passo 4 Determine o rank da matriz r 3 Passo 5 Determine o número de grupos adimensionais a serem formados 5 3 2 D U F M 0 1 1 0 1 L 1 1 3 1 1 T 0 1 0 1 2 EM 461 Prof Eugênio Rosa Step 6 O determine o número de variáveis da base 3 Frequentemente ele é igual ao rank da matriz Step 7 Escolha as 3 variáveis da base de forma que elas sejam dimensionalmente independents isto é não é possível formar um grupo adimensional a partir da escolha a menos que o expoente seja zero 0 As variáveis escolhida sãoaDbUc Observe que para qualquer escolha a b c diferente de zero não é capaz de forma um grupo adimensional portanto esta é uma base correta c b a 3 T L L L M Examplo 1 continuação EM 461 Prof Eugênio Rosa Passo 8 Formando os grupos adimensionais Ps Use as variáveis da base e combine com as variáveis que restaram a b c 1 base a b c 2 base D U D U F P P Examplo 1 continuação EM 461 Prof Eugênio Rosa Passo 9 Determine os valores dos expoentes a b c e d Se os grupos Ps são adimensionais então os expoentes das dimensões M L T devem ser iguais a zero Portanto a b c e d são determinados forçando os expoentes de M L e T serem iguais a zero 2 b 0 c b 3a 1 exponent L 2 c 0 c 2 exponent T 1 a 0 a 1 exponent M 1 b 0 c b 3a 1 exponent L 1 c 0 c 1 exponent T 1 a 0 a 1 exponent M a b c 1 2 2 base a c 0 0 0 b 3 2 F D U F U D M L ML M L T L L T T P a b c 2 base a c 0 0 0 b 3 D U U D M L M M L T L L T LT P Examplo 1 continuação EM 461 Prof Eugênio Rosa Passo 10 A relação functional entre a força coeficiente de arrasto e as demais variáveis Reynolds é mostrada abaixo 2 2 2 2 1 2 4 F F U D f ou g U D U D U D Examplo 1 continuação EM 461 Prof Eugênio Rosa Alguns adimensionais importantes em mecânica dos fluidos Número de Euler ou coeficiente de pressão Número de Reynolds Número de Froude EM 461 Prof Eugênio Rosa Alguns adimensionais importantes em mecânica dos fluidos Número de Cavitação Número de Mach Número de Weber EM 461 Prof Eugênio Rosa L G gL Eo L EM 461 Prof Eugênio Rosa Exemplo 2 A tensão de cisalhamento na parede w em uma camada limite depende da distância a partir da borda de ataque do objeto x da massa específica da viscosidade do fluido e da velocidade da corrente livre U Obtenha o grupos adimensionais e expresse a relação funcional entre eles w 2 Resp Ux f U EM 461 Prof Eugênio Rosa Diagrama de Moody e o fator de Atrito f EM 461 Prof Eugênio Rosa httpwww2umteduGeologyfacultyhendrixg100shallowdeepwavesjpg Deep waves are characterized by the water to be at least half the wavelength deep As seen from the figure half the wavelength beneath the surface of the water and deeper there is no movement of the water particles due to the wave 1 2 D Ondas em águas profundas Se o comprimento de onda for menor que ½ da profundidade D o movimento da onda não chega no leito oceânico EM 461 Prof Eugênio Rosa httpwww2umteduGeologyfacultyhendrixg100shallowdeepwavesjpg Shallow waves are characterized by the depth of the water being at least 20 times smaller than the wavelength of the wave This makes the orbits of the water particles to be essentially flat especially at the bottom of the ocean This way it preserves most of its energy while traveling over a flat surface since the movement of the water is almost parallel to the surface and friction is very small D 20 Ondas em águas rasas EM 461 Prof Eugênio Rosa Exemplo 3 Água rasa A velocidade V de uma onda de superfície livre devido à gravidade é uma função do comprimento de onda da profundidade D da massa específica e da aceleração da gravidade g Use a análise dimensional para determinar a dependência funcional de V em relação às outras variáveis Expresse V na forma mais simples possível 2 Resposta V f em agua rasa f 1 gD D D portanto V gD EM 461 Prof Eugênio Rosa Tsunami Dec 26th2004 acesse wiki Profundidade média do pacífico 3000m Velocidade da onda VgD05 V650 kmh ou aprox 7h30 para viajar 5000km Tsunami is characterized by shallowwater waves the wavelength is much greater than the water depth The orbit of the particles are mostly transverse and the transverse velocity does not vary with depth EM 461 Prof Eugênio Rosa Exemplo 4 A potência P requerida para acionar um ventilador depende i da densidade do fluido ii da vazão em volume Q iii do diâmetro das pás D e iv da velocidade angular w Use a análise dimensional para determinar a dependência de P em relação às outras variáveis 2 3 3 P Q f D D D w w w EM 461 Prof Eugênio Rosa Filme Como Surgem os Grupos Adimensionais Re Fr etc Numa primeira abordagem o aluno pode imaginar que o arranjo que formam os grupos adimensionais são arbitrários Note que uma combinação linear de grupos adimensionais também é um adimensional Porém todos os grupos adimensionais possuem significado físico Re Fr Ca Ma We etc Eles aparecem naturalmente na forma adimensional das equações de transporte forma diferencial veja Cap 7 sec 71 do livro texto Este tópico será visto no curso 2 Quando é garantido a similaridade então está também garantido que os coeficientes das Eq de transporte são os mesmos protótipo e modelo Será realizado um exemplo de adimensionalização de uma EDO para desenvolver este conceito EM 461 Prof Eugênio Rosa Um foguete com massa inicial M0 descarrega um fluxo de massa m em regime permanente com velocidade Vj relativa ao foguete Despreze a resistência do ar i determine a expressão para aceleração do foguete ii encontre uma expressão para a velocidade do foguete Foi visto não cap 4 que a aceleração do foguete e que a velocidade foguete é mVj M m t g dU dt M m t j 1 U V Ln g t M m 1 t Vj m Como surgem os grupos adimensionais Para conhecer os possíveis valores que U pode ter em função de Vj M t e m seriam necessárias várias curvas j 1 U V Ln g t 1 t onde M m Solução p U EM 461 Prof Eugênio Rosa j j mV dU 1 g U V Ln g t M m dt 1 t M m t Grupos adimensionais a aceleração j d 1 t onde M m razão de tempos d 1 gM V m raz U ão de t t t forças A aceleração adimensional usa as escalas de velocidade Vj e de tempo Os adimensionais de U e t são U UVj e t t Note que a CI é U0 0 e que K é um grupo adimensional Modelos que possuem a mesma CI e o mesmo K MgVjm possuem a mesma solução Não é necessário resolver novamente a EDO 1 Ln 0 t1 U K t t 0 U 0 t para 1 A solução da eq é Como surgem os grupos admensionais Das equações diferenciais que governa o fenômeno Em em561 vamos ver a eq NavierStokes de onde originam os adimensionais vistos no início da aula EM 461 Prof Eugênio Rosa Curvas adimensionais para o foguete de água No eixo y U UVj No eixo x t t ou t tmM O parâmetro K é constante para cada curva sendo K gMVjm A massa do foguete é M Mw Mf e o foguete tem propulsão até a água acabar logo tmax Mwm A máxima velocidade que o foguete atinge é para t tmax ou w w f M m w max max max max w f m M M M t t t t M M Pode ser concluido que i t máx corresponde a porcentagem de água na massa total ii Quanto menor for K maior será a velocidade máxima EM 461 Prof Eugênio Rosa Exercício 1 A potência P necessária para acionar uma hélice operando no ar depende das seguintes variáveis i velocidade da corrente livre V ii diâmetro da hélice D iii velocidade angular w iv viscosidade do fluido v densidade do fluido e vi velocidade do som no fluido c Quantos grupos adimensionais são necessários para caracterizar esta situação Obtenha os grupos adimensionais 2 5 3 Resp P V D D f D D c w w w w EM 461 Prof Eugênio Rosa Sobre a base de repetição Exemplo 1 arrasto esfera aDbUc Exemplo 2 placa plana axbUc Exemplo 3 água rasa aDbVc Exemplo 4 soprador de ar aDbwc Exercício 1 hélice aDb wc Note que as bases tem uma variável com massa outra com comprimento e outra com velocidade ou tempo Por que escolhemos estas bases Elas resultam nos grupos Re Ma Fr etc E se eu escolher outra base Irá surgir um grupo adimensional que pode ser expresso por grupos adimensionais conhecidos Refaça o exemplo 1 com a base aDbUc Haverão dois grupos adimensionais FUD e UD O 2º grupo é o Re mas o primeiro não é identificado com nenhum grupo adimensional por isso vc nunca vai encontrar uma tabela de coeficiente de arrasto com este grupo Mas o grupo FUD pode ser expresso por outros grupos adimensionais D D 2 2 F F UD C Re C Re g Re UD U D Está disponível CD fRe mas não temos disponível CDRe gRe Não está errado mas vc não encontra dados para comparar EM 461 Prof Eugênio Rosa Exercício 2 Aplique o a análise dimensional no foguete de água e ar comprimido para encontrar os grupos adimensionais que governam o deslocamento do foguete Considere j dU 1 1 U Ln K t 0 t1 1 t dt 1 t onde gM V m 1 Variáveis U fVj M m g t n 6 2 Dimensões básicas M L T 3 Rank da matriz r 3 4 No Grupos Ps n r 3 5 No variáveis de repetição rank 3 6 Variáveis de repetição Vj m e M 1 2 3 j j 1 2 3 U m M t e g V M V m U t e K P P P P P P Compare os grupos Ps contra os adimensionais da EDO EM 461 Prof Eugênio Rosa Exercícios recomendados 1 The torque T required to turn the coneplate viscometer on the radius R rotation rate w fluid viscosity and cone angle Rewrite this relation in dimensionless form How does the relation simplify it if it is known that T is proportional to 2 3 4 5 Problema 1 nose cone draft tube adustable blades guide vanes drive shaft Problema 3 sea floor incident wave floating buoy Problema 4 Problema 5 EM 461 Prof Eugênio Rosa Exercícios recomendados Aula 15 1 Resp 𝑇 𝜇ΩR3 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝜃 𝑇 𝜃 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑇 𝜇ΩR3 𝜃 𝑐𝑡𝑒 2 Resp h ML2 ΘT3L2 St ℎ 𝜌𝑉𝐶𝑝 3 Resp 𝑀 𝜌ΩD2 𝑄 i Fator 4 de torque para D 2 ii Fator 2 de torque para Ω 2 4 Resp 𝑓 𝐷 𝛾 𝑚 Para m2 f1414 ou seja f aumenta 414 5 Resp Π1 Ω 𝐿 𝑔 Π2 h L FIM EM 461 Prof Eugênio Rosa