Camada Limite em Fenômenos de Transporte

CAP X CAMADA LIMITE Fenômenos de Transporte 101 Teoria da Camada Limite camada limite cinética laminar sobre uma placa plana O fluido ao escoar próximo a um sólido sente a presença do sólido ou seja sofre influência deste No entanto qual propriedade do escoamento sofre essa influência e como poderemos medila As propriedades podem ser pressão força dentre elas a tensão de cisalhamento e velocidade Quanto mais próximo do sólido maior a variação da propriedade quanto mais longe maior a uniformidade da propriedade ou seja o fluido se comporta como se o sólido não existisse Isso significa que se o sólido não estivesse presente não haveria variação das propriedades dinâmicas do fluido Imagine quer você joga uma pedra num lago Próximo ao local onde caiu a pedra haverá perturbação mas longe deste local a água permanece parada No entanto temos uma limitação prática pois os sensores usados para medir essas propriedades têm um limite de sensibilidade Por exemplo um sensor de velocidade tem sensibilidade para 01ms Suponha que a velocidade do fluido muito longe da superfície seja 5 ms A velocidade da camada de fluido em contato com a superfície será zero se o sólido estiver parado Assim a velocidade do fluido vai variar de 0 a 5ms mas o sensor só vai conseguir medir variações de 0 a 49ms Para o sensor não existe 491 ou 499 ou seja ele não enxerga mais variação de velocidade para velocidades acima de 49ms e é como se o sólido não existisse e o fluido não estaria perturbado Na prática quando estamos muito perto do sólido o sensor é sensível quando estamos muito longe ele é insensível Esta região dentro da qual os sensores são capazes de medir variações é chamada de CAMADA LIMITE CL É uma região fictícia que serve justamente para separar a região de escoamento longe da superfície onde os efeitos viscosos são desprezíveis e a região de agarramento ou não escorregamento do fluido sobre o sólido onde os efeitos viscosos estão presentes Q1 Existe alguma diferença entre fazer escoar um óleo ou um gás se não houver uma superfície sólida por perto DEFINIÇÃO Camada limite é a região arbitrária do espaço dentro da qual a presença do sólido se faz sentir onde não são observadas variações significativas de pressão e onde a velocidade do fluido é igual ou menor a 99 da velocidade do fluido não perturbado Difícil Não Veja a Figura 1 onde é representada a CL sobre uma placa plana Antes da placa o escoamento do fluido não sabe da existência dela e sua velocidade é v Mesmo na região x0 portanto sobre a placa haverá uma região muito acima da placa na qual o escoamento não é perturbado pela existência da placa e a velocidade do fluido ainda é v Na superfície da placa y 0 a velocidade do fluido é igual à velocidade da placa no caso zero por que a placa está parada Assim a camada limite é região dentro da qual a velocidade do fluido vai de zero a 99 de v Figura 1 Camada limite cinética v v v v 099v v 099v v 099v Q2 Dentro da CL a velocidade do fluido vai variar só em uma direção ou em mais de uma Qual é a direção do escoamentoE fora da CL Fora da Camada Limite não há resistência ao escoamento e portanto a resistência está localizada no interior da CL Este conceito de resistência ao escoamento pode ser expandido para as resistências às transferências de calor e de massa ou seja acima da camada limite não variam nem temperatura nem concentração e conseqüentemente não há troca de calor ou massa lembrese que o que promove troca de calor massa e quantidade de movimento são diferenças de temperatura concentração e velocidade respectivamente Variações de temperatura concentração e velocidade só ocorrerão dentro da CL Para lembrar a CL é a região do espaço onde estão localizadas as resistências ao movimento e aos transportes de calor e de massa A camada limite hidrodinâmica e também as de calor e de massa pode ser dividida em três regiões bem distintas CL laminar onde o escoamento é bem ordenado e os efeitos viscosos são mais intensos que os inerciais É possível observarse um perfil de velocidade bem definido e serem identificadas propriedades locais do escoamento CL turbulenta onde o escoamento é totalmente desordenado e os efeitos inerciais são preponderantes As propriedades locais variam muito e é mais conveniente trabalharse com propriedades médias no tempo Admitese um perfil plano de velocidade CL de transição o nome já diz É a transição entre as CLs laminar e turbulenta Mesmo na CL turbulenta haverá uma região do espaço muito muito próximo à placa dentro da qual os efeitos viscosos são preponderantes é a sub camada laminar Nela o perfil de velocidade também é bem definido Na Figura 2 são apresentados os perfis de velocidade dentro da camada limite Os limites de velocidade para os quais a CL pode ser considerada laminar transição ou turbulenta variam de acordo com a geometria do sólido e a disposição do escoamento em relação ao sólido se paralelo ou perpendicular Na Tabela 1 estão os v 0 Figura 2 Perfis de velocidade dentro da camada limite 0 v 099v limites para escoamentos paralelo à placa plana e interno a tubos circulares Para placas planas na prática desprezase a transição e assumese que a CL turbulenta começa em Rex 5 105 observe que a definição de Reynolds depende da geometria No equacionamento do movimento do fluido dentro da CL usamse as equações de NavierStokes balanço diferencial de quantidade de movimento e a equação da continuidade admitindose com as seguintes simplificações Fluido incompressível cte Escoamento isotérmico cte Regime permanente Escoamento bidimensional vx 0 vy 0 P Não há gradiente de pressão na direção y y 0 v x y Tabela 1 Faixas de Reynolds correspondentes às transições entra as CL Geometria Re Faixa Placa Re x v x Laminar Rex 5 105 Transição 5 105 Rex 3 106 Turbulento Rex 3 106 Tubo Re D v D Laminar Rex 2100 Transição 2100 Rex 10000 Turbulento Rex 10000 Normalmente o valor de Rex onde ocorre a transição entre o escoamento laminar para turbulento é denominado Reynolds crítico Rec e a posição x de posição crítica xc Com estas simplificações o balanço diferencial de massa equação da continuidade se torna vx x vy 0 y 1 e escrevendo as equações de NavierStokes nas direções x e y resulta em vx vx P 2 vx Direção x vx x v y y x y 2 2 Direção y vx v y v y v P 2 v y 3 x y y x 2 Comparandose termo a termo as equações 2 e 3 chegase à conclusão que os termos da equação 2 são maiores do que os termos correspondentes da equação 2 de modo que para uma solução razoavelmente satisfatória do problema temos somente que resolver a equação 2 o que já não é fácil Vamos apresentar somente alguns resultados desta solução 102 Espessura da Camada Limite Laminar Blasius trabalhou em uma solução por substituição de variáveis Assim ele tratou de combinar todas as variáveis independentes x y e v numa única variável y 4 Se é a espessura da camada limite laminar numa dada posição x a velocidade num ponto x que separa as duas regiões é vx 099 v Utilizando este raciocínio e a variável na equação 2 resulta num valor exato para ou seja 5 Assim a espessura da camada limite y será dada por 5 v x 5 como Re x v x 103 Tensão de cisalhamento máxima sobre a placa plana na CL Laminar o Coeficiente de Arraste O máximo de tensão em outras palavras o máximo de atrito dentro da camada limite ocorrerá sobre a superfície da placa y 0 onde o fluido tem velocidade nula Assim vamos aplicar a lei de Newton na posição y 0 ou seja máx y 0 p y 0 6 Portanto para obtermos máx precisamos conhecer o perfil de velocidade vxy e aplicarmos a derivada ao ponto y 0 Na Figura 3 é apresentado o perfil de velocidade adimensional sobre uma placa plana em função da variável Para valores pequenos de o que eqüivale a dizer muito próximo à placa a curva tornase uma reta cuja tangente é 0334 ou seja para uma dada posição x é possível calcular o gradiente de velocidade da seguinte forma y 0 y 0 0334 v 7 Figura 3 perfil de velocidade sobre placa plana Substituindo a equação 7 em 6 temse px 0332 v 5 x Rex 5 Espessura da CL Laminar x v vx y vx vx y v x v x L x x p 0332 v x x Re x 8 Em termos de Rex resulta A tensão de cisalhamento calculada pela equação 8 é local pois foi obtida para um ponto específico da placa veja que x aparece no denominador de Rex Para obter a tensão média é necessário integrar a equação 8 para a placa toda 0 x L o que vai resultar em Tarefa 1 fazer a integração e obter L L 2 px 9 Da mesma forma que se define o fator de atrito em tubos podemos definir o fator de atrito para placas mais conhecido como fator de arraste O fator de arraste local Cfx é definido como a razão entre o máximo cisalhamento possível e a máxima energia cinética possível ou seja 10 o termo v 2 2 também é conhecido como pressão dinâmica Pd ou pressão de Pitot Substituindo o valor de p da equação 8 na equação 10 temse 11 e o coeficiente médio da mesma forma que a tensão de cisalhamento média sai por integração para a placa toda ou seja onde Re v L 12 Q3 Qual a diferença entre Rex e ReL 104 Coeficiente de Arraste para a Camada Limite Turbulenta Para o escoamento turbulento as equações 2 e 3 e todo aquele raciocínio de Blasius continuam valendo Assim para o escoamento turbulento sobre uma placa plana a espessura da camada limite hidrodinâmica será h 0376 x Re1 5 13 A tensão de cisalhamento local será dada por 00288 v 2 x px Re1 5 14 Cf x p x v2 2 Cf x 0664 Re 1 2 x Cf L 1328 Re 1 2 L L A tensão de cisalhamento média é dada de novo pela integração da tensão local sobre a placa resultando em 0036 v2 Re1 5 15 Tarefa 2 integrar a equação 15 para x variando de 0 a L O coeficiente de arraste local continua sendo definido pela equação 10 16 e o coeficiente de arraste médio é 17 Q4Numa placa temos uma CL laminar e uma CL turbulenta Como calcular o coeficiente de arraste total 105 Camada Limite dentro de Tubos O que chamamos de efeito de entrada dentro uma tubulação na verdade é a região na qual é desenvolvida a camada limite conforme mostra a Figura 4 Para escoamento laminar o comprimento a partir do qual o escoamento pode ser considerado plenamente desenvolvido comprimento crítico Lc é dado pela equação de Langhaar 1942 Lc 00575 Re D D onde Re D v D 18 Por exemplo se água 106 m2s estiver escoando a 3 cms num tubo de 5cm de diâmetro ReD 1500 o comprimento a partir do qual o perfil de velocidade pode ser considerado plenamente desenvolvido será igual a 43m Para escoamento turbulento ReD 10000 o comprimento de entrada não depende mais da velocidade do fluido nem de ReD e só depende do diâmetro do tubo sendo dado por Lc 50 D 19 106 Coeficiente de arraste ao redor de cilindros e esferas Para escoamento ao redor de cilindros e esferas o número de Reynolds é definido por Cf x 00576 Re 1 5 x Cf L 0072 Re 1 5 L L D Re v Dext onde Dext é o diâmetro externo do cilindro ou da esfera Para entender a física envolvida na camada limite que surge quando do escoamento de um fluido em torno de um objeto leia da pág 134 à pag 139 do Bennett Se o escoamento for muito lento significa que as forças viscosas são muito intensas e o fluido contorna o objeto Conforme a velocidade vai aumentando começa a haver uma separação da camada limite atrás do objeto dando origem a uma zona de baixa pressão como mostra a Figura 5 Figura 5 Escoamento de um fluido ao redor de uma superfície curva a Escoamento a baixas velocidades b e c velocidades moderadas d altas velocidades Para esferas percoladas por fluidos newtonianos escoando a baixas velocidades ocorre o regime de Stokes que é válido para Re D 10 A rigor Stokes desenvolveu seu equacionamento até ReD 01 mas ele pode ser estendido até Re 10 Neste regime o coeficiente de arraste CD é dado por CD 24 Re D 20 A partir do coeficiente de arraste dado pela equação 20 como poderemos obter a força que o fluido exerce sobre o sólido ou seja a força de arraste Vamos voltar lá no começo da matéria de FT I CAP II e fazer um balanço de envoltória para a situação ilustrada na Figura 6 Nesta situação uma esfera está descendo num fluido parado e as seguintes hipóteses são admitidas fluido Newtoniano sem efeito de entrada esfera isolada esfera com velocidade constante o que chamamos de velocidade terminal fluido infinito não há efeito da parede do tubo que contém o fluido sobre a queda da esfera Para esta situação as forças envolvidas são peso Fp empuxo Fe e arraste Fa que somadas no balanço resultam Fp Fa Fe 0 21 v t Figura 6 Forças atuantes em ume esfera em queda livre onde Fp ms g 22 Fe mf g ms f g s v 2 23 Fa CD f Ap t 2 24 onde ms e mf são as massas do sólido e do fluido deslocado respectivamente s e f são as densidades do sólido e do fluido respectivamente vt é a velocidade terminal da partícula Ap é a área projetada da partícula que para esferas é d2 4 Desta forma podese calcular a força de arraste pela equação 24 e a velocidade terminal pela equação a seguir 2 g m 1 2 vt s f s 25 Ap CD s f As equações 24 e 25 valem para qualquer partícula de qualquer geometria e a qualquer velocidade Para esferas estas equações se tornam Fa CD f 2 d 2 t 8 26 4 g s f d 1 2 v t 3 CD f 27 Se o escoamento estiver no regime de Stokes ReD 10 a equação resultante será g s f d 2 v 18 28 Na Tabela 2 são apresentados fatores de arraste para esferas a vários ReD D Tabela 2 Fatores de arraste para esferas percoladas por fluidos newtonianos Coeficiente de Arraste CD Faixa de ReD CD 24 Re 10 CD 24 Re 0646 1 ReD 400 CD 05 400 ReD 3 105 CD 0000366 ReD04275 3 105 ReD 2 106 CD 018 ReD 2 106 D