Equação Geral da Condução de Calor - Capítulo 2 de Ozisik

CAP II EQUAÇÃO GERAL DA CONDUÇÃO DE CALOR Cap 2 Ozisik 22 Desenvolvimento da Equação Geral Antes de começarmos o desenvolvimento da equação geral da condução de calor vamos recordar alguns conceitos Elemento de volume representativo do sistema ELV é a menos porção de um sistema ou material que ainda tem as mesmas propriedades físicoquímicas deste sistemamaterial O fluxo de calor dáse perpendicularmente à superfície que ele atravessa Ou seja se o escoamento de calor ocorre na direção y o fluxo atravessa o plano xz Seja um ELV de um corpo sólido que está exposto a um fluxo de calor como ilustrado na Figura 1 O calor que entra na face esquerda do elemento posição x através do plano yz atravessa o elemento e sai na face posicionada em x dx Se a quantidade de calor que entra em x for diferente da que sai em xdx isso se deve a algumas possíveis causas a O calor saiu pelas outras faces ou seja pelos planos xz e xy Neste caso dizse que o problema é bidimensional ou tridimensional Se não houver variação da temperatura no tempo b O elemento de volume acumula calor na forma de energia entalpia c O elemento de volume gera calor a uma taxa constante ou variável Estes mecanismos podem ocorrer isoladamente ou em conjunto de modo que o regime pode ser estacionário ou transiente Se o mecanismo a ocorrer isoladamente o regime será necessariamente estacionário Se o mecanismos a ocorrer em conjunto com o c o tipo de regime dependerá da taxa de calor gerado constante ou variável No caso do mecanismo b necessariamente o regime será transiente Na Figura 1 Qg e Qac são os calores gerado e acumulado POR UNIDADE DE VOLUME As taxas de calor trocado através das faces são representadas por qx plano yz qy plano xz e qz plano zy Desdobrandose os calores que saem do elemento de volume em x dx y dy e z dz em série de Taylor ANEXO1 desprezandose os termos de ordem superior chegase a qxdx qx qx dx x 1 qydy qy qy dy y 2 qzdz qz qz dz z 3 Os calores gerado e acumulado por unidade de volume Qg e Qac podem ser usados para calcular as taxas de calor gerado qg e acumulado qac através das seguintes expressões q Q dxdydz 4 calor gerado g g calor consumido qac Qac dxdydz Cp T dxdydz t 5 x y z qx dx qy dy qz dz Q dxdydz C Tdxdydz x y z g p t 7 Figura 1 elemento de volume sujeito a um escoamento de calor por condução BALANÇO DE ENERGIA TÉRMICA Fazendose a soma dos calores que entram no ELV através de sua superfície com as energias geradas eou acumuladas no interior do ELV temse Calor que entra no ELV por condução Energia gerada no ELV Energia acumulada no ELV Calor que sai do ELV por condução Nos termos definidos anteriormente esta expressão se torna qx q y qz Q g dxdydz qxdx q ydy qzdz Cp T dxdydz t 6 Substituindose pelas relações 1 2 e 3 a equação do balanço de energia térmica se torna Esta expressão é geral não ficando limitada à lei de Fourier e nem aos fenômenos de condução Nos casos de transferência de calor no interior de sólidos o mecanismo de condução é o mais significativo e a lei de Fourier pode ser aplicada ao calor que escoa no interior do elemento de volume ou seja q kdydz T x q kdxdz T y q kdxdy T z 8a 8b 8c Substituindose a equação 8abc na equação 7 e dividindose ambos os membros pelo elemento de volume dxdydz chegase a k T 2 T 2 T 2 x 2 y2 z 2 Qg Cp T t 10a 2 T 2 T 2 T Q g Cp T x 2 y2 z 2 k k t 10b 2 T 2 T 2 T Q g 1 T x 2 y2 z 2 k t 10c Coordenadas cartezianas 2 T 2 T x 2 y2 z2 2 T 2 T 13a Coordenadas cilíndricas 2 T 1 T 1 2 T 2 T r r r r r 2 2 z2 13b Coordenadas esféricas 2T r 13c 2 T Q g 1 T k t 12 que é a Equação geral da condução de calor Esta forma de escrever o balanço de calor transferido por condução é uma das mais gerais possíveis admitindo a possibilidade de variação da condutividade térmica no interior do elemento de volume Para os casos em que a condutividade térmica possa ser considerada constante temse que Onde Cp é a difusividade térmica do material e expressa sua capacidade em conduzir calor em oposição à sua tendência de armazenar calor A equação 10c pode ser escrita de uma forma compacta utilizandose o operador laplaciano qual seja 2 T 2 T x 2 2 T y2 2 T z2 11 Assim a equação 10b se torna A equação 12 pode ser aplicada a qualquer geometria bastando que se escreva o laplaciano na geometria desejada ou seja 1 2 T 1 2 T 1 sen T r 2 r r r 2 sen2 2 r 2 sen2 T x x y y z z k k k Q T T g Cp T t 9 k Sem geração de calor 2ª lei de Fourier 2 T 1 T t 14 Sem acúmulo de energia Equação de Poisson 2 T Q g 0 k 15 Sem geração de calor ou acúmulo de energia equação de Laplace 2 T 0 16 z r P zr r P z Coordenadas cilíndricas Coordenadas esféricas Algumas situações especiais da equação 10 são Para resolver um problema usando a equação geral da condução de calor serão necessárias uma condição no tempo e duas condições de contorno para cada direção de análise problemas unidimensionais 2 condições bidimensionais 4 tridimensionais 6 Condição no tempo normalmente adotase uma condição inicial ou seja para t 0 T To onde To pode ser uniforme constante para qualquer posição ou variar com a posição Se variar no espaço a função de To com a posição deve ser fornecida Condição de contorno de primeira espécie temperatura constante no contorno para x 0 t 0 T Tp É usada quando o coeficiente convectivo de transferência de calor h é muito elevado como no caso de vapor condensante água em ebulição ou água com muita agitação Nestes casos dizse que a resistência externa ao transporte de calor é desprezível Condição de contorno de segunda espécie fluxo de calor constante no contorno para x 0 t 0 qs cte qs k x 0 cte É usado quando há um fluxo de calor constante na superfície como o calor que é irradiado do Sol sobre um coletor solar O caso extremo dessa condição é quando consideramos que há um isolamento perfeito sobre a superfície Nesse caso qual seria o valor de qs Contorno de terceira espécie convecção constante na superfície para x 0 h Ts Tref k x 0 Este é o contorno mais correto porque entre uma superfície sólida e um fluido sempre há convecção Esta condição de contorno é usada quando o sólido está em contato com gases a qualquer velocidade e líquidos parados ou a baixas velocidades Observação quanto aos contornos não necessariamente todas as faces do sólido estarão sujeitas ao mesmo contorno Por exemplo uma face de um coletor recebe calor do Sol e a outra está em contato com um gás à uma dada velocidade quais contornos seriam T x T x ANEXO 1 Série de Taylor Seja uma função fx em cujo intervalo está contido o ponto x a A derivada de fx no ponto a pode ser dada por f x f a x a x a f a f a x a A1 Lembrese que a derivada de uma função é representada por f k lim k0 f k f k k k A2 Ou seja f a f x f a x a A3 com k x a sendo a muito pequeno Se a for realmente muito pequeno a equação A3 será bem precisa mas se não for será necessário expandir a função fx em polinômios de ordem superiores o que é chamado de série de Taylor ou seja f x f a f a x a f a x a 2 f a x a3 A4 2 3 No nosso caso sabemos quanto vale o calor que entra em x e queremos saber quanto calor sai em x dx Assim seguindo nossa notação x a dx f x qx dx f a qx de modo que o calor que entra na face x qx e sai na face xdx qxdx será expandido em série de Taylor da seguinte forma qx 1 2qx 2 1 3qx 3 qxdx qx dx x 2 dx x 2 dx 3 x3 A5 Como nosso dx é realmente muito pequeno nossa expansão fica limitada ao primeiro termo da série A5 ou seja qxdx qx qx dx x A6 d f x dx