Momentos de Inércia-2021 2

Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr 6 MOMENTOS DE INÉRCIA 61 Definições Considere a área plana abaixo Por definição o Momento de Inércia da área dA em relação aos eixos x e y são dados respectivamente por 2 dIx y dA 2 dIy x dA Para toda área 2 2 x y A A I y dA I x dA OBS Os momentos de inércia são SEMPRE positivos e tem dimensão 4L Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr 61 Definições cont E ainda o Momento Polar de Inércia em relação ao ponto o é dado por 2 2 2 o z x y A A J I r dA y x dA I I Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr 62 Determinação dos Momentos de Inércia por integração Consiste em solucionar as seguintes integrais 2 2 x y A A I y dA I x dA Exemplo1 Determinar os momentos de inércia para figura abaixo em relação aos eixos x e y indicados x y b a c d Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr 62 Determinação dos Momentos de Inércia por integração cont Exemplo2 Determinar os momentos de inércia para figura abaixo em relação aos eixos x e y indicados Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr 63 Teorema dos Eixos Paralelos Considere a área plana abaixo com os eixos centroidais x e y em destaque São eixos coordenados com sua origem no centróide da área 2 2 2 2 2 2 2 2 x A A A A A A I y dA y y dA y y y y dA y dA y y dA y dA x y Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr 63 Teorema dos Eixos Paralelos cont Sendo 2 0 x A A A y dA I y dA dA A Então 2 x x I I y A Momento de inércia da área em relação ao eixo central x Momento estático de área de A em relação a x Área total 2 y y I I x A 2 o o J J d A Teorema dos eixos paralelos OBS Por definição um momento de inércia de uma área em relação a um eixo que passa pelo seu centróide é denominado MOMENTO DE INÉRCIA CENTRAL Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr 62 Determinação dos Momentos de Inércia por integração cont Exemplo 3 Determinar os momentos de inércia centrais da figura abaixo segundo eixos paralelos em relação aos xy indicados Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr 63 Produto de Inércia Considere a área plana ilustrada abaixo Por definição o Produto de Inércia da área A em relação aos eixos x e y é dado por xy xy A dI xydA I xydA OBS 1 Ao contrário dos momentos de inércia que são sempre positivos o produto de inércia pode assumir valores positivos negativos e mesmo valor nulo a depender da posição dos eixos xy em relação a área OBS 2 sempre que um dos eixos de referência é de simetria da área 0 Ixy Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr 65 Produto de inércia cont Há também o teorema dos eixos paralelos para produtos de inércia Portanto considere a figura abaixo com xy e eixos centroidais xy paralelos xy A A x y A A A A I x x y y dA x y x y xy x y dA x y dA y x dA x y dA x y dA I x yA OBS x e y são coordenadas do centróide da área em relação aos eixos paralelos xy x y y x Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr 6 MOMENTOS DE INÉRCIA 66 Determinação dos Momentos e Produtos de Inércia de áreas compostas O Momento de Inércia da área em relação ao eixo é dado por 2 2 2 1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 x x x x x x x I I I I I y A I y A I y A O Considere a figura abaixo com os eixos xy indicados x y O 1 2 3 1x 1y 2x 3x x 2y 3y x y 2 1 1 n n x xi i i i i I I y A Para n subdivisões de área 1c 3c 2c 1y 2y 3y Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr 66 Determinação dos Momentos e Produtos de Inércia de áreas compostas cont O Momento de Inércia da área em relação ao eixo é dado por 2 2 2 1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 y y y y y y y I I I I I x A I x A I x A O Procedendose da mesma forma para o eixo y ou seja x y O 1 2 3 1x 1y 2x 3x y 2y 3y x y 2 1 1 n n y yi i i i i I I x A Para n subdivisões de área 1c 3c 2c 2x 3x 1x Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr 66 Determinação dos Momentos e Produtos de Inércia de áreas compostas cont O Momento de Inércia da área em relação ao eixo é dado por 1 2 3 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 xy xy xy xy xy xy xy I I I I I x y A I x y A I x y A O Agora para o produto de inércia temse x y O 1 2 3 1x 1y 2x 3x y 2y 3y x y 1 1 n n xy xyi i i i i i I I x y A Para n subdivisões de área 1c 3c 2c 2x 3x 1x 1y 2y 3y Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr 66 Determinação dos Momentos e Produtos de Inércia de áreas compostas cont De forma que Se na composição de área houver necessidade de se retirar inércia procedese de forma análoga ao que já foi feito para o centróide por exemplo 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 x x x x x I I I I y A I y A Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr Ex1 Determinar o momento de inércia para figura abaixo em relação aos eixos x e y indicados 66 Determinação dos Momentos e Produtos de Inércia de áreas compostas cont y Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr 67 Rotação de Eixos Considere agora um novo par de eixos uv com origem em o porém inclinados de q em relação aos eixos xy Pela geometria as novas coordenadas do elemento dA em relação aos eixos inclinados são dadas por q q ysen x u cos cos v y xsen q q X RX cos cos y x sen sen v u q q q q Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr 67 Rotação de eixos cont Sendo assim os momentos de inércia e o produto de inércia da área em relação aos eixos uv são dados por A uv A v A u uvdA u dA I v dA I I 2 2 Para temos uI 2 2 2 2 2 2 cos cos 2 cos u A A A I v dA y xsen dA y xysen x sen dA q q q q q q 2 2 2 2 cos 2 cos u A A A I y dA sen xydA sen x dA q q q q xI Ixy yI Então 2 2 cos 2 cos u x xy y I I I sen I sen q q q q Sabendo que q q q q q q q 2 cos 2 2 1 cos2 1 2 1 cos2 1 cos 2 2 sen sen sen temse cos2 2 2 2 x y x y u xy I I I I I I sen q q a Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr 67 Rotação de eixos cont Procedendose de forma análoga para e temse cos2 2 2 2 x y x y v xy I I I I I I sen q q b vI uv I 2 cos2 2 x y uv xy I I I sen I q q c As equações a b e c propiciam o cálculo dos momentos de inércia e produto de inércia de uma área em relação ao um par de eixos inclinados Ademais sobre a variação de em relação ao ângulo de rotação q notase pela equação c uv I xy uv I I q 0 90o uv xy I I q ou seja quando o par de eixos uv rotaciona 90º o produto de inércia muda de sinal A partir dessa observação concluise que existe pelo menos uma posição em que Para esta posição ou seja onde os eixos são chamados de EIXOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA Se a origem dos eixos coordenados é o centroide da área os eixos principais são chamados de EIXOS PRINCIPAIS CENTROIDAIS 0 Iuv 0 Iuv Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr Ex2 Determinar os momentos de inércia e o produto de inércia da área da seção reta da viga para os eixos inclinados de 30º em relação ao eixo x 67 Rotação de eixos cont x y 3mm 12mm Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr 6 MOMENTOS DE INÉRCIA 68 Momentos Principais de Inércia Já sabemos que para um par de eixos inclinados os momentos e produtos de inércia são dados por cos2 2 2 2 x y x y u xy I I I I I I sen q q cos2 2 2 2 x y x y v xy I I I I I I sen q q 2 cos 2 2 x y uv xy I I I sen I q q Os momentos principais de inércia são valores críticos máximo e mínimo portanto para saber em que inclinação eles estão basta fazer 2 0 2 2 2 cos2 0 tan 2 2 x y xy u xy y x I I I dI sen I d I I q q q q Chamando temos p q q 1 2 2 tan 2 2 tan xy xy P P y x y x I I I I I I q q A solução da equação acima fornece dois valores tais que 2 2 2 p p p p q q q q Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr 68 Momentos Principais de Inércia cont Para o eixo de resulta em chamase IMAX P1 q Para o eixo de resulta em chamase IMIN P2 q Para obtermos as expressões dos momentos de inércia máximo e mínimos basta fazermos 2 2 2 2 2 2 cos2 2 2 xy y x P P xy y x xy y x I I I sen I I I I I I q q Substituindo essas expressões nas de rotação de eixos temos 2 2 max 1 2 2 x y x y xy I I I I I I I 2 2 min 2 2 2 x y x y xy I I I I I I I qP1 qP2 OBS Os ângulos e caracterizam a POSIÇÃO PRINCIPAL DE INÉRCIA 1 2 P2 q 12 0 I Escola de Ciências e Tecnologia UFRN Mecânica dos Sólidos Prof Daniel Nelson Maciel dnmacielectufrnbr Ex1 Para figura abaixo determine a posição principal de inércia e os respectivos valores de momento de inércia máximos mínimos para os eixos indicados 68 Momentos Principais de Inércia cont 60mm 80mm 10mm 10mm x y 4 4 4 4 4 4 4 4 1 4 4 2 0 1 17233 10 7433 10 2475 10 17823 10 6843 10 134 x y xy P RESP I mm I mm I mm I mm I mm q