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Ciência e Tecnologia ·
Matemática Financeira
· 2021/2
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Matematica Financeira Unidade II Professor Arthur Kramer Departamento de Engenharia de Producao Universidade Federal do Rio Grande do Norte unp Unidade II Temas abordados 1 Anuidades Anuidades postecipadas Anuidades antecipadas Anuidades diferidas Anuidades 253 unp Unidade II Temas abordados 1 Anuidades Anuidades postecipadas Anuidades antecipadas Anuidades diferidas Anuidades 353 unp Introducao Entendese por anuidades uma sequˆencia de pagamentos ou recebimentos que ocorrem em datas preestabelecidas O termo anuidade segue uma tendˆencia internacional considerando que nos primeiros sistemas de liquidacao de dıvidas em mais de um pagamento as prestacoes eram anuais Nao necessariamente as prestacoes devem ser anuais Podem ser semanais mensais trimestrais etc As anuidades tambem sao conhecidas como series periodicas uniformes rendas certas e prestacoes Anuidades Serie de pagamentosrecebimentos Anuidades 453 unp Introducao Entendese por anuidades uma sequˆencia de pagamentos ou recebimentos que ocorrem em datas preestabelecidas O termo anuidade segue uma tendˆencia internacional considerando que nos primeiros sistemas de liquidacao de dıvidas em mais de um pagamento as prestacoes eram anuais Nao necessariamente as prestacoes devem ser anuais Podem ser semanais mensais trimestrais etc As anuidades tambem sao conhecidas como series periodicas uniformes rendas certas e prestacoes Anuidades Serie de pagamentosrecebimentos Anuidades 453 unp Valor atual de um fluxo de caixa O fluxo de caixa e um diagrama que representa graficamente os recebimentospagamentos de uma aplicacao ao longo do tempo O que vimos ate agora foram situacoes com um unico recebimentopagamento Em emprestimo com pagamento unico Anuidades 553 unp Valor atual de um fluxo de caixa Em juros compostos vimos que Montante valor futuro M P1 in Principal valor presente P M 1in Quando um emprestimo for pago por uma anuidade constituıda por muitos e diferentes termos o diagrama de fluxo de caixa e do tipo Em emprestimo com varios pagamentos Rj Anuidades 653 R2 Ro Rn Ry Rn1 O valor atual valor presente de um fluxo de caixa a uma determinada taxa de juros e em determinada data focal 6 a soma dos valores atuais de cada um dos termos do fluxo de caixa Valor atual na data zero R R Rn1 vite VAo Ro Gyr ayaz to Genet Gi ee m R VAp 1 x 1 i unp Anuidades classificacao As anuidades podem ser classificadas Quanto ao prazo Temporarias Perpetuas Quanto a periodicidade Periodicas Nao periodicas Quanto ao valor dos termos Constantes Variaveis Estudaremos as anuidades temporarias periodicas e constantes Anuidades 853 unp Anuidades classificacao As anuidades podem ser classificadas Quanto ao prazo Temporarias Perpetuas Quanto a periodicidade Periodicas Nao periodicas Quanto ao valor dos termos Constantes Variaveis Estudaremos as anuidades temporarias periodicas e constantes Anuidades 853 unp Anuidades classificacao As anuidades podem ser classificadas Quanto ao prazo Temporarias Perpetuas Quanto a periodicidade Periodicas Nao periodicas Quanto ao valor dos termos Constantes Variaveis Quanto ao vencimento da primeira prestacao Postecipadas Antecipadas Diferidas Estudaremos as anuidades temporarias periodicas e constantes Anuidades 953 unp Anuidades classificacao Postecipadas A data de vencimento da primeira prestacao primeiro termo ocorre um perıodo apos a data do emprestimo conhecido como sem entrada Antecipadas Quando a data da primeira prestacao coincide com a data do emprestimo com entrada Diferidas Quando a data da primeira prestacao ocorre mais de um perıodo apos a data do emprestimo Anuidades 1053 unp Anuidades postecipadas A data de vencimento da primeira prestacao primeiro termo ocorre um perıodo apos a data do emprestimo conhecido como sem entrada Um emprestimo P a ser pago por n termos R de uma anuidade postecipada pode ser representado graficamente pelo diagrama de fluxo de caixa Anuidades 1153 O valor atual dos termos da anuidade deve ser igual ao principal P Nesse caso os termos sao iguais e representados por R logo Anuidades postecipadas R R R 1 P 4 PR a aa2 Ta ap ress unp Anuidades postecipadas valor presente Relembrando alguns conceitos sobre progressao geometrica Progressao geometrica E uma sucessao de numeros positivos em que a divisao de cada numero a partir do segundo pelo termo imediatamente anterior produz sempre um mesmo resultado Ou seja um termo de uma PG e sempre igual ao precedente multiplicado por uma constante positiva O somatorio corresponde a soma dos n primeiros termos de uma PG logo Principal P R1 in 1 i1 in Prestacao R P i1 in 1 in 1 Anuidades 1353 unp Anuidades postecipadas valor presente Exemplo 1 Uma loja financiou um conjunto de moveis em 4 prestacoes mensais iguais de R130000 a primeira dela a ser paga um mˆes apos a compra sem entrada a uma taxa de juros de 25 ao mˆes Calcular o valor a vista da compra Solucao R R130000 i 25 ao mˆes 0025 n 4 prestacoes mensais postecipada P Anuidades 1453 unp Anuidades postecipadas valor presente Exemplo 1 Uma loja financiou um conjunto de moveis em 4 prestacoes mensais iguais de R130000 a primeira dela a ser paga um mˆes apos a compra sem entrada a uma taxa de juros de 25 ao mˆes Calcular o valor a vista da compra Solucao R R130000 i 25 ao mˆes 0025 n 4 prestacoes mensais postecipada P Anuidades 1453 unp Anuidades postecipadas valor presente Exemplo 1 Uma loja financiou um conjunto de moveis em 4 prestacoes mensais iguais de R130000 a primeira dela a ser paga um mˆes apos a compra sem entrada a uma taxa de juros de 25 ao mˆes Calcular o valor a vista da compra Solucao R R130000 i 25 ao mˆes 0025 n 4 prestacoes mensais postecipada P R 1 in 1 i1 in 1300 1 00254 1 00251 00254 P R489057 Anuidades 1553 unp Anuidades postecipadas valor presente Exemplo 1 Uma loja financiou um conjunto de moveis em 4 prestacoes mensais iguais de R130000 a primeira dela a ser paga um mˆes apos a compra sem entrada a uma taxa de juros de 25 ao mˆes Calcular o valor a vista da compra Solucao R R130000 i 25 ao mˆes 0025 n 4 prestacoes mensais postecipada P R 1 in 1 i1 in 1300 1 00254 1 00251 00254 P R489057 Anuidades 1553 unp Anuidades postecipadas valor presente Exemplo 2 O cliente de uma loja adquiriu um televisor de 40 polegadas cujo valor a vista e de R220000 em 5 prestacoes mensais iguais sem entrada a uma taxa de juros de 3 ao mˆes Qual o valor da prestacao Solucao P R220000 i 30 ao mˆes 003 n 5 prestacoes mensais postecipada R Anuidades 1653 unp Anuidades postecipadas valor presente Exemplo 2 O cliente de uma loja adquiriu um televisor de 40 polegadas cujo valor a vista e de R220000 em 5 prestacoes mensais iguais sem entrada a uma taxa de juros de 3 ao mˆes Qual o valor da prestacao Solucao P R220000 i 30 ao mˆes 003 n 5 prestacoes mensais postecipada R Anuidades 1653 unp Anuidades postecipadas valor presente Exemplo 2 O cliente de uma loja adquiriu um televisor de 40 polegadas cujo valor a vista e de R220000 em 5 prestacoes mensais iguais sem entrada a uma taxa de juros de 3 ao mˆes Qual o valor da prestacao Solucao P R220000 i 30 ao mˆes 003 n 5 prestacoes mensais postecipada R P i1 in 1 in 1 2200 0031 0035 1 0035 1 R R48038 Anuidades 1753 unp Anuidades postecipadas valor presente Exemplo 2 O cliente de uma loja adquiriu um televisor de 40 polegadas cujo valor a vista e de R220000 em 5 prestacoes mensais iguais sem entrada a uma taxa de juros de 3 ao mˆes Qual o valor da prestacao Solucao P R220000 i 30 ao mˆes 003 n 5 prestacoes mensais postecipada R P i1 in 1 in 1 2200 0031 0035 1 0035 1 R R48038 Anuidades 1753 unp Anuidades postecipadas taxa Exemplo 3 O financiamento de um computador no valor de R370000 e feito em 10 prestacoes mensais iguais a R427 14 a primeira vencendo um mˆes apos a compra Calcular a taxa mensal de juros utilizada Solucao P R370000 R R42714 n 10 prestacoes mensais postecipada i Sabemos que P R 1 in 1 i1 in Da equacao percebemos que isolar a taxa i nao e simples Podemos usar a calculadora financeira httpsstendecioctbhp12chtml Ou metodos numericos NewtonRaphson Bissecao Anuidades 1853 unp Anuidades postecipadas taxa Exemplo 3 O financiamento de um computador no valor de R370000 e feito em 10 prestacoes mensais iguais a R427 14 a primeira vencendo um mˆes apos a compra Calcular a taxa mensal de juros utilizada Solucao P R370000 R R42714 n 10 prestacoes mensais postecipada i Sabemos que P R 1 in 1 i1 in Da equacao percebemos que isolar a taxa i nao e simples Podemos usar a calculadora financeira httpsstendecioctbhp12chtml Ou metodos numericos NewtonRaphson Bissecao Anuidades 1853 unp Anuidades postecipadas taxa Exemplo 3 O financiamento de um computador no valor de R370000 e feito em 10 prestacoes mensais iguais a R427 14 a primeira vencendo um mˆes apos a compra Calcular a taxa mensal de juros utilizada Solucao P R370000 R R42714 n 10 prestacoes mensais postecipada i Sabemos que P R 1 in 1 i1 in Da equacao percebemos que isolar a taxa i nao e simples Podemos usar a calculadora financeira httpsstendecioctbhp12chtml Ou metodos numericos NewtonRaphson Bissecao Anuidades 1853 unp Anuidades postecipadas taxa Exemplo 3 O financiamento de um computador no valor de R370000 e feito em 10 prestacoes mensais iguais a R427 14 a primeira vencendo um mˆes apos a compra Calcular a taxa mensal de juros utilizada Solucao P R370000 R R42714 n 10 prestacoes mensais postecipada i Sabemos que P R 1 in 1 i1 in Da equacao percebemos que isolar a taxa i nao e simples Podemos usar a calculadora financeira httpsstendecioctbhp12chtml Ou metodos numericos NewtonRaphson Bissecao Anuidades 1853 unp Anuidades postecipadas taxa Exemplo 3 O financiamento de um computador no valor de R370000 e feito em 10 prestacoes mensais iguais a R427 14 a primeira vencendo um mˆes apos a compra Calcular a taxa mensal de juros utilizada Solucao P R370000 R R42714 n 10 prestacoes mensais postecipada i Sabemos que P R 1 in 1 i1 in Usando a calculadora obtemos i 270 ao mˆes Da equacao percebemos que isolar a taxa i nao e simples Podemos usar a calculadora financeira httpsstendecioctbhp12chtml Ou metodos numericos NewtonRaphson Bissecao Anuidades 1953 unp Anuidades postecipadas taxa Exemplo 3 O financiamento de um computador no valor de R370000 e feito em 10 prestacoes mensais iguais a R427 14 a primeira vencendo um mˆes apos a compra Calcular a taxa efetiva da operacao Solucao P R370000 R R42714 n 10 prestacoes mensais postecipada im 270 ao mˆes ie para 10 meses ie 42714103700 3700 ie 1544 Incorreto Anuidades 2053 unp Anuidades postecipadas taxa Exemplo 3 O financiamento de um computador no valor de R370000 e feito em 10 prestacoes mensais iguais a R427 14 a primeira vencendo um mˆes apos a compra Calcular a taxa efetiva da operacao Solucao P R370000 R R42714 n 10 prestacoes mensais postecipada im 270 ao mˆes ie para 10 meses ie 42714103700 3700 ie 1544 Incorreto Anuidades 2053 unp Anuidades postecipadas taxa Exemplo 3 O financiamento de um computador no valor de R370000 e feito em 10 prestacoes mensais iguais a R427 14 a primeira vencendo um mˆes apos a compra Calcular a taxa efetiva da operacao Solucao P R370000 R R42714 n 10 prestacoes mensais postecipada im 270 ao mˆes ie para 10 meses ie 42714103700 3700 ie 1544 Incorreto Anuidades 2053 unp Anuidades postecipadas taxa Exemplo 3 O financiamento de um computador no valor de R370000 e feito em 10 prestacoes mensais iguais a R427 14 a primeira vencendo um mˆes apos a compra Calcular a taxa efetiva da operacao Solucao P R370000 R R42714 n 10 prestacoes mensais postecipada im 270 ao mˆes ie para 10 meses ie 42714103700 3700 ie 1544 Incorreto Anuidades 2053 unp Anuidades postecipadas taxa Exemplo 3 O financiamento de um computador no valor de R370000 e feito em 10 prestacoes mensais iguais a R427 14 a primeira vencendo um mˆes apos a compra Calcular a taxa efetiva da operacao Solucao P R370000 R R42714 n 10 prestacoes mensais postecipada im 270 ao mˆes ie para 10 meses ie 1 im 1 ie 1 0 02710 1 3053 Anuidades 2153 unp Anuidades postecipadas taxa Exemplo 3 O financiamento de um computador no valor de R370000 e feito em 10 prestacoes mensais iguais a R427 14 a primeira vencendo um mˆes apos a compra Calcular a taxa efetiva da operacao Solucao P R370000 R R42714 n 10 prestacoes mensais postecipada im 270 ao mˆes ie para 10 meses ie 1 im 1 ie 1 0 02710 1 3053 Anuidades 2153 unp Anuidades postecipadas valor futuro Como devemos proceder para obter o valor futuro dos n termos de uma anuidade cuja data focal coincide com o ultimo termo da anuidade O diagrama abaixo ilustra essa situacao Ja sabemos que Valor presente P R1 in 1 i1 in Valor futuro S P1 in S R1 in 1 i1 in 1 in Anuidades 2253 unp Anuidades postecipadas valor futuro Como devemos proceder para obter o valor futuro dos n termos de uma anuidade cuja data focal coincide com o ultimo termo da anuidade O diagrama abaixo ilustra essa situacao Ja sabemos que Valor presente P R1 in 1 i1 in Valor futuro S P1 in S R1 in 1 i1 in 1 in Anuidades 2253 unp Anuidades postecipadas valor futuro Como devemos proceder para obter o valor futuro dos n termos de uma anuidade cuja data focal coincide com o ultimo termo da anuidade O diagrama abaixo ilustra essa situacao Ja sabemos que Valor presente P R1 in 1 i1 in Valor futuro S P1 in S R1 in 1 i1 in 1 in Anuidades 2253 unp Anuidades postecipadas valor futuro Como devemos proceder para obter o valor futuro dos n termos de uma anuidade cuja data focal coincide com o ultimo termo da anuidade O diagrama abaixo ilustra essa situacao Ja sabemos que Valor presente P R1 in 1 i1 in Valor futuro S R1 in 1 i Anuidades 2353 unp Anuidades postecipadas valor futuro Exemplo 4 Mensalmente uma pessoa transfere R20000 do seu salario para a poupanca de um banco que remunera a taxa de juros compostos de 09 ao mˆes Calcule o saldo da poupanca imediatamente apos a decima transferˆencia Solucao R R20000 i 09 ao mˆes 0009 n 10 prestacoes mensais postecipada pois o valor futuro coincide com o ultimo pagamento S Anuidades 2453 unp Anuidades postecipadas valor futuro Exemplo 4 Mensalmente uma pessoa transfere R20000 do seu salario para a poupanca de um banco que remunera a taxa de juros compostos de 09 ao mˆes Calcule o saldo da poupanca imediatamente apos a decima transferˆencia Solucao R R20000 i 09 ao mˆes 0009 n 10 prestacoes mensais postecipada pois o valor futuro coincide com o ultimo pagamento S Anuidades 2453 unp Anuidades postecipadas valor futuro Exemplo 4 Mensalmente uma pessoa transfere R20000 do seu salario para a poupanca de um banco que remunera a taxa de juros compostos de 09 ao mˆes Calcule o saldo da poupanca imediatamente apos a decima transferˆencia Solucao R R20000 i 09 ao mˆes 0009 n 10 prestacoes mensais postecipada pois o valor futuro coincide com o ultimo pagamento S R 1 in 1 i S 200 10009101 0009 R208297 Anuidades 2553 unp Anuidades postecipadas valor futuro Exemplo 4 Mensalmente uma pessoa transfere R20000 do seu salario para a poupanca de um banco que remunera a taxa de juros compostos de 09 ao mˆes Calcule o saldo da poupanca imediatamente apos a decima transferˆencia Solucao R R20000 i 09 ao mˆes 0009 n 10 prestacoes mensais postecipada pois o valor futuro coincide com o ultimo pagamento S R 1 in 1 i S 200 10009101 0009 R208297 Anuidades 2553 unp Anuidades postecipadas valor futuro Podemos calcular o valor das prestacoes Caso tenhamos a informacao do valor futuro da taxa de juros e do numero de pagamentos Valor da prestacao R S i 1 in 1 Anuidades 2653 unp Anuidades antecipadas A data da primeira prestacao coincide com a data do emprestimo com entrada Um emprestimo P a ser pago por n termos R de uma anuidade antecipada pode ser representado graficamente pelo diagrama de fluxo de caixa Anuidades 2753 unp Anuidades antecipadas valor presente A principal diferenca e que as anuidades antecipadas efetuam pagamentos iguais porem iniciam um perıodo antes das postecipadas Postecipadas pagam um perıodo a mais de juros que as antecipadas logo Anuidades antecipadas Rpost Rant1 i Anuidades antecipadas Rant P i1 in1 1 in 1 Anuidades 2853 unp Anuidades antecipadas valor presente A principal diferenca e que as anuidades antecipadas efetuam pagamentos iguais porem iniciam um perıodo antes das postecipadas Postecipadas pagam um perıodo a mais de juros que as antecipadas logo Anuidades antecipadas Rpost Rant1 i Anuidades antecipadas Rant P i1 in1 1 in 1 Anuidades 2853 unp Anuidades antecipadas valor da prestacao Exemplo 1 Um cliente comprou uma geladeira cujo valor a vista e de R90000 em trˆes prestacoes mensais a primeira como entrada com uma taxa de juros de 22 am Calcular o valor R da prestacao Solucao P R90000 i 22 ao mˆes 0022 n 3 prestacoes mensais antecipadas pois temos uma entrada R Anuidades 2953 unp Anuidades antecipadas valor da prestacao Exemplo 1 Um cliente comprou uma geladeira cujo valor a vista e de R90000 em trˆes prestacoes mensais a primeira como entrada com uma taxa de juros de 22 am Calcular o valor R da prestacao Solucao P R90000 i 22 ao mˆes 0022 n 3 prestacoes mensais antecipadas pois temos uma entrada R Anuidades 2953 unp Anuidades antecipadas valor da prestacao Exemplo 1 Um cliente comprou uma geladeira cujo valor a vista e de R90000 em trˆes prestacoes mensais a primeira como entrada com uma taxa de juros de 22 am Calcular o valor R da prestacao Solucao P R90000 i 22 ao mˆes 0022 n 3 prestacoes mensais antecipadas pois temos uma entrada R P i1 in1 1 in 1 900 00221 00222 1 00223 1 R30655 Anuidades 3053 unp Anuidades antecipadas valor do principal Exemplo 2 Calcular o principal de um financiamento em 6 prestacoes mensais iguais de R45000 a primeira na entrada sabendose que a taxa de juros utilizada foi de 18 am Solucao R R45000 i 18 ao mˆes 0018 n 6 prestacoes mensais antecipadas pois temos uma entrada P Anuidades 3153 unp Anuidades antecipadas valor do principal Exemplo 2 Calcular o principal de um financiamento em 6 prestacoes mensais iguais de R45000 a primeira na entrada sabendose que a taxa de juros utilizada foi de 18 am Solucao R R45000 i 18 ao mˆes 0018 n 6 prestacoes mensais antecipadas pois temos uma entrada P Anuidades 3153 unp Anuidades antecipadas valor do principal Exemplo 2 Calcular o principal de um financiamento em 6 prestacoes mensais iguais de R45000 a primeira na entrada sabendose que a taxa de juros utilizada foi de 18 am Solucao R R45000 i 18 ao mˆes 0018 n 6 prestacoes mensais antecipadas pois temos uma entrada P R 1 in 1 i1 in1 450 1001861 0018100185 R258343 Anuidades 3253 unp Anuidades antecipadas valor do principal Exemplo 2 Calcular o principal de um financiamento em 6 prestacoes mensais iguais de R45000 a primeira na entrada sabendose que a taxa de juros utilizada foi de 18 am Solucao R R45000 i 18 ao mˆes 0018 n 6 prestacoes mensais antecipadas pois temos uma entrada P R 1 in 1 i1 in1 450 1001861 0018100185 R258343 Anuidades 3253 unp Anuidades antecipadas valor do principal Exemplo 2 Calcular o principal de um financiamento em 6 prestacoes mensais iguais de R45000 a primeira na entrada sabendose que a taxa de juros utilizada foi de 18 am Solucao R R45000 i 18 ao mˆes 0018 n 6 prestacoes mensais antecipadas pois temos uma entrada P R 1 in 1 i1 in1 450 1001861 0018100185 R258343 Anuidades 3253 unp Anuidades antecipadas taxa Exemplo 3 O financiamento de um computador no valor de R370000 e feito em 10 prestacoes mensais iguais a R427 14 a primeira na entrada Calcular a taxa mensal de juros utilizada Solucao P R370000 R R42714 n 10 prestacoes mensais antecipada i Sabemos que P R 1 in 1 i1 in1 Da equacao percebemos que isolar a taxa i nao e simples Podemos usar a calculadora financeira httpsstendecioctbhp12chtml Ou metodos numericos NewtonRaphson Bissecao Anuidades 3353 unp Anuidades antecipadas taxa Exemplo 3 O financiamento de um computador no valor de R370000 e feito em 10 prestacoes mensais iguais a R427 14 a primeira na entrada Calcular a taxa mensal de juros utilizada Solucao P R370000 R R42714 n 10 prestacoes mensais antecipada i Sabemos que P R 1 in 1 i1 in1 Da equacao percebemos que isolar a taxa i nao e simples Podemos usar a calculadora financeira httpsstendecioctbhp12chtml Ou metodos numericos NewtonRaphson Bissecao Anuidades 3353 unp Anuidades antecipadas taxa Exemplo 3 O financiamento de um computador no valor de R370000 e feito em 10 prestacoes mensais iguais a R427 14 a primeira na entrada Calcular a taxa mensal de juros utilizada Solucao P R370000 R R42714 n 10 prestacoes mensais antecipada i Sabemos que P R 1 in 1 i1 in1 Da equacao percebemos que isolar a taxa i nao e simples Podemos usar a calculadora financeira httpsstendecioctbhp12chtml Ou metodos numericos NewtonRaphson Bissecao Anuidades 3353 unp Anuidades antecipadas taxa Exemplo 3 O financiamento de um computador no valor de R370000 e feito em 10 prestacoes mensais iguais a R427 14 a primeira na entrada Calcular a taxa mensal de juros utilizada Solucao P R370000 R R42714 n 10 prestacoes mensais antecipada i Sabemos que P R 1 in 1 i1 in1 Da equacao percebemos que isolar a taxa i nao e simples Podemos usar a calculadora financeira httpsstendecioctbhp12chtml Ou metodos numericos NewtonRaphson Bissecao Anuidades 3353 unp Anuidades antecipadas taxa Exemplo 3 O financiamento de um computador no valor de R370000 e feito em 10 prestacoes mensais iguais a R427 14 a primeira na entrada Calcular a taxa mensal de juros utilizada Solucao P R370000 R R42714 n 10 prestacoes mensais antecipada im 335 ao mˆes Contra 270 am na anuidade postecipada Anuidades 3453 unp Anuidades antecipadas valor futuro Como devemos proceder para obter o valor futuro dos n termos de uma anuidade cuja data focal e um perıodo apos ultimo termo da anuidade O diagrama abaixo ilustra essa situacao Ja sabemos que Valor presente P R1 in 1 i1 in1 Valor futuro S P1 in S R1 in 1 i1 in1 1 in Anuidades 3553 unp Anuidades antecipadas valor futuro Como devemos proceder para obter o valor futuro dos n termos de uma anuidade cuja data focal e um perıodo apos ultimo termo da anuidade O diagrama abaixo ilustra essa situacao Ja sabemos que Valor presente P R1 in 1 i1 in1 Valor futuro S P1 in S R1 in 1 i1 in1 1 in Anuidades 3553 unp Anuidades antecipadas valor futuro Como devemos proceder para obter o valor futuro dos n termos de uma anuidade cuja data focal e um perıodo apos ultimo termo da anuidade O diagrama abaixo ilustra essa situacao Ja sabemos que Valor presente P R1 in 1 i1 in1 Valor futuro S P1 in S R1 in 1 i1 in1 1 in Anuidades 3553 unp Anuidades antecipadas valor futuro Como devemos proceder para obter o valor futuro dos n termos de uma anuidade cuja data focal e um perıodo apos ultimo termo da anuidade O diagrama abaixo ilustra essa situacao Ja sabemos que Valor presente P R1 in 1 i1 in1 Valor futuro S R1 in 1 i 1 i Anuidades 3653 unp Anuidades antecipadas valor futuro Exemplo 4 Um estudante resolveu depositar mensalmente R30000 em um fundo que remunera a uma taxa de juros de 12 ao mˆes Calcule o saldo acumulado que o estudante conseguiu um mˆes apos o decimo quinto deposito Solucao R R30000 i 12 ao mˆes 0012 n 15 prestacoes mensais antecipadas pois queremos o saldo um mˆes apos a ultima parcela S Anuidades 3753 unp Anuidades antecipadas valor futuro Exemplo 4 Um estudante resolveu depositar mensalmente R30000 em um fundo que remunera a uma taxa de juros de 12 ao mˆes Calcule o saldo acumulado que o estudante conseguiu um mˆes apos o decimo quinto deposito Solucao R R30000 i 12 ao mˆes 0012 n 15 prestacoes mensais antecipadas pois queremos o saldo um mˆes apos a ultima parcela S Anuidades 3753 unp Anuidades antecipadas valor futuro Exemplo 4 Um estudante resolveu depositar mensalmente R30000 em um fundo que remunera a uma taxa de juros de 12 ao mˆes Calcule o saldo acumulado que o estudante conseguiu um mˆes apos o decimo quinto deposito Solucao R R30000 i 12 ao mˆes 0012 n 15 prestacoes mensais antecipadas pois queremos o saldo um mˆes apos a ultima parcela S R 1 in 1 i 1 i S 300 10012151 0012 1 0012 R495716 Anuidades 3853 unp Anuidades postecipadas e antecipadas Assim como vimos anteriormente existe uma relacao entre as anuidades postecipadas e as antecipadas Relacao postecipadas e antecipadas Rpost Rant1 i Relacao postecipadas e antecipadas Rant Rpost 1 i Taxa i Rpost Rant 1 Logo se temos duas prestacoes postecipadas e antecipadas sob as mesmas condicoes conseguimos calcular a taxa i envolvida Anuidades 3953 unp Anuidades postecipadas e antecipadas Assim como vimos anteriormente existe uma relacao entre as anuidades postecipadas e as antecipadas Relacao postecipadas e antecipadas Rpost Rant1 i Relacao postecipadas e antecipadas Rant Rpost 1 i Taxa i Rpost Rant 1 Logo se temos duas prestacoes postecipadas e antecipadas sob as mesmas condicoes conseguimos calcular a taxa i envolvida Anuidades 3953 unp Anuidades postecipadas e antecipadas Exemplo 5 sabese que para um mesmo numero de prestacoes uma concessionaria de veıculos financia um automovel por uma prestacao mensal no valor de R341205 sem entrada ou R332883 quando a primeira for na entrada Calcule a taxa mensal de juros utilizada pela concessionaria Solucao Rpost R341205 Rant R332883 i ao mˆes Anuidades 4053 unp Anuidades postecipadas e antecipadas Exemplo 5 sabese que para um mesmo numero de prestacoes uma concessionaria de veıculos financia um automovel por uma prestacao mensal no valor de R341205 sem entrada ou R332883 quando a primeira for na entrada Calcule a taxa mensal de juros utilizada pela concessionaria Solucao Rpost R341205 Rant R332883 i ao mˆes Anuidades 4053 unp Anuidades postecipadas e antecipadas Exemplo 5 sabese que para um mesmo numero de prestacoes uma concessionaria de veıculos financia um automovel por uma prestacao mensal no valor de R341205 sem entrada ou R332883 quando a primeira for na entrada Calcule a taxa mensal de juros utilizada pela concessionaria Solucao Rpost R341205 Rant R332883 i Rpost Rant 1 341205 332883 1 i 25 am Anuidades 4153 unp Anuidades postecipadas e antecipadas Exemplo 5 sabese que para um mesmo numero de prestacoes uma concessionaria de veıculos financia um automovel por uma prestacao mensal no valor de R341205 sem entrada ou R332883 quando a primeira for na entrada Calcule a taxa mensal de juros utilizada pela concessionaria Solucao Rpost R341205 Rant R332883 i Rpost Rant 1 341205 332883 1 i 25 am Anuidades 4153 unp Anuidades diferidas A data da primeira prestacao ocorre mais de um perıodo apos a data do emprestimo Um emprestimo P a ser pago por n termos R de uma anuidade diferida pode ser representado graficamente pelo diagrama de fluxo de caixa Anuidades 4253 unp Anuidades diferidas valor da prestacao As anuidades diferidas ou anuidades com carˆencia possuem um perıodo em que nao existem pagamentos Esse intervalo e chamado de carˆencia k qtd de perıodos sem pagamentos Nas anuidades postecipadas o perıodo de carˆencia e zero Quando o primeiro termo de uma anuidade vence dois perıodos apos o ponto zero dizse que a carˆencia k 1 Anuidades 4353 unp Anuidades diferidas valor da prestacao As anuidades diferidas ou anuidades com carˆencia possuem um perıodo em que nao existem pagamentos Esse intervalo e chamado de carˆencia k qtd de perıodos sem pagamentos Anuidades diferidas Rdif Rpost1 ik Anuidades diferidas Rdif P i1 in 1 in 11 ik Anuidades 4453 unp Anuidades diferidas valor da prestacao As anuidades diferidas ou anuidades com carˆencia possuem um perıodo em que nao existem pagamentos Esse intervalo e chamado de carˆencia k qtd de perıodos sem pagamentos Anuidades diferidas Rdif Rpost1 ik Anuidades diferidas Rdif P i1 in 1 in 11 ik Anuidades 4453 unp Anuidades diferidas valor da prestacao As anuidades diferidas ou anuidades com carˆencia possuem um perıodo em que nao existem pagamentos Esse intervalo e chamado de carˆencia k qtd de perıodos sem pagamentos Anuidades diferidas Rdif Rpost1 ik Anuidades diferidas Rdif P i1 ink 1 in 1 Anuidades 4553 unp Anuidades diferidas valor da prestacao As anuidades diferidas ou anuidades com carˆencia possuem um perıodo em que nao existem pagamentos Esse intervalo e chamado de carˆencia k qtd de perıodos sem pagamentos Anuidades diferidas Rdif Rpost1 ik Anuidades diferidas Rdif P i1 ink 1 in 1 Anuidades diferidas P R1 in 1 i1 ink Anuidades 4653 unp Anuidades diferidas valor da prestacao Exemplo 1 Uma loja financia um eletrodomestico cujo valor a vista e de R130000 em 7 prestacoes mensais iguais a primeira vencendo 4 meses apos a compra com uma taxa de juros de 34 am Calcular o valor da prestacao Solucao P R130000 i 34 ao mˆes 0034 n 7 prestacoes mensais diferidas apos 4 meses k 4 1 3 R Anuidades 4753 unp Anuidades diferidas valor da prestacao Exemplo 1 Uma loja financia um eletrodomestico cujo valor a vista e de R130000 em 7 prestacoes mensais iguais a primeira vencendo 4 meses apos a compra com uma taxa de juros de 34 am Calcular o valor da prestacao Solucao P R130000 i 34 ao mˆes 0034 n 7 prestacoes mensais diferidas apos 4 meses k 4 1 3 R Anuidades 4753 unp Anuidades diferidas valor da prestacao Exemplo 1 Uma loja financia um eletrodomestico cujo valor a vista e de R130000 em 7 prestacoes mensais iguais a primeira vencendo 4 meses apos a compra com uma taxa de juros de 34 am Calcular o valor da prestacao Solucao P R130000 i 34 ao mˆes 0034 n 7 prestacoes mensais diferidas apos 4 meses k 4 1 3 R P i1 ink 1 in 1 1300 00341003473 1003471 R23416 Anuidades 4853 unp Anuidades diferidas valor da prestacao Exemplo 1 Uma loja financia um eletrodomestico cujo valor a vista e de R130000 em 7 prestacoes mensais iguais a primeira vencendo 4 meses apos a compra com uma taxa de juros de 34 am Calcular o valor da prestacao Solucao P R130000 i 34 ao mˆes 0034 n 7 prestacoes mensais diferidas apos 4 meses k 4 1 3 R P i1 ink 1 in 1 1300 00341003473 1003471 R23416 Anuidades 4853 unp Anuidades diferidas valor presente Para calcular o valor presente podemos usar as relacoes ja encontradas Anuidades postecipadas Ppost R1 in 1 i1 in Anuidades diferidas Pdif R1 in 1 i1 ink Anuidades diferidas Pdif Ppost 1 ik Anuidades 4953 unp Anuidades diferidas valor presente Para calcular o valor presente podemos usar as relacoes ja encontradas Anuidades postecipadas Ppost R1 in 1 i1 in Anuidades diferidas Pdif R1 in 1 i1 ink Anuidades diferidas Pdif Ppost 1 ik Anuidades 4953 unp Anuidades diferidas valor presente Para calcular o valor presente podemos usar as relacoes ja encontradas Anuidades postecipadas Ppost R1 in 1 i1 in Anuidades diferidas Pdif R1 in 1 i1 ink Anuidades diferidas Pdif Ppost 1 ik Anuidades 4953 unp Anuidades diferidas valor presente Exemplo 2 O financiamento de um imovel foi realizado em 48 prestacoes mensais iguais a R245000 a primeira vencendo 13 meses apos a compra Sabendose que a taxa de juros utilizada foi de 15 am calcule o valor a vista do imovel Solucao R R245000 i 15 ao mˆes 0015 n 48 prestacoes mensais diferidas apos 13 meses k 13 1 12 P Anuidades 5053 unp Anuidades diferidas valor presente Exemplo 2 O financiamento de um imovel foi realizado em 48 prestacoes mensais iguais a R245000 a primeira vencendo 13 meses apos a compra Sabendose que a taxa de juros utilizada foi de 15 am calcule o valor a vista do imovel Solucao R R245000 i 15 ao mˆes 0015 n 48 prestacoes mensais diferidas apos 13 meses k 13 1 12 P Anuidades 5053 unp Anuidades diferidas valor presente Exemplo 2 O financiamento de um imovel foi realizado em 48 prestacoes mensais iguais a R245000 a primeira vencendo 13 meses apos a compra Sabendose que a taxa de juros utilizada foi de 15 am calcule o valor a vista do imovel Solucao R R245000 i 15 ao mˆes 0015 n 48 prestacoes mensais diferidas apos 13 meses k 13 1 12 P R 1 in 1 i1 ink P 2450 10015481 0015100154812 R6975827 Anuidades 5153 unp Anuidades diferidas valor presente Exemplo 2 O financiamento de um imovel foi realizado em 48 prestacoes mensais iguais a R245000 a primeira vencendo 13 meses apos a compra Sabendose que a taxa de juros utilizada foi de 15 am calcule o valor a vista do imovel Solucao R R245000 i 15 ao mˆes 0015 n 48 prestacoes mensais diferidas apos 13 meses k 13 1 12 P R 1 in 1 i1 ink P 2450 10015481 0015100154812 R6975827 Anuidades 5153 unp Anuidades resumo das formulas A anuidade postecipada e um caso particular da diferida com k 0 A anuidade antecipada e um caso particular da diferida com k 1 Anuidades 5253 Matematica Financeira Unidade II Professor Arthur Kramer Departamento de Engenharia de Producao Universidade Federal do Rio Grande do Norte
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Matematica Financeira Unidade II Professor Arthur Kramer Departamento de Engenharia de Producao Universidade Federal do Rio Grande do Norte unp Unidade II Temas abordados 1 Anuidades Anuidades postecipadas Anuidades antecipadas Anuidades diferidas Anuidades 253 unp Unidade II Temas abordados 1 Anuidades Anuidades postecipadas Anuidades antecipadas Anuidades diferidas Anuidades 353 unp Introducao Entendese por anuidades uma sequˆencia de pagamentos ou recebimentos que ocorrem em datas preestabelecidas O termo anuidade segue uma tendˆencia internacional considerando que nos primeiros sistemas de liquidacao de dıvidas em mais de um pagamento as prestacoes eram anuais Nao necessariamente as prestacoes devem ser anuais Podem ser semanais mensais trimestrais etc As anuidades tambem sao conhecidas como series periodicas uniformes rendas certas e prestacoes Anuidades Serie de pagamentosrecebimentos Anuidades 453 unp Introducao Entendese por anuidades uma sequˆencia de pagamentos ou recebimentos que ocorrem em datas preestabelecidas O termo anuidade segue uma tendˆencia internacional considerando que nos primeiros sistemas de liquidacao de dıvidas em mais de um pagamento as prestacoes eram anuais Nao necessariamente as prestacoes devem ser anuais Podem ser semanais mensais trimestrais etc As anuidades tambem sao conhecidas como series periodicas uniformes rendas certas e prestacoes Anuidades Serie de pagamentosrecebimentos Anuidades 453 unp Valor atual de um fluxo de caixa O fluxo de caixa e um diagrama que representa graficamente os recebimentospagamentos de uma aplicacao ao longo do tempo O que vimos ate agora foram situacoes com um unico recebimentopagamento Em emprestimo com pagamento unico Anuidades 553 unp Valor atual de um fluxo de caixa Em juros compostos vimos que Montante valor futuro M P1 in Principal valor presente P M 1in Quando um emprestimo for pago por uma anuidade constituıda por muitos e diferentes termos o diagrama de fluxo de caixa e do tipo Em emprestimo com varios pagamentos Rj Anuidades 653 R2 Ro Rn Ry Rn1 O valor atual valor presente de um fluxo de caixa a uma determinada taxa de juros e em determinada data focal 6 a soma dos valores atuais de cada um dos termos do fluxo de caixa Valor atual na data zero R R Rn1 vite VAo Ro Gyr ayaz to Genet Gi ee m R VAp 1 x 1 i unp Anuidades classificacao As anuidades podem ser classificadas Quanto ao prazo Temporarias Perpetuas Quanto a periodicidade Periodicas Nao periodicas Quanto ao valor dos termos Constantes Variaveis Estudaremos as anuidades temporarias periodicas e constantes Anuidades 853 unp Anuidades classificacao As anuidades podem ser classificadas Quanto ao prazo Temporarias Perpetuas Quanto a periodicidade Periodicas Nao periodicas Quanto ao valor dos termos Constantes Variaveis Estudaremos as anuidades temporarias periodicas e constantes Anuidades 853 unp Anuidades classificacao As anuidades podem ser classificadas Quanto ao prazo Temporarias Perpetuas Quanto a periodicidade Periodicas Nao periodicas Quanto ao valor dos termos Constantes Variaveis Quanto ao vencimento da primeira prestacao Postecipadas Antecipadas Diferidas Estudaremos as anuidades temporarias periodicas e constantes Anuidades 953 unp Anuidades classificacao Postecipadas A data de vencimento da primeira prestacao primeiro termo ocorre um perıodo apos a data do emprestimo conhecido como sem entrada Antecipadas Quando a data da primeira prestacao coincide com a data do emprestimo com entrada Diferidas Quando a data da primeira prestacao ocorre mais de um perıodo apos a data do emprestimo Anuidades 1053 unp Anuidades postecipadas A data de vencimento da primeira prestacao primeiro termo ocorre um perıodo apos a data do emprestimo conhecido como sem entrada Um emprestimo P a ser pago por n termos R de uma anuidade postecipada pode ser representado graficamente pelo diagrama de fluxo de caixa Anuidades 1153 O valor atual dos termos da anuidade deve ser igual ao principal P Nesse caso os termos sao iguais e representados por R logo Anuidades postecipadas R R R 1 P 4 PR a aa2 Ta ap ress unp Anuidades postecipadas valor presente Relembrando alguns conceitos sobre progressao geometrica Progressao geometrica E uma sucessao de numeros positivos em que a divisao de cada numero a partir do segundo pelo termo imediatamente anterior produz sempre um mesmo resultado Ou seja um termo de uma PG e sempre igual ao precedente multiplicado por uma constante positiva O somatorio corresponde a soma dos n primeiros termos de uma PG logo Principal P R1 in 1 i1 in Prestacao R P i1 in 1 in 1 Anuidades 1353 unp Anuidades postecipadas valor presente Exemplo 1 Uma loja financiou um conjunto de moveis em 4 prestacoes mensais iguais de R130000 a primeira dela a ser paga um mˆes apos a compra sem entrada a uma taxa de juros de 25 ao mˆes Calcular o valor a vista da compra Solucao R R130000 i 25 ao mˆes 0025 n 4 prestacoes mensais postecipada P Anuidades 1453 unp Anuidades postecipadas valor presente Exemplo 1 Uma loja financiou um conjunto de moveis em 4 prestacoes mensais iguais de R130000 a primeira dela a ser paga um mˆes apos a compra sem entrada a uma taxa de juros de 25 ao mˆes Calcular o valor a vista da compra Solucao R R130000 i 25 ao mˆes 0025 n 4 prestacoes mensais postecipada P Anuidades 1453 unp Anuidades postecipadas valor presente Exemplo 1 Uma loja financiou um conjunto de moveis em 4 prestacoes mensais iguais de R130000 a primeira dela a ser paga um mˆes apos a compra sem entrada a uma taxa de juros de 25 ao mˆes Calcular o valor a vista da compra Solucao R R130000 i 25 ao mˆes 0025 n 4 prestacoes mensais postecipada P R 1 in 1 i1 in 1300 1 00254 1 00251 00254 P R489057 Anuidades 1553 unp Anuidades postecipadas valor presente Exemplo 1 Uma loja financiou um conjunto de moveis em 4 prestacoes mensais iguais de R130000 a primeira dela a ser paga um mˆes apos a compra sem entrada a uma taxa de juros de 25 ao mˆes Calcular o valor a vista da compra Solucao R R130000 i 25 ao mˆes 0025 n 4 prestacoes mensais postecipada P R 1 in 1 i1 in 1300 1 00254 1 00251 00254 P R489057 Anuidades 1553 unp Anuidades postecipadas valor presente Exemplo 2 O cliente de uma loja adquiriu um televisor de 40 polegadas cujo valor a vista e de R220000 em 5 prestacoes mensais iguais sem entrada a uma taxa de juros de 3 ao mˆes Qual o valor da prestacao Solucao P R220000 i 30 ao mˆes 003 n 5 prestacoes mensais postecipada R Anuidades 1653 unp Anuidades postecipadas valor presente Exemplo 2 O cliente de uma loja adquiriu um televisor de 40 polegadas cujo valor a vista e de R220000 em 5 prestacoes mensais iguais sem entrada a uma taxa de juros de 3 ao mˆes Qual o valor da prestacao Solucao P R220000 i 30 ao mˆes 003 n 5 prestacoes mensais postecipada R Anuidades 1653 unp Anuidades postecipadas valor presente Exemplo 2 O cliente de uma loja adquiriu um televisor de 40 polegadas cujo valor a vista e de R220000 em 5 prestacoes mensais iguais sem entrada a uma taxa de juros de 3 ao mˆes Qual o valor da prestacao Solucao P R220000 i 30 ao mˆes 003 n 5 prestacoes mensais postecipada R P i1 in 1 in 1 2200 0031 0035 1 0035 1 R R48038 Anuidades 1753 unp Anuidades postecipadas valor presente Exemplo 2 O cliente de uma loja adquiriu um televisor de 40 polegadas cujo valor a vista e de R220000 em 5 prestacoes mensais iguais sem entrada a uma taxa de juros de 3 ao mˆes Qual o valor da prestacao Solucao P R220000 i 30 ao mˆes 003 n 5 prestacoes mensais postecipada R P i1 in 1 in 1 2200 0031 0035 1 0035 1 R R48038 Anuidades 1753 unp Anuidades postecipadas taxa Exemplo 3 O financiamento de um computador no valor de R370000 e feito em 10 prestacoes mensais iguais a R427 14 a primeira vencendo um mˆes apos a compra Calcular a taxa mensal de juros utilizada Solucao P R370000 R R42714 n 10 prestacoes mensais postecipada i Sabemos que P R 1 in 1 i1 in Da equacao percebemos que isolar a taxa i nao e simples Podemos usar a calculadora financeira httpsstendecioctbhp12chtml Ou metodos numericos NewtonRaphson Bissecao Anuidades 1853 unp Anuidades postecipadas taxa Exemplo 3 O financiamento de um computador no valor de R370000 e feito em 10 prestacoes mensais iguais a R427 14 a primeira vencendo um mˆes apos a compra Calcular a taxa mensal de juros utilizada Solucao P R370000 R R42714 n 10 prestacoes mensais postecipada i Sabemos que P R 1 in 1 i1 in Da equacao percebemos que isolar a taxa i nao e simples Podemos usar a calculadora financeira httpsstendecioctbhp12chtml Ou metodos numericos NewtonRaphson Bissecao Anuidades 1853 unp Anuidades postecipadas taxa Exemplo 3 O financiamento de um computador no valor de R370000 e feito em 10 prestacoes mensais iguais a R427 14 a primeira vencendo um mˆes apos a compra Calcular a taxa mensal de juros utilizada Solucao P R370000 R R42714 n 10 prestacoes mensais postecipada i Sabemos que P R 1 in 1 i1 in Da equacao percebemos que isolar a taxa i nao e simples Podemos usar a calculadora financeira httpsstendecioctbhp12chtml Ou metodos numericos NewtonRaphson Bissecao Anuidades 1853 unp Anuidades postecipadas taxa Exemplo 3 O financiamento de um computador no valor de R370000 e feito em 10 prestacoes mensais iguais a R427 14 a primeira vencendo um mˆes apos a compra Calcular a taxa mensal de juros utilizada Solucao P R370000 R R42714 n 10 prestacoes mensais postecipada i Sabemos que P R 1 in 1 i1 in Da equacao percebemos que isolar a taxa i nao e simples Podemos usar a calculadora financeira httpsstendecioctbhp12chtml Ou metodos numericos NewtonRaphson Bissecao Anuidades 1853 unp Anuidades postecipadas taxa Exemplo 3 O financiamento de um computador no valor de R370000 e feito em 10 prestacoes mensais iguais a R427 14 a primeira vencendo um mˆes apos a compra Calcular a taxa mensal de juros utilizada Solucao P R370000 R R42714 n 10 prestacoes mensais postecipada i Sabemos que P R 1 in 1 i1 in Usando a calculadora obtemos i 270 ao mˆes Da equacao percebemos que isolar a taxa i nao e simples Podemos usar a calculadora financeira httpsstendecioctbhp12chtml Ou metodos numericos NewtonRaphson Bissecao Anuidades 1953 unp Anuidades postecipadas taxa Exemplo 3 O financiamento de um computador no valor de R370000 e feito em 10 prestacoes mensais iguais a R427 14 a primeira vencendo um mˆes apos a compra Calcular a taxa efetiva da operacao Solucao P R370000 R R42714 n 10 prestacoes mensais postecipada im 270 ao mˆes ie para 10 meses ie 42714103700 3700 ie 1544 Incorreto Anuidades 2053 unp Anuidades postecipadas taxa Exemplo 3 O financiamento de um computador no valor de R370000 e feito em 10 prestacoes mensais iguais a R427 14 a primeira vencendo um mˆes apos a compra Calcular a taxa efetiva da operacao Solucao P R370000 R R42714 n 10 prestacoes mensais postecipada im 270 ao mˆes ie para 10 meses ie 42714103700 3700 ie 1544 Incorreto Anuidades 2053 unp Anuidades postecipadas taxa Exemplo 3 O financiamento de um computador no valor de R370000 e feito em 10 prestacoes mensais iguais a R427 14 a primeira vencendo um mˆes apos a compra Calcular a taxa efetiva da operacao Solucao P R370000 R R42714 n 10 prestacoes mensais postecipada im 270 ao mˆes ie para 10 meses ie 42714103700 3700 ie 1544 Incorreto Anuidades 2053 unp Anuidades postecipadas taxa Exemplo 3 O financiamento de um computador no valor de R370000 e feito em 10 prestacoes mensais iguais a R427 14 a primeira vencendo um mˆes apos a compra Calcular a taxa efetiva da operacao Solucao P R370000 R R42714 n 10 prestacoes mensais postecipada im 270 ao mˆes ie para 10 meses ie 42714103700 3700 ie 1544 Incorreto Anuidades 2053 unp Anuidades postecipadas taxa Exemplo 3 O financiamento de um computador no valor de R370000 e feito em 10 prestacoes mensais iguais a R427 14 a primeira vencendo um mˆes apos a compra Calcular a taxa efetiva da operacao Solucao P R370000 R R42714 n 10 prestacoes mensais postecipada im 270 ao mˆes ie para 10 meses ie 1 im 1 ie 1 0 02710 1 3053 Anuidades 2153 unp Anuidades postecipadas taxa Exemplo 3 O financiamento de um computador no valor de R370000 e feito em 10 prestacoes mensais iguais a R427 14 a primeira vencendo um mˆes apos a compra Calcular a taxa efetiva da operacao Solucao P R370000 R R42714 n 10 prestacoes mensais postecipada im 270 ao mˆes ie para 10 meses ie 1 im 1 ie 1 0 02710 1 3053 Anuidades 2153 unp Anuidades postecipadas valor futuro Como devemos proceder para obter o valor futuro dos n termos de uma anuidade cuja data focal coincide com o ultimo termo da anuidade O diagrama abaixo ilustra essa situacao Ja sabemos que Valor presente P R1 in 1 i1 in Valor futuro S P1 in S R1 in 1 i1 in 1 in Anuidades 2253 unp Anuidades postecipadas valor futuro Como devemos proceder para obter o valor futuro dos n termos de uma anuidade cuja data focal coincide com o ultimo termo da anuidade O diagrama abaixo ilustra essa situacao Ja sabemos que Valor presente P R1 in 1 i1 in Valor futuro S P1 in S R1 in 1 i1 in 1 in Anuidades 2253 unp Anuidades postecipadas valor futuro Como devemos proceder para obter o valor futuro dos n termos de uma anuidade cuja data focal coincide com o ultimo termo da anuidade O diagrama abaixo ilustra essa situacao Ja sabemos que Valor presente P R1 in 1 i1 in Valor futuro S P1 in S R1 in 1 i1 in 1 in Anuidades 2253 unp Anuidades postecipadas valor futuro Como devemos proceder para obter o valor futuro dos n termos de uma anuidade cuja data focal coincide com o ultimo termo da anuidade O diagrama abaixo ilustra essa situacao Ja sabemos que Valor presente P R1 in 1 i1 in Valor futuro S R1 in 1 i Anuidades 2353 unp Anuidades postecipadas valor futuro Exemplo 4 Mensalmente uma pessoa transfere R20000 do seu salario para a poupanca de um banco que remunera a taxa de juros compostos de 09 ao mˆes Calcule o saldo da poupanca imediatamente apos a decima transferˆencia Solucao R R20000 i 09 ao mˆes 0009 n 10 prestacoes mensais postecipada pois o valor futuro coincide com o ultimo pagamento S Anuidades 2453 unp Anuidades postecipadas valor futuro Exemplo 4 Mensalmente uma pessoa transfere R20000 do seu salario para a poupanca de um banco que remunera a taxa de juros compostos de 09 ao mˆes Calcule o saldo da poupanca imediatamente apos a decima transferˆencia Solucao R R20000 i 09 ao mˆes 0009 n 10 prestacoes mensais postecipada pois o valor futuro coincide com o ultimo pagamento S Anuidades 2453 unp Anuidades postecipadas valor futuro Exemplo 4 Mensalmente uma pessoa transfere R20000 do seu salario para a poupanca de um banco que remunera a taxa de juros compostos de 09 ao mˆes Calcule o saldo da poupanca imediatamente apos a decima transferˆencia Solucao R R20000 i 09 ao mˆes 0009 n 10 prestacoes mensais postecipada pois o valor futuro coincide com o ultimo pagamento S R 1 in 1 i S 200 10009101 0009 R208297 Anuidades 2553 unp Anuidades postecipadas valor futuro Exemplo 4 Mensalmente uma pessoa transfere R20000 do seu salario para a poupanca de um banco que remunera a taxa de juros compostos de 09 ao mˆes Calcule o saldo da poupanca imediatamente apos a decima transferˆencia Solucao R R20000 i 09 ao mˆes 0009 n 10 prestacoes mensais postecipada pois o valor futuro coincide com o ultimo pagamento S R 1 in 1 i S 200 10009101 0009 R208297 Anuidades 2553 unp Anuidades postecipadas valor futuro Podemos calcular o valor das prestacoes Caso tenhamos a informacao do valor futuro da taxa de juros e do numero de pagamentos Valor da prestacao R S i 1 in 1 Anuidades 2653 unp Anuidades antecipadas A data da primeira prestacao coincide com a data do emprestimo com entrada Um emprestimo P a ser pago por n termos R de uma anuidade antecipada pode ser representado graficamente pelo diagrama de fluxo de caixa Anuidades 2753 unp Anuidades antecipadas valor presente A principal diferenca e que as anuidades antecipadas efetuam pagamentos iguais porem iniciam um perıodo antes das postecipadas Postecipadas pagam um perıodo a mais de juros que as antecipadas logo Anuidades antecipadas Rpost Rant1 i Anuidades antecipadas Rant P i1 in1 1 in 1 Anuidades 2853 unp Anuidades antecipadas valor presente A principal diferenca e que as anuidades antecipadas efetuam pagamentos iguais porem iniciam um perıodo antes das postecipadas Postecipadas pagam um perıodo a mais de juros que as antecipadas logo Anuidades antecipadas Rpost Rant1 i Anuidades antecipadas Rant P i1 in1 1 in 1 Anuidades 2853 unp Anuidades antecipadas valor da prestacao Exemplo 1 Um cliente comprou uma geladeira cujo valor a vista e de R90000 em trˆes prestacoes mensais a primeira como entrada com uma taxa de juros de 22 am Calcular o valor R da prestacao Solucao P R90000 i 22 ao mˆes 0022 n 3 prestacoes mensais antecipadas pois temos uma entrada R Anuidades 2953 unp Anuidades antecipadas valor da prestacao Exemplo 1 Um cliente comprou uma geladeira cujo valor a vista e de R90000 em trˆes prestacoes mensais a primeira como entrada com uma taxa de juros de 22 am Calcular o valor R da prestacao Solucao P R90000 i 22 ao mˆes 0022 n 3 prestacoes mensais antecipadas pois temos uma entrada R Anuidades 2953 unp Anuidades antecipadas valor da prestacao Exemplo 1 Um cliente comprou uma geladeira cujo valor a vista e de R90000 em trˆes prestacoes mensais a primeira como entrada com uma taxa de juros de 22 am Calcular o valor R da prestacao Solucao P R90000 i 22 ao mˆes 0022 n 3 prestacoes mensais antecipadas pois temos uma entrada R P i1 in1 1 in 1 900 00221 00222 1 00223 1 R30655 Anuidades 3053 unp Anuidades antecipadas valor do principal Exemplo 2 Calcular o principal de um financiamento em 6 prestacoes mensais iguais de R45000 a primeira na entrada sabendose que a taxa de juros utilizada foi de 18 am Solucao R R45000 i 18 ao mˆes 0018 n 6 prestacoes mensais antecipadas pois temos uma entrada P Anuidades 3153 unp Anuidades antecipadas valor do principal Exemplo 2 Calcular o principal de um financiamento em 6 prestacoes mensais iguais de R45000 a primeira na entrada sabendose que a taxa de juros utilizada foi de 18 am Solucao R R45000 i 18 ao mˆes 0018 n 6 prestacoes mensais antecipadas pois temos uma entrada P Anuidades 3153 unp Anuidades antecipadas valor do principal Exemplo 2 Calcular o principal de um financiamento em 6 prestacoes mensais iguais de R45000 a primeira na entrada sabendose que a taxa de juros utilizada foi de 18 am Solucao R R45000 i 18 ao mˆes 0018 n 6 prestacoes mensais antecipadas pois temos uma entrada P R 1 in 1 i1 in1 450 1001861 0018100185 R258343 Anuidades 3253 unp Anuidades antecipadas valor do principal Exemplo 2 Calcular o principal de um financiamento em 6 prestacoes mensais iguais de R45000 a primeira na entrada sabendose que a taxa de juros utilizada foi de 18 am Solucao R R45000 i 18 ao mˆes 0018 n 6 prestacoes mensais antecipadas pois temos uma entrada P R 1 in 1 i1 in1 450 1001861 0018100185 R258343 Anuidades 3253 unp Anuidades antecipadas valor do principal Exemplo 2 Calcular o principal de um financiamento em 6 prestacoes mensais iguais de R45000 a primeira na entrada sabendose que a taxa de juros utilizada foi de 18 am Solucao R R45000 i 18 ao mˆes 0018 n 6 prestacoes mensais antecipadas pois temos uma entrada P R 1 in 1 i1 in1 450 1001861 0018100185 R258343 Anuidades 3253 unp Anuidades antecipadas taxa Exemplo 3 O financiamento de um computador no valor de R370000 e feito em 10 prestacoes mensais iguais a R427 14 a primeira na entrada Calcular a taxa mensal de juros utilizada Solucao P R370000 R R42714 n 10 prestacoes mensais antecipada i Sabemos que P R 1 in 1 i1 in1 Da equacao percebemos que isolar a taxa i nao e simples Podemos usar a calculadora financeira httpsstendecioctbhp12chtml Ou metodos numericos NewtonRaphson Bissecao Anuidades 3353 unp Anuidades antecipadas taxa Exemplo 3 O financiamento de um computador no valor de R370000 e feito em 10 prestacoes mensais iguais a R427 14 a primeira na entrada Calcular a taxa mensal de juros utilizada Solucao P R370000 R R42714 n 10 prestacoes mensais antecipada i Sabemos que P R 1 in 1 i1 in1 Da equacao percebemos que isolar a taxa i nao e simples Podemos usar a calculadora financeira httpsstendecioctbhp12chtml Ou metodos numericos NewtonRaphson Bissecao Anuidades 3353 unp Anuidades antecipadas taxa Exemplo 3 O financiamento de um computador no valor de R370000 e feito em 10 prestacoes mensais iguais a R427 14 a primeira na entrada Calcular a taxa mensal de juros utilizada Solucao P R370000 R R42714 n 10 prestacoes mensais antecipada i Sabemos que P R 1 in 1 i1 in1 Da equacao percebemos que isolar a taxa i nao e simples Podemos usar a calculadora financeira httpsstendecioctbhp12chtml Ou metodos numericos NewtonRaphson Bissecao Anuidades 3353 unp Anuidades antecipadas taxa Exemplo 3 O financiamento de um computador no valor de R370000 e feito em 10 prestacoes mensais iguais a R427 14 a primeira na entrada Calcular a taxa mensal de juros utilizada Solucao P R370000 R R42714 n 10 prestacoes mensais antecipada i Sabemos que P R 1 in 1 i1 in1 Da equacao percebemos que isolar a taxa i nao e simples Podemos usar a calculadora financeira httpsstendecioctbhp12chtml Ou metodos numericos NewtonRaphson Bissecao Anuidades 3353 unp Anuidades antecipadas taxa Exemplo 3 O financiamento de um computador no valor de R370000 e feito em 10 prestacoes mensais iguais a R427 14 a primeira na entrada Calcular a taxa mensal de juros utilizada Solucao P R370000 R R42714 n 10 prestacoes mensais antecipada im 335 ao mˆes Contra 270 am na anuidade postecipada Anuidades 3453 unp Anuidades antecipadas valor futuro Como devemos proceder para obter o valor futuro dos n termos de uma anuidade cuja data focal e um perıodo apos ultimo termo da anuidade O diagrama abaixo ilustra essa situacao Ja sabemos que Valor presente P R1 in 1 i1 in1 Valor futuro S P1 in S R1 in 1 i1 in1 1 in Anuidades 3553 unp Anuidades antecipadas valor futuro Como devemos proceder para obter o valor futuro dos n termos de uma anuidade cuja data focal e um perıodo apos ultimo termo da anuidade O diagrama abaixo ilustra essa situacao Ja sabemos que Valor presente P R1 in 1 i1 in1 Valor futuro S P1 in S R1 in 1 i1 in1 1 in Anuidades 3553 unp Anuidades antecipadas valor futuro Como devemos proceder para obter o valor futuro dos n termos de uma anuidade cuja data focal e um perıodo apos ultimo termo da anuidade O diagrama abaixo ilustra essa situacao Ja sabemos que Valor presente P R1 in 1 i1 in1 Valor futuro S P1 in S R1 in 1 i1 in1 1 in Anuidades 3553 unp Anuidades antecipadas valor futuro Como devemos proceder para obter o valor futuro dos n termos de uma anuidade cuja data focal e um perıodo apos ultimo termo da anuidade O diagrama abaixo ilustra essa situacao Ja sabemos que Valor presente P R1 in 1 i1 in1 Valor futuro S R1 in 1 i 1 i Anuidades 3653 unp Anuidades antecipadas valor futuro Exemplo 4 Um estudante resolveu depositar mensalmente R30000 em um fundo que remunera a uma taxa de juros de 12 ao mˆes Calcule o saldo acumulado que o estudante conseguiu um mˆes apos o decimo quinto deposito Solucao R R30000 i 12 ao mˆes 0012 n 15 prestacoes mensais antecipadas pois queremos o saldo um mˆes apos a ultima parcela S Anuidades 3753 unp Anuidades antecipadas valor futuro Exemplo 4 Um estudante resolveu depositar mensalmente R30000 em um fundo que remunera a uma taxa de juros de 12 ao mˆes Calcule o saldo acumulado que o estudante conseguiu um mˆes apos o decimo quinto deposito Solucao R R30000 i 12 ao mˆes 0012 n 15 prestacoes mensais antecipadas pois queremos o saldo um mˆes apos a ultima parcela S Anuidades 3753 unp Anuidades antecipadas valor futuro Exemplo 4 Um estudante resolveu depositar mensalmente R30000 em um fundo que remunera a uma taxa de juros de 12 ao mˆes Calcule o saldo acumulado que o estudante conseguiu um mˆes apos o decimo quinto deposito Solucao R R30000 i 12 ao mˆes 0012 n 15 prestacoes mensais antecipadas pois queremos o saldo um mˆes apos a ultima parcela S R 1 in 1 i 1 i S 300 10012151 0012 1 0012 R495716 Anuidades 3853 unp Anuidades postecipadas e antecipadas Assim como vimos anteriormente existe uma relacao entre as anuidades postecipadas e as antecipadas Relacao postecipadas e antecipadas Rpost Rant1 i Relacao postecipadas e antecipadas Rant Rpost 1 i Taxa i Rpost Rant 1 Logo se temos duas prestacoes postecipadas e antecipadas sob as mesmas condicoes conseguimos calcular a taxa i envolvida Anuidades 3953 unp Anuidades postecipadas e antecipadas Assim como vimos anteriormente existe uma relacao entre as anuidades postecipadas e as antecipadas Relacao postecipadas e antecipadas Rpost Rant1 i Relacao postecipadas e antecipadas Rant Rpost 1 i Taxa i Rpost Rant 1 Logo se temos duas prestacoes postecipadas e antecipadas sob as mesmas condicoes conseguimos calcular a taxa i envolvida Anuidades 3953 unp Anuidades postecipadas e antecipadas Exemplo 5 sabese que para um mesmo numero de prestacoes uma concessionaria de veıculos financia um automovel por uma prestacao mensal no valor de R341205 sem entrada ou R332883 quando a primeira for na entrada Calcule a taxa mensal de juros utilizada pela concessionaria Solucao Rpost R341205 Rant R332883 i ao mˆes Anuidades 4053 unp Anuidades postecipadas e antecipadas Exemplo 5 sabese que para um mesmo numero de prestacoes uma concessionaria de veıculos financia um automovel por uma prestacao mensal no valor de R341205 sem entrada ou R332883 quando a primeira for na entrada Calcule a taxa mensal de juros utilizada pela concessionaria Solucao Rpost R341205 Rant R332883 i ao mˆes Anuidades 4053 unp Anuidades postecipadas e antecipadas Exemplo 5 sabese que para um mesmo numero de prestacoes uma concessionaria de veıculos financia um automovel por uma prestacao mensal no valor de R341205 sem entrada ou R332883 quando a primeira for na entrada Calcule a taxa mensal de juros utilizada pela concessionaria Solucao Rpost R341205 Rant R332883 i Rpost Rant 1 341205 332883 1 i 25 am Anuidades 4153 unp Anuidades postecipadas e antecipadas Exemplo 5 sabese que para um mesmo numero de prestacoes uma concessionaria de veıculos financia um automovel por uma prestacao mensal no valor de R341205 sem entrada ou R332883 quando a primeira for na entrada Calcule a taxa mensal de juros utilizada pela concessionaria Solucao Rpost R341205 Rant R332883 i Rpost Rant 1 341205 332883 1 i 25 am Anuidades 4153 unp Anuidades diferidas A data da primeira prestacao ocorre mais de um perıodo apos a data do emprestimo Um emprestimo P a ser pago por n termos R de uma anuidade diferida pode ser representado graficamente pelo diagrama de fluxo de caixa Anuidades 4253 unp Anuidades diferidas valor da prestacao As anuidades diferidas ou anuidades com carˆencia possuem um perıodo em que nao existem pagamentos Esse intervalo e chamado de carˆencia k qtd de perıodos sem pagamentos Nas anuidades postecipadas o perıodo de carˆencia e zero Quando o primeiro termo de uma anuidade vence dois perıodos apos o ponto zero dizse que a carˆencia k 1 Anuidades 4353 unp Anuidades diferidas valor da prestacao As anuidades diferidas ou anuidades com carˆencia possuem um perıodo em que nao existem pagamentos Esse intervalo e chamado de carˆencia k qtd de perıodos sem pagamentos Anuidades diferidas Rdif Rpost1 ik Anuidades diferidas Rdif P i1 in 1 in 11 ik Anuidades 4453 unp Anuidades diferidas valor da prestacao As anuidades diferidas ou anuidades com carˆencia possuem um perıodo em que nao existem pagamentos Esse intervalo e chamado de carˆencia k qtd de perıodos sem pagamentos Anuidades diferidas Rdif Rpost1 ik Anuidades diferidas Rdif P i1 in 1 in 11 ik Anuidades 4453 unp Anuidades diferidas valor da prestacao As anuidades diferidas ou anuidades com carˆencia possuem um perıodo em que nao existem pagamentos Esse intervalo e chamado de carˆencia k qtd de perıodos sem pagamentos Anuidades diferidas Rdif Rpost1 ik Anuidades diferidas Rdif P i1 ink 1 in 1 Anuidades 4553 unp Anuidades diferidas valor da prestacao As anuidades diferidas ou anuidades com carˆencia possuem um perıodo em que nao existem pagamentos Esse intervalo e chamado de carˆencia k qtd de perıodos sem pagamentos Anuidades diferidas Rdif Rpost1 ik Anuidades diferidas Rdif P i1 ink 1 in 1 Anuidades diferidas P R1 in 1 i1 ink Anuidades 4653 unp Anuidades diferidas valor da prestacao Exemplo 1 Uma loja financia um eletrodomestico cujo valor a vista e de R130000 em 7 prestacoes mensais iguais a primeira vencendo 4 meses apos a compra com uma taxa de juros de 34 am Calcular o valor da prestacao Solucao P R130000 i 34 ao mˆes 0034 n 7 prestacoes mensais diferidas apos 4 meses k 4 1 3 R Anuidades 4753 unp Anuidades diferidas valor da prestacao Exemplo 1 Uma loja financia um eletrodomestico cujo valor a vista e de R130000 em 7 prestacoes mensais iguais a primeira vencendo 4 meses apos a compra com uma taxa de juros de 34 am Calcular o valor da prestacao Solucao P R130000 i 34 ao mˆes 0034 n 7 prestacoes mensais diferidas apos 4 meses k 4 1 3 R Anuidades 4753 unp Anuidades diferidas valor da prestacao Exemplo 1 Uma loja financia um eletrodomestico cujo valor a vista e de R130000 em 7 prestacoes mensais iguais a primeira vencendo 4 meses apos a compra com uma taxa de juros de 34 am Calcular o valor da prestacao Solucao P R130000 i 34 ao mˆes 0034 n 7 prestacoes mensais diferidas apos 4 meses k 4 1 3 R P i1 ink 1 in 1 1300 00341003473 1003471 R23416 Anuidades 4853 unp Anuidades diferidas valor da prestacao Exemplo 1 Uma loja financia um eletrodomestico cujo valor a vista e de R130000 em 7 prestacoes mensais iguais a primeira vencendo 4 meses apos a compra com uma taxa de juros de 34 am Calcular o valor da prestacao Solucao P R130000 i 34 ao mˆes 0034 n 7 prestacoes mensais diferidas apos 4 meses k 4 1 3 R P i1 ink 1 in 1 1300 00341003473 1003471 R23416 Anuidades 4853 unp Anuidades diferidas valor presente Para calcular o valor presente podemos usar as relacoes ja encontradas Anuidades postecipadas Ppost R1 in 1 i1 in Anuidades diferidas Pdif R1 in 1 i1 ink Anuidades diferidas Pdif Ppost 1 ik Anuidades 4953 unp Anuidades diferidas valor presente Para calcular o valor presente podemos usar as relacoes ja encontradas Anuidades postecipadas Ppost R1 in 1 i1 in Anuidades diferidas Pdif R1 in 1 i1 ink Anuidades diferidas Pdif Ppost 1 ik Anuidades 4953 unp Anuidades diferidas valor presente Para calcular o valor presente podemos usar as relacoes ja encontradas Anuidades postecipadas Ppost R1 in 1 i1 in Anuidades diferidas Pdif R1 in 1 i1 ink Anuidades diferidas Pdif Ppost 1 ik Anuidades 4953 unp Anuidades diferidas valor presente Exemplo 2 O financiamento de um imovel foi realizado em 48 prestacoes mensais iguais a R245000 a primeira vencendo 13 meses apos a compra Sabendose que a taxa de juros utilizada foi de 15 am calcule o valor a vista do imovel Solucao R R245000 i 15 ao mˆes 0015 n 48 prestacoes mensais diferidas apos 13 meses k 13 1 12 P Anuidades 5053 unp Anuidades diferidas valor presente Exemplo 2 O financiamento de um imovel foi realizado em 48 prestacoes mensais iguais a R245000 a primeira vencendo 13 meses apos a compra Sabendose que a taxa de juros utilizada foi de 15 am calcule o valor a vista do imovel Solucao R R245000 i 15 ao mˆes 0015 n 48 prestacoes mensais diferidas apos 13 meses k 13 1 12 P Anuidades 5053 unp Anuidades diferidas valor presente Exemplo 2 O financiamento de um imovel foi realizado em 48 prestacoes mensais iguais a R245000 a primeira vencendo 13 meses apos a compra Sabendose que a taxa de juros utilizada foi de 15 am calcule o valor a vista do imovel Solucao R R245000 i 15 ao mˆes 0015 n 48 prestacoes mensais diferidas apos 13 meses k 13 1 12 P R 1 in 1 i1 ink P 2450 10015481 0015100154812 R6975827 Anuidades 5153 unp Anuidades diferidas valor presente Exemplo 2 O financiamento de um imovel foi realizado em 48 prestacoes mensais iguais a R245000 a primeira vencendo 13 meses apos a compra Sabendose que a taxa de juros utilizada foi de 15 am calcule o valor a vista do imovel Solucao R R245000 i 15 ao mˆes 0015 n 48 prestacoes mensais diferidas apos 13 meses k 13 1 12 P R 1 in 1 i1 ink P 2450 10015481 0015100154812 R6975827 Anuidades 5153 unp Anuidades resumo das formulas A anuidade postecipada e um caso particular da diferida com k 0 A anuidade antecipada e um caso particular da diferida com k 1 Anuidades 5253 Matematica Financeira Unidade II Professor Arthur Kramer Departamento de Engenharia de Producao Universidade Federal do Rio Grande do Norte