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Engenharia Agrícola e Ambiental ·
Equações Diferenciais
· 2022/1
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{ -3a1 - \frac{3}{10} = 0 \\ -3a2 + 2a1 + \frac{1}{5} = 0 \\ 2a2 + a1 - \frac{3}{10} = 0 \\ a2 - \frac{1}{5} = 0 \Rightarrow a2 = \frac{1}{5} \\ \Rightarrow a1 = \frac{3}{10} \div -3 \Rightarrow a1 = -\frac{1}{10} } Substituindo os parâmetros encontrados, obtemos: = \left(-\frac{1}{3}\right) \frac{1}{s} + \frac{1}{5} s + \left(-\frac{1}{10}\right) \frac{1}{(s^2+1)} + \frac{1}{8} \frac{1}{(s-1)} + \frac{1}{120} \frac{1}{(s+3)} = -\frac{1}{3s} + \frac{2s-1}{10(s^2+1)} + \frac{1}{8(s-1)} + \frac{1}{120(s+3)} \int_0^{-1} \left\{-\frac{1}{3s} + \frac{2s-1}{10(s^2+1)} + \frac{1}{8(s-1)} + \frac{1}{120(s+3)} \right\} + + s^{-1} \left\{ \frac{1}{e^{-s^2}} (s^2+2s-3) \right\} Simplificando (1), temos: \frac{1}{e^{-s^2}(s^2+2s-3)} = \frac{1}{e^{-s^2}} \cdot \frac{1}{((s^2+2s-3))} Tirando a fração parcial de \frac{1}{(s^2+2s-3)} = \frac{a_0}{(s-1)} + \frac{a_1}{(s+3)} \frac{(s-1)(s+3)}{(s-1)(s+3)} = \frac{a_0(s-1)(s+3)}{(s-1)} + \frac{a_1(s-1)(s+3)}{(s+3)} \Rightarrow 1 = a_0(s+3) + a_1(s-1) Para s=1 \Rightarrow 1 = a_0(1+3) \Rightarrow a_0 = \frac{1}{4} Para s=-3 \Rightarrow 1 = a_1(-3-1) = a_1 = -\frac{1}{4} Substituindo os parâmetros temos: \frac{1}{4(s-1)} - \frac{1}{4(s+3)} \int_0^{-1} \left\{-\frac{1}{3s} + \frac{2s-1}{10(s^2+1)} + \frac{1}{8(s-1)} + \frac{1}{120(s+3)} \right\} + + \int_0^{-1} \left\{\frac{1}{e^{-s^2}} \left(\frac{1}{4(s-1)} - \frac{1}{4(s+3)} \right) \right\} Podemos reescrever como soma ou diferença das transformadas inversas. \int_0^{-1} \left\{-\frac{1}{3s} + \int_0^{-1} \left\{\frac{2s-1}{10(s^2+1)} \right\} + \int_0^{-1} \left\{\frac{1}{8(s-1)} \right\} + \int_0^{-1} \left\{\frac{1}{120(s+3)} \right\} \right\} + + e^{-s^2} \cdot \left( \int_0^{-1} \left\{\frac{1}{4(s-1)} \right\} + \int_0^{-1} \left\{-\frac{1}{4(s+3)} \right\} \right) Logo: f(t) será: f(t) = -\frac{1}{3} H(t) - \frac{2}{10} cos(t) - \frac{1}{10} sen(t) - \frac{1}{8} e^t + \frac{1}{120} e^{-3t} + + e^{t^2} \left(\frac{1}{4} e^t - \frac{1}{4} e^{-3t} \right) f(t) = -\frac{1}{3} H(t) - \frac{2}{10} cos(t) - \frac{1}{10} sen(t) - \frac{1}{8} e^t + \frac{1}{120} e^{-3t} + + \frac{1}{4} e^{t^3} - \frac{1}{4} e^{3t^3} Aplicando frações parciais em: \frac{1}{s(s^2+1)(s^2+2s-3)} = \frac{a_0}{s} + \frac{a_2.s+a_1}{s^2+1} + \frac{a_3}{s-1} + \frac{a_4}{s+3} s.(s^2+1)(s^2+2s-3) = a_0.s(s-1)(s+3)(s^2+1) + s(a_2.s+a_1)(s-1)(s+3)(s^2+1) + a_3.s.(s-1)(s+3)(s^2+1) + a_4.s(s-1)(s^2+3) simplificando, temos: 1 = a_0.(s^2+1)(s-1)(s+3) + s(a_2.s+a_1)(s-1)(s+3) + a_3.s(s^2+1)(s+3) + a_4.s(s^2+1)(s-1)\Rightarrow \Rightarrow para \rho=0 : 1 = a_0(0+1)(0-1)(0+3) \Rightarrow a_0=\frac{-1}{3} \Rightarrow para \rho=1 : 1 = a_3.1(1^2+1)(1+3) \Rightarrow a_3 = \frac{1}{8} \Rightarrow para \rho=-3: 1 = a_4.(-3)((-3)^2+1)((-3)-1) \Rightarrow a_4 = \frac{1}{120}
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{ -3a1 - \frac{3}{10} = 0 \\ -3a2 + 2a1 + \frac{1}{5} = 0 \\ 2a2 + a1 - \frac{3}{10} = 0 \\ a2 - \frac{1}{5} = 0 \Rightarrow a2 = \frac{1}{5} \\ \Rightarrow a1 = \frac{3}{10} \div -3 \Rightarrow a1 = -\frac{1}{10} } Substituindo os parâmetros encontrados, obtemos: = \left(-\frac{1}{3}\right) \frac{1}{s} + \frac{1}{5} s + \left(-\frac{1}{10}\right) \frac{1}{(s^2+1)} + \frac{1}{8} \frac{1}{(s-1)} + \frac{1}{120} \frac{1}{(s+3)} = -\frac{1}{3s} + \frac{2s-1}{10(s^2+1)} + \frac{1}{8(s-1)} + \frac{1}{120(s+3)} \int_0^{-1} \left\{-\frac{1}{3s} + \frac{2s-1}{10(s^2+1)} + \frac{1}{8(s-1)} + \frac{1}{120(s+3)} \right\} + + s^{-1} \left\{ \frac{1}{e^{-s^2}} (s^2+2s-3) \right\} Simplificando (1), temos: \frac{1}{e^{-s^2}(s^2+2s-3)} = \frac{1}{e^{-s^2}} \cdot \frac{1}{((s^2+2s-3))} Tirando a fração parcial de \frac{1}{(s^2+2s-3)} = \frac{a_0}{(s-1)} + \frac{a_1}{(s+3)} \frac{(s-1)(s+3)}{(s-1)(s+3)} = \frac{a_0(s-1)(s+3)}{(s-1)} + \frac{a_1(s-1)(s+3)}{(s+3)} \Rightarrow 1 = a_0(s+3) + a_1(s-1) Para s=1 \Rightarrow 1 = a_0(1+3) \Rightarrow a_0 = \frac{1}{4} Para s=-3 \Rightarrow 1 = a_1(-3-1) = a_1 = -\frac{1}{4} Substituindo os parâmetros temos: \frac{1}{4(s-1)} - \frac{1}{4(s+3)} \int_0^{-1} \left\{-\frac{1}{3s} + \frac{2s-1}{10(s^2+1)} + \frac{1}{8(s-1)} + \frac{1}{120(s+3)} \right\} + + \int_0^{-1} \left\{\frac{1}{e^{-s^2}} \left(\frac{1}{4(s-1)} - \frac{1}{4(s+3)} \right) \right\} Podemos reescrever como soma ou diferença das transformadas inversas. \int_0^{-1} \left\{-\frac{1}{3s} + \int_0^{-1} \left\{\frac{2s-1}{10(s^2+1)} \right\} + \int_0^{-1} \left\{\frac{1}{8(s-1)} \right\} + \int_0^{-1} \left\{\frac{1}{120(s+3)} \right\} \right\} + + e^{-s^2} \cdot \left( \int_0^{-1} \left\{\frac{1}{4(s-1)} \right\} + \int_0^{-1} \left\{-\frac{1}{4(s+3)} \right\} \right) Logo: f(t) será: f(t) = -\frac{1}{3} H(t) - \frac{2}{10} cos(t) - \frac{1}{10} sen(t) - \frac{1}{8} e^t + \frac{1}{120} e^{-3t} + + e^{t^2} \left(\frac{1}{4} e^t - \frac{1}{4} e^{-3t} \right) f(t) = -\frac{1}{3} H(t) - \frac{2}{10} cos(t) - \frac{1}{10} sen(t) - \frac{1}{8} e^t + \frac{1}{120} e^{-3t} + + \frac{1}{4} e^{t^3} - \frac{1}{4} e^{3t^3} Aplicando frações parciais em: \frac{1}{s(s^2+1)(s^2+2s-3)} = \frac{a_0}{s} + \frac{a_2.s+a_1}{s^2+1} + \frac{a_3}{s-1} + \frac{a_4}{s+3} s.(s^2+1)(s^2+2s-3) = a_0.s(s-1)(s+3)(s^2+1) + s(a_2.s+a_1)(s-1)(s+3)(s^2+1) + a_3.s.(s-1)(s+3)(s^2+1) + a_4.s(s-1)(s^2+3) simplificando, temos: 1 = a_0.(s^2+1)(s-1)(s+3) + s(a_2.s+a_1)(s-1)(s+3) + a_3.s(s^2+1)(s+3) + a_4.s(s^2+1)(s-1)\Rightarrow \Rightarrow para \rho=0 : 1 = a_0(0+1)(0-1)(0+3) \Rightarrow a_0=\frac{-1}{3} \Rightarrow para \rho=1 : 1 = a_3.1(1^2+1)(1+3) \Rightarrow a_3 = \frac{1}{8} \Rightarrow para \rho=-3: 1 = a_4.(-3)((-3)^2+1)((-3)-1) \Rightarrow a_4 = \frac{1}{120}