Tarefa Bônus Edo 2022-1

Nome: N.o Matricula UFF: EDO Tarefa bonus . Esta tarefa dever´a ser feita `a m˜ao, n˜ao pode usar editor de texto. Vocˆe deve registrar os detalhes que levaram `a solu¸c˜ao, n˜ao ser´a aceita somente a resposta final. Seu racioc´ınio ´e fun- damental e dever´a estar claramente registrado no papel. Utilize caneta preta ou azul, fotografe todas as folhas de sua solu¸c˜ao, salve em pdf (poder´a usar o CamScanner, por exemplo) e envie para meu e-mail sergiolicanic@id.uff.br colocando no subject do e-mail: Tarefa bonus EDO-primeiro semestre 2022 Confira sua postagem, pois arquivo ileg´ıvel n˜ao ser´a corrigido. Valor desta tarefa 1 ponto Para ser entregue ate o dia 30/06/2022 Quest˜ao: A fun¸c˜ao y(t) ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao y′′(t) + 2y′(t) − 3y(t) = f(t) sujeita `as condi¸c˜oes iniciais y(0) = y′(0) = 0. Suponha que h(t) = ∫ t 0 sen (u)du e ∫ t 0 y(t − u)h(u)du = ∫ t 0 euu2(t − u)2du. Determine f(t). Para isso fa¸ca o seguinte: 1) Aplique a transformada de Laplace `a edo 2) Aplique a transformada de Laplace a h(t) 3) Aplique a transformada de Laplace `a equa¸c˜ao com as integrais 4) Substitua a equa¸c˜ao encontradas em 2) e 3) na equa¸c˜ao em 1) para obter F(s) = L{f} 5) Calcule f(t) = L−1{F} usando fra¸c˜oes parciais 1 1) y''(t) + 2y'(t) - 3y(t) = f(t) Aplicando a transformada de Laplace na edo, temos: ℒ{y''(t)} = s² ℒ{y} - s y(0) - y'(0) ℒ{y'(t)} = s ℒ{y} - y(0) Fazendo a substituição na edo: s² ℒ{y} - s y(0) - y'(0) + 2(s ℒ{y} - y(0)) - 3 ℒ{y} = ℒ{f(t)} Como y(0) = y'(0) = 0, teremos: s² ℒ{y} + 2s ℒ{y} - 3 ℒ{y} = ℒ{f(t)} ℒ{y} (s² + 2s - 3) = ℒ{f(t)} 2) Seja R(t) = ∫(de 0 a t) sen(u) du => h(t) = [-cos(u)]^t_0 h(t) = (-cos(t) - (-cos(0))) => R(t) = -cos(t) + 1 Aplicando Laplace em R(t) temos: ℒ{R(t)} = ℒ{-cos(t) + 1} = - ℒ{cos(t)} + ℒ{1} ℒ{h(t)} = - s/(s² + 1) + 1/s = 1/(s(s² + 1)) 3) Temos que ∫(de 0 a t) y(t-u)h(u) du = ∫(de 0 a t) e^u u²(t-u)² du Aplicando a transformada de Laplace, temos que: ℒ{u² f(t+u)²} = ∫(de 0 a t) e^u u²(t-u)² du = e^{-ts} F(s) então o Laplace da integral será: F(s) = 1/(e^{-ts})² { -3a1 - \frac{3}{10} = 0 \\ -3a2 + 2a1 + \frac{1}{5} = 0 \\ 2a2 + a1 - \frac{3}{10} = 0 \\ a2 - \frac{1}{5} = 0 \Rightarrow a2 = \frac{1}{5} \\ \Rightarrow a1 = \frac{\frac{3}{10}}{-3} \Rightarrow \boxed{a1 = -\frac{1}{10}} \\ \\ Substituindo \, os\, parametros \, encontrados, \, temos: \\ = \frac{\left(-\frac{1}{3}\right)}{s} + \frac{\left(\frac{1}{5} s + \left(-\frac{1}{10}\right)\right)}{\left(s^2+1\right)} + \frac{1}{8(s-1)} + \frac{1}{120(s+3)} \\ = - \frac{1}{3s} + \frac{2s-1}{10\left(s^2+1\right)} + \frac{1}{8(s-1)} + \frac{1}{120(s+3)} \\ \int_{0}^{-1}\left\{ - \frac{1}{3s} + \frac{2s-1}{10(s^2+1)} + \frac{1}{8(s-1)} + \frac{1}{120(s+3)}\right\} + \\ \int_{0}^{-1}\left\{ \frac{1}{e^{-s^2}}\cdot \left( \frac{1}{s^2+2s-3}\right)\right\} \\ \\ Simplificando \, (1), \, temos: \\ \frac{1}{e^{-s^2}(s^2+2s-3)} = \frac{1}{e^{-s^2}} \cdot \frac{1}{(s^2+2s-3)} \\ Tirando \, a \, fração \, parcial \, de \, \frac{1}{(s^2+2s-3)} = \frac{a_0}{(s-1)} + \frac{a_1}{(s+3)} \\ \frac{(s-1)(s+3)}{(s-1)(s+3)} = \frac{a_0(s-1)(s+3)}{(s-1)} + \frac{a_1(s-1)(s+3)}{(s+3)} \\ \Rightarrow 1 = a_0(s+3) + a_1(s-1) \\ para \, s=1 \Rightarrow 1 = a_0(1+3) \Rightarrow \boxed{a_0 = \frac{1}{4}} \\ Para \, s=-3 \Rightarrow 1 = a_1(-3-1) \Rightarrow \boxed{a_1 = -\frac{1}{4}} \\ Substituindo \, os \, parametros \, temos: \\ \frac{1}{4(s-1)} - \frac{1}{4(s+3)} \\ \int_{0}^{-1}\left\{ - \frac{1}{3s} + \frac{2s-1}{10s^2+1} + \frac{1}{8(s-1)} + \frac{1}{120(s+3)}\right\} + \\ \int_{0}^{-1}\left\{ \frac{1}{e^{-s^2}}\cdot \left( \frac{1}{4(s-1)} - \frac{1}{4(s+3)} \right)\right\} \\ \\ Podemos \, reescrever \, como \, soma \, ou \, diferença \, das \, transformadas \, inversas. \\ \int_{0}^{-1}\left\{ - \frac{1}{3s} + \int_{0}^{-1}\left\{ \frac{2s-1}{10s^2+1}\right\} + \int_{0}^{-1}\left\{ \frac{1}{8(s-1)}\right\} + \int_{0}^{-1}\left\{ \frac{1}{120(s+3)}\right\} \right\} + e^{-s^2}\cdot \left( \int_{0}^{-1}\left\{ \frac{1}{4(s-1)}\right\} + \int_{0}^{-1}\left\{ \frac{1}{4(s+3)}\right\} \right) \\\n= - \frac{1}{3} H(t) - \frac{2}{10} \cos(t) - \frac{1}{10} \sin(t) - \frac{1}{8} e^t + \frac{1}{120} e^{-3t} + \\ e^{t^2}\cdot \left( \frac{1}{4} e^t - \frac{1}{4} e^{-3t} \right) \\ Logo: \, f(t) \, será: \\ \boxed{f(t) = - \frac{1}{3} H(t) - \frac{2}{10} \cos(t) - \frac{1}{10} \sin(t) - \frac{1}{8} e^t + \frac{1}{120} e^{-3t} + \frac{1}{4} e^{t^3} - \frac{1}{4} e^{3t^3}}