Descontos Comerciais e Racionais em Matemática Financeira

MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof George Sales Atualização Prof Samuel Durso 2 DESCONTOS POR FORA E POR DENTRO 3 OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM No presente book serão apresentados os dois principais tipos de desconto o conhecido como desconto comercial ou por fora e o desconto racional ou por dentro Ao final do estudo o discente deverá ser capaz de compreender identificar e aplicar o conhecimento adquirido em problemas financeiros do mundo real 4 SUMÁRIO 1 Descontos 11 Desconto com juros simples 12 Desconto com juros compostos 13 Marcação a Mercado 5 1 DESCONTOS Suponha que você investiu R 1000 em um CDB de um banco com vencimento em 500 dias úteis a uma taxa efetiva de 35 para o período Portanto o valor do resgate seria de R 1350 1000 x 135 Digamos no entanto que você deseja resgatar o seu CDB 300 dias úteis antes do vencimento ou seja 200 dias úteis após o investimento Qual seria o novo valor do resgate É a essa pergunta que este capítulo pretende responder Há basicamente duas formas de fazer esse cálculo através do desconto comercial ou por fora e através do desconto racional ou por dentro Vejamos cada um desses dois tipos utilizando juros simples e juros compostos 11 Desconto com juros simples Desconto simples comercial ou por fora No método do desconto comercial utilizando juros simples o valor a ser resgatado é calculado através da seguinte equação Onde i taxa de juros por período N número de períodos que faltam até o vencimento Em nosso exemplo N 300 dias úteis data final data do resgate e a taxa de juros i é a taxa proporcional para 1 dia útil Calculando a taxa proporcional temos Portanto o valor a ser resgatado será de 6 Podemos ainda comparar as remunerações dos diferentes períodos Imagine que alguém faça hoje uma aplicação de R 106650 em um CDB de 300 dias úteis de prazo e resgatasse R 135000 após esse período Qual taxa de juros estaria auferindo Vejamos A taxa proporcional para um período de 500 dias úteis seria de Perceba que essa taxa é bem superior à taxa inicialmente contratada que tinha sido de 35 Isso acontece porque o desconto comercial incide sobre o montante final da aplicação e não sobre o valor inicial dele Essa taxa superior ao inicialmente contratado significa que o valor a ser resgatado antecipadamente é menor do que deveria Vejamos o que acontece no desconto racional Desconto simples racional ou por dentro No desconto simples racional o valor futuro é efetivamente descontado pela taxa de juros da aplicação conforme a equação abaixo Onde i taxa de juros por período N número de períodos até o vencimento Assim em nosso exemplo temos N 300 dias úteis e a taxa de juros i é a taxa proporcional para 1 dia útil igual a 007 Portanto o valor a ser resgatado será de Vamos agora novamente fazer a comparação entre os períodos se alguém fizesse hoje uma aplicação de R 111570 em um CDB de 300 dias úteis de prazo e resgatasse R 135000 após esse período qual taxa de juros estaria auferindo Vejamos 7 A taxa proporcional para o período de 500 dias úteis seria de Vimos então que conseguimos recompor a taxa inicial demonstrando que o desconto racional é o mais adequado Note a diferença do valor a ser resgatado antecipadamente entre as duas metodologias Desconto comercial R 106650 Desconto racional R 111570 Exemplo 1 Uma duplicata de R70000 foi descontada quatro meses antes do vencimento Qual o valor do desconto aplicado adotandose juros de 2 ao mês Solução Passo a Passo Aqui vale uma observação sobre as duplicatas elas são descontadas pelo desconto simples comercial O enunciado pede o valor do desconto aplicado Perceba que o valor do desconto é diferente do valor descontado Valor do desconto é quanto o banco aplica de desconto sobre o valor de vencimento da duplicata enquanto o valor descontado é o valor da duplicata após o desconto Valor descontado Valor no vencimento Desconto Aplicado Vimos que a fórmula do Valor Descontado para o Desconto Simples Comercial é Sabemos que o valor no vencimento é o valor da duplicata de R7000000 Assim o valor descontado será Bem se o valor no vencimento é de R70000 e o valor descontado vale R64400 o desconto aplicado foi Valor descontado Valor no vencimento Desconto Aplicado Desconto Aplicado 70000 64400 Desconto Aplicado 5600 Solução o Desconto Aplicado foi de R 560000 8 Exemplo 2 Um título no valor de R 6000000 tem vencimento em 60 dias Qual o valor descontado considerandose o desconto racional com juros simples de 2 am Solução Passo a Passo Vimos que a fórmula do Valor Descontado para o Desconto Simples Racional é Sabemos que o valor no vencimento é o valor do título de R 6000000 Como o enunciado não dá maiores informações podemos assumir que 60 dias é equivalente a 2 meses Dessa forma o valor descontado será Valor Descontado R 5769230 Solução O Valor Descontado foi de R 5769230 12 Desconto com juros compostos Desconto composto comercial ou por fora No método do desconto comercial o valor a ser resgatado é calculado através da seguinte equação Onde i taxa de juros por período N número de períodos que faltam até o vencimento Em nosso exemplo N 300 dias úteis e a taxa de juros i é a taxa equivalente para 1 dia útil Para calcular essa taxa equivalente utilizamos a fórmula vista no book 3 Portanto o valor a ser resgatado será de 9 Vamos novamente comparar os valores entre os períodos se alguém fizesse hoje uma aplicação de R 112742 em um CDB de 300 dias úteis de prazo e resgatasse R 135000 após esse período qual taxa de juros estaria auferindo Vejamos A taxa equivalente para um período de 500 dias úteis seria de Perceba que da mesma forma que para os juros simples essa taxa é superior à taxa inicialmente contratada que tinha sido de 35 Desconto composto racional ou por dentro No desconto racional o valor futuro é efetivamente descontado pela taxa de juros da aplicação conforme a equação abaixo Onde i taxa de juros por período N número de períodos até o vencimento Assim em nosso exemplo temos N 300 dias úteis e a taxa de juros i é a taxa equivalente para 1 dia útil igual a 0060039 Portanto o valor a ser resgatado será de Comparando entre períodos se alguém fizesse hoje uma aplicação de R 112754 em um CDB de 300 dias úteis de prazo e resgatasse R 135000 após esse período qual taxa de juros estaria auferindo Vejamos A taxa equivalente para o período de 500 dias úteis seria de 10 Vimos então que conseguimos recompor a taxa inicial demonstrando que o desconto racional é o mais adequado De maneira genérica a equação para o desconto composto racional é a seguinte Onde i taxa de juros do período completo Nd número de períodos a descontar Nt número de períodos do período completo A taxa de juros i refere se sempre a esse período Em nosso exemplo do CDB teríamos Perceba que esse valor é ligeiramente diferente do anterior por ser mais exato Quando resolvemos anteriormente o problema o fizemos passo a passo o que introduziu alguns arredondamentos Essa equação geral que acabamos de ver elimina esse problema Vejamos um outro exemplo consideremos um contrato de DI futuro Sabemos que esse contrato tem valor final de vencimento igual a R 100000 Segundo o ofício circular que define esse contrato o preço da operação é dado pela seguinte equação Onde PO preço da operação i é a taxa de juros da operação base 252 dias n número de dias úteis até o vencimento do contrato Perceba a semelhança entre essa equação e a do desconto racional vista acima Portanto o cálculo do preço de um contrato futuro de DI nada mais é do que um cálculo de desconto racional Digamos por exemplo que um contrato vencendo em 60 dias úteis esteja sendo negociado a 18 ao ano base 252 dias úteis Qual o preço desse contrato 11 No gráfico abaixo podemos verificar o preço desse contrato futuro de DI até o vencimento assumindo a taxa de 18 ao ano constante até o vencimento Perceba que ao mantermos a taxa constante conforme o tempo passa o preço do contrato vai subindo até atingir R 10000000 no vencimento 13 Marcação a Mercado Até o momento vimos a mecânica do desconto racional Vamos agora analisar a taxa de juros utilizada para fazer esse desconto No exemplo anterior do CDB utilizamos a taxa de juros negociada no início do contrato 35 ao ano Mas essa não é a taxa mais correta a ser utilizada quando analisamos a situação real do mercado Devemos utilizar a taxa negociada pelo mercado naquele momento Essa é a essência da chamada marcação a mercado Voltemos ao nosso exemplo do contrato futuro de DI Descontamos o valor do contrato pela taxa de 18 ao ano Essa é a taxa negociada pelo mercado naquele momento para aquele prazo Não importa qual foi a taxa pela qual este contrato foi negociado pela primeira vez O que importa é a taxa que o mercado negocia naquele momento Continuemos com o nosso exemplo do contrato futuro de DI Vimos que um contrato negociado a 18 ao ano com 60 dias úteis para o vencimento vale R 9613582 Digamos que no dia seguinte faltando agora 59 dias para o vencimento esse mesmo contrato esteja sendo negociado a 20 ao ano Qual será o novo valor do contrato 12 Note que apesar de se ter passado um dia o valor do contrato caiu de um dia para o outro Ou seja quem possuísse esse contrato sofreria uma rentabilidade negativa Conclusão o aumento da taxa de juros utilizada no desconto racional pode acarretar perdas para o detentor do contrato Veja no gráfico abaixo a diferença entre o valor de mercado desse contrato taxa de 20 ao ano e o valor do contrato se a taxa de 18 ao ano tivesse se mantido 13 FIPECAFI Todos os direitos reservados A FIPECAFI assegura a proteção das informações contidas nesse material pelas leis e normas que regulamentam os direitos autorais marcas registradas e patentes Todos os textos imagens sons vídeos eou aplicativos exibidos nesse volume são protegidos pelos direitos autorais não sendo permitidas modificações reproduções transmissões cópias distribuições ou quaisquer outras formas de utilização para fins comerciais ou educacionais sem o consentimento prévio e formal da FIPECAFI CRÉDITOS Autoria George Sales Coordenação de Operações Juliana Nascimento Design Instrucional Patricia Brasil Design Gráfico e Diagramação Dejailson Markes Captação e Produção de Mídias Erika Alves Gabriel Rodrigues Gabriel dos Santos e Mauricio Leme Revisão de Texto Patricia Brasil INDICAÇÃO DE LEITURA OBRIGATÓRIA VIEIRA SOBRINHO J D Matemática Financeira 8ª ed São Paulo Atlas 2018 Capítulo 4